Sobre corbes, inflexions, Frenet i Fuller

Fa poc, anant per una ruta de muntanya, vaig veure que l’eix de la carretera dibuixava quatre corbes. Era una perspectiva estranya, perquè un petit canvi de rasant feia desaparèixer de la meva vista aquella línia discontínua que, invisible, continuava girant a l’esquerra en una darrera corba que se’m amagava.

Quantes corbes té, una carretera de muntanya? Quan anem en cotxe, si ens interessa, podem esbrinar-ho de dues maneres: comptant corbes o bé comptant inflexions. Perquè aquestes darreres, també anomenades punts (o intervals) d’inflexió, són més fàcils de detectar i comptabilitzar. Són els punts en què el volant del cotxe queda recte quan acabem el gir corresponent a la darrera corba que hem passat i ens preparem per entrar a la següent. A la imatge de l’esquerra (que podreu veure en gran si cliqueu damunt seu) podem observar clarament els tres punts d’inflexió que separen i limiten les quatre corbes visibles. Les corbes són intervals de carretera mentre que les inflexions són els límits o fronteres entre corbes successives. I ja se sap que, quan es parla d’intervals, el seu comptador difereix en una unitat respecte el resultat de comptar transicions (tres dies, dues nits, per exemple).

Imaginem ara un conjunt de punts distribuïts al llarg de l’eix de la carretera. Podem pensar, per exemple, en el punt central de cada traç de la línia discontinua. Cada un d’aquests punts, P, té un “punt germà” associat a ell i ben fàcil de calcular, que és el seu centre de curvatura (vegeu la nota al final). Per als punts P que es troben a corbes cap a la dreta, el seu centre de curvatura és a la dreta de la carretera, mentre que els dels punts de les corbes a l’esquerra són òbviament a l’esquerra.

El bonic de tot això és el que va descobrir en Jean Frédéric Frenet a la seva tesi doctoral, l’any 1847. Els centres de curvatura dels punts de la línia discontínua del centre de la carrereta, que alguns cops s’enfonsen a terra i altres vegades són a l’aire, defineixen un tríedre de direccions perpendiculars entre elles, que va canviant al llarg de la corba i la caracteritza. Com bé ens va explicar Frenet, aquestes 3 direccions perpendiculars formen un sistema de coordenades intrínsec a la corba que indica l’orientació de les dues coordenades que tota corba té a qualsevol punt. En el nostre cas, aquestes direccions són la de l’eix de la carretera (marcada per les línies pintades al seu eix), la de la recta que uneix cada punt P amb el seu centre de curvatura, i la direcció perpendicular, a l’espai, a aquestes dues. Són direccions intrínseques a la corba, que configuren el tríedre que anomenem de Frenet, i que codifiquen tant la direcció de la curvatura com la seva torsió quan anem avançant al llarg de la corba (és interessant observar que la direcció de la curvatura, en els canvis de rasant no peraltats, s’acaba enfonsant a terra fins fer-se vertical).

M’agrada imaginar que, per uns moments, desapareix la carretera i el seu entorn, de manera que només queda la corba discontínua del seu eix, penjada a l’espai. Imagino que puc volar, avançant per ella ben agafat a les direccions del tríedre de Frenet per a poder percebre bé la seva tridimensionalitat. I penso en l’ordre geomètric, tan ubic i tan desconegut.

I de fet, el massa oblidat Buckminster Fuller va entendre que l’ordre geomètric (l’ordre icosaèdric dels seus dissenys “dymaxion”) és el que ens pot salvar, servint de base per a la creació d’un entorn tecnològicament ordenat que ajudi a enriquir l’existència humana. Mira per on, Fuller va arribar a l’ètica a partir de la geometria…

——

Per cert, en Buckminster Fuller va dir que, enlloc d’intentar reformar les persones, calia crear i construir viviment (“livingry”, el contrary de “weaponry”): eines i objectes per a millorar la vida. Perquè, deia, si aconseguim un entorn adequadament organitzat, això permetrà que creixin, exitosament, les capacitats humanes innates i originals.

——

NOTA: Podem calcular la posició aproximada del centre de curvatura C(P) d’un punt P qualsevol de l’eix de la carretera, usant la informació del punt anterior a P (que anomenaré Q) i del posterior, R, en la seqüència de punts que tenim distribuïts al llarg de l’eix. El punt C(P) pertany al pla Pi definit pels punts Q, P, R, i és el centre de la circumferència que els conté. De fet, C(P) no és més que el punt d’intersecció (en el pla Pi) entre les bisectrius dels segments Q-P i P-R, com bé ens explica la geometria. Un cop hem calculat C(P), els tres eixos del tríedre de Frenet en el punt P els podem aproximar pels vectors (R-P), (C(P)-P) i pel producte vectorial d’aquests dos.

Si la corba té trams rectes, però, els punts P, Q, R no defineixen cap pla i tot això deixa de tenir sentit. En aquest cas es diu que el punt C(P) és a l’infinit i que la curvatura a P és zero. I el tríedre de Frenet no existeix. Per això, imaginar-se volant per trams rectes pot ser problemàtic i no és massa aconsellable.

Un comentari final. Per a obtenir resultats més exactes i no tan aproximats, només cal usar punts Q, P, R més propers entre sí. Si ho fem una i altra vegada, veurem que en el límit se’ns acaba apareixent la gran troballa que van fer, de manera separada i independent, Leibnitz i Newton: el càlcul diferencial, amb les seves derivades.

Comenta

Cal que t'identifiquis per poder escriure un comentari.