La hipòtesi de Riemann… demostrada?

L’any 1859, el matemàtic Georg Friedrich Riemann va publicar un article a la revista de l’Acadèmia Prussiana de Ciències. El treball tractava sobre els nombres primers i feia servir una funció matemàtica anomenada “funció zeta de Riemann” que ell mateix havia desenvolupat a partir d’una funció similar i finalment suggeria que “la part real de qualsevol zero no trivial de la funció zeta de Riemann és igual a ½”. Aquesta frase, que ens sona a xinés a la majoria de mortals va esdevenir el sant greal de la matemàtica i es coneix com la “Hipòtesi de Riemann” Durant cent seixanta anys els matemàtics han estat intentant esbrinar si la hipòtesi es certa o és falsa, fins ara sense èxit.

En general, la majoria de matemàtics pensen que deu ser certa i hi ha molts estudis en aquest camps que comencen dient “Si assumim que la hipòtesi de Riemann és certa, aleshores…”, però el cas és que demostrada no està i això és empipador i estimulant alhora. De fet, hi ha un premi d’un milió de dòlars per qui pugui demostrar la certesa o falsedat de la hipòtesi.

Per entendre la hipòtesi i la seva importància, cal tenir un bagatge en matemàtiques que la majoria no tenim. Però una petita aproximació ens permet entendre per on van les coses. El tema està relacionat amb els nombre primers, aquells que només és poden dividir per u i per ells mateixos. Pels matemàtics són com la pedra angular de les matemàtiques, però resulten particularment desconcertants. Sabem que hi ha infinits nombres primers, però no sabem en quin ordre apareixen. Encara més, sospitem que deu haver-hi un ordre, però ignorem quina és la regla que quan trobem un nombre primer ens permetria dir “el proper apareixerà després de tantes xifres”.

Riemann va establir una funció que semblava que podia posar un cert ordre en el caos dels nombres primers. La funció zeta de Riemann, que per acabar de fer el tema enrevessat, fa servir nombres complexos. Aquests son els que s’obtenen al multiplicar nombres reals per nombres imaginaris. I aquests són els que s’obtenen al multiplicar per l’arrel quadrada de -1. Aquesta arrel en principi no existeix (d’aquí el nom) però si existís surten coses molt interessants i útils, de manera que els matemàtics els fan servir sense manies.

Tot molt senzill, no?

La funció zeta pot tenir molts valors depenent dels valors que li apliquem, però de vegades el resultat és zero. Riemann va observar que quan al fer els càlculs li sortia zero, la part real del nombre al que li aplicava la funció era ½. Ho va anar provant per molts casos i sempre que sortia zero, la part real del nombre era ½. Potser hi ha casos en els que això no és compleix, però el cas és que no se sap. Riemann va proposar que sí, però en matemàtiques les coses s’han de demostrar. És més fàcil demostrar que no ja que, per exemple, si trobessin un cas en el que no es complís, la hipòtesi quedaria demostrada com a falsa. Amb els ordinadors moderns s’han calculat trilions de possibilitats i sempre ha sortit 1/2 però, és clar, comparat amb l’infinit, un trilió és no-res.

La part real d’un número? El valor zero? La funció zeta? Confessem-ho. No s’entén un borrall a no ser que ja estiguis ficat en aquests problemes matemàtics. Tampoc esperaríem que un dels majors problemes de les matemàtiques fos simple d’entendre. La cosa important a recordar és que si la hipòtesi es demostra certa, es podrà posar molt ordre en el camps dels nombres primers. I bona part dels sistemes de criptografia que es fan servir es basen en que no sabem aquest ordre. De manera que petar la hipòtesi de Riemann, es permetre petar els sistemes de seguretat informàtica.

Pensàveu que només era un problema matemàtic? La propera vegada que escriguis un password o que posis el número secret de la targeta de crèdit recorda que la suposada seguretat està en les mans de la proposta que va fer Riemann fa cent  seixanta anys.

I el cas és que ahir, Sir Michael Atiyah va proposar una demostració. Ell és un dels grans matemàtics vius actualment, de manera que quan parla, tothom l’escolta. Hi havia escepticisme ja que molts altres ho han intentat i al final va resultar que estaven equivocats. En aquest cas, ell treballava en un problema lateral i al resoldre’l es va adonar que havia demostrat la hipòtesi de Riemann. Tothom esperava un treball enorme però el va resumir en una única imatge!

Els detalls matemàtics els deixem pels entesos, però l’estratègia ha sigut la clàssica reducció a l’absurd: assumir que hi ha un cas en el que no és compleix la hipòtesi i demostrar que això porta a una contradicció. Segur que en pocs dies sabrem si hi ha algun error o si finalment ha caigut un dels grans problemes (hi ha qui diu, “el gran problema”) de les matemàtiques. Passades unes hores de la demostració, l’ambient entre la majoria de matemàtics és, com a mínim, d’escepticisme. Però més per la senzillesa de la demostració o pel fet que fa referències a treballs poc coneguts que no pas per poder assenyalar algun punt i dir “aquí hi ha un error”. Ja es veurà. En tot cas, Atiyah ha aconseguit que es parli amb entusiasme de les matemàtiques!

3 comentaris

  • Pons

    25/09/2018 15:32

    llavors si es demostra que té raó val més que canviï la contrasenya del gmail…?

  • Xavier Ros

    25/09/2018 9:48

    PD2: Un altre motiu per no contradir Atiyah i deixar-lo en ridícul és que un d’aquests escrits en que “demostra” una cosa i no té sentit, està dedicat a la seva dona, que va morir aquest any.

    El millor per Atiyah seria que el deixéssim tranquil i miréssim altres coses… No hauria d’estar al centre d’atenció.

  • Xavier Ros

    25/09/2018 9:13

    No, no hi ha demostració, i hauríem de deixar el pobre Atiyah en pau. M’explico.

    Michael Atiyah ha estat un dels millors matemàtics de la segona meitat del s.XX, i dels molt pocs que ha guanyat la medalla Fields i el premi Abel (els dos premis més importants en matemàtiques).
    Ara bé, en els últims anys Atiyah ha enunciat algunes demostracions de teoremes molt importants i que quan les explicava no tenien cap sentit (“not even wrong” en anglès).
    Això ha passat últimament amb la seva “demostració” nova del teorema de Feit-Thompson el 2017 (no tenia cap sentit i mai es va arribar a publicar), i la seva “demostració” el 2016 del fet que la 6-esfera no admet cap estructura complexa (un problema molt important en geometria diferencial). En tots dos casos, un cop Atiyah ensenyava la demostració es veia que no tenia cap sentit, i mai es van publicar en cap revista.

    El 2018 va fer una xerrada al ICM (Congrés Internacional de Matemàtiques), i la gent que conec que estava allà diuen que feia vergonya aliena i molta gent va marxar de la sala. Sembla ser que Atiyah està malalt (demència o similar), i que quan parla de matemàtiques ja no té cap sentit el que diu.
    Conec gent (fins i tot alguns dels guanyadors de la medalla Fields) que van parlar amb ell al ICM, i deien que no tenia sentit el que deia quan parlava de matemàtiques.

    A la comunitat matemàtica és prou conegut des de fa un temps que Atiyah està malalt, i per tant en cap cas ningú fa cas quan enuncia una nova demostració d’un altre teorema important.

    El problema és que Atiyah és un ídol per molts matemàtics, i per això ningú vol dir públicament que no té ni sentit el que està dient. Més aviat pensen que millor no fer-li cas per no ridiculitzar-lo, perquè realment no té sentit el que diu quan parla de matemàtiques.

    El problema ha vingut quan gent de fora l’entorn matemàtic (periodistes, etc.) ha fet bombo i publicitat del pobre Atiyah amb el seu anunci de la hipòtesi de Riemann. Enlloc de preguntar als matemàtics abans, han posat a Atiyah en el centre d’atenció.

    Cap expert en el tema ha dit que hi hagi un error en la demostració perquè és evident, la “demostració” no s’aguanta per enlloc. Si saps prou matemàtiques veus que no té cap sentit. Però pel motiu que he dit abans (no ridiculitzar Atiyah) s’està fent el mateix que quan surt una suposada demostració de la hipòtesi de Riemann que clarament no té cap sentit: ignorar-la.

    Els errors i coses sense sentit comencen a la pàgina 1. Per exemple, la definició de funció de Todd que ell fa es contradiu a sí mateixa, i quan diu “una funció feblement analítica en qualsevol compacte de C”, això és simplement una funció analítica, etc. Res té sentit.

    En matemàtiques cada any hi ha varies “demostracions” de teoremes superimportants (en particular de la hipòtesi de Riemann) fetes per gent que no sap gaires matemàtiques, i les quals no tenen cap sentit. Aquestes demostracions s’ignoren i ningú hi dóna validesa, i quan s’enviena una revista doncs algú s’ho mira i diu que simplement no té sentit.
    En aquest cas és el mateix, el problema és que la persona que (ja) no sap matemàtiques resulta ser Sir Michael Atiyah, un dels millors matemàtics del segle XX.

    PD: Evidentment això no vol dir que a la seva edat no es puguin fer bones matemàtiques. Hi ha exemples d’altres matemàtics de la seva edat que encara són brillants, com Elliot Lieb.