Els arcs de cadena

Cadena3.jpg Compareu la imatge d’aquí al costat amb la foto que podeu veure aquí, i que mostra els arcs que Gaudí va dissenyar per a les golfes de la Pedrera. La forma és idèntica en ambdós casos. Els arcs de Gaudí, a la Pedrera, a la Colònia Güell o a la Sagrada Família, són arcs que podríem anomenar de cadena. Gaudí va entendre les propietats de les cadenes i les va utilitzar en molts dels seus dissenys.

Fa temps, el meu amic Miquel em va proposar d’escriure un article sobre les catenàries. Després de donar-hi força voltes, vaig decidir que podia explicar un experiment. Es tracta de fer dos petits forats separats uns vuit centímetres en una base de fusta, passar-hi una cadeneta de manera que pengi més o menys com es veu en aquesta imatge, mullar-la amb l’aigua d’un polvoritzador i deixar-la unes hores en el congelador. Si la traiem amb molta cura, hauríem de poder donar-li la volta i aconseguir que es vegi en forma d’arc, tal com teniu en la imatge de dalt (els foradets en la fusta fixen els dos extrems de la cadena i fan innecessari que l’haguem d’aguantar amb les mans). Ho podeu provar, encara que malauradament jo no me’n vaig sortir i vaig acabar desistint després de fer algunes proves. Per això, al final vaig fer aquesta foto, que després de girar-la 180 graus mostra la forma dels arcs de Gaudí. Val a dir que l’experiment no és gens fàcil perquè l’equilibri de les cadenes invertides és inestable. Però la física ens diu que si no hi ha joc entre les baules de la cadena i si el gir que hem fet per tal d’invertir la cadena ha estat exactament de 180 graus al voltant d’un eix horitzontal, la cadena ens quedarà amb la forma d’arc que veieu a la imatge de dalt, al menys mentre l’aigua no es descongeli del tot. El que passa és que la inestabilitat d’aquest equilibri dificulta molt l’experiment. Aconseguir una cadena invertida en equilibri és més difícil que mantenir una moneda, de cantell, en el punt més alt d’una bola de vidre o que intentar mantenir-nos drets damunt d’un llarg bastó vertical. Els objectes queden en equilibri estable quan els deixem caure, però costa molt de mantenir-los verticals i cap amunt. Les cadenes invertides són inestables, però ens expliquen els arcs de Gaudí.

Les cadenes i les pedres són una mica com la nit i el dia. Les cadenes i cordes aguanten molt bé quan les estirem. Podem utilitzar-les per arrossegar objectes i per remolcar cotxes. Les pedres, en canvi, aguanten molt bé quan les premem. Les pedres de sota les parets i muralles aguanten el pes de tot el que tenen damunt sense cap problema. Diem que les cadenes treballen molt bé a tracció, i que les pedres suporten bé els esforços de compressió. En canvi, ni les cadenes serveixen per als esforços de compressió ni les pedres ens van bé quan hem de fer treballs de tracció: les cadenes i cordes “premsades” directament es pleguen, i si volguéssim arrossegar un objecte tot estirant-lo mitjançant un “pal” de pedra, segur que aquest es trencaria. Què passa quan pengem una cadena pels seus dos extrems, com en aquesta foto? Doncs que la cadena, després d’algunes oscil·lacions, queda en equilibri en una posició tal que entre les seves baules només hi ha esforços de tracció. És així perquè no pot ser de cap altra manera, ja que les baules s’articulen entre elles i només poden treballar a tracció. Imagineu qualsevol d’aquestes baules. És estirada cap a un i altre costat per les seves dues baules veïnes, i la gravetat la voldria fer caure. Com que tot queda en equilibri, la suma de les dues forces amb que l’estiren les seves veïnes i la del seu pas, ha de ser nul·la. Aquesta propietat de les cadenes és el que va portar, com veurem en el paràgraf següent, a entendre la seva equació matemàtica. Doncs bé, ara que tenim la cadena en equilibri, congelem-la, donem-li la volta i intentem deixar-la tal com la tenim en la imatge de dalt. Com que hem invertit la direcció del pes de cada baula, és clar que tot quedarà en equilibri si també canviem la direcció de les forces de les seves baules veïnes. El resultat és que ara, totes les forces entre elements de la cadena – o de la corda – són de compressió. Les cadenes en equilibri només aguanten forces de tracció, mentre que les cadenes invertides en equilibri – inestable – només aguanten esforços de compressió. Per això, Gaudí va pensar que els arcs de cadena podien ser ideals per a les construccions de pedra. Perquè fem que la pedra rebi només els esforços que pot aguantar bé. Les cadenes voten pels arcs cap avall i les pedres voten pels arcs cap amunt.

Galileo Galilei defensava que les cadenes penjants tenien la forma d’una paràbola. Però no és cert, tal com Christiaan Huygens va poder demostrar només quatre anys després de la mort de Galileo, als disset anys, l’any 1646. L’any 1690, Jakob Bernoulli va proposar com a desafiament el problema de trobar l’equació matemàtica de la forma d’una cadena penjada dels dos extrems. L’any següent, el 1691, el problema va ser resolt simultàniament pel seu germà Johann Bernoulli, per Gottfried Leibniz i pel mateix Christiaan Huygens, cosa que va generar un cert conflicte entre els germans Jakob i Johann. Havien trobat la catenària, la corba matemàtica que descriu la forma d’una cadena penjant en equilibri pel seu propi pes. La paraula catenària deriva del llatí catenarĭus, propi de la cadena, i la seva equació és la de la funció cosinus hiperbòlic.

Anomenem catenàries als cables penjants que porten energia elèctrica a les locomotores dels trens, perquè tenen la forma de les cadenes aguantades pels extrems. Tots els cables elèctrics d’alta tensió entre torres consecutives tenen la mateixa forma. El mateix passa amb les cadenes que separen espais, amb els cables dels ponts penjants, amb les cadenes de les àncores dels vaixells i amb les cordes que pengen sense cap més pes que el seu. Si els extrems no són massa separats, només cal mirar-los de cap per avall i ens recordaran els arcs de Gaudí.

Els arcs de catenària o de cadena, els arcs de Gaudí, fan que les pedres treballin bé i a compressió. L’únic problema que tenen, i que en alguns casos ha obligat a pensar en solucions força imaginatives – per exemple, en la construcció de la Sagrada Família -, és el del perill de vinclament. Si no es dissenyen bé els suports laterals, els esforços de compressió en les pedres d’un arc de catenària poden acabar doblegant-lo de costat de la mateixa manera que si feu força per a comprimir una vareta prima de plàstic, es plegarà i acabarà trencant-se o feta tot un manyoc.

Per cert, en Nelson Mandela deia que si vols fer les paus amb el teu enemic, has de treballar amb ell: llavors esdevindrà el teu company.

1 comentari

  • Lluis Enrique

    13/09/2013 23:00

    Es una veritable llastima que avui en dia el mon de les estructures es centri principalment en pur calcul de deformacions en elements estructurals i a mes que es fagi amb ferramentes de software que per lo comodes que son, fan que el que les utilitza no hagi ni de pensar que es el que esta passant. Per sort, a la historia hi ha alguns exemples d’enginyers (Isler, DIeste, Nervi, Torroja…) i algun arquitecte (Gaudi, Candela) que es van adonar que en realitat es tot molt mes facil. Es tracta unicament d’un joc d’equilibri. Propose un article futur sobre la estatica grafica. Una eina casi magica per al disseny d’estructures basada en equilibri de forces, que te el recolçament de la teoria de la plasticitat. Bona nit a tothom!

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús