Cóm fer que una taula no balli

Taula.jpg Tenim una taula de quatre potes com la de la imatge, però una de les seves potes no toca el terra. Podem fer que quedi ben estable, sense falcar-la?

La solució és senzilla. Si la taula està ben fabricada i els punts de sota de les quatre potes formen un quadrat regular (i per tant pla), només cal que girem la taula i segur que trobarem una posició en la que la taula queda estable. Sabeu per què? Si pensem una mica, veurem que la resposta ens arriba des de la geometria.

Les taules de tres potes sempre queden estables, sense ballar. Però tenen una base més petita i és més fàcil que bolquin. Les de quatre potes tenen una bona base de sustentació, però la quarta pota no sempre toca el terra. Ho podem entendre si identifiquem les potes amb gomets de colors, com en la imatge. Imaginem que la taula es recolza bé en les dues potes que porten el gomet groc, però que es mou. Quan la pota “vermella” toca el terra, la “verda” queda aixecada, i quan la la “verda” toca el terra, la que queda aixecada és la “vermella”. Com que estem suposant que les potes formen un quadrat pla, és clar que el que no és pla és el terra. I la taula balla perquè oscila entre dos estats estables, cada un d’ells del tipus “taula de tres potes”: o bé es recolza en les dues grogues i en la vermella, o bé en les dues grogues i en la verda.

Imaginem ara que girem la taula exactament un quart de volta i deixem les potes vermella i verda on abans teníem les grogues. Lògicament, la taula es recolzarà en aquestes potes vermella i verda i les que ballaran seran les dues potes grogues. Podem aconseguir que com abans, la base de sustentació sigui el triangle format per les dues potes grogues i la vermella? És fàcil veure que això només és possible si imaginem una situació virtual en què les potes siguessin com agulles que poguessin perforar el terra: si girem al voltant de l’eix definit per la pota vermella i la groga que toca el terra i volem fer que l’altra pota groga també hi toqui, haurem de clavar la pota verda i enfonsar-la sota el terra.

Finalment, la solució ens ve de la mà de les matemàtiques i de la teoria de les funcions continues, que va desenvolupar Bernhard Bolzano ara fa uns dos-cents anys. Sabem que tot el que varia entre dos estats extrems, passa per tots els estats intermedis. Si la temperatura al migdia és de 30 graus i a la nit ha estat de 20 graus, en algun moment del matí hem d’haver passat pels 25 graus (i pels 23, i pels 27). En el nostre cas, tenim dues posicions en les que la taula s’apoia en les mateixes tres potes: les dues grogues i la vermella. Però en una d’elles, la pota verda queda sense tocar el terra mentre que en l’altra, queda sota terra. I com que el terra és continu, el teorema de Bolzano ens diu que existeix una posició intermèdia en la que la pota verda no és ni per sobre ni per sota, sinó que toca el terra. En aquesta posició, la taula es recolza en les quatre potes. Només hem d’anar girant la taula fins trobar aquesta posició.

Nota: Agraeixo a l’Àlvar Vinacua que m’expliqués aquesta solució, un matí d’hivern mentre treballàvem en una taula mal falcada.

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús