Nombres absurdament grans

Una de les virtuts de les matemàtiques és que permet fer càlculs sobre conceptes abstractes. Això també és un dels motius que fan que siguin considerades tan complicades per molta gent. És senzilla l’aritmètica elemental, quan pots imaginar un nombre concret de “coses” que sumes, restes o multipliques, però com visualitzar la tendència al límit del valor d’una funció feta amb nombres irracionals?

El cas és que fins i tot amb els nombres senzills podem arribar a nivells que ja no té sentit referenciar-los a “coses”. Això passa, per exemple, amb nombres molt grans. I quan un matemàtic diu que és posa a parlar de nombres grans, és millor preparar-se per reptes intel·lectuals majúsculs. Per ells, els milions, bilions o trilions són nombres petits, senzills i poc interessants, no massa diferents del vint o el cinquanta.

Un nombre gran ben conegut és el googol. S’escriu 10^100 (deu elevat a cent) i seria un u seguit de cent zeros. Podeu dir que us ho imagineu, però no és veritat. Ningú te capacitat per imaginar un googol, entre altres coses perquè és una xifra tan gran que no hi ha res que mesuri un googol. Ni l’edat de l’univers expressada en segons (10^18), ni el nombre d’àtoms que hi ha a tot l’univers arriben (10^81), ni de lluny, a mesurar un googol.

Però això dels exponents és llaminer i posats a fer podem imaginar un número encara més gran. (insisteixo: podem imaginar el número, però no el concepte). El googolplex és defineix com deu elevat a un googol (10^10^100) i, òbviament, podríem pensar que és un número absurd en el sentit d’absurdament gran.

La clau és deixar de pensaren “coses”. Els números permeten mesurar o catalogar conceptes, operacions, possibilitats…i aleshores, aquests números tan extraordinàriament grans ja guanyen sentit. Per exemple, el nombre de possibles partides d’escacs diferents és superior a un googol. El mateix passa amb el nombre d’estats quàntics de totes les partícules de l’univers. Coses que ja s’allunyen molt de l’experiència habitual, però que els matemàtics poden calcular i tenen nombres per fer-ho.

I si ens fiquem en abstraccions totals, arribem a nombres ridículament grans. Nombres que deixen al googolplex com una broma diminuta. En base a determinats càlculs referents als nombres primers, la hipòtesi de Riemann i algunes funcions que només entenen els entesos, el matemàtic sud-africà Stamley Skewes va demostrar que alguna cosa està relacionada amb el nombre 10^10^10^964, conegut com el “segon nombre de Skewes”. Dic “alguna cosa” simplement perquè soc incapaç d’entendre’n els detalls, encara que puc copsar la magnitud del nombre que fa servir.

Però encara n’hi ha de més grans. El nombre de Graham és tan enorme que ni tant sols fent servir exponents podríem escriure’l. Cal un sistema nou de notació per, simplement, escriure’l. Si el simple intent d’escriure el nom del nombre resulta vertiginós (calen més exponents que volums de Planck hi ha a l’univers) com ha de ser el nombre? De nou, no té cap sentit pensar en coses sinó en conceptes totalment abstractes relacionats amb la mateixa essència de la matemàtica. Fites que els exploradors dels nombres poden identificar i que als que no som del camp ens permeten intuir com de fascinant ha de ser l’univers abstracte per on es mouen. Malgrat que els conceptes se m’escapen, el simple fet de pensar que els humans podem arribar a aquests nivells d’abstracció matemàtica és com per estar una mica satisfet del nostre intel·lecte.

4 comentaris

  • Daniel Closa

    24/04/2018 14:49

    En algun lloc he llegit que aquests números són molt més grans que la idea que la majoria de la gent dte de l’infinit.

  • Joan Codina

    24/04/2018 13:37

    No hi ha res com la notació de Knuth quan t’has de treure un número gran de la màniga. L’únic problema és que no acabes sabent per quan l’has apallissat.

  • Daniel Closa

    24/04/2018 13:16

    Amics matemàtics potser…
    Tot i que, no creguis. Els científics fora de la feina semblem raonablement normals :-)

  • Pons

    24/04/2018 11:11

    Nombres molt grans si…. però amb aquests conceptes tan estranys segur que el senyor Graham tenia pocs amics :P