Les relacions i els triangles

Fa poc, en dues ocasions diferents, he estat parlant de relacions entre diferents variables amb estudiants. En tots dos casos, els estudiants eren de cursos avançats en carreres de ciències. Em vaig quedar glaçat quan vaig veure que tenien dificultats en calcular una de les variables en funció de l’altra. Ho vaig trobar preocupant perquè justament el mètode científic per entendre el món inclou l’estudi de les relacions (o funcions, en llenguatge matemàtic). Si els de ciències no ho saben fer, qui podrà desxifrar el que passa?

La vida és plena de fenòmens que estan relacionats. La meva esperança de vida depèn, per exemple i entre d’altres coses, de la quantitat d’exercici que faig. L’import de la factura d’electricitat depèn del meu consum energètic. La temperatura interior d’una tenda d’un camp de refugiats a l’hivern depèn de la potència de l’estufa que hi hagi, i l’índex de desenvolupament humà (IDH) d’un país és funció de l’esperança de vida de la seva gent. La imatge de l’esquerra, que he tret d’aquesta pàgina web, mostra que hi ha una forta relació entre els índexos IDH i HOI de diversos països africans (en verd) i d’Amèrica Llatina (en vermell, vegeu la nota al final).

Totes les relacions que acabem de comentar es poden representar gràficament, amb un bon grau d’aproximació, amb una línia recta (en llenguatge matemàtic, diem que es poden descriure amb funcions afins). Però tenen una dificultat amagada: no són relacions de proporcionalitat. Comparem qualsevol dels exemples anteriors amb el que fem quan anem al supermercat, i pensem ara en la relació que hi ha entre el preu que pago pel pernil dolç que demano que em tallin ben finet, i la quantitat de pernil que em donen. Aquesta sí que és una relació proporcional perquè el doble de pernil val el doble, i la meitat val la meitat. És més: si no en vull gens, no hauré de pagar res. Sembla lògic, oi? Doncs no és el que passa a les relacions que comentava al principi. Si el meu consum elèctric és zero, em vindrà una factura amb el cost del comptador, que hauré de pagar. Si no poso cap estufa a la tenda és evident que la temperatura interior no serà zero sinó que serà semblant a l’exterior, i els índexs HOI i IDH no són proporcionals (un IDH de 0,50 correspon a un valor HOI d’aproximadament 40, però és evident que si reduïm l’IDH a la meitat, el 0,25 no correspon a un HOI de 20).

La paradoxa és que el món és ple de relacions que es poden aproximar per una línia recta i que són afins (no proporcionals), mentre que tot allò que no és proporcional ens deixa una mica desbordats. Sabem com resoldre els problemes del tipus pernil-preu, però els problemes que he plantejat al principi se’ns fan més difícils perquè necessiten dues dades en lloc d’una. En el càlcul del preu del pernil o de la fruita, només cal saber el preu del quilo. Però en el cas de la factura d’electricitat, si desconec el desglòs de la tarifa i només em diuen el que he pagat quan he consumit una determinada quantitat E de quilowatts hora, no tinc manera de saber el que hauré de pagar si en algun moment consumeixo el doble o el triple. Ara bé, el bonic d’aquestes relacions afins és que si em donen una segona dada i em diuen el valor de la factura corresponent a un altre consum E’, ja tinc tot el que necessito. Tinc dos punts a la gràfica, i la geometria em diu que per dos punts passa una recta. La dibuixo, i ja puc saber el valor de la factura que correspon a qualsevol consum energètic. Fins i tot, mirant el valor del cost quan E=0, puc trobar el preu del lloguer del comptador.

En poques paraules, els problemes basats en relacions afins (no proporcionals) que es poden aproximar per una línia recta necessiten dues dades mentre que els problemes proporcionals només en necessiten una (vegeu la nota al final). I els problemes que necessiten dues dades són més difícils d’entendre que els basats en relacions proporcionals. He de dir que justament aquest va ser el problema que va desorientar els dos estudiants. Estic segur que haguessin fet bé els càlculs si haguessin conegut l’equació de la recta que modelava la relació, però només tenien dos punts, dues dades. I, sense equació, no sabien com calcular una variable en funció de l’altra.

Però hi ha un truc. Tot plegat és molt més fàcil del que sembla. Només cal recordar el que ens deia Tales de Milet. Tornem a la imatge de dalt. Imaginem que només ens donen les dades de Moçambic (MOZ) i de l’Argentina (ARG). Són als dos extrems de la gràfica. Moçambic té un HDI de 0,32 i un HOI de 20, mentre que l’Argentina té un HDI de 0,78 i un HOI de 84. Podem marcar els dos punts a la gràfica i dibuixar la recta que els uneix. Ara, com que ja sabem la relació, podem calcular el valor estimat de l’índex HOI de qualsevol altre país. Per exemple, quina és l’estimació de l’HOI d’un país que tingui un HDI de 0,70? Aquest és el problema que bloqueja molts estudiants, tot i que és extremadament fàcil de resoldre (fins i tot si no recordeu l’equació de la recta que passa per dos punts). Només cal dibuixar dos triangles rectangles. El que té com hipotenusa el segment que va de MOZ a ARG i com a dos catets el segment horitzontal que passa per MOZ i el vertical que passa per ARG, i un segon triangle més petit que aprofita el vèrtex MOZ i part de la hipotenusa i del catet horitzontal del primer triangle, però que acaba en el catet vertical corresponent a HDI = 0,70. Segons el teorema de Tales, aquests dos triangles són semblants i per tant, els seus costats són proporcionals. Ara, amb un senzill raonament proporcional (vegeu la nota al final), ja podem resoldre el problema. El teorema de Tales de Milet ens ha transformat un problema de funcions afins en un de raonament proporcional, perquè tot és proporcional quan l’origen passa a ser un dels dos punts de la recta (en aquest cas, el punt MOZ).

Vaig quedar preocupat. Després de la parlada amb els dos estudiants, volia entendre què fallava. I vaig voler veure quins conceptes matemàtics formen part del que podríem anomenar la nostra “cultura general”. Crec que una bona font és el recull de continguts clau que es demanen en acabar la ESO, perquè és allò que tots els nens i joves han d’haver assolit. Els podeu trobar aquí. A l’apartat de valors i cultura es demana un bon coneixement dels drets humans, i en ciències socials i entre d’altres temes, el coneixement del passat i present de Catalunya en el context d’Espanya i d’Europa. En matemàtiques, a més d’entendre les relacions i funcions, es demana explícitament que coneguin el raonament proporcional, però no altres tipus de raonament una mica més elaborats com els de les gràfiques en línia recta i els triangles semblants. Tal vegada aquí podem tenir part del problema, perquè el raonament científic s’ha d’entendre i practicar des de la primària. Per això penso que cal promoure l’edició de llibres de ciència per nens. Sense anar més lluny, fa poc he llegit un llibre divertit que pensa que el lector és ja un petit científic. El llibre vol transmetre l’actitud de mirar al voltant, preguntar-se, mesurar i comprovar amb propostes d’experiments divertits que van des de entendre els colors a escoltar el silenci. Crec que aquest és el camí. Només aconseguirem estendre l’actitud científica si entusiasmem els nens i els joves.

———

Per cert, en Xavier Antic explica que la poetessa Blanca Llum Vidal celebra el Nobel a Bob Dylan tot recordant, sense comentaris, un sol vers seu: “But to live outside the law, you must be honest”

———

NOTA: La gràfica de la imatge compara diversos països africans (en verd) i d’Amèrica Llatina (en vermell) segons el valor del seus índexs IDH i HOI. L’IDH és utilitzat pel Programa de les Nacions Unides per al Desenvolupament (PNUD), i inclou mesures  d’alfabetització, educació i esperança de vida. L’índex HOI inclou informacions com el grau d’assistència a les escoles entre els 10 i els 14 anys i el percentatge de població que té accés a l’aigua potable, electricitat i atenció sanitària. Comparant un cop més Argentina i Moçambic, el percentatge d’accés a l’electricitat és del 100% en el primer cas i del 3% en el segon, mentre que els d’accés a l’atenció sanitària són del 64% i del 0,47%. S’observa que la relació es pot modelar bastant bé amb una recta que deixa els països africans a l’esquerra i els americans a la dreta.

Les relacions proporcionals es poden modelar amb rectes que passen per l’origen de coordenades, amb equació y = m*x on m és el seu pendent. Les funcions afins, en canvi, es representen amb rectes que no passen per l’origen, del tipus y = m*x + b. Tot és fàcil si coneixem els valors dels paràmetres m i b, però no ho és tant si hem de calcular m i b a partir de dos punts de pas de la recta. Aquesta és la raó per la qual el dibuix de dos triangles semblants por ser d’ajut. Ara bé, val a dir que un canvi de variables ben senzill ho arregla tot. Si diem z = y – b, és clar que z = m*x i, en els eixos z-x, la recta ja passa per l’origen.

La mida dels catets horitzontal i vertical del triangle rectangle que es forma entre els punts MOZ i ARG és 0,46 i 64 respectivament. A més, el catet horitzontal del segon triangle (semblant al primer) és de 0,70 – 0,32 = 0,38. Com que el teorema de Tales ens diu que la proporció entre els dos catets ha de ser la mateixa, la divisió entre 0,46 i 64 ha de ser igual a la divisió entre 0,38 i el catet que estem calculant del segon triangle. només cal multiplicar 64 per 0,38 i dividir el resultat per 0,46 i veiem que aquest catet mesura 52,87. Si li sumem el valor de l’índex HOI de MOZ, obtenim el resultat: el valor de l’HOI és de 72,87.

Tot el que acabem de veure només serveix en el cas de funcions que es puguin representar amb un línia recta. En aquests casos, tot és senzill i podem calcular valors amb una única dada (cas proporcional) o amb dues (cas afí). Ara bé, la realitat no sempre és tan senzilla, i moltes de les relacions entre fenòmens i indicadors que veiem s’han d’especificar amb més de dues dades i s’han de modelitzar amb funcions més complexes que les proporcionals i afins. Fixeu-vos, per exemple, en la relació entre l’IDH i el consum d’energia que podeu veure en aquesta pàgina del PNUD. El consum energètic és clarament no lineal perquè no comença a pujar fins que l’IDH no supera un llindar del voltant de 0,6. Després, en canvi, quan l’IDH arriba a valors de 0,8 o 0,9, el consum energètic es dispara perquè la gent ja s’ho compra tot…

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús