Les esferes de bastons

Ho he de confessar. M’agraden els icosaedres. Són els sòlids platònics que millor aproximen les esferes, en ser els que més cares tenen. Plató els relacionava amb l’aigua, suau i esmunyedissa. Cada un dels seus 12 vèrtexs és idèntic als altres, formant casquets de cinc triangles equilàters. I a més, com podeu veure als dibuixos de baix de la taula de coordenades d’aquesta web, els 12 vèrtexs es poden agrupar en 3 grups de quatre, que corresponen a les cantonades de tres rectangles de proporció àuria disposats de manera perpendicular.

La imatge, que podeu trobar a aquesta web de la NASA, mostra un icosaedre dalt a l’esquerra junt amb dos sòlids derivats. A dalt al centre (i també a sota) tenim el resultat de quadruplicar el nombre inicial de cares. I dalt a la dreta, veiem el que obtenim si tornem a quadruplicar les cares. Les 20 cares inicials de l’icosaedre passen a 80 i després a 320 (vegeu la nota al final) de manera que l’icosaedre es va convertint pas a pas en una esfera. Són les meravelloses cúpules geodèsiques com les que va crear en Buckminster Fuller.

Un bon treball manual per a fer amb els nens (si tenen una mica de paciència) és construir una quasi-esfera de 80 cares, amb bastons i argolles. El primer que haureu de decidir és el radi de l’esfera final, que anomenaré R. Si voleu que serveixi com a globus per a fer una làmpada, per exemple, podeu escollir un R de 10 o 20 centímetres, però si voleu fer una cabana esfèrica haureu de pensar en un valor de R del voltant d’un metre. Necessitareu 42 argolles metàl·liques i un total de 120 bastons de fusta. Seixanta d’aquests bastons hauran de tenir un forat a cada extrem, amb una separació entre ells igual a 0,546532*R; els altres 60, una mica més llargs, els haureu de preparar amb una separació entre forats igual a c=0,618*R (vegeu la nota al final). Les argolles, com les dels clauers però més grans, han de poder agrupar fins a 6 bastons cada una, quan els enfilem pels seus forats. Un consell: comenceu construint un simple tetraedre de 12 vèrtexs i 20 cares (en el que cada una de les seves arestes estarà formada per dos bastons dels curts units amb una argolla central), i després acabeu omplint les sub-cares amb els altres 60 bastons més llargs. El resultat mereix la pena.

En Buckminster Fuller era un enamorat dels icosaedres. Bona part dels seus dissenys, com el mapa del món “Dymaxion”, es basaven en aquest poliedre regular de 20 cares. Parlava de l’harmonia dels icosaedres, i deia que la humanitat també havia d’aprendre a viure de manera harmònica i en pau, convivint i tenint cura d’aquesta “nau espacial Terra” que és tot el que tenim. Deia que per a fer-ho, calia convertir l’armament en “viviment”, en tecnologia al servei de les necessitats de totes les persones, i saber conviure amb els altres, amb els desconeguts. Llegir els seus escrits és endinsar-se en un Univers molt particular en el que la geometria Platònica i Euclidiana li il·luminava el camí a seguir per avançar cap una societat més humana i respectuosa amb la dignitat de tothom.

———

Per cert, el biòleg Mark Moffett ens parla de la sorprenent habilitat que tenim de trobar-nos còmodes entre desconeguts. Podem entrar a una cafeteria o un estadi ple de gent desconeguda sense pensar-nos-ho dues vegades, cosa que no farien els ximpanzés, o els llops. Aquesta habilitat, diu, ha permès que els éssers humans siguem ara a tot el món. A més, com a conseqüència de les exploracions a partir del segle XV i, més recentment, del turisme i les xarxes socials, ara hi ha contacte entre persones de parts ben llunyanes del planeta. Per tant, ja no podem tenir por dels forasters, diu.

———

NOTA: L’icosaedre té 12 vèrtexs, 20 cares (triangles equilàters), i 30 arestes. Si el subdividim obtenim el del mig de la imatge de dalt, que té 12+30=42 vèrtexs, 20*4=80 cares 30*2+20*3=120 arestes. La regla és molt senzilla. Si anomenem V, C i A el nombre de vèrtexs, cares i arestes del poliedre inicial, el nombre de vèrtexs de l’icosaedre subdividit és V+A perquè aquesta subdivisió es basa en afegir un nou vèrtex al mig de totes i cada una de les seves arestes i després “inflar” l’aresta fins que aquest nou vèrtex passi a trobar-se sobre l’esfera circumscrita (que de fet és la que volem anar aproximant). Això es pot veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt. El triangle marcat amb arestes en vermell, que en el icosaedre inicial era un triangle equilàter amb tres arestes, ara les té subdividides i inflades de manera que tots 6 vèrtexs (els 3 vells i els 3 nous) pertanyen a l’esfera circumscrita. A més, el nombre de cares de l’icosaedre subdividit és C*4 perquè el que cal fer, en un segon pas, és afegir tres arestes a cada cara inicial per unir els seus tres nous vèrtexs, de manera que qualsevol cara inicial en genera 4 de noves. Aquestes 4 noves cares es poden veure bé en el triangle vermell de l’icosaedre subdividit de la imatge de dalt: tres d’elles són verdes i la quarta, la del centre, és de color marró clar. Finalment, el nombre d’arestes de l’icosaedre subdividit és A*2+C*3 per tot el que acabem de veure. La mateixa regla es pot repetir una o més vegades, per anar obtenint icosaedres subdividits que cada cop siguin més semblants a una esfera. De fet, el poliedre de la dreta a la imatge de dalt, que té 80*4=320 cares, s’ha obtingut aplicant la mateixa regla de subdividir les arestes en 2 i les cares en 4 al poliedre de 80 cares del mig (tot plegat es pot complicar encara una mica més, perquè a cada pas de subdivisió, les arestes les podem dividir no en 2, sino en 3, en 4, o en més trossos; es fàcil veure que quan subdividim les arestes en 3, per exemple, cada cara passa a convertir-se en 9 sub-cares).

Algunes curiositats finals. Tots els poliedres que obtenim, fem els passos de subdivisió que fem i dividim com dividim les arestes a cada pas, compleixen la ben coneguda equació d’Euler que s’aplica a tots els poliedres topològicament equivalents a una esfera: C+V=A+2. D’altra banda, tots els nous vèrtexs tenen 6 triangles al seu voltant, mentre que els 12 vèrtexs inicials continuen tenint els 5 que ja tenien. Ho podeu veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt, en el que els pentàgons formats pels 5 triangles que envolten cada un dels vèrtexs inicials es representen en verd. Aquesta és una propietat molt curiosa: quan repetim la subdivisió i arribem, per exemple, al poliedre de la dreta de la imatge (amb 320 cares i 42+120=162 vèrtexs), quasi tots els vèrtexs pertanyen a 6 triangles, menys 12 d’ells, que només en tenen 5. En concret, aquest poliedre té 150 vèrtexs amb 6 triangles i 12 vèrtexs amb 5. Costa de veure, perquè el nostre sistema perceptiu tendeix a confondre anells de 5 i de 6 triangles, però si us hi fixeu bé, trobareu, en aquest poliedre subdividit de 320 cares, els 12 vèrtexs de l’icosaedre inicial amb els seus pentàgons de triangles al voltant. Són a les mateixes posicions que tenien al principi, no s’han mogut.

I un darrer detall. Els triangles dels icosaedres subdividits no són equilàters, sino isòsceles (si fossin equilàters, hauríem inventat un nou sòlid platònic regular, cosa que sabem que és impossible). En el icosaedre inicial, la longitud de les arestes és a=1,051462*R, on R és el radi de l’esfera circumscrita. En canvi, en el de 80 cares del mig de la imatge de dalt, trobem arestes de dues mides. Les vermelles (em refereixo al poliedre de sota de la imatge de dalt) tenen una longitud b=0,546532*R, mentre que les tres que uneixen els nous punts i subdivideixen la cara en quatre sub-cares tenen una longitud c=0,618*R. Per tant, si volem construir una quasi-esfera de 80 cares amb 120 bastons, n’haurem de preparar 30*2=60 d’una mida b=0,546532*R i 20*3=60 de llargada c=0,618*R. Meitat i meitat. La diferència de llargades entre uns i altres és d’un 13%.

Comenta

Cal que t'identifiquis per poder escriure un comentari.