Arxiu de la categoria ‘Algorismes i geometría’

Em mullaré?

divendres, 15/06/2018

Plou. Vaig caminant i he oblidat el paraigua a casa, però porto barret. Em mullaré molt? Què és millor, caminar poc a poc o anar a més bon ritme?

Vaig en bici o en moto. Es posa a ploure. Quanta aigua rebrà la meva camisa durant els 300 metres que em falten per aixoplugar-me?

Val a dir que aquesta primavera ha estat un bona ocasió per pensar en problemes geomètrics relacionats amb la pluja…

Imaginem per un moment que no fa vent i que la pluja cau verticalment. Quanta aigua ens caurà damunt durant, per exemple, un minut? Si estem aturats, el nostre barret rebrà tota la pluja que es troba en el prisma vertical que tinc damunt meu (el prisma B de la imatge de sota, en la que el barret seria H). Aquest prisma B, que anomenaré prisma de pluja, té una alçada tal que conté totes les gotes que acabaran caient damunt meu durant 60 segons. Què passarà ara, quan comenci a caminar? Una manera senzilla d’entendre-ho és usar el concepte de moviment relatiu, que tan bé ens va explicar l’Albert Einstein quan va exposar la seva teoria de la relativitat especial (vegeu el meravellós llibre de divulgació que va escriure el mateix Einstein junt amb Leopold Infeld l’any 1939, o bé el llibre més recent d’en Brian Greene): l’aigua que rebrà el nostre barret si comencem a caminar a una determinada velocitat V, és la mateixa que si em quedo parat i la pluja cau amb un vent lateral de velocitat V. La física ens diu que en aquest cas, el prisma d’aigua s’inclina i passa a tenir la forma A de la imatge de baix. A i B tenen la mateixa alçada, l’únic que passa és que la base superior de A es desplaça endavant un espai igual a la velocitat V multiplicada pel temps (en el nostre cas, un minut). Ara bé, com que els dos prismes A i B tenen la mateixa base H i idèntica alçada, el càlcul geomètric del seu volum ens dona el mateix resultat. Conclusió: en un minut, i independentment del que jo faci, el meu barret rebrà la mateixa quantitat d’aigua.

Però, què li passa a la part de davant de la meva camisa? Si no em moc, em trobo en la situació D de la imatge de baix. Com que la camisa és quasi vertical (la represento per V), el seu prisma d’aigua, D, no té gruix i el seu volum és nul. Si no camino, el davant de la meva camisa quasi no es mullarà. I si ara començo a caminar, passaré de la situació D a la C, amb un prisma d’aigua de bases verticals (és fàcil deduir la seva forma pensant en la trajectòria de la gota que arriba a l’extrem superior de la base V al cap d’un minut, i tenint en compte que les trajectòries de totes les altres gotes que arribaran a V seran paral·leles i de la mateixa longitud). En aquest cas, el volum del prisma d’aigua és el producte de la seva base (àrea de V) per la seva alçada, que a la seva vegada és proporcional a la velocitat i al temps, o sigui, a l’espai que he caminat. Si camino lentament, en un minut la meva camisa o samarreta es mullarà molt menys que si em poso a córrer. Però com que l’alçada del prisma d’aigua és el producte de la velocitat pel temps i això és l’espai recorregut, el cert és que la part de davant de la meva roba, en el tros que em falta per arribar on vull anar, es mulla exactament el mateix tant si m’afanyo com si no.

Podríem també parlar d’inclinacions intermèdies com és el cas dels parabrises dels cotxes i motos, i veuríem que el resultat és un terme mig entre els dels casos H i V. Però de fet, si anem en bici o en moto, no ens volem entretenir en calcular volums de prismes d’aigua, i només volem protegir-nos, no hi ha cap secret: hem de tapar-nos sobretot pel davant i per damunt.

Si he de caminar 500 metres abans d’arribar a casa, el millor que puc fer (si no em vull esperar sota algun teulat) és anar ràpid: encara que la part de davant de la meva samarreta rebi la mateixa quantitat d’aigua, el meu barret ho agrairà, i a més, acabaré amb l’esquena pràcticament seca.

Si anem en cotxe i considerem un determinat interval de temps (per exemple un minut), quan plou, el sostre del cotxe rep la mateixa quantitat d’aigua, independentment de si estem parats, anem poc a poc o conduïm a gran velocitat. El parabrisa de davant, en canvi, sí que rep molta més aigua quan accelerem; però el del darrera, si anem ràpids, aviat deixarà de rebre aigua i romandrà sec. Tot plegat és fàcil d’entendre i de quantificar si usem els conceptes associats a la relativitat del moviment i calculem volums de prismes d’aigua.

——

Per cert, la Ida Dominijanni diu que perquè Europa faci un gir cal una esquerra europea que sigui capaç de fer-la girar. Diu que Europa ha d’entendre per fi que el neoliberalisme no és el seu destí, sinó una orientació política i econòmica que pot i ha de ser abandonada.

 

Gaia, els estels i nosaltres

divendres, 18/05/2018

Mireu-vos el dit índex amb el braç estès. Tanqueu primer un ull i després l’altre. Com és ben conegut, l’efecte de la paral·laxi fa que la posició del nostre dit en relació a la paret o al paisatge del fons sigui diferent en un i altre cas. La paral·laxi, aquest fenomen de canvi de posició relativa d’allò que és proper respecte el que és més llunyà, és el que va fer que l’evolució ens dissenyés amb dos ulls una mica separats per a que el cervell pogués triangular i percebre les distàncies.

La imatge d’aquí al costat ens mostra el mateix, però a escala planetària. La podeu veure a aquesta pàgina web. El fons d’estels és únic, però les quatre imatges de la lluna han estat preses (totes elles al mateix instant) des del Pol Nord (la de sota), del Pol Sud (la de dalt) i des de dos punts oposats de l’Equador (les del mig). Sabent el radi de la Terra i suposant que els estels del fons són molt més lluny, a partir d’aquesta imatge i amb una senzilla formula trigonomètrica és fàcil calcular la distància de la lluna a nosaltres.

