L’altre Leonardo

Fa poc, en una conversa entre amics, va sortir el nom de Fibonacci. Tot parlant vaig constatar que aquest era, per dir-ho fàcil i curt, un nom poc conegut. Per què hem de saber-ne coses, d’aquest tal Fibonacci?. Què va fer? Al vespre, em vaig quedar pensant. En Leonardo de Pisa mereixia uns paràgrafs.

De Leonardo de Pisa sabem que va viure tres segles abans que l’altre, el da Vinci, i sabem que li deien Fibonacci perquè era fill d’un tal Guiglielmo, de renom Bonacci (bon jan). També sabem que l’any 1202, fa més de vuit segles, va escriure un llibre, el Liber Abaci. Una de les coses que va incloure al llibre va ser un curiós problema sobre la taxa de creixement  dels conills a les granges. Fibonacci mai va poder imaginar que aquest estrany problema sobre els conills és el que el faria famós.

Fibonacci es va plantejar definir un model per al creixement dels conills. Deia que si deixem una parella de conills en un tancat, els alimentem i els anem observant a intervals regulars de temps, veurem que cada cop són més perquè s’aniran reproduint com a conills que són. Però de fet, l’interessant no és tant el problema que va proposar sinó la seva solució. La hipòtesi de Fibonacci va ser que si al principi tenim una parella i encertem bé cada quantes setmanes observem el grup, la propera vegada veurem dues parelles; la següent tres, i les següents tres vegades ens hi trobarem cinc, vuit i tretze parelles. Amb el problema dels conills, va inventar la seqüència que porta el seu nom: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … . És ben fàcil de recordar. Només cal començar amb l’1 i el 2 i anar sumant, perquè cada número de la seqüència de Fibonacci és la suma dels dos anteriors. El cinc és 2+3, el vuit és 3+5, i els següents al 13 i 21 són el 34 i el 55 perquè són el resultat de sumar 13+21 i 21+34. Cal reconèixer que aquesta seqüència no acaba d’explicar bé el creixement dels conills, perquè òbviament hi ha molts factors que en Fibonacci no va considerar. Però el que és admirable és que la seva sèrie (o seqüència) explica adequadament un bon nombre de fenòmens de l’Univers:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Ara sabem per exemple que la seva solució al problema dels conills amagava la famosa secció o raó àuria. Sense saber-ho, Fibonacci va descobrir la clau d’aquesta proporció divina, la que de fet ja coneixien els grecs. I ho va fer tres-cents anys abans que fos redescoberta per l’altre Leonardo (el de Vinci) i descrita amb termes com secció àuria o rectangle àuri en el ben conegut llibre de Luca Pacioli amb dibuixos originals de Leonardo de Vinci: De Divina Proportione. Segons Leonardo da Vinci i Luca Pacioli, un rectangle auri és un rectangle A format per un quadrat enganxat a un altre rectangle B de manera que B té les mateixes proporcions que A. En aquest cas, la relació entre les mides dels dos costats del rectangle auri és justament la raó o secció àuria. Leonardo da Vinci (així com molts d’altres pintors posteriors) va utilitzar rectangles auris per situar harmònicament els objectes en els quadres, i és ben conegut que les finestres i elements arquitectònics que segueixen les proporcions del rectangle auri són estèticament agradables. La pintura i l’arquitectura són plens d’exemples de rectangles explícits o implícits que segueixen aquesta proporció divina de la secció o raó àuria. Però, com es construïen aquests rectangles auris? Durant el segle XVI, els artistes i dissenyadors havien après a fer-ho amb regla i compàs. Doncs bé, el canvi va arribar un segle més tard, a principis del segle XVII, justament de la mà de Kepler. L’any 1605, Kepler va demostrar per primera vegada que el que Leonardo de Pisa havia dit a principis del segle XIII servia per crear els rectangles auris que Leonardo da Vinci havia necessitat feia anys. La troballa de Kepler va ser meravellosa i unificadora: va veure que si agafem un full de paper i fem rectangles amb parelles de nombres consecutius de la seqüència de Fibonacci, molt aviat aquests rectangles acaben essent els rectangles auris que desitjava Luca Pacioli. En d’altres paraules, un rectangle de 34 x 55 ja és pràcticament de proporcions divines o àuries, més que un que tingui dimensions 13 x 21 o 21 x 34. Si anem més enllà i construïm un rectangle de 89 x 144 o de 144 x 233 encara s’ajustarà més a les proporcions de la secció àuria. Però és ben fàcil veure que els rectangles de dimensions 34 x 55 en general són ja una bona aproximació al que Pacioli i da Vinci demanaven.

Ara bé, la seqüència de Fibonacci i la raó àuria no només serveixen als arquitectes i pintors. És una seqüència que explica no només les proporcions estàtiques, sinó que regeix un bon nombre de dinàmiques naturals. Fibonacci es troba en el cor de molts processos de creixement a la natura, com es mostra en aquest vídeo (que és d’on he tret la imatge de dalt). Agafem un paper quadriculat, pintem dos quadradets adjacents, i ja tenim un petit rectangle. A continuació, dibuixem un quadrat adjacent al costat més gran d’aquest rectangle, obtenim un nou rectangle, i repetim el procés tot pintant un quadrat que toqui el seu costat més llarg. Tal com mostra el vídeo, la mida dels quadrats va generant tota la seqüència de Fibonacci mentre que, ben aviat, la forma dels rectangles tendeix a la proporció o secció àuria. A més, el conjunt creix mentre dona voltes i produeix automàticament l’espiral logarítmica que trobem a fenòmens naturals tan diversos com les closques d’invertebrats (Nautilus), els ciclons tropicals i fins i tot les galàxies. La pauta de creixement dels ciclons és la mateixa que la que trobem implícita als quadres de Leonardo da Vinci o Albrecht Durer: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. És la llei dinàmica de creixement dels fenòmens que es basen no només en les posicions sinó també en les velocitats, i que coneixem gràcies a Newton. És el creixement que necessita saber l’estat (posició o mida) actual i l’anterior, perquè cada quadrat que afegim mentre fem créixer l’espiral de Fibonacci té una mida igual a la suma dels dos anteriors. De fet, no és més que la pauta dels conills del fill d’en Bonacci.

La simplicitat de les lleis de la natura es troba en un estrany problema que Leonardo de Pisa va plantejar l’any 1202, tres-cents anys abans de l’explosió renaixentista de Leonardo da Vinci i 500 anys abans de Newton. Tot és fàcil i no cal recordar quasi res: comenceu per l’1 i el 2, aneu sumant cada cop els dos darrers nombres, i quan arribeu al 34 i 55 tindreu una bona aproximació de la proporció que impulsa el creixement de ciclons i galàxies a la vegada que construeix les espirals de la vida.

Per cert, en Jean Daniel diu que l’espiral de violència de molts conflictes només es pot parar amb acords signats per les dues parts. Diu que cal anar a la força de la raó, més que a la raó de la força.

1 comentari

  • Jordi Domènech

    28/10/2015 11:36

    Una vegada em va arribar un acudit d’aquells que deuen córrer més aviat entre entre científics:
    ❖ Erwin Schrödinger tenia gat?
    — Sí i no. Simultàniament.
    I cavil·lant en altres científics i els gats, en vaig pensar un altre:
    ❖ Leonardo de Pisa, conegut com Fibonacci, tenia gat?
    No se sap, però de conillets en tenia molts.

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús