L’esperança matemàtica

Sona estrany, i fa una mica de respecte, oi? Ens atrevim a parlar de l’esperança, però això que pugui ser “matemàtica” ja no ens agrada tant. Sembla que li tregui part de l’encant… Però tal vegada, tot és acostumar-s’hi. Jo crec que pensar en termes d’esperança matemàtica és una bona (i senzilla) manera d’estar més informats a l’hora de prendre decisions.

L’esperança matemàtica és un concepte estadístic. Representa el valor mitjà que podem “esperar” com a resultat d’un determinat experiment aleatori quan l’experiment es repeteix un elevat nombre de vegades (vegeu la Nota al final). El terme esperança matemàtica ve del fet que l’estadística és part de les matemàtiques. I no es gens difícil de calcular, si coneixem la probabilitat de les diferents situacions en les que ens podem trobar. Suposem que som a la parada de l’autobús, i que tenim dos autobusos (A i B) que ens porten al nostre destí. Suposem també que la freqüència de pas del A és el doble que la del B (en d’altres paraules, al llarg d’una hora passen el doble d’autobusos A que autobusos B) i que la meva experiència em diu que quan agafo l’autobús A tardo 20 minuts mentre que quan vaig amb el B tardo uns 23 minuts, perquè fa més volta i em deixa una mica més lluny. En aquest cas, és fàcil veure que l’esperança matemàtica del que tardaré en arribar és de 21 minuts (vegeu la Nota al final).

El joc de la ruleta i els jocs d’atzar són un bon exemple de l’ús de l’esperança matemàtica. La ruleta Francesa és una gran roda en forma de plat que gira sobre un eix vertical, dividit en 37 compartiments numerats del zero al 36, disposats en ordre aleatori i pintats de color vermell o negre (excepte la casella corresponent al zero, que és verda). Dels 18 nombres parells, 10 són negres i 8 són vermells. En canvi, la ruleta té 8 nombres senars negres i 10 senars vermells. El crupier dóna impuls a la roda i tira una petita bola de tefló  que comença a girar i acaba aturant-se en algun dels compartiments. Si aposto un euro al vermell i surt vermell, guanyo un euro, però si no surt vermell, el perdo. Quina és l’esperança matemàtica del que puc guanyar quan aposto un euro al vermell? Si mireu un cop més la nota del final, veureu que és 18/37 – 19/37 = -0,027 euros. L’esperança matemàtica em diu que el que puc esperar és perdre una mica menys de tres cèntims d’euro cada vegada que jugo un euro, degut a la famosa casella del zero, la casella verda. És clar que si jugo sense arriscar-me massa pot ser que guanyi algunes vegades, però si continuo jugant, a la llarga perdré els diners i se’ls quedarà la banca. Ara bé, és clar que si tinc una mica d’informació sobre el moviment de la bola i de la roda de la ruleta en els moments inicials (quan encara es permeten apostes), encara que aquesta informació sigui poc fiable, puc acabar guanyant. Això és el que van fer els del grup Eudaemons, estudiants de doctorat en física, fa uns 40 anys. Amb un petit ordinador que dos d’ells portaven dins el taló de la sabata, processaven la informació que veien i van aconseguir capgirar les probabilitats. Imagineu que el poc que arribeu a detectar en els primers moments del moviment de la bola us permet estimar que la probabilitat que s’aturi en vermell és de 20/37 mentre que la de que acabi en no vermell és de 17/37. Llavors, si aposteu pel vermell, l’esperança matemàtica passa a ser de 20/37-17/37 = 0,081 euros. Si jugueu moltes vegades, acabareu guanyant diners de veritat. Els del grup Eudaemons van guanyar uns deu mil dòlars abans que tinguessin un accident (un d’ells es va cremar la pell del peu) i deixessin de jugar. Però la cosa no va quedar aquí. Hi ha articles científics recents (com aquest) que fan propostes en el mateix sentit: si tenim una mica més d’informació, encara que aquesta sigui pobre, podem capgirar les probabilitats i aconseguir una esperança matemàtica de guany, a la llarga.

Però l’esperança matemàtica no només és útil en els jocs d’atzar. També ho és en molts processos de decisió complexes i en casos en què els humans estem deixant passar el temps sense decidir res mentre hipotequem el futur dels nostres néts. Coneixeu la Declaració sobre la Terra? És una declaració escrita per 17 reconeguts científics, que proposa vuit mesures per la reunió sobre el canvi climàtic que es farà a París el proper mes de desembre. Entre d’altres mesures, proposen que l’any 2050 el món tingui un balanç zero d’emissions de diòxid de carboni, de manera que siguem capaços de reabsorbir tot el que emetem. Fem una prova: apliquem el concepte d’esperança matemàtica al problema de les nostres emissions contaminants i de l’energia del futur. Per simplificar, podem pensar en tres escenaris possibles, que anomenaré A, B i C. L’escenari A és que els humans siguem capaços d’aconseguir un balanç zero d’emissions de diòxid de carboni l’any 2050, a base de reduir dràsticament l’ús de combustibles fòssils, apostar fortament per les energies renovables i inventar sistemes tecnològics de captura i reabsorció de diòxid de carboni. L’escenari B és que la humanitat ho aconsegueixi però més tard, per exemple l’any 2100. El tercer escenari és que passem el problema als nostres besnéts i al segle XXII. Ara pensem en el cost de cada una de les tres opcions, entenent per cost el que els nostres descendents hauran de pagar durant els dos propers segles. La teoria de sistemes ens diu que les conseqüències d’un retard en la presa de decisions són exponencials. Aquí entrem en el camp de l’especulació i les teories poden ser molt diverses, però el comitè IPCC de les Nacions Unides és pessimista. Poseu el valor que vulgueu als costos estimats de les opcions B i C, però és ben segur que el cost de la B serà molt més alt que el de l’opció A i que el de l’opció C serà extremadament elevat. I com ja sabem, l’esperança matemàtica del que la humanitat haurà d’acabar pagant d’una manera o altra (amb pobresa, desigualtats, conflictes etc.) és CostA * PA + CostB * PB + CostC * PC, on PA, PB i PC són les probabilitats que el món acabi adoptant la solució A, B o C. O bé aconseguim veure la gravetat del problema i fem que PB i PC siguin molt baixes, o enfonsarem la vida dels nostres besnéts. Si en teniu ganes, podeu jugar amb aquesta formula i fer proves variant els dos costos CostB i CostC (en relació al primer cost CostA) i les dues probabilitats PA i PB, perquè PC=1-PA-PB. I fixeu-vos que si no actuem aviat i de manera decidida, haurem de fer PA igual a zero…

El seu nom és esperança matemàtica, un nom que ens porta flaires de complexitat. Però si coneixem de manera aproximada les probabilitats, finalment no és més que una esperança aritmètica que podem calcular amb ben poques sumes i multiplicacions. L’esperança matemàtica ens ajuda a prendre bones decisions, i és menys difícil de calcular que el que fem amb un full de càlcul. Aquí teniu els danesos, que han apostat per la descontaminació i les energies netes. Copenhaguen, reconeguda com la ciutat Europea verda 2014, vol ser una ciutat neutra en emissions de diòxid de carboni l’any 2025 i està exportant tecnologia d’energies alternatives (la foto de dalt és justament d’aquesta pàgina web). Els seus habitants han vist que l’esperança matemàtica del que poden guanyar, econòmicament, en salut i en qualitat de vida, és gran i els compensa. La tenim en compte, l’esperança matemàtica, a la ruleta de la vida?

Per cert, Birgitta Jónsdottir diu que Snowden ho ha arriscat tot perquè sapiguem el que passa, i que si guanyen les eleccions i governen a Islàndia li concediran la ciutadania islandesa.

——-

NOTA: Més en concret, l’esperança matemàtica és un concepte de la teoria de la probabilitat. Representa la quantitat mitjana que podem “esperar” com a resultat d’un experiment aleatori quan la probabilitat de cada esdeveniment es manté constant i l’experiment es repeteix un elevat nombre de vegades. L’esperança d’una variable aleatòria discreta es calcula com la suma de la probabilitat de cada possible esdeveniment multiplicat pel valor de l’esmentat esdeveniment. Si apliquem aquest algorisme a l’exemple dels autobusos, podem veure fàcilment que l’esperança matemàtica del temps que tardaré en arribar al meu destí és (2/3)*20 + (1/3)*23 = 63/3 = 21 minuts suposant que arribo a la parada i pujo al primer autobús que arriba. Amb aquesta hipòtesi, la probabilitat de pujar a un autobús de la línia A és 2/3 perquè ha de ser el doble de la probabilitat de pujar a un autobús de la línia B, que ha de ser de 1/3 per a que la suma de probabilitats sigui la unitat. No obstant, i com a darrera observació, cal tenir en compte que si volem afinar més, ens caldrà complementar el valor de l’esperança matemàtica amb una estimació de la dispersió, per allò que ja sabem dels pollastres: si ens diuen que en grup de 10 persones tenen un pollastre per persona en mitjana i no ens diuen res de la dispersió, no podem saber si realment cada u té un pollastre o bé hi ha 9 persones sense res i un darrer privilegiat que s’ha quedat els 10 pollastres. De la mateixa manera, el fet que l’esperança matemàtica en el cas dels autobusos sigui de 21 minuts només ens diu que si fem la mitjana del que hem tardat dia a dia al llarg d’un o dos mesos, ens donarà 21 minuts. El que sempre continuarà essent una incògnita és el temps que tardaré demà (tot i que puc assegurar que es trobarà entre 20 i 23 minuts).

En el cas de la ruleta, si aquesta no té imperfeccions i com hem dit té 37 compartiments o caselles, és clar que la probabilitat que la bola s’aturi en una casella prefixada és de 1/37. El problema de quan aposto pel vermell és que en total hi ha 18 caselles vermelles i 19 no vermelles perquè cal comptar la verda. Per tant la meva probabilitat de guanyar és 18/37 mentre que la de perdre és 19/37. A la ruleta sempre és més probable perdre que guanyar, encara que la diferència és subtil i per tant engrescadora. Com que el meu benefici si guanyo és un euro i en canvi, quan perdo, perdo l’euro que havia apostat, l’esperança matemàtica és 1*(18/37) + (-1)*(19/37) = 18/37 – 19/37 = -0,027 euros

2 comentaris

  • pbrunet

    16/06/2015 13:42

    Tens raó, Lluís. És bo pensar en el desitjable, encara que sigui molt difícil d’aconseguir i poc probable. En tot cas, els costos no són pas sempre econòmics. I en alguns casos, com el del pas a les energies alternatives, si tots plegats penséssim en termes d’esperança matemàtica del que pot passar a curt, mig i llarg termini, crec que no aniríem pel camí que anem…

  • Lluís Lledoner

    15/06/2015 20:58

    Però a vegades, pot ser racional jugar en contra de l’esperança matemàtica. I el motiu és que el valor que les persones donem as diners, no és lineal.
    Subjectivament, un benefici gran ens pot canviar la vida i pot ser desitjable malgrat ser improbable; en contrapartida, una sèrie de petites pèrdues gairebé segures, pot ser assumible.
    Per a algunes persones, clar. Jo mateix no jugo mai a la loteria…

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús