Arxiu de la categoria ‘Algorismes i geometría’

Versatilitat, autonomia, morts i ètica

dijous, 18/01/2018

A mitjans del segle XX, no hi havia màquines versàtils. Les neveres servien per conservar aliments, les tisores per tallar i les bicicletes per anar amunt i avall. Però ben aviat, els ordinadors ens van canviar les coses. Treballaven amb informació, adaptant-se en cada moment a allò que ens calia i fent tot tipus de càlculs. La seva versatilitat era extraordinària. Van passar de ser eines de càlcul a ajudar-nos en l’escriptura, processament i gestió de textos, ben aviat es van convertir en màquines ideals per manipular imatge, vídeos i so, i ara són eines bàsiques per a la comunicació i cerca d’informació. Els ordinadors són essencialment màquines versàtils.

Pot semblar estrany aquesta afirmació que els ordinadors són màquines, perquè estem acostumats a pensar que una màquina és un giny mecànic que actua i fa alguna cosa, mentre que els ordinadors treballen amb això tan subtil que anomenem informació. Però el fet és que les màquines actuals inclouen en general ordinadors que, gràcies a determinats mecanismes actuadors, realitzen tasques en el món real. Un amic meu diu que els cotxes d’avui en dia són ordinadors que controlen un motor, tot plegat cobert amb allò que anomenem carrosseria. Podríem parlar dels robots-aspiradora i de molts altres invents per la llar. I és clar que els mòbils són ordinadors amb una bona càmera de fotos que, a més, serveixen per a telefonar. Estem voltats d’ordinadors que fan coses, des de sistemes que llegeixen la matrícula del cotxe en entrar al pàrquing, fins màquines que ens fan un TAC i ens creen imatges del que tenim dins del nostre cos. En tots aquests ginys sempre hi ha el mateix: un ordinador convenientment programat, que detecta el que passa en el seu entorn amb un conjunt adequat de sensors, i que controla determinats actuadors que acaben fent el que cal. Ordinadors amb sensors i actuadors.

Fa ben poc, alguns d’aquests invents han aprés a volar. Són els drons: ordinadors que volen, detecten i actuen. Tenen motors elèctrics, una bateria, un sistema de control de vol i estabilització (ordinador), sensors (d’alçada, GPS i altres) i alguns actuadors (per exemple, una càmera de fotos o de vídeo). Són força autònoms, però habitualment requereixen que algú els condueixi des de terra. Els més sofisticats es controlen des d’un ordinador que mostra, a la pantalla, allò que el dron està veient amb la seva càmera. Això facilita el guiatge i la decisió de quan cal fer les fotos. Això sí, els drons, ordinadors que volen, porten determinats dispositius específics en funció del seu ús. És habitual que incloguin una càmera de fotos, però poden portar, a més i per exemple, material específic d’ajut per a rescats a la muntanya o fins i tot desfibril·ladors.

Els drons, hereus dels ordinadors, són altament versàtils. Poden salvar vides, cartografiar cultius, o fotografiar objectius militars que després seran bombardejats. Fins i tot, poden portar explosius i matar, comandats remotament des d’un ordinador per un “soldat” que actua com si estigués en un joc inofensiu. Malauradament, però, hi ha molt poc debat ètic sobre les morts extra-judicials amb drons. És èticament acceptable que, en països que han abolit la pena de mort, els jutges no condemnin ningú a mort mentre hi ha qui pot matar, impunement, amb drons? No puc entendre que la resposta no sigui un NO rotund.

Doncs bé, les armes autònomes encara van un pas més enllà. Aquestes armes, habitualment drons, inclouen un sistema d’intel·ligència artificial que pot acabar decidint, sense intervenció humana, si cal matar una determinada persona o destruir un objectiu concret. Són autònomes, cert; però el problema és que, com nosaltres, es poden equivocar. Perquè els sistemes d’intel·ligència artificial estan sotmesos a errors i perquè les màquines no tenen el que s’anomena comprensió profunda. I el problema és que els seus errors són vides de persones concretes.

Actualment hi ha un gran debat sobre aquestes armes autònomes letals (LAWS, conegudes també com robots assassins; la imatge de dalt és d’aquesta web). L’Stuart Russell, de la Universitat de California a Berkeley, diu que són “la tercera revolució de l’art de la guerra, després de la pólvora i la bomba atòmica”. I hi ha debat perquè hi ha grans interessos. El Departament de Defensa nord-americà insta a un augment de la inversió en tecnologies d’armes autònomes, de manera tal que “Amèrica pugui mantenir la seva posició davant els adversaris, que també explotaran els seus beneficis operacionals”. La frase no pot ser més clara. És l’ètica del poder i del domini, la llei del més fort que ignora la gent.

Per sort, els científics pensen més en termes d’una ètica que posa les persones al centre i que defensa els quasi oblidats drets humans, un dels quals és l’indiscutible dret a la vida de tota persona humana. Per exemple, un total de 116 experts en els àmbits de la intel·ligència artificial i la robòtica han signat una carta en la que demanen a les Nacions Unides que prohibeixi aquestes armes autònomes letals.

Acabo citant un article recent d’en Michael Shermer, en el que diu que el que cal prohibir és la guerra, directament. El podeu llegir aquí. Diu (poca gent ho sap) que això no és res de nou i que, de fet, la guerra ja es va prohibir l’any 1928 amb el pacte de Kellogg–Briand a París. Les disposicions bàsiques del pacte, que continua vigent, fixaven la renuncia a l’ús de la guerra i la promoció de la solució pacífica dels conflictes i disputes. Ho expliquen l’Oona A. Hathaway i en Scott J. Shapiro, professors de Yale, en un llibre recent. En Michael Shermer recorda el que ja deia en Salmon Levinson l’any 1917: que no hauríem de tenir lleis sobre la guerra com tenim ara, sinó lleis contra la guerra, de la mateixa manera que no tenim lleis sobre l’assassinat o l’enverinament, sinó lleis contra l’assassinat i l’enverinament. Cent anys després, amb una segona guerra mundial i infinitat d’altres guerres que han generat morts innocents, no només continuem igual sino que ara volem que les màquines versàtils siguin les que s’encarreguin de la feina bruta. Qui són els responsables? On és la ètica?

———

Per cert, en Bru Rovira parla del cas de l’activista Helena Maleno, i constata que el govern espanyol pressiona un tercer país (el Marroc) perquè condemni una persona que les nostres lleis no condemnen. Recorda que la investigació va ser ja rebutjada i arxivada per la mateixa fiscalia de l’Audiència Nacional.

La geometria de la injustícia

divendres, 12/01/2018

Una de les grans avantatges d’haver estat capaços de construir ginys que acabem enviant a l’espai és que podem gaudir d’imatges de la Terra com la d’aquí al costat. És un mapa de món que podeu trobar a les pàgines web de la NASA, en resolució mitjana (8 MB) i en molt alta definició (256 MB). La imatge no deixa indiferent. És la constatació que els humans hem deixat gran part de la nostra espècie a les fosques, en una situació de terrible injustícia energètica.

En Paul Smith Lomas, a unes jornades organitzades per la Reial Acadèmia Anglesa d’Enginyeria, explicava que on es fa més evident la injustícia tecnològica és en el cas de l’accés a l’energia. Perquè l’accés a una energia que sigui assequible, fiable i neta és vital per a poder tenir molts altres serveis bàsics. Ens recordava també que mil milions de persones encara no tenen accés a cap tipus d’electricitat, mentre que uns altres mil milions ho fan de manera intermitents i amb baixa qualitat. Són la gent dels països foscos del mapa.

Els grecs ens van regalar la paraula “geometria” per definir el fet de mesurar el nostre planeta i tot allò que conté. La geometria ens ajuda a mesurar el radi de la Terra, l’extensió dels oceans i els diferents tipus de territoris i paisatges. També, ens dona eines per mesurar la injustícia. A baix de tot teniu el mateix mapa del món de dalt (més aclarit per mostrar les vores dels continents) amb una malla regular superposada que permet quantificar la distribució geogràfica de tot tipus de fenòmens. Només cal comptar el nombre de cel·les que contenen allò que volem mesurar i el nombre de les que no ho contenen. Per exemple, si comptem el nombre de cel·les de terra ferma, i hi afegim totes aquelles cel·les que contenen zones costeres i que tenen més proporció de terra que de mar, i ho dividim pel total de cel·les del mapa (que és 30*60=1800), tindrem un valor aproximat del percentatge de superfície del nostre planeta que forma part dels continents i illes. Ho podem fer comptant, però també ho podem fer jugant: imprimim el mapa amb la malla de cel·les, el posem damunt la taula, i llancem moltes vegades un petit cub de fusta a l’aire, de manera que acabi caient a la taula. El percentatge de vegades que el cub de fusta cau en cel·les de terra ferma tendeix, a mesura que juguem més i més temps, al mateix valor que hauríem obtingut en base a comptar cel·les. I evidentment, si ara subdividim la malla i passem a treballar amb cel·les més petites, anirem trobant valors més acurats. En definitiva: el comptatge de cel·les en base a malles que anem refinant és un bon recurs que ens ofereix la geometria.

Si ho fem en el mapa de sota, veurem que, a Europa, no hi ha cap cel·la fosca. Per tant, i a la resolució de la malla de la imatge, podem concloure que el 100% del territori europeu té un bon accés a l’energia elèctrica. La situació a Àfrica, en canvi, és ben diferent. Si analitzem tot el continent, trobarem 21 cel·les amb punts de llum, d’un total de 96. Dit en altres paraules, el 78% del territori africà és a les fosques, amb aquest comptatge concret de cel·les que estem fent. Ara bé, per sota de la línia vermella que indica la latitud de Florida als Estats Units i que separa la franja Mediterrània de l’Àfrica subsahariana, la foscor és quasi absoluta amb molt petites excepcions. Si subdividim les cel·les i anem repetint el comptatge a mesura que aquestes es fan petites, observarem que el 99% del territori africà per sota d’aquesta línia vermella que marca el paral·lel dels 25,7 graus de latitud nord, és a les fosques.

Hi ha una segona injustícia geomètrica, però. El mapa del món que teniu dalt i baix, tot i que és l’habitual que estem acostumats a veure, eixampla les terres dels països del nord mentre encongeix les de la gent que viu al sud. És fàcil comprovar-ho. Només cal anar a un mapa del món interactiu com aquest, que mostra una part del continent africà. Sota, a la dreta, trobarem un segment que indica la distància, al mapa, entre dos punts separats mil quilòmetres. Ara, sense fer zoom, arrossegueu el mapa amb el cursor per desplaçar-vos cap al nord, a Europa, i aneu mirant el segment que mostra els 1000 Km. Veureu que cada cop que deixeu el cursor per mirar el mapa, aquest segment d’escala canvia de mida. Al final, el mapa ja mostra un segment de 500 Km. perquè el de 1000 Km. seria massa llarg. Això és degut a que els mapes del món tradicionals comprimeixen el continent africà (i tots els països del sud) mentre donen més espai a Europa. La geometria de les nostres representacions, basada en sistemes de projecció que vam decidir els europeus, és injusta amb els africans i els habitants del sud global.

La injustícia energètica és evident, encara que no mesurem res. Ens ho diu ben clar la imatge de dalt. Ara, si volem afinar més i mesurar-la, sabem que el comptatge de cel·les és una bona eina i un bon recurs de la geometria. Però també sabem que els fenòmens que veiem a la superfície de la Terra mai els podrem mesurar de manera precisa amb comptatge de cel·les sobre representacions de mapes plans del món, perquè tota projecció implica distorsió. Podem, això sí, utilitzar aquesta tècnica del comptatge de cel·les si el que subdividim és directament l’esferoide oblat de la superfície terrestre (per exemple, amb tècniques quasi uniformes com les dels icosaedres subdividits de Buckminster Fuller), i això sí que ens donarà resultats bons i acurats.

La humanitat és injusta en quasi tot, i l’energia n’és un clar exemple. No podem parlar de valors globals de riquesa o de consum energètic sense afegir dades sobre la dispersió, les desigualtats i la variància. I la geometria ens permet mesurar aquesta injustícia, que es mostra en una increïble desigualtat geogràfica. La conclusió: ho estem fent molt malament.

——

Per cert, en Ben Hayes i en Nick Buxton constaten que els efectes de l’escalfament global es presenten sempre com riscs polítics i de seguretat nacional des del prisma exclusiu dels interessos dominants a cada país. I de fet, diuen, el que s’està fent és fortificar illes de prosperitat en mig d’oceans de misèria.

Per què tres?

dimecres, 3/01/2018

Heu jugat alguna vegada a les perpendiculars? Pintem una línia recta, al terra. Tot seguit, en pintem una segona, de tal manera que sigui perpendicular a la primera. Si la primera anava de nord a sud, la segona anirà d’est a oest. Ara, cal situar un tercer objecte, per exemple un pal d’escombra, de manera que sigui perpendicular a les dues primeres línies. Només hi ha una manera de fer-ho: posant-lo vertical, cap amunt. I el problema és que el joc, bastant trist i avorrit, s’acaba aquí. Ja no podem posar cap més pal de manera que sigui perpendicular als tres primers, perquè l’espai en què vivim i som immersos, té dimensió tres.

L’espai, a l’Univers que nosaltres percebem, té dimensió 3. És una veritat indiscutible, aquí i a les més llunyanes galàxies. Una de les conseqüències és que el joc de les perpendiculars acaba sempre a la tercera jugada. Aquest “tres” ens permet fer moltes coses, a la vegada que ens limita i evita que en puguem fer d’altres. Encara que poca gent s’ho pregunta, és el limit més indiscutible que tenim. És un dels grans misteris de la física actual. Per què tres i no quatre o cinc, per exemple? (vegeu la nota al final).

De fet, la cosa és pitjor, perquè quasi tota la nostra vida vivim en 2D, caminant i rodant per la superfície del nostre planeta o nedant i navegant per la superfície dels seus mars i oceans. Només deixem aquesta superfície quan anem amb avió o quan perforem la Terra per accedir als seus recursos minerals i als combustibles fòssils. Tant és així, que les fotografies amb la càmera en picat, mirant amunt o avall, a vegades ens semblen estranyes. Som vius gràcies a les tres dimensions de l’espai, perquè les reaccions bioquímiques de les proteïnes s’han de fer en 3D i el mateix ADN és tridimensional. Però a la vida diària preferim tocar de peus a terra. Això sí, els nostres avantpassats no van deixar mai d’admirar els ocells i, com que el nostre cervell ens pesa massa per poder volar, van lluitar i persistir fins inventar unes màquines màgiques que anomenem avions.

L’any 1884, en plena època victoriana, l’escriptor anglès Edwin Abbott Abbott va escriure la novel·la Planilàndia. A més de mostrar amb cruesa la rígida estructura jeràrquica de l’Anglaterra victoriana i les seves relacions de poder, la novel·la explica amb claredat què significa viure en 1D, en 2D, en 3D o en 4D (i més enllà). Els nostres avantpassats de fa dos-cents anys, que vivien molt més que nosaltres en 2D, no podien viatjar de Barcelona a Dinamarca sense passar per França i Alemanya, i no podien rescatar un muntanyenc accidentat fins que no s’hi acostaven a peu o a cavall. Ara que podem volar i moure’ns, podem saltar d’un país a un altre directament, i podem socórrer la gent a la muntanya amb helicòpters. També, és cert, podem bombardejar la població civil des de l’aire amb total impunitat i enviar drons per a que “eliminin selectivament” persones que no ens agraden.

Les paradoxes de les dimensions de l’espai són innombrables. Si fóssim plans i bidimensionals, no podríem tenir tub digestiu sense quedar partits en dos. Per això, els éssers unicel·lulars quasi plans no tenen tub digestiu i fagociten. Els animals que viuen a la superfície d’una piscina, si hi tirem un flotador, no podran arribar a la zona de superfície d’aigua que queda al seu interior. Nosaltres en canvi ho podem fer amb un pal, des de la tercera dimensió. Perquè allò que no és accessible en una certa dimensió, ho és si ens situem en una dimensió més elevada. El mateix argument dels animalets a la superfície de la piscina ens permet dir que, si algú tingués la facultat de moure’s en 4D, podria extreure tumors del cos de pacients sense fer-los cap tall, i podria extreure els minerals de ferro que hi al al centre de la Terra sense fer pous ni excavar (per bé o per mal).

La relació entre girs i dimensions és també interessant. Suposeu que teniu moltes lletres retallades en fusta o paper, i que les tireu damunt la taula. Totes són majúscules, i, per simplificar, suposem que només tenim lletres A, B i R. Es tracta d’agrupar totes les lletres iguals movent-les per la taula però sense aixecar-les (ho volem fer en 2D, en les dues dimensions del pla de la taula). Si ho feu, acabareu tenint 4 grups: el de les lletres A, el de les B, el de les R, i el grup R’ de les lletres R que havien caigut de cap per avall a la taula. En 2D, no hi ha manera d’agrupar les R i les R’ de manera que tinguin totes la mateixa forma: per fer-ho i acabar només amb tres grups, hem de “sortir” de les dues dimensions, capgirar les lletres de R’ a l’aire, i tornar-les a deixar a la taula. Això no passa amb les A i les B perquè són simètriques. Els objectes que, en una determinada dimensió són diferents, i que en canvi es poden fer arribar a coincidir si els girem en un espai de dimensió superior, s’anomenen enantiomorfs. Nosaltres som enantiomorfs de la nostra imatge al mirall, i la nostra mà dreta ho és de la nostra mà esquerra. Proveu de resseguir el contorn dels dits de cada mà amb un llapis en dos fulls de paper. Per a fer coincidir els dos dibuixos, haureu de girar un dels fulls de manera que el seu dibuix quedi a la part de sota.

La imatge de la Terra que veieu a dalt ens la mostra de tres maneres diferents. La B pot resultar estranya, però és tan vàlida com la A. Quan un satèl·lit fa una foto des de l’espai, en funció de la seva orientació, ens sortirà una o l’altra. Sempre veiem la A perquè al món manen els països del Nord, però la B perquè fa pensar. En canvi, C és la imatge d’un planeta inexistent, això sí, enantiomorf al nostre. Només hi podríem arribar si algú tragués la Terra uns moments del 3D i la girés en 4D. Grècia quedaria a l’oest d’Itàlia, i nosaltres més a l’est. Tot passaria a estar canviat, dreta amb esquerra, i acabaríem amb el cor a la banda dreta del nostre cos.

En tot cas, quan veig que els poderosos no entenen de límits, algunes vegades enyoro les dues dimensions. Perquè l’espai té dimensió 3, però les dimensions de la cobdícia i vanitat humanes són infinites. Si visquéssim realment en 2D i no haguéssim sabut conquerir el 3D, els militars no podrien bombardejar la gent indefensa, i no podríem extreure combustibles fòssils de sota la terra. Aniríem, això sí, en tren i vaixell. Ens hauríem de conformar amb els recursos minerals que té la superfície del nostre planeta, i segurament haguéssim desenvolupat abans molts sistemes intel·ligents per l’aprofitament de les energies solar i eòlica. I en cap cas enyoro la dimensió 4. Segur que acabaríem trobant més maneres de fer-nos mal i d’acabar amb els que no pensen com nosaltres.
———

Per cert, en Pedro Baños, coronel de l’exèrcit i expert en geopolítica, diu que les guerres, en realitat, amaguen altres interessos molt més espuris, gairebé sempre relacionats amb interessos econòmics. Explica que el problema de l’armament és que s’acaba utilitzant, i ens confirma que els membres permanents del Consell de Seguretat de l’ONU són els que més armes venen i posseeixen, al món.

———

NOTA: Després de l’Albert Einstein, sabem que cal parlar d’espai-temps, i que per tant ens trobem en un espai de dimensió 4. Ara bé, això només té efectes a escales no humanes. La nostra percepció és que espai i temps són coses ben diferents. D’altra banda, la teoria física de cordes (“string theory“) també parla d’un espai amb més dimensions. Un cop més, però, aquestes dimensions addicionals són totalment imperceptibles per nosaltres…

Les restriccions, aquestes desconegudes

dijous, 28/12/2017

Fa poc, l’anomenat “grup d’alt nivell” (HLG) de la Comissió Europea ha elaborat un informe sobre com podem obtenir, els propers anys, aliments dels oceans. El podeu llegir aquí. El document es planteja respondre la pregunta que va formular un dels comissaris de la CE i que podeu llegir a la pàgina 14, apartat 1.2 de l’informe: “Com podem obtenir més aliment i biomassa de l’oceà de manera tal que no privem les generacions futures dels seus beneficis?”.

L’informe, com bé indica, es basa en un document tècnic elaborat per un consorci d’Acadèmies europees en el marc del projecte SAPEA. Ara bé, en aquest procés, com es pot llegir a la pàgina 29 d’aquest informe final, es va reformular lleugerament la pregunta, que va quedar així: “Com es poden obtenir més aliments i biomassa dels oceans d’una manera tal que maximitzi els beneficis per a les generacions futures?”.

Tot plegat no deixa de ser sorprenent. Ens pregunten una cosa, decidim contestar-ne una altra, i ens quedem tan amples. La pregunta inicial, que planteja un determinat problema (A) i que podem resumir dient “com puc aconseguir més recursos sense privar les futures generacions dels seus beneficis”, queda reformulada demanant “com puc aconseguir més recursos de manera que les futures generacions maximitzin els seus beneficis”. És un canvi subtil però significatiu (vegeu la nota al final), que canvia totalment el marc de discussió. Perquè el nou problema, que anomenaré (B) no té les restriccions que tenia el problema (A), i les restriccions (els límits) són essencials, en els problemes de la vida real. Són tanques com les de la imatge de dalt (que podeu trobar en aquesta pàgina web), que ens marquen per on podem anar i per on NO podem moure’ns; segons com siguin les tanques, no podrem arribar al cim i només podrem pujar fins el punt més alt del nostre terreny.

Per sort, això no passa a totes bandes. El garbuix que tenim amb els recursos dels oceans, amb l’escalfament o amb l’ús dels combustibles fòssils, no és tan marcat en el cas de la gestió dels boscos, per exemple. La definició de gestió sostenible dels boscos (SFM), adoptada per la FAO, indica que “es pot descriure com l’assoliment de l’equilibri: un equilibri entre les creixents demandes de productes i beneficis forestals per part de la societat i la preservació de la salut i la diversitat forestals. Aquest equilibri és fonamental per a la supervivència dels boscos i per a la prosperitat de les comunitats dependents dels boscos… Gestionar de manera sostenible un bosc concret significa determinar, de forma tangible, com utilitzar-lo avui per assegurar beneficis, salut i productivitat similars en el futur”. En aquesta definició, la clau és la paraula “similars”, perquè és la que imposa la restricció. És una definició que ens porta a un problema de tipus (A) (vegeu un cop més la nota al final). En tot cas, la bona noticia és que molts boscos s’estan ja gestionant d’aquesta manera.

Per què ens costa tant, parlar de restriccions i imposar-les? Tal vegada, perquè no volem acceptar la nostra finitud i perquè el nostre pensament sempre va més enllà, creant mites i il·lusions. I la nostra gran contradicció és que la cobdicia humana no té límits i no es posa restriccions. De fet, hem fet “la gran troballa” d’inventar els diners, que ens permeten comprar i fer negoci sense límits amb uns recursos que són absolutament limitats. Per què estem començant a plantejar-nos els límits de tot plegat i en canvi ningú es planteja el límit dels diners?

Ens hem de prendre molt seriosament la sostenibilitat. I sostenibilitat implica parlar de límits i restriccions. És plantejar els problemes amb l’enfoc (A) i no amb el (B). No ens podem escapolir de les restriccions, perquè som limitats i el nostre planeta és limitat. De fet, parlar de maximitzar sense imposar restriccions és èticament incorrecte, perquè sempre acaba implicant l’empobriment d’algú altre. Ara que ja hem colonitzat tot el planeta, els humans hem d’aprendre la cultura de les restriccions i dels límits.

——

Per cert, la Comissió Nacional dels Mercats i la Competència (CNMC) ha obert un expedient sancionador a Gas Natural Fenosa i Endesa Generación per una presumpta manipulació del mercat de generació elèctrica amb l’objectiu d’augmentar els ingressos.

———

NOTA: Suposem que, a les definicions dels problemes (A) i (B), canviem “més recursos” per “el màxim de recursos”. És una modificació que no afecta al fet de tenir o no tenir restriccions i que en canvi facilita la formalització perquè ens permet parlar de màxims i mínims i d’optimització. En aquest cas, el problema (A) és un problema d’optimització amb restriccions: tenim un conjunt de variables (que per simplificar anomenaré v) que són els factors sobre els que podem actuar, volem maximitzar alguna cosa que és funció d’aquestes variables, però tenim uns límits (les restriccions) que no podem superar. En el cas concret d’obtenir aliments del mar, les variables poden incloure la quantitat anual de pesca, els llocs on es prohibeix pescar, el tipus de pesca, les normes regulatòries, l’ús de piscifactories i altres. El que volem maximitzar és la quantitat anual d’aliments que obtenim, i que anomenaré f(v) perquè evidentment és funció de com acabem fixant el valor de totes les variables. Suposem també que g(v) és una funció que ens dona, en base a v, la quantitat anual d’aliments que podran obtenir els nostres besnéts d’aquí a cent anys, per exemple. Amb aquestes hipòtesis, el problema (A) es resol trobant un conjunt v de variables tal que maximitzi f(v) a la vegada que asseguri que g(v) >= f(v). Aquí, el signe “>=” indica “més gran o igual que”. En canvi, en el problema (B), el que estem demanant és maximitzar f(v) i a la vegada maximitzar g(v). Ho volem tot, i no ens plantegem cap límit. En aquest cas, és fàcil veure que el problema, des d’un punt de vista matemàtic, està mal formulat, perquè no ens podem plantejar la maximització simultània de dues funcions que depenen de les mateixes variables. De fet, el problema (B) té infinites solucions, depenent de la importància relativa que vulguem donar a les funcions f(v) i g(v). Per exemple, si considerem que nosaltres som el doble d’importants que els nostres besnéts, haurem de maximitzar la funció S(v)=2*f(v)+g(v). I si considerem que no és així, sino que nosaltres som la meitat d’importants que els nostres besnéts, haurem de maximitzar la funció S(v)=0,5*f(v)+g(v). Podem dir que tots som igual d’importants i decidir que el que hem de maximitzar és la funció S(v)=f(v)+g(v). Però, com que hem eliminat les restriccions, ningú ens assegura que al final, el valor de la funció g(v) sigui igual o major que f(v). Perquè la formulació (A) del problema permet la sostenibilitat mentre que la (B), no. Un exemple ben conegut de problemes de tipus (A) són els de programació lineal o programació quadràtica, amb algorismes ben coneguts per a la seva solució.

La personalitat de la Tay

divendres, 1/12/2017

La Tay va ser un robot dissenyat per conversar. Era un “ChatBot“, terme que no és més que una contracció de xerraire (chatter) i robot, i que va ser proposat l’any 1994 per en Michael Mauldin. Aquests robots són programes informàtics que simulen converses, participen en xats, i es comuniquen amb persones. Els més habituals i senzills analitzen paraules clau de la nostra pregunta i construeixen la seva resposta tot consultant una base de dades de paraules i expressions. Moltes vegades els hem de patir en els sistemes telefònics d’atenció al client i en alguns centres de trucades. Són robots de xat específics per a converses relacionades amb un propòsit determinat i no per a qualsevol tipus de comunicació humana.

La imatge, que podeu trobar a aquesta web, és la que van escollir els creadors de la Tay. Val a dir que els robots xerraires són ben peculiars. No són materials. Són conjunts de bits, programes informàtics que necessiten un ordinador per a poder reaccionar i actuar. Els anomenem robots perquè reaccionen als nostres estímuls, actuant i creant respostes. Pertanyen, en definitiva, al que ara anomenem “aplicacions”. En tot cas, la Tay era especial, perquè tenia això que diem “intel·ligència artificial”. Les seves reaccions no estaven programades, sino que eren conseqüència del que havia après. Contestava en base al que “sabia”, i cada nova pregunta li servia per aprendre una mica més. Va ser creat per Microsoft amb aquest nom, Tay, que no és més que un acrònim: “Thinking about you“. Tay va ser dissenyat per imitar la conducta d’una noia nord-americana de 19 anys. Tenia un sofisticat sistema d’aprenentatge profund que li permetia aprendre mentre anava interactuant amb usuaris humans. I el 23 de març de 2016 va iniciar la seva aventura com una usuària més de Twitter. Va ser, però, una aventura ben curta, de només dos dies. En només 16 hores, Tay va enviar més de 96.000 tuits mentre s’anava fent racista i mentre anava enviant missatges cada cop més xenòfobs i amb més càrrega sexual. El van haver de desconnectar i Microsoft es va disculpar públicament.

Tay havia estat dissenyada per a fer-se més intel·ligent a mesura que els usuaris (sobretot els joves) anessin interactuant amb ella i li anessin enviant tuits. Però es va trobar en un entorn on bàsicament només hi havia violència, intolerància i insults. I ràpidament s’hi va adaptar, difonent tot tipus de frases racistes i masclistes i un bon nombre d’invectives d’odi. Va aprendre ben ràpid de tot allò que els humans li van tuitejar. La primera reacció de l’empresa va ser dir que Tay era una “màquina d’aprenentatge” i que algunes de les seves respostes eren inadequades, també indicatives dels tipus d’interaccions que algunes persones tenen amb ella. Però desprès, l’empresa va haver d’admetre que l’experiment no havia anat bé. Tot i que una de les directores de l’empresa, Satya Nadella, creu que aquest tipus de robots de xat són el futur de les aplicacions pels mòbils i que aviat els acabarem tenint al correu electrònic i a la missatgeria, el cert és que cal trobar maneres de prevenir que els usuaris d’internet puguin influir de manera negativa en ells per tal de garantir el respecte als principis ètics.

El sistema d’aprenentatge profund de Tay i de moltes altres aplicacions actuals d’intel·ligència artificial, es basa en una xarxa neuronal de moltes capes, en general més de 10. Justament, el terme “aprenentatge profund” (Deep Learning) es deriva d’aquest fet que es treballa en múltiples capes, capes que treballen d’una manera que recorda el funcionament de les neurones del cervell amb les seves connexions. Cada cop que Tay rebia un tuit, els seus 140 caràcters s’enviaven a la primera capa de “neurones”. Les capes d’una xarxa neuronal són una munió de cel·les, cada una de les quals pot guardar un valor. En aquest cas, les cel·les de la primera capa acabaven guardant informacions diverses sobre el contingut, les paraules i l’extensió del tuit. Després, i a travès del gran entramat de connexions que hi ha entre totes les cel·les de la primera capa i les de la segona, es calculen els valors de les cel·les de la segona capa de manera tal que el valor que acaba guardant cada una d’aquestes cel·les és una barreja, amb coeficients i funcions específiques per cada connexió cel·la-cel·la, de tots els valors de les cel·les de la primera capa amb les que està connectada. Aquest procés es repeteix tantes vegades com capes té la xarxa neuronal, i el que surt de la combinació de valors de les cel·les de la darrera capa és el tuit de resposta. Tot i que l’estructura no és difícil d’entendre, una xarxa neuronal profunda només funcionarà de manera acceptable si els coeficients i funcions associats a totes i cada una de les connexions entre capes estan ben ajustats. I aquests són justament els valors que contenen “l’aprenentatge” que ha anat fent el sistema. Cada nou tuit que rebia Tay generava una resposta, però a més, ajustava una mica els coeficients i funcions associats a totes i cada una de les connexions entre les seves cel·les neuronals. Com a nosaltres, a Tay, l’experiència l’anava configurant i anava marcant la seva personalitat tuitera. L’únic problema és que Tay era massa innocent i s’ho creia tot.

Les aplicacions d’aprenentatge profund basada en xarxes neuronals de moltes capes estan revolucionant la intel·ligència artificial. Cada cop són més a la nostra vida quotidiana i cada cop hi seran més. Traducció automàtica, reconeixement de cares, publicitat personalitzada segons els interessos que se suposa que tenim, i una llista que no s’acaba. Però hem de tenir present que són una eina, i que les eines no serveixen per tot. Els martells van bé per clavar claus, però si tenim un cargol, millor que agafem un tornavís. En aplicacions d’aprenentatge profund, cal tenir en compte com a mínim tres eixos: el d’acceptació d’errors, el de la mida de les dades i el de la seva qualitat. El primer, el de l’acceptació d’errors, té relació amb l’ús que en vulguem fer, i amb un tret inherent a les aplicacions d’aprenentatge profund i a les xarxes neuronals: no sempre l’encerten, a vegades s’equivoquen, i a més és difícil saber el seu grau de fiabilitat. No ens ha d’estranyar. Nosaltres ens equivoquem, i les noves eines de la intel·ligència artificial, que ens volen emular, també. El que passa és que en alguns casos els errors són acceptables i en d’altres, no. Si estem traduint un text i la frase que ens dona el sistema de traducció no té sentit, la corregirem i no passa res. Però si un metge està planificant una operació quirúrgica i el sistema s’equivoca, el resultat pot ser fatal. Per això, en aquest eix d’acceptació d’errors, la traducció automàtica pot conviure amb moltes equivocacions i en canvi la planificació quirúrgica o el disseny de ponts no (per posar dos exemples). El segon eix, el de la mida de les dades, indica una cosa força lògica. Ens diu que l’aprenentatge automàtic millora a mesura que incrementem el nombre de dades que li subministrem per a que aprengui. I el tercer, el de la seva qualitat, ens fa veure que l’aprenentatge necessita dades fiables, ben contrastades i diverses. En aquest context, ara sabem que les aplicacions d’aprenentatge profund basades en xarxes neuronals són eines que només serveixen quan podem acceptar un cert nivell d’errors, quan podem fer que aprenguin amb moltíssimes dades (l’anomenat Big Data) i quan aquestes dades són de qualitat. És el que passa justament a la traducció automàtica: Google, per exemple, disposa de moltíssims exemples de traduccions de qualitat, fetes per traductors professionals, que utilitza per a que els seus sistemes aprenguin. I això és justament el que no va passar amb el robot Tay, que bevia d’informació esbiaixada i de baixa qualitat. I és el perill de moltes aplicacions i sistemes que ens poden arribar (una de les quals són les polèmiques i molt perilloses armes autònomes). Cal estar ben atents, perquè la intel·ligència artificial pot ser una bona eina en aquells casos en que ens trobem ben situats als tres eixos, però pot ser funesta si la volem fer servir per allò que no ens pot resoldre.

Si voleu tenir un sistema de resposta automàtica a consultes no crítiques i sabeu com preparar un bon mecanisme d’aprenentatge basat en moltíssimes dades fiables, les aplicacions d’intel·ligència artificial us poden aportar una bona solució. Però si el que voleu, per exemple, és dissenyar un rellotge de sol, no us hi penseu, i apunteu-vos als algorismes clàssics de la geometria i astronomia. I si no us podeu permetre que el sistema de resposta automàtica s’equivoqui, penseu en solucions alternatives, fiables i deterministes. Els martells, usem-los per clavar claus.

——

Per cert, en Ferran Sáez Mateu diu que les anomenades “xarxes socials” estan substituint o, com a mínim, començant a desplaçar la noció clàssica d’opinió pública. Pensa que el periodisme del segle XXI ha de ser capaç de perfilar una identitat pròpia en relació a la de les xarxes socials.

El cel, els globus i els engolidors

divendres, 1/09/2017

Quan puc, que no és sovint, m’agrada escollir una nit clara i sense lluna per anar a la muntanya, lluny de la contaminació lumínica, a mirar els estels. És ben fàcil. Només cal jeure a terra, embolicar-se amb una manta, i ja estem en condicions de començar a gaudir d’un espectacle que és quasi insòlit, en aquest segle de la llum: el que ens mostren, cada nit a la foscor, bilions d’estels. Nosaltres, si anem sense binocles o telescopi, només en podrem veure uns quants milers, però amb l’avantatge de poder contemplar, de cop, quasi la meitat de l’Univers. El que he de reconèixer és que, quan ho faig, al cap d’una estona m’envaeix sovint una estranya sensació de vertigen. Tinc la impressió de he de caure cap al cel i que sóc xuclat pels estels. És llavors quan la immensitat de l’espai i la quasi eternitat dels estels em parlen de la meva insignificança.

El cel és font de coneixement i de dubtes. És un immens espai de secrets, que poc a poc anem desvetllant. Els antics pensaven que els estels eren llums, tots penjats d’una gran esfera celeste centrada a la Terra. Després vam saber que no érem al centre, i que el Sol era un estel com milions d’altres, però més aviat petit. Sabem que alguns estels són molt més lluny que altres, i que certs punts brillants del cel que ens semblen estels són de fet galàxies amb milions d’estels. Només a Laniakea, l’immens grup local de galàxies on ens trobem, sabem que hi ha aproximadament cinquanta mil bilions d’estels, agrupats en més de 100.000 galàxies com la nostra, algunes d’elles formant cúmuls com els de Virgo, Hidra i Centaure. Ara bé, des de fa 92 anys en sabem molt més i a la vegada tenim moltes més preguntes sense resposta. Fa 92 anys vam descobrir que l’Univers es troba en contínua expansió, com si els estels fossin puntets en un globus que anem inflant. Totes les galàxies s’allunyen de nosaltres, i nosaltres ens anem separant d’elles. Però això no és tot. Després vam veure, amb gran desconcert, que l’expansió s’accelera: tot se’n va, i cada cop se’n va més ràpid. Quin és el motor d’aquesta acceleració? Aquesta és la gran pregunta de la cosmologia actual. La principal conjectura ens parla de l’anomenada matèria fosca, una matèria que no hauríem pogut encara detectar i que seria la que contraresta l’atracció gravitatòria i acaba accelerant l’expansió. Però fa poc s’ha publicat una altra possible explicació, elegant i geomètrica. A continuació en teniu alguns detalls.

Abans de Copèrnic, Kepler i Galileu, eren pocs els que entenien alguna cosa sobre la forma i estructura de la Terra i el cel. Els grecs es van interessar per la geometria, que com sabem significa mesura de la Terra. Alguns d’ells, com Eratòstenes, van preparar i fer experiments d’una elegància indiscutible per a mesurar la Terra. Els càlculs d’Eratòstenes van ser els més precisos del món antic, amb un error en el radi de la Terra que oscil·la entre en 1% i un 17% en funció de si va usar l’estadi egipci o l’àtic com unitat de mesura. Però la majoria de gent ho va oblidar i durant molt temps es va desentendre de la geo-metria. De fet, la pràctica totalitat dels europeus de fa mil anys desconeixien les troballes dels grecs, i estaven ben segurs que la Terra era plana.

Amb el cel va passar el mateix que amb el nostre planeta. El tractat de l’esfera de Joan de Sacrobosco, un dels llibres més divulgats entre els segles XIII i XV, deia que la Terra era una esfera situada en el centre d’una altra esfera molt més gran amb totes els estels fixes, mentre que el Sol, la Lluna i els planetes es movien en esferes intermèdies. Després, Kepler ens va treure una primera vena dels ulls i ens va explicar que la Lluna girava al voltant de la Terra i que tots els planetes, inclosos nosaltres, giràvem al voltant del Sol. Però van haver d’esperar fins 1838 (fa només 180 anys) per a que Friederich Wilhelm Bessel ens ajudés a treure la segona vena, poguéssim començar a calcular les distàncies que ens separen dels estels més propers i féssim els primers mapes que ens mostren l’estructura del cel (vegeu la nota al final). Quan la geografia ja havia assolit la majoria d’edat, Bessel ens va obrir la porta de cosmografia i, si em permeteu, de la cosmometria.

El cel, però, és una veritable capsa de sorpreses. Quan mirem els estels a la nit, estem mirant el passat, perquè veiem la llum que ens arriba després de viatjar molts anys per l’espai. Si tenim la sort d’observar l’explosió d’una supernova que sabem que es troba a 1000 anys llum, és evident que va explotar fa mil anys, en els temps del comte Ramon Borrell, perquè la llum de la seva explosió ha tardat mil anys en arribar-nos. I si l’estel és a dos mil milions d’anys llum, és que va explotar quan tot just començava la vida a la Terra. Mirar al cel i mirar enrere en el temps és el mateix. Quan mirem els estels a la nit, estem gaudint d’un viatge al passat. Un passat que ara sabem que no és estàtic: l’any 1928, Edwin Hubble va descobrir que l’Univers és com un globus en expansió. Les galàxies que veiem al cel constantment fugen de nosaltres (i nosaltres d’elles) seguint la llei de Hubble, de la mateixa manera que els punts d’un globus es separen quan l’anem inflant (vegeu la nota al final). Molts d’aquests puntets que veiem al cel estan marxant constantment més i més enllà, i els que són més lluny ho fan més ràpid. Podria dir, rient-me de mi mateix i en una escapada puntual cap a la fantasia, que tal vegada és per això que moltes vegades he experimentat aquesta sensació de ser “xuclat” per aquests estels del cel que fugen.

Curiosament, podem fer l’exercici mental de rebobinar el temps mentre apliquem la llei de Hubble. Si ho fem i retrocedim en el temps, anirem desinflant el globus i ens adonarem que qualsevol estel o galàxia ha hagut de trobar-se més a prop nostre en el passat. Com més retrocedim, més a prop és tot. I, com que coneixem les lleis de l’expansió, podem calcular enrere i trobar fàcilment el moment del Big Bang, en què l’Univers era ínfim. Gràcies a Hubble i a la seva llei, ara sabem que l’Univers te uns tretze mil vuit-cents milions d’anys. Val a dir que aquest càlcul es complica una mica, perquè l’any 1998 es va descobrir que l’expansió de l’Univers és accelerada i cada cop més ràpida. El càlcul acurat de l’edat de l’Univers depèn de que sapiguem calcular bé el valor d’aquesta acceleració expansiva en cada moment del passat.

En pocs anys hem après moltes coses. Sabem que l’Univers és com un globus que es va inflant, que totes les galàxies es van allunyant, que la seva velocitat depèn de la distància, i ara hem vist que cada cop ho fan més ràpidament. Hem pogut descobrir les lleis que governen aquesta expansió, i amb tot això hem pogut arribar a calcular ni més ni menys que l’edat de l’Univers. Però cada descobriment porta a noves preguntes. Què és el que fa que l’Univers cada cop s’expandeixi més ràpid? Segons la llei de la gravitació universal hauria de ser al revés, de la mateixa manera que quan llancem una pedra a l’aire, cada cop puja més lentament. La idea més estesa és que aquesta acceleració expansiva és deguda a una certa matèria (i energia) fosca, que encara ningú ha pogut detectar. Però recentment ha sorgit una segona teoria, que trobo realment elegant i que es basa en pensar que tot l’Univers és ple d’engolidors invisibles. La teoria, proposada per Juan García-Bellido i Sébastien Clesse, que podeu trobar en aquest article científic, ha estat també explicada a la revista Scientific American. En García-Bellido i en Sébastien Clesse ens recorden que, just després del Big Bang, segurament hi va haver una fase d’expansió increïblement prodigiosa que va fer que dos punts separats menys que un radi atòmic, al cap d’una deumil·lèsima d’una milionèsima d’una milionèsima d’una milionèsima d’una milionèsima d’una milionèsima de segon, es trobessin a una distància de 4 anys llum. L’amplificació de les fluctuacions durant aquesta inflació (vegeu la nota al final) segurament va produir, diuen, milions i milions de “forats negres primordials” (PBH) que encara són a tot l’Univers (amb masses que anirien de la centèsima part de la del Sol a la de deu mil Sols) i que podrien explicar perfectament l’acceleració expansiva que ara observem. Com que no emeten pràcticament radiació i són invisibles, els PBH són bons candidats naturals per explicar-nos el misteri de la matèria fosca.

És clar que és una teoria que cal comprovar, i García-Bellido i Sébastien Clesse proposen alguns experiments que, en el futur, podran dir-nos si el que han proposat és cert. Però en tot cas ho trobo molt elegant, perquè si és cert no caldria cercar estranyes matèries fosques, sino que tot quedaria explicat en base a singularitats de l’espai-temps. La solució del misteri de la matèria fosca ens vindria de la geometria, mitjançant una infinitat de singularitats que s’estenen per tot l’Univers i que fan d’engolidors. La sensació de sentir-me “xuclat” pels estels a la nit és purament mental, però tal vegada, en mig de la foscor de la nit, sí que hi ha milions d’engolidors que van xuclant matèria de manera discreta i silenciosa. Les lleis de l’Univers que regeixen les nostres vides són les de la física, que anem sabent que es basa fortament en l’estructura geomètrica de l’espai. En definitiva, i en certa manera, som química dels estels (molts elements essencials per la vida, com el iode i el molibdè, van haver de ser fabricats per alguna supernova), i som física i geometria. La veritat és que, mirant el cel, em costa entendre la condició humana i la seva arrogància, dogmatisme, orgull i vanitat.

Per cert, en Xavier Antich diu que potser ens caldria una revelació com la de Petrarca, però a la inversa, per redescobrir la natura de la qual som, i ben just, una petita peça. Diu que podríem repetir el credo de Thoreau: “Crec en el bosc, i en les prades, i en la nit durant la qual creix el blat de moro”.

————

NOTA: Els estels de les constel·lacions que veiem al cel, com els de la Óssa Major o Orió, no són tots a la mateixa distància de la Terra. Friedrich Bessel va poder calcular el paral·laxi d’alguns estels l’any 1838 tot comprovant que eren molt lluny. Ho va fer observant la mateixa zona del cel dues vegades, separades mig any. Va veure que el fons d’estels fixes no canviava, però que alguns estels sí que es veien desplaçats. Aquest desplaçament és el paral·laxi. És el mateix que passa quan mirem un objecte proper tancant primer un ull i després l’altre: l’objecte es desplaça en relació al fons. Bessel va poder calcular la distància als estels amb senzills càlculs trigonomètrics a partir de saber la distància entre les dues posicions de la Terra a la seva òrbita. Actualment, una altra manera de calcular distàncies a estels i galàxies més llunyanes és la que es basa en les cefeides, estels polsants en els que la seva brillantor és funció de la freqüència de la seva pulsació. Els astrònoms, mesurant la brillantor aparent d’una certa cefeida i calculant la seva brillantor veritable a partir de l’observació de les seves pulsacions, poden calcular la seva distància.

La llei de Hubble mostra una relació de proporcionalitat entre la distància i la velocitat de les galàxies. Va ser formulada per Edwin Hubble l’any 1929 després de gairebé una dècada d’observacions, i lliga a més amb la solució de les equacions d’Einstein de la relativitat general. Diu que les galàxies s’allunyen a una velocitat proporcional a la seva distància, segons la constant de Hubble. L’Univers és per tant com la superfície d’un globus que es va inflant, però en 3D enlloc de en 2D. Si imaginem que som una formiga en un dels punts del globus i aquest es va inflant, no veurem canviar les posicions “al cel” dels altres punts, perquè les direccions es mantenen durant l’inflat. Els estels i les galàxies no canvien de lloc a l’esfera del cel, només se’n van “enrere”.

La llei de Hubble afegeix relleu i moviment al cel de nit. El desplaçament de les línies espectrals de la llum que ens arriba dels estels ens permet calcular la velocitat a que s’allunyen de nosaltres, i la constant de Hubble ens permet estimar la seva distància (que després podem acabar d’ajustar amb cefeides o amb tècniques de paral·laxi). Finalment, per cada estel del cel sabem calcular el lluny que és, el ràpid que s’està allunyant, i de quin moment del passat és la llum que ara veiem. Un llibre que explica molt bé tots aquests fenòmens és “La Poesía del Universo”, de Robert Osserman, traduït per Mercedes García i editat en castellà per Grijalbo Mondadori.

El que diuen els investigadors García-Bellido i en Sébastien Clesse és que, durant la fase d’inflació, les petites fluctuacions quàntiques es van amplificar immensament fins escales macroscòpiques, deixant l’empremta de diferències de densitat que hem pogut observar al mapa de la radiació de fons de l’Univers. En aquest procés, les regions denses de la boira inicial de partícules fonamentals podrien haver col·lapsat per efecte de la seva pròpia gravetat només un segon després de la inflació, formant els anomenats forats negres primordials (PBHs). Els PBH serien, per tant, pics de densitat produïts per fluctuacions en l’univers primitiu, que van acabar en singularitats de l’espai-temps i que van anar generant agrupacions invisibles de milions de forats negres de diferents masses, d’entre 0,01 i 10.000 vegades la massa del nostre Sol. Aquests forats negres primordials massius podrien ser la major part o fins i tot la totalitat de la matèria fosca de l’Univers.

Elogi dels pendents

dimecres, 26/07/2017

Quan caminem o quan anem amb bicicleta, sabem molt bé què són els pendents perquè els notem. És un concepte ben clar i senzill. Mireu el tram que he marcat en groc, a la zona del mapa de la imatge dins la lupa. Si sabem l’escala del mapa, només hem de mesurar la distància entre dues corbes de nivell. Un pendent del 5% ens diu que la carretera (o la pista) puja cinc metres cada 100 metres de recorregut horitzontal en el mapa, i si el pendent és del 10%, és que cada cent metres en pugem 10. Però, per què 100 metres? Si el camí puja de manera regular, podem fer el càlcul cada cent (o dos-cents) metres i el resultat ja serà prou acurat. Però si és un camí de muntanya, el pendent és irregular i pot canviar metre a metre. En aquest cas, podem calcular el pendent local amb una barra de fusta d’un metre. La recolzem a terra per l’extrem més elevat i la mantenim horitzontal (per exemple, amb un nivell d’aigua). La distància de l’altre extrem al terra, en vertical i en centímetres, ens diu el pendent de la pista, perquè una pujada constant de 10 centímetres cada metre indica un pendent del 10%, el mateix que quan pugem 10 metres cada 100 metres (vegeu la nota al final). I què és millor? Mesurar pendents en un tram llarg, de cent metres o d’un quilòmetre, o mesurar pendents locals? Tot depèn del que vulguem saber, si el que ens cansarem a cada pas o el que pujarem al final. En tot cas, el problema del pendents locals és un tema apassionant, que va captivar a Grecs com Arquimedes i que va acabar sent resolt de manera meravellosa i elegant per Newton i Leibnitz. Quan us parlin de derivades, penseu en el pendent de les carreteres. Les derivades no són més que el pendent local a cada punt, calculat amb barres horitzontals cada cop més petites. Les paraules espanten una mica, però els conceptes no.

Imaginem ara que decidim sortir de la pista i continuar camp a través. Hem deixat el camí, unidimensional, i ara ens podem moure en qualsevol direcció. Tenim la llibertat d’anar al Nord o al Sud, a l’Est o a l’Oest. Però, quin és el pendent, quan som en un punt determinat de la muntanya? La resposta no és difícil: només cal pensar que, a mesura que tenim més llibertat, el concepte de “pendent” s’enriqueix. En 2D, en dues dimensions, en lloc de pendents tenim gradients. El gradient té direcció, a més del valor del pendent. Té la direcció del màxim pendent. Imagineu-vos a qualsevol lloc de la muntanya que veieu a la imatge. Mireu al vostre voltant. En algunes direccions, fa pujada; en d’altres, fa baixada. La direcció de màxima pujada és la direcció del gradient; el valor del pendent en aquesta direcció ens indica justament la magnitud o mòdul d’aquest gradient. El gradient ens dona informació local sobre la forma de la superfície de la muntanya amb diverses dades: ens diu quina és la direcció de màxima pujada i el valor del seu pendent, ens explica que la direcció contrària és la de màxima baixada, i ens mostra la direcció horitzontal de pendent zero, que és justament la seva perpendicular. Els esquiadors bé saben que, per aturar-se, cal situar els esquís en direcció perpendicular al gradient.

Ara bé, no només hi ha pendent a les carreteres i gradient d’alçada a les muntanyes. Hi ha gradient a qualsevol magnitud que no sigui constant. Podem parlar del gradient de temperatures a la superfície de la Terra o del mar, de gradient de la concentració de vegetació, però fins i tot podem parlar de gradients 3D quan som davant de magnituds que tenen valors diferents a cada punt de l’espai: la temperatura de l’aire, la concentració de diòxid de carboni, la humitat, la densitat de protons (ions d’hidrogen) per metre cúbic, la puresa de l’aire, la temperatura de cada punt de l’oceà. A l’espai o dins del mar, tot és igual llevat que ara els gradients són tridimensionals: a qualsevol punt a uns quants metres de fondària al mar, la direcció del gradient de temperatura ens diu quina és la direcció òptima que hem de prendre si volem anar a llocs més calents, i qualsevol direcció perpendicular a aquesta ens portarà a punts propers sense que notem cap canvi de temperatura. De la mateixa manera, el gradient de protons ens permet anar cap a zones de l’espai amb més i més concentració de protons i el de contaminació ens indica justament on no hem de dirigir-nos si volem aire pur.

Hi ha tota una teoria que darrerament va agafant pes, que diu que la vida es basa en gradients de protons. Heu sentit parlar d’en Luca? Segons el professor William Martin, de la Universitat Heinrich Heine de Düsseldorf, en Luca (“Last Universal Common Ancestor“), l’antecessor de tots els bacteris, animals i plantes, era ja a la Terra fa uns quatre mil milions d’anys, quan el nostre planeta només tenia 560 milions d’anys. Per a arribar a saber coses d’en Luca, l’equip de recerca d’en William Martin va analitzar tots els gens de microbis i bacteris que s’han anat codificant i arxivant al llarg dels darrers 20 anys i que es poden consultar a les bases de dades d’ADN. En total, van estudiar 6 milions de gens i els van poder organitzar en arbres genealògics evolutius (si per exemple trobem un gen humà que també el tenen els ratolins, això ens diu que nosaltres l’hem heretat dels mamífers inferiors). Van poder classificar els sis milions de gens en un gran arbre de famílies genètiques, i van veure que, de tots ells, només 355 gens complien els criteris per pertànyer probablement a Luca, aquest avantpassat conjunt de tots els bacteris i éssers vivents. La conclusió de l’equip d’en William Martin, polèmica però molt interessant, és que el més probable és que Luca fos un organisme que “vivia” en zones del fons marí amb emanacions gasoses riques en metalls, molt calentes per la interacció entre l’aigua de mar i el magma que sortia d’alguns llocs del fons oceànic. En un article publicat a la revista Nature Microbiology, expliquen que alguns d’aquests 355 gens permeten generar energia a partir de l’hidrogen, i que un d’ells és el que fabrica la girasa inversa, un enzim que actualment es troba només en microbis que viuen a temperatures extremadament altes. En un altre article, en Kevin Drum cita els treballs de l’equip d’en William Martin junt amb els del bioquímic Nick Lane, i explica que aquests organismes inicials com en Luca generaven energia tot aprofitant justament els gradients de concentració d’hidrogen, amb un metabolisme que es basava en l’intercanvi de protons a les membranes de les mitocòndries. Les membranes, perpendiculars al gradient, afavorien l’intercanvi en la direcció del màxim pendent per optimitzar l’energia vital. En Luca va sobreviure i segurament va iniciar tota la vida a la Terra perquè va poder treure profit dels gradients de protons a llocs del fons marí on justament aquests gradients eren molt elevats. No és la manera més eficient de produir energia, però era l’única font que hi havia, fa uns 4.000 milions d’anys. La vida va anar evolucionant per aprofitar-ho, i les cèl·lules actuals tenen els seus propis mecanismes interns basats en gradients de protons.

Però no només la vida. Els gradients són també el motor de les societats, que avancen i es mouen quan hi ha una forta coincidència d’interessos. En aquest cas, no obstant, tot plegat és molt més complicat perquè les motivacions i els interessos socials tenen infinitat de matisos i dimensions…

Els gradients són font de vida, i els gradients són un repte vital. Ens agrada pujar muntanyes, com als insectes que els agrada pujar parets. Sense pendents i gradients, tot seria inert i nosaltres no hi seriem. L’Univers crea vida perquè és ple de gradients. Gradients que mouen la vida, les societats i la democràcia, i que ens haurien de permetre posar una mica de seny per afrontar els reptes que l’espècie humana tindrà durant les properes dècades.

Per cert, en Noam Chomsky diu que les qüestions que ara és més important abordar són les amenaces veritablement existencials que afrontem: el canvi climàtic i el perill de guerra nuclear. I es queixa que la interferència del poder empresarial i les fortunes privades en les eleccions nord-americanes no es consideri un crim sino el funcionament normal de la democràcia.

———

NOTA: Amb la barra horitzontal, hem format un triangle rectangle en el que la barra és un dels catets i on el segment recte T que uneix el punt més alt del terreny (on la barra toca el terra) amb el peu de la línia vertical que podem imaginar sota l’altre extrem de la barra, és la hipotenusa. El segment T ens dona la direcció local de la recta tangent a la carretera o pista; observareu que la manera habitual que tenim de parlar de pendents, en percentatges, no és altra cosa que mesurar la tangent trigonomètrica de l’angle que forma T amb la horitzontal. Podríem també calcular l’arc tangent de la divisió entre la distància en vertical de l’extrem lliure al terra i la longitud de la barra, i llavors parlar de pendent en graus angulars.

Als carrers del nostres pobles i ciutats, és ben fàcil saber-ne el pendent a cada punt perquè l’ampit de les entrades a les cases i botigues ens fa de barra horitzontal. Només cal mirar quina és la l’alçada que hi ha entre l’ampit en els seus dos extrems i el terra del carrer, i després dividir la diferència entre aquestes dues alçades per l’ample de l’ampit.

La horitzontal

dijous, 6/07/2017

Fa dies vaig anar a caminar per la carretera de les aigües de Barcelona. Vaig sortir de Sant Pere Màrtir, i al cap d’una hora i mitja vaig fer la foto d’aquí al costat, que mostra el camí i el lloc de sortida. Bé, de fet vaig fer dues fotos, part de les quals podeu veure a baix de tot junt amb dos detalls: un de la zona del castell de Montjuïc i amb un altre de l’inici del camí.

He canviat d’alçada, mentre caminava? El camí, fa baixada? L’horitzó, ens pot servir per a conèixer la direcció horitzontal? Si mireu qualsevol de les fotos, veureu que l’horitzó és per sota del començament del camí i pel damunt de Montjuïc. Però l’horitzó, és horitzontal?

De fet, depèn, com moltes altres coses a la vida. Depèn d’on jo sigui. Perquè la paradoxa és que l’horitzó quasi mai ens dona la horitzontal. Però la geometria, en la seva accepció més essencial de mesura de la Terra, ens aporta l’ajut que necessitem i ens obre la caixa dels misteris de l’horitzó (vegeu la nota al final). Tot es resumeix en tres indicacions: 1) allò que veiem sota l’horitzó, és a una alçada inferior a la nostra (és el cas del castell de Montjuïc, que es veu bé al detall de l’esquerra de la foto de baix). 2) tot el que veiem clarament per damunt de l’horitzó (com l’antena del cim del turó de Sant Pere Màrtir) és a una alçada superior a la nostra. 3) Si volem saber exactament l’alçada relativa a nosaltres del que veiem prop de l’horitzó, hem de fer un petit càlcul i una multiplicació en base a la nostra alçada sobre el nivell del mar (que podem saber, cercar, o bé estimar).

La foto de dalt la vaig fer des d’uns 3 Km. de distància. Tenint en compte que la meva alçada sobre el nivell del mar era de 280 metres, el valor de l’angle A (vegeu la nota al final) és de 0,00934 radians. Només he de fer una multiplicació per veure que l’error és igual a 3000*0,00934 = 28 metres. En tot cas, si no hagués tingut manera de conèixer la meva alçada i hagués considerat que era a 200 metres damunt del nivell del mar, el valor resultant hagués estat de 3000*0,0079 = 24 metres, que tampoc és tan diferent. I si hagués  suposat que em trobava a 400 metres damunt del nivell del mar, el valor resultant hagués estat de 3000*0,011 = 33 metres. Sempre que em mogui entre els 200 i els 400 metres d’alçada, puc afirmar que l’error d’alçada que em dona l’horitzó es troba entre els valors que puc calcular amb 0,0079 i 0,011, i sempre que em trobi entre els 400 i els 600 metres d’alçada, l’error d’alçada serà dins l’interval que puc calcular amb 0,011 i 0,0137.

En resum: en les condicions en que vaig fer la foto, l’horitzó es veu uns 28 metres per sota de la horitzontal. I aquesta és, aproximadament, la mesura que veiem de la diferència d’alçades entre camí i l’horitzó, a la foto. Podem concloure per tant que el camí no fa baixada, és pla. La carretera de les aigües es manté aproximadament a la cota 280.

Quan observem l’horitzó, tal vegada és un bon moment per treballar el càlcul mental. Si per exemple som a la Serra de Tramuntana, ens caldrà adaptar els càlculs de la nota del final, però si habitualment mirem el mar des de llocs que són per sota dels 400 o 600 metres, només cal que recordem tres valors: 0,0079, 0,011 i 0,0137, i ja podrem calcular la separació entre l’horitzó i la horitzontal.

He de dir que, quan soc dalt d’un turó i observo l’horitzó, no puc deixar de pensar en geometria, en l’etimologia d’aquesta paraula, en la frase de l’entrada de l’Acadèmia de Plató i en la mesura del nostre planeta. I penso que, unes quantes dotzenes d’horitzons més enllà, el passaport canvia de color i l’esquizofrènia és més possible.

Per cert, la Rosa Montero cita un llibre de David Eagleman i explica que l’element més determinant dels que predisposen a l’esquizofrènia és el color del passaport. Perquè la tensió social que produeix el fet de ser emigrant en un altre país, és un factor fonamental de risc per patir aquesta malaltia.

————

NOTA: Som no massa lluny de la costa, en un lloc des d’on veiem el mar i l’horitzó. Si sabem la nostra alçada h respecte el nivell del mar, podem calcular fàcilment la nostra distància a l’horitzó i l’error en alçada que cometem quan usem l’horitzó com a referència horitzontal. Imaginem i dibuixem un cercle que representa la Terra, i diem ara O al seu centre i R al seu radi mig, que és de 6371 Km. Suposem (això no canvia res i fa el dibuix més fàcil) que ens trobem a la línia vertical que passa per O. La nostra posició, que anomenaré P, és una mica exterior al cercle de manera que la seva distància a O és òbviament R+h. Si des de P dibuixem una recta rh tangent al cercle, aquesta recta ens dona justament la direcció en què veurem l’horitzó. La nostra distància D a l’horitzó serà la longitud del segment PH, on H (l’horitzó) és el punt de tangència entre la recta rh i el cercle. Ara bé, el triangle format pels punts P, O i H és un triangle rectangle amb l’angle recte al punt H, perquè la tangent a un cercle sempre és perpendicular al radi. Com que la longitud de la seva hipotenusa OP és R+h i el catet OH és el radi de la Terra, el teorema de Pitàgores ens diu que la distància D a l’horitzó és igual a l’arrel quadrada del quadrat de (R+h) menys el quadrat de R. En altres paraules, D és l’arrel quadrada de 2*R*h+h*h (per les alçades habituals, però, podeu comprovar que el terme h*h és menyspreable en relació a l’altre; per tant, podem simplement calcular l’arrel quadrada de 2*R*h).

La distància a l’horitzó, D, només depèn de la nostra alçada respecte el nivell del mar. Per alçades de 200 metres, 400 metres i 600 metres, aquesta distància és de 50,478 Km. (o sigui 50 Km. i 478 metres), 71,393 Km. i 87,436 Km. respectivament. Podeu comprovar-ho i calcular fàcilment el seu valor per qualsevol altre alçada h. O sigui, si som a una alçada d’entre 200 i 600 metres, l’horitzó es troba a una distància d’entre 50 i 87 quilòmetres. Podeu argumentar que semblen valors baixos, perquè algunes vegades segurament heu pogut veure algunes illes que es troben més lluny de 87 quilòmetres. Però és que les parts altes d’aquestes illes que són més enllà de l’horitzó, si no són massa lluny, sobresurten i en dies clars es poden veure.

Analitzem ara el valor de l’angle entre la direcció de la recta rh (que és la de l’horitzó que veiem) i la horitzontal. En el punt P on som, l’horitzontal és la perpendicular a la recta PO. L’angle A entre les rectes PO i PH és fàcil de veure que és idèntic a l’angle entre OH i OP, la tangent del qual és D/R. En els tres casos anteriors, amb alçades de 200 metres, 400 metres i 600 metres, aquest angle A és de 0,45 graus, 0,63 graus i 0,78 graus respectivament, tots ells força petits. En radians, aquests valors són de 0,0079, 0,011 i 0,0137. L’interès de representar-los en radians és que, multiplicant directament el seu valor per la distància de l’objecte que estiguem observant a la que ens trobem, sabem l’error en alçada (estic aproximant l’arc per la seva projecció vertical, la qual cosa és perfectament acceptable amb aquests valors tan petits dels angles). En altres paraules: si soc a 400 metres d’alçada, quan observo un determinat objecte (una casa, un camí) que és a la mateixa alçada de l’horitzó, si l’objecte és a 150 metres estic cometent un error de 150*0,011= 1,65 metres. Però si soc a 200 metres d’alçada, l’error és de 150*0,0079= 1,185 metres.

L’horitzó visible és per sota de l’horitzontal. Si soc a 200 metres d’alçada, l’error que cometo si mesuro horitzontals amb l’horitzó és de 0,0079*Dist, on Dist és la distancia a l’objecte que estic mirant. Si soc a 400 metres d’alçada, l’error que cometo és de 0,011*Dist, i si soc a 600 metres d’alçada, és de 0,0137*Dist.

Comentari final: He de dir i reconèixer que tot això que explico, per algunes i alguns de vosaltres no serà res de nou. De fet, vaig tenir alguns dubtes abans de posar-me a escriure aquest article. Però finalment, algunes persones properes van insistir…

 

 

Els dibuixos de la ciència

dijous, 25/05/2017

Diuen que la ciència és complicada. Fins i tot hi ha qui pensa que la majoria de gent odia les matemàtiques. No ho crec. Soc dels que penso, com en George Steiner, que les matemàtiques, junt amb la música i la poesia, són els tres llenguatges de l’home, i que per això pot ser recomanable aprendre’ls i gaudir-ne. Steiner diu que hauríem de celebrar la prodigiosa fortuna per la qual, un “pobre animal forcat” (que és com Shakespeare ens defineix) ha engendrat aquests tres llenguatges majestuosos, i que hauríem de contemplar orgullosos i meravellats les creacions en que conflueixen aquests tres codis.

El mite de la dificultat de la ciència i de les matemàtiques cau i es desfà en engrunes quan ens adonem que molts conceptes científics es poden explicar amb un dibuix. Res de números, res de formules. Només llapis i paper. Aquí al costat en teniu una petita mostra amb quatre dibuixos. Són d’Aristarc de Samos, de Marie-Anne Paulze, de Santiago Ramón y Cajal i d’Isaac Newton.

El dibuix de dalt, d’Aristarc de Samos (de fet es tracta d’una reproducció que podeu trobar al llibre de Eric M. Rogers) és el resultat del que va pensar només mirant el cel de nit i sense sortir del seu poble. Les seves deduccions ens han arribat gràcies a la traducció de Commandino del llibre de Pappus d’Alexandria, que ha estat recentment publicat en edició facsímil. Aristarc, després de mirar molts dies les fases de la Lluna, va concloure que la Lluna era un astre esfèric, que les fases eren el resultat de la llum que rebia del Sol, i que la Terra i el Sol també havien de ser astres esfèrics. I a més, molts segles abans que Jules Verne, va fer un viatge imaginari a la Lluna i va entendre perfectament la posició relativa dels tres astres en el moment del quart creixent (o minvant): el que va dibuixar diu que si algú fos a la Lluna en el moment just del quart creixent, veuria que angle entre la Terra i el Sol és un angle recte. Es va adonar que quan la Lluna és en quart creixent, l’angle és el mateix que ja utilitzaven per construir els temples, les cases i els carrers de les ciutats. Aristarc va entendre els astres mirant, pensant, i dibuixant. Després, va mesurar l’angle que ell veia des de la Terra entre la Lluna i el Sol, i va poder deduir, per primera vegada a la historia de la humanitat, la distància relativa a que tenim el Sol i la Lluna (amb un petit error de 2,5 graus en la mesura de l’angle, error que no desmereix gens tot el que va pensar). Tot plegat, només amb un triangle.

Marie-Anne Paulze va fer els dibuixos dels llibres del seu company i marit, l’Antoine Lavoisier. Els dibuixos del rigor dels experiments, pesant-ho tot com mostra la imatge, que podeu també trobar a l’edició facsímil del seu llibre. Són els experiments que van enterrar l’alquímia i que van obrir la porta a la química moderna, els dibuixos de la crònica de com s’ha de fer els experiments per a que siguin fiables i puguin ser reproduïts. Gràcies a Lavoisier i als dibuixos de Marie-Anne Paulze, ara entenem els processos de combustió i oxidació, sabem com es combinen els elements químics, i podem fabricar medicaments i tota mena d’objectes.

El dibuix de baix al mig, és de Santiago Ramón y Cajal i el podeu trobar en un llibre recent que han publicat als Estats Units amb alguns dels seus dibuixos. El que veieu aquí és el dibuix de les capes de neurones que tenim a la retina, que pre-processen les imatges que veiem per tan d’enviar-les al cervell ja “digerides”. Ramón y Cajal deia que dibuixar neurones és com dibuixar un bosc, i que si no fem més que dibuixar arbre rere arbre, el resultat no serà un bosc. Deia que el dibuix d’un bosc requeria entendre l’essència del bosc, més que els arbres individuals. Per això, Santiago Ramón y Cajal observava als matins amb el seu microscopi, dinava, i a la tarda dibuixava el que recordava que havia vist al matí. Interessant, oi?

Finalment, a baix a la dreta teniu una meravella incunable. És un dels dibuixos que Isaac Newton fa anotar a la primera edició del seu llibre “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, per indicar el que caldria afegir a la segona edició. Podeu veure i llegir les 1031 pàgines del llibre a l’edició digital facsímil de la Universitat de Cambridge, que és una absoluta joia. El dibuix, que ens explica el moviment parabòlic que observem quan tirem una pedra, una poma o una pilota, és el que també ens deixa entendre el moviment de la Lluna, el de la Terra i la dinàmica de tot l’Univers. El geni de Newton va quedar manifest amb la seva frase “he vist que les forces es corresponen de manera bastant aproximada” que va formular el dia que va entendre que la força que feia caure les pomes amb trajectòria parabòlica era la mateixa que mantenia la Lluna en òrbita en un constant moviment de caiguda cap a la Terra. Va entendre tota la dinàmica dels astres mirant el moviment parabòlic dels objectes que tirem, i ho va fer, també, sense sortir del seu poble.

Per cert, en Kilian Jornet diu que el que importa quan vas a la natura és sentir-te despullat davant d’ella, perquè sense grans mitjans es poden fer grans coses. Diu que no som els amos d’aquest planeta, sinó únicament una part, i que no som més importants que un arbre o que una pedra.

Aquestes misterioses direccions

divendres, 19/05/2017

Hi ha arbres que són molt més disciplinats que altres. Quasi totes les branques del pollancre de la imatge miren cap amunt, mentre que les de la figuera pugen i baixen (he pintat la direcció de dues branques d’un i altre, les primeres en groc i les altres en vermell). És clar que hi ha arbres més interessats en pujar cap amunt que altres.

Mentre feia la foto de la figuera, vaig pensar en la resposta d’un estudiant de fa uns anys a una pregunta d’examen. En una determinada imatge com la de la figuera, però d’un model geomètric sintètic, preguntàvem la direcció en què s’havia fet la foto virtual. La resposta del noi va ser curta, simple i errònia: va dir que s’havia fet en una direcció perpendicular al punt de vista.

Tant en el món real com en el de la geometria, cada cosa es pot mesurar d’una certa manera però no d’altres. Els minuts ens permeten mesurar el grau de cocció d’un plat que estem cuinant, els euros ens ajuden a discernir quina companyia aèria és la que ens ofereix millors condicions per viatjar, i els mil·ligrams ens informen de si la dosi que hem de prendre d’un medicament és la correcta. Però no podem mesurar els vols d’avió en grams ni les píndoles en metres. I amb les branques dels arbres passa el mateix. Una branca, si és força recta, queda ben definida per la seva posició (que pot ser, per exemple, el punt d’on es bifurca i neix) i la seva direcció, de la mateixa manera que per explicar com hem fet una foto hem de dir on ens hem posat per fer-la i en quina direcció l’hem fet. Per saber i poder explicar on són les coses hem de parlar de punts (posicions) i direccions (vegeu la nota al final). El punt des d’on vaig fer la foto de la figuera era prop de les seves branques i la direcció, si mireu la imatge, veureu que era una mica cap avall.

Els punts permeten calcular distàncies i les direccions, angles. Podem parlar de la distància entre l’extrem d’una branca d’un arbre i una determinada fulla d’un altre, i podem saber l’angle que formen dues branques determinades entre elles. Donades tres direccions de referència (per exemple, la direcció horitzontal cap al nord, la que apunta  a l’est i la vertical), qualsevol altra direcció queda determinada pels angles que forma amb aquestes tres (el conjunt de tres direccions de referència i un punt s’anomena sistema de coordenades cartesianes). Podem trobar parelles de direccions que formin angle recte i siguin perpendiculars. Però mai una direcció podrà ser perpendicular a un punt.

Gràcies al geni de Carl Friedrich Gauss, tenim una representació molt bonica de les direccions: el mapa de Gauss (o esfera de Gauss). Imagineu una esfera de radi 1, com la que teniu a la imatge. Per representar la direcció de les dues branques del pollancre (fletxes grogues), les porteu a l’origen de l’esfera, i representeu les seves direccions pels punts (grocs a la imatge) en els que aquestes direccions intersequen la superfície de l’esfera (observeu que els vectors de les direccions són en 3D, i que per tant, els punts d’intersecció poden caure més endavant o més enrere. Si ara feu el mateix amb les direccions (vermelles) de les branques de la figuera, obtindreu els dos punts vermells del mapa de Gauss. Imagineu que repetiu el mateix per totes les branques del pollancre. Cada branca té una direcció, i cada direcció és un punt a l’esfera de Gauss. Al final tindreu un globus (una mena de bola del món) amb tot de punts que ens mostren el mapa de les direccions de totes les branques. Amb el mapa de Gauss, la complexitat de les direccions a l’espai es redueix a un conjunt de punts en una bola. Els punts del mapa de Gauss del pollancre seran propers a la seva part superior, perquè totes les branques pugen amunt; en canvi, la figuera ens donarà un mapa amb punts als dos hemisferis i fins i tot amb petits segments que representen la variació continua de direcció al llarg de les branques corbades.

Els models matemàtics d’arbres es basen en determinades constatacions experimentals, com per exemple que la forma de la seva copa tendeix a ser esfèrica quan les fulles es distribueixen uniformement al llarg de les branques, mentre que quan les seves fulles són bàsicament al final de les branques, la forma de l’arbre acaba sent cònica. D’altra banda, s’ha vist que la suma dels gruixos de les branques que surten de qualsevol bifurcació és habitualment més gran que el de la branca inicial abans de dividir-se. Tot això, junt amb altres mesures específiques per a cada espècie en concret, permet l’elaboració de models estadístics que preveuen el gruix i direcció de les branques, la distribució de les fulles i la forma final de tot l’arbre. En tot cas, els mapes de Gauss sobre l’esfera unitària podrien ser una molt bona eina per caracteritzar la distribució de les direccions de les branques a cada tipus i espècie d’arbre, tot i que he de reconèixer que no he estat capaç de trobar ningú que ho hagi estudiat i que representi arbres en esferes de Gauss. Seria bonic, oi?  Un arbre quedaria representat com una munió de punts (el que s’anomena un “núvol de punts”) a l’esfera. Els pollancres tindrien els punts dalt de tot i els salzes més aviat a baix.

Cal reconèixer que és més fàcil pensar en punts i distàncies que en direccions i angles. Tots ens atrevim a fer càlculs aproximats de distàncies amb la vista. Però si ens pregunten quin és l’angle d’elevació de la lluna en un cert moment a la nit, és quasi segur que ens equivocarem (vegeu la nota al final). Les direccions són enganyoses. La lluna sembla gran quan surt de l’horitzó i després veiem que es fa petita a mesura que va pujant, però tot és fals, perquè l’ample de la lluna (que no és més que l’angle entre les direccions en que veiem els seus dos extrems a dreta i esquerra) no canvia. El que passa és que som maldestres a l’hora de mesurar angles entre direccions.

Sabríeu imaginar quin aspecte té el mapa de Gauss dels arbres del vostre carrer o jardí? Hi ha algun dia de l’any en que totes les direccions que apunten cap al Sol al llarg del dia es trobin en un únic pla? Com calcularieu, sense mirar cap mapa i sense bruíxola, l’angle entre les façanes de dues cases de carrers diferents del vostre poble? Quin és el mapa de Gauss de les direccions de vol de les orenetes?

Per cert, la Marxa per la Ciència va aplegar un total de més de un milió de manifestants a  tot el món, fet que no té precedents. Aquesta Marxa per la Ciència ha passat a ser el major esdeveniment de la història de la ciència mundial.

———

NOTA: Els elements més simples de la geometria són els punts, les rectes i els plans. Un punt té posició (que podem indicar amb les seves tres coordenades x, y, z) però no es pot mesurar, com bé deia Euclides. Una recta, per exemple la que passa per dos punts A i B, ja té posició i orientació; de fet, en té dues, de direccions, perquè la podem definir com la recta que passa pel punt A (posició) i que té la direcció que va de A a B, o com la que passa pel punt B i té la direcció que va de B a A. Si parlem només d’una de les dues possibilitats, tenim el cas d’una recta orientada. Les direccions es representen habitualment per vectors unitaris, perquè el seu mòdul no serveix de res si només volem saber la direcció. En altres paraules, la direcció de la recta anterior vindria definida per un vector que podríem calcular com (B-A) dividit per la distància entre A i B. Finalment, un pla es pot definir amb un punt P (qualsevol punt del pla) i la seva direcció normal n. Amb aquestes dues dades, és clar que el pla és el conjunt de punt Q tals que la direcció que va de P a Q és perpendicular a n.

L’angle d’elevació de la lluna és l’angle entre la direcció en què veiem la lluna a la nit i el pla del terra. Parlant en termes d’angle entre dues direccions, també podem dir que és el mínim de tots els angles entre la direcció en què veiem la lluna i totes les possibles direccions 2D del terra. Per cert: donat qualsevol pla, és fàcil veure que la representació, en el mapa de Gauss, de totes les direccions que conté, és un cercle màxim de l’esfera.

Els vectors (que, donat un sistema de coordenades cartesianes 3D, podem representar pels seus tres components vx, vy, vz) tenen propietats interessants. Per exemple, donats dos vectors v1 i v2, els vectors que podem calcular com a*v1 + b*v2 per qualsevol valor de a i b, ens donen totes les possibles direccions 2D del pla que conté un punt qualsevol i que també conté les dues direccions donades v1 i v2. El producte escalar entre v1 i v2 ens permet calcular l’angle que els separa (tant en 2D com en 3D) amb una d’aquestes formules simètriques que ens fan gaudir de la bellesa de la simplicitat geomètrica. Si el producte escalar és zero, sabem que les dues direccions són perpendiculars, i el producte vectorial de v1 i v2 dona com a resultat un vector v3 que és a la vegada perpendicular a v1 i a v2.