La missió europea Gaia està fent el mateix però a escala més gran. La nau Gaia gira al voltant del Sol en una òrbita en el punt Lagrangià L2, a 1,5 milions de quilòmetres de la Terra. Un bon lloc amb un entorn de radiació baix i alta estabilitat tèrmica, que a més permet fotografiar els diferents estels de la Via Làctia des de dues posicions, en situacions oposades de l’òrbita terrestre i de la seva òrbita, separats uns 303 milions de quilòmetres. Encara que les fotos les fa en moments diferents de l’any i mentre va orbitant al voltant de la Terra, és com si Gaia tingués dos ulls separats més de 300 milions de quilòmetres. És cert que això tampoc és tan nou, i que Bessel, l’any 1838, ja va descobrir la paral·laxi basada en l’òrbita de la Terra era una bona manera de calcular la nostra distància als estels més propers. L’interessant de la nau Gaia són moltes més coses, de les quals voldria fer èmfasi en dues. El telescopi de Gaia pot mesurar les paral·laxis dels estels de magnitud entre 3 i 13 amb una precisió rècord de 6,7 milionèsimes de segon d’arc. En paraules més planeres, podria distingir una moneda d’un euro a la superfície de la Lluna. Increïble, oi? Per aconseguir-ho, li cal un grau extrem d’estabilitat i poder fer fotografies sense cap pertorbació per part de la Terra, de la seva atmosfera i del Sol. Gaia utilitza sistemes de micro-propulsió amb gas fred, molt sofisticats, per mantenir els telescopis girant a un ritme constant i garantir la precisió requerida. D’altra banda, Gaia usa informació altament redundant. Durant 5 anys ha observat més de mil milions d’estels, obtenint 70 unes fotos de cada un d’ells. Això equival a haver fotografiat una mitjana de 70 milions d’objectes cada dia, amb uns 40 GigaBytes d’informació diaris que ens va enviant. Total: 73 TeraBytes d’informació.

El resultat és un nou mapa galàctic tridimensional que conté les posicions de 1.700 milions d’estels juntament amb les posicions, moviment i característiques lumíniques de 1.300 milions d’estels de la Via Làctia. Tota la informació és a la web de la ESA. Són les dades recollides al llarg de 22 mesos de funcionament. L’actual mapa galàctic supera àmpliament, en nombre d’estels i precisió, el catàleg anterior, que només tenia dos milions d’estels. Gaia té tres metres i mig d’amplada, si no comptem el para-sol de 10 metres. El seu sensor, de tecnologia CCD com de les nostres càmeres digitals, és de mil milions de píxels amb una superfície total de 0,38 metres quadrats.

Aquí podeu veure el mapa de la ESA amb els 1.700 milions d’estels. I aquest és el vídeo d’un viatge imaginari que surt del nostre planeta i que s’allunya fins veure una bona perspectiva de tota la nostra galàxia, la Via Làctia. El vídeo mostra simultàniament les primeres dades enviades per Gaia (a l’esquerra) i les que ara tenim, molt més completes, a la dreta. El viatge comença mirant enrere cap al Sol, allunyant-se, i viatjant entre estels fins sortir de la galàxia.

Tal vegada aquest vídeo ens pugui ajudar una mica a entendre la nostra essència ínfima i efímera, a fer un somriure escèptic quan escoltem i llegim les vanes pretensions dels qui es creuen poderosos, i a exigir-los que respectin els drets i la dignitat de tots els altres, ara i aquí.

Per cert, l’Emilio Lledó diu que, estudiant la literatura grega, va descobrir que la felicitat era inicialment “tenir més”, tenir terres, cases, esclaus, àmfores, vestits. Tot això servia per assegurar la sempre fràgil i inestable existència: el “benestar” era absència d’angoixa i preocupació pel “bentenir”. Més tard, amb les paraules que van poder descobrir i descriure un univers més abstracte, el “benestar” es va transformar en “benser”, amb descripcions de l’equilibri, la sensatesa i l’alegria que surt dels territoris inescrutats del Jo. Però l’Emilio Lledó diu que el sentiment d’equilibri i assossec interior està contínuament amenaçat, i que la felicitat és impossible si la mirada descobreix la malaltia social i la corrupció que destrueix la vida col·lectiva.

L’electricitat a Vaishali

divendres, 20/04/2018

Dels 1.300 milions de persones del món que no tenien accés a l’electricitat segons dades del 2011, uns 300 milions es trobaven a l’Índia, que és el país amb més persones sense electricitat. La situació d’accés a l’electricitat varia significativament a tota l’Índia, que és un país gran i divers. En alguns estats la taxa de connexió elèctrica és superior al 99%, almenys oficialment. Però en altres províncies la situació és molt pitjor. Bihar, l’estat que inclou Vaishali al nord-est de l’Índia, té 83 milions de residents, i només el 16% utilitza l’electricitat com a font primària de llum, també segons dades del cens de 2011. A més, molts dels que tenen connexió a la xarxa sofreixen mala qualitat de servei, amb només unes poques hores al dia d’electricitat i no necessàriament tots els dies.

Dit d’una altra manera, a Bihar hi ha 70 milions de persones sense llum elèctrica. I al seu districte de Vaishali, on viuen 3,495,021 persones en unes 600 mil cases, quasi totes (un 93%) en zones rurals aïllades, hi ha quasi mig milió de cases sense llum elèctrica, com bé explica en Douglas Ellman.

El problema, gegantí, és com portar l’electricitat a aquests 48 milions de persones de Bihar i, en concret, al mig milió de cases aïllades de Vaishali que no en tenen. Un amic, l’Ignacio, que porta aquest projecte conjunt entre el MIT i la universitat de Comillas, em parlava fa poc de les solucions, molt efectives, que comencen a aparèixer. Em comentava l’enuig de la gent que encara no té llum en una zona plena de cables penjats i trencats que han quedat com a testimonis del fracàs i l’engany després de molts intents de resoldre el problema. I em deia que la solució passa per canviar de verb: no s’ha de parlar de portar, sino de tenir accès. Perquè la millor manera d’electrificar moltes zones del món no són les grans xarxes de distribució, sino les micro-xarxes locals. És el que analitza el MIT en aquest projecte innovador que estan aplicant justament a Vaishali i a altres regions de Ruanda, Uganda i Kènia. El projecte analitza, cas per cas, les seves condicions particulars (demanda dels consumidors, orografia del terreny, qualitat desitjada en el servei, màxim de dièsel que es vol consumir) i fa una proposta en base a un algorisme d’optimització que acaba oferint la millor estructura possible de micro-xarxes per la regió concreta en estudi.

Val a dir, però, que una cosa és electrificar les zones rurals de la Índia, Uganda o Kènia, i una altra és resoldre el problema de la injustícia energètica al món. Només una dada: es preveu que el consum mitjà d’energia elèctrica per usuari a Vaishali serà de 19 watts, i que el seu consum màxim, en alguns moments, podria arribar als 92 watts. Són gent que acabaran tenint electricitat a casa seva però que no podran tenir rentadora de roba, com bé ens explicava el malaurat Hans Rosling.

La imatge de dalt és de la pàgina web del projecte del MIT que estic comentant.

Hi ha un vellet que es diu Mallaiah Tokala. És el patriarca de la vila de Appapur, a l’estat de Telangana. En el front porta el vibhuti, el daub sagrat de la cendra blanca. No està segur de la seva edat exacta, però té més de 90 anys. Ha viscut en aquest poble tota la seva vida. En Mallaiah va viure l’assassinat de Rajiv Gandhi. I ara ha viscut el temps suficient per presenciar l’arribada de l’electricitat a Appapur, en forma de llums, televisors solars i ràdios. En Richard Martin ens explica que a la paret de la seva barraca, hi ha una sola bombeta LED que brilla suaument, connectada a través del sostre a un cable negre que ve d’un panell solar de 100 watts a la teulada d’una casa de formigó propera. Appapur és un “poble solar”, un dels aparadors dels projectes per portar energia solar a pobles petits i no electrificats a l’Índia.

——

Per cert, en Bru Rovira explica que ja fa cinc anys que els exèrcits de l’anomenada “comunitat internacional” estan assentats a Mali. I ara, des de fa dos mesos, Espanya dirigeix el comandament de les tropes que la Unió Europea té desplegades a Mali. Tècnicament, diu, estem en guerra.

La corretjola, la dreta i l’esquerra

divendres, 30/03/2018

Aquests dies he rellegit la increïble descripció que va fer en Martin Gardner, fa més de 50 anys, de les simetries de l’Univers. En el seu llibre, Gardner ens porta per un sorprenent camí que surt de la constatació de la nostra pròpia forma (per què som quasi-simètrics en el sentit dreta-esquerra però no en el sentit davant-darrera?), passa pels daus, per les plantes enfiladisses i per la bioquímica, s’atura al nostre ADN i acaba intentant entendre les partícules elementals i la anti-matèria.

Shakespeare, al somni d’una nit d’estiu, posa aquesta frase en boca de la reina Titània: “dorm, i jo t’envoltaré amb els meus braços, com la corretjola abraça el lligabosc”. L’abraçada entre la corretjola o campaneta i el lligabosc o xuclamel és poètica i enigmàtica perquè aquestes dues plantes no són simètriques en el sentit dreta-esquerra com ho poden ser els rosers o els podocarps. La corretjola i el lligabosc, s’enfilen tot enredant-se, i ho fan com una escala de cargol. Amb una diferència: l’hèlix que forma la corretjola és la imatge al mirall de la crea el lligabosc quan s’enfila, i això és el que crea l’abraçada que va captivar Shakespeare. No hi ha manera, al nostre espai 3D, de poder superposar les dues escales de cargol de la campaneta i el xuclamel. Són com les nostres mans dreta i esquerra.

La natura ens mostra molts exemples semblants al de l’abraçada entre les campanetes i el lligabosc. En el cas dels àcids tartàric i racèmic o en el cas de sucres com la glucosa i la fructosa, trobem molècules enantiomorfes (com les nostres mans), que només podríem fer coincidir si les giréssim en un espai de 4 dimensions. Però tenim un cas molt més proper: el del nostre ADN. Mireu la imatge de dalt, que he modificat a partir de la que podeu trobar en aquesta web. La forma de l’ADN que ens ha conformat, és la d’una hèlix que gira en sentit contrari de les agulles del rellotge, com la de la corretjola o campaneta, però no com la del lligabosc. És la forma que veieu a la part esquerra de la imatge. La de la part dreta seria la d’un pseudo-ADN que no existeix. La vida, als seus inicis, va haver d’escollir entre l’hèlix de la corretjola i la del lligabosc i, de fet, l’estructura de l’àtom de carboni permet la una i l’altra sense cap tipus de preferència. Probablement per atzar, l’ADN va adoptar la forma de la primera, i ara tots portem dins nostre la hèlix que es cargola, si la mirem des de dalt, en sentit anti-horari. Però hagués pogut passar el contrari. I podem afirmar, amb altíssima probabilitat, que en algun dels altres racons de l’Univers on segurament hi ha vida, les estructures biològiques que hi podríem trobar (fruit de la meravellosa estructura de l’àtom de carboni que permet els dos tipus d’hèlix) veuríem que es basen en estructures helicoïdals que són simètriques respecte a la del nostre ADN.

La democràcia i el món que la ONU planteja per d’aquí a 12 anys, són bastant simètrics. Però l’organització actual de la societat, basada en el poder i els negocis més que en la gent, malauradament no ho és. Que ho preguntin als que estan a la presó per les seves idees, o als que no tenen prou diners per arribar a finals de mes…

——

Per cert, en Javier Pérez Royo diu que en la tasca instructora del jutge Pablo Llarena respecte del delicte de rebel·lió, hi ha un exemple paradigmàtic de transformació d’un procés penal en un procés polític, perquè no és la persecució del delicte realment comès el que es pretén, sinó que es busca la liquidació d’una opció política mitjançant l’atribució d’un delicte que només existeix en la imaginació del jutge.

La geometria de l’ordre

divendres, 23/03/2018

Anem per una carretera o camí, en un trajecte tranquil perquè volem gaudir del paisatge. Durant el trajecte, anem passant pobles. No us dic res de nou si afirmo que podem ordenar els pobles en base a quan els anem veient. Sortim del primer poble, en passem uns quants, i arribem al darrer, que és el nostre destí.

Aquest ordre, però, desapareix quan mirem els pobles al mapa, perquè ara hi ha moltíssimes maneres d’ordenar-los. Els podem ordenar per la seva latitud geogràfica, per la seva alçada sobre el nivell del mar, per la seva proximitat al mar o a una determinada ciutat, i per moltes altres variables no geogràfiques com la seva població o el nombre de bancs per seure. En les dues dimensions d’un mapa no hi ha cap ordre objectiu; en canvi, aquest ordre apareix quan caminem o anem en cotxe: les carreteres i camins ordenen els pobles. De fet, la geometria ens ho explica ben clar: tot allò que és representable al llarg d’una línia (com els pobles al llarg d’un camí o les baules en una cadena) és ordenable, mentre que allò que trobem en espais 2D, 3D o de n dimensions, és intrínsecament no ordenable. Podem ordenar-ho, és clar, però per a fer-ho ens cal afegir criteris que són extrínsecs respecte la seva posició. Aquesta multiplicitat d’ordenacions té però els seus avantatges: l’ajuntament d’un determinat poble sempre podrà trobar un criteri adient tal que, quan l’apliquin, el poble quedi el primer en l’ordenació de tots els de la seva regió o comarca. I aquí és on surten també algunes dificultats, perquè tothom acaba sent el primer en alguna cosa.

Pensem en un altre exemple. M’agradaria llogar una caseta a un poble, però no sé si tindré prou Sol a la terrassa, a l’hivern. El problema és que hi ha altres cases que no sé si em faran ombra. I la solució no és evident, perquè el problema és 3D (la posició del Sol al llarg de l’any ho és) i com acabem de veure, en aquest cas no hi ha cap ordenació intrínseca. Doncs bé, hi ha una solució elegant que ens va donar, ara fa 38 anys, l’equip d’en Henry Fuchs: podem construir un arbre de partició binària de l’espai. Perquè els arbres de partició binària de l’espai (vegeu la nota al final) estructuren la informació, sigui 2D, 3D o nD, de tal manera que contenen, de manera implícita, una infinitat de possibles ordenacions. Segons com els “llegim”, aquests arbres ens donen una ordenació o una altra. Són pots d’ordenació condensada multidimensional, estructures que ens guarden la geometria de l’ordre a l’espai. La seva bellesa, al meu entendre, és una mostra més de la poesia de l?univers.

———

Per cert, en Josep Ramoneda, parlant de les penes que demana la fiscalia Italiana als càrrecs de l’ONG Open Arms, diu que mai ningú pot ser reprimit per ajudar qui es troba en perill, i que en una societat democràtica la llei té un límit, que són els drets fonamentals de les persones. Diu també que quan aquests drets es violen, la democràcia es degrada, i que estem veient com Europa s’enfonsa al mar, per a més glòria del despotisme. Quan ho llegeixo, penso que a Europa han desaparegut l’ordre i la seva geometria.

———

NOTA: La partició binària de l’espai binari (BSP) és una manera d’estructurar un determinat espai inicial convex (per exemple, una regió cúbica) que es basa en subdividir-lo recursivament en subconjunts convexos en base a plans. Aquesta subdivisió dóna lloc a una representació dels objectes dins de l’espai basada en una estructura de dades d’arbre anomenada arbre BSP. Després d’una idea inicial de Schumacker i els seus col·laboradors l’any 1969, la proposta dels arbres BSP va ser formulada i desenvolupada en detall a partir de l’any 1980 per Henry Fuchs i els seus estudiants.

La idea és ben simple. Pensem en l’exemple de les cases i les ombres. Comencem amb una regió inicial que pot ser una capsa imaginària (convexa) que contingui, en 3D, el conjunt de totes les cases que volem estudiar. Escollim una façana d’un dels edificis més o menys centrats a la capsa inicial, i designem el seu pla P com a primer pla discriminant. Aquest pla separa i classifica totes les cases en dos grups: les que es troben a la part de davant del pla (en direcció cap enfora de la façana que ha donat lloc a aquest pla P) i aquelles que són a la seva banda del darrera. Pot donar-se el cas, és clar, que alguna casa no quedi ni al seu davant ni al darrera, sino que quedi tallada per P. En aquest cas, dividirem la casa en dues parts de manera que cada una d’elles quedi ben classificada, davant o darrera de P (de fet, una de les coses que ha de tenir en compte l’algorisme que escull el pla discriminant P, a més de subdividir el conjunt de cases en dos subconjunts acceptablement equilibrats, és el d’intentar que talli el menor nombre possible d’altres cases – en base a heurístiques que prioritzin les façanes de carrers llargs i rectes, per exemple -). Un cop hem trobat el pla discriminant P, el conjunt inicial de cases ens haurà quedat classificat en dos subconjunts: el de les que són davant de P i el de les que són al seu darrera. I cada un d’aquests dos subconjunts correspon a una regió convexa de l’espai, sub-regions R1 i R2 que provenen del fet de tallar, amb el pla P, la capsa convexa inicial. A partir d’ara, l’algorisme continua tractant, per separat, cada una d’aquestes dues sub-regions, fent-hi el mateix: cerca del pla discriminant i subdivisió del conjunt de cases entre les que són al seu davant i les que es troben al seu darrera. Per a R1, trobarà un pla P1 que la dividirà en dues sub-regions R11 i R12.  Per a R2, trobarà un pla P2 que la dividirà en dues sub-regions R21 i R22. Evidentment, P1 només actua dins de R1 i P2 només ho fa dins de R2. El procés es repeteix fins que a cada regió només hi hagi, per exemple, una casa.

L’interessant d’aquesta subdivisió recursiva de l’espai és que estructura la informació, permet la seva classificació, l’agrupa, és vàlida en 2D, en 3D i en qualsevol espai de dimensió superior nD, i a més incorpora de manera automàtica una infinitat de possibles ordenacions posteriors. Podem estructurar i organitzar a l’espai els pobles d’una comarca, les regions del cervell d’una persona o informació multidimensional d’una comarca que incorpori dades geogràfiques i de població, riquesa, salut i altres. Tot queda representat en regions polièdriques convexes que podem accedir de manera trivial tot movent-nos per un arbre de plans discriminants.

Tornem a l’exemple de les cases el Sol, les façanes i les ombres. Tindré sol a la terrassa d’aquella casa que m’agrada, el dia 10 de gener a les 4 de la tarda? L’únic que he de fer és calcular la posició (de fet, parlant amb propietat, el que he de calcular és el vector que defineix l’orientació) del Sol aquest dia a aquesta hora. Un cop sé on serà el Sol en aquest moment, comparo la seva posició amb el primer pla discriminant P. Si diem PS a la banda de P on és el Sol, i PN a l’altra banda, és evident que les cases de PS poden fer ombra a les de de PN, però que, en canvi, cap casa de PN pot fer ombra a les cases de PS. Si separo les cases en dos grups i poso primer les de PN i després les de PS, ja he fet un primer pas cap a l’ordre. L’únic que he de fer ara és repetir el procés amb els plans discriminants de PN i de PS: miro on és el Sol en relació a aquests plans i separo les cases, deixant primer les que queden separades del Sol pel pla i després les altres. Al final, aquest algorisme m’haurà generat un ordre parcial (anomenat també topològic) de manera que la primera casa en aquesta llista final ordenada pot tenir ombra de qualsevol de les altres, mentre que la darrera segur que no té ombres; per a qualsevol casa del mig de la llista, les d’abans no li poden fer ombra però les posteriors, sí. L’interessant de tot plegat és que l’ordre que obtenim depèn de la posició del Sol. L’arbre conté tots els ordres possibles de manera implícita, per a totes les possibles posicions del Sol al llarg de l’any, de manera que permet que els càlculs d’ombres siguin més eficients i ràpids.

Allò que és geomètric

divendres, 9/03/2018

Què és geomètric, i què no ho és? Si poseu “pintura geomètrica” en un cercador, us trobarà, a la web, fotos com la de dalt de la imatge, que tots veiem com una composició geomètrica. És un conjunt simple, format per superposició de figures quasi-rectangulars de diversos colors. Jo diria que la seva característica fonamental no és el fet de ser geomètric, sino la seva bidimensionalitat.

Mireu en canvi el quadre de baix, d’Edward Hopper, que és un exemple paradigmàtic del caràcter geomètric tridimensional de tot el que ens envolta. Hi podem veure les ombres degudes a l’orientació local de la superfície del terreny, que permeten deduir la posició del Sol, dalt a l’esquerra però no molt alta; les siluetes (aquells punts amb vector normal perpendicular a la direcció que els connectava amb l’ull de Hopper), les curvatures i plecs del terreny, les zones de curvatura Gaussiana positiva o negativa, algunes zones localment desenvolupables i fins i tot planes… Poca cosa es pot dir del caràcter geomètric del quadre de dalt, mentre que es podria escriure tot un llibre sobre la poesia que traspua l’obra de Hopper.

Hi ha un fet cultural força trist: no estem gaire preparats per a gaudir de la bellesa de les formes 3D, excepte, això sí, les humanes. Si ens demanen que mostrem alguna cosa geomètrica, és força probable que agafem un llapis i fem un dibuix 2D amb traços rectes i uns quants angles. Deu ser per això que els escultors són més escassos que els pintors i dibuixants.

Al món i la natura hi ha molt poques rectes. La geometria, aquesta ciència de la mesura del món que hem creat, ha de tenir eines per estudiar i entendre totes les formes corbades que ens envolten. La separació entre corbes i rectes és la que distingeix el món natural de l’artificial, perquè les rectes les vam inventar els humans. Van ser les rectes dels temples inques, egipcis, maies i babilònics, les que van inspirar Euclides quan, en un exercici d’abstracció, les va imaginar com continuació infinita del camí més curt que uneix dos punts donats.

I no es por parlar de geometria, de la geometria de veritat del món natural, sense parlar de Carl Friedrich Gauss. Gauss va ser un geni. Es diu que, als tres anys, va corregir un error en els càlculs financers del seu pare. I als set anys, a l’escola, va descobrir la formula per a calcular la suma d’una progressió aritmètica. De jove, mentre feia de cartògraf, va crear i escriure tota la disciplina que ara es coneix amb el nom de geometria diferencial, junt amb el concepte de curvatura de Gauss que porta el seu nom. El seu descobriment que les característiques de curvatura d’una superfície es poden deduir de manera completa només mesurant angles i distàncies i sense “mirar-la des de fora” és el que ara ens permet validar experimentalment la curvatura de l’espai que va plantejar Einstein a la seva teoria de la relativitat general, i la que ens ajuda a gaudir de tots els matisos corbats quan mirem el meravellós quadre de Hopper.

Tot és geometria. La nostra realitat geomètrica, tan similar a la dels altres animals, ens ajuda a entendre que som natura i que som geometria. Tenim una forma exterior quasi-simètrica, amb un pla de simetria que separa dreta i esquerra que fa que les nostres mans, en lloc de idèntiques, siguin enantiomorfes. La similitud en la disposició dels nucleòtids al llarg de l’hèlix de l’ADN (tot un prodigi geomètric absolutament tridimensional) fa que tots els humans siguem essencialment similars, i ens explica, com molt bé va fer Albert Einstein, que totes les persones que habitem el món som iguals pel que fa als nostres drets. Acabo amb tres frases que se li atribueixen: “Hi ha dues maneres de mirar la vida: creure que els miracles no existeixen o creure que tot és un miracle”, “El meu ideal polític és la democràcia. Que es respecti tothom com a individu i cap persona sigui idolatrada”, i “La paraula progrés no té cap sentit mentre hi hagi nens infeliços”.

Per cert, avui acabo amb una imatge (geomètrica, també), en comptes d’una cita:

El món i els números

dijous, 25/01/2018

Si us agraden els números (he de confessar que a mi m’agraden), us recomano que aneu a l’exposició que ha organitzat la Universitat de Barcelona al vestíbul de l’Edifici Històric a la plaça Universitat. Crec que es podrà visitar fins el proper 7 de febrer. El seu comissari, el catedràtic de física Javier Tejada ens recorda que la natura està escrita en llenguatge matemàtic i que, en observar-la, ens hem trobat amb els números. Per això, quan mesurem i quantifiquem, entenem més les coses.

La imatge d’aquí al costat és d’un dels cartells de l’exposició. Mostra que el comptatge en base 10 va néixer del fet de comptar amb els dits, i que les 9 xifres aràbigues que ara utilitzem, quan van ser inventades a la Índia, justament tenien entre 1 i 9 angles (que la imatge els representa com petits cercles vermells). Més tard, per representar el no-res, es va pensar en el zero, que és un grafisme sense angles. Interessant, oi?

L’exposició inclou apartats que ens expliquen la historia dels nombres, però que també quantifiquen la diversitat lingüística, les migracions dels nostres avantpassats, la física i la química, l’energia, els aliments, la biologia, el món jurídic, la demografia, i moltes coses més. Fins i tot parlen de la matèria que conforma els nostres cossos. Sabíeu que el nostre cos té uns 6.700 quadrilions d’àtoms?

Podem mesurar i quantificar el que sabem… però també el que no sabem, gràcies a l’estadística i les probabilitats. No sabem com evolucionarà una persona concreta que està malalta, però el cert és que els metges han vist molts casos semblants i han observat i anotat l’evolució de les seves malalties. En base a aquesta informació i en base a paràmetres i a indicadors que defineixen l’estat d’un determinat pacient (analítiques, exploracions, proves radiològiques i altres), els experts poden estimar amb força precisió la probabilitat que la malaltia evolucioni en un sentit o en un altre. De fet, els protocols que apliquen els centres assistencials i hospitalaris es basen en aquestes probabilitats. Són protocols que no ens poden garantir que el tractament proposat sigui el millor en cada cas concret, però sí que el que ens proposen és allò que té una probabilitat més elevada de funcionar bé. I això, en un escenari de coneixement molt limitat sobre el funcionament del cos humà, és el millor que es pot fer.

Un apartat interessant és el que planteja preguntes divertides. Sabeu que quan beveu un vas d’aigua, us esteu empassant un bon nombre de molècules d’aigua que ja es va beure en Cristòbal Colón el dia 12 d’octubre de 1492?. Aquest nombre, amb tota probabilitat, és de 1000 molècules, que va beure Colón i que ara esteu tornant a beure vosaltres. I sabeu que quan beveu alcohol, només tarda 30 segons en arribar al cervell?

Els números també quantifiquen la manca de justícia al món i mostren, amb tota la seva cruesa, el resultat de la cobdícia i vanitat humanes. L’exposició té un apartat dedicat als objectius de desenvolupament sostenible de les Nacions Unides. Explica que el 50% dels nens de tot el món viuen en zones afectades per conflictes i amb violència, i que els països amb conflictes són els que tenen un índex més elevat de pobresa. Diu que 1800 milions de persones beuen aigua contaminada amb restes fecals, i que 663 milions no disposen d’aigua potable. Que cada any llencem 3000 milions de tones d’aliments, i que la tercera part dels aliments que produïm s’acaben fent malbé o podrint. De fet, un informe del prestigiós institut SIPRI que podeu llegir aquí, cita un treball del 2015 de la Xarxa de Solucions de Desenvolupament Sostenible que justifica que, amb un pressupost públic extraordinari d’entre 760 i 885 mil milions de dòlars anuals entre els anys 2015 i 2030 (en dòlars de 2013), es podrien assolir els objectius de desenvolupament sostenible de la ONU en salut, educació, agricultura, seguretat alimentària, accés a l’energia moderna, abastament d’aigua i sanejament, infraestructures de telecomunicacions i transport, ecosistemes, resposta d’emergència i treball humanitari, incloent a més un pressupost addicional per a permetre la mitigació i l’adaptació del canvi climàtic. Pot semblar molt, però val a dir que és el 46-54% de la despesa militar mundial l’any 2015. La pregunta és si serem capaços de gastar la meitat del que destinem a tecnologia militar en aquelles coses que ens poden ajudar a sortir de la vora del precipici.

