Arxiu de la categoria ‘Algorismes i geometría’

Baix, dalt, i eurocentrisme

divendres, 11/10/2019

Mirant la bola del món, un dels nostres néts em va fer aquella pregunta que tantes vegades s’havien fet els antics. Si la Terra és rodona, com és que els que viuen a la part de baix no cauen? Què fan, tot el dia de cap per avall?

La pregunta ens pot fer somriure, però és més profunda del que pot semblar. Perquè els mapes del món sí que tenen un dalt i un baix. I, com diu un amic australià, curiosament, els europeus sempre som dalt i ells, a sota. Per què no trobem mapamundis amb el pol Sud a dalt? Com bé explicava Buckminster Fuller, a l’Univers no existeixen conceptes com el de dalt i baix, ni direccions com nord i sud. Només hi ha dins i fora: la força de la gravitació va cap dins (dels planetes i estrelles), de manera que tot allò que és fora “cau” cap al centre de l’astre més proper i, tot allò que “creix” ho fa radialment, en aquesta direcció que estranyament anomenem “vertical”.

La imatge de dalt mostra el primer atles modern, l’anomenat “Theatrum Orbis Terrarum“. El va fer l’Abraham Ortelius i es va publicar l’any 1570. Si cliqueu a la imatge la veureu amb més detall. Sota a l’esquerra hi ha un tros d’aquest mateix mapamundi, amb Europa i Àfrica en blau. Si imprimim aquest mapa, el superposem a un paper quadriculat, i comptem el nombre de quadrats que cauen dins de cada continent, podrem tenir una bona aproximació (amb el mètode anomenat “box counting) de la extensió relativa d’aquests continents. El resultat del meu comptatge és que, segons Ortelius, la superfície d’Europa és el 44% de la d’Àfrica. Però, tenint en compte que Europa té 10,18 milions de quilòmetres quadrats i que Àfrica en té 30,37, veiem que la relació real d’extensions és del 33% (10,18*100/30,37) i no del 44%. Abraham Ortelius va pintar Àfrica més petita del que és. El seu eurocentrisme el va traïr.

Molts mapes no són fidels a la realitat. De fet, no ho poden ser, perquè el globus Terraqüi no admet una representació en el pla. Hem de projectar i moltes vegades trencar. Podem trencar poc i distorsionar molt, o bé podem fer mapes-trencaclosca amb molts trossets i poca distorsió, com el Dymaxion. Però només hi ha una representació totalment fidel: la de la bola del món.

Per això, en Buckminster Fuller va inventar el mapa dymaxion, un mapa que mostra el nostre planeta projectat a les 20 cares d’un icosaedre (o a les 6+8 d’un cub-octaedre), amb un grau de distorsió molt més baix que el de la projecció Mercator que estem acostumats a veure. El mapa dymaxion, a més, no prioritza cap zona específica de la Terra. Segons com situem l’icosaedre, podem veure els continents voltats de mar o el gran oceà amb costes al voltant. Però per una vegada, Europa no és central.

Aquesta animació mostra el plegat i desplegat del mapa dymaxion sobre la Terra.

Quan examinem una bola del món, un exercici molt recomanable és treure-la del seu suport i jugar-hi com si fos una pilota. Les pilotes no tenen dalt i baix, ni això que anomenem nord i sud. La podem girar de manera que Catalunya quedi a la part de sota del tot, o bé deixant la immensitat de l’oceà Pacífic a dalt. En una esfera, tots els racons són iguals. Bé, de fet no totalment iguals, perquè sí que és cert que el nostre planeta té una direcció privilegiada, en girar al voltant del seu eix. Però això no vol dir que ens ho haguem de mirar tot des d’Europa o des l’hemisferi Nord. Després de jugar-hi, proveu de tornar a deixar la bola del món al seu suport amb el pol Sud a dalt. És una posició tan vàlida com la que estem acostumats a veure. El globus de la Terra, com deia en Buckminster Fuller, no té dalt i baix; només té dins i fora. És el que observen i gaudeixen els astronautes, com mostra aquest vídeo.

No és fàcil, però la nostra mirada ha d’aprendre a no veure res com a normal i a sorprendre’s de tot. Si teniu una bola del món, gireu-la i deixeu-la amb el pol Sud a dalt.

——

Per cert, la Rachel Carson ens diu que, per poder-lo entendre i cuidar, hem de saber experimentar la grandesa i el misteri del món en què vivim. Per això, diu, hem d’aconseguir que els nens no perdin el seu sentit innat de sorpresa, aquest “sense of wonder” que ella diu en anglès.

Les seqüències universals

dissabte, 31/08/2019

En George Steiner, en el seu llibre sobre els Trítons, planteja un diàleg imaginari entre un músic, un matemàtic i un poeta. El primer diu que la música és més antiga que la parla, i que molts pensaments van ser cantats abans que dits; i diu que de fet, la música és l’únic idioma planetari. Li respon el matemàtic, dient que el llenguatge matemàtic és harmonia, equilibri formal, conclusió elegant, l’espurna que salta amb la sorpresa; i diu que de fet, fins i tot els sordmuts poden fer matemàtica. Finalment, el poeta, fa veure als altres dos que, per comunicar-se, han usat paraules, i que això demostra que els humans som “zoon phonanta” (animals que parlen); d’aquí ve, per tant, la importància del llenguatge poètic. El meu ésser és el de la llengua, diu.

Fa poc, en José Miguel Mulet es plantejava quin llenguatge hauríem d’usar per enviar missatges a la negror de l’univers, amb l’esperança que tal vegada, algun ésser evolucionat els acabi rebent i pugui entendre que provenen d’altres éssers intel·ligents. Ell parlava de la seqüència dels nombres primers i d’una altra basades en la taula periòdica dels elements. Perquè de fet, pensant en els Trítons de l’Steiner, les matemàtiques acaben sent una bona font per a tenir senyals universals i seqüències auto-interpretables. La fila superior de la imatge n’és un bon exemple. Són els números de l’1 al 20, amb els primers de color taronja i els altres de color blau. No cal explicar res més. Si veiem aquesta estranya seqüència de 20 discs i aconseguim desxifrar-la, haurem entès la factorització i aquell garbell que Eratòstenes va descobrir ara fa uns 2200 anys, i podrem afirmar que “algú” l’ha escrit (la probabilitat que aquesta combinació de 20 boles taronges i blaves sigui fruit de l’atzar és de 1 entre un més d’un milió: el valor de la potència 20 de 2).

I, què representen les 10 files de sota de la dels nombres primers, a la imatge? És clar que ens indiquen 5 parelles de números: 4-4, 6-8, 8-6, 12-20, 20-12 (el primer sempre blau i el segon, taronja). És una altra seqüència universal, finita i de només cinc parelles. Una de les joies de la geometria. Si algú la pot desxifrar, és que ha arribat com a mínim al coneixement matemàtic dels grecs, perquè aquestes parelles representen el nombre de vèrtexs i cares de cada un dels anomenats sòlids platònics. Tots sabem que hi ha infinits polígons regulars: triangle, quadrat, pentàgon… Però en canvi, a l’espai, només existeixen cinc poliedres regulars. Són poliedres que tenen totes les seves cares iguals. Tenim infinites possibilitats en 2D, i només cinc a l’espai. Interessant, oi? Aquí els teniu, els 5 sòlids platònics. Els coneixem i sabem que només poden ser cinc gràcies a Plató, que ho va escriure als seus diàlegs. Però és una idea que ja es coneixia abans. Segons Proci de Constantinoble, els sòlids platònics podien haver estat descoberts per Pitàgores o pels Pitagòrics. I és fàcil veure que no poden ser més de cinc (vegeu la nota al final d’aquest article).

L’interessant d’aquestes 5 parelles és la dualitat que ens mostren, i que fa que no importi si les blaves representen vèrtexs i les vermelles indiquen cares, o si és a l’inrevés. La primera, la parella 4-4, correspon al tetraedre, que té 4 vèrtexs i 4 cares, totes elles triangles equilàters. Però la segona i la tercera, les 6-8 i 8-6, ja són duals. Una representa el cub i l’altre l’octaedre. El cub té 6 cares i 8 vèrtexs, mentre que l’octaedre regular està format per 8 cares triangulars que convergeixen en 6 vèrtexs, que justament són al centre de cada una de les 6 cares del seu cub dual. I, finalment, les també duals 12-20 i 20-12 corresponen a l’icosaedre i al dodecaedre. El primer té 12 vèrtexs i 20 cares triangulars, mentre que el dodecaedre té 20 vèrtexs que uneixen les seves 12 cares pentagonals. La dualitat, en aquest cas, fa que aquests 20 vèrtexs siguin al centre de cada una de les 20 cares de l’icosaedre dual, i que els pentàgons surtin de les 5 cares triangulars de l’icosaedre que van a parar a cada un dels seus vèrtexs. Deixant a banda el tetraedre, els sòlids platònics són duals dos a dos, en una meravellosa mostra d’ordre poètic que va captivar els antics i que segurament ha fet (o farà) pensar als éssers de qualsevol altra forma de vida intel·ligent que pugui brollar a l’univers.

He parlat només de vèrtexs i cares i no d’arestes, perquè Euler (i Descartes) ens van explicar que en tot poliedre connex i sense forats passants, el nombre de cares C, vèrtexs V i arestes A estan relacionats per l’equació V+C=A+2. Hem de imaginar, per tant, que els receptors sabran obtenir la seqüència, subordinada, d’arestes: 6, 12, 12, 30, 30 (els poliedres duals tenen un nombre idèntic d’arestes).

Tot plegat és una pàgina amb boles (o rodones) de dos colors. Però és una distribució que només poden construir éssers que hagin estat transformats per aquesta bellesa subtil que tenen les matemàtiques i la geometria. Qui la pugui desxifrar, segur que també haurà desenvolupat habilitats musicals i poètiques (segurament diferents a les nostres, però sublims per a elles).

——

Per cert, en José Miguel Mulet diu que la prova definitiva que comunicar-se amb éssers d’altres planetes és complicat, és que fer-ho amb altres espècies del nostre planeta s’ha demostrat molt difícil. Fins i tot, a vegades, es fa difícil amb altres persones…

El millor camí, a Manhattan

divendres, 19/07/2019

Fa poc, comentant amb uns amics com anar d’un lloc a un altre en una localitat del Vallés, vaig explicar el meu camí preferit. Em van dir que no, que no ho feia bé, que el camí més curt era un altre.

Vaig quedar intrigat. Quan ens vam acomiadar vaig voler comprovar-ho. Mirant el mapa, vaig confirmar que els dos camins (el que jo feia i el que ells em proposaven) eren iguals en recorregut. Com vaig poder veure, els carrers d’aquella zona formen una perfecta quadrícula com la del barri de Manhattan a Nova York o com la de l’eixample de Barcelona (que mostra la imatge i que podeu trobar a aquesta pàgina web). Es tractava d’un cas com el que he esquematitzat a la imatge de sota. Calia anar del punt A al punt D en el rectangle de l’esquerra, i és evident que les llargades dels recorreguts A-B-D i A-C-D són idèntiques.

A les ciutats, la distància més curta entre dos punts determinats no és la del segment recte que els uneix. Si els carrers formen una quadrícula, el punt d’origen A i el de destí (D) defineixen un rectangle de carrers que queda delimitat per dos altres punts B i C que depenen de manera unívoca de A i D, com indica la imatge de sota. Doncs bé, si vull anar d’A a D sense sortir del rectangle A-B-C-D, vagi per on vagi sempre caminaré la mateixa distància. El seu valor és l’anomenada distància de Manhattan, més gran que l’Euclidiana però real i útil en pobles i ciutats.

Ara bé, si els dos camins A-B-D i A-C-D són igual de llargs, és el mateix anar per un que per l’altre? La resposta és negativa: no hi ha un camí més curt, però sí que podem parlar de quin dels dos recorreguts és millor. El primer és un concepte geomètric, mentre que el segon és subjectiu. Puc preferir un d’ells perquè hi ha més arbres i ombra, perquè hi ha botigues, o tal vegada perquè fa menys pujada. I aquí ens tornem a trobar amb la geometria. En el cas que comento, els 4 punts eren a diferents alçades, tal com indica el gràfic de la dreta de la imatge de sota. Si anomenem h(A) l’alçada del punt A, teníem que  h(C) > h(D) > h(A) > h(B) (vegeu el comentari de la nota del final sobre la distància de Manhattan en aquest cas). El camí A-B-D implicava baixar una mica per després pujar entre B i D, i en canvi el camí A-C-D començava amb pujada i després acabava baixant entre C i D. Una hipòtesi que podem fer (no és la única) és que baixar no costa cap esforç, mentre que la dificultat d’una pujada depèn del seu pendent. En aquest cas, és fàcil veure que el millor camí és el A-C-D si h(D)-h(B) > h(C)-h(A), i que en canvi, en el cas contrari és el A-B-D. En altres paraules: amb la hipòtesi que hem fet, el millor camí és el que menys baixa en el seu tram descendent.

No és el mateix parlar del camí més curt que del millor camí. Si es tracta de saber quin és el millor camí, la solució no és única, perquè el concepte de “millor” és personal i subjectiu (conec una persona que, en una situació similar però en la que h(A) > h(C) > h(D) > h(B), enlloc d’anar tranquil·lament pel camí groc que va baixant de A a C i de C a D, prefereix començar anant per la baixada de A a B i després fer la pujada forta de B a D). Però si es tracta de saber el camí més curt, el resultat ens ve de la ma de la geometria i acaba sent un fet indiscutible: les distàncies de Manhattan, en camins que no tornin enrere innecessàriament, són totes iguals. Perquè la ciència, que es basa en l’observació objectiva dels fets, es recolza en els teoremes de la matemàtica i la geometria, que com bé ens recorden (en aquest vídeo) els divulgadors de Big Van ciència, són objectius i eterns.

——

Per cert, en Michael Shermer (parlant d’algunes visions apocalíptiques sobre els que ens pot passar amb la intel·ligència artificial) diu que hem de ser escèptics amb tot el que llegim i el que ens arriba, que ens hem de basar en fets comprovats, i que no ens hem de fiar d’allò que ens diuen que passarà. Perquè, diu, el percentatge d’encert de les prediccions apocalíptiques ha estat, històricament, igual a zero.

——

NOTA: La distància de Manhattan és única i sempre la mateixa quan els 4 punts A, B, C i D són a la mateixa alçada en un terreny horitzontal, i és fàcil veure que també ho és quan aquests 4 punts són en un pla no horitzontal (és el cas de barris construïts en terrenys que ocupen zones inclinades de pendent constant). No ho és, en canvi, en el cas que mostra la imatge de sota, a la que és fàcil comprovar que els quatre punts A, B, C i D no són a cap pla (el pla que passa per A, B i C no conté el punt D, per exemple). Però habitualment, aquestes diferències en distàncies són ínfimes, perquè les distàncies a recórrer són molt més grans que les diferències d’alçada entre els punts, i el teorema de Pitàgores ens diu que els triangles rectangles que tenen un dels catets molt més petit que l’altre compleixen la propietat que la hipotenusa té pràcticament el mateix valor que el seu catet gran.

Elogi del coneixement

dimecres, 10/07/2019

Fa unes setmanes vaig assistir a una jornada molt especial, organitzat amb motiu de la jubilació del professor Albert Corominas com a professor de la UPC. Aquí podeu veure el vídeo complet de l’acte.

El fil conductor de la jornada, que van anar desenvolupant tant l’Albert Corominas com els seus companys de taula Nico Hirtt i Rosa Cañadell, va ser el de la reivindicació del coneixement, que els darrers anys ha anat perdent protagonisme mentre cada vegada es parla més que cal educar en les anomenades competències. Se’ns diu que no cal adquirir coneixements perquè tot el saber és accessible a tothom a la xarxa, que no cal ensenyar-lo i que l’únic que cal és aprendre a aprendre. I se’ns explica que, com que el coneixement creix exponencialment i es renova de manera incessant, allò que avui s’aprèn esdevindrà obsolet ràpidament. Com que, a més, les persones que ara estudien treballaran en ocupacions que avui no podem ni tan sols imaginar, transmetre coneixement és una pèrdua de temps, diuen.

He de dir que una de les frases que es van citar em va impactar especialment. És la que va dir, en una entrevista i fa pocs mesos, la  Susan Redline, professora de trastorns del son a l’Escola de Medicina de Harvard. La Suran va dir textualment “la meva filla i les meves netes, amb quatre clics es posen tant al dia en ciència com jo”. Primer vaig pensar que devia ser un error, perquè la gent que conec que fa més de 40 anys que treballen en ciència, estudiant, llegint, experimentant i intentant assimilar coneixement, ara se’n adonen que encara no saben res. Després, ho veig entendre tot i em vaig tranquil·litzar, aplicant un raonament matemàtic ben senzill. Perquè aquest problema de saber com pot ser que les seves netes, amb quatre clics, es posin tant al dia en ciència com ella, té una solució que existeix, que és única, i que és aquesta: el coneixement en ciència d’ella, de la seva filla i de les seves netes ha de ser forçosament nul.

Quan penso en això d’aconseguir coneixement amb 4 clics, em venen al cap alguns exemples que he viscut personalment. En comento breument només un, que pot semblar estrany però que crec que és paradigmàtic: la història de com he anat formant el meu coneixement sobre els triangles. Vaig començar a saber-ne alguna cosa durant l’ensenyament primari, abans dels deu anys. Després, entre els 10 i els 20, vaig conèixer algunes de les seves propietats (amb la trigonometria), teoremes (Pitàgores) i alguns dels seus punts significatius, com el baricentre i l’incentre. Entre els 20 i els 30, vaig entendre que els triangles eren el cas bidimensional dels simplexes, i vaig descobrir el món apassionant dels espais de dimensió superior a tres. Entre els 30 i els 50, vaig entendre i vaig poder gaudir de les coordenades baricèntriques i de totes les seves implicacions i usos computacionals, mentre que a partir dels 50 vaig descobrir, entre d’altres moltes propietats, els seus milers de possibles centres. I també, passats els 50, he tingut el privilegi de poder compartir i usar aquest coneixement amb altres persones (estudiants i professors) per a resoldre problemes reals del món industrial, de la medicina, del patrimoni cultural, i fins i tot s’han plantejat solucions per a alguns problemes relacionats amb la resolució pacifica de conflictes. Perquè la gent no ho sap, però els triangles són al centre de molts dels algorismes computacionals que hem de concebre per a resoldre problemes de tot tipus que impliquen formes geomètriques. En aquest i en molts altres casos, podríem dir que el coneixement ens penetra lentament en com a mínim tres fases: primer el rebem, després, amb temps, treball i esforç, el descobrim de veritat i l’entenem (és el moment màgic del “ara ho entenc!”), i finalment som capaços d’usar-lo. El coneixement ens permet actuar millor només si abans l’hem entès. Però entendre és molt més que quatre clics.

La meva experiència personal em diu que això de que “les persones que ara estudien treballaran en ocupacions que avui no podem ni tan sols imaginar i que per tant transmetre coneixement és una pèrdua de temps” és radicalment fals. El coneixement sobre triangles que vaig rebre i després entendre, l’he pogut acabar aplicant 40 o 50 anys després per a resoldre problemes actuals que llavors no existien. I el mateix passa amb moltíssimes altres coses que vam aprendre durant el batxillerat i la carrera, i que ara, en un món totalment diferent, ens són essencials, ens ajuden a entendre una mica el que ens envolta, i ens donen eines per a no deixar-nos enganyar. El coneixement no caduca, encara que ens ho vulguin fer creure. Cal estudiar, cal llegir, cal aprendre tota la vida, i, com diu un bon amic, cal llegir textos llargs.

Com deia l’Albert Corominas, hem acabat assumint com a normal allò que no ho és, i hem creat una escola que, enlloc de formar persones, acaba fabricant gent adaptable que se suposa que ha adquirit les competències que demana el mercat de treball. L’Albert deia que hem de reivindicar el coneixement, sabent que no serà fàcil perquè tant el coneixement com l’esperit crític són “perillosos” per l’actual sistema neoliberal. I ens explicava que el coneixement és apassionant, però que no cal que sigui divertit: requereix esforç i constància.

La imatge de dalt és del fresc “L’escola d’Atenes“, que Rafael va pintar als salons del Palau Apostòlic del Vaticà. Mostra Plató i Aristòtil junt amb un bon grapat de pensadors que van crear i difondre coneixement: Zenó, Epicur, Pitàgores, Hipàtia, Sòcrates i altres. Aquests salons també s’anomenen les “Stanze di Raffaello”.

——

Per cert, l’Albert Corominas cita en Nico Hirtt, i diu que la societat capitalista moderna no té cap interès en una ciutadania massa instruïda, perquè això és perillós i surt massa car. D’altra banda, constata que sense coneixements, les competències són buides. I és pregunta cóm resoldrem problemes sense coneixements. Diu: què comunicarem, si no tenim res a dir?

Comprem o ens compren?

dissabte, 29/06/2019

Fa poc vaig escoltar, en una xerrada, la Cristina Giner. Parlava de la intel·ligència de negoci, i es preguntava de quina manera els professionals poden generar valor utilitzant l’anàlisi de la informació disponible, que bàsicament és informació i dades sobre clients actuals i clients potencials (els “targets“, segons deia ella). En el primer cas, parlava de les tècniques de fidelització, mentre que en el segon comentava que hi ha sistemes per a captar (podríem dir “caçar”) nous clients. Es tracta de tenir informació personalitzada, i de “saber sense preguntar”. Vaig quedar bastant sorprès quan va explicar que determinats centres comercials obtenen dades d’ubicació en temps real de les persones que van pel carrer, seleccionen les que estan passant per davant de la botiga, i a aquestes els envien missatges específics amb ofertes atractives per a que entrin a comprar.

Cal pensar-s’ho dues vegades abans de baixar-se una aplicació per al mòbil, i cal no anar massa ràpid a dir que acceptem que accedeixi a la nostra ubicació, a la càmera, als nostres contactes i a altres informacions privades. Perquè si ho fem, a més de rebre ofertes i saber les darreres novetats, els podem estar enviant informació sobre on som i què fem. I, al final, no queda clar qui compra a qui…

La sociòloga turca Zeynep Tufekci, en aquest vídeo TED, diu que el que ens ha de fer por no és el que la intel·ligència artificial ens pot fer, sino com la gent poderosa utilitzarà la intel·ligència artificial per controlar-nos i manipular-nos de manera oculta, subtil i inesperada. Perquè, diu, gran part de la tecnologia que pot amenaçar la nostra llibertat i dignitat a curt termini està sent desenvolupada per empreses dedicades a capturar i vendre les nostres dades i la nostre comportament amb objectius publicitaris i comercials: Facebook, Google, Amazon, Alibaba, Tencent. Només cal pensar en tot allò que Facebook sap de nosaltres: actualitzacions d’estat, converses de Messenger, llocs des d’on es hem registrat, fotografies que vam penjar… i fins i tot el que no hem volgut escriure: si comencem a escriure alguna cosa i ho esborrem perquè canviem d’opinió, Facebook també es guarda el que hem esborrat i ho analitza. I no només Facebook. Zeynep Tufekci explica que les aplicacions que ens baixem als mòbils i les galetes (“cookies”) que deixem instal·lar als nostres navegadors van captant informació nostra en paral·lel a donar-nos els serveis que demanem. Informació que no només surt del que escrivim sino que també inclou el nostre estat emocional, que els sistemes intenten deduir a partir de les nostres fotos i imatges. És allò que Tufekci anomena la intel·ligència artificial emocional. L’exemple paradigmàtic, explica en un article, és aquesta aplicació xinesa per a mòbils, per a seguidors del president Xi Jinping. Com que ja se l’han instal·lat més de 100 milions de xinesos, comença a passar allò que els qui no la tenen són ja una mica sospitosos només per no haver-se-la baixat. I a més, Zeynep Tufekci diu textualment, parlant de la captació d’emocions: “aviat, pot ser que la gent de la Xina no pugui desviar la mirada mentre utilitzen l’aplicació, perquè la càmera del telèfon podria estar avaluant el seu interès i vivacitat mentre llegeixen les darreres declaracions de Xi, per a descomptar punts als que semblin menys entusiastes”. Si deixes de llegir atentament, el mòbil avisa i informa els gestors de l’aplicació, dient-los que tens poc interès. Fa por, oi?. Zeynep Tufekci conclou que necessitem una economia digital en la que les nostres dades i la nostra atenció no es venguin a compradors negociants i/o demagogs.

Sabíeu que, a twitter, hi ha un bon percentatge de missatges (tuits) que han estat elaborats per màquines amb finalitats publicitàries i comercials? Els anomenats “chatbots” generen i envien missatges amb objectius diversos, segons qui els hagi creat, fent-se passar, moltes vegades, per persones reals (els “chatbots” són un tipus de “bots“, robots informàtics que generen tuits i altres missatges de manera automàtica). L’article de Jon-Patrick Allem, Emilio Ferrara, Sree Priyanka Uppu, Tess Boley Cruz i Jennifer B Unger, tots ells de la Universitat USC de Califòrnia (article que podeu trobar aquí) va analitzar l’estructura de 6803 tuits relacionats amb el tema de les cigarretes electròniques. D’aquests, van trobat que 5203 havien estat emesos per persones reals, mentre que els 1600 restants eren tuits publicitaris enviats per “chatbots“. Els investigadors conclouen que, per a fer qualsevol estudi sociològic, cal primer saber distingir entre uns i altres per tal d’eliminar els que no provenen d’humans. I ells ho van aconseguir, amb una anàlisi dels grafs que tenen com a nodes les etiquetes (“hashtags“) dels tuits (un total de 238 en els tuits humans i de 137 en els dels bots), considerant a més que dos etiquetes estan relacionades i formen un arc del graf si apareixen en un mateix tuit, i assignant pesos als arcs en base al nombre de tuits en que apareixen. El graf de tuits enviats per persones, que podeu veure aquí, és força uniforme; en canvi, el graf dels tuits creats pels “chatbox“, que teniu a aquesta imatge, és molt menys regular perquè hi ha determinades parelles d’etiquetes que són importants per als missatges publicitaris, de manera que s’hi troben molt més sovint. D’aquesta manera, quan ens arriba un nou tuit, és possible analitzar si es tracta d’un tuit publicitari o si ens l’envia algú. Però la tasca no és ni serà trivial, perquè l’objectiu comercial és el contrari (i per tant, els tuits publicitaris dels “chatbots” ben segur que s’aniran sofisticant i perfeccionant).

Hi ha una solució, encara que trenca aquest fals encant de la gratuïtat d’internet: és tan senzill com pagar pels serveis que subministren les entitats no públiques. Per què estem disposats a pagar cada mes una tarifa plana per poder accedir als continguts d’internet i en canvi ens costa acceptar que podríem haver de pagar pels serveis que ens ofereixen les empreses? Jo estaria disposat a pagar una mòdica quantitat per molts dels serveis que m’ofereixen, a canvi de negar-los l’accés a la meva privacitat i a l’ús de les meves dades. Perquè, com bé diu en Tom Webster, quan no pagues per un servei, et venen a tu (la imatge de dalt és d’aquesta web). El miratge d’internet s’ha anat convertint, any rere any, en el miratge i en el focus enlluernador de la publicitat, que ens compra mentre ens ofereix serveis increïbles.

——

Per cert, en Santiago Alba Rico diu que adaptar-se al canvi climàtic trobant-hi nínxols de mercat és com “adaptar-se”, amb una postura còmoda, al seient de l’avió que es precipita al buit. I ens avisa, dient-nos que mentre l’arbre del principi estava prohibit, l’arbre del final del món se’ns ofereix, al contrari, obligatori i abellidor sota el focus enlluernador de la publicitat.

Les fotos que ho resolen tot

divendres, 21/06/2019

Fa poc, uns amics parlaven del complicat que és plasmar la perspectiva en un paper i saber reproduir la direcció de les línies que fuguen, quan es fa un dibuix (vegeu la nota al final, pel que fa als punts de fuga). I algú va comentar que copiar d’una foto, en canvi, és molt més fàcil. L’argument era ben clar: les fotos ho resolen tot, i ens mostren exactament la direcció de totes aquelles línies que habitualment ens costa dibuixar bé.

Però el cert és que una foto, més que resoldre, el que fa és mostrar-nos la realitat. Això sí, projectada en el pla de la imatge que estem veient (vegeu, un cop més, la nota al final).

Tot plegat fa pensar, sobretot quan ens adonem que allò que veiem en una foto és exactament la imatge que es forma a les nostres retines. Mirem els carrers d’un poble, intentem dibuixar-los, i se’ns fa difícil resoldre el problema de definir les direccions dels traços per tal que el dibuix acabi sent quelcom que ens evoqui i representi la realitat. Si fem una foto, en canvi, ens és més fàcil fer-ho perquè podem copiar i la foto ens resol aquest problema de trobar les direccions. Però, com és que necessitem una foto si ja la tenim a la retina? Per què no som capaços de deduir les direccions dels traços directament a partir d’aquestes imatges que es formen en el fons dels nostres ulls? Per què una foto externa ens ho resol tot i en canvi la foto biològica que capten els nostres cons i bastons no resol res?

L’ull humà és com una cambra obscura. Bé, el cert és que és la cambra obscura la que simula el funcionament de l’ull (la imatge de dalt la podeu trobar a aquesta web, de la Amy Chabassier). És un artefacte que els xinesos ja coneixien al segle quart abans de Crist, tot i que va ser Leonardo da Vinci qui li va donar aplicació pràctica com a instrument auxiliar per al dibuix. Leonardo, al 1490, la va utilitzar per estudiar la perspectiva i la va representar en els seus llibres de notes. En un esbós de l’any 1508, va indicar que una cambra obscura podia reproduir la imatge d’un crucifix, com explica P.T. Durbin a la pàgina 67 del seu llibre sobre la filosofia de la tecnologia (cerqueu “how to bring a crucifix into a room camera obscura Leonardo” a Google). Els seus esbossos, alguns dels quals mostren la tecnologia de la cambra obscura, es poden consultar a la versió digital del “Codex Atlanticus. La perspectiva i els punts de fuga van arribar al dibuix i la pintura de la mà de Leonardo da Vinci.

Però el misteri continua: per què les fotos o les imatges de la cambra obscura ens són útils per a entendre la perspectiva, i en canvi la imatge que tenim a la retina no ho és? Doncs perquè el cervell simplifica extraordinàriament la informació visual que ens arriba, i, en aquest procés de simplificació, elimina tota informació relacionada amb línies inclinades i perspectives. El sistema perceptiu és molt bo fent estimacions de si les coses són lluny o a prop, però és molt dolent quan es tracta de captar inclinacions i angles.

Fabriquem una imatge del món que ens serveix per sobreviure, ignorant a la vegada les imatges objectives que el sistema òptic de l’ull ens deixa a la retina. L’evolució ens ha fet així, conformant-nos durant milers de generacions per a adaptar-nos bé al medi. Hi ha neurones que treballen per identificar allò que és vertical i horitzontal, i d’altres que saben reconèixer cares. En canvi, el nostre cervell és molt deficient quan es tracta d’entendre l’angle de les línies inclinades que fuguen. Les tenim a la retina, però el cervell no ens ajuda ni a copsar els seus angles ni a saber reproduir les seves inclinacions. Entenem només una molt petita part de la realitat que ens entra pels ulls, i la resta, el nostre cervell la inventa. Deu ser per això que ens deixem enganyar tan fàcilment quan el que diuen ens agrada…

Però la ciència ens diu que cal anar als fets i estudiar bé la realitat, perquè el món no és allò que ens volen fer veure.

——

Per cert, l’expresident egipci Mohammed Mursi va morir fa pocs dies d’un atac de cor durant el seu judici. Mursi, de 67 anys, havia estat el primer i únic president d’Egipte elegit en unes eleccions lliures. A la presó no disposava ni d’un simple matalàs i dormia a terra a la seva cel·la. El mantenien aïllat del món i no podia llegir llibres ni diaris.  I Helena Maleno ens explica en un tuit que vint-i-dues persones han mort ofegades a una pastera perquè ningú s’ha esforçat en rescatar-les. Helena Maleno ho diu ben clar en un tuit: les noves directrius polítiques dels serveis de rescat europeus, maten. Dos exemples de violació dels Drets Humans, dues noticies que ens mostren que el món no és el que ens volen fer veure.

——

NOTA: Fer un dibuix correcte des del punt de vista de la perspectiva no és difícil, al menys en teoria. La teoria matemàtica és ben senzilla: un dibuix no és més que la projecció cònica, en el paper, de l’escena que estem representant. En paraules més properes, només cal imaginar un punt O en la posició d’un dels nostres ulls, imaginar el paper de dibuix a una determinada distància (20, 30 o 40 centímetres) davant de O, i, per cada punt significatiu de l’escena (cantonades, racons de portes i finestres, extrems de les branques dels arbres, etc.), imaginar la línia recta que uneix aquest punt amb O. La intersecció d’aquesta recta amb el full de paper ens indica el lloc del paper on l’hem de dibuixar.

Ara bé, si el paper el situem darrera de O, el dibuix que obtindrem, invertit, és exactament el que es forma a la retina dels nostres ulls o a la paret del fons de les cambres obscures. Perquè la imatge que tenim a les retines és una fotografia perfecta de la realitat.

Una conseqüència immediata del fet que els dibuixos en perspectiva són projeccions còniques és que tot conjunt de línies rectes de l’escena que siguin paral·leles entre sí, queda representat, al paper, com un conjunt de rectes dibuixades (projectades) que convergeixen en un punt que s’anomena punt de fuga. Hi ha un punt de fuga per cada possible direcció de les línies rectes de l’escena, i els dibuixants diuen que les línies “fuguen” cap aquest punt.

Una darrera observació, essencial per a obtenir bons dibuixos: Si el conjunt de línies paral·leles que fuguen és horitzontal (com és el cas, per exemple, dels lleixes i llindes de portes i finestres), el seu punt de fuga es troba en algun lloc de la línia imaginària horitzontal que, al dibuix, indica l’alçada dels nostres ulls. I a més, convergeixen cap a la dreta o l’esquerra en funció d’on són les parts més llunyanes d’aquestes línies de l’escena. Sempre convergeixen en la direcció del que és més llunyà.

El Sol i les ombres

divendres, 14/06/2019

Tots parlem de dreta i esquerra sense cap dificultat (tot i que els esquerrans i alguns altres necessitem uns instants abans de contestar). No passa el mateix, en canvi, amb les quatre direccions cardinals: Nord, Sud, Est o Oest. Sabeu contestar ràpidament on és el Sud, si us ho pregunten?

Sempre m’ha intrigat per què algunes cultures són més geogràfiques i solars que altres. Als barris i districtes de ciutats anglosaxones trobem noms com “Upper East Side” o “North London“, cosa que no és usual a les ciutats Mediterrànies. A França parlen de les regions “du Midi” però aquí, el migdia no forma part del vocabulari geogràfic. I és que, entendre el moviment del Sol i pensar en base a la nostra rotació perpètua al voltant de l’eix de la Terra no és trivial.

He de dir que algunes frases em deixen pensatiu i una mica preocupat. A continuació comento cinc dubtes/preguntes que he escoltat durant els últims mesos:

“Quin és el moment del dia en què la meva ombra és més curta?”. Aquesta és la pregunta essencial, perquè respondre-la significa entendre on és el Sud, i això ens ajuda en tota la resta. En dia sense núvols i en un lloc sense obstacles significatius que ens tapin el Sol, la nostra ombra sempre és allargada tant al matí com a la nit, i en canvi és més curta al migdia, de manera que el moment en què l’ombra és més curta és l’anomenat migdia solar, instant en què el Sol creua el meridià del lloc i ens assenyala exactament la direcció del Sud (a l’hemisferi Nord; als països del Sud assenyala el Nord). De manera aproximada, podem dir que el migdia solar és a la una del migdia (horari d’hivern) i a les dues quan som en horari d’estiu. Però, donat que el seu càlcul exacte depèn de la nostra coordenada geogràfica de longitud i del dia concret de l’any a travès de l’equació del temps, hi ha webs com aquesta que ens el donen directament per qualsevol lloc del món. I cal dir que els constructors de catedrals, molt més interessats en el cel i el Sol que nosaltres, deixaven moltes vegades un petit forat al capdamunt de la paret Sud i marcaven al terra de la nau principal una línia meridiana, en direcció Nord-Sud, de manera que cada dia sense núvols els raigs de Sol la il·luminaven exactament en el moment del migdia solar (en aquest vídeo ho podeu veure a la catedral de Santa Maria del Fiore de Florència). El Sud, en resum, és la direcció de màxima alçada i esplendor del Sol, que escurça al màxim la nostra ombra. I ara, si ens posem mirant el Sol en aquest moment del seu migdia, tindrem l’Est a l’esquerra, l’Oest a la dreta, el Nord a l’esquena, i estarem orientats.

“Quan pujo al tren, a quin costat m’he de posar per a que no em toqui el Sol?”. No és difícil saber-ho, i pensar-hi és un bon exercici mental. Només cal imaginar el tren movent-se en un mapa mental del trajecte que volem fer, i pensar si viatgem al matí o a la tarda. Si anem de Sud a Nord al matí, és clar és clar que el Sol entrarà per la dreta del tren (als matins, a l’hemisferi Nord, el Sol es va movent pel quadrant entre l’Est i el Sud) i per tant haurem de seure als seients de l’esquerra. Si després tornem a la tarda (anant de Nord a Sud) ens caldrà tornar a seure a l’esquerra, perquè el Sol serà a l’Oest però el tren circula en direcció contrària. I aquest és un raonament que podem fer per qualsevol altra direcció del trajecte. Perquè el Sol és d’allò més precís i previsible. I, com diu la Rosa Montero, quan podem gaudir del plaer de caminar força hores seguides, l’espectacle del Sol que puja lentament pel cel per després tornar a baixar per la banda Oest és sublim.

“Si deixo el cotxe aparcat sota un arbre i vaig a dinar, quan torni, encara serà a l’ombra?”. Totes les ombres, a les nostres latituds, al llarg del dia giren en el sentit de les agulles del rellotge. Per tant, per respondre aquesta pregunta només cal imaginar com anirà girant l’ombra. La imatge de dalt mostra una cantonada. Veiem que la paret de la dreta rep la llum del Sol mentre que la de l’esquerra no. Imaginem ara un rellotge d’agulles, a terra. Com que les ombres giren en el mateix sentit que les seves agulles, podem afirmar que falten pocs minuts per a que la paret de l’esquerra comenci a rebre els raigs de Sol. S’anirà il·luminant mentre l’ombra del pal s’acosta a la paret.

“Per què la setmana de Sant Joan no més la més calorosa de l’any?”. El que passa és que, al llarg de l’any, la intensitat de llum solar, és quasi simètrica i sinusoïdal. L’alçada màxima del Sol, al migdia solar, té el seu mínim al solstici d’hivern i el seu màxim al solstici d’estiu (prop del 21 de juny), que és quan el Sol és més vertical i ens fa llum durant més hores. Però els dies de més llum, prop de les festes de Sant Joan, no són pas els més calorosos. Són els de més escalfament solar, perquè els dies de més hores de Sol també són els de màxima exposició a la seva radiació infraroja. Però escalfament no és sinònim de temperatura. La gran inèrcia tèrmica de la Terra i dels mars ens ho retarda. La inèrcia i l’escalfament progressiu fa que la calor no ens arribi fins al juliol o l’agost.

“Puc saber l’hora, mirant l’ombra de la cantonada del meu carrer?”. La resposta és que sí, encara que de forma aproximada. I, a la inversa, si sé l’hora, puc orientar-me i saber on és el Nord (i el Sud, l’Est i l’Oest). El moviment aparent del sol al cel és un dels fenòmens més ben estudiats al llarg de la història de la ciència. El sol és un bon rellotge, però l’hem de saber llegir. Imaginem-nos al lloc de la imatge de dalt, amb el nostre rellotge de polsera. Primer, hem de canviar a l’hora solar: una hora menys si som als mesos d’hivern, dues hores menys si som als mesos d’estiu. Si el rellotge marca les 11 i som al juny, són les 9 a l’hora solar. Tot seguit, trobem la direcció intermèdia entre aquesta direcció (les 9) de la busca de les hores i la de les 12. En el nostre cas, la direcció intermèdia (anomenada bisectriu) entre la de les 9 del matí i les 12 és la de les 10:30. Ara, només cal girar el rellotge i orientar-lo de manera que aquesta bisectriu coincideixi amb la direcció de l’ombra d’un pal vertical, d’un arbre, d’una cantonada d’edifici o de nosaltres mateixos. La direcció de les 12 al nostre rellotge assenyala aproximadament el Nord (vegeu la nota al final).

Tot plegat no és massa difícil, oi? Només cal saber que, al nostre hemisferi del planeta, el Sol al migdia (les nostres una o dues, segons si som a l’hivern o l’estiu) ens indica el Sud; que, si ens situem de cara al Sud, el Sol al matí és a la nostra esquerra i a la tarda a la nostra dreta; que les ombres giren en el sentit de les agulles del rellotge de manera que al matí apunten a l’Oest, al migdia al Nord i a la tarda a l’Est; que podem orientar-nos molt fàcilment, de manera aproximada, si tenim un rellotge de polsera o si sabem l’hora; i que tot és molt fàcil d’entendre si ens imaginem estirats en una gandula inclinada de manera que ens deixi paral·lels a l’eix de la Terra.

No deixa de ser sorprenent la nostra manca d’interès per entendre un fenomen que ens acompanya tots els dies de la nostra vida, mentre pensem que podem entendre i encasellar l’estructura mental i la manera de pensar de les altres persones. Segur que es pot empatitzar en situació de desinterès pel món que ens envolta?

——

Per cert, Eratòstenes de Cirene va adonar-se que a la ciutat de Syene (l’actual Assuan), els raigs del Sol, al migdia del 21 de juny (solstici d’estiu), són verticals, de tal manera que arriben fins al fons dels pous. Amb aquesta observació, fent algunes mesures més i amb bones deduccions, va poder calcular el radi de la Terra.

——

NOTA: L’eix de la Terra té una orientació “estranya”, inclinada cap al nord i en direcció a la Polar. L’error dels nostres avantpassats i la dificultat que tenim per entendre el moviment aparent del Sol és fruit de la nostra manera provinciana de mirar i entendre el món. Creiem que caminem ben drets i eixerits. Però habitem la Terra, i el nostre planeta té una única direcció singular: la del seu eix E. Som éssers que vivim torçats, inclinats en relació a l’eix E i en relació als altres. Quan els d’Igualada caminen, la seva vertical forma un angle de 48,42 graus amb l’eix de la Terra. Aquest angle és 49,28 de graus pels d’Amposta i de 62 graus pels que viuen a Tenerife. Quina ha de ser la direcció de referència, la meva o la de l’eix de la Terra? Tot es més fàcil si acceptem que l’important, al nostre planeta, és la rotació al voltant del seu eix E, i que som nosaltres els que tenim una vertical estranya i diferent de la direcció d’aquest eix. Imaginem-nos estirats en una gandula inclinada cap al Nord de manera que ens deixi paral·lels a l’eix de la Terra. Si ho fem, gaudirem de l’absoluta regularitat del moviment diürn del Sol, que gira 360/24 = 15 graus cada hora.

A casa i abans de sortir, puc arribar a saber quina serà l’ombra d’una determinada cantonada del meu carrer a les 11 del matí? La resposta és afirmativa, si teniu ganes de fer un exercici d’imaginació. Suposem que és l’estiu. Les 11 són les 9, hora solar aproximada. Són tres hores abans del migdia solar. El Sol, amb la seva extrema regularitat, es trobarà en un pla PS que passa per l’eix de la Terra E i que forma un angle de 15*3=45 graus amb el pla meridià M (pla vertical que conté la direcció Sud). Cal imaginar l’eix E en la direcció cap on, a les nits, hi ha la polar, visualitzar M, i mirant al Sud, girar M 45 graus a l’esquerra: ja tenim el pla PS. I, si pensem en la direcció en què trobem el Sol al migdia i la girem també 45 graus a l’esquerra al voltant de E, sabrem la direcció del Sol DS ara mateix. Imaginem ara el pla paral·lel a PS que passa per un punt Q de la cantonada a un pam de terra: és el pla que conté la línia d’ombra d’aquest punt Q. I la intersecció W entre la recta que passa per Q amb direcció DS i el pla de la vorera ens diu on serà l’ombra de Q. Si el punt W és al carrer, tindrem ombra; si cau dins de la casa, no en tindrem. Costa imaginar-ho, però és perquè no estem acostumats a mirar el cel des de l’orientació de l’eix de la Terra…

Nosaltres (i tot el que ens envolta) girem al voltant de l’eix de la Terra, mentre que la direcció S de la Terra al Sol, vista per un observador inercial i extern al sistema solar, és aproximadament constant al llarg d’un dia. Per això, la recta D que uneix la punta P de qualsevol pal amb l’extrem de la seva ombra al terra descriu, al llarg del dia, un con: perquè aquesta recta, vista des de fora de la Terra, no canvia i sempre té la direcció de S; el que gira és la Terra al voltant del seu eix E. El moviment aparent de D al llarg del dia és un gir al voltant de E, i com bé explica la geometria, tota recta que, passant per un punt P, gira al voltant d’un eix E, descriu un con.

Sobre corbes, inflexions, Frenet i Fuller

divendres, 31/05/2019

Fa poc, anant per una ruta de muntanya, vaig veure que l’eix de la carretera dibuixava quatre corbes. Era una perspectiva estranya, perquè un petit canvi de rasant feia desaparèixer de la meva vista aquella línia discontínua que, invisible, continuava girant a l’esquerra en una darrera corba que se’m amagava.

Quantes corbes té, una carretera de muntanya? Quan anem en cotxe, si ens interessa, podem esbrinar-ho de dues maneres: comptant corbes o bé comptant inflexions. Perquè aquestes darreres, també anomenades punts (o intervals) d’inflexió, són més fàcils de detectar i comptabilitzar. Són els punts en què el volant del cotxe queda recte quan acabem el gir corresponent a la darrera corba que hem passat i ens preparem per entrar a la següent. A la imatge de l’esquerra (que podreu veure en gran si cliqueu damunt seu) podem observar clarament els tres punts d’inflexió que separen i limiten les quatre corbes visibles. Les corbes són intervals de carretera mentre que les inflexions són els límits o fronteres entre corbes successives. I ja se sap que, quan es parla d’intervals, el seu comptador difereix en una unitat respecte el resultat de comptar transicions (tres dies, dues nits, per exemple).

Imaginem ara un conjunt de punts distribuïts al llarg de l’eix de la carretera. Podem pensar, per exemple, en el punt central de cada traç de la línia discontinua. Cada un d’aquests punts, P, té un “punt germà” associat a ell i ben fàcil de calcular, que és el seu centre de curvatura (vegeu la nota al final). Per als punts P que es troben a corbes cap a la dreta, el seu centre de curvatura és a la dreta de la carretera, mentre que els dels punts de les corbes a l’esquerra són òbviament a l’esquerra.

El bonic de tot això és el que va descobrir en Jean Frédéric Frenet a la seva tesi doctoral, l’any 1847. Els centres de curvatura dels punts de la línia discontínua del centre de la carrereta, que alguns cops s’enfonsen a terra i altres vegades són a l’aire, defineixen un tríedre de direccions perpendiculars entre elles, que va canviant al llarg de la corba i la caracteritza. Com bé ens va explicar Frenet, aquestes 3 direccions perpendiculars formen un sistema de coordenades intrínsec a la corba que indica l’orientació de les dues coordenades que tota corba té a qualsevol punt. En el nostre cas, aquestes direccions són la de l’eix de la carretera (marcada per les línies pintades al seu eix), la de la recta que uneix cada punt P amb el seu centre de curvatura, i la direcció perpendicular, a l’espai, a aquestes dues. Són direccions intrínseques a la corba, que configuren el tríedre que anomenem de Frenet, i que codifiquen tant la direcció de la curvatura com la seva torsió quan anem avançant al llarg de la corba (és interessant observar que la direcció de la curvatura, en els canvis de rasant no peraltats, s’acaba enfonsant a terra fins fer-se vertical).

M’agrada imaginar que, per uns moments, desapareix la carretera i el seu entorn, de manera que només queda la corba discontínua del seu eix, penjada a l’espai. Imagino que puc volar, avançant per ella ben agafat a les direccions del tríedre de Frenet per a poder percebre bé la seva tridimensionalitat. I penso en l’ordre geomètric, tan ubic i tan desconegut.

I de fet, el massa oblidat Buckminster Fuller va entendre que l’ordre geomètric (l’ordre icosaèdric dels seus dissenys “dymaxion”) és el que ens pot salvar, servint de base per a la creació d’un entorn tecnològicament ordenat que ajudi a enriquir l’existència humana. Mira per on, Fuller va arribar a l’ètica a partir de la geometria…

——

Per cert, en Buckminster Fuller va dir que, enlloc d’intentar reformar les persones, calia crear i construir viviment (“livingry”, el contrary de “weaponry”): eines i objectes per a millorar la vida. Perquè, deia, si aconseguim un entorn adequadament organitzat, això permetrà que creixin, exitosament, les capacitats humanes innates i originals.

——

NOTA: Podem calcular la posició aproximada del centre de curvatura C(P) d’un punt P qualsevol de l’eix de la carretera, usant la informació del punt anterior a P (que anomenaré Q) i del posterior, R, en la seqüència de punts que tenim distribuïts al llarg de l’eix. El punt C(P) pertany al pla Pi definit pels punts Q, P, R, i és el centre de la circumferència que els conté. De fet, C(P) no és més que el punt d’intersecció (en el pla Pi) entre les bisectrius dels segments Q-P i P-R, com bé ens explica la geometria. Un cop hem calculat C(P), els tres eixos del tríedre de Frenet en el punt P els podem aproximar pels vectors (R-P), (C(P)-P) i pel producte vectorial d’aquests dos.

Si la corba té trams rectes, però, els punts P, Q, R no defineixen cap pla i tot això deixa de tenir sentit. En aquest cas es diu que el punt C(P) és a l’infinit i que la curvatura a P és zero. I el tríedre de Frenet no existeix. Per això, imaginar-se volant per trams rectes pot ser problemàtic i no és massa aconsellable.

Un comentari final. Per a obtenir resultats més exactes i no tan aproximats, només cal usar punts Q, P, R més propers entre sí. Si ho fem una i altra vegada, veurem que en el límit se’ns acaba apareixent la gran troballa que van fer, de manera separada i independent, Leibnitz i Newton: el càlcul diferencial, amb les seves derivades.

Les esferes de bastons

dissabte, 20/04/2019

Ho he de confessar. M’agraden els icosaedres. Són els sòlids platònics que millor aproximen les esferes, en ser els que més cares tenen. Plató els relacionava amb l’aigua, suau i esmunyedissa. Cada un dels seus 12 vèrtexs és idèntic als altres, formant casquets de cinc triangles equilàters. I a més, com podeu veure als dibuixos de baix de la taula de coordenades d’aquesta web, els 12 vèrtexs es poden agrupar en 3 grups de quatre, que corresponen a les cantonades de tres rectangles de proporció àuria disposats de manera perpendicular.

La imatge, que podeu trobar a aquesta web de la NASA, mostra un icosaedre dalt a l’esquerra junt amb dos sòlids derivats. A dalt al centre (i també a sota) tenim el resultat de quadruplicar el nombre inicial de cares. I dalt a la dreta, veiem el que obtenim si tornem a quadruplicar les cares. Les 20 cares inicials de l’icosaedre passen a 80 i després a 320 (vegeu la nota al final) de manera que l’icosaedre es va convertint pas a pas en una esfera. Són les meravelloses cúpules geodèsiques com les que va crear en Buckminster Fuller.

Un bon treball manual per a fer amb els nens (si tenen una mica de paciència) és construir una quasi-esfera de 80 cares, amb bastons i argolles. El primer que haureu de decidir és el radi de l’esfera final, que anomenaré R. Si voleu que serveixi com a globus per a fer una làmpada, per exemple, podeu escollir un R de 10 o 20 centímetres, però si voleu fer una cabana esfèrica haureu de pensar en un valor de R del voltant d’un metre. Necessitareu 42 argolles metàl·liques i un total de 120 bastons de fusta. Seixanta d’aquests bastons hauran de tenir un forat a cada extrem, amb una separació entre ells igual a 0,546532*R; els altres 60, una mica més llargs, els haureu de preparar amb una separació entre forats igual a c=0,618*R (vegeu la nota al final). Les argolles, com les dels clauers però més grans, han de poder agrupar fins a 6 bastons cada una, quan els enfilem pels seus forats. Un consell: comenceu construint un simple tetraedre de 12 vèrtexs i 20 cares (en el que cada una de les seves arestes estarà formada per dos bastons dels curts units amb una argolla central), i després acabeu omplint les sub-cares amb els altres 60 bastons més llargs. El resultat mereix la pena.

En Buckminster Fuller era un enamorat dels icosaedres. Bona part dels seus dissenys, com el mapa del món “Dymaxion”, es basaven en aquest poliedre regular de 20 cares. Parlava de l’harmonia dels icosaedres, i deia que la humanitat també havia d’aprendre a viure de manera harmònica i en pau, convivint i tenint cura d’aquesta “nau espacial Terra” que és tot el que tenim. Deia que per a fer-ho, calia convertir l’armament en “viviment”, en tecnologia al servei de les necessitats de totes les persones, i saber conviure amb els altres, amb els desconeguts. Llegir els seus escrits és endinsar-se en un Univers molt particular en el que la geometria Platònica i Euclidiana li il·luminava el camí a seguir per avançar cap una societat més humana i respectuosa amb la dignitat de tothom.

———

Per cert, el biòleg Mark Moffett ens parla de la sorprenent habilitat que tenim de trobar-nos còmodes entre desconeguts. Podem entrar a una cafeteria o un estadi ple de gent desconeguda sense pensar-nos-ho dues vegades, cosa que no farien els ximpanzés, o els llops. Aquesta habilitat, diu, ha permès que els éssers humans siguem ara a tot el món. A més, com a conseqüència de les exploracions a partir del segle XV i, més recentment, del turisme i les xarxes socials, ara hi ha contacte entre persones de parts ben llunyanes del planeta. Per tant, ja no podem tenir por dels forasters, diu.

———

NOTA: L’icosaedre té 12 vèrtexs, 20 cares (triangles equilàters), i 30 arestes. Si el subdividim obtenim el del mig de la imatge de dalt, que té 12+30=42 vèrtexs, 20*4=80 cares 30*2+20*3=120 arestes. La regla és molt senzilla. Si anomenem V, C i A el nombre de vèrtexs, cares i arestes del poliedre inicial, el nombre de vèrtexs de l’icosaedre subdividit és V+A perquè aquesta subdivisió es basa en afegir un nou vèrtex al mig de totes i cada una de les seves arestes i després “inflar” l’aresta fins que aquest nou vèrtex passi a trobar-se sobre l’esfera circumscrita (que de fet és la que volem anar aproximant). Això es pot veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt. El triangle marcat amb arestes en vermell, que en el icosaedre inicial era un triangle equilàter amb tres arestes, ara les té subdividides i inflades de manera que tots 6 vèrtexs (els 3 vells i els 3 nous) pertanyen a l’esfera circumscrita. A més, el nombre de cares de l’icosaedre subdividit és C*4 perquè el que cal fer, en un segon pas, és afegir tres arestes a cada cara inicial per unir els seus tres nous vèrtexs, de manera que qualsevol cara inicial en genera 4 de noves. Aquestes 4 noves cares es poden veure bé en el triangle vermell de l’icosaedre subdividit de la imatge de dalt: tres d’elles són verdes i la quarta, la del centre, és de color marró clar. Finalment, el nombre d’arestes de l’icosaedre subdividit és A*2+C*3 per tot el que acabem de veure. La mateixa regla es pot repetir una o més vegades, per anar obtenint icosaedres subdividits que cada cop siguin més semblants a una esfera. De fet, el poliedre de la dreta a la imatge de dalt, que té 80*4=320 cares, s’ha obtingut aplicant la mateixa regla de subdividir les arestes en 2 i les cares en 4 al poliedre de 80 cares del mig (tot plegat es pot complicar encara una mica més, perquè a cada pas de subdivisió, les arestes les podem dividir no en 2, sino en 3, en 4, o en més trossos; es fàcil veure que quan subdividim les arestes en 3, per exemple, cada cara passa a convertir-se en 9 sub-cares).

Algunes curiositats finals. Tots els poliedres que obtenim, fem els passos de subdivisió que fem i dividim com dividim les arestes a cada pas, compleixen la ben coneguda equació d’Euler que s’aplica a tots els poliedres topològicament equivalents a una esfera: C+V=A+2. D’altra banda, tots els nous vèrtexs tenen 6 triangles al seu voltant, mentre que els 12 vèrtexs inicials continuen tenint els 5 que ja tenien. Ho podeu veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt, en el que els pentàgons formats pels 5 triangles que envolten cada un dels vèrtexs inicials es representen en verd. Aquesta és una propietat molt curiosa: quan repetim la subdivisió i arribem, per exemple, al poliedre de la dreta de la imatge (amb 320 cares i 42+120=162 vèrtexs), quasi tots els vèrtexs pertanyen a 6 triangles, menys 12 d’ells, que només en tenen 5. En concret, aquest poliedre té 150 vèrtexs amb 6 triangles i 12 vèrtexs amb 5. Costa de veure, perquè el nostre sistema perceptiu tendeix a confondre anells de 5 i de 6 triangles, però si us hi fixeu bé, trobareu, en aquest poliedre subdividit de 320 cares, els 12 vèrtexs de l’icosaedre inicial amb els seus pentàgons de triangles al voltant. Són a les mateixes posicions que tenien al principi, no s’han mogut.

I un darrer detall. Els triangles dels icosaedres subdividits no són equilàters, sino isòsceles (si fossin equilàters, hauríem inventat un nou sòlid platònic regular, cosa que sabem que és impossible). En el icosaedre inicial, la longitud de les arestes és a=1,051462*R, on R és el radi de l’esfera circumscrita. En canvi, en el de 80 cares del mig de la imatge de dalt, trobem arestes de dues mides. Les vermelles (em refereixo al poliedre de sota de la imatge de dalt) tenen una longitud b=0,546532*R, mentre que les tres que uneixen els nous punts i subdivideixen la cara en quatre sub-cares tenen una longitud c=0,618*R. Per tant, si volem construir una quasi-esfera de 80 cares amb 120 bastons, n’haurem de preparar 30*2=60 d’una mida b=0,546532*R i 20*3=60 de llargada c=0,618*R. Meitat i meitat. La diferència de llargades entre uns i altres és d’un 13%.

Les matemàtiques de les infeccions

divendres, 5/04/2019

Des dels anys 80 fins 1995, els mecanismes relacionats amb el virus de la Sida van ser totalment desconeguts. El desenvolupament de la malaltia era estrany. Ho mostra la imatge d’aquí al costat, que podeu trobar a aquesta web. La corba vermella ens indica l’evolució al llarg del temps de la concentració del virus a la sang en absència de tractament, en una escala logarítmica (a la dreta) que arriba fins a més d’un milió de virus per centímetre cúbic. La blava, mostra la concentració de les nostres cèl·lules immunitàries anomenades limfòcits T. La infecció primària generava una gran quantitat de virus durant unes poques setmanes, amb símptomes similars a una grip molt forta. Però el sistema immunitari aconseguia aturar-la parcialment, arribant a una quasi-estabilització a les 10-12 setmanes. Després, durant un llarg període (observeu que l’eix horitzontal de la gràfica té una doble escala), tot semblava tornar a la normalitat. Però, al cap de vuit o nou anys, el pacient entrava a la fase terminal, caracteritzat per un creixement molt i molt ràpid de la concentració de virus que eliminava del tot les poques defenses que encara li poguessin quedar.

Fins al 1995, no es donava gaire importància a la llarga fase latent de més de vuit anys, i els esforços clínics anaven encaminats a aturar la malaltia durant la seva explosió final. Tampoc s’acabava d’entendre perquè hi havia aquesta llarga aturada durant la qual les persones infectades podien fer vida normal.

La gran descoberta va venir l’any 1995 de la mà dels equips de recerca de David Ho i Alan Perelson, amb resultats que van publicar a la revista Nature, quan van aconseguir entendre el que passava durant aquests anys misteriosos de latència. I ho van fer amb matemàtiques, plantejant una equació diferencial per entendre l’evolució de la concentració de virus a la sang (vegeu la nota al final). La conclusió va ser que durant tots aquests vuit o deu anys, res era més lluny de la “vida normal”. Eren anys d’una lluita aferrissada entre el sistema immunològic i el virus, durant els quals, Ho i Perelson van calcular que la persona malalta anava destruint uns 10 mil milions de virus cada dia. Vuit o deu anys eliminant tots aquests virus cada dia! El problema és que el cos humà no pot mantenir aquest esforç massa anys, i ja és molt que sigui capaç de fer-ho dia rere dia durant molts anys. El sistema immunitari s’anava esgotant, i al final del període de latència acabava tirant la tovallola.

El gran error, fins 1995, va ser no pensar atacar la malaltia durant tots aquests anys “tranquils” de latència. Anys en els que la processó, que no es veia, anava per dins. Ho i Perelson van entendre que calia actuar, amb fàrmacs, durant justament aquests anys en els que semblava que no passava res. David Ho va ser nomenat home de l’any per la revista Time l’any 1996, i Alan Perelson va rebre el premi Max Delbruck fa poc més d’un any en reconeixement als seus resultats en immunologia teòrica. Gràcies als dos i a les equacions diferencials que van plantejar, ara es pot controlar l’evolució del virus de la Sida.

En un llibre que aviat publicarà (“Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe“), el professor Steven Strogatz porta els lectors a través de la història de segles i segles del càlcul matemàtic, mentre explica el paper crucial que el càlcul va tenir i ha tingut en la configuració del nostre món actual. Strogatz ho explica molt bé: Ho i Perelson van descobrir que el virus de la Sida no estava inactiu durant l’etapa asimptomàtica, i que era llavors quan calia atacar-lo.

La troballa de David Ho i Alan Perelson és un exemple de saviesa, biològica i matemàtica, que ha permès millorar la seguretat humana de moltes persones a tot el món, cuidant-les i tornant-los la vida.

———

Per cert, la Rosa Montero cita aquests versos de Salvatore Quasimodo: “cada un de nosaltres està sol damunt el cor de la Terra / travessat per un raig de Sol / I de cop, es fa de nit”. I diu que li agradaria tenir la saviesa suficient per a ser capaç de no arruïnar el fulgor d’aquest breu raig de llum amb els seus temors.

———

NOTA: Una de les equacions diferencials de Ho i Perelson indica que la derivada de la concentració V de virus del Sida a la sang (corba vermella a la imatge de dalt) durant l’etapa de latència és igual a P – c*V. En aquesta equació, el valor del paràmetre “c” indica l’eficàcia del sistema immunològic i dels tractaments amb fàrmacs; de fet, si fem P=0 és fàcil veure que l’equació diferencial es pot integrar i ens porta a una concentració V de virus a la sang que és exponencialment decreixent. D’altra banda, i durant la fase de latència, el paràmetre “P” indica que si no féssim res (c=0), la proporció V de virus aniria creixent. El valor de “P” mesura la taxa de reproducció dels virus.

Evidentment, hi ha un equilibri quan la derivada és zero, i això implica P=c*V. I això és el que sembla que passa durant els vuit o nou anys de latència. Però només ho sembla, perquè, com mostren les corbes de la imatge, són 8 anys durant els quals el virus va lentament guanyant el sistema immunitari. En altres paraules, en absència de tractament, durant els anys de latència, el valor de “c” va baixant, poc a poc, però va baixant. Quan finalment el valor de “c” és massa baix, tot explota.