Arxiu de la categoria ‘Algorismes i geometría’

Elogi del coneixement

dimecres, 10/07/2019

Fa unes setmanes vaig assistir a una jornada molt especial, organitzat amb motiu de la jubilació del professor Albert Corominas com a professor de la UPC. Aquí podeu veure el vídeo complet de l’acte.

El fil conductor de la jornada, que van anar desenvolupant tant l’Albert Corominas com els seus companys de taula Nico Hirtt i Rosa Cañadell, va ser el de la reivindicació del coneixement, que els darrers anys ha anat perdent protagonisme mentre cada vegada es parla més que cal educar en les anomenades competències. Se’ns diu que no cal adquirir coneixements perquè tot el saber és accessible a tothom a la xarxa, que no cal ensenyar-lo i que l’únic que cal és aprendre a aprendre. I se’ns explica que, com que el coneixement creix exponencialment i es renova de manera incessant, allò que avui s’aprèn esdevindrà obsolet ràpidament. Com que, a més, les persones que ara estudien treballaran en ocupacions que avui no podem ni tan sols imaginar, transmetre coneixement és una pèrdua de temps, diuen.

He de dir que una de les frases que es van citar em va impactar especialment. És la que va dir, en una entrevista i fa pocs mesos, la  Susan Redline, professora de trastorns del son a l’Escola de Medicina de Harvard. La Suran va dir textualment “la meva filla i les meves netes, amb quatre clics es posen tant al dia en ciència com jo”. Primer vaig pensar que devia ser un error, perquè la gent que conec que fa més de 40 anys que treballen en ciència, estudiant, llegint, experimentant i intentant assimilar coneixement, ara se’n adonen que encara no saben res. Després, ho veig entendre tot i em vaig tranquil·litzar, aplicant un raonament matemàtic ben senzill. Perquè aquest problema de saber com pot ser que les seves netes, amb quatre clics, es posin tant al dia en ciència com ella, té una solució que existeix, que és única, i que és aquesta: el coneixement en ciència d’ella, de la seva filla i de les seves netes ha de ser forçosament nul.

Quan penso en això d’aconseguir coneixement amb 4 clics, em venen al cap alguns exemples que he viscut personalment. En comento breument només un, que pot semblar estrany però que crec que és paradigmàtic: la història de com he anat formant el meu coneixement sobre els triangles. Vaig començar a saber-ne alguna cosa durant l’ensenyament primari, abans dels deu anys. Després, entre els 10 i els 20, vaig conèixer algunes de les seves propietats (amb la trigonometria), teoremes (Pitàgores) i alguns dels seus punts significatius, com el baricentre i l’incentre. Entre els 20 i els 30, vaig entendre que els triangles eren el cas bidimensional dels simplexes, i vaig descobrir el món apassionant dels espais de dimensió superior a tres. Entre els 30 i els 50, vaig entendre i vaig poder gaudir de les coordenades baricèntriques i de totes les seves implicacions i usos computacionals, mentre que a partir dels 50 vaig descobrir, entre d’altres moltes propietats, els seus milers de possibles centres. I també, passats els 50, he tingut el privilegi de poder compartir i usar aquest coneixement amb altres persones (estudiants i professors) per a resoldre problemes reals del món industrial, de la medicina, del patrimoni cultural, i fins i tot s’han plantejat solucions per a alguns problemes relacionats amb la resolució pacifica de conflictes. Perquè la gent no ho sap, però els triangles són al centre de molts dels algorismes computacionals que hem de concebre per a resoldre problemes de tot tipus que impliquen formes geomètriques. En aquest i en molts altres casos, podríem dir que el coneixement ens penetra lentament en com a mínim tres fases: primer el rebem, després, amb temps, treball i esforç, el descobrim de veritat i l’entenem (és el moment màgic del “ara ho entenc!”), i finalment som capaços d’usar-lo. El coneixement ens permet actuar millor només si abans l’hem entès. Però entendre és molt més que quatre clics.

La meva experiència personal em diu que això de que “les persones que ara estudien treballaran en ocupacions que avui no podem ni tan sols imaginar i que per tant transmetre coneixement és una pèrdua de temps” és radicalment fals. El coneixement sobre triangles que vaig rebre i després entendre, l’he pogut acabar aplicant 40 o 50 anys després per a resoldre problemes actuals que llavors no existien. I el mateix passa amb moltíssimes altres coses que vam aprendre durant el batxillerat i la carrera, i que ara, en un món totalment diferent, ens són essencials, ens ajuden a entendre una mica el que ens envolta, i ens donen eines per a no deixar-nos enganyar. El coneixement no caduca, encara que ens ho vulguin fer creure. Cal estudiar, cal llegir, cal aprendre tota la vida, i, com diu un bon amic, cal llegir textos llargs.

Com deia l’Albert Corominas, hem acabat assumint com a normal allò que no ho és, i hem creat una escola que, enlloc de formar persones, acaba fabricant gent adaptable que se suposa que ha adquirit les competències que demana el mercat de treball. L’Albert deia que hem de reivindicar el coneixement, sabent que no serà fàcil perquè tant el coneixement com l’esperit crític són “perillosos” per l’actual sistema neoliberal. I ens explicava que el coneixement és apassionant, però que no cal que sigui divertit: requereix esforç i constància.

La imatge de dalt és del fresc “L’escola d’Atenes“, que Rafael va pintar als salons del Palau Apostòlic del Vaticà. Mostra Plató i Aristòtil junt amb un bon grapat de pensadors que van crear i difondre coneixement: Zenó, Epicur, Pitàgores, Hipàtia, Sòcrates i altres. Aquests salons també s’anomenen les “Stanze di Raffaello”.

——

Per cert, l’Albert Corominas cita en Nico Hirtt, i diu que la societat capitalista moderna no té cap interès en una ciutadania massa instruïda, perquè això és perillós i surt massa car. D’altra banda, constata que sense coneixements, les competències són buides. I és pregunta cóm resoldrem problemes sense coneixements. Diu: què comunicarem, si no tenim res a dir?

Comprem o ens compren?

dissabte, 29/06/2019

Fa poc vaig escoltar, en una xerrada, la Cristina Giner. Parlava de la intel·ligència de negoci, i es preguntava de quina manera els professionals poden generar valor utilitzant l’anàlisi de la informació disponible, que bàsicament és informació i dades sobre clients actuals i clients potencials (els “targets“, segons deia ella). En el primer cas, parlava de les tècniques de fidelització, mentre que en el segon comentava que hi ha sistemes per a captar (podríem dir “caçar”) nous clients. Es tracta de tenir informació personalitzada, i de “saber sense preguntar”. Vaig quedar bastant sorprès quan va explicar que determinats centres comercials obtenen dades d’ubicació en temps real de les persones que van pel carrer, seleccionen les que estan passant per davant de la botiga, i a aquestes els envien missatges específics amb ofertes atractives per a que entrin a comprar.

Cal pensar-s’ho dues vegades abans de baixar-se una aplicació per al mòbil, i cal no anar massa ràpid a dir que acceptem que accedeixi a la nostra ubicació, a la càmera, als nostres contactes i a altres informacions privades. Perquè si ho fem, a més de rebre ofertes i saber les darreres novetats, els podem estar enviant informació sobre on som i què fem. I, al final, no queda clar qui compra a qui…

La sociòloga turca Zeynep Tufekci, en aquest vídeo TED, diu que el que ens ha de fer por no és el que la intel·ligència artificial ens pot fer, sino com la gent poderosa utilitzarà la intel·ligència artificial per controlar-nos i manipular-nos de manera oculta, subtil i inesperada. Perquè, diu, gran part de la tecnologia que pot amenaçar la nostra llibertat i dignitat a curt termini està sent desenvolupada per empreses dedicades a capturar i vendre les nostres dades i la nostre comportament amb objectius publicitaris i comercials: Facebook, Google, Amazon, Alibaba, Tencent. Només cal pensar en tot allò que Facebook sap de nosaltres: actualitzacions d’estat, converses de Messenger, llocs des d’on es hem registrat, fotografies que vam penjar… i fins i tot el que no hem volgut escriure: si comencem a escriure alguna cosa i ho esborrem perquè canviem d’opinió, Facebook també es guarda el que hem esborrat i ho analitza. I no només Facebook. Zeynep Tufekci explica que les aplicacions que ens baixem als mòbils i les galetes (“cookies”) que deixem instal·lar als nostres navegadors van captant informació nostra en paral·lel a donar-nos els serveis que demanem. Informació que no només surt del que escrivim sino que també inclou el nostre estat emocional, que els sistemes intenten deduir a partir de les nostres fotos i imatges. És allò que Tufekci anomena la intel·ligència artificial emocional. L’exemple paradigmàtic, explica en un article, és aquesta aplicació xinesa per a mòbils, per a seguidors del president Xi Jinping. Com que ja se l’han instal·lat més de 100 milions de xinesos, comença a passar allò que els qui no la tenen són ja una mica sospitosos només per no haver-se-la baixat. I a més, Zeynep Tufekci diu textualment, parlant de la captació d’emocions: “aviat, pot ser que la gent de la Xina no pugui desviar la mirada mentre utilitzen l’aplicació, perquè la càmera del telèfon podria estar avaluant el seu interès i vivacitat mentre llegeixen les darreres declaracions de Xi, per a descomptar punts als que semblin menys entusiastes”. Si deixes de llegir atentament, el mòbil avisa i informa els gestors de l’aplicació, dient-los que tens poc interès. Fa por, oi?. Zeynep Tufekci conclou que necessitem una economia digital en la que les nostres dades i la nostra atenció no es venguin a compradors negociants i/o demagogs.

Sabíeu que, a twitter, hi ha un bon percentatge de missatges (tuits) que han estat elaborats per màquines amb finalitats publicitàries i comercials? Els anomenats “chatbots” generen i envien missatges amb objectius diversos, segons qui els hagi creat, fent-se passar, moltes vegades, per persones reals (els “chatbots” són un tipus de “bots“, robots informàtics que generen tuits i altres missatges de manera automàtica). L’article de Jon-Patrick Allem, Emilio Ferrara, Sree Priyanka Uppu, Tess Boley Cruz i Jennifer B Unger, tots ells de la Universitat USC de Califòrnia (article que podeu trobar aquí) va analitzar l’estructura de 6803 tuits relacionats amb el tema de les cigarretes electròniques. D’aquests, van trobat que 5203 havien estat emesos per persones reals, mentre que els 1600 restants eren tuits publicitaris enviats per “chatbots“. Els investigadors conclouen que, per a fer qualsevol estudi sociològic, cal primer saber distingir entre uns i altres per tal d’eliminar els que no provenen d’humans. I ells ho van aconseguir, amb una anàlisi dels grafs que tenen com a nodes les etiquetes (“hashtags“) dels tuits (un total de 238 en els tuits humans i de 137 en els dels bots), considerant a més que dos etiquetes estan relacionades i formen un arc del graf si apareixen en un mateix tuit, i assignant pesos als arcs en base al nombre de tuits en que apareixen. El graf de tuits enviats per persones, que podeu veure aquí, és força uniforme; en canvi, el graf dels tuits creats pels “chatbox“, que teniu a aquesta imatge, és molt menys regular perquè hi ha determinades parelles d’etiquetes que són importants per als missatges publicitaris, de manera que s’hi troben molt més sovint. D’aquesta manera, quan ens arriba un nou tuit, és possible analitzar si es tracta d’un tuit publicitari o si ens l’envia algú. Però la tasca no és ni serà trivial, perquè l’objectiu comercial és el contrari (i per tant, els tuits publicitaris dels “chatbots” ben segur que s’aniran sofisticant i perfeccionant).

Hi ha una solució, encara que trenca aquest fals encant de la gratuïtat d’internet: és tan senzill com pagar pels serveis que subministren les entitats no públiques. Per què estem disposats a pagar cada mes una tarifa plana per poder accedir als continguts d’internet i en canvi ens costa acceptar que podríem haver de pagar pels serveis que ens ofereixen les empreses? Jo estaria disposat a pagar una mòdica quantitat per molts dels serveis que m’ofereixen, a canvi de negar-los l’accés a la meva privacitat i a l’ús de les meves dades. Perquè, com bé diu en Tom Webster, quan no pagues per un servei, et venen a tu (la imatge de dalt és d’aquesta web). El miratge d’internet s’ha anat convertint, any rere any, en el miratge i en el focus enlluernador de la publicitat, que ens compra mentre ens ofereix serveis increïbles.

——

Per cert, en Santiago Alba Rico diu que adaptar-se al canvi climàtic trobant-hi nínxols de mercat és com “adaptar-se”, amb una postura còmoda, al seient de l’avió que es precipita al buit. I ens avisa, dient-nos que mentre l’arbre del principi estava prohibit, l’arbre del final del món se’ns ofereix, al contrari, obligatori i abellidor sota el focus enlluernador de la publicitat.

Les fotos que ho resolen tot

divendres, 21/06/2019

Fa poc, uns amics parlaven del complicat que és plasmar la perspectiva en un paper i saber reproduir la direcció de les línies que fuguen, quan es fa un dibuix (vegeu la nota al final, pel que fa als punts de fuga). I algú va comentar que copiar d’una foto, en canvi, és molt més fàcil. L’argument era ben clar: les fotos ho resolen tot, i ens mostren exactament la direcció de totes aquelles línies que habitualment ens costa dibuixar bé.

Però el cert és que una foto, més que resoldre, el que fa és mostrar-nos la realitat. Això sí, projectada en el pla de la imatge que estem veient (vegeu, un cop més, la nota al final).

Tot plegat fa pensar, sobretot quan ens adonem que allò que veiem en una foto és exactament la imatge que es forma a les nostres retines. Mirem els carrers d’un poble, intentem dibuixar-los, i se’ns fa difícil resoldre el problema de definir les direccions dels traços per tal que el dibuix acabi sent quelcom que ens evoqui i representi la realitat. Si fem una foto, en canvi, ens és més fàcil fer-ho perquè podem copiar i la foto ens resol aquest problema de trobar les direccions. Però, com és que necessitem una foto si ja la tenim a la retina? Per què no som capaços de deduir les direccions dels traços directament a partir d’aquestes imatges que es formen en el fons dels nostres ulls? Per què una foto externa ens ho resol tot i en canvi la foto biològica que capten els nostres cons i bastons no resol res?

L’ull humà és com una cambra obscura. Bé, el cert és que és la cambra obscura la que simula el funcionament de l’ull (la imatge de dalt la podeu trobar a aquesta web, de la Amy Chabassier). És un artefacte que els xinesos ja coneixien al segle quart abans de Crist, tot i que va ser Leonardo da Vinci qui li va donar aplicació pràctica com a instrument auxiliar per al dibuix. Leonardo, al 1490, la va utilitzar per estudiar la perspectiva i la va representar en els seus llibres de notes. En un esbós de l’any 1508, va indicar que una cambra obscura podia reproduir la imatge d’un crucifix, com explica P.T. Durbin a la pàgina 67 del seu llibre sobre la filosofia de la tecnologia (cerqueu “how to bring a crucifix into a room camera obscura Leonardo” a Google). Els seus esbossos, alguns dels quals mostren la tecnologia de la cambra obscura, es poden consultar a la versió digital del “Codex Atlanticus. La perspectiva i els punts de fuga van arribar al dibuix i la pintura de la mà de Leonardo da Vinci.

Però el misteri continua: per què les fotos o les imatges de la cambra obscura ens són útils per a entendre la perspectiva, i en canvi la imatge que tenim a la retina no ho és? Doncs perquè el cervell simplifica extraordinàriament la informació visual que ens arriba, i, en aquest procés de simplificació, elimina tota informació relacionada amb línies inclinades i perspectives. El sistema perceptiu és molt bo fent estimacions de si les coses són lluny o a prop, però és molt dolent quan es tracta de captar inclinacions i angles.

Fabriquem una imatge del món que ens serveix per sobreviure, ignorant a la vegada les imatges objectives que el sistema òptic de l’ull ens deixa a la retina. L’evolució ens ha fet així, conformant-nos durant milers de generacions per a adaptar-nos bé al medi. Hi ha neurones que treballen per identificar allò que és vertical i horitzontal, i d’altres que saben reconèixer cares. En canvi, el nostre cervell és molt deficient quan es tracta d’entendre l’angle de les línies inclinades que fuguen. Les tenim a la retina, però el cervell no ens ajuda ni a copsar els seus angles ni a saber reproduir les seves inclinacions. Entenem només una molt petita part de la realitat que ens entra pels ulls, i la resta, el nostre cervell la inventa. Deu ser per això que ens deixem enganyar tan fàcilment quan el que diuen ens agrada…

Però la ciència ens diu que cal anar als fets i estudiar bé la realitat, perquè el món no és allò que ens volen fer veure.

——

Per cert, l’expresident egipci Mohammed Mursi va morir fa pocs dies d’un atac de cor durant el seu judici. Mursi, de 67 anys, havia estat el primer i únic president d’Egipte elegit en unes eleccions lliures. A la presó no disposava ni d’un simple matalàs i dormia a terra a la seva cel·la. El mantenien aïllat del món i no podia llegir llibres ni diaris.  I Helena Maleno ens explica en un tuit que vint-i-dues persones han mort ofegades a una pastera perquè ningú s’ha esforçat en rescatar-les. Helena Maleno ho diu ben clar en un tuit: les noves directrius polítiques dels serveis de rescat europeus, maten. Dos exemples de violació dels Drets Humans, dues noticies que ens mostren que el món no és el que ens volen fer veure.

——

NOTA: Fer un dibuix correcte des del punt de vista de la perspectiva no és difícil, al menys en teoria. La teoria matemàtica és ben senzilla: un dibuix no és més que la projecció cònica, en el paper, de l’escena que estem representant. En paraules més properes, només cal imaginar un punt O en la posició d’un dels nostres ulls, imaginar el paper de dibuix a una determinada distància (20, 30 o 40 centímetres) davant de O, i, per cada punt significatiu de l’escena (cantonades, racons de portes i finestres, extrems de les branques dels arbres, etc.), imaginar la línia recta que uneix aquest punt amb O. La intersecció d’aquesta recta amb el full de paper ens indica el lloc del paper on l’hem de dibuixar.

Ara bé, si el paper el situem darrera de O, el dibuix que obtindrem, invertit, és exactament el que es forma a la retina dels nostres ulls o a la paret del fons de les cambres obscures. Perquè la imatge que tenim a les retines és una fotografia perfecta de la realitat.

Una conseqüència immediata del fet que els dibuixos en perspectiva són projeccions còniques és que tot conjunt de línies rectes de l’escena que siguin paral·leles entre sí, queda representat, al paper, com un conjunt de rectes dibuixades (projectades) que convergeixen en un punt que s’anomena punt de fuga. Hi ha un punt de fuga per cada possible direcció de les línies rectes de l’escena, i els dibuixants diuen que les línies “fuguen” cap aquest punt.

Una darrera observació, essencial per a obtenir bons dibuixos: Si el conjunt de línies paral·leles que fuguen és horitzontal (com és el cas, per exemple, dels lleixes i llindes de portes i finestres), el seu punt de fuga es troba en algun lloc de la línia imaginària horitzontal que, al dibuix, indica l’alçada dels nostres ulls. I a més, convergeixen cap a la dreta o l’esquerra en funció d’on són les parts més llunyanes d’aquestes línies de l’escena. Sempre convergeixen en la direcció del que és més llunyà.

El Sol i les ombres

divendres, 14/06/2019

Tots parlem de dreta i esquerra sense cap dificultat (tot i que els esquerrans i alguns altres necessitem uns instants abans de contestar). No passa el mateix, en canvi, amb les quatre direccions cardinals: Nord, Sud, Est o Oest. Sabeu contestar ràpidament on és el Sud, si us ho pregunten?

Sempre m’ha intrigat per què algunes cultures són més geogràfiques i solars que altres. Als barris i districtes de ciutats anglosaxones trobem noms com “Upper East Side” o “North London“, cosa que no és usual a les ciutats Mediterrànies. A França parlen de les regions “du Midi” però aquí, el migdia no forma part del vocabulari geogràfic. I és que, entendre el moviment del Sol i pensar en base a la nostra rotació perpètua al voltant de l’eix de la Terra no és trivial.

He de dir que algunes frases em deixen pensatiu i una mica preocupat. A continuació comento cinc dubtes/preguntes que he escoltat durant els últims mesos:

“Quin és el moment del dia en què la meva ombra és més curta?”. Aquesta és la pregunta essencial, perquè respondre-la significa entendre on és el Sud, i això ens ajuda en tota la resta. En dia sense núvols i en un lloc sense obstacles significatius que ens tapin el Sol, la nostra ombra sempre és allargada tant al matí com a la nit, i en canvi és més curta al migdia, de manera que el moment en què l’ombra és més curta és l’anomenat migdia solar, instant en què el Sol creua el meridià del lloc i ens assenyala exactament la direcció del Sud (a l’hemisferi Nord; als països del Sud assenyala el Nord). De manera aproximada, podem dir que el migdia solar és a la una del migdia (horari d’hivern) i a les dues quan som en horari d’estiu. Però, donat que el seu càlcul exacte depèn de la nostra coordenada geogràfica de longitud i del dia concret de l’any a travès de l’equació del temps, hi ha webs com aquesta que ens el donen directament per qualsevol lloc del món. I cal dir que els constructors de catedrals, molt més interessats en el cel i el Sol que nosaltres, deixaven moltes vegades un petit forat al capdamunt de la paret Sud i marcaven al terra de la nau principal una línia meridiana, en direcció Nord-Sud, de manera que cada dia sense núvols els raigs de Sol la il·luminaven exactament en el moment del migdia solar (en aquest vídeo ho podeu veure a la catedral de Santa Maria del Fiore de Florència). El Sud, en resum, és la direcció de màxima alçada i esplendor del Sol, que escurça al màxim la nostra ombra. I ara, si ens posem mirant el Sol en aquest moment del seu migdia, tindrem l’Est a l’esquerra, l’Oest a la dreta, el Nord a l’esquena, i estarem orientats.

“Quan pujo al tren, a quin costat m’he de posar per a que no em toqui el Sol?”. No és difícil saber-ho, i pensar-hi és un bon exercici mental. Només cal imaginar el tren movent-se en un mapa mental del trajecte que volem fer, i pensar si viatgem al matí o a la tarda. Si anem de Sud a Nord al matí, és clar és clar que el Sol entrarà per la dreta del tren (als matins, a l’hemisferi Nord, el Sol es va movent pel quadrant entre l’Est i el Sud) i per tant haurem de seure als seients de l’esquerra. Si després tornem a la tarda (anant de Nord a Sud) ens caldrà tornar a seure a l’esquerra, perquè el Sol serà a l’Oest però el tren circula en direcció contrària. I aquest és un raonament que podem fer per qualsevol altra direcció del trajecte. Perquè el Sol és d’allò més precís i previsible. I, com diu la Rosa Montero, quan podem gaudir del plaer de caminar força hores seguides, l’espectacle del Sol que puja lentament pel cel per després tornar a baixar per la banda Oest és sublim.

“Si deixo el cotxe aparcat sota un arbre i vaig a dinar, quan torni, encara serà a l’ombra?”. Totes les ombres, a les nostres latituds, al llarg del dia giren en el sentit de les agulles del rellotge. Per tant, per respondre aquesta pregunta només cal imaginar com anirà girant l’ombra. La imatge de dalt mostra una cantonada. Veiem que la paret de la dreta rep la llum del Sol mentre que la de l’esquerra no. Imaginem ara un rellotge d’agulles, a terra. Com que les ombres giren en el mateix sentit que les seves agulles, podem afirmar que falten pocs minuts per a que la paret de l’esquerra comenci a rebre els raigs de Sol. S’anirà il·luminant mentre l’ombra del pal s’acosta a la paret.

“Per què la setmana de Sant Joan no més la més calorosa de l’any?”. El que passa és que, al llarg de l’any, la intensitat de llum solar, és quasi simètrica i sinusoïdal. L’alçada màxima del Sol, al migdia solar, té el seu mínim al solstici d’hivern i el seu màxim al solstici d’estiu (prop del 21 de juny), que és quan el Sol és més vertical i ens fa llum durant més hores. Però els dies de més llum, prop de les festes de Sant Joan, no són pas els més calorosos. Són els de més escalfament solar, perquè els dies de més hores de Sol també són els de màxima exposició a la seva radiació infraroja. Però escalfament no és sinònim de temperatura. La gran inèrcia tèrmica de la Terra i dels mars ens ho retarda. La inèrcia i l’escalfament progressiu fa que la calor no ens arribi fins al juliol o l’agost.

“Puc saber l’hora, mirant l’ombra de la cantonada del meu carrer?”. La resposta és que sí, encara que de forma aproximada. I, a la inversa, si sé l’hora, puc orientar-me i saber on és el Nord (i el Sud, l’Est i l’Oest). El moviment aparent del sol al cel és un dels fenòmens més ben estudiats al llarg de la història de la ciència. El sol és un bon rellotge, però l’hem de saber llegir. Imaginem-nos al lloc de la imatge de dalt, amb el nostre rellotge de polsera. Primer, hem de canviar a l’hora solar: una hora menys si som als mesos d’hivern, dues hores menys si som als mesos d’estiu. Si el rellotge marca les 11 i som al juny, són les 9 a l’hora solar. Tot seguit, trobem la direcció intermèdia entre aquesta direcció (les 9) de la busca de les hores i la de les 12. En el nostre cas, la direcció intermèdia (anomenada bisectriu) entre la de les 9 del matí i les 12 és la de les 10:30. Ara, només cal girar el rellotge i orientar-lo de manera que aquesta bisectriu coincideixi amb la direcció de l’ombra d’un pal vertical, d’un arbre, d’una cantonada d’edifici o de nosaltres mateixos. La direcció de les 12 al nostre rellotge assenyala aproximadament el Nord (vegeu la nota al final).

Tot plegat no és massa difícil, oi? Només cal saber que, al nostre hemisferi del planeta, el Sol al migdia (les nostres una o dues, segons si som a l’hivern o l’estiu) ens indica el Sud; que, si ens situem de cara al Sud, el Sol al matí és a la nostra esquerra i a la tarda a la nostra dreta; que les ombres giren en el sentit de les agulles del rellotge de manera que al matí apunten a l’Oest, al migdia al Nord i a la tarda a l’Est; que podem orientar-nos molt fàcilment, de manera aproximada, si tenim un rellotge de polsera o si sabem l’hora; i que tot és molt fàcil d’entendre si ens imaginem estirats en una gandula inclinada de manera que ens deixi paral·lels a l’eix de la Terra.

No deixa de ser sorprenent la nostra manca d’interès per entendre un fenomen que ens acompanya tots els dies de la nostra vida, mentre pensem que podem entendre i encasellar l’estructura mental i la manera de pensar de les altres persones. Segur que es pot empatitzar en situació de desinterès pel món que ens envolta?

——

Per cert, Eratòstenes de Cirene va adonar-se que a la ciutat de Syene (l’actual Assuan), els raigs del Sol, al migdia del 21 de juny (solstici d’estiu), són verticals, de tal manera que arriben fins al fons dels pous. Amb aquesta observació, fent algunes mesures més i amb bones deduccions, va poder calcular el radi de la Terra.

——

NOTA: L’eix de la Terra té una orientació “estranya”, inclinada cap al nord i en direcció a la Polar. L’error dels nostres avantpassats i la dificultat que tenim per entendre el moviment aparent del Sol és fruit de la nostra manera provinciana de mirar i entendre el món. Creiem que caminem ben drets i eixerits. Però habitem la Terra, i el nostre planeta té una única direcció singular: la del seu eix E. Som éssers que vivim torçats, inclinats en relació a l’eix E i en relació als altres. Quan els d’Igualada caminen, la seva vertical forma un angle de 48,42 graus amb l’eix de la Terra. Aquest angle és 49,28 de graus pels d’Amposta i de 62 graus pels que viuen a Tenerife. Quina ha de ser la direcció de referència, la meva o la de l’eix de la Terra? Tot es més fàcil si acceptem que l’important, al nostre planeta, és la rotació al voltant del seu eix E, i que som nosaltres els que tenim una vertical estranya i diferent de la direcció d’aquest eix. Imaginem-nos estirats en una gandula inclinada cap al Nord de manera que ens deixi paral·lels a l’eix de la Terra. Si ho fem, gaudirem de l’absoluta regularitat del moviment diürn del Sol, que gira 360/24 = 15 graus cada hora.

A casa i abans de sortir, puc arribar a saber quina serà l’ombra d’una determinada cantonada del meu carrer a les 11 del matí? La resposta és afirmativa, si teniu ganes de fer un exercici d’imaginació. Suposem que és l’estiu. Les 11 són les 9, hora solar aproximada. Són tres hores abans del migdia solar. El Sol, amb la seva extrema regularitat, es trobarà en un pla PS que passa per l’eix de la Terra E i que forma un angle de 15*3=45 graus amb el pla meridià M (pla vertical que conté la direcció Sud). Cal imaginar l’eix E en la direcció cap on, a les nits, hi ha la polar, visualitzar M, i mirant al Sud, girar M 45 graus a l’esquerra: ja tenim el pla PS. I, si pensem en la direcció en què trobem el Sol al migdia i la girem també 45 graus a l’esquerra al voltant de E, sabrem la direcció del Sol DS ara mateix. Imaginem ara el pla paral·lel a PS que passa per un punt Q de la cantonada a un pam de terra: és el pla que conté la línia d’ombra d’aquest punt Q. I la intersecció W entre la recta que passa per Q amb direcció DS i el pla de la vorera ens diu on serà l’ombra de Q. Si el punt W és al carrer, tindrem ombra; si cau dins de la casa, no en tindrem. Costa imaginar-ho, però és perquè no estem acostumats a mirar el cel des de l’orientació de l’eix de la Terra…

Nosaltres (i tot el que ens envolta) girem al voltant de l’eix de la Terra, mentre que la direcció S de la Terra al Sol, vista per un observador inercial i extern al sistema solar, és aproximadament constant al llarg d’un dia. Per això, la recta D que uneix la punta P de qualsevol pal amb l’extrem de la seva ombra al terra descriu, al llarg del dia, un con: perquè aquesta recta, vista des de fora de la Terra, no canvia i sempre té la direcció de S; el que gira és la Terra al voltant del seu eix E. El moviment aparent de D al llarg del dia és un gir al voltant de E, i com bé explica la geometria, tota recta que, passant per un punt P, gira al voltant d’un eix E, descriu un con.

Sobre corbes, inflexions, Frenet i Fuller

divendres, 31/05/2019

Fa poc, anant per una ruta de muntanya, vaig veure que l’eix de la carretera dibuixava quatre corbes. Era una perspectiva estranya, perquè un petit canvi de rasant feia desaparèixer de la meva vista aquella línia discontínua que, invisible, continuava girant a l’esquerra en una darrera corba que se’m amagava.

Quantes corbes té, una carretera de muntanya? Quan anem en cotxe, si ens interessa, podem esbrinar-ho de dues maneres: comptant corbes o bé comptant inflexions. Perquè aquestes darreres, també anomenades punts (o intervals) d’inflexió, són més fàcils de detectar i comptabilitzar. Són els punts en què el volant del cotxe queda recte quan acabem el gir corresponent a la darrera corba que hem passat i ens preparem per entrar a la següent. A la imatge de l’esquerra (que podreu veure en gran si cliqueu damunt seu) podem observar clarament els tres punts d’inflexió que separen i limiten les quatre corbes visibles. Les corbes són intervals de carretera mentre que les inflexions són els límits o fronteres entre corbes successives. I ja se sap que, quan es parla d’intervals, el seu comptador difereix en una unitat respecte el resultat de comptar transicions (tres dies, dues nits, per exemple).

Imaginem ara un conjunt de punts distribuïts al llarg de l’eix de la carretera. Podem pensar, per exemple, en el punt central de cada traç de la línia discontinua. Cada un d’aquests punts, P, té un “punt germà” associat a ell i ben fàcil de calcular, que és el seu centre de curvatura (vegeu la nota al final). Per als punts P que es troben a corbes cap a la dreta, el seu centre de curvatura és a la dreta de la carretera, mentre que els dels punts de les corbes a l’esquerra són òbviament a l’esquerra.

El bonic de tot això és el que va descobrir en Jean Frédéric Frenet a la seva tesi doctoral, l’any 1847. Els centres de curvatura dels punts de la línia discontínua del centre de la carrereta, que alguns cops s’enfonsen a terra i altres vegades són a l’aire, defineixen un tríedre de direccions perpendiculars entre elles, que va canviant al llarg de la corba i la caracteritza. Com bé ens va explicar Frenet, aquestes 3 direccions perpendiculars formen un sistema de coordenades intrínsec a la corba que indica l’orientació de les dues coordenades que tota corba té a qualsevol punt. En el nostre cas, aquestes direccions són la de l’eix de la carretera (marcada per les línies pintades al seu eix), la de la recta que uneix cada punt P amb el seu centre de curvatura, i la direcció perpendicular, a l’espai, a aquestes dues. Són direccions intrínseques a la corba, que configuren el tríedre que anomenem de Frenet, i que codifiquen tant la direcció de la curvatura com la seva torsió quan anem avançant al llarg de la corba (és interessant observar que la direcció de la curvatura, en els canvis de rasant no peraltats, s’acaba enfonsant a terra fins fer-se vertical).

M’agrada imaginar que, per uns moments, desapareix la carretera i el seu entorn, de manera que només queda la corba discontínua del seu eix, penjada a l’espai. Imagino que puc volar, avançant per ella ben agafat a les direccions del tríedre de Frenet per a poder percebre bé la seva tridimensionalitat. I penso en l’ordre geomètric, tan ubic i tan desconegut.

I de fet, el massa oblidat Buckminster Fuller va entendre que l’ordre geomètric (l’ordre icosaèdric dels seus dissenys “dymaxion”) és el que ens pot salvar, servint de base per a la creació d’un entorn tecnològicament ordenat que ajudi a enriquir l’existència humana. Mira per on, Fuller va arribar a l’ètica a partir de la geometria…

——

Per cert, en Buckminster Fuller va dir que, enlloc d’intentar reformar les persones, calia crear i construir viviment (“livingry”, el contrary de “weaponry”): eines i objectes per a millorar la vida. Perquè, deia, si aconseguim un entorn adequadament organitzat, això permetrà que creixin, exitosament, les capacitats humanes innates i originals.

——

NOTA: Podem calcular la posició aproximada del centre de curvatura C(P) d’un punt P qualsevol de l’eix de la carretera, usant la informació del punt anterior a P (que anomenaré Q) i del posterior, R, en la seqüència de punts que tenim distribuïts al llarg de l’eix. El punt C(P) pertany al pla Pi definit pels punts Q, P, R, i és el centre de la circumferència que els conté. De fet, C(P) no és més que el punt d’intersecció (en el pla Pi) entre les bisectrius dels segments Q-P i P-R, com bé ens explica la geometria. Un cop hem calculat C(P), els tres eixos del tríedre de Frenet en el punt P els podem aproximar pels vectors (R-P), (C(P)-P) i pel producte vectorial d’aquests dos.

Si la corba té trams rectes, però, els punts P, Q, R no defineixen cap pla i tot això deixa de tenir sentit. En aquest cas es diu que el punt C(P) és a l’infinit i que la curvatura a P és zero. I el tríedre de Frenet no existeix. Per això, imaginar-se volant per trams rectes pot ser problemàtic i no és massa aconsellable.

Un comentari final. Per a obtenir resultats més exactes i no tan aproximats, només cal usar punts Q, P, R més propers entre sí. Si ho fem una i altra vegada, veurem que en el límit se’ns acaba apareixent la gran troballa que van fer, de manera separada i independent, Leibnitz i Newton: el càlcul diferencial, amb les seves derivades.

Les esferes de bastons

dissabte, 20/04/2019

Ho he de confessar. M’agraden els icosaedres. Són els sòlids platònics que millor aproximen les esferes, en ser els que més cares tenen. Plató els relacionava amb l’aigua, suau i esmunyedissa. Cada un dels seus 12 vèrtexs és idèntic als altres, formant casquets de cinc triangles equilàters. I a més, com podeu veure als dibuixos de baix de la taula de coordenades d’aquesta web, els 12 vèrtexs es poden agrupar en 3 grups de quatre, que corresponen a les cantonades de tres rectangles de proporció àuria disposats de manera perpendicular.

La imatge, que podeu trobar a aquesta web de la NASA, mostra un icosaedre dalt a l’esquerra junt amb dos sòlids derivats. A dalt al centre (i també a sota) tenim el resultat de quadruplicar el nombre inicial de cares. I dalt a la dreta, veiem el que obtenim si tornem a quadruplicar les cares. Les 20 cares inicials de l’icosaedre passen a 80 i després a 320 (vegeu la nota al final) de manera que l’icosaedre es va convertint pas a pas en una esfera. Són les meravelloses cúpules geodèsiques com les que va crear en Buckminster Fuller.

Un bon treball manual per a fer amb els nens (si tenen una mica de paciència) és construir una quasi-esfera de 80 cares, amb bastons i argolles. El primer que haureu de decidir és el radi de l’esfera final, que anomenaré R. Si voleu que serveixi com a globus per a fer una làmpada, per exemple, podeu escollir un R de 10 o 20 centímetres, però si voleu fer una cabana esfèrica haureu de pensar en un valor de R del voltant d’un metre. Necessitareu 42 argolles metàl·liques i un total de 120 bastons de fusta. Seixanta d’aquests bastons hauran de tenir un forat a cada extrem, amb una separació entre ells igual a 0,546532*R; els altres 60, una mica més llargs, els haureu de preparar amb una separació entre forats igual a c=0,618*R (vegeu la nota al final). Les argolles, com les dels clauers però més grans, han de poder agrupar fins a 6 bastons cada una, quan els enfilem pels seus forats. Un consell: comenceu construint un simple tetraedre de 12 vèrtexs i 20 cares (en el que cada una de les seves arestes estarà formada per dos bastons dels curts units amb una argolla central), i després acabeu omplint les sub-cares amb els altres 60 bastons més llargs. El resultat mereix la pena.

En Buckminster Fuller era un enamorat dels icosaedres. Bona part dels seus dissenys, com el mapa del món “Dymaxion”, es basaven en aquest poliedre regular de 20 cares. Parlava de l’harmonia dels icosaedres, i deia que la humanitat també havia d’aprendre a viure de manera harmònica i en pau, convivint i tenint cura d’aquesta “nau espacial Terra” que és tot el que tenim. Deia que per a fer-ho, calia convertir l’armament en “viviment”, en tecnologia al servei de les necessitats de totes les persones, i saber conviure amb els altres, amb els desconeguts. Llegir els seus escrits és endinsar-se en un Univers molt particular en el que la geometria Platònica i Euclidiana li il·luminava el camí a seguir per avançar cap una societat més humana i respectuosa amb la dignitat de tothom.

———

Per cert, el biòleg Mark Moffett ens parla de la sorprenent habilitat que tenim de trobar-nos còmodes entre desconeguts. Podem entrar a una cafeteria o un estadi ple de gent desconeguda sense pensar-nos-ho dues vegades, cosa que no farien els ximpanzés, o els llops. Aquesta habilitat, diu, ha permès que els éssers humans siguem ara a tot el món. A més, com a conseqüència de les exploracions a partir del segle XV i, més recentment, del turisme i les xarxes socials, ara hi ha contacte entre persones de parts ben llunyanes del planeta. Per tant, ja no podem tenir por dels forasters, diu.

———

NOTA: L’icosaedre té 12 vèrtexs, 20 cares (triangles equilàters), i 30 arestes. Si el subdividim obtenim el del mig de la imatge de dalt, que té 12+30=42 vèrtexs, 20*4=80 cares 30*2+20*3=120 arestes. La regla és molt senzilla. Si anomenem V, C i A el nombre de vèrtexs, cares i arestes del poliedre inicial, el nombre de vèrtexs de l’icosaedre subdividit és V+A perquè aquesta subdivisió es basa en afegir un nou vèrtex al mig de totes i cada una de les seves arestes i després “inflar” l’aresta fins que aquest nou vèrtex passi a trobar-se sobre l’esfera circumscrita (que de fet és la que volem anar aproximant). Això es pot veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt. El triangle marcat amb arestes en vermell, que en el icosaedre inicial era un triangle equilàter amb tres arestes, ara les té subdividides i inflades de manera que tots 6 vèrtexs (els 3 vells i els 3 nous) pertanyen a l’esfera circumscrita. A més, el nombre de cares de l’icosaedre subdividit és C*4 perquè el que cal fer, en un segon pas, és afegir tres arestes a cada cara inicial per unir els seus tres nous vèrtexs, de manera que qualsevol cara inicial en genera 4 de noves. Aquestes 4 noves cares es poden veure bé en el triangle vermell de l’icosaedre subdividit de la imatge de dalt: tres d’elles són verdes i la quarta, la del centre, és de color marró clar. Finalment, el nombre d’arestes de l’icosaedre subdividit és A*2+C*3 per tot el que acabem de veure. La mateixa regla es pot repetir una o més vegades, per anar obtenint icosaedres subdividits que cada cop siguin més semblants a una esfera. De fet, el poliedre de la dreta a la imatge de dalt, que té 80*4=320 cares, s’ha obtingut aplicant la mateixa regla de subdividir les arestes en 2 i les cares en 4 al poliedre de 80 cares del mig (tot plegat es pot complicar encara una mica més, perquè a cada pas de subdivisió, les arestes les podem dividir no en 2, sino en 3, en 4, o en més trossos; es fàcil veure que quan subdividim les arestes en 3, per exemple, cada cara passa a convertir-se en 9 sub-cares).

Algunes curiositats finals. Tots els poliedres que obtenim, fem els passos de subdivisió que fem i dividim com dividim les arestes a cada pas, compleixen la ben coneguda equació d’Euler que s’aplica a tots els poliedres topològicament equivalents a una esfera: C+V=A+2. D’altra banda, tots els nous vèrtexs tenen 6 triangles al seu voltant, mentre que els 12 vèrtexs inicials continuen tenint els 5 que ja tenien. Ho podeu veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt, en el que els pentàgons formats pels 5 triangles que envolten cada un dels vèrtexs inicials es representen en verd. Aquesta és una propietat molt curiosa: quan repetim la subdivisió i arribem, per exemple, al poliedre de la dreta de la imatge (amb 320 cares i 42+120=162 vèrtexs), quasi tots els vèrtexs pertanyen a 6 triangles, menys 12 d’ells, que només en tenen 5. En concret, aquest poliedre té 150 vèrtexs amb 6 triangles i 12 vèrtexs amb 5. Costa de veure, perquè el nostre sistema perceptiu tendeix a confondre anells de 5 i de 6 triangles, però si us hi fixeu bé, trobareu, en aquest poliedre subdividit de 320 cares, els 12 vèrtexs de l’icosaedre inicial amb els seus pentàgons de triangles al voltant. Són a les mateixes posicions que tenien al principi, no s’han mogut.

I un darrer detall. Els triangles dels icosaedres subdividits no són equilàters, sino isòsceles (si fossin equilàters, hauríem inventat un nou sòlid platònic regular, cosa que sabem que és impossible). En el icosaedre inicial, la longitud de les arestes és a=1,051462*R, on R és el radi de l’esfera circumscrita. En canvi, en el de 80 cares del mig de la imatge de dalt, trobem arestes de dues mides. Les vermelles (em refereixo al poliedre de sota de la imatge de dalt) tenen una longitud b=0,546532*R, mentre que les tres que uneixen els nous punts i subdivideixen la cara en quatre sub-cares tenen una longitud c=0,618*R. Per tant, si volem construir una quasi-esfera de 80 cares amb 120 bastons, n’haurem de preparar 30*2=60 d’una mida b=0,546532*R i 20*3=60 de llargada c=0,618*R. Meitat i meitat. La diferència de llargades entre uns i altres és d’un 13%.

Les matemàtiques de les infeccions

divendres, 5/04/2019

Des dels anys 80 fins 1995, els mecanismes relacionats amb el virus de la Sida van ser totalment desconeguts. El desenvolupament de la malaltia era estrany. Ho mostra la imatge d’aquí al costat, que podeu trobar a aquesta web. La corba vermella ens indica l’evolució al llarg del temps de la concentració del virus a la sang en absència de tractament, en una escala logarítmica (a la dreta) que arriba fins a més d’un milió de virus per centímetre cúbic. La blava, mostra la concentració de les nostres cèl·lules immunitàries anomenades limfòcits T. La infecció primària generava una gran quantitat de virus durant unes poques setmanes, amb símptomes similars a una grip molt forta. Però el sistema immunitari aconseguia aturar-la parcialment, arribant a una quasi-estabilització a les 10-12 setmanes. Després, durant un llarg període (observeu que l’eix horitzontal de la gràfica té una doble escala), tot semblava tornar a la normalitat. Però, al cap de vuit o nou anys, el pacient entrava a la fase terminal, caracteritzat per un creixement molt i molt ràpid de la concentració de virus que eliminava del tot les poques defenses que encara li poguessin quedar.

Fins al 1995, no es donava gaire importància a la llarga fase latent de més de vuit anys, i els esforços clínics anaven encaminats a aturar la malaltia durant la seva explosió final. Tampoc s’acabava d’entendre perquè hi havia aquesta llarga aturada durant la qual les persones infectades podien fer vida normal.

La gran descoberta va venir l’any 1995 de la mà dels equips de recerca de David Ho i Alan Perelson, amb resultats que van publicar a la revista Nature, quan van aconseguir entendre el que passava durant aquests anys misteriosos de latència. I ho van fer amb matemàtiques, plantejant una equació diferencial per entendre l’evolució de la concentració de virus a la sang (vegeu la nota al final). La conclusió va ser que durant tots aquests vuit o deu anys, res era més lluny de la “vida normal”. Eren anys d’una lluita aferrissada entre el sistema immunològic i el virus, durant els quals, Ho i Perelson van calcular que la persona malalta anava destruint uns 10 mil milions de virus cada dia. Vuit o deu anys eliminant tots aquests virus cada dia! El problema és que el cos humà no pot mantenir aquest esforç massa anys, i ja és molt que sigui capaç de fer-ho dia rere dia durant molts anys. El sistema immunitari s’anava esgotant, i al final del període de latència acabava tirant la tovallola.

El gran error, fins 1995, va ser no pensar atacar la malaltia durant tots aquests anys “tranquils” de latència. Anys en els que la processó, que no es veia, anava per dins. Ho i Perelson van entendre que calia actuar, amb fàrmacs, durant justament aquests anys en els que semblava que no passava res. David Ho va ser nomenat home de l’any per la revista Time l’any 1996, i Alan Perelson va rebre el premi Max Delbruck fa poc més d’un any en reconeixement als seus resultats en immunologia teòrica. Gràcies als dos i a les equacions diferencials que van plantejar, ara es pot controlar l’evolució del virus de la Sida.

En un llibre que aviat publicarà (“Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe“), el professor Steven Strogatz porta els lectors a través de la història de segles i segles del càlcul matemàtic, mentre explica el paper crucial que el càlcul va tenir i ha tingut en la configuració del nostre món actual. Strogatz ho explica molt bé: Ho i Perelson van descobrir que el virus de la Sida no estava inactiu durant l’etapa asimptomàtica, i que era llavors quan calia atacar-lo.

La troballa de David Ho i Alan Perelson és un exemple de saviesa, biològica i matemàtica, que ha permès millorar la seguretat humana de moltes persones a tot el món, cuidant-les i tornant-los la vida.

———

Per cert, la Rosa Montero cita aquests versos de Salvatore Quasimodo: “cada un de nosaltres està sol damunt el cor de la Terra / travessat per un raig de Sol / I de cop, es fa de nit”. I diu que li agradaria tenir la saviesa suficient per a ser capaç de no arruïnar el fulgor d’aquest breu raig de llum amb els seus temors.

———

NOTA: Una de les equacions diferencials de Ho i Perelson indica que la derivada de la concentració V de virus del Sida a la sang (corba vermella a la imatge de dalt) durant l’etapa de latència és igual a P – c*V. En aquesta equació, el valor del paràmetre “c” indica l’eficàcia del sistema immunològic i dels tractaments amb fàrmacs; de fet, si fem P=0 és fàcil veure que l’equació diferencial es pot integrar i ens porta a una concentració V de virus a la sang que és exponencialment decreixent. D’altra banda, i durant la fase de latència, el paràmetre “P” indica que si no féssim res (c=0), la proporció V de virus aniria creixent. El valor de “P” mesura la taxa de reproducció dels virus.

Evidentment, hi ha un equilibri quan la derivada és zero, i això implica P=c*V. I això és el que sembla que passa durant els vuit o nou anys de latència. Però només ho sembla, perquè, com mostren les corbes de la imatge, són 8 anys durant els quals el virus va lentament guanyant el sistema immunitari. En altres paraules, en absència de tractament, durant els anys de latència, el valor de “c” va baixant, poc a poc, però va baixant. Quan finalment el valor de “c” és massa baix, tot explota.

Traduccions, algorismes i dignitat

divendres, 29/03/2019

La història de la traducció automàtica s’ha anat construint en paral·lel a la de la informàtica. L’any 1954 es va fer el primer intent de traducció, conegut com experiment de Georgetown, en el que els autors van saber traduir unes seixanta frases del rus a l’anglès. Però després, durant molts anys, tots els intents van anar fracassant. Intentaven traduir en base a regles sintàctiques i semàntiques d’un i altre idioma i recollien fracàs darrera fracàs. Van ser cinc dècades d’anar topant contra la paret, fins que l’any 2003, en Franz Josef Och va guanyar el concurs DARPA de traducció automàtica amb un nou algorisme de traducció probabilística o estadística i ens va obrir la porta al que ara tenim. Els sistemes actuals es basen en tres idees bàsiques: un model probabilístic, un sistema d’aprenentatge i un mètode d’optimització en temps real. L’interessant és que aquests algorismes de traducció no tenen en compte ni una sola regla, ni sintàctica ni semàntica. Es basen només en l’anàlisi estadística de parelles de texts o corpus (traduïts bàsicament per professionals). Aprenen de la informació que hi ha al món.

Concretem-nos al traductor de Google. És útil? Funciona? És fiable? De fet, és interessant veure que pot ser-nos útil sense ser del tot fiable. Si demanem la traducció al castellà de “plou a bots i barrals”, el traductor ens dona la resposta “llueve a cántaros”, que és un resultat perfecte i no literal. Però si volem traduir “no por mucho madrugar, amanece más temprano” a l’anglès, la traducció que Google ens ofereix és “not too early, dawns earlier”, que ja no és acceptable. Tenim un traductor que funciona, però no sempre. Fins i tot podríem calcular la seva fiabilitat, si escollíssim 100 frases (no tenen per què ser 100, és clar) de llibres a l’atzar i comptéssim en quantes s’equivoca. L’interessant és que no sempre l’encerta, però tot i així és útil. Jo l’utilitzo molt sovint, i sé de molta gent que fa el mateix. Per què? Doncs perquè no ens en fiem del tot, i comprovem la seva traducció. Si ens agrada, la usem; i, si no, la canviem. Fem una post-supervisió del que ens torna. Tot plegat té relació amb el fet que el traductor de Google utilitza tècniques d’aprenentatge basades en xarxes neuronals “profundes” que tenen un nombre elevat de capes de neurones. La mateixa plasticitat i flexibilitat que fa que ens proposi traduccions no literals, fa que de vegades s’equivoqui.

Podríem dir que, d’algorismes, n’hi ha de dos tipus: els fiables i els que anomenaré incerts. Un exemple paradigmàtic de sistema fiable és el que va conduir la nau “New Horizons fins Plutó i més enllà. Que els humans haguéssim estat capaços de dissenyar i implementar els algorismes que van portar la nostra nau fins aquell punt insignificant als confins del sistema solar durant més de 9 anys i que ho féssim bé, és simplement increïble. Els algorismes fiables, a diferència dels incerts, tenen un marge d’error insignificant. I què podem dir, dels incerts? D’aquests, a més dels de traducció automàtica, podríem citar, per exemple, els podòmetres que ens podem instal·lar al telèfon mòbil. És fàcil fer la prova: només cal instal·lar dues aplicacions diferents de les que compten els passos que fem, i mirar què ens diuen una i altra al final del dia. Ens indicaran valors semblants, però no coincidents. Un cop més, són algorismes que tot i no ser exactes, són útils.

Una altra possible categorització és la que classifica els algorismes segons el seu grau d’autonomia. I, en aquest cas, es diu que un algorisme és autònom si pot assolir els seus objectius sense cap intervenció humana. De fet, el món és ple d’algorismes que funcionen de manera autònoma: en tenim a les portes automàtiques, en els que controlen els robots que treuen la pols del terra a casa, en els algorismes que ens mostren horaris i preus de trens o avions, o en els del GPS que ens diuen on som.

El problema apareix quan barregem les dues categories, i pretenem dissenyar sistemes autònoms amb algorismes incerts. Els sistemes d’intel·ligència artificial que aprenen de la informació que hi ha a internet i de la que obtenen de nosaltres (l’anomenat “big data“) tenen molts més problemes del que ens volen fer creure: no són fiables, són incerts, no són explicables i els seus resultats moltes vegades són esbiaixats. No són fiables perquè, com és ben conegut entre els experts, s’equivoquen un nombre important de vegades. A més, com que es basen en xarxes neuronals no lineals amb moltíssims paràmetres, ningú pot explicar per què arriben a uns resultats i no a uns altres. En no ser explicables, no es pot determinar qui és la persona responsable en el cas d’actuacions que hagin acabat sent legalment incorrectes. I són esbiaixats perquè no fan més que heretar el biaix de la informació que utilitzen per aprendre, que mai complirà els requisits que l’estadística demana a qualsevol mostreig aleatori de la població. Algú de vosaltres pujaria a un cotxe autònom que tingués una probabilitat d’error similar a la que tenen els actuals sistemes de traducció automàtica? Els algorismes incerts, com els d’intel·ligència artificial basats en l’aprenentatge automàtic, poden ser perfectament útils en aplicacions que són tolerants als errors (ningú confia al 100% en les prediccions del temps) o en les que hi ha algú que supervisa els resultats (traducció automàtica). Però poden arribar a ser perillosos si s’apliquen a sistemes autònoms que pretenen funcionar sense cap intervenció humana, com explica la Virginia Eubanks al seu llibre. Hem de veure sempre si podem acceptar resultats i actuacions equivocats o no, perquè no és el mateix trobar-nos una frase surrealista en una traducció, que patir un accident amb un cotxe autònom i fer mal a algú. Les persones tenen dignitat, les frases no.

Ara bé, el cas més dramàtic de sistemes autònoms amb algorismes no explicables i incerts és, però, el de les anomenades armes letals autònomes (les “LAWS“, en anglès) que alguns països ja estan en procès de desenvolupar. Són màquines que podran matar sense una clara intervenció humana, amb tècniques que són especialment preocupants si poden seleccionar automàticament els objectius a atacar, com diu en Noel Sharkey. Perquè en aquest cas, els errors seran vides humanes. Es tracta d’un dels màxims atemptats que es poden fer a la dignitat humana de les persones, moltes d’elles civils.

La imatge de dalt, que podeu trobar en aquesta web, mostra els qui ara mateix demanen la prohibició de les armes robòtiques autònomes: 21 premis Nobel, més de quatre mil experts en intel·ligència artificial, el 61% de la població mundial (segons una recent enquesta), el parlament europeu, 28 països, i l’actual secretari general de Nacions Unides Antonio Guterres, que va declarar que seria moralment repugnant que el món no prohibís les màquines autònomes dissenyades per a poder matar persones sense implicació humana.

Acabo amb una conjectura. Sabem, com bé ens explica la Virginia Eubanks, que és difícil tenir dades objectives sobre el grau d’error de molts sistemes autònoms basats en aprenentatge i xarxes neuronals. La informació que ens arriba de molts d’aquests sistemes (de publicitat, d’ajut a la presa de decisions, de futurs vehicles i sistemes autònoms) és esbiaixada, tendenciosa i no objectiva perquè té finalitats comercials: ens volen convèncer per a que els comprem i/o usem. En altres casos, com el de les armes autònomes, la informació és simplement secreta i no ens arriba. Però jo m’atreviria a afirmar que podem tenir-ne una mesura de fiabilitat, per analogia, mesurant la taxa d’error del traductor de Google. Perquè, atès que el sistema d’aprenentatge d’aquest traductor és altament sofisticat i es nodreix d’una base de dades ingent d’informació, l’error d’altres sistemes autònoms que ens volen vendre (en sentit material o figurat) hauria de ser del mateix ordre de magnitud que el que veiem quan traduïm amb Google.

Cal desemmascarar les informacions falses i intencionades, per respecte a la dignitat de les persones.

———

Per cert, en Peter Tabichi, mestre d’un poble remot al comtat de Nakuru, a Kènia, ha estat escollit millor professor del món. Els seus estudiants han guanyat una competició nacional de ciències, i el seu equip de matemàtiques s’ha classificat per a un campionat als Estats Units. Calen moltes més notícies sobre educació, ciència i Àfrica…

La geometria de cada dia

divendres, 22/03/2019

La imatge d’aquestes cadires, que vaig fer l’altre dia, ens permet saber el nombre de llums que hi havia a l’habitació. Ho podeu deduir?

Només cal mirar la zona de la paret que es veu entre les dues cadires de l’esquerra, i comptar el nombre d’ombres que hi projecten els dos respatllers. De la cadira de més a l’esquerra en surten dues ombres, una més amunt i l’altra més avall, que reprodueixen la forma del respatller. Així mateix, veiem dues altres ombres a la banda esquerra de la segona cadira, una també més amunt i l’altra més avall. Per tant, com que els respatllers creen quatre (2+2) línies d’ombra a la paret, podem concloure que el sostre de l’habitació té 4 punts de llum. Dos d’ells són a l’esquerra, i dos a la dreta (evidentment, cada respatller genera 4 línies d’ombra; el que passa és que dues d’elles queden amagades darrera la cadira, i només es veuen una mica entre el seient i el respatller. És per això que només estic comptant dues ombres per cadira.

Però, per què, a la paret i entre les dues cadires, es veu aquesta combinació tan complexa de zones més o menys fosques? Doncs perquè, en el cas de quatre punts de llum (i simplificant una mica el problema, vegeu la nota al final), les ombres a la paret poden ser de 4 graus diferents. Si féssim 4 experiments, encenent cada vegada una sola de les llums, veuríem per separat les seves 4 ombres, totes diferents. En cada cas, l’ombra agruparia el conjunt de punts de la paret que no reben llum perquè el respatller els la tapa. Ara bé, quan encenem els 4 punts de llum, és clar que tindrem zones de la paret que no reben llum de cap dels focus (ombres fosques), zones que en reben només d’un d’ells (ombres uns mica més clares), zones que en reben de dos d’ells (ombres força clares) i zones que reben llum de tres focus però no del quart (ombres molt clares). Són els quatre graus d’ombra que veieu a la imatge, a les zones que es creen per intersecció de les zones d’ombra individuals, més fosques a mesura que es van creuant, de dalt a baix. Si proveu de fer el mateix experiment en una habitació amb més d’un punt de llum, tot analitzant les ombres que projecten les fulles d’una planta sobre una paret vertical propera, us adonareu del complicat que pot arribar ser l’estudi d’una cosa que sembla tan senzilla com són les ombres.

Les ombres són geomètriques, és clar. Però cal reconèixer que estem massa acostumats a les figures senzilles i planes. Tenim una certa tendència a creure que geomètric és sinònim de senzill. Parlem de l’estic geomètric dels grecs, per exemple, per designar un art sobri que utilitzava línies, rombes, meandres, reticulats, triangles i cercles. En canvi, la geometria és molt més que això, com bé ens va explicar en Carl Friedrich Gauss quan va estudiar i mesurar la Terra i les formes del seu paisatge. Gràcies a Gauss, ara sabem mesurar la curvatura dels turons i serralades, i sabem que el seu signe és diferent de la dels ports de muntanya, aquests llocs màgics que contenen dues direccions sense curvatura. Perquè etimològicament, geometria és mesura de la Terra, i la Terra només l’hem entès bé els qui hem tingut la sort d’haver nascut després de Gauss. Les obres escultòriques són pura geometria, com ho són els núvols, els penya-segats, la Costa Brava, i fins i tot el mateix Univers. Ho sabem gràcies als treballs de geometria no euclidiana que va iniciar Gauss i que van continuar Nikolai Lobatxevski, Georg Riemann i Albert Einstein.

I de fet, la geometria tracta també de la nostra mesura i de la de les desigualtats socials, perquè som part de la Terra. La prova és que, a les ciutats, regions, països i continents, sovint deixem ben marcats els espais i zones amb tots els colors de la desigualtat i la indignitat. Només cal caminar un matí per la geometria de Barcelona, anant de Pedralbes a Nou Barris.

Gaudir de la geometria que ens envolta requereix, però, una mirada assossegada. Observar la geometria del món és com mirar una obra d’art o com llegir un poema. No es pot fer amb presses. La geometria ens acompanya silenciosament, en els turons que Gauss ens va ajudar a mesurar i entendre, a les pujades i baixades quan caminem i a les ombres refrescants a l’estiu. També ens acompanya en la meravella de formes de tots els éssers vivents i en tot el que veiem i palpem, inclosos els relleus i textures que desvetllen les nostres carícies. És la geometria que podem anar descobrint de la mà del pensament assossegat. Perquè som geometria.

——

Per cert, la Milagros Pérez Oliva diu, citant el darrer informe social de les entitats catalanes d’acció social ECAS, que el 20% de la població catalana viu en la pobresa, enfront al 16,9% de mitjana a la Unió Europea. Diu també que la meitat dels catalans té dificultats per arribar a final de mes. A quins llocs viuen? Això també és geometria.

——

NOTA: En realitat, la foscor de les 4 ombres individuals no és la mateixa en totes elles, perquè alguns punts de llum del sostre són més lluny que els altres. Això fa que el nombre de tonalitats de les zones d’ombra sigui més gran de quatre.

Si voleu entendre bé com es formen les diferents zones d’ombra i els seus graus de foscor, dibuixeu les dues línies d’ombra que surten de cada una de les dues cadires, i aneu analitzant el nombre de focus de llum que veuran els punts de cada una de les zones que es formen com a conseqüència de les interseccions.

El cel de vidre

divendres, 8/03/2019

Aquesta és una imatge que fa pensar. La podeu trobar aquí, i és força coneguda. Es va fer als voltants de 1890, i mostra les dones de “l’harem de Pickering” mirant fotografies del cel de nit i fent càlculs. Són dones que Pickering, el director de l’Observatori astronòmic de Harvard, va contractar per a revisar i confirmar les observacions d’altres astrònoms (homes). Van ser dones invisibles que van xocar amb el sostre de vidre que les separava del cel i de les troballes científiques, dones que van tardar molt a ser reconegudes. Ara sabem que aquestes astrònomes van ser veritables científiques i que molts dels descobriments fets a aquell observatori van ser seus. Després van continuar fent moltes més troballes.

La foto mostra Henrietta Swan Leavitt asseguda (la tercera a l’esquerra, amb lupa), Annie Jump Cannon (també amb lupa, més a prop), Williamina Fleming, dreta al centre, i altres. Totes elles treballaven mirant i analitzant les imatges d’estels que havien estat capturades en plaques fotogràfiques de vidre durant les observacions dels seus caps astrònoms. Plaques de vidre que de fet conformaven aquell sostre invisible però real que no podien creuar. Com a resultat del treball de les seves dones calculadores, Pickering va publicar el 1890 el primer catàleg Henry Draper amb més de 10,000 estrelles classificades segons el seu espectre. Una gran part de la feina havia estat feta per Williamina Fleming.

La historia de Williamina Fleming és sorprenent. Era una escocesa que treballava com a criada de Pickering, però que aquest, en veure-la espavilada, li va proposar de treballar amb ell a l’observatori. De fet, Pickering s’estalviava diners perquè els sous de les dones eren molt més baixos que el dels homes. I, en estar cada cop més frustrat amb el que feien els seus ajudants, va acabar dient que fins i tot la seva criada podia fer un millor treball que ells. Williamina Fleming, que va acabar coordinant les altres astrònomes de l’equip, va identificar 10 noves i més de 300 estrelles variables a més d’ajudar a descobrir l’estructura de les nanes blanques i veure que les estrelles es podien classificar en funció del seu contingut d’hidrogen. Va ser la primera dona nord-americana que va entrar a la Royal Astronomical Society, l’any 1907. Havia deixat de ser criada només 26 anys abans.

L’Annie Jump Cannon va crear un sistema de classificació estel·lar que encara és vigent, després de col·laborar en la preparació del gran catàleg estel·lar Henry Draper de Pickering. La seva “Bibliography of Variable Stars” inclou seixanta mil estrelles variables. Hi ha un cràter a la Lluna amb el seu nom (Cannon) i l’asteroide 1120, Cannonia, també el porta. Però va haver d’esperar fins l’any 1938 (tres anys abans de la seva mort) per a poder entrar com a professora regular d’astronomia a Harvard. Va ser la primera dona admesa a la Societat Americana d’Astronomia.

Henrietta Swan Leavitt, a l’observatori de Harvard, va estudiar les estrelles variables anomenades cefeides, que tenen una brillantor que oscil·la en períodes regulars. L’any 1912 va descobrir que les cefeides de més lluminositat tenen períodes més llargs, determinant la relació que hi ha entre la durada d’aquest període i la magnitud absoluta dels estels cefeides. Després, a partir de treballs com els d’Ejnar Hertzsprung, va poder saber calcular la distància d’unes quantes cefeides. Tot plegat va permetre calcular a quina distància són les cefeides, simplement comparant la magnitud absoluta (que podem trobar a partir del seu període) amb la magnitud aparent de l’estel que observem. Els seus resultats van ser essencials per a les troballes posteriors d’Edwin Hubble i per establir les lleis d’expansió de l’univers.

Cecilia Helena Payne, més jove, encara no havia nascut quan es va fer la foto de dalt. Però a la seva tesi doctoral, defensada l’any 1925 al Radcliffe College (ara part de Harvard), va poder explicar la composició de les estrelles en termes de l’abundància relativa que mostraven en hidrogen i heli. Va ser la primera dona a dirigir un departament a Harvard, després de ser nomenada professora titular a la Facultat d’Arts i Ciències l’any 1956.

La Dava Sobel, una de les divulgadores científiques més conegudes als Estats Units i autora del llibre “El universo de cristal, ens ho explica aquests dies a Barcelona.

Les joves d’avui són les que hauran de liderar el futur, si volem que el món no s’enfonsi més del que està. El camí, crec, passa pel feminisme.

——

Per cert, l’Alba Alfageme ens parla de Jinwar, un poble que les dones han construït per sobreviure en base a un feminisme que diu que està connectat amb els valors de la solidaritat i del respecte i que proposa un estil de vida comunitari, autogestionat, amb una economia col·laborativa i un clar compromís amb l’ecologisme.