L’esfera d’Arquimedes

Plutarc, a Les vides paral·leles i concretament a les biografies de Pelòpides i Marc Claudi Marcel III, explica que Arquimedes va demanar que a la làpida de la seva tomba gravessin un cilindre i una esfera inscrita, una mica com si féssim una superposició de la semiesfera de l’esquerra de la imatge i el cilindre de la dreta. Sabem que així ho van fer perquè Ciceró, a les Disputaciones tusculanas, explica que va visitar el seu sepulcre a Agrigent, que fins llavors era desconegut per als siracusans i que va trobar envoltat i cobert completament d’esbarzers. Diu: “Mentre jo estava recorrent amb la mirada tota la zona, vaig reparar en una columneta que tot just s’elevava per damunt dels matolls, en la qual hi havia la figura d’una esfera i un cilindre”.

És realment una sort que tinguem aquesta descripció de Ciceró, perquè de la seva tomba no en queda res. Tenim, això sí, un quadre de Benjamin West de l’any 1797 que descriu aquest moment de fa més de dos mil anys amb una bona dosi d’imaginació. Pedro M. González Urbaneja i Joan Vaqué Jordi diuen que hi ha una sorprenent unanimitat a reconèixer Arquimedes (287-212 aC) com el més important dels matemàtics de l’antiguitat. Ho diuen a la presentació de Mètode, publicat ara fa quasi vint anys per la Fundació Bernat Metge. El llibre, que us recomano, inclou un extens text introductori en què González i Vaqué repassen la vida i el context en què va viure Arquimedes. Expliquen, entre moltes altres coses, com va comprovar que la corona d’or del rei Hieró no era d’or pur i com, de pas, va descobrir el famós principi d’Arquimedes mentre cridava (sembla ser) Eureka.

Podríem parlar molt dels descobriments d’Arquimedes. Però el millor i més gran de tots, en les seves pròpies paraules, va ser demostrar que el volum de l’esfera és dos terços del volum del seu cilindre circumscrit. Ell mateix va quedar tan sorprès que va demanar que quedés esculpit en pedra a la seva tomba. El seu raonament es va basar en un resultat previ (i molt bonic) d’Éudox d’Cnidos, que ja havia descobert que el volum del con sempre és un terç del volum del cilindre que té la seva mateixa base i alçada. El que va veure Arquimedes és el que mostra la imatge de dalt. Hi veiem una semiesfera a l’esquerra, un con al centre amb la mateixa base que la sessió equatorial de l’esfera i una alçada igual al seu radi, i un cilindre a la dreta amb les mateixes bases i alçades del con. Si ara fem un tall horitzontal imaginari del conjunt esfera-con, obtindrem seccions de mida diferent segons per on tallem. A dalt veiem per exemple un tall per l’equador de l’esfera, que només toca el con en el seu vèrtex superior. Al mig i a sota, en canvi, veiem el resultat de dues seccions diferents i intermèdies. Dons bé, sigui quin sigui el pla de tall horitzontal, Arquimedes va demostrar que la superfície del tall que queda a l’esfera més la del con, és sempre igual a la del tall del cilindre (vegeu la nota al final, amb més detalls). Sorprenent, oi?  En d’altres paraules: si construïm els tres objectes de la imatge en qualsevol material (plastilina, fusta,…), fem un tall horitzontal de tots tres a qualsevol alçada i tot seguit fem un segon tall molt proper, haurem obtingut tres llesques primes. Si posem ara la llesca del cilindre a un plat d’una balança i les altres dues llesques, de la semiesfera i del con, a l’altre plat, veurem que sempre pesen igual, tallem per on tallem. Un cop fet aquest descobriment, el raonament d’Arquimedes va ser ben senzill, perquè aquest comportament de les llesques fa que el volum del cilindre hagi de ser igual a la suma de volums del con i de la semiesfera. En conseqüència, com que sabem que el volum del con és 1/3 del volum del cilindre, el de la semiesfera ha de ser 2/3 de (pi*R*R)*R, que és el volum del cilindre. I només cal multiplicar per 2 per passar del volum de de la semiesfera al de l’esfera, tot obtenint la ben coneguda formula del volum de l’esfera que Arquimedes ens va regalar.

Arquimedes va morir sense por a mans d’un soldat romà, malgrat les ordres que tenia l’exèrcit en el sentit que no havia de ser ferit.

Per cert, Eva Cantón diu que la Tamara, al quiosc de patates fregides de la Place Jourdan de Bruseles, comenta que no es pensa llevar cada dia amb la por al cos perquè mai sabem on i quan ens passarà alguna cosa.

———

NOTA: El raonament d’Arquimedes es va basar en dos importants resultats anteriors. El de Éudox que ja he comentat sobre el volum dels cons i piràmides, i el teorema de Pitàgores. A la semiesfera de la imatge de dalt i a la fila del mig, imaginem el triangle rectangle definit pel centre de la base superior de la semiesfera, el centre del tall circular pintat en cian a la figura, i el punt més a la dreta d’aquest tall. El catet vertical, que ve definit per la posició del pla horitzontal de tall, suposarem que té una longitud H. El catet horitzontal és el radi del cercle de tall. Direm rT a la seva mesura. Pel que fa a la hipotenusa, la seva longitud és el radi R de l’esfera, que a la vegada és el de les bases del con i del cilindre. Doncs bé, Pitàgores ens diu que el quadrat de R és igual al quadrat de H més el quadrat de rT. Ara bé, H és també el radi de la secció circular del con, perquè el triangle rectangle corresponent que es forma en el con és isòsceles. Si multipliquem la identitat del teorema de Pitàgores pel nombre pi, tenim que pi*R*R = pi*H+H + pi*rT*rT. En d’altres paraules, la superfície del cercle de tall al cilindre és igual a la del tall del con més la del cercle de tall a la semiesfera. Fàcil, oi? Només cal tenir la idea feliç…

Comenta

Cal que t'identifiquis per poder escriure un comentari.