La música i els trítons

En George Steiner diu que hauríem de celebrar la prodigiosa fortuna per la qual, un “pobre animal forcat” com nosaltres (així és com ens defineix Shakespeare al Rei Lear) ha engendrat tres llenguatges majestuosos: la música, la matemàtica i la poesia. En el seu llibre ens explica que la música, l’únic idioma planetari, és segurament més antiga que la parla, i que la matemàtica, barreja d’harmonia, equilibri formal i conclusió elegant, pot exhibir una bellesa radiant. De fet, com bé diu, fins i tot els sordmuts poden fer matemàtica.

La música té efectes beneficiosos no només per a nosaltres, sino també per als animals, en base a les reaccions rítmiques que provoca a les neurones del cervell. Quan escoltem una nota musical, per exemple el LA de 400 Hz de la tercera octava de fa uns anys, les nostres neurones reaccionen a aquesta freqüència de quatre-cents bategs per segon. I d’aquí és d’on ve la importància dels harmònics. En aquest cas, els tres primers harmònics vibren a 800, 1200 i 1600 Hz. Allò que distingeix un instrument musical d’un altre és la proporció que conté, cada nota, d’aquests harmònics i dels següents. El que ens resulta agradable és que els harmònics mantenen el ritme. Si imaginem un tambor virtual extra ràpid que marqués el ritme de 400 cops per segon, el seu primer harmònic estaria seguint una cadència de 800 tocs per segon, i la del segon harmònic seria de 1200. Dit d’una altra manera, un de cada tres tocs del segon harmònic coincideix amb un toc de la nota principal, i el mateix passa amb un de cada dos del primer harmònic. Els harmònics van coincidint al llarg del temps de manera regular i en funció de les seves freqüències, i això contribueix al plaer que experimentem quan escoltem les notes.

En Joan Girbau ens va explicar, ja fa més de 30 anys, la íntima relació que hi ha entre aquests dos llenguatges dels trítons, la música i la matemàtica. Aquí podeu llegir l’article complet, que va publicar el Butlletí de la societat catalana de matemàtiques. Partim de la base que cada nota es pot representar per una freqüència u (més les proporcions de barreja dels seus harmònics, que ara per ara no considerarem). La pregunta és: és possible trobar un conjunt finit de notes, que anomenarem S, que ens permeti tocar música amb els instruments? En Joan Girbau deia que, atesa la importància dels primers harmònics, és raonable que si una determinada nota de freqüència u pertany al nostre conjunt S, les notes de freqüència doble i meitat (2*u i u/2) també hi siguin. Ara bé, el fet dels harmònics que abans comentàvem fa que la nostra percepció d’aquestes tres notes en progressió geomètrica de raó 2 (u/2, u i 2*u) sigui molt similar. De fet, les percebem com notes “de la mateixa família”. I és per això que diem que u i 2*u són la mateixa nota, encara que de diferents escales (vegeu la nota al final). Les notes de qualsevol escala són els primers harmònics de les notes de l’escala anterior (més greu).

Ja que l’estructura de les notes en escales ens garanteix automàticament que per a qualsevol nota u, els seus harmònics 2*u i 4*u també existeixen com a notes, la pregunta que sembla lògic que ens fem a continuació és què hem de fer per a que l’harmònic 3*u sigui també una nota que puguem tocar. I aquí comencen les sorpreses. En Joan Girbau demostra que, si volem tenir un conjunt de notes S tal que, per qualsevol nota de S, les notes 2*u, 3*u i 4*u també pertanyin a S, aquest conjunt S ha de tenir infinites notes. La música sembla que té un problema…

Però aquí arriba la genialitat dels pitagòrics, que van resoldre el problema dels harmònics amb una solució aproximada: l’escala pitagòrica cromàtica. Es tracta de trobar un conjunt de notes a cada escala de manera que per cada una d’elles u, hi hagi una altra nota v que sigui aproximadament v=3*u. En Joan Girbau demostra que conjunt més petit de notes que garanteix això conté justament 12 notes. L’escala dodecafònica surt de manera natural quan imposem que els tres primers harmònics de qualsevol nota siguin també (o quasi ho siguin) altres notes que puguem tocar! I una curiositat, que també trobareu a l’article d’en Joan Girbau: si volem millorar l’escala pitagòrica dodecafònica i tenir una millor aproximació dels harmònics 3*u, hem de passar de 12 a 41 notes. Val a dir que les dues millors aproximacions s’obtenen amb 665 i amb 15.601 notes a cada escala. Però, us imagineu un piano amb 665 tecles a cada escala? El fet quasi miraculós que van descobrir els pitagòrics és que tot lliga ja molt bé amb només 12 notes.

Una altra solució al problema dels harmònics és l’escala cromàtica temperada, que surt de definir una distància entre notes (vegeu un cop més la nota al final), pensar en escales d’un cert nombre de notes (per exemple, m) i imposar que totes les distàncies entre notes consecutives siguin iguals. Si s’estudien els valors de m que garanteixen que per tota nota u, l’escala conté també una bona aproximació de 3*u, es troben els valors m=7 (escala natural sense sostinguts), m=12 (escala dodecafònica) i m=29.

De fet, els valors de les freqüències de les 12 notes a l’escala pitagòrica cromàtica i a l’escala cromàtica temperada són molt semblants. Ho podeu comprovar a la pàgina 101 del llibre “Fes matemàtiques!” de Armengol Gasull (si escriviu “matemàtiques música escala cromàtica vibracions segon” a un cercador com Google, anireu directament a aquesta pàgina i podreu veure la taula comparativa). Tot lliga. Les 12 notes de l’escala natural amb sostinguts són la solució al problema d’incorporar els primers harmònics de totes les notes. Mira per on, els pitagòrics van resoldre un bon problema matemàtic d’optimització…

——

Per cert, la Lourdes Parramón parla del recull “Mujeres” d’Eduardo Galeano, i diu que preservar de l’oblit les dones que, pel seu capteniment exemplar, mereixen un lloc d’honor en la memòria col·lectiva, eixuga un deute moral. Parla d’iniciatives ciutadanes que pretenen corregir l’absència clamorosa de dones en l’arena pública, com ara #OnSónLesDones o Falten Elles, una acció de l’organització “Hay Derecho” que assenyala i posa en evidència els dèficits detectats.

——

NOTA: En Joan Girbau comenta que les escales musicals defineixen una relació d’equivalència entre les notes: dues notes u, v són equivalents si u = v*(2^q) per un determinat valor q enter. Això permet definir el conjunt quocient E i el conjunt de notes dins cada escala. Però es pot demostrar que si volem que, donada una nota u de E, 3*u i u/3 siguin també de E, cal un conjunt S amb infinites notes (de fet, això ja passa si només considerem 3*u). D’altra banda, la distància entre dues notes u i v es defineix en base al logaritme de la seva relació, per tal que compleixi les propietats habituals en tota distància: dist (u,v) = log (abs(u/v)).

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús