Aritmètica i estètica

Un possible divertiment per l’estiu: dieu un nombre entre l’1 i el 100, i els altres han de trobar-ne una representació bonica. Guanya qui en opinió de tothom, troba la manera més estètica de representar-lo.

Ho podem fer amb cireres, cigrons o pedretes. Si ho feu, quedareu sorpresos de la quantitat de formes que podeu arribar a crear. La imatge mostra algunes de les representacions del 3, 4, 6, 7 i 10. El 3 i el 6 són nombres triangulars, el 4 és quadrat mentre que el 10 és tetraèdric, tot i que el 4 també és tetraèdric i el 10 també és triangular. La representació que veieu del 7 és particularment interessant perquè la podem veure com un hexàgon regular amb el seu centre o com un conjunt de triangles regulars. El 91, que és primer, no és triangular però és un nombre piramidal quadrat. I els nombres no primers es poden disposar sempre com a rectangles o poliedres paral·lelepipèdics amb més o menys graus de llibertat segons el nombre de factors que tinguin (tot i que és ben conegut que l’empaquetament rectangular aprofita menys l’espai que el triangular). El 29, també primer, es pot representar com dos nombres triangulars units pel vèrtex, amb 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4 i 5 cigrons a les seves files. I així, podeu anar inventant formes i formes i veure quines us agraden més. Ja fa anys, en Albert Beiler ens va explicar l’estètica dels nombres i moltes més propietats i curiositats, amb una aproximació lúdica a la teoria dels nombres.

Però també podem parlar de l’estètica del grafisme. Els xinesos i japonesos pengen poemes a la pared per gaudir no només del seu contingut sinó també de la seva grafia i composició. I el mateix passa amb els nombres. He de confessar, per exemple, que trobo més estètic el 689 que el 274, i més elegant el 202 que el 153 (reconec que tinc una certa tendència als palíndroms). Ara bé, l’escriptura dels nombres dona molt més joc del que poc semblar, si ens posem a pensar en representacions posicionals que no siguin en base 10. El problema és que tota l’aritmètica que ens ensenyen de petits es deriva del fet que tenim deu dits, i ens costa veure que hi ha bastants nombres que, en bases diferents de la decimal, tenen grafismes particularment estètics. Pensem en tres nombres primers: el 17, el 23 i el 37. No es poden descompondre en factors, no admeten disposicions rectangulars, no són triangulars ni tetraèdrics, però en determinades bases diferents de la decimal són palíndroms. El 17, en el país binari dels ordinadors, és el 10001, mentre que en país dels ànecs (amb tres “dits” al peu) el 23 s’escriu 221. I, els ànecs que compten amb els 6 dits dels dos peus, escriuen el 37 com el palíndrom 101.

Com diu en George Steiner, hauríem de celebrar la prodigiosa fortuna per la qual “un pobre animal forcat” com nosaltres ha engendrat tres llenguatges majestuosos: podem cantar i sonar música, argumentar matemàtiques i gaudir i sorprendre’ns amb el llenguatge de la poesia. Per això l’aritmètica pot ser estètica: perquè, en ser part d’un dels tres llenguatges dels humans, ens porta a l’esbalaïment i ens ajuda a construir i mantenir una vida sotmesa a la reflexió, com ja pensaven els grecs.

——
Per cert, la Judit Carrera parla de la cultura del debat de Fraenkel i diu que és més important estimar la veritat que voler guanyar una discussió. L’important, diu, és el dubte com a mètode i la convicció que som fal·libles, és a dir, que podem estar equivocats.

1 comentari

  • Jordi Domènech

    08/10/2016 9:40

    Fa 53 anys, a primera vista vaig descobrir una errada en el llibre de text de matemàtiques de segon de l’antic batxillerat. deia que els nombres primers fins el 100 eren: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91 i 97.
    Ara, a primer cop d’ull he tornat a veure el 91, que val 7 × 13 descrit com a primer…
    Em sembla que ha actuat el mateix mecanisme cerebral que fa que recordi, cada vegada que hi passo, una reixa de ferro amb un pom a un metre de terra, on hi vaig xocar de cap quan era petit. El «dolor» de descobrir amb onze anys una errada al llibre, va actuar de la mateixa manera que el real i quan he vist primer i 91 han saltat totes les alarmes.
    Des d’aquell dia he estat molt aficionat a aquest número. Té propietats curioses, per exemple, per dividir de memòria un nombre entre el 10 i el 90 per 91, cal escriure un zero, una coma, multiplicar el primer nombre per onze, tot separant les xifres i introduint la suma al mig, escriure aquest nombre menys 1, i a continuació les mateixes xifres restades de 9. Les sis xifres són els decimals periòdics del resultat. Per exemple 62 / 91 = 0,681318681318…
    A vegades també hi ha estètiques totalment numèriques.

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús