Els escons virtuals i la regla d’Hondt

De tant en tant, els mitjans de comunicació parlen de resultats electorals. Quan la gent opina sobre els defectes de la llei electoral actual, moltes vegades cita la regla d’Hondt com una de les fonts de tots els problemes. Com és que un vot de Barcelona no compta el mateix que un vot de Lleida? Com és que tal partit va aconseguir molts escons a les darreres eleccions, mentre que d’altres es van quedar amb menys escons dels que hauríem pensat que els corresponien?. La relació entre escons mai és igual a la relació entre nombre de vots. Per què els escons resultants no són proporcionals als vots emesos? Com es reparteix el pastís?

La resposta és senzilla. Però la manca de proporcionalitat no té gaire res a veure amb la regla d’Hondt. Perquè la regla d’Hondt, com veurem tot seguit, només és un algorisme d’arrodoniment. La manca de proporcionalitat és conseqüència d’altres factors que també formen part de les regles del sistema electoral i que tenen una forta influència ja abans del repartiment d’escons: les circumscripcions i la barrera electoral. El que fa que un vot de Lleida no tingui el mateix valor que un vot de Barcelona són les circumscripcions, i el que causa que alguns partits quedin fora del Parlament és la barrera electoral, que actualment i a Catalunya és del 3% (és ben sabut que tots els partits que obtenen menys del 3% dels vots queden fora del recompte). D’altra banda, el parlament català té un total de 135 escons que ja han estat repartits prèviament entre les quatre circumscripcions: els votants de Barcelona s’encarreguen d’elegir-ne 85, els de Girona 17, els de Lleida 15 i els de Tarragona, 18. Amb aquesta pre-assignació, a les passades eleccions del 27-S és ben fàcil veure que a Barcelona, un escó necessitava un total de 34.777 vots en mitjana, mentre que a Lleida aquest valor era de 13.893 vots. Només cal dividir el nombre de vots a candidatures amb representació parlamentària, pel nombre d’escons (vegeu la nota al final).

Per entendre-ho, deixeu-me parlar del que anomenaré escons virtuals. El concepte és ben fàcil, perquè ve de la proporcionalitat, que a primera vista sembla el més desitjable. Després d’unes eleccions, dividim el nombre total de vots vàlids pel nombre d’escons. El resultat és el nombre de vots que caldrien, en un sistema totalment proporcional, per obtenir un escó al Parlament. A les passades eleccions del 27-S, aquest valor va ser de 30.313,7. Si imaginem que no tenim cap barrera electoral, la cosa sembla senzilla. Com que cada 30.313,7 vots és un escó, només cal dividir el nombre de vots que ha obtingut cada partit per aquest valor de 30.313,7, i tindrem el nombre d’escons que corresponen a cada candidatura. El problema és que el nombre d’escons ha de ser sempre enter, i evidentment el resultat d’aquestes divisions no ho és. Per això, al resultat d’aquestes divisions l’anomeno “nombre d’escons virtuals“. És fàcil veure (vegeu la nota al final) que en aquest cas hipotètic de sistema proporcional sense barrera electoral, el nombre d’escons virtuals de JxSí, CCs, PSC, CSQEP, PP, la CUP, Unió i el PACMA a les darrers eleccions del 27-S va ser de 53.7, 24.3, 17.3, 12.1, 11.5, 11.1, 3,4 i 0.99 respectivament. Per què és tan diferent del nombre final d’escons, que va ser de 62, 25, 16, 11, 11, 10, 0 i 0?. No pas per la llei d’Hondt, sinó per com tenim definides les circumscripcions i la barrera electoral. A la nota del final podeu veure també les dades per a dues circumscripcions concretes: la de Lleida i la de Barcelona. Els càlculs per cada una d’aquestes circumscripcions són clars i nets: mostren que el repartiment final d’escons que fa la llei d’Hondt no és més que un arrodoniment del valor dels escons virtuals. Per exemple, i en el cas de Barcelona, el nombre d’escons virtuals de JxSí, CCs, PSC, CSQEP, el PP i la CUP va ser de 32.001, 16.7, 12.12, 8.99, 7.84 i 7.34 respectivament. Podeu veure que el nombre final d’escons (que ser de 32, 17, 12, 9, 8 i 7) és sempre un arrodiment per sobre o per sota del valor corresponent d’escons virtuals. La llei d’Hondt fa petits moviments de menys d’un escó per assignar cada escó virtual a un nombre enter d’escons reals, però no fa més que això.

El mètode d’Hondt va ser inventat l’any 1878 pel matemàtic i advocat belga Victor D’Hondt, i és el més conegut d’aquests algorismes d’arrodoniment. Consisteix en escriure els vots obtinguts per cada partit a la primera columna d’una taula de doble entrada, escriure aquests valors dividits per 2 a la segona columna, posar els quocients de les divisions per 3 a la tercera columna, i així successivament. Un cop fet això, els escons es van assignant a partits escollint simplement valors de la taula de més gran a més petit.

La regla d’Hondt s’utilitza per a les eleccions al Parlament Europeu. A més de Catalunya i Espanya, el fan servir Àustria, Bèlgica, Bulgària, Finlàndia, Gal·les, Escòcia, Israel, el Japó, els Països Baixos, Polònia, Portugal, Suïssa i molts altres. Es parla també de la regla D’Hondt modificada, en què només es consideren els partits que han superat el percentatge de la barrera electoral; però crec que és més clar pensar que són dos processos diferents: en primer lloc s’aplica la regla de la barrera electoral, i a continuació la regla de d’Hondt, només als partits que han superat la barrera. En tot cas, no és pas l’únic. Hi ha països com Nova Zelanda, Noruega, Suècia, Dinamarca i altres que utilitzen la regla de Sainte-Laguë. No és més que un altre sistema d’arrodoniment, que afavoreix menys els grans partits que l’algorisme d’Hondt, i que crea les columnes de la taula dividint per 1, 3, 5, 7… enlloc de fer-ho per 1, 2, 3, 4… I encara n’hi ha molts d’altres: el de Hare, el de Droop, el de Huntington-Hill, etc. Tots ells són mètodes aritmètics senzills que acaben donant una solució al problema de l’arrodoniment dels escons virtuals, amb algorismes que s’anomenen de “la màxima mitjana” perquè el següent escó sempre s’assigna al partit que té el valor més gran, d’entre tots els que queden a la taula. L’interessant és que es fàcil demostrar que l’únic que fan tots i cadascun d’ells és modificar en menys d’una unitat cada escó virtual, portant-lo o bé al valor enter de sobre o bé al de sota. Però aquest és un problema que, en el cas de N partits, té un màxim de 2 elevat a la N solucions (en d’altres paraules, en els cas dels 6 partits del 27-S, hi ha fins a 32 maneres diferents d’arrodonir els escons virtuals per sobre o per sota; però són menys perquè tenim la restricció que el nombre total d’escons del parlament ens ve fixat, vegeu un cop més la nota al final). El mètode d’Hondt ens en dona una, no necessàriament millor que les altres possibles solucions. El resultat sempre agradarà a uns més que a d’altres.

Però, si el problema no és la regla d’Hondt sinó les les circumscripcions i la barrera electoral, perquè no ho canviem i ho millorem? Aquest és un tema molt relliscós, perquè no hi ha cap sistema perfecte, tot té les seves avantatges i inconvenients i sempre hi ha qui guanya i qui perd. Tenir una barrera electoral redueix el nombre de partits presents al Parlament i facilita els pactes, però deixa sense escó alguns partits que tenien més d’un escó virtual tot deixant  sense representació els seus votants. Eliminar la barrera electoral és més representatiu, però dificulta els pactes posteriors. Pensar en poques (o una) circumscripcions electorals  significaria que tots hauríem de votar la mateixa llista amb uns candidats que forçosament serien molt llunyans als electors. Pensar en tantes circumscripcions com escons (135) permetria que poguéssim votar llistes amb candidats coneguts i propers al territori, però a cada circumscripció només seria elegit el més votat, i tots els partits petits quedarien fora del Parlament. Ja ho va dir Arrow en el seu teorema: el sistema electoral perfecte no existeix ni podrà existir mai.

