Les edats cúbiques

Edats_Cubiques_Mandarines.jpg Els aniversaris també poden tenir una flaire matemàtica i geomètrica. Sabeu que hi ha edats que són unidimensionals, d’altres que són bidimensionals i que algunes són volumètriques?

Hi ha un joc que podeu fer el dia de l’aniversari dels vostres fills o amics. Encara que ben pensat, i per a que no us diguin que sou una mica friquis, tal vegada és millor que el feu al cap d’uns dies… Es tracta d’intentar construir figures geomètriques amb un nombre d’objectes igual al de l’edat que estem celebrant. Ho podeu fer amb daus, peces de fruita o fins i tot amb glaçons. Fareu fileres, circumferències o corbes més o menys creatives. Però no sempre podreu posar-los en forma de polígons o de figures a l’espai.

Només hi ha tres edats cúbiques: els vuit, els vint-i-set i els seixanta quatre anys. A la imatge podeu veure el primer cas. La prova de que els vuit anys és una edat cúbica és que podem disposar vuit mandarines de manera que formin un cub de dues per dues per dues. Com que 27 és 3 al cub, als joves que fan vint-i-set anys els podeu regalar 27 bombons posats de manera que omplin un cub de 3 per 3 per 3, i és clar que els 64 anys formen un cub de costat 4. Però ja no trobem cap més edat cúbica fins els 125 anys, que difícilment celebrareu si no sou tortugues.

Hi ha edats rectangulars, com els 35 anys, i edats quadrades com els 25. Amb 35 daus podem fer un rectangle de 5 per 7, però és fàcil veure que amb aquests daus no podem construir cap poliedre tridimensional. Els 25 i els 35 anys són edats planes, bidimensionals. Algunes edats són encara més simples. Als 23 anys, no podeu fer altra cosa que posar els daus en fila perquè no queden bé de cap altra manera. Els 23 anys són unidimensionals, com els 37 o els 59 anys. En canvi, els 60 anys són polièdrics i en concret paral·lelepipèdics: podem construir una caixa de 4 per 5 mandarines de base amb tres pisos d’alçada.

En les edats triangulars, si el dia del nostre aniversari anem a comprar tantes mandarines con anys complim, després les podrem deixar damunt la taula en forma de triangle regular i equilàter. El 3 és evidentment un nombre triangular, i és fàcil veure que hi ha un bon nombre d’edats que compleixen aquesta propietat de ser triangulars. Ho són els 6 anys, i també els 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78 i 91, i no segueixo perquè poca gent arriba als 105 anys. Cada triangle es forma a partir de l’anterior tot afegint tantes mandarines com justament té aquesta base més una. I podreu comprovar fàcilment que tota edat triangular és a més rectangular.

Finalment, tenim algunes edats que són piramidals. Ens deixen construir piràmides regulars amb diferents nivells com la que teniu a la imatge de dalt, piràmides en les que cada nivell és un dels triangles equilàters que ara tot just comentàvem. Formen tetraedres, sòlids Platònics com els cubs. Però les edats piramidals són més escasses que les triangulars. Les úniques edats piramidals o tetraèdriques són els 4 anys, així com els 10, 20, 35, 56 i 84 anys.

Galileo Galilei ja va dir que el llibre de la naturalesa i de l’Univers que veiem davant els nostres ulls no es pot entendre si primer no aprenem la seva llengua i aprenem a conèixer els caràcters en els que és escrit. Galileo deia que l’Univers està escrit en llengua matemàtica, i que les seves característiques són els triangles, cercles i d’altres figures geomètriques sense les quals és impossible entendre’l: sense això, deia, tot és un endinsar-se vanament en un fosc laberint.

El fet que un nombre sigui unidimensional, rectangular, cúbic o tetraèdric no té massa misteri perquè tot plegat es deriva de la seva descomposició en factors primers. Euclides ja va demostrar que existeixen infinits nombres primers, i que tots els altres nombres són productes d’aquests primers. El teorema fonamental de l’aritmètica estableix que qualsevol enter positiu superior a 1 pot representar-se sempre com producte de nombres primers, i que aquesta factorització és única. En aquest context, és clar que que els nombres primers no permeten fer ni rectangles ni poliedres, i que els nombres que només tenen dos factors primers són bidimensionals i “plans”. Per poder generar volums i poliedres, cal evidentment que els nombres tinguin tres factors primers o més. Per cert, sabríeu establir la relació que hi ha entre els nombres triangulars i els nombres quadrats? I la que també hi ha entre els tetraèdrics i els cúbics? Cada nombre triangular té un “nombre germà” que és quadrat, de la mateixa manera que cada nombre tetraèdric té un germà cúbic.

Les converses entre matemàtics són estranyes. En el seu llibre “Apologia d’un matemàtic”, Godfrey Hardy explica una anècdota del dia que va anar a visitar el seu amic i deixeble Ramanujan quan aquest estava malalt. Srinivasa Ramanujan va ser un dels grans matemàtics de principis del segle XX, ben conegut pels seus descobriments en el camp de la teoria dels nombres. Per parlar d’alguna cosa, aquell dia Hardy va comentar que havia arribat en el taxi número 1729, però que aparentment aquest nombre no tenia res d’especial. Ramanujan va replicar immediatament que això no era pas cert, perquè el 1729 era un nombre molt interessant: de fet, el 1729 era (i és) el nombre més petit que es pot representar com a suma de dos cubs de dues maneres diferents. Des d’aquell dia, als nombres que es poden expressar de dues maneres com a suma de dos cubs, se’ls anomena nombres del taxi, “taxicab numbers“. Ramanujan era amic de tots els nombres i de tots ells en podia dir anècdotes. Va morir massa jove i tot i així, va deixar un gran llegat. De fet, quan li van preguntar a Godfrey Hardy sobre quina creia que havia estat la seva contribució més important al món les matemàtiques, va contestar que sens dubte, el descobriment de Ramanujan. L’havia descobert i portat a Cambridge, on van poder treballar en nombrosos problemes matemàtics.

Quants anys teniu? La vostra edat, és unidimensional, bidimensional o tridimensional? L’encant de tot plegat és que la flexibilitat geomètrica dels nombres és conseqüència directa de la seves propietats pel que fa a la factorització. I això és quelcom d’intrínsec als nombres, és el llenguatge i la poesia de l’Univers. Si comptem fins a dotze i anem agafant cada cop un còdol, al final podrem disposar-los en dos pisos de tres per dos. Ho podem fer nosaltres, i ho pot fer qualsevol ésser intel·ligent en els llocs més recòndits de les galàxies. Els nombres primers i els factors primers són el llenguatge bàsic i comú de la vida intel·ligent, es trobi on es trobi. En paraules de Javier Sampedro, el fet sorprenent i quasi irracional de les matemàtiques és la seva eficàcia per a descriure els mecanismes de l’Univers, per a capturar la seva harmonia i essència i per a preveure el seu futur. Qui diu que la matemàtica no és poesia?

Per cert, Moisès Broggi deia que hem d’estar contents d’haver nascut i viscut després de Mozart.

2 comentaris

  • Jordi Domènech

    15/06/2015 21:20

    Fa bastants anys, a un grup d’amics els vaig posar el problema de trobar tres enters seguits, el més petits possibles, que en la terminologia que expliques aquí fossin «plans» i no «polièdrics».
    Alguns van trobar ràpidament la resposta: 33, 34 i 35.
    Però quan els vaig demanar que em trobessin quatre enters seguits amb aquesta propietat, tots es van empatollar molt abans els digués que era impossible.
    I és que la gent no està gens acostumada a enfrontar-se amb problemes que, potser, no tenen solució.

  • CarmeT

    10/11/2013 22:33

    Em sembla que era ahir que destacaven aquest blog al diari. Me’n vaig alegrar. Ho tens ben merescut. Jo el destacaria cada setmana! I una tortuga d’edat cúbica que conec, també.

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús