Arbres abrigats i arbres que abriguen

dijous, 26/05/2016

El meu pare deia que a l’hivern era bo protegir els fruiters. Quan s’apropaven els mesos de gener i febrer, embolicava els troncs del llimoner i del taronger amb draps gruixuts de llana i cotó, per a que “no passessin fred”. La veritat és que no ho vaig acabar mai d’entendre. Els humans ens abriguem per reduir la dissipació de calor i no refredar-nos. La roba d’hivern ens permet mantenir la temperatura del cos amb menys despesa energètica. Però a ningú se li acut embolicar les pedres, perquè la temperatura de les pedres, les papereres i les baranes del carrer s’equilibra amb la temperatura ambient tant si les abriguem com si no. Per què hem d’abrigar els arbres, si a l’hivern semblen tan freds com les tanques dels jardins?

Després vaig saber que justament, un costum dels jardiners japonesos a l’hivern és el d’abrigar els arbres. La tècnica més popular és el faixí de palla, wara no obi o wara-maki, que utilitzen per protegir les parts més sensibles del tronc o fins i tot per tapar-lo totalment de manera més o menys artística, com podeu veure a la imatge (que podeu trobar aquí). Un altre dels dissenys força popular a l’hivern en els parcs japonesos és una construcció cònica feta amb tires de palla nuades a un pal central de bambú anomenada yuki-tsuri, més artística i que limita la convecció i dissipació d’aire calent sobretot a la zona del centre, tal com podeu veure aquí. La veritat és que mai sabré si el meu pare ho havia aprés dels jardiners japonesos.

L’Alberto Pérez Izquierdo explica que si a l’hivern hem de deixar el cotxe a la nit al ras, si veiem que pot glaçar el millor que podem fer és aparcar-lo sota un arbre. Explica que el metabolisme dels arbres els manté per damunt dels zero graus encara que faci més fred. Com que els cotxes i objectes que deixem sota els arbres tendeixen a equilibrar la seva temperatura amb la de l’arbre, la seva superfície no es congela. Els arbres abriguen i protegeixen del fred, perquè els seus processos vitals fan que siguin petites estufes. Subtils, però apreciables.

Però, què és el metabolisme? El metabolisme és el conjunt de reaccions químiques que tenen lloc en un organisme per a mantenir-lo viu. El metabolisme fabrica les molècules que són bàsiques per la vida (carbohidrats, aminoàcids i lípids), però quan cal, també les crema per a generar energia. Una cosa sorprenent del metabolisme és la gran semblança entre les reaccions químiques metabòliques de tots els éssers vivents, incloent els microbis, les plantes i arbres, els animals i nosaltres. Com podeu llegir aquí, aquestes semblances són probablement degudes a la seva aparició ben al principi de la historia de la vida, quan es van estabilitzar com a reaccions bioquímiques de gran eficiència. La fàbrica metabòlica que tots portem dins és molt semblant a la dels arbres, té més de dos mil milions d’anys i ve dels orígens de la vida a la Terra. Ho explica molt bé en Freeman Dyson, que defensa el doble origen de la vida a partir de la simbiosi entre partícules que sabien metabolitzar i d’altres que podien reproduir-se per duplicació. Però la fàbrica vital del metabolisme no s’escapa al segon principi de la termodinàmica: quan generem energia per moure’ns i créixer, hem de dissipar energia i escalfar el medi exterior. Tot el que genera treball i moviment és una petita estufa que escalfa el medi ambient: les fàbriques i els cotxes, les cases i les motos, però també els arbres i nosaltres pel sol fet de viure. Perquè el metabolisme manté l’ordre dins dels nostres cossos per mitjà de la creació de desordre (escalfament) exterior.

He tardat anys a entendre-ho, però el meu pare tenia raó. Tot el que viu genera calor, perquè la vida és metabolisme i el metabolisme dissipa calor. Les plantes, els arbres, els insectes i tots els animals vius són una mica més calents que el seu entorn, independentment de si són o no de sang (o saba) freda. En una fotografia nocturna amb càmera d’infraroigs, els arbres vius mostren el color de la seva radiació subtil, mentre que els troncs dels arbres morts surten negres. I a l’hivern, els arbres poden sobreviure els dies gèlids perquè el seu metabolisme manté la part central dels seus troncs a temperatures per damunt dels zero graus (o damunt de la seva temperatura de congelació). L’escorça ja és una bona protecció natural, però els hiverns molts freds, una protecció addicional sempre els pot ajudar a no congelar-se, de la mateixa manera que nosaltres ens posem l’abric damunt el jersei. Per això, la tècnica wara-saki dels japonesos protegeix els arbres del fred, a més dels insectes i de la neu. Els hiverns durs i congelats, i més si sou al camp, penseu en els jardiners japonesos i abrigueu els arbres (sobretot els que venen de regions càlides). Quan vingui el bon temps, us ho agrairan amb flors i fruits. I si a l’hivern no sabeu on aparcar, feu-ho sota un arbre.

Per cert, en Toni Güell diu que la visió, fa una setmana, de milers i milers de rodes en flames en l’incendi del cementiri de pneumàtics de Seseña, ens mostra clarament que alguna cosa fonamental s’ha esguerrat en el camí del progrés.

Vuit mapes

dijous, 19/05/2016

Hi ha mapes que expliquen i aclareixen moltes coses només amb un cop d’ull. Els dos mapes que veieu aquí al costat són d’aquest blog del Huffington Post, que n’inclou un total de vuit. L’autora, la Vicky Ramírez, diu que són mapes que ens canviaran la nostra visió d’Àfrica. El de dalt mostra l’ús d’internet, i és ben explícit. En el de sota, la mida dels països és proporcional a la riquesa de la seva activitat econòmica. A la web hi podeu trobar, a més, el mapa de l’esclavitud i del tràfic de persones, el mapa del risc de sequera i el de la pobresa energètica. És difícil afegir paraules, un cop els has vist.

La Vicky Ramírez observa que les zones de la Terra amb més nivell d’ingressos tenen una esperança de vida alta, de 77 anys pels homes i 83 per a les dones, front als 58 i 60 anys de la gent que viu a les zones més pobres. Nosaltres ens queixem que algunes vegades i a segons quins llocs tenim poca cobertura, quan aquesta és una pregunta que mig món no es pot ni plantejar. Perquè els dos mapes del món de la imatge són els mapes de les preguntes. Al nord, la preocupació és mantenir la qualitat de vida, viure amb la màxima seguretat i sense cap risc, acumular reserves energètiques i de minerals al cost que sigui, tancar les fronteres per a que no ens molestin els refugiats i els desplaçats. Al sud, aquestes preguntes no existeixen i tot és molt més primari: no patir sequeres, poder menjar cada dia i que no et matin.

En tot cas, permeteu-me que, per acabar, faci una petita excursió al món de la ciència. Estem acostumats a veure mapamundis que fan grans els països del nord i encongeixen els del sud (com les projeccions de Mercator, Robinson i Miller). La projecció de Peters fa més justícia als països del sud, però tampoc és exacta perquè, com bé ens explica la geometria, és impossible representar una esfera en un pla sense distorsió. I ara, fa pocs anys, hem començat a veure mapes del món que canvien la mida dels països en funció del que volen representar. Aquí en teniu de tot tipus. Penso que són una bona idea perquè donen una imatge visual immediata del que volen mostrar. I a més no són difícils de crear. Com podeu veure a la nota del final, s’obtenen amb tècniques que neixen de la connexió entre la cartografia i la física. Interessant, oi? El principi de la difusió ens ajuda a visualitzar l’estat deplorable en el qual hem deixat l’oblidat continent Africà.

Per cert, en Joan Antoni Melé diu que l’especulació és una arma de destrucció massiva, i que no hem de portar diners al banc si no sabem en què els invertirà.

———-

NOTA: Ara fa 12 anys, el 2004, en Michael Gastner i en Mark Newman van publicar un article molt interessant al PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences, USA), en el que proposaven un nou mètode per a construir mapes basats en qualsevol tipus de dades. Abans, els mapamundis es feien a partir de projeccions com la cilíndrica de Miller (que és la que teniu a la part superior de la imatge), la de Robinsom o altres, i només consideraven la forma i extensió dels diferents països i continents. L’algorisme de Gastner i Newman es basa en el principi físic de la difusió. La seva idea és el que recentment ha permès crear mapes fortament il·lustratius de les desigualtats al món. Per veure-ho en un exemple, suposem que volem dibuixar un mapa com el de dalt, que mostri la riquesa de cada país. Comencem estenent un mapa clàssic del món damunt la taula, i pintem tots i cadascun dels països amb pintura a l’aigua i amb una densitat de colorant que sigui proporcional al valor de la seva riquesa. Si ho deixem en repòs en un ambient humit per a que la pintura no s’assequi, el colorant s’anirà difonent a través de les fronteres entre països, migrant dels països més rics als més pobres fins que al final, la concentració de colorant serà uniforme a tot el mapa. Doncs bé, a la proposta de Michael Gastner i Mark Newman, l’extensió final de cada país es troba a partir de la regió on han migrat i s’han establert les seves partícules de colorant. Una altra manera de veure-ho és pensar que construïm petites parets verticals elàstiques (per exemple, de goma) a totes les fronteres i límits dels països, i que omplim la zona corresponent a cada país amb aigua, com si fos una piscina, fins una alçada proporcional a la seva riquesa. La pressió de l’aigua dels països més rics  empenyerà les seves fronteres tot reduint la mida dels més pobres, en un procés de difusió de pressió que acabarà quan totes les alçades d’aigua s’equilibrin al mateix nivell. L’algorisme de Gastner i Newman dóna bons resultats, i ha estat molt utilitzat els darrers anys. Per a més detalls, podeu consultar l’article original de Michael Gastner i Mark Newman.

Ciència i antílops

dimecres, 11/05/2016

Pocs llibres de física acaben sent un best-seller, i el darrer llibre d’en Carlo Rovelli ho ha estat. A Itàlia se’n han venut més de 400.000 exemplars, i ara es traduirà a 34 idiomes. Per sort, ja en tenim una versió en català, que us recomano. Crec que l’èxit és degut a l’entusiasme de Rovelli i a la claredat del que diu, però també a que ens sap transmetre que quan parlem de física parlem també de nosaltres mateixos (en paraules seves). En Carlo Rovelli ens ho sap explicar, de la mateixa manera que ens deixa compartir la bellesa de les construccions científiques. La imatge d’aquí al costat, que he tret d’aquest vídeo d’una de les seves conferències, mostra els homes que cerquen, entre la pols de la sabana, el rastre d’un antílop. Rovelli ho comenta com una de les primeres mostres de l’actitud científica humana, basada en escrutar els detalls de la realitat per deduir-ne el que no veiem directament, però del qual podem seguir el rastre.

Nosaltres no veiem mai el temps, només veiem fenòmens, diu. Però això no lliga amb la nostra experiència: tots sabem que en els fenòmens més quotidians, el temps compta. Rovelli explica que el temps és un fenomen com la temperatura o la transició de líquid a gas: Els àtoms individuals no són sòlids o líquids, càlids o freds, però quan hi ha molts àtoms junts es formen “objectes” macroscòpics, que tenen certes propietats en el seu conjunt. I el que passa és que aquestes variables macroscòpiques sí que inclouen la noció del temps.

Rovelli explica també que el nostre cos és física i que per tant som física. Diu que de vegades pensem en nosaltres com una cosa a part de la natura, com si fóssim una cosa artificial, i que no és així, perquè també som part integrant del món que veiem, no som observadors externs. Explica que estem fets exactament dels mateixos àtoms i dels mateixos senyals de llum que també s’intercanvien els pins de les muntanyes i els estels de les galàxies, que el nostre ADN és ple de física, i que el nostre cervell també. A mesura que el nostre coneixement ha augmentat, hem après cada cop més que formem part, una petita part, de l’Univers. Hi estem ficats, i la perspectiva que en tenim és des de l’interior. El color dels arbres i de les flors és molt més del que veiem, i és bo ser-ne conscients: mai podrem copsar la totalitat de qualsevol fenomen natural. Veiem rastres, a partir d’aquests rastres fem interpretacions, i acabem descobrint relacions entre diferents fenòmens. La ciència és una mirada cap a la realitat, una mica menys velada que la que obtenim de la nostra ofuscada banalitat quotidiana. Una realitat que, com diu Rovelli,  sembla feta de la matèria de què estan fets els nostres somnis, i que tanmateix és més real que el nostre emboirat somni quotidià.

La historia de la ciència dels dos darrers segles és la historia de com les respostes es converteixen en preguntes i de com les certeses es tornen dubtes. Fa només 200 anys, Pierre Simon de Laplace creia que la ciència ho podria arribar a explicar tot. Laplace deia que una intel·ligència que, en un moment donat, conegués totes les forces i la situació respectiva dels éssers de què es compon la natura, tindria tant el futur com el passat davant els seus ulls. I pensava que això podria arribar a passar. La ciència de Laplace era la de les certeses i respostes. Però el segle XX ens va obrir els ulls i vam entendre que mai ho sabríem tot. L’any 1908, Poincaré ja va dir que les prediccions a llarg termini són impossibles perquè la situació actual només la podem conèixer aproximadament. Després, l’any 1963 Edward Lorenz ho va aplicar a la meteorologia i va posar la primera pedra de la teoria del caos. En poques paraules, ara sabem que la previsió del futur suficientment distant és absolutament impossible. Encara que molts no ho pensin així, la ciència actual té moltes més preguntes i dubtes que respostes.

En Carlo Rovelli parla també de dues activitats humanes ancestrals: la creació de relats i el seguiment de rastres. Diu que els relats lliures i fantàstics que els homes s’han explicat, de nit, a la vora del foc, durant centenars de mil·lennis, s’han complementat sempre amb la mirada d’aquests mateixos homes, a les primeres llums de l’alba, que busquen entre la pols de la sabana el rastre dels antílops. Rovelli creu que la confusió entre aquestes dues activitats humanes diferents, inventar relats i seguir rastres per trobar una presa, és l’origen de la incomprensió i de la desconfiança envers la ciència d’una part de la cultura contemporània. Diu que la separació és molt fina, perquè l’antílop caçat a trenc d’alba no s’allunya gaire del déu antílop dels relats del capvespre. El límit és relliscós, perquè els mites s’alimenten de la ciència i la ciència s’alimenta de mites. Però queda el valor cognoscitiu del saber i la seva aplicació tecnològica: Si trobem l’antílop, podrem menjar.

Sabem ben poca cosa, però és increïble el profit que hem tret del poc que em pogut arribar a entendre. Els propers anys disposarem de tecnologies per a la generació d’energia verda i sostenible, d’eines informàtiques basades en internet que podran ser la base dels nous sistemes democràtics i de comunicació del segle XXI, de sistemes tecnològics que podrem emprar per a reduir les desigualtats i garantir els drets humans, i de noves eines (basades per exemple en internet i realitat virtual) per a la solució pactada i negociada dels conflictes. Les utilitzarem amb aquests objectius?

———
Per cert, en Bru Rovira diu que veu remarcable el fet que els polítics europeus partidaris del tancament de fronteres i de la filferrada de punxes, siguin els mateixos que negocien en secret el tractat de lliure comerç amb els Estats Units

Els escons virtuals i la regla d’Hondt

dijous, 5/05/2016

De tant en tant, els mitjans de comunicació parlen de resultats electorals. Quan la gent opina sobre els defectes de la llei electoral actual, moltes vegades cita la regla d’Hondt com una de les fonts de tots els problemes. Com és que un vot de Barcelona no compta el mateix que un vot de Lleida? Com és que tal partit va aconseguir molts escons a les darreres eleccions, mentre que d’altres es van quedar amb menys escons dels que hauríem pensat que els corresponien?. La relació entre escons mai és igual a la relació entre nombre de vots. Per què els escons resultants no són proporcionals als vots emesos? Com es reparteix el pastís?

La resposta és senzilla. Però la manca de proporcionalitat no té gaire res a veure amb la regla d’Hondt. Perquè la regla d’Hondt, com veurem tot seguit, només és un algorisme d’arrodoniment. La manca de proporcionalitat és conseqüència d’altres factors que també formen part de les regles del sistema electoral i que tenen una forta influència ja abans del repartiment d’escons: les circumscripcions i la barrera electoral. El que fa que un vot de Lleida no tingui el mateix valor que un vot de Barcelona són les circumscripcions, i el que causa que alguns partits quedin fora del Parlament és la barrera electoral, que actualment i a Catalunya és del 3% (és ben sabut que tots els partits que obtenen menys del 3% dels vots queden fora del recompte). D’altra banda, el parlament català té un total de 135 escons que ja han estat repartits prèviament entre les quatre circumscripcions: els votants de Barcelona s’encarreguen d’elegir-ne 85, els de Girona 17, els de Lleida 15 i els de Tarragona, 18. Amb aquesta pre-assignació, a les passades eleccions del 27-S és ben fàcil veure que a Barcelona, un escó necessitava un total de 34.777 vots en mitjana, mentre que a Lleida aquest valor era de 13.893 vots. Només cal dividir el nombre de vots a candidatures amb representació parlamentària, pel nombre d’escons (vegeu la nota al final).

Per entendre-ho, deixeu-me parlar del que anomenaré escons virtuals. El concepte és ben fàcil, perquè ve de la proporcionalitat, que a primera vista sembla el més desitjable. Després d’unes eleccions, dividim el nombre total de vots vàlids pel nombre d’escons. El resultat és el nombre de vots que caldrien, en un sistema totalment proporcional, per obtenir un escó al Parlament. A les passades eleccions del 27-S, aquest valor va ser de 30.313,7. Si imaginem que no tenim cap barrera electoral, la cosa sembla senzilla. Com que cada 30.313,7 vots és un escó, només cal dividir el nombre de vots que ha obtingut cada partit per aquest valor de 30.313,7, i tindrem el nombre d’escons que corresponen a cada candidatura. El problema és que el nombre d’escons ha de ser sempre enter, i evidentment el resultat d’aquestes divisions no ho és. Per això, al resultat d’aquestes divisions l’anomeno “nombre d’escons virtuals“. És fàcil veure (vegeu la nota al final) que en aquest cas hipotètic de sistema proporcional sense barrera electoral, el nombre d’escons virtuals de JxSí, CCs, PSC, CSQEP, PP, la CUP, Unió i el PACMA a les darrers eleccions del 27-S va ser de 53.7, 24.3, 17.3, 12.1, 11.5, 11.1, 3,4 i 0.99 respectivament. Per què és tan diferent del nombre final d’escons, que va ser de 62, 25, 16, 11, 11, 10, 0 i 0?. No pas per la llei d’Hondt, sinó per com tenim definides les circumscripcions i la barrera electoral. A la nota del final podeu veure també les dades per a dues circumscripcions concretes: la de Lleida i la de Barcelona. Els càlculs per cada una d’aquestes circumscripcions són clars i nets: mostren que el repartiment final d’escons que fa la llei d’Hondt no és més que un arrodoniment del valor dels escons virtuals. Per exemple, i en el cas de Barcelona, el nombre d’escons virtuals de JxSí, CCs, PSC, CSQEP, el PP i la CUP va ser de 32.001, 16.7, 12.12, 8.99, 7.84 i 7.34 respectivament. Podeu veure que el nombre final d’escons (que ser de 32, 17, 12, 9, 8 i 7) és sempre un arrodiment per sobre o per sota del valor corresponent d’escons virtuals. La llei d’Hondt fa petits moviments de menys d’un escó per assignar cada escó virtual a un nombre enter d’escons reals, però no fa més que això.

El mètode d’Hondt va ser inventat l’any 1878 pel matemàtic i advocat belga Victor D’Hondt, i és el més conegut d’aquests algorismes d’arrodoniment. Consisteix en escriure els vots obtinguts per cada partit a la primera columna d’una taula de doble entrada, escriure aquests valors dividits per 2 a la segona columna, posar els quocients de les divisions per 3 a la tercera columna, i així successivament. Un cop fet això, els escons es van assignant a partits escollint simplement valors de la taula de més gran a més petit.

La regla d’Hondt s’utilitza per a les eleccions al Parlament Europeu. A més de Catalunya i Espanya, el fan servir Àustria, Bèlgica, Bulgària, Finlàndia, Gal·les, Escòcia, Israel, el Japó, els Països Baixos, Polònia, Portugal, Suïssa i molts altres. Es parla també de la regla D’Hondt modificada, en què només es consideren els partits que han superat el percentatge de la barrera electoral; però crec que és més clar pensar que són dos processos diferents: en primer lloc s’aplica la regla de la barrera electoral, i a continuació la regla de d’Hondt, només als partits que han superat la barrera. En tot cas, no és pas l’únic. Hi ha països com Nova Zelanda, Noruega, Suècia, Dinamarca i altres que utilitzen la regla de Sainte-Laguë. No és més que un altre sistema d’arrodoniment, que afavoreix menys els grans partits que l’algorisme d’Hondt, i que crea les columnes de la taula dividint per 1, 3, 5, 7… enlloc de fer-ho per 1, 2, 3, 4… I encara n’hi ha molts d’altres: el de Hare, el de Droop, el de Huntington-Hill, etc. Tots ells són mètodes aritmètics senzills que acaben donant una solució al problema de l’arrodoniment dels escons virtuals, amb algorismes que s’anomenen de “la màxima mitjana” perquè el següent escó sempre s’assigna al partit que té el valor més gran, d’entre tots els que queden a la taula. L’interessant és que es fàcil demostrar que l’únic que fan tots i cadascun d’ells és modificar en menys d’una unitat cada escó virtual, portant-lo o bé al valor enter de sobre o bé al de sota. Però aquest és un problema que, en el cas de N partits, té un màxim de 2 elevat a la N solucions (en d’altres paraules, en els cas dels 6 partits del 27-S, hi ha fins a 32 maneres diferents d’arrodonir els escons virtuals per sobre o per sota; però són menys perquè tenim la restricció que el nombre total d’escons del parlament ens ve fixat, vegeu un cop més la nota al final). El mètode d’Hondt ens en dona una, no necessàriament millor que les altres possibles solucions. El resultat sempre agradarà a uns més que a d’altres.

Però, si el problema no és la regla d’Hondt sinó les les circumscripcions i la barrera electoral, perquè no ho canviem i ho millorem? Aquest és un tema molt relliscós, perquè no hi ha cap sistema perfecte, tot té les seves avantatges i inconvenients i sempre hi ha qui guanya i qui perd. Tenir una barrera electoral redueix el nombre de partits presents al Parlament i facilita els pactes, però deixa sense escó alguns partits que tenien més d’un escó virtual tot deixant  sense representació els seus votants. Eliminar la barrera electoral és més representatiu, però dificulta els pactes posteriors. Pensar en poques (o una) circumscripcions electorals  significaria que tots hauríem de votar la mateixa llista amb uns candidats que forçosament serien molt llunyans als electors. Pensar en tantes circumscripcions com escons (135) permetria que poguéssim votar llistes amb candidats coneguts i propers al territori, però a cada circumscripció només seria elegit el més votat, i tots els partits petits quedarien fora del Parlament. Ja ho va dir Arrow en el seu teorema: el sistema electoral perfecte no existeix ni podrà existir mai.

No és fàcil fer una llei electoral, però no caiguem en la temptació de donar la culpa a les matemàtiques, a Victor D’Hondt i als algorismes d’arrodoniment. Pensem en canvi en si preferim anar a llistes obertes, en si volem barreres electorals i en com definim les circumscripcions electorals. No condemnem l’eina, quan som nosaltres els que no ens hem pogut posar d’acord en com han de ser els aspectes més polítics de la nova llei electoral.

Per cert, l’Enric Casulleras denuncia molts aspectes del TTIP, com per exemple que, amb l’argument de donar seguretat jurídica a les inversions, els conflictes entre països i empreses hagin de ser resolts per un comitè d’arbitratge privat. Diu que preferiria que apostéssim per les energies renovables que per la importació de gas americà provinent de fracking.

———

NOTA: A les eleccions al Parlament català del passat 27 de setembre, van votar un total de 4.130.196 persones. Restant els vots nuls i blancs, el total de vots a candidatures va ser de 4.092.349. Si no tinguéssim cap barrera electoral i Catalunya fos una única circumscripció, el nombre de vots per escó hagués estat de 30.313,7. Amb les dades disponibles dels resultats electorals, només cal dividir el nombre de vots de cada candidatura per 30.313,7 per veure que el nombre d’escons virtuals de JxSí, CCs, PSC, CSQEP, PP, la CUP, Unió i el PACMA hauria estat de 53.7, 24.3, 17.3, 12.1, 11.5, 11.1, 3,4 i 0.99 respectivament (utilitzo la notació anglesa del punt decimal per clarificar el significat de les comes). En aquest cas, la llei d’Hondt hagués atorgat 53 o 54 escons a JxSí, 24 o 25 a CCs, 17 o 18 al PSC, 12 o 13 a CSQEP, 11 o 12 al PP, 11 o 12 també a la CUP, 3 o 4 a Unió i probablement 1 escó al PACMA. Quina diferència, oi? Però tots haguéssim hagut de votar la mateixa llista amb els mateixos candidats. Un exemple a l’extrem oposat seria pensar que tenim 135 circumscripcions, tantes com escons. Cada u podria votar una llista amb candidats coneguts i propers al seu territori, però només seria elegit el més votat. Però el que passaria en aquest cas és que els partits petits quedarien fora del Parlament.

Com és ben conegut, el que tenim a Catalunya (a falta d’una nova llei electoral que mai acaba de tirar endavant) és un sistema amb quatre circumscripcions que coincideixen amb les províncies i amb una barrera electoral del 3%. Analitzem, a tall d’exemple, els resultats electorals del passat 27-S a dues de les circumscripcions: Lleida i Barcelona. A Lleida, un cop aplicada la barrera electoral, els partits amb més del 3% dels vots van obtenir un total de 208.395 vots. Com que el nombre d’escons a Lleida és 15, el nombre de vots per escó va ser de 13.893. Si ara dividim el nombre de vots de cada candidatura per 13.893 veiem que el nombre d’escons virtuals de JxSí, CCs, PSC, la CUP i el PP és de de 9.14, 1.92, 1.39, 1.35 i 1.21 respectivament. Fixeu-vos que el resultat que va donar la llei d’Hondt és de 10, 2, 1, 1 i 1 escons respectivament, que no són més que valors arrodonits a partir dels escons virtuals (CSQEP a Lleida va quedar fora del repartiment en haver quedat per sota de la barrera electoral). D’altra banda, a Barcelona, un cop aplicada la barrera electoral, els partits amb més del 3% dels vots van obtenir un total de 2.956.100 vots. Com que el nombre d’escons a la circumscripció de Barcelona és 85, el nombre de vots per escó era de 34.777,65. Si ara dividim el nombre de vots de cada candidatura per aquest valor de 34.777,65 veiem que el nombre d’escons virtuals de JxSí, CCs, PSC, CSQEP, el PP i la CUP és de 32.001, 16.7, 12.12, 8.99, 7.84 i 7.34 respectivament. Un cop més, el resultat que va donar la llei d’Hondt va ser de 32, 17, 12, 9, 8 i 7 escons, que tornen a ser valors que trobem per arrodoniment a partir del valor dels escons virtuals.

Pel que fa al total de solucions que podem trobar per arrodoniment en una determinada circumscripció, tornem a analitzar els resultats a Lleida i Barcelona. En el cas de Lleida, si arrodoníssim per sobre tots els escons virtuals, tindríem que els escons corresponents a JxSí, CCs, PSC, la CUP i el PP serien 10, 2, 2, 2 i 2. Seria una solució que agradaria a tots els partits perquè tothom hi surt guanyant, però no és vàlida perquè això suma 18 i només podem repartir 15 escons. Les solucions vàlides forçosament han d’arrodonir per sota tres dels partits, per a fer que la suma baixi de 18 a 15. El nombre de solucions possibles en aquest cas és el nombre de combinacions de 5 elements agafats de 3 en 3, que és 10. La regla d’Hondt, que va arrodonir per sobre JxSí i CCs tot arrodonint per sota els altres tres, és una d’aquestes deu possibles solucions. En el cas de Barcelona, amb sis partits, si arrodoníssim per sobre tots els escons virtuals, tindríem que els escons corresponents a JxSí, CCs, PSC, CSQEP, el PP i la CUP serien 33, 17, 13, 9, 8 i 8. També és una solució no vàlida perquè suma 88 i només podem repartir 85 escons. Igual que abans, les solucions vàlides han d’arrodonir per sota tres dels partits, per a fer que la suma baixi de 88 a 85. El nombre de solucions possibles en aquest cas és el nombre de combinacions de 6 elements agafats de 3 en 3, que és 20. La regla d’Hondt, que va arrodonir per sobre CCs, CSQEP i el PP tot arrodonint per sota els altres tres, és una d’aquestes vint possibles solucions. Si utilitzeu en canvi el mètode de Sainte-Laguë, trobareu una altra d’aquestes possibles solucions, que afavoreix més els partits petits.

 

Els colors invisibles

dijous, 28/04/2016

Som animals visuals. La immensa majoria de la informació que percebem és visual. Els ulls ens expliquen el món, ens llegeixen llibres i ens mostren fotos i pel·lícules. Els humans percebem el color gràcies a unes cèl·lules de la retina anomenades cons. De fet, tenim tres tipus de cons que detecten zones diferents de l’espectre. Uns tenen màxima sensibilitat en la zona dels vermells, uns altres en la dels verds i uns darrers en la zona dels blaus. En el seu funcionament, la nostra retina no és massa diferent dels sensors de les càmeres de fotos digitals, que també capten per separat el vermell, el verd i el blau. Només que en lloc de megapíxels, tenim megacons: uns sis milions i mig de cons a cada retina. Això sí, complementats amb prop de 120 milions de bastons que només poden captar informació en blanc i negre i tons de gris. En d’altres paraules, la nostra percepció visual és bàsicament no cromàtica, com podem observar al capvespre: quan es fa fosc, hi ha un moment en què perdem els colors i només hi veiem en blanc, gris i negre.

El nostre sistema perceptiu ha anat evolucionant durant milions d’anys i ha acabat en un sistema que filtra i processa senyals de cons i bastons. El cervell ho integra tot, però tots els nostres records visuals es basen en el que han captat els bastons i els cons dels tres canals vermell, verd i blau. Un sistema que ens és òptim i suficient per sobreviure.

La física ens diu que el color és una propietat de la llum, que la llum són fotons, que hi ha fotons de moltíssimes longituds d’ona, i que cada color és una determinada barreja de fotons de diferents zones de l’espectre visible. Fixeu-vos en aquesta imatge, que podeu trobar també en aquesta pàgina web. Mostra quatre diagrames de potència espectral, corresponents a la llum solar, a la d’una bombeta de LEDs, a una bombeta típica d’incandescència i a un fluorescent. Bàsicament ens diu quina és la barreja que hem de fer de fotons de diferents longituds d’ona (fotons que corresponen als colors purs de l’arc de sant Martí) per obtenir el color de cada una d’aquestes llums. Veiem que la llum solar és una barreja bastant uniforme de fotons de tot tipus, mentre que la de les bombetes incandescents, més groga, és una barreja amb pocs fotons de la zona dels blaus i molts més de la zona dels grocs, taronges i vermells. Altrament, la llum dels fluorescents és poc (massa poc) diversa.

Imagineu que els nostres ulls tinguessin uns “super-cons” capaços de detectar la barreja exacta de fotons que arriba a cada un dels punts de la retina. Veuríem els colors amb tota la seva plenitud, perquè cada super-con estaria enviant al cervell la corba espectral de la llum que li arriba. En una habitació il·luminada amb un fluorescent, quan obríssim la finestra i entrés la llum del sol, podríem distingir la barreja harmònica de fotons a les zones banyades per la llum del Sol de la pobresa cromàtica dels objectes que només reben la llum artificial. Si sortíssim al camp, sabríem veure quins arbres tenen problemes i envelliran més ràpid, perquè el color verd dels arbres sans té un diagrama de potència espectral diferent al dels malalts. Però nosaltres només tenim sensors retinals en tres canals cromàtics; simplement veiem els arbres verds perquè no podem distingir totes les possibles barreges de fotons. De fet, hi ha una paraula per aquest fenomen: els colors diferents però que el nostre ull no pot distingir s’anomenen metàmers.

Els nostres ulls no tenen super-cons perquè és un luxe que l’evolució no ens ha permès. Però en podem fabricar. Hem aprés a fabricar ulls artificials que veuen i poden distingir els colors que ens són invisibles. Són els espectròmetres d’imatge o càmeres hiper-espectrals. Un dels més sofisticats, l’Airbone del projecte AVIRIS, capta fotons en 224 canals distribuïts al llarg de tot l’espectre. En lloc d’una simple imatge en color, l’espectròmetre d’imatge del projecte AVIRIS genera un volum de color, com podem veure en aquesta web, amb 224 valors a cada píxel que ens diuen com hauríem de barrejar fotons de cada una d’aquestes 224 regions de l’arc de sant Martí (incloent infraroig i ultraviolat) per tal de reconstruir de manera molt precisa l’estructura de la llum que ha captat aquest píxel. El volum de color de les càmeres hiper-espectrals és a l’espai (x,y,L), on (x,y) son les típiques coordenades 2D de les imatges digitals i L (lambda) és la longitud d’ona dels fotons.

L’interessant de tot plegat és que aquests colors invisibles que capten els espectròmetres d’imatge ens diuen la composició química del que veiem a cada píxel de la imatge, perquè cada compost químic té un patró diferent d’absorció de fotons. L’observatori orbital del carboni, OCO-2, que dona voltes a la Terra des de fa més d’un any, ha pogut fotografiar les plomes o columnes de diòxid de carboni que pugen cap al cel als llocs on es cremen boscos (est del Brasil, sud de l’Àfrica, nord d’Austràlia) i que són invisibles als nostres ulls i a les càmeres digitals. Aviat podrem detectar les columnes inverses a les regions que absorbeixen i capturen diòxid de carboni, perquè aquests espectròmetres d’imatge detecten concentracions de CO2 de només una molècula per milió. La imatge de dalt és del vídeo de la selva humida de l’Amazones a Perú que podeu veure a aquesta pàgina web, obtingut a partir de les imatges captades per un espectròmetre d’imatge a bord d’un avió. Els arbres sans es poden distingir perfectament dels que demanen més aigua. Greg Asner, autor de l’article, diu que aquestes tècniques són com una mena d’anàlisi de sang dels boscos i de la salut del planeta. L’altre autor, Painter, explica que durant la propera dècada, amb nous satèl·lits equipats amb espectròmetres d’imatge, podrem identificar arbres individuals des de l’espai i saber la seva espècie i el seu grau d’estrès hídric. Seran sistemes de diagnosi del planeta, locals i precisos. Asner i Pinter acaben dient que nosaltres i la nostra tecnologia som la única esperança que tenim per guarir tot el que hem causat. Esperem-ho…

———

Per cert, i ves per on, L’Aràbia Saudita vol acabar amb la seva «addicció» al petroli. El seu projecte inclou mesures per diversificar l’economia en els propers 14 anys amb la finalitat de poder sortir-se’n a curt termini sense petroli.

Por a la ciència i ciència contra la por

divendres, 22/04/2016

Volia parlar d’altres coses, però llegint el diari he canviat d’opinió. Reconec que les actituds negatives envers la ciència i la tecnologia em remouen. Per exemple, a la crònica de la conversa entre l’escriptor portuguès Gonçalo Tavares i el novel·lista Juan Tallón al Festival MOT, llegeixo que “els dogmes de la tecnologia i l’economicisme, junts, imposen la rapidesa, l’eficiència i la utilitat com a valors dominants”. Segur que la tecnologia imposa alguna cosa? La frase segurament és certa pel que fa a l’economicisme, perquè és una manera de veure el món. Però la tecnologia i la ciència són mitjans essencials per entendre aquest món tan complex en el que vivim, mitjans que no podem deixar de banda. Cal tenir cura, perquè és molt fàcil condemnar la daga enlloc de fixar-se en el braç que la clava.

Comparteixo l’opinió de Gonçalo Tavares quan diu que la literatura és per damunt de tot un mitjà per entendre el comportament humà. Només afegiria que la mateixa literatura és un sistema tecnològic que opera sobre el cervell i els costums d’escriptors i lectors, perquè la literatura és tecnologia, com crec que ja deia en Walter Benjamin. En el món actual tot és imbricat, i decidir què no és tecnologia pot arribar a ser molt difícil. Però en tot cas no crec que serveixi de gaire res, perquè el que sí és clar és que la tecnologia no imposa cap valor dominant. Els únics responsables som nosaltres, que la podem usar amb criteris de rapidesa, utilitat, poder i domini o bé amb criteris de serenor, tolerància i sostenibilitat. És cert que, com diu Gonçalo Tavares, amb velocitat no hi ha memòria possible, i que sense memòria l’horror del passat es pot tornar a repetir. Però justament crec que cal promoure aquest ús lent, reflexiu i responsable d’internet i les noves tecnologies, amb la idea que internet pot ser una molt bona eina per aprendre i reflexionar amb esperit crític i temps per sedimentar les notícies. El futur passa probablement per l’ús lent i reflexiu de les noves tecnologies.

Intueixo que moltes de les crítiques que es fan a la tecnologia i a la ciència es fan des del desconeixement, perquè el desconeixement crea mites i els mites són bons fabricants de por i rebuig. És una pena. Ens caldrien molts més científics de lletres (així és com en Javier Sampedro va batejar l’Oliver Sachs), i hauríem de tenir molts més escriptors i humanistes interessats per la ciència i la tecnologia. En José Miguel Mulet explica que la por a la ciència sempre ha estat present d’una forma o altra en la societat, tot citant l’obra de filòsofs com Paul Feyerabend. Mulet pensa, en canvi, que la tecnologia és al servei de l’home perquè sempre s’ha desenvolupat en funció de les idees humanes, amb l’objectiu de viure millor. I si és una obra nostra, el millor que podem fer és entendre-la. Com explica en Jorge Wagensberg, és impossible fer una anàlisi crítica del que passa al món sense uns mínims coneixements de ciència i tecnologia, de la mateixa manera que ens serà difícil entendre qualsevol cultura sense saber el seu idioma.

No hem de tenir por a saber. El coneixement, la lectura assossegada, les ganes de saber filosofia, ciència, tecnologia, i humanitats i el gaudir de les arts són sempre positius. Però és més. La ciència ens pot ajudar a sortir d’aquest estrany món convuls i en transició en el que ens ha tocat viure. El prestigiós científic Freeman Dyson, al seu llibre “Sun, Genome, Internet”, suggereix que tenim tres tecnologies que avancen ràpidament (l’energia solar, l’enginyeria genètica i internet) que juntes tenen el potencial de crear una distribució més equitativa de la riquesa del món i de fer-nos més humans.

I la ciència ens ajuda contra la por. Perquè crec sincerament que el missatge de les amenaces terroristes és un parany en què no hem de caure. Aquí a casa nostra no ens cal més seguretat, perquè el lloc on és més probable que hi hagi el proper atac terrorista no és pas a prop nostre. Mireu la imatge de dalt (que he tret d’aquesta web). És un gràfic de la probabilitat (risc) de mort als paisos occidentals per diverses causes. De veritat penseu que, mirant bé el gràfic, hem d’invertir milions i milions d’euros en seguretat? La ciència ens ofereix la possibilitat de viure i decidir en base a la quantificació de les probabilitats. Si cada matí, quan sortim de casa, pensem en aquest gràfic de riscs, tal vegada tindrem menys por del terrorisme, demanarem menys seguretat, i en canvi demanarem que els diners de la necessària reducció de despeses en armament és reinverteixin en sanitat, educació, recerca i sistemes energètics sostenibles que acabin deixant un món millor als nostres néts.

———

Per cert, la Silvia Federici diu que el món és summament pervers i que això li provoca una angoixa terrible. Però diu: “quan em sento deprimida penso que avui naixeran nens i nenes, i què els direm que vam fer? Els espera tota una vida, i s’ha de fer alguna cosa”

El mestre polièdric

dimecres, 13/04/2016

Vaig entrar a la Universitat sent gairebé un nen i vaig sortir-ne amb alguns coneixements però amb moltes ganes de saber i d’entendre. Una de les coses estranyes que vaig aprendre i que encara recordo és el concepte de clotoide.

Vaig descobrir les clotoides i vaig aprendre a calcular-les de la mà d’en Martí Vergés, ara fa quasi cinquanta anys. Vaig tenir la sort i el privilegi d’entrar al grup dels qui el vam tenir de mestre. Perquè en mig de la foscor del franquisme, el Laboratori de càlcul i mecànica d’en Martí Vergés era quasi irreal. Era un espai de llibertat, una illa amb ambient obert i autènticament universitari. El repte era resoldre problemes de tot tipus, des de la generació de música sintètica al càlcul d’estructures passant per la mesura de la velocitat dels nostres reflexes, amb el primer ordinador que hi va haver al nostre país, l’IBM 1620. Recordo que el laboratori era sempre obert i que en Vergés no tancava mai els llibres de la biblioteca. Podíem anar-hi sempre que volíem, amb la única precaució d’apuntar-nos abans a una agenda per evitar conflictes. Quan teníem dubtes, en Martí Vergés era a la seva taula, disposat a parlar-ne, en converses que podien anar derivant fins temàtiques tan inversemblants com l’astronomia, la biologia o el procés constructiu de les catedrals. Hi anaves amb dubtes concrets sobre la resolució d’arrels de polinomis i acabaves aprenent i dubtant sobre el nostre caràcter, efímer, d’agregats biològics. Amb en Martí Vergés vam poder veure en directe aquesta actitud renaixentista tan seva, l’interès per tot, la capacitat de sorprendre’s dia a dia com un nen. I jo vaig aprendre també una altra cosa que m’ha marcat sempre més: la constatació que, encara que les nostres eines de càlcul siguin limitades, podem acabar resolent problemes molt complexes. Diuen que no és bo caçar mosques a canonades. Amb el limitadíssim 1620, en canvi, en Martí Vergés ens va ensenyar a ensinistrar elefants amb un escuradents. Només calia llegir, aprendre, pensar assossegadament, i anar refinant i destil·lant solucions que amb una mica de sort cada cop anaven sent més enginyoses.

Però, què són les clotoides? Doncs són corbes espirals planes amb la propietat que la seva curvatura és proporcional a la distància que recorrem al llarg de la corba. Com que tot això pot sonar una mica estrany i “matemàtic”, anem a un exemple. Imaginem que conduïm a 80 Km/h per una carretera recta i que entrem en una corba. Suposem també que qui ha dissenyat la carretera ha fet que la corba tingui la forma d’un arc de cercle que connecta directament amb el final del tram recte. És fàcil veure que no és una solució recomanable perquè obliga tothom a fer un cop brusc de volant en entrar a la corba. Cal només tenir en compte que el gir del volant és proporcional a la curvatura de la corba (la curvatura és 1/R on R és el radi de la mateixa), i que amb el disseny que acabem de comentar, estem obligant que el gir del volant passi de cop de ser zero al valor requerit per la corba. De fet s’ha vist que hi ha una solució molt millor: incloure corbes de transició suau entre les rectes i els arcs circulars de les corbes a totes les carreteres, autopistes i vies de tren. Aquestes corbes de transició, que aconsegueixen que la variació d’acceleració centrífuga sigui paulatina, suau i constant quan entrem a les corbes a velocitat constant, són justament les clotoides. En d’altres paraules, si volem poder conduir suaument per les carreteres, necessitem conèixer les clotoides. La imatge de dalt mostra les cintes perforades (anteriors a les targes perforades) que utilitzàvem per calcular clotoides amb el 1620.

El proper dimecres dia 20 d’abril, la Universitat farà un acte d’homenatge al professor Martí Vergés. Aquí trobareu més dades, així com un bon nombre d’escrits i documents sobre què va significar per a uns quants de nosaltres.

Vaig entrar a la Universitat sent gairebé un nen i vaig sortir-ne amb grans dubtes sobre la visió oficial del món, amb la convicció de la importància d’una cultura de pau, i amb una bona dosi de curiositat per la cultura, la filosofia, la ciència i les matemàtiques. Crec que, com diu un bon amic, vaig ser dels afortunats que vam rebre el “gen Vergés”.

Per cert, en Xavier Roig diu que som un país d’escanyats, i que hem optat, descaradament, per no gastar ni un euro en productivitat. Recorda que productivitat vol dir invertir en tecnologia, formació, reorganització dels procediments i, molt important, pagar bé als que treballen.

Per què el cel de nit és negre?

dimecres, 6/04/2016

Tal vegada us ho heu preguntat alguna vegada. Wilhelm Olbers ho va fer fa quasi 200 anys, i va formular la paradoxa que ara porta el seu nom. S’ho va plantejar mogut pel seu esperit inquiet, que el portava a voler entendre el per què de les coses que tothom trobava naturals. La seva paradoxa era aquesta: com és que el cel de nit és negre si hi ha milers de milions de galàxies, cada una amb milers de milions d’estels que envien fotons a l’espai des de fa milers de milions d’anys?

Fa només quatre anys, Alberto Domínguez i Joel Primack ens van explicar la clau del misteri. Simplement, la pregunta no està ben formulada, perquè el cel de nit no és negre. Els dos autors ens ho diuen en llenguatge planer i junt amb Trudy Bell, en aquest article de la revista Scientific American. Alberto Domínguez i Joel Primack van descobrir una dèbil llum extragalàctica de fons (EBL) i la van poder quantificar per primera vegada. Van veure que l’Univers és ple d’un “gas de fotons” enrarit, amb fotons de totes les freqüències i que viatgen per l’espai extragalàctic en totes direccions (vegeu la nota al final).

Mireu la imatge de dalt. És una composició d’imatges de la Via Làctia, feta per l’observatori Europeu Austral de Paranà, al desert d’Atacama. En aquesta web teniu la foto completa, interactiva, que podeu inspeccionar i ampliar per veure’n els detalls. Veient la foto, diríeu que el cel de nit és negre?

De fet podríem fer-nos una altra pregunta: què és el negre? I aquí entraríem en un món inabordable, perquè els darrers cent anys, aquesta pregunta aparentment tan senzilla ha generat milers de pàgines escrites. Per Isaac Newton, el negre era l’absència de llum: el que (no) veiem en una habitació tancada i sense llum a la nit. Però només cal dir que, ara fa un segle, l’estudi de la radiació dels objectes negres va obrir la porta a tota la física quàntica. Perquè no és el mateix estudiar el color negre des d’una perspectiva física (el negre és l’absència de radiació electromagnètica) que mirar-s’ho subjectivament (el negre és quan no veiem res). Fins i tot podem pensar en les eines tecnològiques que hem dissenyat per a millorar i incrementar la nostra visió i que podríem anomenar “ulls artificials” (càmeres d’infraroig, telescopis, càmeres digitals amb temps d’exposició molt llargs). Podem dir que una habitació totalment fosca és negra si resulta que quan fem una foto amb una càmera d’infraroigs, la foto ens mostra que hi havia un got d’aigua calenta? La radiació infraroja d’aquesta aigua, trenca la negror o no? Probablement hem d’acceptar que tot el que d’alguna manera (per exemple, amb telescopis) acabem veient que no és negre, és que no ho és. Per això el cel de nit no és negre…

La imatge i la web interactiva de la Via Làctia em fan pensar en la nostra insignificança. Som agregats de biomassa que existim per una conjunció altíssimament improbable de les lleis físiques de l’Univers. I en canvi, tenim el privilegi de poder mirar i gaudir del cel de nit, de poder fer-ho conscientment, de saber explicar-ho als altres i d’adonar-nos que no és negre. Tot observant la Via Làctia, no puc entendre per què estem produint milions de refugiats que després ens neguem a acollir, i per què tenim aquest afany depredador d’uns recursos naturals que haurien d’estar a l’abast de milers de milions de persones. Per què volem ser els més rics del cementiri, quan no som res?

Per cert, la Judit Carrera diu que el poc ressò de l’atac terrorista que ha patit Lahore als mitjans europeus confirma que hi ha vides amb més valor que d’altres. Pensa que cal entendre millor un món en què l’altre és en nosaltres i en què el coneixement mutu és l’únic antídot que tenim a l’abast contra la por.

————

NOTA: Aquest gas de fotons inclou també la radiació còsmica de fons (CMB, cosmic microwave background) que és que es va generar durant el big bang i és més forta que la EBL. Les CMB i EBL són fàcilment diferenciables i separables degut a que les freqüències de la CMB són més baixes i es troben a la regió de les microones. La llum extragalàctica de fons (EBL) és en canvi dèbil i subtil perquè l’espai extragalàctic és immens si el comparem amb l’espai ocupat per les actuals galàxies o per les que en algun moment han existit, i els seus fotons s’han anat diluint per l’espai. A més, expansió de l’Univers ha causat un desplaçament de la seva freqüència cap al vermell i més enllà, de manera que en gran part ha sortit del nostre espectre visible. Dominguez, Primack i Bell expliquen que el mapa de la radiació EBL és un mapa històric de l’Univers que mostra fins i tot l’evolució de la forma de les galàxies. La radiació de les més antigues, les que habitaven l’Univers quan era jove, té un fort desplaçament cap l’infraroig amb factors que poden arribar a 1,6 i ens presenta galàxies compactes i deformes, amb estels que xocaven entre ells i que encara no havien format els braços giratoris de les actuals galàxies. Les galàxies modernes, en canvi, configuren la part visible i ultraviolada de l’EBL.

Només un detall final: habitualment, el cel de nit que veiem no és negre, però per raons molt més prosaiques. El cel de nit és gris per la nostra contaminació lumínica, que fa que ben sovint no puguem veure quasi cap estel.

L’esfera d’Arquimedes

dimecres, 30/03/2016

Plutarc, a Les vides paral·leles i concretament a les biografies de Pelòpides i Marc Claudi Marcel III, explica que Arquimedes va demanar que a la làpida de la seva tomba gravessin un cilindre i una esfera inscrita, una mica com si féssim una superposició de la semiesfera de l’esquerra de la imatge i el cilindre de la dreta. Sabem que així ho van fer perquè Ciceró, a les Disputaciones tusculanas, explica que va visitar el seu sepulcre a Agrigent, que fins llavors era desconegut per als siracusans i que va trobar envoltat i cobert completament d’esbarzers. Diu: “Mentre jo estava recorrent amb la mirada tota la zona, vaig reparar en una columneta que tot just s’elevava per damunt dels matolls, en la qual hi havia la figura d’una esfera i un cilindre”.

És realment una sort que tinguem aquesta descripció de Ciceró, perquè de la seva tomba no en queda res. Tenim, això sí, un quadre de Benjamin West de l’any 1797 que descriu aquest moment de fa més de dos mil anys amb una bona dosi d’imaginació. Pedro M. González Urbaneja i Joan Vaqué Jordi diuen que hi ha una sorprenent unanimitat a reconèixer Arquimedes (287-212 aC) com el més important dels matemàtics de l’antiguitat. Ho diuen a la presentació de Mètode, publicat ara fa quasi vint anys per la Fundació Bernat Metge. El llibre, que us recomano, inclou un extens text introductori en què González i Vaqué repassen la vida i el context en què va viure Arquimedes. Expliquen, entre moltes altres coses, com va comprovar que la corona d’or del rei Hieró no era d’or pur i com, de pas, va descobrir el famós principi d’Arquimedes mentre cridava (sembla ser) Eureka.

Podríem parlar molt dels descobriments d’Arquimedes. Però el millor i més gran de tots, en les seves pròpies paraules, va ser demostrar que el volum de l’esfera és dos terços del volum del seu cilindre circumscrit. Ell mateix va quedar tan sorprès que va demanar que quedés esculpit en pedra a la seva tomba. El seu raonament es va basar en un resultat previ (i molt bonic) d’Éudox d’Cnidos, que ja havia descobert que el volum del con sempre és un terç del volum del cilindre que té la seva mateixa base i alçada. El que va veure Arquimedes és el que mostra la imatge de dalt. Hi veiem una semiesfera a l’esquerra, un con al centre amb la mateixa base que la sessió equatorial de l’esfera i una alçada igual al seu radi, i un cilindre a la dreta amb les mateixes bases i alçades del con. Si ara fem un tall horitzontal imaginari del conjunt esfera-con, obtindrem seccions de mida diferent segons per on tallem. A dalt veiem per exemple un tall per l’equador de l’esfera, que només toca el con en el seu vèrtex superior. Al mig i a sota, en canvi, veiem el resultat de dues seccions diferents i intermèdies. Dons bé, sigui quin sigui el pla de tall horitzontal, Arquimedes va demostrar que la superfície del tall que queda a l’esfera més la del con, és sempre igual a la del tall del cilindre (vegeu la nota al final, amb més detalls). Sorprenent, oi?  En d’altres paraules: si construïm els tres objectes de la imatge en qualsevol material (plastilina, fusta,…), fem un tall horitzontal de tots tres a qualsevol alçada i tot seguit fem un segon tall molt proper, haurem obtingut tres llesques primes. Si posem ara la llesca del cilindre a un plat d’una balança i les altres dues llesques, de la semiesfera i del con, a l’altre plat, veurem que sempre pesen igual, tallem per on tallem. Un cop fet aquest descobriment, el raonament d’Arquimedes va ser ben senzill, perquè aquest comportament de les llesques fa que el volum del cilindre hagi de ser igual a la suma de volums del con i de la semiesfera. En conseqüència, com que sabem que el volum del con és 1/3 del volum del cilindre, el de la semiesfera ha de ser 2/3 de (pi*R*R)*R, que és el volum del cilindre. I només cal multiplicar per 2 per passar del volum de de la semiesfera al de l’esfera, tot obtenint la ben coneguda formula del volum de l’esfera que Arquimedes ens va regalar.

Arquimedes va morir sense por a mans d’un soldat romà, malgrat les ordres que tenia l’exèrcit en el sentit que no havia de ser ferit.

Per cert, Eva Cantón diu que la Tamara, al quiosc de patates fregides de la Place Jourdan de Bruseles, comenta que no es pensa llevar cada dia amb la por al cos perquè mai sabem on i quan ens passarà alguna cosa.

———

NOTA: El raonament d’Arquimedes es va basar en dos importants resultats anteriors. El de Éudox que ja he comentat sobre el volum dels cons i piràmides, i el teorema de Pitàgores. A la semiesfera de la imatge de dalt i a la fila del mig, imaginem el triangle rectangle definit pel centre de la base superior de la semiesfera, el centre del tall circular pintat en cian a la figura, i el punt més a la dreta d’aquest tall. El catet vertical, que ve definit per la posició del pla horitzontal de tall, suposarem que té una longitud H. El catet horitzontal és el radi del cercle de tall. Direm rT a la seva mesura. Pel que fa a la hipotenusa, la seva longitud és el radi R de l’esfera, que a la vegada és el de les bases del con i del cilindre. Doncs bé, Pitàgores ens diu que el quadrat de R és igual al quadrat de H més el quadrat de rT. Ara bé, H és també el radi de la secció circular del con, perquè el triangle rectangle corresponent que es forma en el con és isòsceles. Si multipliquem la identitat del teorema de Pitàgores pel nombre pi, tenim que pi*R*R = pi*H+H + pi*rT*rT. En d’altres paraules, la superfície del cercle de tall al cilindre és igual a la del tall del con més la del cercle de tall a la semiesfera. Fàcil, oi? Només cal tenir la idea feliç…

Les correlacions i les divisions

dimecres, 23/03/2016

Molts estudis científics mostren que hi ha una forta relació entre la vegetació i la pluja. A les regions de la Terra més verdes i amb més boscos, hi plou força. En canvi, als deserts quasi no hi plou. Aquí teniu per exemple un article publicat a la revista Geophysical Research Letters, que demostra que hi ha un fort grau de connexió entre el clima (en aquest cas, mesurat pel grau de pluviositat) i la quantitat de vegetació que hi ha a cada regió de la biosfera. Els autors mesuren la pluviositat amb l’índex SPI (en fan una mitjana al llarg de cinc mesos per evitar l’estacionalitat) i analitzen la quantitat de vegetació amb l’índex NDVI. Demostren que hi ha una forta correlació entre aquestes dues variables.

La paraula correlació és un concepte estadístic subtil i bonic. Diem que dues variables estan correlacionades quan el valor d’una d’elles varia sistemàticament mentre anem modificant el valor de l’altra. Per exemple, quan anem en cotxe per una carretera, hi ha correlació, en aquest cas positiva, entre els quilòmetres que fem i el temps que portem conduint. De fet, si mantenim una velocitat constant (per exemple, de 120 Km/h) sabem que als 5 minuts haurem fet 10 Km. i que al cap de 13 minuts serem a 26 Km. de la sortida. A mesura que passa el temps, som més lluny, òbviament. El cas de les correlacions negatives, en canvi, es dona quan el creixement d’una implica un decreixement de l’altra, com per exemple el grau de càrrega de la bateria del nostre mòbil: van passant les hores, i la bateria cada cop és menys carregada. Per cert, tant el cas del cotxe com el de la bateria del mòbil són dos exemples de correlació lineal (vegeu la nota al final), que és la més senzilla i la que tractaré en el que segueix.

Però l’interessant del concepte de correlació és que no implica, per si mateixa, cap relació de causalitat entre les variables que estem analitzant. Per això parlem de “co” relació, i no de relació. Això és estrany, a la nostra cultura occidental que ens ha acostumat a voler trobar les causes de tot i a investigar fins determinar qui és el presumpte responsable i culpable del que passa. Quan descobrim una correlació entre dos fenòmens, sabem que hi ha un co-lligam, però ningú ens diu si hi ha relació causal. Quan una regió es va desertitzant, és la manca de vegetació la que fa que hi plogui poc o és l’absència de pluges el que fa que no hi creixi res?

En tot cas, tornem al problema inicial. Deixeu-me que us proposi un petit problema, que si voleu podeu provar de plantejar als vostres amics. A la correlació entre el grau de vegetació (NDVI) i la pluviositat mitjana (SDI), observem que quan NDVI val 0,2 el valor del SDI és de 0,82, mentre que quan NDVI val 0,3, tenim un valor del SDI de 1.5. Com podem calcular el SDI per qualsevol altre NDVI, per exemple NDVI=0,47? . O també aquest altre, que és semblant però amb xifres ficticies i més senzilles: si per 3 Kwh d’electricitat he de pagar 2 cèntims i en canvi, per un total de 16 Kwh em toca pagar 7 cèntims, quin és el preu que hauré de pagar per 11 Kwh?

Aquests són problemes que podríem anomenar “de dos valors”, perquè per trobar la solució, hem de saber què passa a dues regions amb diferents tipus de vegetació. És com, per exemple, la relació entre el PIB i l’índex Gini de desigualtat o com molts altres fenòmens econòmics i socials que es correlacionen. Les matemàtiques ens diuen que, si el problema només té dues variables i la seva gràfica és una linea recta (vegeu un cop més la nota al final), només necessito dos valors per poder entendre el comportament del fenomen (o sigui, la correlació) i fer prediccions per qualsevol altre valor de les dues variables. Però aquí ensopeguem amb una pedra que algú ens ha posat al camí. Molta gent no té massa dificultats per resoldre problemes de proporcionalitat (que només necessiten un valor) mentre que es veuen incapaços de resoldre problemes “de dos valors” com els que he comentat. Anem al mercat. El quilo de mandarines és a 2 euros el quilo. És clar que mig quilo val un euro i que un quilo i mig ens costarà tres euros. Però, si em donen el PIB i l’índex Gini de dos països, sabré donar una estimació de l’índex de Gini d’un tercer país del que conec el PIB?  Les proporcions, que depenen d’un únic valor, són fàcils. Però quan passem d’un a dos valors, tot se’ns fa una muntanya. I és una pena, perquè molts dels fenòmens que passen cada dia al món només es poden entendre com problemes “de dos valors” (o més).

De fet, i tal com deia l’Steven Strogatz en el seu blog del New York Times, el desinterès per les matemàtiques pot venir, en molts casos, com a conseqüència directa de dificultats a l’hora d’haver de fer divisions. Perquè comptar, sumar i multiplicar no és difícil, però dividir té la seva gràcia. Per exemple, en un estudi fet per Annamaria Lusardi i Olivia Mitchell es veu que el grau d’ignorància financera és molt alt i preocupant, i el problema sembla que són les divisions. Lusardi i Mitchell diuen que és fonamental lluitar contra l’analfabetisme financer si volem defensar-nos i no ser enganyats, perquè l’analfabetisme financer és de fet un analfabetisme matemàtic que fa difícil aplicar correctament les operacions aritmètiques necessàries per a resoldre les preguntes quotidians.

Per cert, Manuel Toharia explica que la ciència es basa en les evidències. Parla d’aquells que diuen que Galileu o Copèrnic no tenien totes les proves del que afirmaven, i es pregunta si és que l’Església tenia proves que la Terra era al centre de l’Univers. Tot plegat sona a broma, diu.

———————-
NOTA: A les correlacions lineals, el valor esperat es pot representar al pla x-y amb una gràfica que és una recta. De fet, hauríem de parlar de correlacions afins, perquè les funcions afins es defineixen en matemàtiques com funcions polinòmiques de grau 1 tals que la seva gràfica al pla x-y és una recta. Tenen la coneguda expressió f(x) = y = ax+b, on a és el pendent (inclinació) de la recta i b és l’ordenada a l’origen (el valor de y quan x=0). Si b = 0, la recta passa per l’origen de coordenades, i la funció es denomina lineal. Les funcions lineals només depenen d’un paràmetre (el pendent de la recta f(x) = y = ax), però en canvi les funcions afins depenen dels dos paràmetres a i b que defineixen f(x). Les funcions lineals expliquen tots els fenòmens que segueixen una llei proporcional, com per exemple el que valdrà la bossa de fruita que hem comprat i estem pesant. En canvi, per determinar bé l’equació d’una funció afí calen dues dades, perquè una recta només queda determinada si donem dos punts. Suposem ara que ens diuen que la recta que representa la funció afí passa pels dos punts (x1, y1) i (x2, y2). En d’altres paraules, ens diuen que f(x1)=y1 i que f(x2)=y2. Cóm podrem calcular l’expressió de la funció f(x)?. Una primera idea pot ser plantejar un sistema de dues equacions amb dues incògnites a i b, perquè sabem que y1 = a*x1+b i que y2 = a*x2+b. Però hi ha una manera més senzilla, que es basa en aquella propietat que diu que donada una recta i dos punts arbitraris P i Q de la mateixa, el triangle rectangle que té com hipotenusa el segment PQ i com a catets els dos segments vertical i horitzontal que surten de P i Q i es tallen, és semblant al triangle rectangle que defineixen dos altres punts qualssevol S i T d’aquesta recta. Quan escrivim això com una formula, obtenim que, per qualsevol altre punt (x, y) de la recta, (x-x1)/(x2-x1) és igual a (y-y1)/(y2-y1) (de fet, si plantegeu aquesta igualtat i aïlleu la variable y en funció de x, veureu que surt una equació del tipus y = a*x+b i que esteu calculant, de manera indirecta, els valors de a i b. La formula (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) és la que, donades dues dades inicials vegetació-precipitació (x1, y1) i (x2, y2), ens donarà l’índex de precipitació SDI esperat per qualsevol valor de l’índex de vegetació NDVI. Podeu comprovar que tot es redueix a fer tres restes, una divisió, una multiplicació i una suma. Tampoc és tan complicat, oi?

Per cert, cal tenir en compte que totes les correlacions es poden considerar lineals quan analitzem un rang prou petit de variació de les variables, mentre que quasi totes deixen de ser lineals (i caldria representar-les amb funcions més complicades que els polinomis de grau 1) quan fem més i més gran el rang de variació de les variables que estudiem.