No és fàcil fer una llei electoral, però no caiguem en la temptació de donar la culpa a les matemàtiques, a Victor D’Hondt i als algorismes d’arrodoniment. Pensem en canvi en si preferim anar a llistes obertes, en si volem barreres electorals i en com definim les circumscripcions electorals. No condemnem l’eina, quan som nosaltres els que no ens hem pogut posar d’acord en com han de ser els aspectes més polítics de la nova llei electoral.

Per cert, l’Enric Casulleras denuncia molts aspectes del TTIP, com per exemple que, amb l’argument de donar seguretat jurídica a les inversions, els conflictes entre països i empreses hagin de ser resolts per un comitè d’arbitratge privat. Diu que preferiria que apostéssim per les energies renovables que per la importació de gas americà provinent de fracking.

———

NOTA: A les eleccions al Parlament català del passat 27 de setembre, van votar un total de 4.130.196 persones. Restant els vots nuls i blancs, el total de vots a candidatures va ser de 4.092.349. Si no tinguéssim cap barrera electoral i Catalunya fos una única circumscripció, el nombre de vots per escó hagués estat de 30.313,7. Amb les dades disponibles dels resultats electorals, només cal dividir el nombre de vots de cada candidatura per 30.313,7 per veure que el nombre d’escons virtuals de JxSí, CCs, PSC, CSQEP, PP, la CUP, Unió i el PACMA hauria estat de 53.7, 24.3, 17.3, 12.1, 11.5, 11.1, 3,4 i 0.99 respectivament (utilitzo la notació anglesa del punt decimal per clarificar el significat de les comes). En aquest cas, la llei d’Hondt hagués atorgat 53 o 54 escons a JxSí, 24 o 25 a CCs, 17 o 18 al PSC, 12 o 13 a CSQEP, 11 o 12 al PP, 11 o 12 també a la CUP, 3 o 4 a Unió i probablement 1 escó al PACMA. Quina diferència, oi? Però tots haguéssim hagut de votar la mateixa llista amb els mateixos candidats. Un exemple a l’extrem oposat seria pensar que tenim 135 circumscripcions, tantes com escons. Cada u podria votar una llista amb candidats coneguts i propers al seu territori, però només seria elegit el més votat. Però el que passaria en aquest cas és que els partits petits quedarien fora del Parlament.

Com és ben conegut, el que tenim a Catalunya (a falta d’una nova llei electoral que mai acaba de tirar endavant) és un sistema amb quatre circumscripcions que coincideixen amb les províncies i amb una barrera electoral del 3%. Analitzem, a tall d’exemple, els resultats electorals del passat 27-S a dues de les circumscripcions: Lleida i Barcelona. A Lleida, un cop aplicada la barrera electoral, els partits amb més del 3% dels vots van obtenir un total de 208.395 vots. Com que el nombre d’escons a Lleida és 15, el nombre de vots per escó va ser de 13.893. Si ara dividim el nombre de vots de cada candidatura per 13.893 veiem que el nombre d’escons virtuals de JxSí, CCs, PSC, la CUP i el PP és de de 9.14, 1.92, 1.39, 1.35 i 1.21 respectivament. Fixeu-vos que el resultat que va donar la llei d’Hondt és de 10, 2, 1, 1 i 1 escons respectivament, que no són més que valors arrodonits a partir dels escons virtuals (CSQEP a Lleida va quedar fora del repartiment en haver quedat per sota de la barrera electoral). D’altra banda, a Barcelona, un cop aplicada la barrera electoral, els partits amb més del 3% dels vots van obtenir un total de 2.956.100 vots. Com que el nombre d’escons a la circumscripció de Barcelona és 85, el nombre de vots per escó era de 34.777,65. Si ara dividim el nombre de vots de cada candidatura per aquest valor de 34.777,65 veiem que el nombre d’escons virtuals de JxSí, CCs, PSC, CSQEP, el PP i la CUP és de 32.001, 16.7, 12.12, 8.99, 7.84 i 7.34 respectivament. Un cop més, el resultat que va donar la llei d’Hondt va ser de 32, 17, 12, 9, 8 i 7 escons, que tornen a ser valors que trobem per arrodoniment a partir del valor dels escons virtuals.

Pel que fa al total de solucions que podem trobar per arrodoniment en una determinada circumscripció, tornem a analitzar els resultats a Lleida i Barcelona. En el cas de Lleida, si arrodoníssim per sobre tots els escons virtuals, tindríem que els escons corresponents a JxSí, CCs, PSC, la CUP i el PP serien 10, 2, 2, 2 i 2. Seria una solució que agradaria a tots els partits perquè tothom hi surt guanyant, però no és vàlida perquè això suma 18 i només podem repartir 15 escons. Les solucions vàlides forçosament han d’arrodonir per sota tres dels partits, per a fer que la suma baixi de 18 a 15. El nombre de solucions possibles en aquest cas és el nombre de combinacions de 5 elements agafats de 3 en 3, que és 10. La regla d’Hondt, que va arrodonir per sobre JxSí i CCs tot arrodonint per sota els altres tres, és una d’aquestes deu possibles solucions. En el cas de Barcelona, amb sis partits, si arrodoníssim per sobre tots els escons virtuals, tindríem que els escons corresponents a JxSí, CCs, PSC, CSQEP, el PP i la CUP serien 33, 17, 13, 9, 8 i 8. També és una solució no vàlida perquè suma 88 i només podem repartir 85 escons. Igual que abans, les solucions vàlides han d’arrodonir per sota tres dels partits, per a fer que la suma baixi de 88 a 85. El nombre de solucions possibles en aquest cas és el nombre de combinacions de 6 elements agafats de 3 en 3, que és 20. La regla d’Hondt, que va arrodonir per sobre CCs, CSQEP i el PP tot arrodonint per sota els altres tres, és una d’aquestes vint possibles solucions. Si utilitzeu en canvi el mètode de Sainte-Laguë, trobareu una altra d’aquestes possibles solucions, que afavoreix més els partits petits.

 

2 comentaris

  • pbrunet

    09/05/2016 23:46

    Tens raó, Joan. Ja ho he corregit. El 5% és a les municipals, i a les generals, la barrera és del 3%.

    En tot cas, el bonic dels escons virtuals i del càlcul combinatori que permeten fer és que ens expliquen que, un cop fixades les circumscripcions i la barrera electoral, no tenim pas tota mena de solucions. A les darreres eleccions, per exemple, teniem 10 possibles solucions a Lleida i 20 a Barcelona…

  • Joan Soldevila

    09/05/2016 17:35

    De fet, no és el 5% sinó que és el 3%. El fet que sigui el 3% , igual que a les eleccions espanyoles per cert, és l’aplicació de la llei vigent llavors. Perquè si un partit tingués un 5% dels vots, a Barcelona amb 85 escons a les eleccions del parlament tindria la possibilitat de formar grup parlamentari propi, cosa que no va passar pas en les eleccions on la cup va treure 3 diputats, o C’s o bé SI. El 5% dels vots seria la quantitat mínima a Lleida per treure representació parlamentària. El problema de les circumscripcions queda molt palès a Espanya on 99 escons es juguen en províncies on hi ha de tres a cinc representants, cosa que, de facto, actua com una segona barrera.
    Els escons virtuals són una abstracció ,matemàtica, pel que podem trobar tota mena de solucions que ens aporten alguna cosa més per entendre això.

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús