Arxiu de la categoria ‘Algorismes i geometría’

Els grecs i l’abstracció

divendres, 11/01/2019

Tenim una paret, com la que conté els punts A i C de la imatge. I ara, volem construir una segona paret a partir del seu punt final A, de manera tal que aquest segon tram formi angle recte amb la paret original A-C.

Si el terreny és pla, podem determinar la direcció de la segona paret amb un mètode, poc conegut, que només requereix disposar d’una corda i quatre estaques: clavem una primera estaca a A, lliguem una segona estaca al final de la corda, la tibem, i clavem aquesta nova estaca en el punt B (tot mirant que la distància de B a la paret A-C sigui menor que la llargada de la corda). Desclavem A i, mantenint l’extrem de la corda a B, anem girant i marcant al terra el cercle vermell de la imatge. Tornem a deixar A al seu lloc inicial, i a més, clavem la tercera estaca C a la intersecció entre el cercle i la paret. Finalment, mirant el punt B des de C, posem la darrera estaca D en el punt del cercle que veiem alineat amb B i C. Amb aquest algorisme d’estaca i corda, podem garantir que la direció entre A i D forma angle recte amb la paret original. Només cal anar fent paret des de A en direcció cap a D.

El que acabem de veure és una recepta pràctica (un algorisme) per a resoldre el problema, molt habitual en el camp de la construcció, de fer cantonades en angle recte. Les receptes matemàtiques per a resoldre determinats problemes no són cap novetat, però. Els egipcis i els babilonis ja en tenien fa 3.800 anys, i les feien servir en molts moments de la seva vida quotidiana que anaven des del càlcul d’impostos a la construcció de temples i ciutats passant per operacions comercials. Val a dir que coneixem la matemàtica babilònica gràcies a les més de 400 tauletes d’argila que els arqueòlegs han anat trobant des de mitjans del segle XIX. Són tauletes que donen solucions funcionals a problemes concrets, amb recursos matemàtics força sofisticats com fraccions, equacions quadràtiques i cúbiques i ternes d’enters que cumpleixen el teorema de Pitàgores. És força impressionant, si pensem que estem parlant bàsicament del periode comprès entre el 1800 a.C. i el 1600 a.C.

La civilització babilònica va acabar amb la caiguda del seu imperi, l’any 539 a.C., poc després de la mort de Tales de Milet l’any 546 a.C. I alguna cosa molt gran va passar en aquelles dècades del segle VI abans de Crist, entre la joventut de Tales (cap al 600 a.C.) i la seva mort. Perquè aquells anys, de la mà de Tales i altres pensadors que han caigut en l’oblit, els grecs van descobrir l’abstracció matemàtica i van començar a crear demostracions i teoremes. Hereus del coneixement matemàtic dels babilonis i egipcis, els grecs van fer el gran salt.

De fet, cal dir que s’ha perdut tot el que va escriure Tales de Milet (que va viure aproximadament entre el 623 a.C. i el 546 a.C.). En sabem d’ell per alguns relats d’Aristòtil així com pel llibre dels Elements d’Euclides, que cita les seves troballes en el camp de la matemàtica i de la geometría. Gràcies a Euclides sabem que fa més de 2500 anys, un dels 7 savis de Grècia, Tales, va deixar de pensar en com resoldre problemes concrets i va demostrar teoremes que, a més de resoldre problemes, ajudaven a entendre les lleis amagades de l’univers.

El que va demostrar Tales de Milet és que, donat qualsevol cercle, si considerem dos punts qualsevols diametralment oposats com poden ser els C i D de la imatge de dalt, per qualsevol altre punt A del cercle, l’angle entre A-C i A-D és recte. Ho podeu veure clarament en aquesta animació de Wikimèdia. És l’anomenat teorema de Tales, que és considerat el primer teorema de la història de la humanitat. La demostració, molt elegant, la teniu a la nota al final. Tot deriva d’una cadena d’afirmacions lògiques, cada una basada en l’anterior i que comencen en ben pocs axiomes, com bé sabem gràcies a Euclides. I acaba en un resultat absolutament general i abstracte que és cert per a tot cercle, per a tota parella de punts diametralment oposats, i per a tot altre punt A. Tres “per a tot” que ens mostren la indiscutible bellesa del descobriment de Tales. Perquè, com diuen, els teoremes formen part de les poques veritats eternes que els humans anem descobrint.

El teorema de Tales és d’una elegancia indiscutible. Només pensant i a partir d’uns quants axiomes (tal com ho va formalitzar Euclides dos segles després), va descobrir una llei que relacionava els angles rectes dels quadrats i rectangles amb la uniforme perfecció dels cercles. Podem tenir dubtes de si Euclides va atribuir a Tales alguns descobriments que tal vegada no eren seus, Però el que sí és clar és que al segle VII a.C. no hi ha proves de l’existència de raonament abstracte, i en canvi quan es van escriure els Elemants al segle III a.C., l’abstracció matemàtica estava totalment consolidada. La revolució de l’abstracció va ser obra dels grecs. El pensament matemàtic abstracte, els axiomes, les demostracions i els teoremes, són regals que ens van fer els grecs, justament (i no és casualitat) mentre anaven creant la filosofía.

Per cert, la imatge de satèlit de dalt mostra les terrasses de pedra seca de Cadaqués en el punt de coordenades (42,287682, 3,26407) pel que fa a latitud i longitud.

——

Per cert, en Joseph Stiglitz parla del “green new deal” dels EEUU, i diu que si no abordem ara els reptes que presenta el canvi climàtic, la càrrega que haurà de suportar la pròxima generació serà enorme. Diu que val més deixar una herència de deutes financers, que d’alguna manera podem gestionar, que no pas enfrontar els nostres fills a un possible desastre mediambiental impossible de gestionar. I de fet, una de les coses que alguns proposen per a tenir ingressos en el “green new deal”, és la d’encongir el complex militar-industrial reduint la despesa militar en un 50%, tancant a més les bases militars dels EUA al voltant del món i creant una nova ronda d’iniciatives de desarmament nuclear.

——

NOTA: El teorema de Tales diu que en qualsevol cercle, si tenim dos punts C i D diametralment oposats, per qualsevol altre punt A de la vora del cercle es compleix que l’angle CAD amb vèrtex A és recte (utilitzo la notació clàssica pels angles, amb tres punts on el vèrtex és el punt del mig). En altres paraules, ens diu que A-C és sempre perpendicular a A-D. Tales ho va demostrar dibuixant el segment que uneix A amb B, i analitzant els triangles ABC i ABD. El primer que va constatar és que tos dos triangles són isòsceles, perquè la longitud dels tres costats A-B, B-C i B-D és idèntica i igual al radi del cercle. Per tant, l’angle ACB és igual a l’angle CAB; l’anomenaré alfa. De la mateixa manera, l’angle BAD és igual a l’angle BDA; l’anomenaré beta. Ara, imaginem que dibuixo una recta paral·lela a C-D que passi pel punt A. Marquem-hi dos punts: C’ a la banda de C, i D’ a la banda de D. L’angle C’AC és igual al ACB, i el D’AD és igual a l’angle BDA, perquè aquesta és la propietat que compleixen les parelles d’angles alterns interns, com bé ens va explicar Euclides. Ara, només cal mirar els angles al voltant de A i veure que les 5 direccions C’-A, C-A, B-A, D-A i D’-A inclouen 4 angles que han de sumar 180 graus perquè C’-A és oposada a D’-A. Per tant, 2*alfa + 2*beta = 180. I d’aquí, Tales va concloure que l’angle CAD = alfa + beta = 90. El seu resultat va ser, és i serà vàlid per qualsevol cercle i per qualsevol posició del punt A. És general, abstracte i perpetu.

El dia de les ombres allargades

dijous, 27/12/2018

A Vilassar de Mar, al migdia, l’alçada màxima del Sol sobre l’horitzó és de 65 graus el dia 21 de juny, mentre que el 21 de desembre només és de 18 graus. Però si volem saber aquests valors per al lloc on vivim, només hem de conèixer el valor de la nostra latitud (a Vilassar és de 41,5 graus) i sumar-li i restar-li l’angle d’inclinació de l’eix de la Terra que com sabem és de 23,5 graus.

Al solstici d’hivern, el Sol només arriba als 18 graus d’alçada. Molt poc, oi? Fred, foscor, ombres allargades, la vida vegetal que s’atura per manca de llum solar. És el presagi de l’hivern que vindrà per acumulació de dies i setmanes en les que el Sol escalfa més l’hemisferi sud que el nord.

Però de fet, i com hem anat sabent a partir de Copèrnic, el causant dels solsticis no és el Sol, sino el nostre planeta, que té un moviment de rotació que no lliga amb la seva òrbita al voltant del Sol. La imatge (aquesta) d’aquesta pàgina web ho explica ben clar i mostra un fenomen que és menys conegut del que ens pensem: la direcció de l’eix de la Terra, en relació als estels llunyans, no canvia al llarg de l’any (el cert és que sí que canvia una mica, perquè l’eix de la Terra descriu un moviment de precessió com el d’una baldufa, que li fa completar una oscil·lació cada 25 mil anys; però en la nostra escala de temps, podem considerar-lo totalment estable i constant). I l’eix de rotació no pot canviar durant els mesos de l’any perquè les lleis de la dinàmica de Newton ho impedeixen (vegeu la nota al final).

El solstici d’hivern sol ser el 21 o el 22 de desembre, segons l’any. Ara bé, de fet i parlant correctament, el solstici no és un dia: és un instant. Hi ha qui ens explica que el solstici d’hivern es produeix quan l’eix de la Terra està inclinat de manera que el pol nord es troba totalment a la banda contrària del Sol, en relació al centre de la Terra. Però crec que és més fàcil d’entendre-ho si ens ajudem amb un pla i dues rectes. Si ho voleu explicar als nens, comenceu per agafar un full de paper, que representarà el pla de la nostra òrbita (l’anomenat pla de l’eclíptica). Marqueu el Sol al centre i dibuixeu un cercle que indicarà l’òrbita de la Terra (és el·líptica però la podem aproximar per un cercle). Ara, travesseu el paper amb un llapis A, perpendicular al paper, justament pel punt on heu marcat la posició del Sol. I, amb un altre llapis B inclinat respecte el primer que representarà l’eix de la Terra com podeu veure a la imatge d’abans, aneu recorrent l’òrbita. La Terra gira cada dia al voltant de B i una vegada cada any al voltant de A sense modificar mai la direcció del seu eix B. Imagineu ara les rectes rA i rB que allarguen els llapis A i B fins l’infinit per les seves dues bandes. Veureu que aquestes rectes rA i rB es tallen només dues vegades al llarg de l’any, en dos punts oposats de l’òrbita de la Terra, mentre que tota la resta de l’any no es toquen. Aquests dos instants màgics en els que rA i rB es tallen, són els solsticis d’estiu i hivern.

No hem de confondre els solsticis amb el periheli i afeli, punts de l’òrbita en què la Terra es troba el més propera possible del Sol i el més allunyada possible del Sol, respectivament. De fet, la Terra a l’hivern és més a prop del Sol que a l’estiu. Aquest any, el periheli serà el dia 3 de gener, 13 dies després del solstici d’hivern. Les estacions no depenen de la distància al Sol sino de la inclinació de l’eix de la Terra.

I, parlant de plans, tot plegat es torna menys antropocèntric a mesura que ens allunyem del sistema solar. Perquè el pla de l’eclíptica és bastant arbitrari. Es va anar concretant durant tot el lent procès en el qual la matèria va anar quedant atrapada per l’atracció solar, i és força coincident amb el pla de les òrbites dels altres planetes. Però és ben diferent del pla de la nostra galàxia, com podeu veure en aquest vídeo. El pla principal de la Via Làctia, aquest pla P que el Sol orbita cada 230 milions d’anys, és un altre pla de referència que ens és desconegut i llunyà, encara que no deixa de ser bonic pensar que el Sol, des de l’aparició dels dinosaures fins ara, hi ha donat justament tota una volta, passejant per P la vida que anava creixent al nostre planeta. Encara que no hi pensem gaire, som ciutadans insignificants que vivim prop del pla principal de la Via Làctia.

Tot i que, ben pensat, per què diem que la Terra, des de l’espai, es veu amb l’hemisferi nord a dalt? Veient la inclinació del pla principal de la Via Làctia respecte l’eclíptica (i pensant en l’orientació de totes les demés galàxies) és clar que hi ha infinits possibles observadors, i que la Terra “es pot veure” amb el pol nord a dalt o amb el pol nord a sota. És per això que m’agrada capgirar les boles del món dels meus amics i deixar-les com la que veieu a la imatge de dalt, de manera que Àfrica i els països del sud quedin més rellevants. La bola del món de la imatge, en una posició que correspon més o menys al solstici d’hivern i on nosaltres som quasi a sota del tot, és tan vàlida i correcta com totes les que trobareu a les botigues. Mirar-la, fa pensar.

Diuen que els humans ens tornem violents quan tenim por, però també quan veiem coses que no entenem. Perquè la ignorància, que es pot intentar abordar amb una anàlisi científica dels fets, també ens porta malauradament als mites, als dogmes, a la veritat que creiem que només tenim nosaltres, i a la violència contra “els altres”. Només cal mirar el cas d’en Giordano Bruno o el judici a Galileo Galilei. L’instint fa que tinguem ganes de destruir aquells qui qüestionen les nostres “veritats”. I de fet, els mites poden acabar generant violència mentre que en canvi, la ciència ens acosta a la pau. La ciència ens ajuda a entendre que no és que el Sol pugi a l’estiu i baixi a l’hivern, sino que simplement tot és degut a que l’eix de la Terra manté la seva direcció. Ens explica també que totes les persones tenim la mateixa dignitat i que tots som part d’un sistema ecològic que podem aprendre a cuidar, però que també podem destruir amb la nostra cobdicia i violència. I ara, després d’entendre que l’eix de la Terra es manté invariant, seria fantàstic que fóssim capaços d’entendre que l’equilibri de la vida a la Terra també s’ha de mantenir invariant…

——

Per cert, en Sebastià Alzamora parla de la violència i diu que és el comportament més primari de l’espècie humana, a més de ser un fet polític. Diu que un ésser humà, igual que qualsevol animal, pega, fereix o mata quan té por o se sent acorralat o amenaçat; però que, a diferència dels animals, l’ésser humà es torna també violent davant del que ignora: els animals esquivaran allò que no coneixen, però l’ésser humà de vegades s’hi torna i intenta destruir-ho. Diu que aquests dos paràmetres, la por i la ignorància, expliquen gairebé tots els actes de violència que saturen l’actualitat.

——

NOTA: Val a dir que l’estrany seria que la direcció de l’eix de la Terra anés canviant perquè, com bé ens va explicar Isaac Newton, els moviments de translació i rotació sempre són independents. El centre de gravetat de la Terra, que més o menys és el centre de la geoide, es mou al llarg de l’any en una òrbita el·líptica en el pla que anomenem de l’eclíptica, mentre la Terra gira cada dia al voltant del seu eix, que no canvia en absència de parells de forces exteriors.

Si voleu saber quin és l’angle (invariant) entre l’eix de la Terra i el vector normal al pla galàctic, mireu aquesta pàgina web i els seus dibuixos. L’angle és de  62,9 graus.

La mida de l’univers

dijous, 6/12/2018

Fem un joc: ens tapen els ulls i ens porten a un lloc tancat. Tot i seguir amb els ulls tapats, sabrem contestar si som en una habitació petita o en una catedral. Com és que, sense veure res, podem percebre de manera aproximada la mida del lloc on som?

La resposta són les ones de ressonància. Perquè, com bé ens explica la física, la forma i la mida de les estances i cavitats determina el tipus de freqüències de les ones que hi poden ressonar. La ressonància, que és la causa de la reverberació i l’eco, fa que siguem capaços de percebre la mida, de manera inconscient, a partir de sons quasi imperceptibles que arriben a les nostres orelles.

Tot plegat tampoc és res de nou. Ho saben bé els fabricants de violoncels i altres instruments de corda quan fan les caixes de ressonància per a modular i amplificar els seus sons. I és una idea que desenvolupa en Marcus du Sautoy quan es pregunta si l’univers és finit o infinit, i si això és quelcom que els humans podran arribar a saber alguna vegada, o no. No són preguntes fàcils. En John Barrow, per exemple, ens fa caure de cop del pedestal de la vanitat quan ens diu que en el camp de la cosmologia la majoria de preguntes no tenen resposta, que hem refrenar aquesta estranya fe que tenim en el poder de la ciència per a coneixer-ho tot, i que no poder respondre algunes preguntes és simplement un fet copernicà perquè l’univers no està fet a la nostra conveniència. Ens hem d’acostumar a la incertesa, a no saber, i a intentar entendre per què no podem saber.

De fet, i tornant a la pregunta sobre la mida de l’univers, tenim tres grans possibilitats. L’univers tal vegada és finit i per tant mesurable, però també pot ser infinit, i en aquest cas hi haurà coses que mai sabrem. I encara hi ha una tercera possibilitat: pot ser que sigui finit i il·limitat (en una versió 3D de la superfície de la Terra, en la que, si caminem recte, mai trobarem el final però tornarem a passar pel mateix lloc cada 40 mil quilòmetres). I en Marcus du Sautoy ens explica que, si és finit, és possible que ho puguem saber si sabem escoltar les seves ressonàncies, de la mateixa manera que quan som a una catedral. Tal vegada podrem detectar coses fins i tot de la part de l’univers que és fora del nostre horitzó visible, per les empremtes dactilars que aquesta pot haver deixat a l’espai que sí podem veure (vegeu la nota al final). El gran problema, però, és la qualitat dels nostres instruments de mesura. Si no detectem res, és perquè és infinit, o és perquè no som capaços de detectar les seves ressonàncies?. Si l’univers és finit, és possible que alguna vegada ho puguem arribar a saber i que acabem coneixent la seva mida aproximada; però si és infinit, és probable que mai ho sapiguem.

I aquí arriben miraculosament les matemàtiques que, de la mà dels pitagòrics, ens expliquen que encara hi ha alguna possibilitat que, fins i tot en el cas que l’univers sigui infinit, ho puguem arribar a saber amb tècniques de reducció a l’absurd. Tot va començar ara fa més de 2500 anys. Els pitagòrics van crear un mite i ells mateixos van descobrir que l’havien de destruir. Van creure que tot es podia explicar amb enters i fraccions, i que el nombre era l’essència de totes les coses. Però tot raonant, van veure que això era fals. La mida de la diagonal d’un quadrat no és cap fracció de la mida del seu costat. La descoberta va ser realment dramàtica. Havien trobat un resultat estrany, irracional, per simple reducció a l’absurd (vegeu la nota al final). Per això, els nombres que mesuren magnituds com la diagonal d’un quadrat, que no es poden expressar com fraccions, se’ls anomena nombres irracionals. I de fet, les matemàtiques dels irracionals van néixer de la perplexitat dels pitagòrics. Doncs bé, en Marcus du Sautoy pensa que tal vegada ens pugui passar el mateix amb l’univers: si partim de la hipòtesi que l’univers és finit, pot ser que en algun moment futur els humans trobin una llei física que porti a una contradicció. En aquest cas, si les nostres lleis de la física són certes, podríem afirmar que l’univers és infinit sense necessitat d’haver-lo intentat mesurar.

En tot cas, i en relació a les mides i la complexitat, hi ha una frase d’en John Barrow que em va fer pensar: diu que entendre el cervell i les societats humanes és molt més complicat que arribar a entendre l’univers (en sentit macroscòpic).

Les matemàtiques ens ajuden a volar. Les matemàtiques fan que puguem usar els nostres cervells finits per a poder saber coses sobre l’infinit. I, quan volem, veiem més lluny i  imaginem utopies que van molt més enllà de la realitat existent, de manera que podem tenir esperança i anar fent camí des de la profunda consciència dels nostres límits. Cap un altre món basat en la justícia global, de la mà d’aquest pensament que puja des de baix. Amb el pensament que surt dels propis límits.

——

Per cert, en David Fernández ens recorda que en Jaume Botey representava la història i l’esperança del país feta des de baix. En Jaume Botey es preguntava per exemple qui té autoritat per condemnar una altra persona; deia també que l’esperança s’esdevé més viva com més morta sembla, i que se’ns fa més necessària quan totes les portes es tanquen.

——

NOTA: Si l’univers és finit, la longitud d’ona de les ones que poden ressonar-hi, és un conjunt limitat, perquè les de més gran longitud d’ona no hi poden ser-hi.

Els pitagòrics van veure que no hi havia manera d’expressar el valor de la longitud de la diagonal d’un simple quadrat. Cap operació aritmètica ni cap fracció podia donar el seu valor, en funció de la longitud del costat del quadrat. Ho van demostrar fent la hipòtesi que sí que era possible, i veient que per pura deducció s’arribava a una contradicció, a un absurd.

Les dades, són el nou petroli?

dijous, 15/11/2018

Diuen que el petroli del segle XXI seran les dades. Hi ha qui diu que mentre el petroli va ser el motor de l’economia al segle XX, el motor del creixement i la prosperitat al segle XXI seran les dades.

Ho trobo frívol i quasi ofensiu. Frívol, perquè les dades són la base de la informació, i la informació és la base del coneixement i la cultura. I em resisteixo a creure que la informació, el coneixement i la cultura entrin dins una visió economicista que ho mesura tot en base al diner i al negoci. Després d’haver treballat molts anys processant dades, crec sincerament que no es mereixen aquesta frase. En el món digital, les variables i les dades són els elements constructius que ens permeten fer algorismes per escoltar música al mòbil, gaudir d’un quadre a la tauleta o llegir els clàssics. Les dades de pressió i velocitat de l’aire ens permeten optimitzar la geometria externa dels avions, i les que recullen els escàners fan que puguem observar els nostres òrgans en 3D amb el màxim grau de detall. Les dades són els ingredients i els elements constructius de l’art de la creació de nous algorismes. Només poden assimilar dades i petroli aquells que no les han gaudit. Però ho trobo a més gairebé ofensiu, perquè soc dels que creuen que l’objectiu de l’economia ha de ser assolir el benestar per a totes (totes!) les persones del planeta, i no crec que les dades serveixin per acabar amb la fam al món. Les necessitats de les persones, en aquest boig segle XXI, no s’arreglen amb dades. El malaurat Hans Rosling, en el seu vídeo de la rentadora que ja he citat alguna altra vegada, ens recordava que hi ha cinc mil milions de persones al món que no tenen rentadora de roba. Què farem? Procurarem que tinguin rentadora, o els donarem dades?

Es parla massa poc dels objectius de desenvolupament sostenible de la ONU, i això no deixa de ser un fet revelador. Són 17 i hauríem d’intentar complir-los abans de 2030, no ens queda gaire temps. Fa dos anys, la Reial Acadèmia anglesa d’Enginyeria hi va dedicar unes jornades, per a veure com podríem abordar els principals reptes que la ONU ens diu que la humanitat té en aquests moments: eradicar la pobresa, acabar amb la fam al món, garantir atenció sanitària i bona educació per a tothom, aconseguir la igualtat de gènere, garantir l’accés a l’aigua i a la higiene personal, que tothom pugui tenir accés a energia sostenible i neta, aconseguir un desenvolupament sostenible que sigui ecològicament acceptable i que no superi la biocapacitat del planeta, reduir les desigualtats, fer noves ciutats segures i inclusives,  promoure el consum responsable i sostenible, combatre el canvi climàtic, conservar els oceans i evitar la seva pol·lució, combatre la desertificació i aturar la pèrdua de biodiversitat, promoure la pau i la justícia global, i altres. Els propers anys se’ns gira feina, oi?

Les conclusions de la jornada de la Reial Acadèmia anglesa d’Enginyeria van ser que tenim (o tindrem aviat) mitjans científics i tecnològics per a lluitar contra la pobresa i la fam, garantir una atenció sanitària universal, assegurar l’accés a l’aigua i l’energia i molts altres aspectes que haurien de garantir un desenvolupament humà digne a totes les persones del món. Però cap d’aquests problemes es resolen amb dades. L’ús responsable de les dades, si el combinem amb una bona dosi de pensament crític i ús responsable de la informació, pot ajudar a aconseguir la igualtat de gènere o a promoure la pau i la justícia global, però difícilment reduirà les terribles desigualtats que mostra la imatge de dalt (que podeu trobar a aquest informe de Intermón Oxfam).

Per cert, aquestes dades que diuen que faran moure l’economia, de qui son? Encara que no ho sembli, són nostres, de cadascú de nosaltres. Però no ens ho posen gens fàcil, això de controlar-les i preservar-les. Contínuament ens volen enredar. Aquest any, sense anar més lluny, n’hem patit un bon exemple. El 25 de maig va entrar en vigor la nova normativa comunitària GDPR que ens havia de protegir, regulant l’ús que fan les empreses de les informacions dels seus clients i obligant que els clients hagin de donar un consentiment explicit de l’ús que se’n farà de les seves dades. Però, realment ha canviat alguna cosa? És fàcil negar-se a donar aquest consentiment? El cert és que no. Podríem dir allò de “feta la llei, feta la trampa”. Les empreses demanen el consentiment amb procediments complicats que no fan gens evident la possibilitat de limitar-lo, i fins i tot algunes vegades impedeixen que puguis continuar amb allò que estaves fent fins que no acceptes les seves condicions. Acabes pensant que ets tu qui els ajuda a ells, i no ells qui et donen un servei a tu. El món al revès. Si vols informació, primer has de donar les teves dades.

L’Antoni Bassas, fa uns mesos, feia una interessant connexió entre dades i tracte als clients. Comentava aquesta frase que “el petroli del segle XXI són les dades”, però opinava que l’únic petroli d’una empresa ha de ser la confiança dels clients. Parlava de l’experiència dels usuaris en les oficines bancàries, i deia que la majoria experimenten la incomoditat de sentir-se interrogats, en comptes d’escoltats, i d’estar al servei del banc enlloc de ser al revés. Perquè tu no conserves les confiança dels clients si aquests, quan han d’entrar a la botiga o a la teva oficina, pensen que sentiran estrès.

Tornant al mite de les dades, de veritat que les persones vulnerables, aquí, a molts altres llocs, i sobretot als països del Sud global, trobaran la solució dels seus problemes en les dades? La solució a aquesta herència enverinada de l’escalfament global antropogènic que estem regalant als nostres  besnéts, seran les dades?

Com bé diu la Liliana Arroyo, cal parar els peus i dir prou a un sistema que tracta la nostra empremta digital com si fos combustible.

Per cert, la Maria Victòria Molins diu que mentre el sistema estigui centrat en els diners, i la legislació en el poder i el neoliberalisme econòmic deixin al marge moltes persones, aquesta Barcelona estimada i admirada per tantes coses amagarà moltes llàgrimes en els sectors més vulnerables de la seva població.

El 60 dels sumeris

diumenge, 11/11/2018

Com bé ens explicava fa poc en Josep M. Mulet, quasi totes les cultures van començar a comptar amb els dits. I algunes de les poques que no ho van fer així, és perquè van acabar comptant amb els dits de la mà junt amb altres parts del cos. Aquesta és la raó per la qual el sistema basat en la base 10 és tan popular a tot el món.

Curiosament, però, aquest no va ser el cas dels sumeris, una de les cultures pioneres en l’estudi de les matemàtiques i en l’abstracció de les quantitats numèriques. Al principi dels registres històrics, fa uns cinc mil anys (entre el 2900 i el 2300 A.C.), l’escriptura sumèria no tenia representació simbòlica pels nombres, i el símbol que usaven per a escriure “una ovella” era diferent del símbol per a dir “un dia”. Després, van començar a comptar en base 12. Ho feien comptant les 12 falanges dels dits d’una mà amb el polze, com veieu a la mà de la dreta a la imatge de dalt. Ho podeu provar: mentre compteu de 1 a 12, es tracta que el polze vagi tocant cada una de les falanges de la mà en l’ordre que veieu a dalt. Aquesta és la raó per la qual tenim, per exemple, dotze signes del zodíac.

Però 12 era una quantitat massa petita, i els sumeris volien comptar fins més enllà. La solució va ser ben senzilla: cada vegada que comptaven de 1 a 12, aixecaven un dit de l’altra mà i tornaven a comptar fins 12. Ho podeu veure en aquest vídeo, que és d’on he tret la imatge de dalt (que representa el 24). És clar que 12 per 5 és 60, i d’aquí va sortir el sistema sexagesimal sumeri que després van importar els babilonis i que ha arribat fins els nostres dies en les hores de 60 minuts, en els minuts de 60 segons i en els 360 graus de la circumferència. I és que, a més, el 60 té una altra gran propietat, que és la de ser el primer número que és divisible per 2, 3, 4, 5 i 6, a més de ser-ho per 10, 12, 15 i 20. Per això un quart d’hora són quinze minuts, 12 minuts són la cinquena part de l’hora, i és fàcil parlar de quants intervals de 10 minuts té una hora. Si les hores tinguessin 100 minuts, per a dir “arribo en cinc minuts”, hauríem de dir que ens falten 8,3333333 minuts per arribar…

L’Arika Okrent ens explica anècdotes interessants sobre els sistemes de numeració de diferents cultures minoritàries, i en Takasugi Shinji ha publicat una taula amb les particularitats numèriques d’un total de 69 llenguatges. Els Huli, a Papua Nova Guinea, compten en base 15, i els habitants de la illa de Frederik Hendrik Island, prop també de Nova Guinea, en el seu llenguatge Ndom treballen en base 6.

———

Per cert, la Barbara Unmussig diu que, per combatre el canvi climàtic, cal reemplaçar el model de producció d’energia basat en el mercat i centrat en els inversors amb un altre que tracti l’energia com un bé públic, orquestrant alhora un canvi cap a modes de possessió i gestió social dels subministraments d’energia. Cal emprendre un canvi cap a un nou sistema socioeconòmic tot abandonant l’obsessió en el creixement del PIB, diu.

El joc de Ramanujan

divendres, 26/10/2018

Srīnivāsa Rāmānujan va ser aquell gran matemàtic indi que va tenir una vida massa curta. Va morir ara fa quasi un segle, als 32 anys, després de trobar molt bones solucions a infinitat de problemes. De fet, quan li van preguntar a Godfrey Hardy (que el va popularitzar en el llibre “Apologia d’un matemàtic”) sobre quina creia que havia estat la seva contribució personal més important al món de les matemàtiques, Hardy va contestar que sens dubte, aquesta havia estat el descobriment de Ramanujan. L’havia descobert i l’havia portat a Cambridge, on havien pogut treballar en nombrosos problemes matemàtics. Hardy deia que només se’l podia comparar amb Leonhard Euler o amb Jacobi.

Una de les coses que comenta en Hardy al seu llibre és que Ramanujan era amic de tots els números: li deies un número qualsevol, i Srīnivāsa improvitzava un relat curt relacionat amb ell. Si ho proveu, veureu que no és fàcil. Què podem dir del 67, per exemple?. I del 1729, el més petit dels anomenats números del taxi?

Fer-ho amb el 1729 no és fàcil, però intentar-ho amb números més petits pot ser un bon joc per passar una estona divertida amb els nens. Una possibilitat és fer-ho amb el pòster que veieu a l’esquerra de la imatge. El cartell hagués hagut d’acabar en el 99, però he de confessar que em vaig cansar una mica abans, quan aquest estiu el vaig estar fent. El pòster inclou tres capes de cartolina, que permeten que alguns números puguin deixar veure el de sota quan movem cap amunt la seva persianeta. Això sí, és important que la primera fila comenci en el zero per tal que tots els números de la mateixa horitzontal comparteixin desena.

El primer joc de Ramanujan consisteix en què, per torns, una de les persones diu un número i l’altra ha de explicar-ne alguna historia. Si parlem del 12, per exemple, podem lligar un petit relat amb les hores, els mesos de l’any i moltes coses més. El 11 és el número del fútbol, i el 29 és el dels anys de traspàs. Però com que finalment es tracta que acabin aprenent alguna cosa de matemàtiques, podem fixar-nos també en propietats més aritmètiques i incorporar-les als nostres relats. A la part dreta de la imatge, que mostra un detall amb sis dels números del pòster, els 2, 3 i 13 no tenen persiana, mentre que els 4, 12 i 14 sí (i de fet, el 12 en té dues de colors diferents, com es pot veure en aquest detall de la dreta). En resum, en algun moment del joc podem fer que s’adonin que hi ha quatre tipus de números: els que tenen una persiana que podem pujar i baixar, els que en tenen dues (una de taronja i una de blanca), els que no tenen persiana però tenen una ratlla dibuixada a sota, i els que no tenen ni persiana ni ratlla com el 26, el 52 i molts més.

Com que els números amb persiana són justament els de les taules de multiplicar, podem pensar en un segon joc de Ramanujan. Es tracta de baixar totes les persianes i, tot seguit, que el nen pugi les de, per exemple, la taula del 4 (vegeu la nota al final). S’adonarà que, per la propietat commutativa, només una de les dues solucions és l’adequada per la taula que està mostrant, però és quelcom que justament remarca aquesta propietat de la multiplicació. En el cas de números amb dues persianes com el 12, haurà de pensar si en puja una o dues perquè el 12 és a la vegada 3 x 4 i 6 x 2, i de les dues persianes, que mostren les dues opcions, només una és de la taula del 4 (de fet, quan pugem la persiana taronja, apareix allò que havíem escrit damunt de la persiana blanca de sota, i quan es puja aquesta, veiem la segona solució sota seu). A més de veure la seqüència de múltiples i el dibuix que deixa cada una de les taules al pòster, cada persiana deixa veure un rectangle de rajoles que ens mostra que les taules de multiplicar són diferents maneres d’agrupar rajoles en disposició rectangular. Després del joc, el pòster es pot deixar penjat per exemple amb la taula del 3, fins que ja volem avançar passant a la del 4, i així successivament.

Finalment, també podem jugar amb els números que no tenen persiana. Els que a més tenen una ratlla a sota, com el 3 i el 13, són els nombres primers que no es posen descompondre en producte de altres dos números més petits. No hi ha manera de posar 13 pomes en disposició rectangular, com bé sap tothom. I què passa amb els que no tenen ni persiana ni ratlla, com el 26 o el 52? Aquests permeten disposicions rectangulars, com 13×2, 26×2 o 13×4, però no surten a les taules perquè aquestes només van de l’1 al 9. Són el resultat de multiplicacions, però més complexes que les de les taules.

Moltes vegades no acabem d’adonar-nos que les taules de multiplicar i la descomposició en factors primers són un d’aquests invariants universals, aquí i a la galàxia més llunyana. Una cosa ben simple però que ens podria ajudar a tenir un cert grau de comunicació amb qualsevol altra tipus de vida intel·ligent, sigui a Andròmeda o al Iemen.

———

Per cert, en Javier Martín Rodríguez explica que l’actual rei Salmàn de l’Aràbia Saudita va designar el jove fill, Mohamed Bin Salmán, com a ministre de Defensa i va obrir el front de guerra al Iemen, tot com a part del seu pla per mantenir-se al poder. Tot plegat, per a acumular el prestigi i la autoritat que encara no té entre els seus oncles i cosins.  O sigui, et dediques a matar milers de persones per quedar bé amb la família.

———

NOTA: La versió del pòster que mostra la imatge no inclou, per qualsevol número D, ni el primer valor D x 1 de la seva teula de multiplicar ni el darrer, D x 10. Són dos casos trivials que d’altra banda acabarien fent més farragosa la construcció del pòster.

Sobre la ortogonalitat

dimecres, 12/09/2018

Com bé explica la Lydia Maniatis, l’angle recte és especial, per nosaltres. Som capaços de detectar, amb gran precisió, angles que no són exactament rectes. I, a casa o a qualsevol edifici, el nostre cervell agraeix que els racons i els cantells dels mobles formin angles de 90 graus. Però la Lydia Maniatis ha observat també que som encara més fins a l’hora de detectar petites desviacions de l’angle recte entre el terra horitzontal i aquells objectes que suposadament haurien de ser verticals. Diu que el fet d’alinear objectes verticals amb la direcció de la gravetat fa visible l’estructura de les forces i crea una simetria que ens fa percebre l’equilibri. En canvi, l’asimetria ens genera una major tensió a l’objecte, en una o altra direcció.

Som animals amb tendència a la ortogonalitat. A l’any comencem a caminar, ortogonals al terra. A diferència de moltes altres espècies, quasi tot ho fem amb angles rectes: les cases, els mobles, els papers, els paquets, els llibres, els quadres, els envasos, les cartes, i fins i tot els carrers, sobretot a algunes ciutats com Barcelona, Nova York,  Kyoto o altres.

La imatge de dalt mostra una part de l’eixample de Barcelona, on he marcat dues de les sortides de l’estació del metro de Diagonal al Passeig de Gràcia, i, amb una línia groga, la part superior de la Rambla Catalunya. Fa uns dies, vaig sentir una conversa a l’andana: una persona li preguntava a una altra quina era la millor sortida, de les dues que he marcat, per anar a la Rambla Catalunya. Sense més informació, i donats dos punts A i B d’un determinat carrer, es pot parlar de quin és el que ens va millor per anar a un altre carrer que és paral·lel al primer?  La resposta, evidentment, és negativa. Ara bé, si sabem el lloc del segon carrer on volem anar, ens hi podem acostar per carrers que li siguin ortogonals, per minimitzar el recorregut. Perquè els camins que hem de recórrer, a l’eixample de Barcelona o a Manhattan, acaben ser esglaonats amb trams ortogonals. I la distància més curta entre dos punts si seguim sempre els carrers, és justament l’anomenada distància de Manhattan, basada a la seva vegada en la dita geometria del taxista. És el que tenim quan caminem per ciutats amb carrers ortogonals.

I ara, tornant a casa, potser podem badar una mica mentre mirem un racó o un canto del sostre. Per què? Doncs perquè els racons amaguen un dels grans misteris de l’Univers. Tres plans que acaben en un punt, tres arestes que els separen i que formen angles rectes. Son els angles rectes dels antics temples i piràmides, els que els nostres avantpassats van descobrir amagats darrera dels nombres 3, 4 i 5, els que van donar lloc al teorema de Pitàgores i al descobriment d’aquells nombres tan absurds que van ser anomenats irracionals. I el màgic número 3. Per què els racons tenen 3 arestes i no 4? Per què som en un espai aparentment de dimensió 3?

Però la ortogonalitat també la trobem al món abstracte i al de les relacions. S’ha vist, per exemple, que hi ha una correlació positiva entre l’accés a l’energia d’un determinat país o regió i el seu desenvolupament pel que fa, per exemple, a l’educació. Si dibuixem dos eixos, a l’horitzontal indiquem el grau d’accés a l’energia i al vertical marquem el grau d’educació de la gent, veurem que els punts que marquen la situació dels diferents països són propers a una línia recta inclinada que ens mostra que quan creix un factor, creix l’altre Hi ha una relació directa entre ells. En canvi, la correlació entre l’accés a l’energia d’un determinat país o regió i la mortalitat infantil és negativa (relació inversa) perquè a mesura que creix la primera, es redueix la segona, i la línia de la gràfica s’inclina cap avall. Però hi ha un tercer cas, en què la variació d’un dels factors (o variables) no afecta en res a l’altre. En aquest cas, es diu que aquestes variables són independents o ortogonals (en matemàtiques i per exemple en els espais vectorials, els conceptes d’ortogonal i de independent, són sinònims). Igual que el fet que els meridians i paral·lels siguin ortogonals fa que la meva latitud sigui totalment independent de la meva longitud (puc caminar modificant qualsevol d’elles sense canviar l’altre en res: proveu d’anar d’est a oest o de nord a sud), el grau d’interès de la gent per la química hauria de ser segurament ortogonal a l’alçada sobre el nivell del mar del poble on viu, per dir alguna cosa. O bé, el tipus d’opinions que una determinada persona expressa i defensa hauria de poder ser, en tot estat democràtic, independent i ortogonal al tipus d’opinió de qualsevol altra persona o institució, per poderosa que aquesta darrera sigui.

——

Per cert, en Carles Capdevila deia que els poders, tots ells, no suporten la llibertat de premsa. I que aquesta va ser la seva gran decepció durant els 5 anys que va dirigir l’Ara. Deia que el desvergonyiment amb què reps pressions i amenaces indica una mala salut democràtica. I és que la informació i opinions que emeten els mitjans han de ser ortogonals s a la opinió de polítics, poderosos i poders fàctics.

La corba que mai s’acaba

dissabte, 25/08/2018

Tenim una botiga (o una exposició) que té 16 zones diferents disposades en 4 files de 4, com veiem al primer dibuix de la imatge d’aquí al costat. Hi ha alguna forma de posar les parets o separacions de manera que la gent que entra per una banda hagi de passar per totes i cada una de les estances abans de sortir?

La resposta, que segurament haureu vist (o sofert) a algunes botigues, és el recorregut de Hilbert d’ordre 2, que teniu just al costat. Només cal deixar pas en el sentit d’aquest recorregut i barrar-lo en totes les demés direccions, de manera que cada una de les zones quadrades tinguin dos costats que permetin el pas i dos parets que l’impedeixin. Els visitants, abans de poder sortir, hauran de passar per tots els racons de l’espai d’exposició.

I si volem fragmentar més l’espai? En aquest cas podeu pensar en subdividir cada una de les 16 zones en 4, de manera que tingueu una quadricula de 64 (vuit per vuit) zones. Per a  crear un recorregut que passi per tots i cada un d’aquests 64 espais, només cal fer una cosa: per a cada un dels 16 espais del cas anterior que tenim dalt a la dreta a la imatge, mantindrem els seus “portals” d’entrada i sortida, però obligarem que la gent hagi de recórrer cada una de les seves 4 sub-zones. Veiem-ho en els dos primers quadrats de la disposició de 4 per 4. En el d’entrada, els visitants entraven per l’esquerra i sortien per la dreta; en el segon, entraven per l’esquerra i sortien per sota, segons veiem al recorregut de Hilbert de dalt a la dreta de la imatge. Ara, per generar el recorregut de Hilbert d’ordre 3 que passarà per 64 espais (recorregut que podeu veure a la imatge, sota i a l’esquerra), només hem de posar separacions que obliguin a fer un recorregut en “U” al primer quadrat i un altre en sentit Nord-Oest -> Nord-Est -> Sud-Est -> Sud-Oest al segon. Si aneu fent el mateix per tots els quadrats de dalt de la imatge, generareu fàcilment aquesta corba de Hilbert d’ordre 3.

Però això no acaba aquí, perquè podem repetir el procès. Subdividim cada una de les 64 zones en 4 sub-quadrats, i per cada un dels 64 quadrats mantenim els seus “portals” d’entrada i sortida, obliguem que els visitants hagin de recórrer cada una de les seves 4 sub-zones. El resultat és el recorregut de baix a la dreta de la imatge (corba de Hilbert d’ordre 4), que passa sistemàticament una sola vegada per tots i cada un dels 256 quadrats d’una retícula de 16 per 16 quadrats. Evidentment, la corba de Hilbert d’ordre 5 passa per tots els 1024 quadradets de 32 per 32, i la d’ordre 6 recorre (quasi res) 4096 petites zones quadrades. Si algun dia heu de muntar una exposició amb 4096 obres i voleu assegurar-vos que tothom passarà (mirant o no) per totes elles, ja sabeu la solució: podeu estructurar l’espai en base a una corba de Hilbert d’ordre 6. No és clar que garantiu la satisfacció de la gent, però el que és clar és que els haureu forçat a fer el que voleu. Podeu veure els 6 primers nivells de la corba de Hilbert plana en aquesta imatge gif animada (que també podeu trobar a la web que explica la corba de Hilbert). La de nivell 6 és realment recargolada, oi?

David Hilbert, el gran matemàtic, va estudiar i proposar aquesta corba l’any 1891, als 29 anys, un any després que Giuseppe Peano estudiés les corbes que porten el seu nom. Una de les seves propietats és que el procés de creació d’aquesta corba de Hilbert no acaba mai. Si tenim temps i paciència, podem dibuixar una corba de Hilbert d’ordre 7 que passarà per tots els 16384 quadradets d’una retícula de 128 per 128, o una d’ordre 10 que recorrerà més d’un milió de petits espais. Les corbes d’ordre 11 o 12 saben recórrer tots i cada un dels píxels de les imatges que captura una bona càmera digital, sense passar dues vegades pel mateix píxel. I podríem continuar més i més, subdividint cada vegada en 4 les regions quadrades del pas anterior (vegeu la nota al final). D’altra banda, la imatge de dalt ens mostra que, a cada pas, la corba és el doble de llarga que en el pas anterior. Si l’espai que tenim és sempre el mateix i només anem subdividint les seves cel·les, i si la longitud de la nostra corba de Hilbert d’ordre 2 és, per exemple, de 40 metres (la qual cosa correspon a un espai inicial de 10 per 10 metres), la d’ordre 3 serà de 80 metres, la d’ordre 4 tindrà 160 metres, la d’ordre 6 serà de 640 metres i, si arribéssim a la corba d’ordre 10, els visitants de la nostra exposició haurien de caminar 10 quilòmetres per sortir d’aquest espai diabòlic de 10 per 10 metres que els hem preparat. La conclusió és clara i evident: si no ens aturem i continuem refinant la corba de Hilbert, acabarà tenint una longitud infinita i omplint tot el quadrat inicial com un fil ben recargolat. És una corba que ho omple tot i que mai s’acaba. Per això, tot veient que omple tot un quadrat del pla, diem que té dimensió fractal 2.

Una altre aspecte interessant de les corbes de Hilbert és que el mateix que hem fet en 2d es pot fer en 3d (en aquest vídeo podeu veure l’aspecte que té la corba de Hilbert 3D d’ordre 3, que passa pels 512 cubicles d’una retícula a l’espai). És una corba que també té longitud infinita amb dimensió fractal 3, de manera que acaba omplint tot l’espai inicial. Pot ser “útil” per a qui vulgui muntar una exposició sota l’aigua per visitants submarinistes.

Si, en una cartolina, pinteu una retícula de 8 per 8 quadrats i els aneu numerant de l’1 al 64 segons l’ordre del recorregut de la corba de Hilbert d’ordre 3, podeu fer un joc matemàtic d’estiu per als vostres nens. Els jugadors, per torns i amb un retolador, han d’anar pintant les separacions “prohibides” entre quadradets veïns, que són tots aquells costats de la retícula que separen quadrats amb números no consecutius. Cada un d’ells, abans de pintar-lo, explica quin vol pintar. Si intenta pintar un costat incorrecte (que separa números correlatius), un altre jugador (o vosaltres) avisa i guanya un punt. Al final, la retícula de la cartolina mostrarà el recorregut que ens fan seguir en una de les botigues que comentava al principi. Una altra cosa que podeu fer, al final, és veure qui troba la “millor drecera”, que és el costat ja pintat com a paret que separa dues caselles amb números el més diferents possibles. També podeu cercar altres dreceres no tan òptimes, i anar-les repintant d’un altre color.

La corba de Hilbert em fa pensar en Spinoza i en la seva “Ética demostrada segons l’ordre geomètric”, perquè és tot un exercici sobre els límits, el finit i l’infinit. En un quadrat ben finit i limitat, Hilbert ens hi construeix una corba que l’omple i que té longitud infinita. Ara bé, això té un petit problema: per a que tingui longitud infinita, hem de generar-la amb un “total” d’infinits passos, cosa que implica un temps de construció infinit. Com que som finits i limitats, ens haurem d’aturar, i la corba final tindrà una longitud mesurable. La corba de Hilbert no s’acabi mai, però no és del món real. Tot allò que forma la realitat (les corbes, els objectes, els recursos, el creixement, el poder, nosaltres mateixos) és limitat. L’infinit és una construcció mental, que podem imaginar gràcies al poder del raonament per recursió. Hem de ser ben conscients d’allò que és realista i del que són mites utòpics.

———
Per cert, en Vicent Martínez Guzmán, filòsof de la pau i traspassat fa pocs dies, deia això: “nosaltres els pacifistes som els realistes, els utòpics són els que volen aconseguir la pau mitjançant la violència”.

———

NOTA: La corba de Hilbert es pot explicar amb un algorisme recursiu de substitució que és ben curt i senzill. Tot l’algorisme consisteix en aquestes quatre regles de substitució, que anomenarem A, B, Af i Bf:
A -> e B C d A C A d C B e
B -> d A C e B C B e C A d
Af -> e C d C d C e
Bf -> d C e C e C d

Coneixeu els gràfics de la tortuga? Tenim una tortuga-robot que porta un retolador enganxat a la closca que marca, al terra, tot el camí que va fent. La tortuga només pot fer tres coses. Aturada, pot girar a l’esquerra (“e”) o a la dreta (“d”). Quan ja ha girat, pot caminar un petit trosset (“C”) en la direcció que es troba, trosset que sempre és de la mateixa longitud L. Els girs a l’esquerra (en contra de les agulles del rellotge) i a la dreta (en el sentit de les agulles del rellotge), són sempre de 90 graus. Per exemple, la regla Af diu que cal girar a l’esquerra, avançar L, girar a la dreta, avançar L, tornar a girar a la dreta, avançar L, i finalment girar a l’esquerra. És una regla, semblant a la Bf, que fa un recorregut en forma de “U” mentre es passeja pels 4 quadradets d’una retícula de 2 per 2.

Les regles A i B, que són les essencials de l’algorisme de Hilbert, indiquen que a cada pas de substitució, hem de substituir la lletra “A” o la “B” per tot el que hi ha a la dreta. Hi ha dues possibilitats. La primera, és només usar les regles “A” i “B”, començant per exemple per la “A” i substituint una i altra vegada les “A” i “B” de la dreta per les seves corresponents extensions. El procés és una recursió infinita, que ens portaria, si poguéssim acabar, a la corba teòrica de Hilbert. La segona, és començar per “A”, substituir N vegades per les expressions de la dreta de les regles “A” i “B”, i en acabar, usar les substitucions indicades per les regles “Af” i “Bf”, que ja no inclouen signes “A” i “B” i per tant aturen el procés. Si feu això darrer podreu acabar i fer que la tortuga dibuixi una corba, però només serà una aproximació a la corba de Hilbert…

El graf del control econòmic

divendres, 10/08/2018

Encara que no és la primera vegada que parlo del treball de la Stefania Vitali i dels seus col·laboradors James Glattfelder i Stefano Battiston de la ETH de Zurich, avui voldria aportar algunes precisions i detalls sobre la metodologia que van usar en el seu treball i sobre els seus resultats. L’article complet, molt recomanable encara que una mica tècnic, el podeu llegir aquí. La imatge de l’esquerra és de la pàgina 4 (mostra una component fortament connexa del graf de control econòmic mundial, amb 1318 nodes i més de dotze mil arcs).

La investigació de Vitali, Glattfelder i Battiston va ser la primera que va estudiar amb el màxim rigor la xarxa global de control econòmic, tot descobrint que hi havia un nucli fortament connex de corporacions multinacionals (fonamentalment, institucions financeres) que exerceixen un control increïblement poderós sobre una munió d’altres empreses a tots els països. Dic que va ser la primera perquè els estudis anteriors bàsicament s’havien limitat a estudis dins cada país, sense analitzar el poder global de les actuals corporacions transnacionals.

El primer tema que estudien Vitali, Glattfelder i Battiston és el del concepte de control econòmic i financer. La seva definició és més acurada que les de treballs anteriors, perquè, per a una determinada corporació, aquest control es quantifica com la suma del valor econòmic de totes les corporacions i empreses que és capaç d’influir, tan si es troben directament relacionades amb ella com si ho són només indirectament. Dit en altres paraules, els qui tenen un nivell molt elevat de control són els que potencialment poden imposar les seves decisions a moltes empreses econòmicament fortes. Els autors argumenten que aquesta és una definició propera a la definició de poder de Max Weber, basada en la probabilitat que algú sigui capaç d’imposar la seva voluntat a pesar de l’oposició dels altres. D’altra banda, calculen molt curosament aquest valor quan troben camins cíclics de control, tallant els cicles i eliminant influències no reals (que bàsicament són producte de l’enginyeria financera) per tal de no sobre-estimar la seva quantificació del control.

Els autors parteixen dels 30 milions d’empreses i actors econòmics de la base de dades Orbis 2007, i d’una llista de 43.060 corporacions transnacionals (que anomenaré “TNC”) publicada per la OCDE. A partir d’aquí, el seu estudi es basa en la construcció i anàlisi del graf de relacions entre empreses. Els nodes del graf són empreses i corporacions, i dos nodes determinats A i B estan connectats per un arc que va de A a B si A pot controlar B en tenir més del 50% de les seves accions. Analitzen “només” el graf de les empreses controlades per alguna TNC o que controlen alguna TNC. Aquest és un graf amb 600.508 nodes (empreses) i 1.006.987 arcs de control, que té un gran component connex amb 463.006 actors econòmics i 889.601 relacions. Curiosament, el component connex que li segueix en importància té només 230 empreses, i el 90% de components connexes tenen menys de 10 empreses (vegeu la nota al final).

Vitali, Glattfelder i Battiston van usar tres models diferents per calcular el valor del control: el model lineal LM que mesura el control pel percentatge d’accions que té l’actor, el model TM en el que el control total d’una empresa s’assigna a l’actor que té més del 50% d’accions (mentre que els altres accionistes passen a tenir zero control sobre ella), i el model RM, més sofisticat, es basa en un índex de la mida de les empreses del tipus Herfindhal). L’interessant és que el resultat final, quan es representa la distribució de control entre les TNC amb una corba de Lorenz, és robust i independent de quin d’aquests tres models (LM, TM o RM) s’aplica: la gran troballa és que un grup molt reduït de només 737 accionistes acumulen el control del 80% de totes les corporacions transnacionals del món. O sigui, un grup de només el 0,61% d’accionistes controla el 80% de totes les grans corporacions mundials. La desigualtat en el control entre les empreses és 10 vegades més gran que la desigualtat en riquesa al món, que de per sí ja és molt alarmant.

De fet, l’article presenta, com a resultat parcial, una taula amb els primers 50 principals actors que controlen tota la xarxa d’empreses a nivell mundial. La taula mostra que de fet, aquests 50 accionistes (molts d’ells són entitats financeres) ja controlen el 39,78% de totes les TNC (el 80% el controlen 737 entitats, però el control de la meitat, el 40%, és a càrrec de només 50). L’interès d’aquest rànquing no és només que ens desvetlla la llista dels grans poderosos, sino que mostra que molts d’aquests principals actors pertanyen a un nucli que no és més que una xarxa de control extremadament densa i relligada. Això significa que no realitzen el seu negoci aïlladament, sinó que, al contrari, estan molt units. Com diuen els autors, és una troballa molt important perquè fins ara no hi havia cap teoria econòmica ni cap prova empírica que expliqués com estan connectats els poderosos.

———

Per cert, en Sebastià Alzamora comenta les declaracions de Margalida Prohens (va dir que “no es poden garantir els drets humans amb l’arribada massiva d’immigrants… perquè és insostenible que a Espanya ens arribin disset mil persones”) i diu que si no es garanteixen els drets humans, les persones poden ser esclavitzades, prostituïdes, violades o assassinades, i a més amb tota la impunitat i “d’acord amb la llei”. Diu que això és el feixisme banal.

———

NOTA: La quantificació del control econòmic requereix una anàlisi de la topologia del graf. Segons Vitali, Glattfelder i Battiston, en termes de connectivitat, el graf conté molts components connexes petits, “però el més gran (que conté el 75% de tots els nodes) inclou totes les principals TNC, que representen el 94,2% del total dels ingressos operatius de les corporacions TNC”. Hi ha dues propietats topològiques que són rellevants. La primera és l’abundància de cicles de longitud dos (parelles amb control creuat) o més grans, que són ben coneguts pels estudiosos del govern corporatiu. Una generalització d’aquest cas són els components fortament connectats, és a dir, conjunts d’empreses en les quals cada membre té accions directes i / o indirectes a tots els altres membres. Aquest tipus d’estructures, fins ara observades només en mostres petites, tenen moltes raons de ser: estratègies d’eliminació de riscos, reducció de costos de transaccions, compartir riscos, augment de la confiança o formació de grups d’interès. No importa el seu origen, però, el que és clar és que debiliten la competència al mercat. La segona característica és que el component connectat més gran només conté un component dominant fortament connectat amb 1347 nodes. Per tant, i de manera similar a la xarxa WWW, la xarxa TNC té una estructura molt enllaçada amb un nucli que també està densament connectat, i on els seus membres tenen, de mitjana, vincles amb altres 20 membres. En paraules dels autors, “prop de 3/4 de la propietat de les empreses en el nucli roman en mans de les empreses del propi nucli. Dit d’una altra manera, es tracta d’un grup de societats que tenen una gran part de participació majoritària a les altres”.

Pel que fa a la llista dels 737 actors que controlen el 80% de totes les 43.060 corporacions transnacionals, cal dir que la majoria son entitats financeres d’abast internacional, i que els governs i les persones físiques apareixen molt avall a la llista.

El sol i la paret del fons

divendres, 27/07/2018

A l’hivern, m’entrarà el sol per la finestra i escalfarà la paret del fons?  Arribarà fins al passadís?

Per saber les respostes a aquestes preguntes cal seguir una sèrie de passos ben senzills, que podrem fer sense problemes si perdem, per una estona, aquesta maleïda i quasi universal por a les matemàtiques. L’algorisme (perquè el conjunt de passos que cal seguir per a resoldre un determinat problema és un algorisme) el podeu trobar a la nota del final. Hauré de definir correctament la direcció D que m’interessa, que no és altra que la que hauran de tenir els raigs de Sol que voldria que entressin per la finestra i escalfessin la paret del fons. Hauré de conèixer també la direcció E de l’eix de la Terra. I ara, saben D i E, només em caldrà calcular l’angle entre aquestes dues direccions i cercar (en una taula com aquesta o a la informació geogràfica del meu municipi) la latitud L del lloc on soc. Si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, la resposta és afirmativa: en algun moment de l’any, la llum del Sol entrarà per la finestra i il·luminarà el punt de la paret o del passadís que vull. Si no es troba entre aquests dos valors, la resposta és negativa (vegeu la nota al final).

La simplicitat del problema, un cop sabem l’angle entre D i E, és sorprenent, oi? De fet, ens sorprèn perquè tendim a pensar que som el centre del món i fins i tot de l’Univers, i que caminem ben drets i verticals. Però ho entendríem millor tot plegat si penséssim que la nostra vertical és tan vàlida com la dels habitants del Iemen o de Nova Zelanda, que el nostre planeta té una única direcció singular (la del seu eix E), i que aquesta direcció, comú a tothom, és la important.

Hi ha una segona dificultat, interessant i curiosa a la vegada: el nostre sistema cognitiu està molt més adaptat a pensar en termes de punts i distàncies que a imaginar direccions i angles. La prova és que ens és molt més fàcil fer una estimació de la distància entre dos punts del nostre poble o ciutat (per exemple, comptant els passos) que dir quina és la direcció d’un determinat carrer (definida pel seu angle respecte la direcció del nord) o bé fer una estimació de l’angle entre dos carrers que no siguin perpendiculars. Els vectors, que defineixen les direccions, són subtils i abstractes… I tot plegat és ben trist, perquè per explicar bé com està posada una cosa, hem de parlar forçosament de la seva posició i de la seva orientació (que implica direccions). Com explicaríeu, amb precisió i per carta o e-mail, les trajectòries del vol de les orenetes al capvespre a una persona llunyana?

Molts d’aquests conceptes i dels que surten a la nota del final són senzills i probablement haurien de formar part d’allò que anomenem “cultura general”. De fet penso que, si no som capaços de preveure el moviment del Sol, difícilment podrem entendre una cosa tan complicada com és el comportament de la gent que ens envolta. Perquè les matemàtiques i el raonament abstracte poden ser una bona eina per sortir del nostre castell egocèntric i per poder empatitzar amb els altres, siguin propers (els fills o néts adolescents, per exemple) o llunyans (els refugiats i la gent que viu en situacions de conflicte i violència). És bo saber que la nostra vertical no és millor que la dels que malviuen al Iemen o a la República Centreafricana. Qui camina de cap per avall: els que viuen a Nova Zelanda o nosaltres?

———

Per cert, la Sonia Khediri, italiana i empresonada per l’Estat Islàmic, explica que el seu marit es va negar a convertir-se en combatent de l’EI. “Si no lluitaves et mataven”, diu. Però finalment no el va matar l’Estat Islàmic, sino la coalició internacional amb un dron, perquè una nit es va deixar el wifi encès. Aquest és un dels “sofisticats algorismes intel·ligents” dels drons occidentals: els drons ataquen i maten la gent que usa wifi, perquè diuen que a Raqqa, només l’EI té wifi. Qui jutjarà els responsables de morts com aquesta?

———

NOTA: Hi ha dues maneres (dos algorismes) diferents per a trobar l’angle entre els vectors D i E. La primera és manual, i consisteix en materialitzar aquestes dues direccions amb dos fils o cordills. El primer, que ens defineix la direcció D, el fixem un punt F de la finestra i el punt P de la paret o del terra on volem saber si ens arribarà el Sol a l’hivern. El segon, que ens marcarà la direcció E de l’eix de la Terra, l’haurem de col·locar a la nit, probablement entre la branca d’algun arbre i una estaca clavada a terra, de manera que ens senyali la direcció a la estrella polar. En aquest cas, la dificultat la tindrem quan vulguem mesurar l’angle entre els dos cordills, perquè probablement un d’ells el tindrem dins de casa i l’altra, fora.

Si preferiu l’altra solució, necessitareu una plomada, una caixa gran de cartró o fusta, i una cinta mètrica. També us caldrà saber el migdia solar, que varia cada dia de l’any i és diferent segons el lloc on siguem. Però només heu d’anar a aquesta pàgina web, escriure el lloc on sou, i a baix a la dreta veureu que us diu l’hora del migdia solar. A més, farem servir coordenades cartesianes per definir els punts F, P i el vector D. Aquestes coordenades les va proposar en René Descartes, quan sembla que era al llit curant-se d’una grip i anava mirant el vol d’una mosca. En Descartes va veure que, si anava apuntant a cada moment la distància de la mosca a dues parets i al terra, aquests tres valors anaven determinant de manera exacta la posició de la mosca i per tant el seu moviment. Va ser una idea aparentment senzilla, però que va obrir la porta de la geometria analítica, que ara ens permet treballar numèricament amb els elements geomètrics. En record seu, parlem de coordenades cartesianes.

En definitiva, aquest és l’algorisme per determinar l’angle entre D i E:
1) Esperem al migdia solar i, amb l’ajut d’una plomada, marquem al terra la direcció nord, que és la direcció contrària a la de l’ombra del fil de la plomada. Aquesta serà la direcció de l’eix X del nostre sistema de coordenades.
2) Deixem una caixa al terra just al costat del fil de la plomada, de manera que una de les cantonades de la seva base segueixi la direcció nord i una altra marqui la direcció oest. La plomada ens senyalarà un dels vèrtexs de la caixa, que serà el nostre origen de coordenades, O. Guardem la plomada.
3) Ara ja tenim un sistema de coordenades cartesià, que ens queda definit per tres de les arestes de la caixa. La que va en direcció nord és l’eix X, la que mira a l’oest és l’eix Y, i la vertical que surt del mateix vèrtex de la caixa que els dos eixos anteriors, és l’eix Z. Les dues “parets de Descartes” són les cares verticals de la caixa que segueixen les direccions nord i oest.
4) En aquest sistema de coordenades, mesurem les coordenades (X,Y,Z) del punt F de la finestra i del punt P de la paret en els que hauríem fixat el cordill en el cas de la solució manual. Una manera fàcil de fer-ho és passar de 3D a 2D, marcant a terra els punts F1 i P1 que es troben just sota i a la vertical de F i P. Les distàncies entre F i P i els seus corresponents punts a terra són les coordenades Z, i les coordenades X, Y són les longituds dels rectangles que podem formar amb els punts F1 i O (o bé P1 i O) en diagonal.
5) Per a calcular els components del vector D només cal restar les coordenades de F menys les de P, i així obtenim uns primers components provisionals. Per exemple, el component provisional X de D és la coordenada X de F menys la coordenada X de P, i el mateix pel que fa als components provisionals Y i Z. Ara bé, un cop tenim el vector D, l’hem de normalitzar amb el teorema de Pitàgores: elevem al quadrat cada un dels seus components provisionals, sumem els tres valors, i calculem l’arrel quadrada d’aquest resultat, que li direm M. Finalment, dividim els tres components provisionals de D per M, i ara sí que tenim els components reals del vector unitari que defineix la direcció D.
6) D’altra banda, l’expressió del vector E és immediata, en aquest sistema de coordenades: el seu component X és el cosinus de L, el seu component Y és zero, i el component Z és el sinus de L, perquè la direcció de l’eix de la Terra mira al nord i només depèn de la longitud geogràfica del lloc on som.
7) El cosinus de l’angle entre els dos vectors unitaris D i E es calcula ara amb només tres multiplicacions i dues sumes, perquè és l’anomenat producte escalar entre D i E. Cal multiplicar els components X de D i E, sumar el resultat al producte dels components Y de D i E, i sumar el resultat de la primera suma amb el producte dels components Z de D i E. Ara, només cal preguntar a Google quin és l’angle que té aquest cosinus.

Finalment, cal observar que el raonament que fa que pugui resoldre el problema en base a veure si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, és ben senzill: Els raigs de Sol sempre arriben dins el pla de l’eclíptica, en una direcció que forma un angle amb E tal que al llarg de l’any varia entre 23,5 i -23,5. Per tant, per un determinat punt de la Terra de latitud L, l’angle entre D i E al llarg de l’any escombrarà tots els valors continguts entre L – 23,5 i L + 23,5 (si volem ser rigorosos haurem de dir que de fet, el Sol té un moviment aparent quasi helicoïdal de manera que l’angle entre D i E acaba recorrent un total de 365/2 trajectòries discretes entre L – 23,5 i L + 23,5; però això seria filar molt prim).

En el meu raonament, he aproximat l’angle entre l’equador i l’eclíptica, que és de 23 graus i 26 minuts, per 23,5 graus.