Les matemàtiques i la irracionalitat

CargolNautilus.jpg Els pitagòrics van ser molt bons matemàtics. Algunes de les seves demostracions ens són útils encara ara. Estaven tan segurs dels seus descobriments, que es van passar. Defensaven que el món era “harmonia i nombres” i que tot s’ordenava segons proporcions. Totes les mesures, enteres, es relacionaven entre sí segons fraccions que indicaven els seus valors relatius. Van crear un gran mite que ho explicava tot. Però van acabar ensopegant amb una figura geomètrica tan senzilla com és el quadrat. El mite pitagòric es va desintegrar davant dels quadrats. El mateix raonament que els havia permès construir el seu mite, els va fer veure que era fals. La seva racionalitat els va portar al descobriment de fets irracionals, que ningú va entendre ni va poder explicar fins 2000 anys després.

De fet, Pitàgores és un dels noms grecs més coneguts, sobretot gràcies al “seu” teorema.  Però en sabem molt poc, d’ell. Sabem que va viure entre el 582 i el 496 abans de Crist. Tot i haver nascut a Samos, va marxar al sud d’Itàlia, a Crotona (en la regió anomenada Magna Grècia) on va fundar una escola, una societat secreta amb bases matemàtiques i filosòfiques i amb regles molt estrictes de conducta. Els pitagòrics eren vegetarians, seguien estranys ritus i tenien una moral basada en l’estudi i en el desig de saviesa. Els descobriments no es podien atribuir a cap membre concret de l’escola, eren simplement considerats troballes de l’escola, de la secta. El seu lema era que tot eren nombres: pensaven que l’estructura de l’univers era aritmètica i geomètrica. Els pitagòrics (terme amb el que els anomenava Aristòtil) van descobrir l’harmonia i la teoria musical, van introduir els pesos i mesures i van defensar que la Terra era esfèrica. Però estaven tan capficats amb les seves teories que van acabar creant el seu propi mite. Barrejaven el coneixement científic rigorós amb idees místiques i supersticioses populars molt antigues, vinculades a la màgia numèrica.

Els pitagòrics van descobrir que els sons musicals harmoniosos en instruments de corda corresponien a longituds de la corda en proporcions senzilles. De fet i segons una llegenda, Pitàgores va elaborar la seva teoria musical quan va escoltar els sons dels martells de diferents mides (i pesos) dels ferrers. Les consonàncies bàsiques de la música eren tres: l’harmonia que passa d’una octava a la següent amb la fracció 1/2, la cinquena (quan la relació entre freqüències és 2/3), i la quarta, quan aquesta relació és de 3/4. Tot es podia mesurar amb nombres i amb fraccions.

Els pitagòrics definien els nombres triangulars com els que podíem obtenir tot col·locant monedes en forma de triangle. Si poseu tres monedes en línia damunt d’una taula, afegiu una segona fila amb dues monedes encaixades i finalment en poseu una dalt de tot, obtindreu un triangle equilàter de sis monedes. Si comenceu amb quatre monedes, el triangle tindrà 4+3+2+1=10 monedes, i si comenceu amb cinc, el triangle tindrà 5+4+3+2+1=15 monedes. Els nombres 6, 10 i 15 són nombres pitagòrics triangulars. De fet, el 10 representava l’harmonia pitagòrica i s’anomenava “tetraktys” o dècada. Una harmonia que no era el simple resultat de comptar els dits de les mans, sinó que es destilava d’un procés d’abstracció matemàtica. I a més dels nombres triangulars, tenien els nombres quadrats: si enlloc de fer triangles amb monedes feu quadrats, obtindreu els nombres quadrats perfectes: 4, 9, 16, 25, 36, etc.

L’anomenat teorema de Pitàgores procedeix dels babilonis, però probablement el seu nom ve de del fet que sembla que els pitagòrics van ser els primers a donar-ne una demostració senzilla i geomètrica. Com és ben conegut, el teorema diu que en tot triangle rectangle, la suma dels quadrats de les longituds dels dos catets és igual al quadrat de la longitud de la hipotenusa. Els triplets pitagòrics són valors enters que fan que els triangles amb costats d’aquestes llargades siguin rectangles. El triplet pitagòric més conegut és el 3, 4, 5.

El símbol de l’escola pitagòrica era l’estrella de cinc puntes que es forma quan es dibuixen totes les diagonals d’un pentàgon regular. És clar, per tant, que sabien com construir pentàgons regulars. Segons Simone Weil, el pensament pitagòric és el gran misteri de la civilització grega, perquè el trobem per totes bandes. Impregna gairebé tota la poesia, la filosofia – sobretot Plató, que Aristòtil veia com un pur pitagòric -, la música, l’arquitectura, l’escultura, l’aritmètica, la geometria, l’astronomia, la mecànica, la biologia… Però malgrat tot, en sabem molt poc: a més del secretisme de la secta, s’han perdut tots els seus escrits i només en sabem per referències indirectes.

Pensem ara en la seqüència dels quadrats perfectes: 1, 4, 9, 16, 25, 36, etc. Existeix algun quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte? Fixeu-vos que no és el cas del 9, perquè 18 no és un quadrat perfecte. Tampoc és el cas del 25, perquè el 49 ho és, però el 50 no.

Els pitagòrics van demostrar que la resposta és negativa, i ho van fer ara fa més de 2500 anys. Van veure que no existeix cap quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte. La demostració pitagòrica, molt senzilla, ens ha arribat gràcies a Aristòtil (vegeu nota al final). Va ser un resultat terrible, que els pitagòrics no van poder entendre. Volia dir que la diagonal dels quadrats era incommensurable. És fàcil d’imaginar la seva perplexitat. Imaginem qualsevol unitat de mesura (un centímetre, un pam, un metre) i suposem que construïm un quadrat tal que el seu costat mesura A unitats, on A és un enter: si A=100, estarem fent un quadrat de 100 x 100. Doncs bé, segons el seu propi teorema de Pitàgores i dient H a la longitud de la diagonal del quadrat, el doble del quadrat de A ha de ser igual al quadrat de H. Però com que ja havien demostrat que no existeix cap quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte, és clar que la longitud de H no pot ser entera, i per tant la relació entre A i H no pot ser una fracció. I el mateix passa si la longitud de A és fraccionària (vegeu nota al final). En un simple quadrat, la diagonal no es pot mesurar. Els pitagòrics es van topar amb el concepte de magnituds incommensurables. Segons el mateix Euclides, a la seva proposició 8, “Si dues magnituds no guarden entre si la raó que un nombre guarda amb un nombre, les magnituds són incommensurables”. Els pitagòrics van veure que no hi havia cap manera d’expressar el valor de la longitud de la diagonal d’un simple quadrat. Cap operació aritmètica ni cap fracció podia donar el seu valor, en funció de la longitud A del costat.

Va ser la seva gran contradicció. Els pitagòrics van crear un mite i ells mateixos van descobrir que l’havien de destruir. Van creure que tot es podia explicar amb enters i fraccions, i que el nombre era l’essència de totes les coses. Però tot raonant, van veure que això era fals. La situació va ser realment dramàtica. Tan dramàtica, que van decidir mantenir en secret la demostració. Era difícil acceptar que havien demostrat la falsedat del seu propi mite. Havien trobat un resultat estrany, irracional. Per això, els nombres que mesuren magnituds com la diagonal d’un quadrat o la superfície d’un cercle que no es poden expressar com fraccions, se’ls anomena nombres irracionals. Les matemàtiques dels irracionals van nàixer de la perplexitat dels pitagòrics.

Va caldre esperar fins Newton i Leibnitz per entendre el què passava. Ningú ho va saber entendre fins fa poc més de 300 anys. Isaac Newton i Gottfried Wilhelm von Leibniz van inventar el càlcul infinitesimal i van descobrir que, per estudiar els valors infinitament petits, les fraccions no eren suficients. Van estudiar l’anomenada recta real. Imagineu que pintem una línia recta, marquem els punts que són a distància 1, 2, … del seu origen i després hi anem marcant els punts corresponent a totes les possibles fraccions: punts a distància 1/2, 2/3, 3/4, etc de l’origen. És impossible fer-ho perquè no acabaríem mai, però si fos possible, veuríem que al final quedarien molts més forats que llocs marcats. Quedarien tots els forats corresponents a nombres irracionals, a valors que no es poden expressar com fraccions o proporcions. La longitud de la diagonal d’un quadrat és el producte de la mesura del costat per l’arrel quadrada de 2, i les arrels quadrades de 2, de 3, de 5 i de molts altres nombres són nombres irracionals: els nombres de Leibnitz i Newton, els nombres que no podem escriure com fraccions sinó que els hem de calcular com a límits de successions.

A més de moltes arrels quadrades, el nombre “pi” i el nombre “e” són irracionals. També ho és la raó àuria o proporció divina, que impregna la natura. La raó àuria, de valor 1,618033… és la meitat de la suma de 1 més l’arrel de 5. Com que l’arrel de 5 és irracional, la raó àuria també ho és. La natura és plena de proporcions àuries: els pètals de les flors, els nervis de les fulles, les espirals logarítmiques dels cargols “nautilus”. Tots són magnituds irracionals, són “excepcions” a la racionalitat pitagòrica.

Nota: Els quadrats perfectes són els quadrats dels nombres naturals 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. En d’altres paraules, són els nombres que tenen arrel quadrada entera. El que van demostrar els pitagòrics és que és impossible trobar una parella d’enters A, B tals que 2*A*A sigui igual que B*B. Ho van fer per reducció a l’absurd: suposem que sí que hem trobat aquesta parella de valors A i B. En aquest cas, els dos enters 2*A*A i B*B són iguals. Calculem la seva descomposició en factors primers, que és ben conegut que és única (per exemple, si 2*A*A=50, els factors primers són 2,5,5 perquè el resultat del producte de tots tres és 50). Però en aquest resultat, el nombre de factors “2” serà sempre senar perquè afegim un “2” als factors de A*A i en qualsevol quadrat, els factors primers hi són en nombre parell. Per tant, el nombre de factors “2” en B*B ha de ser senar. I això és absurd, perquè sabem que B*B és un quadrat perfecte. Aquest absurd és el que els va enderrocar el seu mite.

Un darrer comentari, sobre la diagonal dels quadrats. Si el costat A fos fraccionari, per exemple amb un valor igual a 100 i 3/4, només cal amplificar el quadrat 4 vegades (4 és el valor del denominador) i l’haurem convertit en un quadrat de costat enter amb A=403, que ens porta al cas anterior que ja hem considerat.

1 comentari

  • ramon

    28/06/2013 13:39

    molt interessant!

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús