El cinqué postulat d’Euclides

Euclides va ser, potser, el matemàtic més important de la historia en el sentit que en la seva obra “Els Elements” va bastir els fonaments de les matemàtiques tal com les entenem. Va començar pel principi proposant cinc postulats a partir dels quals poder anar deduint tota la geometria i que és coneixen, naturalment, com els cinc postulats d’Euclides. Un postulat és una afirmació que s’accepta sense demostrar ja que no hi ha cap altre principi més bàsic del que es pugui fonamentar. El cas és que un dels postulats d’Euclides va portar de corcoll als matemàtics durant dos mil anys. I n’hi ha prou de llegir-los per intuir quin és:

1- Es pot traçar una recta entre dos punts.

2- Un segment rectilini es pot prolongar indefinidament en línia recta

3- Per cada centre i radi es pot traçar un cercle

4- Tots els angles rectes són iguals entre sí

5- Si una línia recta que talla a dues rectes forma pel mateix costat amb elles angles interiors la suma dels quals és menor que dos angles rectes, les dues últimes rectes prolongades indefinidament es trobaran en el mateix costat en què la suma dels angles és menor que dos angles rectes.

El més normal és que a mida que els vas llegint vas dient que sí, que molt bé, que sembla evident, fins que arribes al cinquè i aleshores exclames “…com!?”. Euclides el va plantejar així, però amb el temps s’han buscat maneres diferents d’expressar-ho de manera que sembli més senzill. Una de les més habituals és dir que “donada una recta i un punt, només hi ha una recta que conté aquest punt i que és paral·lela a la primera recta”.

Tot i així, segueix sent més complicat que la resta i durant molt temps van pensar que potser no era un postulat i que es podria deduir a partir dels altres quatre. Això ho van intentar durant segles, però sempre sense èxit. El cinquè postulat va ser una pedra a la sabata dels matemàtics durant dos mil anys.

Al final van treure’n l’entrellat amb una aproximació enginyosa freqüent en la matemàtica. Per saber si realment era imprescindible, el que van fer va ser imaginar que el cinquè postulat no fos cert. Podríem intentar construir una geometria partint de la base que per un punt passen infinites rectes paral·leles a una de donada. O també podríem imaginar que no en passa cap. Si en fer-ho apareixen contradiccions, voldrà dir que el cinquè postulat efectivament és necessari.

Però contra tot pronòstic, el resultat va ser que en els dos cassos obtenien geometries perfectament coherents. Per això ara hi ha qui parla de geometria euclidiana per referir-se a la que fa servir el cinquè postulat. Si el cinquè es planteja diferent apareixen geometries no-euclidianes que també són correctes.  Per exemple, la superfície de la Terra és no-euclidiana.

La clau és que la geometria d’Euclides es basa en suposar que l’espai és perfectament pla. Però la cosa canvia si és corbat. En una superfície plana, puc agafar una recta i, en angle de 90 graus dibuixar-ne una altra. Si aleshores faig el mateix una mica separat, tindré dues rectes paral·leles que mai es trobaran. Ara bé, si ho faig en una superfície corba, com ara la superfície de la Terra, les dues rectes si que s’acabaran trobant. De fet tots els meridians surten en angle recte respecte de l’equador i es troben al pol. I al contrari, hi ha superfícies en les que les línies se separen totes.

Quan els físics estudiaven l’Univers es preguntaven com era la seva estructura; oberta o hiperbòlica, tancada o esfèrica, o euclidiana és a dir, plana. A escala local podem dir que és euclidiana, però agafat en conjunt… doncs encara s’està discutint.

I tot per aquell enrevessat cinquè postulat d’Euclides!

 

3 comentaris

  • Daniel

    28/04/2015 13:13

    Carquinyol: I això no es un tema de ciències o lletres. Que hi ha molt científic que tampoc sap de que van.
    Quina por, com s’estan carregant l’educació!

    Pons. Noooo! Que sense el cinquè no hauria pogut muntar la geometria i no hauria guanyat fama.

  • Pons

    28/04/2015 8:41

    Amb els quatre postulats ja hauria sigut suficientment famós, però no! El senyor volia un cinquè!

  • Carquinyol

    28/04/2015 8:40

    Deu n’hi do n’Euclides, i el més trist és que (deixant de banda el 5è punt) molta gent avui en dia tampoc coneix els seus postulats (i no vull dir no enrecordar-se’n, que això pot ser normal, vull dir ni saber que existeixen)