Arxiu de la categoria ‘Algorismes i geometría’

Sobre la ortogonalitat

dimecres, 12/09/2018

Com bé explica la Lydia Maniatis, l’angle recte és especial, per nosaltres. Som capaços de detectar, amb gran precisió, angles que no són exactament rectes. I, a casa o a qualsevol edifici, el nostre cervell agraeix que els racons i els cantells dels mobles formin angles de 90 graus. Però la Lydia Maniatis ha observat també que som encara més fins a l’hora de detectar petites desviacions de l’angle recte entre el terra horitzontal i aquells objectes que suposadament haurien de ser verticals. Diu que el fet d’alinear objectes verticals amb la direcció de la gravetat fa visible l’estructura de les forces i crea una simetria que ens fa percebre l’equilibri. En canvi, l’asimetria ens genera una major tensió a l’objecte, en una o altra direcció.

Som animals amb tendència a la ortogonalitat. A l’any comencem a caminar, ortogonals al terra. A diferència de moltes altres espècies, quasi tot ho fem amb angles rectes: les cases, els mobles, els papers, els paquets, els llibres, els quadres, els envasos, les cartes, i fins i tot els carrers, sobretot a algunes ciutats com Barcelona, Nova York,  Kyoto o altres.

La imatge de dalt mostra una part de l’eixample de Barcelona, on he marcat dues de les sortides de l’estació del metro de Diagonal al Passeig de Gràcia, i, amb una línia groga, la part superior de la Rambla Catalunya. Fa uns dies, vaig sentir una conversa a l’andana: una persona li preguntava a una altra quina era la millor sortida, de les dues que he marcat, per anar a la Rambla Catalunya. Sense més informació, i donats dos punts A i B d’un determinat carrer, es pot parlar de quin és el que ens va millor per anar a un altre carrer que és paral·lel al primer?  La resposta, evidentment, és negativa. Ara bé, si sabem el lloc del segon carrer on volem anar, ens hi podem acostar per carrers que li siguin ortogonals, per minimitzar el recorregut. Perquè els camins que hem de recórrer, a l’eixample de Barcelona o a Manhattan, acaben ser esglaonats amb trams ortogonals. I la distància més curta entre dos punts si seguim sempre els carrers, és justament l’anomenada distància de Manhattan, basada a la seva vegada en la dita geometria del taxista. És el que tenim quan caminem per ciutats amb carrers ortogonals.

I ara, tornant a casa, potser podem badar una mica mentre mirem un racó o un canto del sostre. Per què? Doncs perquè els racons amaguen un dels grans misteris de l’Univers. Tres plans que acaben en un punt, tres arestes que els separen i que formen angles rectes. Son els angles rectes dels antics temples i piràmides, els que els nostres avantpassats van descobrir amagats darrera dels nombres 3, 4 i 5, els que van donar lloc al teorema de Pitàgores i al descobriment d’aquells nombres tan absurds que van ser anomenats irracionals. I el màgic número 3. Per què els racons tenen 3 arestes i no 4? Per què som en un espai aparentment de dimensió 3?

Però la ortogonalitat també la trobem al món abstracte i al de les relacions. S’ha vist, per exemple, que hi ha una correlació positiva entre l’accés a l’energia d’un determinat país o regió i el seu desenvolupament pel que fa, per exemple, a l’educació. Si dibuixem dos eixos, a l’horitzontal indiquem el grau d’accés a l’energia i al vertical marquem el grau d’educació de la gent, veurem que els punts que marquen la situació dels diferents països són propers a una línia recta inclinada que ens mostra que quan creix un factor, creix l’altre Hi ha una relació directa entre ells. En canvi, la correlació entre l’accés a l’energia d’un determinat país o regió i la mortalitat infantil és negativa (relació inversa) perquè a mesura que creix la primera, es redueix la segona, i la línia de la gràfica s’inclina cap avall. Però hi ha un tercer cas, en què la variació d’un dels factors (o variables) no afecta en res a l’altre. En aquest cas, es diu que aquestes variables són independents o ortogonals (en matemàtiques i per exemple en els espais vectorials, els conceptes d’ortogonal i de independent, són sinònims). Igual que el fet que els meridians i paral·lels siguin ortogonals fa que la meva latitud sigui totalment independent de la meva longitud (puc caminar modificant qualsevol d’elles sense canviar l’altre en res: proveu d’anar d’est a oest o de nord a sud), el grau d’interès de la gent per la química hauria de ser segurament ortogonal a l’alçada sobre el nivell del mar del poble on viu, per dir alguna cosa. O bé, el tipus d’opinions que una determinada persona expressa i defensa hauria de poder ser, en tot estat democràtic, independent i ortogonal al tipus d’opinió de qualsevol altra persona o institució, per poderosa que aquesta darrera sigui.

——

Per cert, en Carles Capdevila deia que els poders, tots ells, no suporten la llibertat de premsa. I que aquesta va ser la seva gran decepció durant els 5 anys que va dirigir l’Ara. Deia que el desvergonyiment amb què reps pressions i amenaces indica una mala salut democràtica. I és que la informació i opinions que emeten els mitjans han de ser ortogonals s a la opinió de polítics, poderosos i poders fàctics.

La corba que mai s’acaba

dissabte, 25/08/2018

Tenim una botiga (o una exposició) que té 16 zones diferents disposades en 4 files de 4, com veiem al primer dibuix de la imatge d’aquí al costat. Hi ha alguna forma de posar les parets o separacions de manera que la gent que entra per una banda hagi de passar per totes i cada una de les estances abans de sortir?

La resposta, que segurament haureu vist (o sofert) a algunes botigues, és el recorregut de Hilbert d’ordre 2, que teniu just al costat. Només cal deixar pas en el sentit d’aquest recorregut i barrar-lo en totes les demés direccions, de manera que cada una de les zones quadrades tinguin dos costats que permetin el pas i dos parets que l’impedeixin. Els visitants, abans de poder sortir, hauran de passar per tots els racons de l’espai d’exposició.

I si volem fragmentar més l’espai? En aquest cas podeu pensar en subdividir cada una de les 16 zones en 4, de manera que tingueu una quadricula de 64 (vuit per vuit) zones. Per a  crear un recorregut que passi per tots i cada un d’aquests 64 espais, només cal fer una cosa: per a cada un dels 16 espais del cas anterior que tenim dalt a la dreta a la imatge, mantindrem els seus “portals” d’entrada i sortida, però obligarem que la gent hagi de recórrer cada una de les seves 4 sub-zones. Veiem-ho en els dos primers quadrats de la disposició de 4 per 4. En el d’entrada, els visitants entraven per l’esquerra i sortien per la dreta; en el segon, entraven per l’esquerra i sortien per sota, segons veiem al recorregut de Hilbert de dalt a la dreta de la imatge. Ara, per generar el recorregut de Hilbert d’ordre 3 que passarà per 64 espais (recorregut que podeu veure a la imatge, sota i a l’esquerra), només hem de posar separacions que obliguin a fer un recorregut en “U” al primer quadrat i un altre en sentit Nord-Oest -> Nord-Est -> Sud-Est -> Sud-Oest al segon. Si aneu fent el mateix per tots els quadrats de dalt de la imatge, generareu fàcilment aquesta corba de Hilbert d’ordre 3.

Però això no acaba aquí, perquè podem repetir el procès. Subdividim cada una de les 64 zones en 4 sub-quadrats, i per cada un dels 64 quadrats mantenim els seus “portals” d’entrada i sortida, obliguem que els visitants hagin de recórrer cada una de les seves 4 sub-zones. El resultat és el recorregut de baix a la dreta de la imatge (corba de Hilbert d’ordre 4), que passa sistemàticament una sola vegada per tots i cada un dels 256 quadrats d’una retícula de 16 per 16 quadrats. Evidentment, la corba de Hilbert d’ordre 5 passa per tots els 1024 quadradets de 32 per 32, i la d’ordre 6 recorre (quasi res) 4096 petites zones quadrades. Si algun dia heu de muntar una exposició amb 4096 obres i voleu assegurar-vos que tothom passarà (mirant o no) per totes elles, ja sabeu la solució: podeu estructurar l’espai en base a una corba de Hilbert d’ordre 6. No és clar que garantiu la satisfacció de la gent, però el que és clar és que els haureu forçat a fer el que voleu. Podeu veure els 6 primers nivells de la corba de Hilbert plana en aquesta imatge gif animada (que també podeu trobar a la web que explica la corba de Hilbert). La de nivell 6 és realment recargolada, oi?

David Hilbert, el gran matemàtic, va estudiar i proposar aquesta corba l’any 1891, als 29 anys, un any després que Giuseppe Peano estudiés les corbes que porten el seu nom. Una de les seves propietats és que el procés de creació d’aquesta corba de Hilbert no acaba mai. Si tenim temps i paciència, podem dibuixar una corba de Hilbert d’ordre 7 que passarà per tots els 16384 quadradets d’una retícula de 128 per 128, o una d’ordre 10 que recorrerà més d’un milió de petits espais. Les corbes d’ordre 11 o 12 saben recórrer tots i cada un dels píxels de les imatges que captura una bona càmera digital, sense passar dues vegades pel mateix píxel. I podríem continuar més i més, subdividint cada vegada en 4 les regions quadrades del pas anterior (vegeu la nota al final). D’altra banda, la imatge de dalt ens mostra que, a cada pas, la corba és el doble de llarga que en el pas anterior. Si l’espai que tenim és sempre el mateix i només anem subdividint les seves cel·les, i si la longitud de la nostra corba de Hilbert d’ordre 2 és, per exemple, de 40 metres (la qual cosa correspon a un espai inicial de 10 per 10 metres), la d’ordre 3 serà de 80 metres, la d’ordre 4 tindrà 160 metres, la d’ordre 6 serà de 640 metres i, si arribéssim a la corba d’ordre 10, els visitants de la nostra exposició haurien de caminar 10 quilòmetres per sortir d’aquest espai diabòlic de 10 per 10 metres que els hem preparat. La conclusió és clara i evident: si no ens aturem i continuem refinant la corba de Hilbert, acabarà tenint una longitud infinita i omplint tot el quadrat inicial com un fil ben recargolat. És una corba que ho omple tot i que mai s’acaba. Per això, tot veient que omple tot un quadrat del pla, diem que té dimensió fractal 2.

Una altre aspecte interessant de les corbes de Hilbert és que el mateix que hem fet en 2d es pot fer en 3d (en aquest vídeo podeu veure l’aspecte que té la corba de Hilbert 3D d’ordre 3, que passa pels 512 cubicles d’una retícula a l’espai). És una corba que també té longitud infinita amb dimensió fractal 3, de manera que acaba omplint tot l’espai inicial. Pot ser “útil” per a qui vulgui muntar una exposició sota l’aigua per visitants submarinistes.

Si, en una cartolina, pinteu una retícula de 8 per 8 quadrats i els aneu numerant de l’1 al 64 segons l’ordre del recorregut de la corba de Hilbert d’ordre 3, podeu fer un joc matemàtic d’estiu per als vostres nens. Els jugadors, per torns i amb un retolador, han d’anar pintant les separacions “prohibides” entre quadradets veïns, que són tots aquells costats de la retícula que separen quadrats amb números no consecutius. Cada un d’ells, abans de pintar-lo, explica quin vol pintar. Si intenta pintar un costat incorrecte (que separa números correlatius), un altre jugador (o vosaltres) avisa i guanya un punt. Al final, la retícula de la cartolina mostrarà el recorregut que ens fan seguir en una de les botigues que comentava al principi. Una altra cosa que podeu fer, al final, és veure qui troba la “millor drecera”, que és el costat ja pintat com a paret que separa dues caselles amb números el més diferents possibles. També podeu cercar altres dreceres no tan òptimes, i anar-les repintant d’un altre color.

La corba de Hilbert em fa pensar en Spinoza i en la seva “Ética demostrada segons l’ordre geomètric”, perquè és tot un exercici sobre els límits, el finit i l’infinit. En un quadrat ben finit i limitat, Hilbert ens hi construeix una corba que l’omple i que té longitud infinita. Ara bé, això té un petit problema: per a que tingui longitud infinita, hem de generar-la amb un “total” d’infinits passos, cosa que implica un temps de construció infinit. Com que som finits i limitats, ens haurem d’aturar, i la corba final tindrà una longitud mesurable. La corba de Hilbert no s’acabi mai, però no és del món real. Tot allò que forma la realitat (les corbes, els objectes, els recursos, el creixement, el poder, nosaltres mateixos) és limitat. L’infinit és una construcció mental, que podem imaginar gràcies al poder del raonament per recursió. Hem de ser ben conscients d’allò que és realista i del que són mites utòpics.

———
Per cert, en Vicent Martínez Guzmán, filòsof de la pau i traspassat fa pocs dies, deia això: “nosaltres els pacifistes som els realistes, els utòpics són els que volen aconseguir la pau mitjançant la violència”.

———

NOTA: La corba de Hilbert es pot explicar amb un algorisme recursiu de substitució que és ben curt i senzill. Tot l’algorisme consisteix en aquestes quatre regles de substitució, que anomenarem A, B, Af i Bf:
A -> e B C d A C A d C B e
B -> d A C e B C B e C A d
Af -> e C d C d C e
Bf -> d C e C e C d

Coneixeu els gràfics de la tortuga? Tenim una tortuga-robot que porta un retolador enganxat a la closca que marca, al terra, tot el camí que va fent. La tortuga només pot fer tres coses. Aturada, pot girar a l’esquerra (“e”) o a la dreta (“d”). Quan ja ha girat, pot caminar un petit trosset (“C”) en la direcció que es troba, trosset que sempre és de la mateixa longitud L. Els girs a l’esquerra (en contra de les agulles del rellotge) i a la dreta (en el sentit de les agulles del rellotge), són sempre de 90 graus. Per exemple, la regla Af diu que cal girar a l’esquerra, avançar L, girar a la dreta, avançar L, tornar a girar a la dreta, avançar L, i finalment girar a l’esquerra. És una regla, semblant a la Bf, que fa un recorregut en forma de “U” mentre es passeja pels 4 quadradets d’una retícula de 2 per 2.

Les regles A i B, que són les essencials de l’algorisme de Hilbert, indiquen que a cada pas de substitució, hem de substituir la lletra “A” o la “B” per tot el que hi ha a la dreta. Hi ha dues possibilitats. La primera, és només usar les regles “A” i “B”, començant per exemple per la “A” i substituint una i altra vegada les “A” i “B” de la dreta per les seves corresponents extensions. El procés és una recursió infinita, que ens portaria, si poguéssim acabar, a la corba teòrica de Hilbert. La segona, és començar per “A”, substituir N vegades per les expressions de la dreta de les regles “A” i “B”, i en acabar, usar les substitucions indicades per les regles “Af” i “Bf”, que ja no inclouen signes “A” i “B” i per tant aturen el procés. Si feu això darrer podreu acabar i fer que la tortuga dibuixi una corba, però només serà una aproximació a la corba de Hilbert…

El graf del control econòmic

divendres, 10/08/2018

Encara que no és la primera vegada que parlo del treball de la Stefania Vitali i dels seus col·laboradors James Glattfelder i Stefano Battiston de la ETH de Zurich, avui voldria aportar algunes precisions i detalls sobre la metodologia que van usar en el seu treball i sobre els seus resultats. L’article complet, molt recomanable encara que una mica tècnic, el podeu llegir aquí. La imatge de l’esquerra és de la pàgina 4 (mostra una component fortament connexa del graf de control econòmic mundial, amb 1318 nodes i més de dotze mil arcs).

La investigació de Vitali, Glattfelder i Battiston va ser la primera que va estudiar amb el màxim rigor la xarxa global de control econòmic, tot descobrint que hi havia un nucli fortament connex de corporacions multinacionals (fonamentalment, institucions financeres) que exerceixen un control increïblement poderós sobre una munió d’altres empreses a tots els països. Dic que va ser la primera perquè els estudis anteriors bàsicament s’havien limitat a estudis dins cada país, sense analitzar el poder global de les actuals corporacions transnacionals.

El primer tema que estudien Vitali, Glattfelder i Battiston és el del concepte de control econòmic i financer. La seva definició és més acurada que les de treballs anteriors, perquè, per a una determinada corporació, aquest control es quantifica com la suma del valor econòmic de totes les corporacions i empreses que és capaç d’influir, tan si es troben directament relacionades amb ella com si ho són només indirectament. Dit en altres paraules, els qui tenen un nivell molt elevat de control són els que potencialment poden imposar les seves decisions a moltes empreses econòmicament fortes. Els autors argumenten que aquesta és una definició propera a la definició de poder de Max Weber, basada en la probabilitat que algú sigui capaç d’imposar la seva voluntat a pesar de l’oposició dels altres. D’altra banda, calculen molt curosament aquest valor quan troben camins cíclics de control, tallant els cicles i eliminant influències no reals (que bàsicament són producte de l’enginyeria financera) per tal de no sobre-estimar la seva quantificació del control.

Els autors parteixen dels 30 milions d’empreses i actors econòmics de la base de dades Orbis 2007, i d’una llista de 43.060 corporacions transnacionals (que anomenaré “TNC”) publicada per la OCDE. A partir d’aquí, el seu estudi es basa en la construcció i anàlisi del graf de relacions entre empreses. Els nodes del graf són empreses i corporacions, i dos nodes determinats A i B estan connectats per un arc que va de A a B si A pot controlar B en tenir més del 50% de les seves accions. Analitzen “només” el graf de les empreses controlades per alguna TNC o que controlen alguna TNC. Aquest és un graf amb 600.508 nodes (empreses) i 1.006.987 arcs de control, que té un gran component connex amb 463.006 actors econòmics i 889.601 relacions. Curiosament, el component connex que li segueix en importància té només 230 empreses, i el 90% de components connexes tenen menys de 10 empreses (vegeu la nota al final).

Vitali, Glattfelder i Battiston van usar tres models diferents per calcular el valor del control: el model lineal LM que mesura el control pel percentatge d’accions que té l’actor, el model TM en el que el control total d’una empresa s’assigna a l’actor que té més del 50% d’accions (mentre que els altres accionistes passen a tenir zero control sobre ella), i el model RM, més sofisticat, es basa en un índex de la mida de les empreses del tipus Herfindhal). L’interessant és que el resultat final, quan es representa la distribució de control entre les TNC amb una corba de Lorenz, és robust i independent de quin d’aquests tres models (LM, TM o RM) s’aplica: la gran troballa és que un grup molt reduït de només 737 accionistes acumulen el control del 80% de totes les corporacions transnacionals del món. O sigui, un grup de només el 0,61% d’accionistes controla el 80% de totes les grans corporacions mundials. La desigualtat en el control entre les empreses és 10 vegades més gran que la desigualtat en riquesa al món, que de per sí ja és molt alarmant.

De fet, l’article presenta, com a resultat parcial, una taula amb els primers 50 principals actors que controlen tota la xarxa d’empreses a nivell mundial. La taula mostra que de fet, aquests 50 accionistes (molts d’ells són entitats financeres) ja controlen el 39,78% de totes les TNC (el 80% el controlen 737 entitats, però el control de la meitat, el 40%, és a càrrec de només 50). L’interès d’aquest rànquing no és només que ens desvetlla la llista dels grans poderosos, sino que mostra que molts d’aquests principals actors pertanyen a un nucli que no és més que una xarxa de control extremadament densa i relligada. Això significa que no realitzen el seu negoci aïlladament, sinó que, al contrari, estan molt units. Com diuen els autors, és una troballa molt important perquè fins ara no hi havia cap teoria econòmica ni cap prova empírica que expliqués com estan connectats els poderosos.

———

Per cert, en Sebastià Alzamora comenta les declaracions de Margalida Prohens (va dir que “no es poden garantir els drets humans amb l’arribada massiva d’immigrants… perquè és insostenible que a Espanya ens arribin disset mil persones”) i diu que si no es garanteixen els drets humans, les persones poden ser esclavitzades, prostituïdes, violades o assassinades, i a més amb tota la impunitat i “d’acord amb la llei”. Diu que això és el feixisme banal.

———

NOTA: La quantificació del control econòmic requereix una anàlisi de la topologia del graf. Segons Vitali, Glattfelder i Battiston, en termes de connectivitat, el graf conté molts components connexes petits, “però el més gran (que conté el 75% de tots els nodes) inclou totes les principals TNC, que representen el 94,2% del total dels ingressos operatius de les corporacions TNC”. Hi ha dues propietats topològiques que són rellevants. La primera és l’abundància de cicles de longitud dos (parelles amb control creuat) o més grans, que són ben coneguts pels estudiosos del govern corporatiu. Una generalització d’aquest cas són els components fortament connectats, és a dir, conjunts d’empreses en les quals cada membre té accions directes i / o indirectes a tots els altres membres. Aquest tipus d’estructures, fins ara observades només en mostres petites, tenen moltes raons de ser: estratègies d’eliminació de riscos, reducció de costos de transaccions, compartir riscos, augment de la confiança o formació de grups d’interès. No importa el seu origen, però, el que és clar és que debiliten la competència al mercat. La segona característica és que el component connectat més gran només conté un component dominant fortament connectat amb 1347 nodes. Per tant, i de manera similar a la xarxa WWW, la xarxa TNC té una estructura molt enllaçada amb un nucli que també està densament connectat, i on els seus membres tenen, de mitjana, vincles amb altres 20 membres. En paraules dels autors, “prop de 3/4 de la propietat de les empreses en el nucli roman en mans de les empreses del propi nucli. Dit d’una altra manera, es tracta d’un grup de societats que tenen una gran part de participació majoritària a les altres”.

Pel que fa a la llista dels 737 actors que controlen el 80% de totes les 43.060 corporacions transnacionals, cal dir que la majoria son entitats financeres d’abast internacional, i que els governs i les persones físiques apareixen molt avall a la llista.

El sol i la paret del fons

divendres, 27/07/2018

A l’hivern, m’entrarà el sol per la finestra i escalfarà la paret del fons?  Arribarà fins al passadís?

Per saber les respostes a aquestes preguntes cal seguir una sèrie de passos ben senzills, que podrem fer sense problemes si perdem, per una estona, aquesta maleïda i quasi universal por a les matemàtiques. L’algorisme (perquè el conjunt de passos que cal seguir per a resoldre un determinat problema és un algorisme) el podeu trobar a la nota del final. Hauré de definir correctament la direcció D que m’interessa, que no és altra que la que hauran de tenir els raigs de Sol que voldria que entressin per la finestra i escalfessin la paret del fons. Hauré de conèixer també la direcció E de l’eix de la Terra. I ara, saben D i E, només em caldrà calcular l’angle entre aquestes dues direccions i cercar (en una taula com aquesta o a la informació geogràfica del meu municipi) la latitud L del lloc on soc. Si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, la resposta és afirmativa: en algun moment de l’any, la llum del Sol entrarà per la finestra i il·luminarà el punt de la paret o del passadís que vull. Si no es troba entre aquests dos valors, la resposta és negativa (vegeu la nota al final).

La simplicitat del problema, un cop sabem l’angle entre D i E, és sorprenent, oi? De fet, ens sorprèn perquè tendim a pensar que som el centre del món i fins i tot de l’Univers, i que caminem ben drets i verticals. Però ho entendríem millor tot plegat si penséssim que la nostra vertical és tan vàlida com la dels habitants del Iemen o de Nova Zelanda, que el nostre planeta té una única direcció singular (la del seu eix E), i que aquesta direcció, comú a tothom, és la important.

Hi ha una segona dificultat, interessant i curiosa a la vegada: el nostre sistema cognitiu està molt més adaptat a pensar en termes de punts i distàncies que a imaginar direccions i angles. La prova és que ens és molt més fàcil fer una estimació de la distància entre dos punts del nostre poble o ciutat (per exemple, comptant els passos) que dir quina és la direcció d’un determinat carrer (definida pel seu angle respecte la direcció del nord) o bé fer una estimació de l’angle entre dos carrers que no siguin perpendiculars. Els vectors, que defineixen les direccions, són subtils i abstractes… I tot plegat és ben trist, perquè per explicar bé com està posada una cosa, hem de parlar forçosament de la seva posició i de la seva orientació (que implica direccions). Com explicaríeu, amb precisió i per carta o e-mail, les trajectòries del vol de les orenetes al capvespre a una persona llunyana?

Molts d’aquests conceptes i dels que surten a la nota del final són senzills i probablement haurien de formar part d’allò que anomenem “cultura general”. De fet penso que, si no som capaços de preveure el moviment del Sol, difícilment podrem entendre una cosa tan complicada com és el comportament de la gent que ens envolta. Perquè les matemàtiques i el raonament abstracte poden ser una bona eina per sortir del nostre castell egocèntric i per poder empatitzar amb els altres, siguin propers (els fills o néts adolescents, per exemple) o llunyans (els refugiats i la gent que viu en situacions de conflicte i violència). És bo saber que la nostra vertical no és millor que la dels que malviuen al Iemen o a la República Centreafricana. Qui camina de cap per avall: els que viuen a Nova Zelanda o nosaltres?

———

Per cert, la Sonia Khediri, italiana i empresonada per l’Estat Islàmic, explica que el seu marit es va negar a convertir-se en combatent de l’EI. “Si no lluitaves et mataven”, diu. Però finalment no el va matar l’Estat Islàmic, sino la coalició internacional amb un dron, perquè una nit es va deixar el wifi encès. Aquest és un dels “sofisticats algorismes intel·ligents” dels drons occidentals: els drons ataquen i maten la gent que usa wifi, perquè diuen que a Raqqa, només l’EI té wifi. Qui jutjarà els responsables de morts com aquesta?

———

NOTA: Hi ha dues maneres (dos algorismes) diferents per a trobar l’angle entre els vectors D i E. La primera és manual, i consisteix en materialitzar aquestes dues direccions amb dos fils o cordills. El primer, que ens defineix la direcció D, el fixem un punt F de la finestra i el punt P de la paret o del terra on volem saber si ens arribarà el Sol a l’hivern. El segon, que ens marcarà la direcció E de l’eix de la Terra, l’haurem de col·locar a la nit, probablement entre la branca d’algun arbre i una estaca clavada a terra, de manera que ens senyali la direcció a la estrella polar. En aquest cas, la dificultat la tindrem quan vulguem mesurar l’angle entre els dos cordills, perquè probablement un d’ells el tindrem dins de casa i l’altra, fora.

Si preferiu l’altra solució, necessitareu una plomada, una caixa gran de cartró o fusta, i una cinta mètrica. També us caldrà saber el migdia solar, que varia cada dia de l’any i és diferent segons el lloc on siguem. Però només heu d’anar a aquesta pàgina web, escriure el lloc on sou, i a baix a la dreta veureu que us diu l’hora del migdia solar. A més, farem servir coordenades cartesianes per definir els punts F, P i el vector D. Aquestes coordenades les va proposar en René Descartes, quan sembla que era al llit curant-se d’una grip i anava mirant el vol d’una mosca. En Descartes va veure que, si anava apuntant a cada moment la distància de la mosca a dues parets i al terra, aquests tres valors anaven determinant de manera exacta la posició de la mosca i per tant el seu moviment. Va ser una idea aparentment senzilla, però que va obrir la porta de la geometria analítica, que ara ens permet treballar numèricament amb els elements geomètrics. En record seu, parlem de coordenades cartesianes.

En definitiva, aquest és l’algorisme per determinar l’angle entre D i E:
1) Esperem al migdia solar i, amb l’ajut d’una plomada, marquem al terra la direcció nord, que és la direcció contrària a la de l’ombra del fil de la plomada. Aquesta serà la direcció de l’eix X del nostre sistema de coordenades.
2) Deixem una caixa al terra just al costat del fil de la plomada, de manera que una de les cantonades de la seva base segueixi la direcció nord i una altra marqui la direcció oest. La plomada ens senyalarà un dels vèrtexs de la caixa, que serà el nostre origen de coordenades, O. Guardem la plomada.
3) Ara ja tenim un sistema de coordenades cartesià, que ens queda definit per tres de les arestes de la caixa. La que va en direcció nord és l’eix X, la que mira a l’oest és l’eix Y, i la vertical que surt del mateix vèrtex de la caixa que els dos eixos anteriors, és l’eix Z. Les dues “parets de Descartes” són les cares verticals de la caixa que segueixen les direccions nord i oest.
4) En aquest sistema de coordenades, mesurem les coordenades (X,Y,Z) del punt F de la finestra i del punt P de la paret en els que hauríem fixat el cordill en el cas de la solució manual. Una manera fàcil de fer-ho és passar de 3D a 2D, marcant a terra els punts F1 i P1 que es troben just sota i a la vertical de F i P. Les distàncies entre F i P i els seus corresponents punts a terra són les coordenades Z, i les coordenades X, Y són les longituds dels rectangles que podem formar amb els punts F1 i O (o bé P1 i O) en diagonal.
5) Per a calcular els components del vector D només cal restar les coordenades de F menys les de P, i així obtenim uns primers components provisionals. Per exemple, el component provisional X de D és la coordenada X de F menys la coordenada X de P, i el mateix pel que fa als components provisionals Y i Z. Ara bé, un cop tenim el vector D, l’hem de normalitzar amb el teorema de Pitàgores: elevem al quadrat cada un dels seus components provisionals, sumem els tres valors, i calculem l’arrel quadrada d’aquest resultat, que li direm M. Finalment, dividim els tres components provisionals de D per M, i ara sí que tenim els components reals del vector unitari que defineix la direcció D.
6) D’altra banda, l’expressió del vector E és immediata, en aquest sistema de coordenades: el seu component X és el cosinus de L, el seu component Y és zero, i el component Z és el sinus de L, perquè la direcció de l’eix de la Terra mira al nord i només depèn de la longitud geogràfica del lloc on som.
7) El cosinus de l’angle entre els dos vectors unitaris D i E es calcula ara amb només tres multiplicacions i dues sumes, perquè és l’anomenat producte escalar entre D i E. Cal multiplicar els components X de D i E, sumar el resultat al producte dels components Y de D i E, i sumar el resultat de la primera suma amb el producte dels components Z de D i E. Ara, només cal preguntar a Google quin és l’angle que té aquest cosinus.

Finalment, cal observar que el raonament que fa que pugui resoldre el problema en base a veure si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, és ben senzill: Els raigs de Sol sempre arriben dins el pla de l’eclíptica, en una direcció que forma un angle amb E tal que al llarg de l’any varia entre 23,5 i -23,5. Per tant, per un determinat punt de la Terra de latitud L, l’angle entre D i E al llarg de l’any escombrarà tots els valors continguts entre L – 23,5 i L + 23,5 (si volem ser rigorosos haurem de dir que de fet, el Sol té un moviment aparent quasi helicoïdal de manera que l’angle entre D i E acaba recorrent un total de 365/2 trajectòries discretes entre L – 23,5 i L + 23,5; però això seria filar molt prim).

En el meu raonament, he aproximat l’angle entre l’equador i l’eclíptica, que és de 23 graus i 26 minuts, per 23,5 graus.

Em mullaré?

divendres, 15/06/2018

Plou. Vaig caminant i he oblidat el paraigua a casa, però porto barret. Em mullaré molt? Què és millor, caminar poc a poc o anar a més bon ritme?

Vaig en bici o en moto. Es posa a ploure. Quanta aigua rebrà la meva camisa durant els 300 metres que em falten per aixoplugar-me?

Val a dir que aquesta primavera ha estat un bona ocasió per pensar en problemes geomètrics relacionats amb la pluja…

Imaginem per un moment que no fa vent i que la pluja cau verticalment. Quanta aigua ens caurà damunt durant, per exemple, un minut? Si estem aturats, el nostre barret rebrà tota la pluja que es troba en el prisma vertical que tinc damunt meu (el prisma B de la imatge de sota, en la que el barret seria H). Aquest prisma B, que anomenaré prisma de pluja, té una alçada tal que conté totes les gotes que acabaran caient damunt meu durant 60 segons. Què passarà ara, quan comenci a caminar? Una manera senzilla d’entendre-ho és usar el concepte de moviment relatiu, que tan bé ens va explicar l’Albert Einstein quan va exposar la seva teoria de la relativitat especial (vegeu el meravellós llibre de divulgació que va escriure el mateix Einstein junt amb Leopold Infeld l’any 1939, o bé el llibre més recent d’en Brian Greene): l’aigua que rebrà el nostre barret si comencem a caminar a una determinada velocitat V, és la mateixa que si em quedo parat i la pluja cau amb un vent lateral de velocitat V. La física ens diu que en aquest cas, el prisma d’aigua s’inclina i passa a tenir la forma A de la imatge de baix. A i B tenen la mateixa alçada, l’únic que passa és que la base superior de A es desplaça endavant un espai igual a la velocitat V multiplicada pel temps (en el nostre cas, un minut). Ara bé, com que els dos prismes A i B tenen la mateixa base H i idèntica alçada, el càlcul geomètric del seu volum ens dona el mateix resultat. Conclusió: en un minut, i independentment del que jo faci, el meu barret rebrà la mateixa quantitat d’aigua.

Però, què li passa a la part de davant de la meva camisa? Si no em moc, em trobo en la situació D de la imatge de baix. Com que la camisa és quasi vertical (la represento per V), el seu prisma d’aigua, D, no té gruix i el seu volum és nul. Si no camino, el davant de la meva camisa quasi no es mullarà. I si ara començo a caminar, passaré de la situació D a la C, amb un prisma d’aigua de bases verticals (és fàcil deduir la seva forma pensant en la trajectòria de la gota que arriba a l’extrem superior de la base V al cap d’un minut, i tenint en compte que les trajectòries de totes les altres gotes que arribaran a V seran paral·leles i de la mateixa longitud). En aquest cas, el volum del prisma d’aigua és el producte de la seva base (àrea de V) per la seva alçada, que a la seva vegada és proporcional a la velocitat i al temps, o sigui, a l’espai que he caminat. Si camino lentament, en un minut la meva camisa o samarreta es mullarà molt menys que si em poso a córrer. Però com que l’alçada del prisma d’aigua és el producte de la velocitat pel temps i això és l’espai recorregut, el cert és que la part de davant de la meva roba, en el tros que em falta per arribar on vull anar, es mulla exactament el mateix tant si m’afanyo com si no.

Podríem també parlar d’inclinacions intermèdies com és el cas dels parabrises dels cotxes i motos, i veuríem que el resultat és un terme mig entre els dels casos H i V. Però de fet, si anem en bici o en moto, no ens volem entretenir en calcular volums de prismes d’aigua, i només volem protegir-nos, no hi ha cap secret: hem de tapar-nos sobretot pel davant i per damunt.

Si he de caminar 500 metres abans d’arribar a casa, el millor que puc fer (si no em vull esperar sota algun teulat) és anar ràpid: encara que la part de davant de la meva samarreta rebi la mateixa quantitat d’aigua, el meu barret ho agrairà, i a més, acabaré amb l’esquena pràcticament seca.

Si anem en cotxe i considerem un determinat interval de temps (per exemple un minut), quan plou, el sostre del cotxe rep la mateixa quantitat d’aigua, independentment de si estem parats, anem poc a poc o conduïm a gran velocitat. El parabrisa de davant, en canvi, sí que rep molta més aigua quan accelerem; però el del darrera, si anem ràpids, aviat deixarà de rebre aigua i romandrà sec. Tot plegat és fàcil d’entendre i de quantificar si usem els conceptes associats a la relativitat del moviment i calculem volums de prismes d’aigua.

——

Per cert, la Ida Dominijanni diu que perquè Europa faci un gir cal una esquerra europea que sigui capaç de fer-la girar. Diu que Europa ha d’entendre per fi que el neoliberalisme no és el seu destí, sinó una orientació política i econòmica que pot i ha de ser abandonada.

 

Gaia, els estels i nosaltres

divendres, 18/05/2018

Mireu-vos el dit índex amb el braç estès. Tanqueu primer un ull i després l’altre. Com és ben conegut, l’efecte de la paral·laxi fa que la posició del nostre dit en relació a la paret o al paisatge del fons sigui diferent en un i altre cas. La paral·laxi, aquest fenomen de canvi de posició relativa d’allò que és proper respecte el que és més llunyà, és el que va fer que l’evolució ens dissenyés amb dos ulls una mica separats per a que el cervell pogués triangular i percebre les distàncies.

La imatge d’aquí al costat ens mostra el mateix, però a escala planetària. La podeu veure a aquesta pàgina web. El fons d’estels és únic, però les quatre imatges de la lluna han estat preses (totes elles al mateix instant) des del Pol Nord (la de sota), del Pol Sud (la de dalt) i des de dos punts oposats de l’Equador (les del mig). Sabent el radi de la Terra i suposant que els estels del fons són molt més lluny, a partir d’aquesta imatge i amb una senzilla formula trigonomètrica és fàcil calcular la distància de la lluna a nosaltres.

La missió europea Gaia està fent el mateix però a escala més gran. La nau Gaia gira al voltant del Sol en una òrbita en el punt Lagrangià L2, a 1,5 milions de quilòmetres de la Terra. Un bon lloc amb un entorn de radiació baix i alta estabilitat tèrmica, que a més permet fotografiar els diferents estels de la Via Làctia des de dues posicions, en situacions oposades de l’òrbita terrestre i de la seva òrbita, separats uns 303 milions de quilòmetres. Encara que les fotos les fa en moments diferents de l’any i mentre va orbitant al voltant de la Terra, és com si Gaia tingués dos ulls separats més de 300 milions de quilòmetres. És cert que això tampoc és tan nou, i que Bessel, l’any 1838, ja va descobrir la paral·laxi basada en l’òrbita de la Terra era una bona manera de calcular la nostra distància als estels més propers. L’interessant de la nau Gaia són moltes més coses, de les quals voldria fer èmfasi en dues. El telescopi de Gaia pot mesurar les paral·laxis dels estels de magnitud entre 3 i 13 amb una precisió rècord de 6,7 milionèsimes de segon d’arc. En paraules més planeres, podria distingir una moneda d’un euro a la superfície de la Lluna. Increïble, oi? Per aconseguir-ho, li cal un grau extrem d’estabilitat i poder fer fotografies sense cap pertorbació per part de la Terra, de la seva atmosfera i del Sol. Gaia utilitza sistemes de micro-propulsió amb gas fred, molt sofisticats, per mantenir els telescopis girant a un ritme constant i garantir la precisió requerida. D’altra banda, Gaia usa informació altament redundant. Durant 5 anys ha observat més de mil milions d’estels, obtenint 70 unes fotos de cada un d’ells. Això equival a haver fotografiat una mitjana de 70 milions d’objectes cada dia, amb uns 40 GigaBytes d’informació diaris que ens va enviant. Total: 73 TeraBytes d’informació.

El resultat és un nou mapa galàctic tridimensional que conté les posicions de 1.700 milions d’estels juntament amb les posicions, moviment i característiques lumíniques de 1.300 milions d’estels de la Via Làctia. Tota la informació és a la web de la ESA. Són les dades recollides al llarg de 22 mesos de funcionament. L’actual mapa galàctic supera àmpliament, en nombre d’estels i precisió, el catàleg anterior, que només tenia dos milions d’estels. Gaia té tres metres i mig d’amplada, si no comptem el para-sol de 10 metres. El seu sensor, de tecnologia CCD com de les nostres càmeres digitals, és de mil milions de píxels amb una superfície total de 0,38 metres quadrats.

Aquí podeu veure el mapa de la ESA amb els 1.700 milions d’estels. I aquest és el vídeo d’un viatge imaginari que surt del nostre planeta i que s’allunya fins veure una bona perspectiva de tota la nostra galàxia, la Via Làctia. El vídeo mostra simultàniament les primeres dades enviades per Gaia (a l’esquerra) i les que ara tenim, molt més completes, a la dreta. El viatge comença mirant enrere cap al Sol, allunyant-se, i viatjant entre estels fins sortir de la galàxia.

Tal vegada aquest vídeo ens pugui ajudar una mica a entendre la nostra essència ínfima i efímera, a fer un somriure escèptic quan escoltem i llegim les vanes pretensions dels qui es creuen poderosos, i a exigir-los que respectin els drets i la dignitat de tots els altres, ara i aquí.

Per cert, l’Emilio Lledó diu que, estudiant la literatura grega, va descobrir que la felicitat era inicialment “tenir més”, tenir terres, cases, esclaus, àmfores, vestits. Tot això servia per assegurar la sempre fràgil i inestable existència: el “benestar” era absència d’angoixa i preocupació pel “bentenir”. Més tard, amb les paraules que van poder descobrir i descriure un univers més abstracte, el “benestar” es va transformar en “benser”, amb descripcions de l’equilibri, la sensatesa i l’alegria que surt dels territoris inescrutats del Jo. Però l’Emilio Lledó diu que el sentiment d’equilibri i assossec interior està contínuament amenaçat, i que la felicitat és impossible si la mirada descobreix la malaltia social i la corrupció que destrueix la vida col·lectiva.

L’electricitat a Vaishali

divendres, 20/04/2018

Dels 1.300 milions de persones del món que no tenien accés a l’electricitat segons dades del 2011, uns 300 milions es trobaven a l’Índia, que és el país amb més persones sense electricitat. La situació d’accés a l’electricitat varia significativament a tota l’Índia, que és un país gran i divers. En alguns estats la taxa de connexió elèctrica és superior al 99%, almenys oficialment. Però en altres províncies la situació és molt pitjor. Bihar, l’estat que inclou Vaishali al nord-est de l’Índia, té 83 milions de residents, i només el 16% utilitza l’electricitat com a font primària de llum, també segons dades del cens de 2011. A més, molts dels que tenen connexió a la xarxa sofreixen mala qualitat de servei, amb només unes poques hores al dia d’electricitat i no necessàriament tots els dies.

Dit d’una altra manera, a Bihar hi ha 70 milions de persones sense llum elèctrica. I al seu districte de Vaishali, on viuen 3,495,021 persones en unes 600 mil cases, quasi totes (un 93%) en zones rurals aïllades, hi ha quasi mig milió de cases sense llum elèctrica, com bé explica en Douglas Ellman.

El problema, gegantí, és com portar l’electricitat a aquests 48 milions de persones de Bihar i, en concret, al mig milió de cases aïllades de Vaishali que no en tenen. Un amic, l’Ignacio, que porta aquest projecte conjunt entre el MIT i la universitat de Comillas, em parlava fa poc de les solucions, molt efectives, que comencen a aparèixer. Em comentava l’enuig de la gent que encara no té llum en una zona plena de cables penjats i trencats que han quedat com a testimonis del fracàs i l’engany després de molts intents de resoldre el problema. I em deia que la solució passa per canviar de verb: no s’ha de parlar de portar, sino de tenir accès. Perquè la millor manera d’electrificar moltes zones del món no són les grans xarxes de distribució, sino les micro-xarxes locals. És el que analitza el MIT en aquest projecte innovador que estan aplicant justament a Vaishali i a altres regions de Ruanda, Uganda i Kènia. El projecte analitza, cas per cas, les seves condicions particulars (demanda dels consumidors, orografia del terreny, qualitat desitjada en el servei, màxim de dièsel que es vol consumir) i fa una proposta en base a un algorisme d’optimització que acaba oferint la millor estructura possible de micro-xarxes per la regió concreta en estudi.

Val a dir, però, que una cosa és electrificar les zones rurals de la Índia, Uganda o Kènia, i una altra és resoldre el problema de la injustícia energètica al món. Només una dada: es preveu que el consum mitjà d’energia elèctrica per usuari a Vaishali serà de 19 watts, i que el seu consum màxim, en alguns moments, podria arribar als 92 watts. Són gent que acabaran tenint electricitat a casa seva però que no podran tenir rentadora de roba, com bé ens explicava el malaurat Hans Rosling.

La imatge de dalt és de la pàgina web del projecte del MIT que estic comentant.

Hi ha un vellet que es diu Mallaiah Tokala. És el patriarca de la vila de Appapur, a l’estat de Telangana. En el front porta el vibhuti, el daub sagrat de la cendra blanca. No està segur de la seva edat exacta, però té més de 90 anys. Ha viscut en aquest poble tota la seva vida. En Mallaiah va viure l’assassinat de Rajiv Gandhi. I ara ha viscut el temps suficient per presenciar l’arribada de l’electricitat a Appapur, en forma de llums, televisors solars i ràdios. En Richard Martin ens explica que a la paret de la seva barraca, hi ha una sola bombeta LED que brilla suaument, connectada a través del sostre a un cable negre que ve d’un panell solar de 100 watts a la teulada d’una casa de formigó propera. Appapur és un “poble solar”, un dels aparadors dels projectes per portar energia solar a pobles petits i no electrificats a l’Índia.

——

Per cert, en Bru Rovira explica que ja fa cinc anys que els exèrcits de l’anomenada “comunitat internacional” estan assentats a Mali. I ara, des de fa dos mesos, Espanya dirigeix el comandament de les tropes que la Unió Europea té desplegades a Mali. Tècnicament, diu, estem en guerra.

La corretjola, la dreta i l’esquerra

divendres, 30/03/2018

Aquests dies he rellegit la increïble descripció que va fer en Martin Gardner, fa més de 50 anys, de les simetries de l’Univers. En el seu llibre, Gardner ens porta per un sorprenent camí que surt de la constatació de la nostra pròpia forma (per què som quasi-simètrics en el sentit dreta-esquerra però no en el sentit davant-darrera?), passa pels daus, per les plantes enfiladisses i per la bioquímica, s’atura al nostre ADN i acaba intentant entendre les partícules elementals i la anti-matèria.

Shakespeare, al somni d’una nit d’estiu, posa aquesta frase en boca de la reina Titània: “dorm, i jo t’envoltaré amb els meus braços, com la corretjola abraça el lligabosc”. L’abraçada entre la corretjola o campaneta i el lligabosc o xuclamel és poètica i enigmàtica perquè aquestes dues plantes no són simètriques en el sentit dreta-esquerra com ho poden ser els rosers o els podocarps. La corretjola i el lligabosc, s’enfilen tot enredant-se, i ho fan com una escala de cargol. Amb una diferència: l’hèlix que forma la corretjola és la imatge al mirall de la crea el lligabosc quan s’enfila, i això és el que crea l’abraçada que va captivar Shakespeare. No hi ha manera, al nostre espai 3D, de poder superposar les dues escales de cargol de la campaneta i el xuclamel. Són com les nostres mans dreta i esquerra.

La natura ens mostra molts exemples semblants al de l’abraçada entre les campanetes i el lligabosc. En el cas dels àcids tartàric i racèmic o en el cas de sucres com la glucosa i la fructosa, trobem molècules enantiomorfes (com les nostres mans), que només podríem fer coincidir si les giréssim en un espai de 4 dimensions. Però tenim un cas molt més proper: el del nostre ADN. Mireu la imatge de dalt, que he modificat a partir de la que podeu trobar en aquesta web. La forma de l’ADN que ens ha conformat, és la d’una hèlix que gira en sentit contrari de les agulles del rellotge, com la de la corretjola o campaneta, però no com la del lligabosc. És la forma que veieu a la part esquerra de la imatge. La de la part dreta seria la d’un pseudo-ADN que no existeix. La vida, als seus inicis, va haver d’escollir entre l’hèlix de la corretjola i la del lligabosc i, de fet, l’estructura de l’àtom de carboni permet la una i l’altra sense cap tipus de preferència. Probablement per atzar, l’ADN va adoptar la forma de la primera, i ara tots portem dins nostre la hèlix que es cargola, si la mirem des de dalt, en sentit anti-horari. Però hagués pogut passar el contrari. I podem afirmar, amb altíssima probabilitat, que en algun dels altres racons de l’Univers on segurament hi ha vida, les estructures biològiques que hi podríem trobar (fruit de la meravellosa estructura de l’àtom de carboni que permet els dos tipus d’hèlix) veuríem que es basen en estructures helicoïdals que són simètriques respecte a la del nostre ADN.

La democràcia i el món que la ONU planteja per d’aquí a 12 anys, són bastant simètrics. Però l’organització actual de la societat, basada en el poder i els negocis més que en la gent, malauradament no ho és. Que ho preguntin als que estan a la presó per les seves idees, o als que no tenen prou diners per arribar a finals de mes…

——

Per cert, en Javier Pérez Royo diu que en la tasca instructora del jutge Pablo Llarena respecte del delicte de rebel·lió, hi ha un exemple paradigmàtic de transformació d’un procés penal en un procés polític, perquè no és la persecució del delicte realment comès el que es pretén, sinó que es busca la liquidació d’una opció política mitjançant l’atribució d’un delicte que només existeix en la imaginació del jutge.

La geometria de l’ordre

divendres, 23/03/2018

Anem per una carretera o camí, en un trajecte tranquil perquè volem gaudir del paisatge. Durant el trajecte, anem passant pobles. No us dic res de nou si afirmo que podem ordenar els pobles en base a quan els anem veient. Sortim del primer poble, en passem uns quants, i arribem al darrer, que és el nostre destí.

Aquest ordre, però, desapareix quan mirem els pobles al mapa, perquè ara hi ha moltíssimes maneres d’ordenar-los. Els podem ordenar per la seva latitud geogràfica, per la seva alçada sobre el nivell del mar, per la seva proximitat al mar o a una determinada ciutat, i per moltes altres variables no geogràfiques com la seva població o el nombre de bancs per seure. En les dues dimensions d’un mapa no hi ha cap ordre objectiu; en canvi, aquest ordre apareix quan caminem o anem en cotxe: les carreteres i camins ordenen els pobles. De fet, la geometria ens ho explica ben clar: tot allò que és representable al llarg d’una línia (com els pobles al llarg d’un camí o les baules en una cadena) és ordenable, mentre que allò que trobem en espais 2D, 3D o de n dimensions, és intrínsecament no ordenable. Podem ordenar-ho, és clar, però per a fer-ho ens cal afegir criteris que són extrínsecs respecte la seva posició. Aquesta multiplicitat d’ordenacions té però els seus avantatges: l’ajuntament d’un determinat poble sempre podrà trobar un criteri adient tal que, quan l’apliquin, el poble quedi el primer en l’ordenació de tots els de la seva regió o comarca. I aquí és on surten també algunes dificultats, perquè tothom acaba sent el primer en alguna cosa.

Pensem en un altre exemple. M’agradaria llogar una caseta a un poble, però no sé si tindré prou Sol a la terrassa, a l’hivern. El problema és que hi ha altres cases que no sé si em faran ombra. I la solució no és evident, perquè el problema és 3D (la posició del Sol al llarg de l’any ho és) i com acabem de veure, en aquest cas no hi ha cap ordenació intrínseca. Doncs bé, hi ha una solució elegant que ens va donar, ara fa 38 anys, l’equip d’en Henry Fuchs: podem construir un arbre de partició binària de l’espai. Perquè els arbres de partició binària de l’espai (vegeu la nota al final) estructuren la informació, sigui 2D, 3D o nD, de tal manera que contenen, de manera implícita, una infinitat de possibles ordenacions. Segons com els “llegim”, aquests arbres ens donen una ordenació o una altra. Són pots d’ordenació condensada multidimensional, estructures que ens guarden la geometria de l’ordre a l’espai. La seva bellesa, al meu entendre, és una mostra més de la poesia de l?univers.

———

Per cert, en Josep Ramoneda, parlant de les penes que demana la fiscalia Italiana als càrrecs de l’ONG Open Arms, diu que mai ningú pot ser reprimit per ajudar qui es troba en perill, i que en una societat democràtica la llei té un límit, que són els drets fonamentals de les persones. Diu també que quan aquests drets es violen, la democràcia es degrada, i que estem veient com Europa s’enfonsa al mar, per a més glòria del despotisme. Quan ho llegeixo, penso que a Europa han desaparegut l’ordre i la seva geometria.

———

NOTA: La partició binària de l’espai binari (BSP) és una manera d’estructurar un determinat espai inicial convex (per exemple, una regió cúbica) que es basa en subdividir-lo recursivament en subconjunts convexos en base a plans. Aquesta subdivisió dóna lloc a una representació dels objectes dins de l’espai basada en una estructura de dades d’arbre anomenada arbre BSP. Després d’una idea inicial de Schumacker i els seus col·laboradors l’any 1969, la proposta dels arbres BSP va ser formulada i desenvolupada en detall a partir de l’any 1980 per Henry Fuchs i els seus estudiants.

La idea és ben simple. Pensem en l’exemple de les cases i les ombres. Comencem amb una regió inicial que pot ser una capsa imaginària (convexa) que contingui, en 3D, el conjunt de totes les cases que volem estudiar. Escollim una façana d’un dels edificis més o menys centrats a la capsa inicial, i designem el seu pla P com a primer pla discriminant. Aquest pla separa i classifica totes les cases en dos grups: les que es troben a la part de davant del pla (en direcció cap enfora de la façana que ha donat lloc a aquest pla P) i aquelles que són a la seva banda del darrera. Pot donar-se el cas, és clar, que alguna casa no quedi ni al seu davant ni al darrera, sino que quedi tallada per P. En aquest cas, dividirem la casa en dues parts de manera que cada una d’elles quedi ben classificada, davant o darrera de P (de fet, una de les coses que ha de tenir en compte l’algorisme que escull el pla discriminant P, a més de subdividir el conjunt de cases en dos subconjunts acceptablement equilibrats, és el d’intentar que talli el menor nombre possible d’altres cases – en base a heurístiques que prioritzin les façanes de carrers llargs i rectes, per exemple -). Un cop hem trobat el pla discriminant P, el conjunt inicial de cases ens haurà quedat classificat en dos subconjunts: el de les que són davant de P i el de les que són al seu darrera. I cada un d’aquests dos subconjunts correspon a una regió convexa de l’espai, sub-regions R1 i R2 que provenen del fet de tallar, amb el pla P, la capsa convexa inicial. A partir d’ara, l’algorisme continua tractant, per separat, cada una d’aquestes dues sub-regions, fent-hi el mateix: cerca del pla discriminant i subdivisió del conjunt de cases entre les que són al seu davant i les que es troben al seu darrera. Per a R1, trobarà un pla P1 que la dividirà en dues sub-regions R11 i R12.  Per a R2, trobarà un pla P2 que la dividirà en dues sub-regions R21 i R22. Evidentment, P1 només actua dins de R1 i P2 només ho fa dins de R2. El procés es repeteix fins que a cada regió només hi hagi, per exemple, una casa.

L’interessant d’aquesta subdivisió recursiva de l’espai és que estructura la informació, permet la seva classificació, l’agrupa, és vàlida en 2D, en 3D i en qualsevol espai de dimensió superior nD, i a més incorpora de manera automàtica una infinitat de possibles ordenacions posteriors. Podem estructurar i organitzar a l’espai els pobles d’una comarca, les regions del cervell d’una persona o informació multidimensional d’una comarca que incorpori dades geogràfiques i de població, riquesa, salut i altres. Tot queda representat en regions polièdriques convexes que podem accedir de manera trivial tot movent-nos per un arbre de plans discriminants.

Tornem a l’exemple de les cases el Sol, les façanes i les ombres. Tindré sol a la terrassa d’aquella casa que m’agrada, el dia 10 de gener a les 4 de la tarda? L’únic que he de fer és calcular la posició (de fet, parlant amb propietat, el que he de calcular és el vector que defineix l’orientació) del Sol aquest dia a aquesta hora. Un cop sé on serà el Sol en aquest moment, comparo la seva posició amb el primer pla discriminant P. Si diem PS a la banda de P on és el Sol, i PN a l’altra banda, és evident que les cases de PS poden fer ombra a les de de PN, però que, en canvi, cap casa de PN pot fer ombra a les cases de PS. Si separo les cases en dos grups i poso primer les de PN i després les de PS, ja he fet un primer pas cap a l’ordre. L’únic que he de fer ara és repetir el procés amb els plans discriminants de PN i de PS: miro on és el Sol en relació a aquests plans i separo les cases, deixant primer les que queden separades del Sol pel pla i després les altres. Al final, aquest algorisme m’haurà generat un ordre parcial (anomenat també topològic) de manera que la primera casa en aquesta llista final ordenada pot tenir ombra de qualsevol de les altres, mentre que la darrera segur que no té ombres; per a qualsevol casa del mig de la llista, les d’abans no li poden fer ombra però les posteriors, sí. L’interessant de tot plegat és que l’ordre que obtenim depèn de la posició del Sol. L’arbre conté tots els ordres possibles de manera implícita, per a totes les possibles posicions del Sol al llarg de l’any, de manera que permet que els càlculs d’ombres siguin més eficients i ràpids.

Allò que és geomètric

divendres, 9/03/2018

Què és geomètric, i què no ho és? Si poseu “pintura geomètrica” en un cercador, us trobarà, a la web, fotos com la de dalt de la imatge, que tots veiem com una composició geomètrica. És un conjunt simple, format per superposició de figures quasi-rectangulars de diversos colors. Jo diria que la seva característica fonamental no és el fet de ser geomètric, sino la seva bidimensionalitat.

Mireu en canvi el quadre de baix, d’Edward Hopper, que és un exemple paradigmàtic del caràcter geomètric tridimensional de tot el que ens envolta. Hi podem veure les ombres degudes a l’orientació local de la superfície del terreny, que permeten deduir la posició del Sol, dalt a l’esquerra però no molt alta; les siluetes (aquells punts amb vector normal perpendicular a la direcció que els connectava amb l’ull de Hopper), les curvatures i plecs del terreny, les zones de curvatura Gaussiana positiva o negativa, algunes zones localment desenvolupables i fins i tot planes… Poca cosa es pot dir del caràcter geomètric del quadre de dalt, mentre que es podria escriure tot un llibre sobre la poesia que traspua l’obra de Hopper.

Hi ha un fet cultural força trist: no estem gaire preparats per a gaudir de la bellesa de les formes 3D, excepte, això sí, les humanes. Si ens demanen que mostrem alguna cosa geomètrica, és força probable que agafem un llapis i fem un dibuix 2D amb traços rectes i uns quants angles. Deu ser per això que els escultors són més escassos que els pintors i dibuixants.

Al món i la natura hi ha molt poques rectes. La geometria, aquesta ciència de la mesura del món que hem creat, ha de tenir eines per estudiar i entendre totes les formes corbades que ens envolten. La separació entre corbes i rectes és la que distingeix el món natural de l’artificial, perquè les rectes les vam inventar els humans. Van ser les rectes dels temples inques, egipcis, maies i babilònics, les que van inspirar Euclides quan, en un exercici d’abstracció, les va imaginar com continuació infinita del camí més curt que uneix dos punts donats.

I no es por parlar de geometria, de la geometria de veritat del món natural, sense parlar de Carl Friedrich Gauss. Gauss va ser un geni. Es diu que, als tres anys, va corregir un error en els càlculs financers del seu pare. I als set anys, a l’escola, va descobrir la formula per a calcular la suma d’una progressió aritmètica. De jove, mentre feia de cartògraf, va crear i escriure tota la disciplina que ara es coneix amb el nom de geometria diferencial, junt amb el concepte de curvatura de Gauss que porta el seu nom. El seu descobriment que les característiques de curvatura d’una superfície es poden deduir de manera completa només mesurant angles i distàncies i sense “mirar-la des de fora” és el que ara ens permet validar experimentalment la curvatura de l’espai que va plantejar Einstein a la seva teoria de la relativitat general, i la que ens ajuda a gaudir de tots els matisos corbats quan mirem el meravellós quadre de Hopper.

Tot és geometria. La nostra realitat geomètrica, tan similar a la dels altres animals, ens ajuda a entendre que som natura i que som geometria. Tenim una forma exterior quasi-simètrica, amb un pla de simetria que separa dreta i esquerra que fa que les nostres mans, en lloc de idèntiques, siguin enantiomorfes. La similitud en la disposició dels nucleòtids al llarg de l’hèlix de l’ADN (tot un prodigi geomètric absolutament tridimensional) fa que tots els humans siguem essencialment similars, i ens explica, com molt bé va fer Albert Einstein, que totes les persones que habitem el món som iguals pel que fa als nostres drets. Acabo amb tres frases que se li atribueixen: “Hi ha dues maneres de mirar la vida: creure que els miracles no existeixen o creure que tot és un miracle”, “El meu ideal polític és la democràcia. Que es respecti tothom com a individu i cap persona sigui idolatrada”, i “La paraula progrés no té cap sentit mentre hi hagi nens infeliços”.

Per cert, avui acabo amb una imatge (geomètrica, també), en comptes d’una cita: