Les dimensions donen sorpreses

Com afecta el meu consum de combustibles fòssils a l’escalfament de la Terra? Si vaig sempre en cotxe, però m’ho repenso i decideixo que l’any vinent deixaré el cotxe aparcat i aniré en transport públic, és clar que ajudaré a reduir les emissions. Però l’efecte, si només ho faig jo, serà poc rellevant. La reducció serà marginal, molt petita, perquè cada un de nosaltres som ben poca cosa si ens comparem amb el planeta i amb tota la humanitat.

Pensem ara en un problema geomètric força conegut. Imaginem que poguéssim fabricar un cable d’acer de 40 mil quilòmetres, que donés tota la volta a la Terra. És una situació hipotètica, perquè si ho volguéssim fer de veritat hauríem de resoldre el problema de deixar tens i ben recte el cable per damunt del mar, probablement amb ajut d’una munió de flotadors (per cert, us heu preguntat quina seria la millor manera d’estendre aquest cable tensat, per a aconseguir que faci el màxim de recorregut per terra ferma i el mínim per l’aigua dels oceans?). Suposem que ho aconseguim (al menys, imaginàriament) i que el cable queda tens i ben posat. Ara, quan ja el tenim bé, el tallem, afegim 10 metres de cable i el tornem a soldar. Què passarà?

Hi ha dues situacions extremes. Si no hi fem res, el cable ens quedarà destensat en el lloc on hi hem afegit els deu metres. Però si intentem repartir el tros afegit al llarg de tot el cable per a que no es noti on hem fet la soldadura, el cable quedarà aixecat de terra un metre i 59 centímetres tot al llarg del seu recorregut. En d’altres paraules, probablement ens caldrà construir de l’ordre de quaranta milions de pals de 1,59 metres d’alçada per anar aguantant el cable metre a metre durant tota la seva volta a la terra, perquè ens haurà quedat a l’alçada dels ulls a tot arreu.

Aquests dos problemes són diferents, però tenen una certa connexió. La nostra experiència quan ens enfrontem a la Terra o a tota la humanitat ens diu que l’actuació de cada un de nosaltres és imperceptible (tot i que que quan ho fem tots a l’hora, sabem que la cosa ja és diferent, per sort). Probablement és per això que ens sembla absurd acceptar que el fet d’afegir deu metres de cable tingui aquests efectes globals tan significatius. En tot cas, l’explicació matemàtica és ben senzilla, vegeu la nota al final.

Pensem ara en un tercer problema que aparentment no té cap relació amb aquests dos. Suposem que estem pelant una patata (o una poma) d’uns 3 centímetres. Quin percentatge de la patata desaprofitem si fem una pela prima d’un mil·límetre?  I si ho féssim amb una patata més gran de 6 centímetres? L’explicació que trobareu també a la nota del final ens diu que, si suposem que la patata o la poma són pràcticament rodones (esfèriques), estem desaprofitant el 20% del pes de la primera patata. El resultat és probablement més gran que el que tots diríem, oi?.

La connexió entre els tres problemes es troba en el concepte de dimensions de l’espai. El cable és unidimensional, la pela de les patates és pràcticament bidimensional, i les pomes i patates són tridimensionals. Això fa que certes magnituds creixin molt més ràpid que d’altres, amb comportaments que algunes vegades poden semblar sorprenents perquè estem massa acostumats a les proporcionalitats. Vivim en un Univers de tres dimensions perceptibles, com va formular molt bé René Descartes mentre observava volar una mosca quan era malalt al llit, tot aprofitant per plantejar-se el problema de posicionar-la respecte l’habitació. Per cert, per què són tres, les dimensions de l’espai? Si no l’heu llegit i voleu saber una mica més sobre les paradoxes de les dimensions de l’espai, us recomano el llibre “Flatland”, de Edwin Abbott Abbott.

Per cert, els hereus de John D. Rockefeller, el magnat que va cofundar el 1870 el gegant petrolier Standard Oil, han anunciat que vendran les seves participacions en combustibles fòssils. Diuen que ell reconeixeria que la tecnologia de les energies netes és el negoci del futur.
_____________________________

NOTA: La nostra experiència algunes vegades que ens enganya. Estem acostumats a fenòmens que tenen un comportament “proporcional”, que en matemàtiques anomenem lineal. En aquests fenòmens, l’efecte és proporcional a la causa. Si anomenem “x” a la causa i “y” a l’efecte, els fenòmens lineals es regeixen per la ben coneguda equació y=a*x, on “a” és la constant de proporcionalitat. Però en el primer problema, el de la meva contribució a les emissions i a l’escalfament del planeta, el comportament no és lineal sinó afí. Si diem “x” al total de les nostres emissions individuals en un any i “y” és el grau d’escalfament de la Terra durant el mateix període, l’equació afí que relaciona x amb y és y=E+m*x, on E és el grau d’escalfament que hi haurà encara que jo no faci res. Com que el valor de E és molt gran en comparació amb la meva contribució m*x, el que jo puc fer individualment és ben poc, a no ser que m’agrupi amb molta altra gent. En canvi, el segon problema, el del cable tensat a la Terra, torna a ser lineal perquè la longitud L de la circumferència del cable és funció lineal del radi R segons la ben coneguda formula L=2*pi*R. El valor de R és molt gran, és el radi de la Terra. Però fixeu-vos que si afegim x metres de cable, tindrem L+x=2*pi*R2, on R2 és el radi de la nova circumferència que formarà el cable. Si ara restem les dues expressions, tindrem x=2*pi(R2-R). Això ens diu que, independentment de la longitud total del cable i del radi de la Terra, l’increment R2-R del radi de la circumferència que formarà el cable és y=R2-R=a*x, amb a=1/(2*pi). Amb 10 metres més de cable, ens quedarà a una alçada de 1,59 metres; i si afegíssim 20 metres, el cable quedaria a una alçada de més de 3 metres. El problema del cable és lineal mentre que el de l’escalfament és afí.

El problema del que desaprofitem quan pelem una patata té relació amb funcions quadràtiques i cúbiques, en canvi. Ja hem vist que la longitud d’una circumferència és lineal en relació al seu radi, però la superfície d’una esfera és quadràtica i el seu volum és cúbic. En concret, és ben conegut que la superfície d’una bola esfèrica de radi R és 4*pi*R*R i que el seu volum és (4/3)*pi*R*R*R. Per trobar la superfície cal elevar el radi al quadrat, i per a calcular el volum l’hem d’elevar al cub. Això fa que, si comparem la superfície d’una patata rodona de 3 centímetres amb la d’una altra de 6 centímetres de diàmetre, veurem que la segona té 4 vegades més de superfície de pela que la primera. I si pensem en el volum (o pes), ens trobarem que la segona pesarà 8 vegades més que la primera, perquè el cub de 2*R és vuit vegades el cub de R. Les superfícies i els volums o pesos no es comporten de manera lineal o proporcional, i per això algunes vegades també ens sorprenen. La quantitat de patata que desaprofitem quan la pelem es pot calcular ben fàcilment ja que només hem de multiplicar la superfície pel gruix de la pela. Si diem “g” a aquest gruix, el volum de patata desaprofitat és 4*pi*g*R*R. Si ara dividim pel volum total (4/3)*pi*R*R*R veurem que la proporció que desaprofitem és simplement 3*g/R. Aquest valor, quan el gruix és de 0,1 centímetres i el radi és de 1,5 centímetres, és igual a 3*0,1/1,5=0,2 que equival a un 20% del total de la patata. Fixeu-vos que aquesta és una funció interessant, lineal en relació al valor de g però inversament proporcional al radi R. En el cas de la segona patata, de mida 6 centímetres, és clar que el resultat és 0,1 i que estem desaprofitant el 10% del seu pes. Si us sembla estrany que quan pelem una patata de 3 centímetres de diàmetre amb peles de gruix d’un mil·límetre estem llençant en 20% del pes de tota la patata, penseu que si repetim el procés de pelar-la deu vegades, només ens quedarà una petita boleta de 5 mil·límetres de radi, i que si ho féssim 15 vegades no ens quedaria res. Això ja ens fa veure que el percentatge que desaprofitem ha de ser més gran que un 6,66% (equivalent a una fracció de 1/15) i segurament més gran que el 10%. En el nostre cas, és del 20%.

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús