La riquesa dels triangles

On és el centre geomètric de Catalunya? Quin és el centre d’un triangle? Hi ha preguntes que semblen fàcils però que no ho són. En Clark Kimberling, matemàtic i compositor musical, ens explica part de la història dels triangles. Diu que fa molt i molt temps, algú s’ho va preguntar. Tot pensant, va dibuixar un triangle, i també hi va marcar les rectes que surten de cada un dels tres vèrtexs i passen just pel mig del costat oposat. Va quedar sorprès en veure que les tres rectes passaven per un punt. Va repetir l’experiment amb un altre triangle, i va observar el mateix comportament. Després de fer-ho amb un tercer triangle, ho va explicar als seus amics, que també ho van provar. Tothom que feia l’experiment, trobava el mateix resultat. Fos quin fos el triangle, sempre hi havia un punt màgic pel que passaven els tres segments rectes que unien els vèrtexs amb els punts centrals de les arestes oposades. Tal vegada era una manifestació del poder diví. De fet era una propietat ben senzilla que permetia trobar el centre de qualsevol triangle.

Segles més tard, algú va demostrar que això era sempre cert: les tres mitjanes (rectes que surten de cada un dels tres vèrtexs i creuen pel mig el costat oposat) passen sempre per un punt dins del triangle. Qui ho va demostrar, va trobar una de les propietats intrínseques de tot triangle. El punt va ser batejat com baricentre o centroide. Es va veure que aquest punt, el baricentre, és també el centre de massa del triangle. Si retalleu un triangle qualsevol en cartolina i el pengeu d’un fil, el triangle només us quedarà horitzontal si el pengeu pel baricentre. I, si el pengeu d’un dels seus tres vèrtexs, la línia vertical continuació del fil serà justament una de les mitjanes, de manera que si pinteu aquesta vertical damunt el triangle i ho repetiu pels altres dos vèrtexs, el punt intersecció serà un cop més el baricentre o centroide. Agafeu el triangle de cartolina i pengeu-lo per qualsevol punt: la línia vertical continuació del fil passarà per aquest punt màgic que els nostres avantpassats van anomenar baricentre. En aquesta web teniu una aplicació interactiva en la que podeu anar movent la posició dels tres vèrtexs del triangle i veure com es modifiquen les mitjanes i el baricentre.

Però aviat es va veure que el baricentre no era l’únic candidat, i que tenia bastants competidors per al títol de centre del triangle. Van aparèixer l’incentre, el circumcentre i l’ortocentre. I molts més. De fet, hi ha infinits punts que podem considerar que són el centre d’un determinat triangle (vegeu Nota al final). Els triangles són una mica com la política: perquè hi ha tants polítics que diuen que són de centre?

L’any 1994, en Clark Kimberling va començar un projecte inèdit. Va recopilar i posar a la web totes les propostes de centres de triangles que s’havien fet. L’afició de Kimberling pel col·leccionisme de centres no ha defallit. La seva enciclopèdia dels centres dels triangles ja conté (a data d’avui, perquè va creixent) un total de 6091 definicions, cada una acompanyada de les seves propietats i formules. La podeu consultar aquí.

Hi ha qui diu que les matemàtiques són avorrides i que a la geometria li manca la riquesa del llenguatge, de la literatura i de la poesia. Però els humans hem estat capaços d’inventar i proposar més de sis mil maneres diferents de calcular el centre d’una figura tan senzilla com és un triangle. Els triangles, tan poc sofisticats com semblen, amaguen una immensa diversitat. I de fet, encara que no ho sembli, la geometria és una font de conceptes opinables. Podríem tenir llargues converses i polèmiques sobre quin és el centre més adient, en un triangle (o a Catalunya). El cert és que la creativitat humana no té límits: pot abastar tant les paraules com els triangles.

Alguns científics pensen que tot l’Univers, tota la matèria i nosaltres mateixos, no som més que geometria. No sé si algun dia ho arribaran a esbrinar, els nostres descendents. Però la idea és captivadora, i dóna per molt. Els humans, a més d’agregats biològics, seriem agregats geomètrics racionals que s’interessen per les arts, la música, la poesia, … i pels més de 6000 possibles centres d’un objecte geomètric tan senzill com és el triangle.

Per cert, el pressupost de recerca que proposa el govern espanyol pel 2015 creix un 4,8% i arriba als 6.395 milions d’euros. Sembla una bona notícia. Però la lletra petita diu que el pressupost de recerca civil només creix un 1,3%, mentre que el pressupost de recerca militar s’incrementa en un 43%. No cal dir res més.
____________________________

NOTA: Els geòmetres parlen de les funcions de centre de triangle, i expliquen que per a cada possible funció existeix un centre diferent de cada triangle. Les funcions de centre de triangle depenen tant de les longituds dels tres costats com dels tres angles, i donen les coordenades trilineals del “seu” centre en funció d’aquests valors.

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús