Arxiu de la categoria ‘Algorismes i geometría’

Les esferes de bastons

dissabte, 20/04/2019

Ho he de confessar. M’agraden els icosaedres. Són els sòlids platònics que millor aproximen les esferes, en ser els que més cares tenen. Plató els relacionava amb l’aigua, suau i esmunyedissa. Cada un dels seus 12 vèrtexs és idèntic als altres, formant casquets de cinc triangles equilàters. I a més, com podeu veure als dibuixos de baix de la taula de coordenades d’aquesta web, els 12 vèrtexs es poden agrupar en 3 grups de quatre, que corresponen a les cantonades de tres rectangles de proporció àuria disposats de manera perpendicular.

La imatge, que podeu trobar a aquesta web de la NASA, mostra un icosaedre dalt a l’esquerra junt amb dos sòlids derivats. A dalt al centre (i també a sota) tenim el resultat de quadruplicar el nombre inicial de cares. I dalt a la dreta, veiem el que obtenim si tornem a quadruplicar les cares. Les 20 cares inicials de l’icosaedre passen a 80 i després a 320 (vegeu la nota al final) de manera que l’icosaedre es va convertint pas a pas en una esfera. Són les meravelloses cúpules geodèsiques com les que va crear en Buckminster Fuller.

Un bon treball manual per a fer amb els nens (si tenen una mica de paciència) és construir una quasi-esfera de 80 cares, amb bastons i argolles. El primer que haureu de decidir és el radi de l’esfera final, que anomenaré R. Si voleu que serveixi com a globus per a fer una làmpada, per exemple, podeu escollir un R de 10 o 20 centímetres, però si voleu fer una cabana esfèrica haureu de pensar en un valor de R del voltant d’un metre. Necessitareu 42 argolles metàl·liques i un total de 120 bastons de fusta. Seixanta d’aquests bastons hauran de tenir un forat a cada extrem, amb una separació entre ells igual a 0,546532*R; els altres 60, una mica més llargs, els haureu de preparar amb una separació entre forats igual a c=0,618*R (vegeu la nota al final). Les argolles, com les dels clauers però més grans, han de poder agrupar fins a 6 bastons cada una, quan els enfilem pels seus forats. Un consell: comenceu construint un simple tetraedre de 12 vèrtexs i 20 cares (en el que cada una de les seves arestes estarà formada per dos bastons dels curts units amb una argolla central), i després acabeu omplint les sub-cares amb els altres 60 bastons més llargs. El resultat mereix la pena.

En Buckminster Fuller era un enamorat dels icosaedres. Bona part dels seus dissenys, com el mapa del món “Dymaxion”, es basaven en aquest poliedre regular de 20 cares. Parlava de l’harmonia dels icosaedres, i deia que la humanitat també havia d’aprendre a viure de manera harmònica i en pau, convivint i tenint cura d’aquesta “nau espacial Terra” que és tot el que tenim. Deia que per a fer-ho, calia convertir l’armament en “viviment”, en tecnologia al servei de les necessitats de totes les persones, i saber conviure amb els altres, amb els desconeguts. Llegir els seus escrits és endinsar-se en un Univers molt particular en el que la geometria Platònica i Euclidiana li il·luminava el camí a seguir per avançar cap una societat més humana i respectuosa amb la dignitat de tothom.

———

Per cert, el biòleg Mark Moffett ens parla de la sorprenent habilitat que tenim de trobar-nos còmodes entre desconeguts. Podem entrar a una cafeteria o un estadi ple de gent desconeguda sense pensar-nos-ho dues vegades, cosa que no farien els ximpanzés, o els llops. Aquesta habilitat, diu, ha permès que els éssers humans siguem ara a tot el món. A més, com a conseqüència de les exploracions a partir del segle XV i, més recentment, del turisme i les xarxes socials, ara hi ha contacte entre persones de parts ben llunyanes del planeta. Per tant, ja no podem tenir por dels forasters, diu.

———

NOTA: L’icosaedre té 12 vèrtexs, 20 cares (triangles equilàters), i 30 arestes. Si el subdividim obtenim el del mig de la imatge de dalt, que té 12+30=42 vèrtexs, 20*4=80 cares 30*2+20*3=120 arestes. La regla és molt senzilla. Si anomenem V, C i A el nombre de vèrtexs, cares i arestes del poliedre inicial, el nombre de vèrtexs de l’icosaedre subdividit és V+A perquè aquesta subdivisió es basa en afegir un nou vèrtex al mig de totes i cada una de les seves arestes i després “inflar” l’aresta fins que aquest nou vèrtex passi a trobar-se sobre l’esfera circumscrita (que de fet és la que volem anar aproximant). Això es pot veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt. El triangle marcat amb arestes en vermell, que en el icosaedre inicial era un triangle equilàter amb tres arestes, ara les té subdividides i inflades de manera que tots 6 vèrtexs (els 3 vells i els 3 nous) pertanyen a l’esfera circumscrita. A més, el nombre de cares de l’icosaedre subdividit és C*4 perquè el que cal fer, en un segon pas, és afegir tres arestes a cada cara inicial per unir els seus tres nous vèrtexs, de manera que qualsevol cara inicial en genera 4 de noves. Aquestes 4 noves cares es poden veure bé en el triangle vermell de l’icosaedre subdividit de la imatge de dalt: tres d’elles són verdes i la quarta, la del centre, és de color marró clar. Finalment, el nombre d’arestes de l’icosaedre subdividit és A*2+C*3 per tot el que acabem de veure. La mateixa regla es pot repetir una o més vegades, per anar obtenint icosaedres subdividits que cada cop siguin més semblants a una esfera. De fet, el poliedre de la dreta a la imatge de dalt, que té 80*4=320 cares, s’ha obtingut aplicant la mateixa regla de subdividir les arestes en 2 i les cares en 4 al poliedre de 80 cares del mig (tot plegat es pot complicar encara una mica més, perquè a cada pas de subdivisió, les arestes les podem dividir no en 2, sino en 3, en 4, o en més trossos; es fàcil veure que quan subdividim les arestes en 3, per exemple, cada cara passa a convertir-se en 9 sub-cares).

Algunes curiositats finals. Tots els poliedres que obtenim, fem els passos de subdivisió que fem i dividim com dividim les arestes a cada pas, compleixen la ben coneguda equació d’Euler que s’aplica a tots els poliedres topològicament equivalents a una esfera: C+V=A+2. D’altra banda, tots els nous vèrtexs tenen 6 triangles al seu voltant, mentre que els 12 vèrtexs inicials continuen tenint els 5 que ja tenien. Ho podeu veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt, en el que els pentàgons formats pels 5 triangles que envolten cada un dels vèrtexs inicials es representen en verd. Aquesta és una propietat molt curiosa: quan repetim la subdivisió i arribem, per exemple, al poliedre de la dreta de la imatge (amb 320 cares i 42+120=162 vèrtexs), quasi tots els vèrtexs pertanyen a 6 triangles, menys 12 d’ells, que només en tenen 5. En concret, aquest poliedre té 150 vèrtexs amb 6 triangles i 12 vèrtexs amb 5. Costa de veure, perquè el nostre sistema perceptiu tendeix a confondre anells de 5 i de 6 triangles, però si us hi fixeu bé, trobareu, en aquest poliedre subdividit de 320 cares, els 12 vèrtexs de l’icosaedre inicial amb els seus pentàgons de triangles al voltant. Són a les mateixes posicions que tenien al principi, no s’han mogut.

I un darrer detall. Els triangles dels icosaedres subdividits no són equilàters, sino isòsceles (si fossin equilàters, hauríem inventat un nou sòlid platònic regular, cosa que sabem que és impossible). En el icosaedre inicial, la longitud de les arestes és a=1,051462*R, on R és el radi de l’esfera circumscrita. En canvi, en el de 80 cares del mig de la imatge de dalt, trobem arestes de dues mides. Les vermelles (em refereixo al poliedre de sota de la imatge de dalt) tenen una longitud b=0,546532*R, mentre que les tres que uneixen els nous punts i subdivideixen la cara en quatre sub-cares tenen una longitud c=0,618*R. Per tant, si volem construir una quasi-esfera de 80 cares amb 120 bastons, n’haurem de preparar 30*2=60 d’una mida b=0,546532*R i 20*3=60 de llargada c=0,618*R. Meitat i meitat. La diferència de llargades entre uns i altres és d’un 13%.

Les matemàtiques de les infeccions

divendres, 5/04/2019

Des dels anys 80 fins 1995, els mecanismes relacionats amb el virus de la Sida van ser totalment desconeguts. El desenvolupament de la malaltia era estrany. Ho mostra la imatge d’aquí al costat, que podeu trobar a aquesta web. La corba vermella ens indica l’evolució al llarg del temps de la concentració del virus a la sang en absència de tractament, en una escala logarítmica (a la dreta) que arriba fins a més d’un milió de virus per centímetre cúbic. La blava, mostra la concentració de les nostres cèl·lules immunitàries anomenades limfòcits T. La infecció primària generava una gran quantitat de virus durant unes poques setmanes, amb símptomes similars a una grip molt forta. Però el sistema immunitari aconseguia aturar-la parcialment, arribant a una quasi-estabilització a les 10-12 setmanes. Després, durant un llarg període (observeu que l’eix horitzontal de la gràfica té una doble escala), tot semblava tornar a la normalitat. Però, al cap de vuit o nou anys, el pacient entrava a la fase terminal, caracteritzat per un creixement molt i molt ràpid de la concentració de virus que eliminava del tot les poques defenses que encara li poguessin quedar.

Fins al 1995, no es donava gaire importància a la llarga fase latent de més de vuit anys, i els esforços clínics anaven encaminats a aturar la malaltia durant la seva explosió final. Tampoc s’acabava d’entendre perquè hi havia aquesta llarga aturada durant la qual les persones infectades podien fer vida normal.

La gran descoberta va venir l’any 1995 de la mà dels equips de recerca de David Ho i Alan Perelson, amb resultats que van publicar a la revista Nature, quan van aconseguir entendre el que passava durant aquests anys misteriosos de latència. I ho van fer amb matemàtiques, plantejant una equació diferencial per entendre l’evolució de la concentració de virus a la sang (vegeu la nota al final). La conclusió va ser que durant tots aquests vuit o deu anys, res era més lluny de la “vida normal”. Eren anys d’una lluita aferrissada entre el sistema immunològic i el virus, durant els quals, Ho i Perelson van calcular que la persona malalta anava destruint uns 10 mil milions de virus cada dia. Vuit o deu anys eliminant tots aquests virus cada dia! El problema és que el cos humà no pot mantenir aquest esforç massa anys, i ja és molt que sigui capaç de fer-ho dia rere dia durant molts anys. El sistema immunitari s’anava esgotant, i al final del període de latència acabava tirant la tovallola.

El gran error, fins 1995, va ser no pensar atacar la malaltia durant tots aquests anys “tranquils” de latència. Anys en els que la processó, que no es veia, anava per dins. Ho i Perelson van entendre que calia actuar, amb fàrmacs, durant justament aquests anys en els que semblava que no passava res. David Ho va ser nomenat home de l’any per la revista Time l’any 1996, i Alan Perelson va rebre el premi Max Delbruck fa poc més d’un any en reconeixement als seus resultats en immunologia teòrica. Gràcies als dos i a les equacions diferencials que van plantejar, ara es pot controlar l’evolució del virus de la Sida.

En un llibre que aviat publicarà (“Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe“), el professor Steven Strogatz porta els lectors a través de la història de segles i segles del càlcul matemàtic, mentre explica el paper crucial que el càlcul va tenir i ha tingut en la configuració del nostre món actual. Strogatz ho explica molt bé: Ho i Perelson van descobrir que el virus de la Sida no estava inactiu durant l’etapa asimptomàtica, i que era llavors quan calia atacar-lo.

La troballa de David Ho i Alan Perelson és un exemple de saviesa, biològica i matemàtica, que ha permès millorar la seguretat humana de moltes persones a tot el món, cuidant-les i tornant-los la vida.

———

Per cert, la Rosa Montero cita aquests versos de Salvatore Quasimodo: “cada un de nosaltres està sol damunt el cor de la Terra / travessat per un raig de Sol / I de cop, es fa de nit”. I diu que li agradaria tenir la saviesa suficient per a ser capaç de no arruïnar el fulgor d’aquest breu raig de llum amb els seus temors.

———

NOTA: Una de les equacions diferencials de Ho i Perelson indica que la derivada de la concentració V de virus del Sida a la sang (corba vermella a la imatge de dalt) durant l’etapa de latència és igual a P – c*V. En aquesta equació, el valor del paràmetre “c” indica l’eficàcia del sistema immunològic i dels tractaments amb fàrmacs; de fet, si fem P=0 és fàcil veure que l’equació diferencial es pot integrar i ens porta a una concentració V de virus a la sang que és exponencialment decreixent. D’altra banda, i durant la fase de latència, el paràmetre “P” indica que si no féssim res (c=0), la proporció V de virus aniria creixent. El valor de “P” mesura la taxa de reproducció dels virus.

Evidentment, hi ha un equilibri quan la derivada és zero, i això implica P=c*V. I això és el que sembla que passa durant els vuit o nou anys de latència. Però només ho sembla, perquè, com mostren les corbes de la imatge, són 8 anys durant els quals el virus va lentament guanyant el sistema immunitari. En altres paraules, en absència de tractament, durant els anys de latència, el valor de “c” va baixant, poc a poc, però va baixant. Quan finalment el valor de “c” és massa baix, tot explota.

Traduccions, algorismes i dignitat

divendres, 29/03/2019

La història de la traducció automàtica s’ha anat construint en paral·lel a la de la informàtica. L’any 1954 es va fer el primer intent de traducció, conegut com experiment de Georgetown, en el que els autors van saber traduir unes seixanta frases del rus a l’anglès. Però després, durant molts anys, tots els intents van anar fracassant. Intentaven traduir en base a regles sintàctiques i semàntiques d’un i altre idioma i recollien fracàs darrera fracàs. Van ser cinc dècades d’anar topant contra la paret, fins que l’any 2003, en Franz Josef Och va guanyar el concurs DARPA de traducció automàtica amb un nou algorisme de traducció probabilística o estadística i ens va obrir la porta al que ara tenim. Els sistemes actuals es basen en tres idees bàsiques: un model probabilístic, un sistema d’aprenentatge i un mètode d’optimització en temps real. L’interessant és que aquests algorismes de traducció no tenen en compte ni una sola regla, ni sintàctica ni semàntica. Es basen només en l’anàlisi estadística de parelles de texts o corpus (traduïts bàsicament per professionals). Aprenen de la informació que hi ha al món.

Concretem-nos al traductor de Google. És útil? Funciona? És fiable? De fet, és interessant veure que pot ser-nos útil sense ser del tot fiable. Si demanem la traducció al castellà de “plou a bots i barrals”, el traductor ens dona la resposta “llueve a cántaros”, que és un resultat perfecte i no literal. Però si volem traduir “no por mucho madrugar, amanece más temprano” a l’anglès, la traducció que Google ens ofereix és “not too early, dawns earlier”, que ja no és acceptable. Tenim un traductor que funciona, però no sempre. Fins i tot podríem calcular la seva fiabilitat, si escollíssim 100 frases (no tenen per què ser 100, és clar) de llibres a l’atzar i comptéssim en quantes s’equivoca. L’interessant és que no sempre l’encerta, però tot i així és útil. Jo l’utilitzo molt sovint, i sé de molta gent que fa el mateix. Per què? Doncs perquè no ens en fiem del tot, i comprovem la seva traducció. Si ens agrada, la usem; i, si no, la canviem. Fem una post-supervisió del que ens torna. Tot plegat té relació amb el fet que el traductor de Google utilitza tècniques d’aprenentatge basades en xarxes neuronals “profundes” que tenen un nombre elevat de capes de neurones. La mateixa plasticitat i flexibilitat que fa que ens proposi traduccions no literals, fa que de vegades s’equivoqui.

Podríem dir que, d’algorismes, n’hi ha de dos tipus: els fiables i els que anomenaré incerts. Un exemple paradigmàtic de sistema fiable és el que va conduir la nau “New Horizons fins Plutó i més enllà. Que els humans haguéssim estat capaços de dissenyar i implementar els algorismes que van portar la nostra nau fins aquell punt insignificant als confins del sistema solar durant més de 9 anys i que ho féssim bé, és simplement increïble. Els algorismes fiables, a diferència dels incerts, tenen un marge d’error insignificant. I què podem dir, dels incerts? D’aquests, a més dels de traducció automàtica, podríem citar, per exemple, els podòmetres que ens podem instal·lar al telèfon mòbil. És fàcil fer la prova: només cal instal·lar dues aplicacions diferents de les que compten els passos que fem, i mirar què ens diuen una i altra al final del dia. Ens indicaran valors semblants, però no coincidents. Un cop més, són algorismes que tot i no ser exactes, són útils.

Una altra possible categorització és la que classifica els algorismes segons el seu grau d’autonomia. I, en aquest cas, es diu que un algorisme és autònom si pot assolir els seus objectius sense cap intervenció humana. De fet, el món és ple d’algorismes que funcionen de manera autònoma: en tenim a les portes automàtiques, en els que controlen els robots que treuen la pols del terra a casa, en els algorismes que ens mostren horaris i preus de trens o avions, o en els del GPS que ens diuen on som.

El problema apareix quan barregem les dues categories, i pretenem dissenyar sistemes autònoms amb algorismes incerts. Els sistemes d’intel·ligència artificial que aprenen de la informació que hi ha a internet i de la que obtenen de nosaltres (l’anomenat “big data“) tenen molts més problemes del que ens volen fer creure: no són fiables, són incerts, no són explicables i els seus resultats moltes vegades són esbiaixats. No són fiables perquè, com és ben conegut entre els experts, s’equivoquen un nombre important de vegades. A més, com que es basen en xarxes neuronals no lineals amb moltíssims paràmetres, ningú pot explicar per què arriben a uns resultats i no a uns altres. En no ser explicables, no es pot determinar qui és la persona responsable en el cas d’actuacions que hagin acabat sent legalment incorrectes. I són esbiaixats perquè no fan més que heretar el biaix de la informació que utilitzen per aprendre, que mai complirà els requisits que l’estadística demana a qualsevol mostreig aleatori de la població. Algú de vosaltres pujaria a un cotxe autònom que tingués una probabilitat d’error similar a la que tenen els actuals sistemes de traducció automàtica? Els algorismes incerts, com els d’intel·ligència artificial basats en l’aprenentatge automàtic, poden ser perfectament útils en aplicacions que són tolerants als errors (ningú confia al 100% en les prediccions del temps) o en les que hi ha algú que supervisa els resultats (traducció automàtica). Però poden arribar a ser perillosos si s’apliquen a sistemes autònoms que pretenen funcionar sense cap intervenció humana, com explica la Virginia Eubanks al seu llibre. Hem de veure sempre si podem acceptar resultats i actuacions equivocats o no, perquè no és el mateix trobar-nos una frase surrealista en una traducció, que patir un accident amb un cotxe autònom i fer mal a algú. Les persones tenen dignitat, les frases no.

Ara bé, el cas més dramàtic de sistemes autònoms amb algorismes no explicables i incerts és, però, el de les anomenades armes letals autònomes (les “LAWS“, en anglès) que alguns països ja estan en procès de desenvolupar. Són màquines que podran matar sense una clara intervenció humana, amb tècniques que són especialment preocupants si poden seleccionar automàticament els objectius a atacar, com diu en Noel Sharkey. Perquè en aquest cas, els errors seran vides humanes. Es tracta d’un dels màxims atemptats que es poden fer a la dignitat humana de les persones, moltes d’elles civils.

La imatge de dalt, que podeu trobar en aquesta web, mostra els qui ara mateix demanen la prohibició de les armes robòtiques autònomes: 21 premis Nobel, més de quatre mil experts en intel·ligència artificial, el 61% de la població mundial (segons una recent enquesta), el parlament europeu, 28 països, i l’actual secretari general de Nacions Unides Antonio Guterres, que va declarar que seria moralment repugnant que el món no prohibís les màquines autònomes dissenyades per a poder matar persones sense implicació humana.

Acabo amb una conjectura. Sabem, com bé ens explica la Virginia Eubanks, que és difícil tenir dades objectives sobre el grau d’error de molts sistemes autònoms basats en aprenentatge i xarxes neuronals. La informació que ens arriba de molts d’aquests sistemes (de publicitat, d’ajut a la presa de decisions, de futurs vehicles i sistemes autònoms) és esbiaixada, tendenciosa i no objectiva perquè té finalitats comercials: ens volen convèncer per a que els comprem i/o usem. En altres casos, com el de les armes autònomes, la informació és simplement secreta i no ens arriba. Però jo m’atreviria a afirmar que podem tenir-ne una mesura de fiabilitat, per analogia, mesurant la taxa d’error del traductor de Google. Perquè, atès que el sistema d’aprenentatge d’aquest traductor és altament sofisticat i es nodreix d’una base de dades ingent d’informació, l’error d’altres sistemes autònoms que ens volen vendre (en sentit material o figurat) hauria de ser del mateix ordre de magnitud que el que veiem quan traduïm amb Google.

Cal desemmascarar les informacions falses i intencionades, per respecte a la dignitat de les persones.

———

Per cert, en Peter Tabichi, mestre d’un poble remot al comtat de Nakuru, a Kènia, ha estat escollit millor professor del món. Els seus estudiants han guanyat una competició nacional de ciències, i el seu equip de matemàtiques s’ha classificat per a un campionat als Estats Units. Calen moltes més notícies sobre educació, ciència i Àfrica…

La geometria de cada dia

divendres, 22/03/2019

La imatge d’aquestes cadires, que vaig fer l’altre dia, ens permet saber el nombre de llums que hi havia a l’habitació. Ho podeu deduir?

Només cal mirar la zona de la paret que es veu entre les dues cadires de l’esquerra, i comptar el nombre d’ombres que hi projecten els dos respatllers. De la cadira de més a l’esquerra en surten dues ombres, una més amunt i l’altra més avall, que reprodueixen la forma del respatller. Així mateix, veiem dues altres ombres a la banda esquerra de la segona cadira, una també més amunt i l’altra més avall. Per tant, com que els respatllers creen quatre (2+2) línies d’ombra a la paret, podem concloure que el sostre de l’habitació té 4 punts de llum. Dos d’ells són a l’esquerra, i dos a la dreta (evidentment, cada respatller genera 4 línies d’ombra; el que passa és que dues d’elles queden amagades darrera la cadira, i només es veuen una mica entre el seient i el respatller. És per això que només estic comptant dues ombres per cadira.

Però, per què, a la paret i entre les dues cadires, es veu aquesta combinació tan complexa de zones més o menys fosques? Doncs perquè, en el cas de quatre punts de llum (i simplificant una mica el problema, vegeu la nota al final), les ombres a la paret poden ser de 4 graus diferents. Si féssim 4 experiments, encenent cada vegada una sola de les llums, veuríem per separat les seves 4 ombres, totes diferents. En cada cas, l’ombra agruparia el conjunt de punts de la paret que no reben llum perquè el respatller els la tapa. Ara bé, quan encenem els 4 punts de llum, és clar que tindrem zones de la paret que no reben llum de cap dels focus (ombres fosques), zones que en reben només d’un d’ells (ombres uns mica més clares), zones que en reben de dos d’ells (ombres força clares) i zones que reben llum de tres focus però no del quart (ombres molt clares). Són els quatre graus d’ombra que veieu a la imatge, a les zones que es creen per intersecció de les zones d’ombra individuals, més fosques a mesura que es van creuant, de dalt a baix. Si proveu de fer el mateix experiment en una habitació amb més d’un punt de llum, tot analitzant les ombres que projecten les fulles d’una planta sobre una paret vertical propera, us adonareu del complicat que pot arribar ser l’estudi d’una cosa que sembla tan senzilla com són les ombres.

Les ombres són geomètriques, és clar. Però cal reconèixer que estem massa acostumats a les figures senzilles i planes. Tenim una certa tendència a creure que geomètric és sinònim de senzill. Parlem de l’estic geomètric dels grecs, per exemple, per designar un art sobri que utilitzava línies, rombes, meandres, reticulats, triangles i cercles. En canvi, la geometria és molt més que això, com bé ens va explicar en Carl Friedrich Gauss quan va estudiar i mesurar la Terra i les formes del seu paisatge. Gràcies a Gauss, ara sabem mesurar la curvatura dels turons i serralades, i sabem que el seu signe és diferent de la dels ports de muntanya, aquests llocs màgics que contenen dues direccions sense curvatura. Perquè etimològicament, geometria és mesura de la Terra, i la Terra només l’hem entès bé els qui hem tingut la sort d’haver nascut després de Gauss. Les obres escultòriques són pura geometria, com ho són els núvols, els penya-segats, la Costa Brava, i fins i tot el mateix Univers. Ho sabem gràcies als treballs de geometria no euclidiana que va iniciar Gauss i que van continuar Nikolai Lobatxevski, Georg Riemann i Albert Einstein.

I de fet, la geometria tracta també de la nostra mesura i de la de les desigualtats socials, perquè som part de la Terra. La prova és que, a les ciutats, regions, països i continents, sovint deixem ben marcats els espais i zones amb tots els colors de la desigualtat i la indignitat. Només cal caminar un matí per la geometria de Barcelona, anant de Pedralbes a Nou Barris.

Gaudir de la geometria que ens envolta requereix, però, una mirada assossegada. Observar la geometria del món és com mirar una obra d’art o com llegir un poema. No es pot fer amb presses. La geometria ens acompanya silenciosament, en els turons que Gauss ens va ajudar a mesurar i entendre, a les pujades i baixades quan caminem i a les ombres refrescants a l’estiu. També ens acompanya en la meravella de formes de tots els éssers vivents i en tot el que veiem i palpem, inclosos els relleus i textures que desvetllen les nostres carícies. És la geometria que podem anar descobrint de la mà del pensament assossegat. Perquè som geometria.

——

Per cert, la Milagros Pérez Oliva diu, citant el darrer informe social de les entitats catalanes d’acció social ECAS, que el 20% de la població catalana viu en la pobresa, enfront al 16,9% de mitjana a la Unió Europea. Diu també que la meitat dels catalans té dificultats per arribar a final de mes. A quins llocs viuen? Això també és geometria.

——

NOTA: En realitat, la foscor de les 4 ombres individuals no és la mateixa en totes elles, perquè alguns punts de llum del sostre són més lluny que els altres. Això fa que el nombre de tonalitats de les zones d’ombra sigui més gran de quatre.

Si voleu entendre bé com es formen les diferents zones d’ombra i els seus graus de foscor, dibuixeu les dues línies d’ombra que surten de cada una de les dues cadires, i aneu analitzant el nombre de focus de llum que veuran els punts de cada una de les zones que es formen com a conseqüència de les interseccions.

El cel de vidre

divendres, 8/03/2019

Aquesta és una imatge que fa pensar. La podeu trobar aquí, i és força coneguda. Es va fer als voltants de 1890, i mostra les dones de “l’harem de Pickering” mirant fotografies del cel de nit i fent càlculs. Són dones que Pickering, el director de l’Observatori astronòmic de Harvard, va contractar per a revisar i confirmar les observacions d’altres astrònoms (homes). Van ser dones invisibles que van xocar amb el sostre de vidre que les separava del cel i de les troballes científiques, dones que van tardar molt a ser reconegudes. Ara sabem que aquestes astrònomes van ser veritables científiques i que molts dels descobriments fets a aquell observatori van ser seus. Després van continuar fent moltes més troballes.

La foto mostra Henrietta Swan Leavitt asseguda (la tercera a l’esquerra, amb lupa), Annie Jump Cannon (també amb lupa, més a prop), Williamina Fleming, dreta al centre, i altres. Totes elles treballaven mirant i analitzant les imatges d’estels que havien estat capturades en plaques fotogràfiques de vidre durant les observacions dels seus caps astrònoms. Plaques de vidre que de fet conformaven aquell sostre invisible però real que no podien creuar. Com a resultat del treball de les seves dones calculadores, Pickering va publicar el 1890 el primer catàleg Henry Draper amb més de 10,000 estrelles classificades segons el seu espectre. Una gran part de la feina havia estat feta per Williamina Fleming.

La historia de Williamina Fleming és sorprenent. Era una escocesa que treballava com a criada de Pickering, però que aquest, en veure-la espavilada, li va proposar de treballar amb ell a l’observatori. De fet, Pickering s’estalviava diners perquè els sous de les dones eren molt més baixos que el dels homes. I, en estar cada cop més frustrat amb el que feien els seus ajudants, va acabar dient que fins i tot la seva criada podia fer un millor treball que ells. Williamina Fleming, que va acabar coordinant les altres astrònomes de l’equip, va identificar 10 noves i més de 300 estrelles variables a més d’ajudar a descobrir l’estructura de les nanes blanques i veure que les estrelles es podien classificar en funció del seu contingut d’hidrogen. Va ser la primera dona nord-americana que va entrar a la Royal Astronomical Society, l’any 1907. Havia deixat de ser criada només 26 anys abans.

L’Annie Jump Cannon va crear un sistema de classificació estel·lar que encara és vigent, després de col·laborar en la preparació del gran catàleg estel·lar Henry Draper de Pickering. La seva “Bibliography of Variable Stars” inclou seixanta mil estrelles variables. Hi ha un cràter a la Lluna amb el seu nom (Cannon) i l’asteroide 1120, Cannonia, també el porta. Però va haver d’esperar fins l’any 1938 (tres anys abans de la seva mort) per a poder entrar com a professora regular d’astronomia a Harvard. Va ser la primera dona admesa a la Societat Americana d’Astronomia.

Henrietta Swan Leavitt, a l’observatori de Harvard, va estudiar les estrelles variables anomenades cefeides, que tenen una brillantor que oscil·la en períodes regulars. L’any 1912 va descobrir que les cefeides de més lluminositat tenen períodes més llargs, determinant la relació que hi ha entre la durada d’aquest període i la magnitud absoluta dels estels cefeides. Després, a partir de treballs com els d’Ejnar Hertzsprung, va poder saber calcular la distància d’unes quantes cefeides. Tot plegat va permetre calcular a quina distància són les cefeides, simplement comparant la magnitud absoluta (que podem trobar a partir del seu període) amb la magnitud aparent de l’estel que observem. Els seus resultats van ser essencials per a les troballes posteriors d’Edwin Hubble i per establir les lleis d’expansió de l’univers.

Cecilia Helena Payne, més jove, encara no havia nascut quan es va fer la foto de dalt. Però a la seva tesi doctoral, defensada l’any 1925 al Radcliffe College (ara part de Harvard), va poder explicar la composició de les estrelles en termes de l’abundància relativa que mostraven en hidrogen i heli. Va ser la primera dona a dirigir un departament a Harvard, després de ser nomenada professora titular a la Facultat d’Arts i Ciències l’any 1956.

La Dava Sobel, una de les divulgadores científiques més conegudes als Estats Units i autora del llibre “El universo de cristal, ens ho explica aquests dies a Barcelona.

Les joves d’avui són les que hauran de liderar el futur, si volem que el món no s’enfonsi més del que està. El camí, crec, passa pel feminisme.

——

Per cert, l’Alba Alfageme ens parla de Jinwar, un poble que les dones han construït per sobreviure en base a un feminisme que diu que està connectat amb els valors de la solidaritat i del respecte i que proposa un estil de vida comunitari, autogestionat, amb una economia col·laborativa i un clar compromís amb l’ecologisme.

Informació, dades i persones

dissabte, 2/03/2019

Hi ha alguna diferència, entre dades i informació? Segons la definició de la Comissió Europea, les dades [de recerca] (també conegudes com a dades primàries) són les que fan referència a la informació, factual o numèrica, recollida per ser examinada i considerada, i que serveix de base per al raonament, la discussió o el càlcul.

Les dades, per tant, són factuals. Són fets que podem examinar i considerar per a finalment poder raonar, entendre o informar els altres. Són la visió present i objectiva del món. El meu pes és una dada, i el radi de la Terra o el nombre d’habitants del món són dades. Les dades són certes i indiscutibles, perquè tothom les pot comprovar. La informació, en canvi, és allò que ens diem, que escrivim, que escoltem i que llegim. El meu pes de l’any passat ja no és una dada, és informació. No és una dada perquè ja no la puc mesurar. I com tota informació, pot ser falsa: tal vegada em vaig equivocar quan vaig apuntar el que marcava la bàscula. Els humans no parem de llegir i escriure informació. Alguns cops és objectiva, d’altres és esbiaixada, com bé estem comprovant cada dia, i altres és interessada i tendenciosa. No tot el que veiem als mitjans de comunicació i a internet és cert. Només cal llegir els diaris.

Però la cosa s’ha complicat encara més, els darrers anys. Hi ha sistemes d’intel·ligència artificial que aprenen de la informació que hi ha a internet i que en generen de nova. Miren quines compres hem fet, i ens suggereixen que comprem coses similars o que fem viatges semblants als que ja hem fet. Fins i tot, alguns sistemes construeixen perfils psicològics més o menys acurats dels potencials votants de determinats països, i els envien missatges electorals fets a mida, adaptats a cada un d’ells, per a aconseguir el seu vot per a una determinada opció política. És la publicitat enganyosa, aplicada a la política, amb “programes electorals personalitzats”. Hem d’estar molt atents per detectar i descobrir tot el que aquestes noves eines d’intel·ligència artificial i aprenentatge profund ens estan començant a enviar. Cal saber detectar (i hem de regular, com a societat) tota aquesta informació que algunes màquines estan fabricant automàticament i sense control humà.

La Virginia Eubanks, professora de ciències polítiques a la universitat de Albany, ha escrit un llibre on mostra que aquestes noves eines no són neutres, perquè a més castiguen els més pobres i acaben incrementant les desigualtats socials. Explica que als Estats Units, tot això ha permès que el govern hagi pogut imposar un règim de vigilància que inclou la creació de perfils personals i que acaba amb mesures que signifiquen càstig, contenció i exclusió per als que menys tenen. A partir d’un treball de camp que va comportar a l’autora fer un total de 96 entrevistes, el llibre analitza tres casos: el del sistema de salut de l’estat d’Indiana, el de l’assignació d’habitatge social a Los Angeles, i el de l’algorisme Allengheny de vigilància parental a Pittsburgh. 29 entrevistes a Indiana, 34 a Los Angeles, 33 a Pittsburgh. El teixit del llibre són les desgràcies de tota aquesta gent que va conèixer personalment, casos concrets que Virginia Eubanks va visibilitzant un a un. Gent castigada perquè el seu delicte és ser pobre. Per exemple, a Pittsburgh, Eubanks explica el cas de Patrick i Angel. Encara que són pares afectuosos que tenen cura dels seus fills a més d’ajudar voluntàriament altres nens de la seva comunitat, aquesta parella ha estat classificada repetidament pels sistemes automàtics d’informació dels serveis socials com a responsables de negligència infantil. Un dia que Patrick no tenia diners per pagar una recepta d’antibiòtic per la seva filla, el sistema va incorporar aquesta informació a la seva base de dades i Patrick va acabar sent investigat per “negligència mèdica”. Resulta que l’agència de benestar infantil utilitza un model estadístic per predir quins nens poden ser víctimes futures d’abús o negligència. I el resultat de tot plegat és que, “curiosament”, aquesta predicció acaba trobant molts més pobres que rics. Omega Young va ser una altra afectada pel sistema, explica. I molta altra gent ha sofert experiències similars. Tot es basa en sistemes automàtics d’aprenentatge profund que prenen decisions que (com mostra Eubanks) tendeixen a perjudicar els més desposseïts, decisions que els humans (sota l’efecte de l’anomenat biaix d’automatització) acceptem sense discutir ni analitzar, i que acaben traient drets als qui ja no tenen quasi res, incrementant automàticament les desigualtats socials.

Com diu la Virginia Eubanks, avui, als Estats Units, els sistemes automatitzats controlen quins barris cal vigilar policialment, quines famílies poden aconseguir recursos i qui ha de ser investigat per frau. És cert que tots vivim sota aquest nou règim de decisions automatitzades, però els sistemes més invasius i punitius apunten als pobres. Perquè, com bé diu la Elvia Vasconcelos en el seu dibuix que veieu a dalt (i que podeu trobar aquí, a la seva web), la tecnologia no fa més que amplificar els valors ètics de la nostra societat i les estructures subjacents. I és per això que la Virginia Eubanks, al seu llibre, parla de les antigues “cases dels pobres” mentre explica que estem construint una nova “casa digital dels pobres” que no ajuda els necessitats, sino que ens enganya fent-nos fugir de la responsabilitat compartida que tenim per eradicar la pobresa. Eubanks ho relaciona amb la idea, molt implantada als Estats Units, que els pobres ho són per culpa seva, que són una minoria patològicament depenent, i que són ells qui se’n han de sortir. Els sistemes automatitzats de decisió es basen en aquesta concepció i l’amplifiquen, com a noves eines que han nascut incrustades en els vells nuclis de poder i privilegi. Però la Francina Alsina ho diu ben clar: cal ser exigents i ambiciosos per aconseguir que el potencial tecnològic es recondueixi cap als més vulnerables.

Ethan Zuckerman, del Media Lab del MIT, diu que, ara que comencem a discutir el potencial que pot tenir la intel·ligència artificial per fer mal a les persones, el treball d’Eubanks hauria de ser d’obligada lectura.

——

Per cert, la Raquel Seco diu que moltes institucions i empreses ens animen a que protegim el medi ambient amb petits actes quotidians. I es pregunta si això no és un gran parany: estan col·locant la responsabilitat social sobre les nostres espatlles en lloc d’assumir-la?

La democràcia còsmica

divendres, 22/02/2019

Hi ha una pregunta que segurament tots ens haurem fet alguna vegada, mirant el cel a la nit. Com és que l’univers, amb la seva immensitat tridimensional, és ple d’agrupacions d’astres que són planes? Per què ho són, les galàxies espirals? Com és que tots els estels de la Via Làctia, inclòs el Sol, giren al voltant del centre junt amb els braços galàctics en òrbites quasi coplanars? Per què, a escala més reduïda i en el nostre sistema solar, el pla de les òrbites de tots els planetes és bàsicament el mateix? Per què les galàxies i els sistemes planetaris acaben perdent una de les tres dimensions espacials? Per què no són esfèriques, per exemple? (Per cert, la imatge d’aquí al costat és de la web de la revista National Geographic).

L’explicació d’aquest fenomen geomètric de la preferència bidimensional ens arriba de la mà d’Isaac Newton i de les lleis de la dinàmica. Els núvols de pols d’estrelles, formats de fet a partir de l’explosió d’anteriors supernoves, no eren estables, i van començar a col·lapsar per efecte gravitatori. Part de la pols va anar directament al centre, però una altra part va començar a orbitar al voltant seu per efecte de la seva velocitat inicial. Aquests girs, inicialment aleatoris i lents, es van anar amplificant a mesura que el núvol s’anava col·lapsant (és la mateixa llei de conservació del moment angular que fa que les persones que patinen sobre gel acabin girant molt més ràpid quan acosten els seus braços al cos). L’increment de velocitat va permetre estabilitzar moltes d’aquelles òrbites. I a la vegada anava sorgint, molt lentament, el que podríem anomenar un “gir majoritari”. Però ara ve la part interessant, que podríem anomenar de “democràcia còsmica”: la pols que orbitava en plans diferents al majoritari era atreta, cada cop més, per la matèria que girava en el pla de consens, de manera que les seves òrbites es van anar acostant, al llarg de milions d’anys, a aquest pla de gir majoritari. És un fenomen  “d’atracció per la majoria”. La pols còsmica no va “competir” sino que va “cooperar” per a concentrar-se, fins assolir nivells que van possibilitar la vida. Tot plegat va donar lloc a les òrbites planetàries coplanars, als prims discs de les galàxies espirals i als discs d’acreció al voltant dels forats negres, com podeu llegir en aquesta interessant web de preguntes i respostes astronòmiques. Aquesta altra web inclou explicacions més tècniques i complementàries.  

Tal vegada pot semblar estrany, però aquest “canvi d’actitud” de la pols còsmica que acaba anant cap al pla de consens mentre abandona la seva “convicció tridimensional” (i que així, en concentrar-se en un pla, crea la vida i ens crea a nosaltres), em recorda un article de fa temps d’en John Carlin. Aquí el teniu. En John Carlin, reflexionant amb perspectiva britànica, ens parla de la paraula anglesa “compromise” i del fet que no es pot traduir per “pacte”. L’Oxford English Dictionary defineix “compromise” com “un acord al qual s’ha arribat després que banda i banda fessin concessions”, mentre que l’Enciclopèdia Catalana defineix pacte com “Convenció formal entre dues persones o més”, i el diccionari de la Reial Acadèmia Espanyola diu que pactar és “Acordar algo entre dos o más personas o entidades, obligándose mutuamente a su observancia”. Amb aquesta anàlisi, arriba a la conclusió que “compromise” no té traducció (ni al català ni al castellà) i que per tant, el concepte de cedir i fer concessions, és d’alguna manera aliè a la nostra cultura.

Interessant, oi? El fet de cedir i “fer concessions”, allò que va fer que la matèria que orbitava es concentrés en discs, sembla ser que no és part de la nostra cultura (ni de l’egípcia, com explica en John Carlin). Aquest concepte, profundament democràtic, sí que hi és, en canvi, a la cultura i llengua britàniques. Però en aquestes latituds preferim vèncer, abans que escoltar i cedir. Una idea, aquesta, que sobretot interessa als poderosos, com bé ens explica en Federico Mayor Zaragoza quan parla d’aquesta plutocràcia que va substituint perillosament la democràcia. I que també ens recorda l’economista Julia Cagé, quan diu que les idees de dretes tenen més pes perquè estan més ben finançades. I tot plegat es fa evident quan observem que el món es rearma, en paraules de la Carme Colomina: armar-se per vèncer, vèncer per conquerir, conquerir per signar pactes de vencedors. Enlloc de seguir el camí democràtic: escoltant, respectant l’altre i construint compromisos en base a cedir, com en John Carlin explica que va aconseguir fer en Nelson Mandela.   

Tal vegada algú pot pensar que la comparació entre les lleis còsmiques de la natura i la capacitat d’escoltar, parlar i cedir en democràcia està massa agafada pels pèls. Pot ser cert, però val la pena pensar-hi una mica. Perquè el cosmos és meravellosament harmònic, i nosaltres, agregats de pols d’estrelles que vam sorgir gràcies a les mateixes lleis de la física que van aplanar les galàxies, no ho som gens. Hem d’aprendre a ser humans, i no ho haurem fet fins que no haguem reeixit en amarar la nostra societat global, incloent totes les persones, dels principis de la democràcia còsmica que ens envolta.

La Rosa Montero diu que encara l’esgarrifa una meravellosa escena de la pel·lícula Àgora, d’Alejandro Amenábar, en què es veia el nostre planeta surant amb impertorbable serenitat al mig del cosmos, mentre s’escolten els crits dels nens i dones degollats en una de les massacres que narra el film. I ens recorda una cosa, als terraplanistes: som formigues cegues i ferotges, incapaços de desenganxar els ulls de terra. Acaba dient que ens aniria molt millor si aconseguíssim mirar més sovint el cel.

Podem aconseguir ser un element no dissonant dins la democràcia còsmica? Podem moure’ns de les desigualtats a la tolerància i a la cura de totes les persones i el planeta?

——

Per cert, l’Anna García Altés i en Josep Maria Argimon diuen que les desigualtats en renda es tradueixen en desigualtats en salut, i que la mala salut i la pobresa s’hereten. Expliquen que, per sortir de la crisi, cal establir polítiques actives focalitzades en els joves i els nens (i les joves i les nenes) i aconseguir que l’ascensor social, avui avariat, funcioni per sortir veritablement de la crisi econòmica i trencar l’herència de la pobresa. Són propostes per a la refundació democràtica…

Podem ressuscitar les olors?

divendres, 15/02/2019

Fa dos mesos, en un teatre de San Francisco, l’escriptor i divulgador Rowan Jacobsen va repartir petits sobres de cel·lofana segellats i tot seguit va començar a explicar la història de la olor extingida d’un hibiscus dels vessants del volcà de Haleakala a la illa de Maui, a Hawaii. L’hibiscus (hibiscadelphus wilderianus) va desaparèixer com a espècie ara fa més de cent anys i ningú el va poder olorar després del 1912. Els assistents, però, en obrir l’embolcall, van descobrir una aproximació a la seva olor. Era, segons expliquen, una fragància especiada i cítrica, amb tocs de baies de ginebre i amb una complexa dolçor.

El que va presentar en Rowan Jacobsen va ser el resultat d’un treball conjunt de recerca entre l’empresa Ginkgo Bioworks i Beth Shapiro, del laboratori de paleogenòmica de la Universitat de Califòrnia a Santa Cruz. El treball, que es publica aquest mes a la revista Scientific American, es comenta també en aquest vídeo (del que recomano sobretot la primera part). La imatge de l’esquerra mostra dos dels seus fotogrames. La recerca ha permès ressuscitar (al menys en part) l’olor de l’hibiscus del Haleakala, una olor que ningú havia pogut percebre durant un segle.

Alguns grups d’investigadors, entre ells el de la professora Beth Shapiro, estan treballant actualment en la recuperació del genoma d’espècies vegetals i animals extingides. No és un problema fàcil, perquè l’ADN, pel fet de ser tan gran, és una molècula inestable. Això fa que amb el temps, i després de la mort, l’ADN es trenqui, de manera que ja no es pot recuperar-lo en la seva totalitat. I justament aquest va ser el primer problema que es van trobar els investigadors del projecte de recuperació de l’hibiscus del Haleakala: a les seves fulles seques, conservades als herbaris, només hi van trobar petits trossos del seu ADN. Ho podeu veure en els cinc trossos que mostra la part de dalt de la imatge, tots ells formats per seqüències més o menys llargues dels 4 nucleòtids que conformen el genoma de tots els éssers vius: A, C, G i T.

Arribar a acoblar el trencaclosques per a poder reconstruir al menys alguns gens de l’ADN de l’hibiscus del Haleakala sembla una tasca impossible. Però, gràcies a l’evolució, no ho és tant. Perquè encara que aquesta planta no existeixi, abans de desaparèixer va generar, per mutació, altres espècies que sí que tenim avui en dia i que per sort tenen un ADN molt semblant al d’aquell hibiscus del Haleakala. És el que van fer els investigadors: van buscar una planta actual similar, i van treballar amb el seu genoma com a element de referència (aquest genoma el podeu veure representat, en gris, a la imatge). De fet, és una tècnica que no només s’ha utilitzat en aquest cas, sino que també es fa servir, per exemple, usant ADN d’elefants com a referència per a poder reconstruir el genoma extingit dels mamuts. Però un dels aspectes més remarcables, al meu entendre, del treball de reconstrucció de gens de l’hibiscus del Haleakala és que no va ser un procès químic, sino algorísmic. Els trossos TA d’ADN de l’hibiscus es van codificar i digitalitzar, i el mateix es va fer amb el genoma GN de la planta de referència. Tot seguit, es va utilitzar un algorisme de cerca per trobar possibles localitzacions dels diferents trossos TA dins de la cadena digital GN, tot tenint en compte possibles canvis puntuals de nucleòtids deguts a mutacions. Una anàlisi combinatòria va acabar donant les localitzacions més probables (a baix, a la imatge) per a generar, finalment, alguns gens (que podeu veure a la imatge a baix de tot) que molt probablement eren reconstruccions dels de l’hibiscus de fa més de 100 anys.

La fase final, no menys remarcable, va consistir en “fabricar” aquests nous gens, en implantar-los a determinats llevats (rents) que els van incorporar al seu genoma, i en esperar a que l’ARN d’aquests llevats fabriqués terpens de les olors de l’hibiscus del Haleakala. I com es va passar dels gens “digitals”, codificats a l’ordinador, a gens reals? Doncs amb una impressora d’ADN, que pot anar llegint la codificació digital genòmica i va fabricant una hèlix d’ADN que inclou la corresponent cadena real de nucleòtids A, C, G i T.

Estem podent olorar fragàncies ja perdudes, amb tècniques algorísmiques de localització combinatòria que treballen amb representacions digitals de trossos de genomes. Bits i impressores que ens ressusciten olors. Bonic, oi?

———

Per cert, en Jay Keasling, enginyer metabòlic, diu que aquest projecte pot arribar a trobar molècules noves no existents a la natura, però que en realitat mai podrem saber l’olor exacta d’aquesta planta ara extingida, perquè els aromes depenen també de moltes altres molècules de la planta, a més dels terpens.

El trencaclosques del besavi

dijous, 31/01/2019

Fa pocs dies vaig anar a veure l’avi dels meus fills (li diem avi, però de fet és besavi: ja té tres besnéts). Aquest any en farà 99, i realment els porta d’allò més bé. Durant la conversa vam parlar d’actualitat, d’ètica, de política, de ciència, d’energies renovables, d’internet, dels mòbils i del problema dels qui volen fer negoci amb les nostres dades i metadades.

En un cert moment, va treure quatre peces idèntiques que a primera vista semblaven troncs de piràmide de base trapezoïdal. Em va dir: “saps fer una piràmide, amb aquestes peces?”. Les peces, totes iguals, tenien base trapezoïdal i eren simètriques en el sentit-dreta-esquerra. El primer que vaig pensar és que la piràmide final havia de ser un tetraedre, perquè teníem 4 peces i sabem que el tetraedre té 4 vèrtexs i 4 cares. Vaig estar fent proves uns minuts, i finalment (sortosament) me’n vaig sortir. Certament, era un tetraedre regular. Les quatre peces i el resultat final eren com les que teniu a la imatge de dalt, però de fusta. L’avi va continuar amb preguntes: És antic, aquest trencaclosques? Qui el va inventar? Com s’han fabricat, aquestes peces? Com es pot calcular la seva forma? El cert és que en aquell moment no vaig saber contestar tot el que em preguntava.

No he trobat informació sobre qui va inventar aquest trencaclosques i sobre si és molt antic. Però les seves preguntes em van tenir ocupat uns dies. Vaig començar a pensar. És cert que cada peça té 8 vèrtexs, i és fàcil veure que tots menys un, a la construcció final, es veuen. Els quatre vèrtexs (un de cada peça) que queden amagats, han de coincidir en un sol punt interior al tetraedre. Per simetria, aquest punt ha de ser el centroide del tetraedre regular final. Les cares del tetraedre es construeixen a partir de determinades cares de les peces, cosa que comporta un bon grapat de relacions geomètriques que van determinant la forma d’aquestes peces…

El resum de tot plegat el teniu en aquest retallable que he preparat (vegeu la nota al final si teniu ganes de saber-ne més). Si voleu jugar-hi amb els vostres fills, nebots, néts o amics i reptar-los a fer el trencaclosques, només heu d’imprimir el retallable 4 vegades, dibuixar-li “ales” a algunes arestes per poder unir les peces, retallar-lo, doblegar-lo i enganxar les seves cares fins acabar fent les quatre peces de la imatge de dalt. He de dir que és un retallable que no he trobat a cap pàgina web. No he dibuixat “ales” al retallable per a mostrar la simplicitat i simetria de la forma desplegada. I bé, quan tingueu les quatre peces, si no veieu com muntar el tetraedre, podeu llegir el darrer paràgraf de la nota al final.

He de dir que, tot cercant per internet, el que sí he trobat són dos trencaclosques més per a construir un tetraedre. Els trobareu en aquest document de la Universitat de Rice. Un d’ells té només dues peces i l’altre en té 4, que en aquest cas són piràmides de base quadrangular que provenen de la subdivisió de les dues peces idèntiques del seu primer trencaclosques. El pdf de la Universitat de Rice conté també retallables per a construir els dos exemples.

En total teniu tres retallables amb els que podreu passar una tarda divertida fent primer deu peces (4+4+2 poliedres de cartolina o paper) i fabricant després un total de tres tetraedres regulars. Si en teniu ganes i ho feu, segurament gaudireu d’una excursió que endinsa els qui la fan en indrets d’un món tridimensional força desconegut mentre ens va descobrint lleis i valors universals d’aquesta disciplina que va meravellar Plató i que es diu geometria.

M’agraden els trencaclosques polièdrics tridimensionals. I el fet de la seva estructura 3D suposa un repte afegit perquè, malauradament, la nostra capacitat d’imaginació i raonament geomètric és molt més 2D que 3D. Feu només una prova (vegeu la nota al final): intenteu imaginar les direccions en 3D de les arestes amagades de les quatre peces quan el tetraedre ja està muntat. Els trencaclosques 3D són un repte, però també una lliçó de prudència: ens baixen els fums i ens ajuden a recordar, com bons aliments de la modèstia intel·lectual, que no tot és tan fàcil.

Que puguem continuar molt temps gaudint junts de trencaclosques com aquests i parlant de molts altres temes, avi!

———

Per cert, l’Oriol Junqueras, en un article inusual, diu que hi ha dues lliçons de la física quàntica que ens poden orientar en el compromís polític. Aquestes són la modèstia intel·lectual i la prudència. Ara bé, malgrat la modèstia i la prudència, hem d’intervenir. Cal compromís, diu, per intentar millorar el món i intentar fer justícia: uns valors que ens són universals, en la mesura que són compartits per tots els humans en qualsevol lloc del món i en qualsevol moment de la nostra història com a espècie.

———

NOTA: Com bé mostra el retallable, les quatre peces són idèntiques i tenen un eix de simetria dreta-esquerra. Això fa que el tetraedre final admeti dues construccions diferents amb les mateixes peces. Una, que podríem dir que “gira en el sentit de les agulles del rellotge, és la que mostra la imatge de dalt: a qualsevol de les cares del tetraedre, si ens situem en el trapezi de mida més gran i en sortim per l’aresta més petita de les dues que són paral·leles per a visitar la peça petita i finalment anar a la peça mitjana, estarem movent-nos en el sentit de les agulles del rellotge. Ara bé, és fàcil veure que podem disposar les peces de manera que el recorregut sigui anti-horari. Només cal que, a la cara més frontal de la imatge per exemple, fem que la peça gran contingui el vèrtex inferior esquerra del tetraedre en lloc d’incloure el seu vèrtex superior.

Si suposem que la mida de les arestes del tetraedre és 1, sabem que la seva alçada és 1/3 de l’arrel de 6. És fàcil veure a més que, a la construcció final, cada una de les 4 peces queda amb 7 vèrtexs visibles i un d’amagat. Lògicament i per simetria, els 4 vèrtexs amagats (un de cada peça) coincideixen en un punt O de l’espai que justament és el centroide del tetraedre final (punt a distància 1/12*arrel(6) de la base i que es troba a la intersecció dels sis plans de simetria que passen per cada una de les arestes del tetraedre). En aquest punt O convergeixen 4 arestes, totes amagades, en direcció a cada una de les 4 cares del tetraedre, cada una d’elles paral·lela a alguna de les arestes externes del tetraedre. Ara bé, si pensem en la silueta externa del tetraedre que es forma quan el mirem en una direcció arbitrària, ens adonarem que és un quadrilàter amb quatre arestes que anomenaré a, b, c i d. I justament, a, b, c i d defineixen les direccions de les quatre arestes amagades que conflueixen al punt O. Pensem en una d’elles (la a, per exemple). Com que a pertany a dues de les 4 cares del tetraedre, només pot definir la direcció que va de O a alguna de les dues cares que no la contenen (perquè la direcció de la recta que va d’un punt O a una cara que no conté O mai pot ser una direcció de la cara). Resumint, podem escriure una taula que indica, per a cada una de les 4 arestes a, b, c i d, les dues cares del tetraedre que són candidates a ser connectades amb O amb un segment que tingui la seva direcció. Però, curiosament, moltes de les possibilitats combinatòries que dona aquesta taula són invàlides i tot plegat permet arribar a la conclusió que només hi ha 2 configuracions acceptables, que corresponen a les construccions horària i anti-horària que hem comentat abans. En resum: un tetraedre, quatre peces idèntiques i simètriques que connecten entre elles en el centroide, dues úniques maneres de construir el trencaclosques: segons les agulles del rellotge o en sentit contrari.

Amb tot el que hem dit és fàcil veure que, al retallable, la dimensió de les 5 línies horitzontals (per a construir un tetraedre final d’aresta unitat) ha de ser de 1/4, 1/4, 3/4, 1/2 i 1/4. D’altra banda, la distància en vertical entre aquestes línies (indicant amb la lletra A l’arrel de 3) ha de ser de 1/4, (1/4)*A, (1/8)*A i (1/8)*A. I és fàcil comprovar que, amb aquestes mides, a la construcció final, els vèrtexs amagats coincideixen en el centroide O. No deixa de ser curiós que les 4 peces tinguin cada una d’elles una cara perfectament quadrada que evidentment quedarà amagada en el muntatge final.

Per a fer el trencaclosques i muntar un tetraedre regular, una bona estratègia és primer agrupar les peces dues a dues, connectant-les per les seves cares quadrades per així amagar-les. Veureu que, per cada conjunt de dues peces, només hi ha dos girs al voltant de la cara quadrada comú que construeixen un tros del tetraedre final. Ara bé, cal tenir en compte, com ja hem comentat, que una d’aquestes dues configuracions ens porta al tetraedre de sentit horari, mentre que l’altra condueix a la construcció anti-horària. Per tant, hem d’assegurar-nos que un i altre conjunt de dues peces siguin coherents entre sí pel que fa a la seva configuració “horària”. Evidentment, només en aquest cas els dos conjunts de dues peces encaixaran bé entre ells i ens donaran el tetraedre que cerquem.

Atiyah i Pugwash

dissabte, 26/01/2019

Fa dues setmanes, en Michael Atiyah ens va deixar. Molts diaris se’n han fet ressò. La Julie Rehmeyer, del New York Times, deia que Atiyah va ser un matemàtic britànic que va unir matemàtiques i física d’una manera mai vista des dels temps d’Isaac Newton. Quasi res. Ho va fer durant la dècada dels 1960. I el cert és que el seu treball amb el professor Singer del MITM va conduir, per exemple, al neixement de la teoria de les cordes com a possible manera d’entendre l’estructura i la dinàmica de l’univers, i va proporcionar poderoses eines tant per als matemàtics com per als físics teòrics. Michael Atiyah va ser investit doctor honoris causa per la UPC fa poc més de 10 anys, sent apadrinat pel llavors degà de la facultat de matemàtiques i estadística, Sebastià Xambó.

El teorema de l’índex que van desenvolupar Michael Atiyah i Isadore Singer va ser com un miracle per entendre les equacions diferencials (que són les que ens permeten modelitzar fenòmens del món físic com el comportament dels gasos i líquids, la deformació dels materials i molts altres). Atès que moltes vegades aquestes equacions no es poden resoldre, Atiyah i Singer van descobrir que al menys, el que sí es podia arribar a saber és quantes solucions diferents té una equació diferencial. Singer i Atiyah van construir un pont entre l’anàlisi i la topologia que va resultar molt fructífer: Per a qualsevol conjunt C d’equacions diferencials, van explicar que existia un objecte geomètric O que es podia formar a partir de C. A continuació, van utilitzar la teoria K (la teoria topològica que Atiyah havia construït amb Hirzebruch) per caracteritzar aquest objecte O, i van obtenir un valor enter (índex). La troballa va ser el fet de descobrir que, a partir d’aquest índex que mostra el nombre de forats de O (genus), es pot saber el nombre de solucions del conjunt inicial C d’equacions diferencials. Van passar de les equacions diferencials a la geometria (O), de la geometria a la topologia, i finalment van veure que la topologia explicava C.

En aquesta entrevista de l’any 2004, Michael Atiyah deia que si fóssim ordinadors, aquestes màquines que poden tabular grans quantitats de tot tipus d’informació, mai no desenvoluparíem cap teoria. Només caldria prémer un botó per obtenir la resposta (concreta, mai abstracte). Deia que la matemàtica és una evolució del cervell humà, que quan respon a les influències externes, crea una maquinària amb la qual pot atacar el món exterior. La matemàtica és la nostra manera d’intentar reduir la complexitat en simplicitat, bellesa i elegància.

En Michael Atiyah, però, també es va destacar pel seu rebuig a la guerra i per la seva defensa aferrissada de la Pau al món. Entre els anys 1997 i 2002 va ser president de la societat Pugwash i va coordinar les conferències Pugwash durant aquells anys. L’associació de científics Pugwash vol un món lliure d’armes nuclears i altres armes de destrucció massiva, i té com a objectiu desenvolupar i donar suport a l’ús de polítiques basades en l’evidència científica, centrades en àrees on hi ha riscos nuclears i d’armes de destrucció massiva. Pugwash vol fomentar discussions creatives sobre la manera d’augmentar la seguretat de totes les persones, promovent el desenvolupament de polítiques que siguin cooperatives i futuristes. Doncs bé, l’any 1998, i com a president de Pugwash, Atiyah va fer el discurs inaugural de la conferència que es va celebrar a Jurica (Queretaro, Mèxic) sota el lema “El llarg camí cap a la Pau”. El podeu trobar, per exemple, a “Books.Google” si cerqueu “Michael Atiyah address The Long Roads to Peace“. Després de citar els problemes concrets que tenia el món fa una mica més de vint anys (no massa diferents als d’ara), va dir això: “la imatge a llarg termini es centra en diferents aspectes: explosió de població, degradació ambiental, pressió sobre recursos del planeta, mega-ciutats, noves malalties, desigualtats. Aquests són els problemes fonamentals que dominaran el segle vinent. Però, més enllà de tots aquests problemes … tenim les possibles catàstrofes que poden engolir el món: actualment tenim armes nuclears, químiques i biològiques … Hi ha un perill inherent per la mera existència (i estat de preparació) d’aquestes armes … l’enorme càrrega econòmica imposada per la constant recerca d’armes millors i millors, dificulta el poder fer front a les necessitats reals del món a llarg termini”. Atiyah acabava dient que malauradament, el món en general prefereix les armes més que la mantega. Gran paradoxa en unes frases que avui mateix continuen sent totalment vàlides.

Si teniu una mica de temps, podeu gaudir-lo en directe en aquesta gravació de quan va donar la conferencia Gibbs l’any 1991 (força jove) o en aquesta altra de la seva xerrada als Laboratoris Cavendish l’any 2002 (ja no tan jove). A totes dues, per cert, es recolza en les famoses transparències d’acetat que tant havíem usat a xerrades i congressos. I una curiositat: les dues dates són anys palíndroms consecutius.

Les dues facetes de Michael Atiyah, la de matemàtic i la d’activista de la Pau, són ben properes, encara que a primera vista no ho sembli. Perquè la matemàtica es basa en l’abstracció, i la ciència arriba al convenciment dels nostres límits pel camí de la mesura i el pensament. Eines, totes dues, que ens ajuden a allunyar-nos de l’interès pel “bentenir” i del desig de violència. Perquè de fet, com molt bé explica l’Emilio Lledó, al principi de la cultura grega, felicitat i “benestar” eren sinònims de “bentenir: de tenir més, tenir terres, cases, esclaus, vestits. I per tenir més, moltes vegades cal manllevar-ho dels altres, amb violència. Més tard, en canvi, els mateixos filòsofs grecs van evolucionar cap al concepte del “benser”. Lledó diu que la pau interior del “benser” és conscient dels límits i es conforma amb ben poc, perquè la felicitat del “bentenir” no sols és impossible en un entorn de misèria, crueltat i violència, sino que les acaba incrementant. I he de dir que a mi, l’experiència em diu que els matemàtics i científics són molt més a la banda dels límits i del “benser” que a la del “bentenir“. Deu ser per això que, com va fer en Michael Atiyah, a molts els agrada treballar contra la violència i les armes i en pro de la pau mundial. Perquè el teorema d’Atiyah i Singer és perpetu, etern i global. I quan has descobert que la ment humana pot descobrir i crear veritats matemàtiques universals, difícilment pots acabar pensant que cal defensar “els Nostres” en contra “dels Altres”.

La imatge de dalt, que podeu trobar a aquesta web, mostra una de les escultures encisadores d’en Carlo Sequin. És una superfície d’una sola cara amb 4 vores i genus 10. En Carlo Sequin, professor de la Universitat de Califòrnia a Berkeley, va ser un dels pioners en el camp dels models geomètrics digitals.

——

Per cert, la Esther Giménez-Salinas explica que, al món, hi ha una proporció mitjana de només 10 dones per cada 100 delinqüents (la proporció de dones empresonades a Catalunya és un 7,61% del total). Diu que cal que analitzem en positiu aquesta resistència de la dona a la violència i al delicte.