——

Per cert, el darrer informe d’Oxfam Intermón explica que l’any 2017, l’economia espanyola va aconseguir un fort creixement, del voltant del 3,2%. Però l’1% més ric va capturar el 40% de tota la riquesa creada, mentre que en el 50% més pobre a penes en va aprofitar el 7%. Oxfam constata que, malgrat les dades de creixement econòmic, Espanya segueix sent avui una societat més desigual que abans de la crisi.

Versatilitat, autonomia, morts i ètica

dijous, 18/01/2018

A mitjans del segle XX, no hi havia màquines versàtils. Les neveres servien per conservar aliments, les tisores per tallar i les bicicletes per anar amunt i avall. Però ben aviat, els ordinadors ens van canviar les coses. Treballaven amb informació, adaptant-se en cada moment a allò que ens calia i fent tot tipus de càlculs. La seva versatilitat era extraordinària. Van passar de ser eines de càlcul a ajudar-nos en l’escriptura, processament i gestió de textos, ben aviat es van convertir en màquines ideals per manipular imatge, vídeos i so, i ara són eines bàsiques per a la comunicació i cerca d’informació. Els ordinadors són essencialment màquines versàtils.

Pot semblar estrany aquesta afirmació que els ordinadors són màquines, perquè estem acostumats a pensar que una màquina és un giny mecànic que actua i fa alguna cosa, mentre que els ordinadors treballen amb això tan subtil que anomenem informació. Però el fet és que les màquines actuals inclouen en general ordinadors que, gràcies a determinats mecanismes actuadors, realitzen tasques en el món real. Un amic meu diu que els cotxes d’avui en dia són ordinadors que controlen un motor, tot plegat cobert amb allò que anomenem carrosseria. Podríem parlar dels robots-aspiradora i de molts altres invents per la llar. I és clar que els mòbils són ordinadors amb una bona càmera de fotos que, a més, serveixen per a telefonar. Estem voltats d’ordinadors que fan coses, des de sistemes que llegeixen la matrícula del cotxe en entrar al pàrquing, fins màquines que ens fan un TAC i ens creen imatges del que tenim dins del nostre cos. En tots aquests ginys sempre hi ha el mateix: un ordinador convenientment programat, que detecta el que passa en el seu entorn amb un conjunt adequat de sensors, i que controla determinats actuadors que acaben fent el que cal. Ordinadors amb sensors i actuadors.

Fa ben poc, alguns d’aquests invents han aprés a volar. Són els drons: ordinadors que volen, detecten i actuen. Tenen motors elèctrics, una bateria, un sistema de control de vol i estabilització (ordinador), sensors (d’alçada, GPS i altres) i alguns actuadors (per exemple, una càmera de fotos o de vídeo). Són força autònoms, però habitualment requereixen que algú els condueixi des de terra. Els més sofisticats es controlen des d’un ordinador que mostra, a la pantalla, allò que el dron està veient amb la seva càmera. Això facilita el guiatge i la decisió de quan cal fer les fotos. Això sí, els drons, ordinadors que volen, porten determinats dispositius específics en funció del seu ús. És habitual que incloguin una càmera de fotos, però poden portar, a més i per exemple, material específic d’ajut per a rescats a la muntanya o fins i tot desfibril·ladors.

Els drons, hereus dels ordinadors, són altament versàtils. Poden salvar vides, cartografiar cultius, o fotografiar objectius militars que després seran bombardejats. Fins i tot, poden portar explosius i matar, comandats remotament des d’un ordinador per un “soldat” que actua com si estigués en un joc inofensiu. Malauradament, però, hi ha molt poc debat ètic sobre les morts extra-judicials amb drons. És èticament acceptable que, en països que han abolit la pena de mort, els jutges no condemnin ningú a mort mentre hi ha qui pot matar, impunement, amb drons? No puc entendre que la resposta no sigui un NO rotund.

Doncs bé, les armes autònomes encara van un pas més enllà. Aquestes armes, habitualment drons, inclouen un sistema d’intel·ligència artificial que pot acabar decidint, sense intervenció humana, si cal matar una determinada persona o destruir un objectiu concret. Són autònomes, cert; però el problema és que, com nosaltres, es poden equivocar. Perquè els sistemes d’intel·ligència artificial estan sotmesos a errors i perquè les màquines no tenen el que s’anomena comprensió profunda. I el problema és que els seus errors són vides de persones concretes.

Actualment hi ha un gran debat sobre aquestes armes autònomes letals (LAWS, conegudes també com robots assassins; la imatge de dalt és d’aquesta web). L’Stuart Russell, de la Universitat de California a Berkeley, diu que són “la tercera revolució de l’art de la guerra, després de la pólvora i la bomba atòmica”. I hi ha debat perquè hi ha grans interessos. El Departament de Defensa nord-americà insta a un augment de la inversió en tecnologies d’armes autònomes, de manera tal que “Amèrica pugui mantenir la seva posició davant els adversaris, que també explotaran els seus beneficis operacionals”. La frase no pot ser més clara. És l’ètica del poder i del domini, la llei del més fort que ignora la gent.

Per sort, els científics pensen més en termes d’una ètica que posa les persones al centre i que defensa els quasi oblidats drets humans, un dels quals és l’indiscutible dret a la vida de tota persona humana. Per exemple, un total de 116 experts en els àmbits de la intel·ligència artificial i la robòtica han signat una carta en la que demanen a les Nacions Unides que prohibeixi aquestes armes autònomes letals.

Acabo citant un article recent d’en Michael Shermer, en el que diu que el que cal prohibir és la guerra, directament. El podeu llegir aquí. Diu (poca gent ho sap) que això no és res de nou i que, de fet, la guerra ja es va prohibir l’any 1928 amb el pacte de Kellogg–Briand a París. Les disposicions bàsiques del pacte, que continua vigent, fixaven la renuncia a l’ús de la guerra i la promoció de la solució pacífica dels conflictes i disputes. Ho expliquen l’Oona A. Hathaway i en Scott J. Shapiro, professors de Yale, en un llibre recent. En Michael Shermer recorda el que ja deia en Salmon Levinson l’any 1917: que no hauríem de tenir lleis sobre la guerra com tenim ara, sinó lleis contra la guerra, de la mateixa manera que no tenim lleis sobre l’assassinat o l’enverinament, sinó lleis contra l’assassinat i l’enverinament. Cent anys després, amb una segona guerra mundial i infinitat d’altres guerres que han generat morts innocents, no només continuem igual sino que ara volem que les màquines versàtils siguin les que s’encarreguin de la feina bruta. Qui són els responsables? On és la ètica?

———

Per cert, en Bru Rovira parla del cas de l’activista Helena Maleno, i constata que el govern espanyol pressiona un tercer país (el Marroc) perquè condemni una persona que les nostres lleis no condemnen. Recorda que la investigació va ser ja rebutjada i arxivada per la mateixa fiscalia de l’Audiència Nacional.

La geometria de la injustícia

divendres, 12/01/2018

Una de les grans avantatges d’haver estat capaços de construir ginys que acabem enviant a l’espai és que podem gaudir d’imatges de la Terra com la d’aquí al costat. És un mapa de món que podeu trobar a les pàgines web de la NASA, en resolució mitjana (8 MB) i en molt alta definició (256 MB). La imatge no deixa indiferent. És la constatació que els humans hem deixat gran part de la nostra espècie a les fosques, en una situació de terrible injustícia energètica.

En Paul Smith Lomas, a unes jornades organitzades per la Reial Acadèmia Anglesa d’Enginyeria, explicava que on es fa més evident la injustícia tecnològica és en el cas de l’accés a l’energia. Perquè l’accés a una energia que sigui assequible, fiable i neta és vital per a poder tenir molts altres serveis bàsics. Ens recordava també que mil milions de persones encara no tenen accés a cap tipus d’electricitat, mentre que uns altres mil milions ho fan de manera intermitents i amb baixa qualitat. Són la gent dels països foscos del mapa.

Els grecs ens van regalar la paraula “geometria” per definir el fet de mesurar el nostre planeta i tot allò que conté. La geometria ens ajuda a mesurar el radi de la Terra, l’extensió dels oceans i els diferents tipus de territoris i paisatges. També, ens dona eines per mesurar la injustícia. A baix de tot teniu el mateix mapa del món de dalt (més aclarit per mostrar les vores dels continents) amb una malla regular superposada que permet quantificar la distribució geogràfica de tot tipus de fenòmens. Només cal comptar el nombre de cel·les que contenen allò que volem mesurar i el nombre de les que no ho contenen. Per exemple, si comptem el nombre de cel·les de terra ferma, i hi afegim totes aquelles cel·les que contenen zones costeres i que tenen més proporció de terra que de mar, i ho dividim pel total de cel·les del mapa (que és 30*60=1800), tindrem un valor aproximat del percentatge de superfície del nostre planeta que forma part dels continents i illes. Ho podem fer comptant, però també ho podem fer jugant: imprimim el mapa amb la malla de cel·les, el posem damunt la taula, i llancem moltes vegades un petit cub de fusta a l’aire, de manera que acabi caient a la taula. El percentatge de vegades que el cub de fusta cau en cel·les de terra ferma tendeix, a mesura que juguem més i més temps, al mateix valor que hauríem obtingut en base a comptar cel·les. I evidentment, si ara subdividim la malla i passem a treballar amb cel·les més petites, anirem trobant valors més acurats. En definitiva: el comptatge de cel·les en base a malles que anem refinant és un bon recurs que ens ofereix la geometria.

Si ho fem en el mapa de sota, veurem que, a Europa, no hi ha cap cel·la fosca. Per tant, i a la resolució de la malla de la imatge, podem concloure que el 100% del territori europeu té un bon accés a l’energia elèctrica. La situació a Àfrica, en canvi, és ben diferent. Si analitzem tot el continent, trobarem 21 cel·les amb punts de llum, d’un total de 96. Dit en altres paraules, el 78% del territori africà és a les fosques, amb aquest comptatge concret de cel·les que estem fent. Ara bé, per sota de la línia vermella que indica la latitud de Florida als Estats Units i que separa la franja Mediterrània de l’Àfrica subsahariana, la foscor és quasi absoluta amb molt petites excepcions. Si subdividim les cel·les i anem repetint el comptatge a mesura que aquestes es fan petites, observarem que el 99% del territori africà per sota d’aquesta línia vermella que marca el paral·lel dels 25,7 graus de latitud nord, és a les fosques.

Hi ha una segona injustícia geomètrica, però. El mapa del món que teniu dalt i baix, tot i que és l’habitual que estem acostumats a veure, eixampla les terres dels països del nord mentre encongeix les de la gent que viu al sud. És fàcil comprovar-ho. Només cal anar a un mapa del món interactiu com aquest, que mostra una part del continent africà. Sota, a la dreta, trobarem un segment que indica la distància, al mapa, entre dos punts separats mil quilòmetres. Ara, sense fer zoom, arrossegueu el mapa amb el cursor per desplaçar-vos cap al nord, a Europa, i aneu mirant el segment que mostra els 1000 Km. Veureu que cada cop que deixeu el cursor per mirar el mapa, aquest segment d’escala canvia de mida. Al final, el mapa ja mostra un segment de 500 Km. perquè el de 1000 Km. seria massa llarg. Això és degut a que els mapes del món tradicionals comprimeixen el continent africà (i tots els països del sud) mentre donen més espai a Europa. La geometria de les nostres representacions, basada en sistemes de projecció que vam decidir els europeus, és injusta amb els africans i els habitants del sud global.

La injustícia energètica és evident, encara que no mesurem res. Ens ho diu ben clar la imatge de dalt. Ara, si volem afinar més i mesurar-la, sabem que el comptatge de cel·les és una bona eina i un bon recurs de la geometria. Però també sabem que els fenòmens que veiem a la superfície de la Terra mai els podrem mesurar de manera precisa amb comptatge de cel·les sobre representacions de mapes plans del món, perquè tota projecció implica distorsió. Podem, això sí, utilitzar aquesta tècnica del comptatge de cel·les si el que subdividim és directament l’esferoide oblat de la superfície terrestre (per exemple, amb tècniques quasi uniformes com les dels icosaedres subdividits de Buckminster Fuller), i això sí que ens donarà resultats bons i acurats.

La humanitat és injusta en quasi tot, i l’energia n’és un clar exemple. No podem parlar de valors globals de riquesa o de consum energètic sense afegir dades sobre la dispersió, les desigualtats i la variància. I la geometria ens permet mesurar aquesta injustícia, que es mostra en una increïble desigualtat geogràfica. La conclusió: ho estem fent molt malament.

——

Per cert, en Ben Hayes i en Nick Buxton constaten que els efectes de l’escalfament global es presenten sempre com riscs polítics i de seguretat nacional des del prisma exclusiu dels interessos dominants a cada país. I de fet, diuen, el que s’està fent és fortificar illes de prosperitat en mig d’oceans de misèria.

Per què tres?

dimecres, 3/01/2018

Heu jugat alguna vegada a les perpendiculars? Pintem una línia recta, al terra. Tot seguit, en pintem una segona, de tal manera que sigui perpendicular a la primera. Si la primera anava de nord a sud, la segona anirà d’est a oest. Ara, cal situar un tercer objecte, per exemple un pal d’escombra, de manera que sigui perpendicular a les dues primeres línies. Només hi ha una manera de fer-ho: posant-lo vertical, cap amunt. I el problema és que el joc, bastant trist i avorrit, s’acaba aquí. Ja no podem posar cap més pal de manera que sigui perpendicular als tres primers, perquè l’espai en què vivim i som immersos, té dimensió tres.

L’espai, a l’Univers que nosaltres percebem, té dimensió 3. És una veritat indiscutible, aquí i a les més llunyanes galàxies. Una de les conseqüències és que el joc de les perpendiculars acaba sempre a la tercera jugada. Aquest “tres” ens permet fer moltes coses, a la vegada que ens limita i evita que en puguem fer d’altres. Encara que poca gent s’ho pregunta, és el limit més indiscutible que tenim. És un dels grans misteris de la física actual. Per què tres i no quatre o cinc, per exemple? (vegeu la nota al final).

De fet, la cosa és pitjor, perquè quasi tota la nostra vida vivim en 2D, caminant i rodant per la superfície del nostre planeta o nedant i navegant per la superfície dels seus mars i oceans. Només deixem aquesta superfície quan anem amb avió o quan perforem la Terra per accedir als seus recursos minerals i als combustibles fòssils. Tant és així, que les fotografies amb la càmera en picat, mirant amunt o avall, a vegades ens semblen estranyes. Som vius gràcies a les tres dimensions de l’espai, perquè les reaccions bioquímiques de les proteïnes s’han de fer en 3D i el mateix ADN és tridimensional. Però a la vida diària preferim tocar de peus a terra. Això sí, els nostres avantpassats no van deixar mai d’admirar els ocells i, com que el nostre cervell ens pesa massa per poder volar, van lluitar i persistir fins inventar unes màquines màgiques que anomenem avions.

L’any 1884, en plena època victoriana, l’escriptor anglès Edwin Abbott Abbott va escriure la novel·la Planilàndia. A més de mostrar amb cruesa la rígida estructura jeràrquica de l’Anglaterra victoriana i les seves relacions de poder, la novel·la explica amb claredat què significa viure en 1D, en 2D, en 3D o en 4D (i més enllà). Els nostres avantpassats de fa dos-cents anys, que vivien molt més que nosaltres en 2D, no podien viatjar de Barcelona a Dinamarca sense passar per França i Alemanya, i no podien rescatar un muntanyenc accidentat fins que no s’hi acostaven a peu o a cavall. Ara que podem volar i moure’ns, podem saltar d’un país a un altre directament, i podem socórrer la gent a la muntanya amb helicòpters. També, és cert, podem bombardejar la població civil des de l’aire amb total impunitat i enviar drons per a que “eliminin selectivament” persones que no ens agraden.

Les paradoxes de les dimensions de l’espai són innombrables. Si fóssim plans i bidimensionals, no podríem tenir tub digestiu sense quedar partits en dos. Per això, els éssers unicel·lulars quasi plans no tenen tub digestiu i fagociten. Els animals que viuen a la superfície d’una piscina, si hi tirem un flotador, no podran arribar a la zona de superfície d’aigua que queda al seu interior. Nosaltres en canvi ho podem fer amb un pal, des de la tercera dimensió. Perquè allò que no és accessible en una certa dimensió, ho és si ens situem en una dimensió més elevada. El mateix argument dels animalets a la superfície de la piscina ens permet dir que, si algú tingués la facultat de moure’s en 4D, podria extreure tumors del cos de pacients sense fer-los cap tall, i podria extreure els minerals de ferro que hi al al centre de la Terra sense fer pous ni excavar (per bé o per mal).

La relació entre girs i dimensions és també interessant. Suposeu que teniu moltes lletres retallades en fusta o paper, i que les tireu damunt la taula. Totes són majúscules, i, per simplificar, suposem que només tenim lletres A, B i R. Es tracta d’agrupar totes les lletres iguals movent-les per la taula però sense aixecar-les (ho volem fer en 2D, en les dues dimensions del pla de la taula). Si ho feu, acabareu tenint 4 grups: el de les lletres A, el de les B, el de les R, i el grup R’ de les lletres R que havien caigut de cap per avall a la taula. En 2D, no hi ha manera d’agrupar les R i les R’ de manera que tinguin totes la mateixa forma: per fer-ho i acabar només amb tres grups, hem de “sortir” de les dues dimensions, capgirar les lletres de R’ a l’aire, i tornar-les a deixar a la taula. Això no passa amb les A i les B perquè són simètriques. Els objectes que, en una determinada dimensió són diferents, i que en canvi es poden fer arribar a coincidir si els girem en un espai de dimensió superior, s’anomenen enantiomorfs. Nosaltres som enantiomorfs de la nostra imatge al mirall, i la nostra mà dreta ho és de la nostra mà esquerra. Proveu de resseguir el contorn dels dits de cada mà amb un llapis en dos fulls de paper. Per a fer coincidir els dos dibuixos, haureu de girar un dels fulls de manera que el seu dibuix quedi a la part de sota.

La imatge de la Terra que veieu a dalt ens la mostra de tres maneres diferents. La B pot resultar estranya, però és tan vàlida com la A. Quan un satèl·lit fa una foto des de l’espai, en funció de la seva orientació, ens sortirà una o l’altra. Sempre veiem la A perquè al món manen els països del Nord, però la B perquè fa pensar. En canvi, C és la imatge d’un planeta inexistent, això sí, enantiomorf al nostre. Només hi podríem arribar si algú tragués la Terra uns moments del 3D i la girés en 4D. Grècia quedaria a l’oest d’Itàlia, i nosaltres més a l’est. Tot passaria a estar canviat, dreta amb esquerra, i acabaríem amb el cor a la banda dreta del nostre cos.

En tot cas, quan veig que els poderosos no entenen de límits, algunes vegades enyoro les dues dimensions. Perquè l’espai té dimensió 3, però les dimensions de la cobdícia i vanitat humanes són infinites. Si visquéssim realment en 2D i no haguéssim sabut conquerir el 3D, els militars no podrien bombardejar la gent indefensa, i no podríem extreure combustibles fòssils de sota la terra. Aniríem, això sí, en tren i vaixell. Ens hauríem de conformar amb els recursos minerals que té la superfície del nostre planeta, i segurament haguéssim desenvolupat abans molts sistemes intel·ligents per l’aprofitament de les energies solar i eòlica. I en cap cas enyoro la dimensió 4. Segur que acabaríem trobant més maneres de fer-nos mal i d’acabar amb els que no pensen com nosaltres.
———

Per cert, en Pedro Baños, coronel de l’exèrcit i expert en geopolítica, diu que les guerres, en realitat, amaguen altres interessos molt més espuris, gairebé sempre relacionats amb interessos econòmics. Explica que el problema de l’armament és que s’acaba utilitzant, i ens confirma que els membres permanents del Consell de Seguretat de l’ONU són els que més armes venen i posseeixen, al món.

———

NOTA: Després de l’Albert Einstein, sabem que cal parlar d’espai-temps, i que per tant ens trobem en un espai de dimensió 4. Ara bé, això només té efectes a escales no humanes. La nostra percepció és que espai i temps són coses ben diferents. D’altra banda, la teoria física de cordes (“string theory“) també parla d’un espai amb més dimensions. Un cop més, però, aquestes dimensions addicionals són totalment imperceptibles per nosaltres…