Arxiu de la categoria ‘Cóm funciona?’

Sobre la ortogonalitat

dimecres, 12/09/2018

Com bé explica la Lydia Maniatis, l’angle recte és especial, per nosaltres. Som capaços de detectar, amb gran precisió, angles que no són exactament rectes. I, a casa o a qualsevol edifici, el nostre cervell agraeix que els racons i els cantells dels mobles formin angles de 90 graus. Però la Lydia Maniatis ha observat també que som encara més fins a l’hora de detectar petites desviacions de l’angle recte entre el terra horitzontal i aquells objectes que suposadament haurien de ser verticals. Diu que el fet d’alinear objectes verticals amb la direcció de la gravetat fa visible l’estructura de les forces i crea una simetria que ens fa percebre l’equilibri. En canvi, l’asimetria ens genera una major tensió a l’objecte, en una o altra direcció.

Som animals amb tendència a la ortogonalitat. A l’any comencem a caminar, ortogonals al terra. A diferència de moltes altres espècies, quasi tot ho fem amb angles rectes: les cases, els mobles, els papers, els paquets, els llibres, els quadres, els envasos, les cartes, i fins i tot els carrers, sobretot a algunes ciutats com Barcelona, Nova York,  Kyoto o altres.

La imatge de dalt mostra una part de l’eixample de Barcelona, on he marcat dues de les sortides de l’estació del metro de Diagonal al Passeig de Gràcia, i, amb una línia groga, la part superior de la Rambla Catalunya. Fa uns dies, vaig sentir una conversa a l’andana: una persona li preguntava a una altra quina era la millor sortida, de les dues que he marcat, per anar a la Rambla Catalunya. Sense més informació, i donats dos punts A i B d’un determinat carrer, es pot parlar de quin és el que ens va millor per anar a un altre carrer que és paral·lel al primer?  La resposta, evidentment, és negativa. Ara bé, si sabem el lloc del segon carrer on volem anar, ens hi podem acostar per carrers que li siguin ortogonals, per minimitzar el recorregut. Perquè els camins que hem de recórrer, a l’eixample de Barcelona o a Manhattan, acaben ser esglaonats amb trams ortogonals. I la distància més curta entre dos punts si seguim sempre els carrers, és justament l’anomenada distància de Manhattan, basada a la seva vegada en la dita geometria del taxista. És el que tenim quan caminem per ciutats amb carrers ortogonals.

I ara, tornant a casa, potser podem badar una mica mentre mirem un racó o un canto del sostre. Per què? Doncs perquè els racons amaguen un dels grans misteris de l’Univers. Tres plans que acaben en un punt, tres arestes que els separen i que formen angles rectes. Son els angles rectes dels antics temples i piràmides, els que els nostres avantpassats van descobrir amagats darrera dels nombres 3, 4 i 5, els que van donar lloc al teorema de Pitàgores i al descobriment d’aquells nombres tan absurds que van ser anomenats irracionals. I el màgic número 3. Per què els racons tenen 3 arestes i no 4? Per què som en un espai aparentment de dimensió 3?

Però la ortogonalitat també la trobem al món abstracte i al de les relacions. S’ha vist, per exemple, que hi ha una correlació positiva entre l’accés a l’energia d’un determinat país o regió i el seu desenvolupament pel que fa, per exemple, a l’educació. Si dibuixem dos eixos, a l’horitzontal indiquem el grau d’accés a l’energia i al vertical marquem el grau d’educació de la gent, veurem que els punts que marquen la situació dels diferents països són propers a una línia recta inclinada que ens mostra que quan creix un factor, creix l’altre Hi ha una relació directa entre ells. En canvi, la correlació entre l’accés a l’energia d’un determinat país o regió i la mortalitat infantil és negativa (relació inversa) perquè a mesura que creix la primera, es redueix la segona, i la línia de la gràfica s’inclina cap avall. Però hi ha un tercer cas, en què la variació d’un dels factors (o variables) no afecta en res a l’altre. En aquest cas, es diu que aquestes variables són independents o ortogonals (en matemàtiques i per exemple en els espais vectorials, els conceptes d’ortogonal i de independent, són sinònims). Igual que el fet que els meridians i paral·lels siguin ortogonals fa que la meva latitud sigui totalment independent de la meva longitud (puc caminar modificant qualsevol d’elles sense canviar l’altre en res: proveu d’anar d’est a oest o de nord a sud), el grau d’interès de la gent per la química hauria de ser segurament ortogonal a l’alçada sobre el nivell del mar del poble on viu, per dir alguna cosa. O bé, el tipus d’opinions que una determinada persona expressa i defensa hauria de poder ser, en tot estat democràtic, independent i ortogonal al tipus d’opinió de qualsevol altra persona o institució, per poderosa que aquesta darrera sigui.

——

Per cert, en Carles Capdevila deia que els poders, tots ells, no suporten la llibertat de premsa. I que aquesta va ser la seva gran decepció durant els 5 anys que va dirigir l’Ara. Deia que el desvergonyiment amb què reps pressions i amenaces indica una mala salut democràtica. I és que la informació i opinions que emeten els mitjans han de ser ortogonals s a la opinió de polítics, poderosos i poders fàctics.

Els cotxes solars

dijous, 6/09/2018

M’agrada llegir certs diaris, són una font constant d’anècdotes i acudits. L’altre dia, la secció de “motor” d’un diari classificava els cotxes en aquestes categories: aventurer, ciutadà, coupé, elèctric, mític i polivalent. Si no fos perquè evidentment, l’únic objectiu de la pàgina era vendre, jo els hagués proposat afegir-hi la classe de cotxes impressionants (això d’impressionar és bàsic), la dels amfibis i la dels musicals. No puc entendre com s’ho van oblidar.

Heu sentit parlar del projecte Stella? És una iniciativa del “grup solar” (Solar Team Eindhoven, STE) de la Universitat de Tecnologia de Eindhoven, format per uns 20 estudiants que es van renovant. Fa uns quants anys, van voler demostrar que els cotxes solars eren possibles. En van dissenyar i fabricar un, van anar a Austràlia a la competició “World Solar Challenge” fa 5 anys, i van guanyar. Dos anys després, al 2015, van tornar a guanyar amb un disseny més perfeccionat de 4 places, l’anomenat Stella Lux. I el seu tercer disseny, l’Stella Vie, va guanyar un cop més la competició l’any passat. Tres premis consecutius: 2013, 2015, 2017, en aquesta competició bianual i a la categoria “creuer“.

El cotxe Stella Vie (la imatge de dalt és d’aquesta web) és de 5 places, té un perfil altament aerodinàmic i porta el sostre recobert amb 5 metres quadrats de cel·les fotovoltaiques, que és el màxim permès pels organitzadors de “World Solar Challenge” l’any passat. La seva bateria de 15 Kwh, unes 6 vegades més petita que les dels cotxes elèctrics habituals (que solen ser d’uns 100 Kwh), es carrega automàticament amb el Sol quan deixem el cotxe aparcat durant uns 30 minuts o quan anem poc a poc per zones urbanes durant uns 45 minuts. Pesa 375 Kg., la seva velocitat màxima és de 130 Km/h, i té 5 metres de llarg i 1,65 metres d’ample.

A la “World Solar Challenge“, l’Stella Vie va recórrer 3021 quilòmetres portant una mitjana de 3,4 passatgers, còmodament asseguts als seients de davant i darrera. Això sí, per a poder guanyar, van haver d’usar una mica d’energia de la seva bateria, exactament 45,7 Kwh. Tenint en compte que l’energia d’un litre de gasolina són uns 8,9 Kwh, és fàcil veure que el consum equivalent durant els més de tres mil quilòmetres de la carrera va ser de 0,17 litres cada 100 quilòmetres. En tot cas, tot depèn de la velocitat i dels quilòmetres que vulguem fer. Si conduïm a velocitat urbana i a un màxim de 70 Km/h en un dia solejat, el cotxe serà autosuficient i en un dia d’estiu podrem fer 1000 o més quilòmetres. Si, en canvi, volem arribar als 120 o 130 Km/h, el cotxe necessitarà un suplement energètic de la seva petita bateria de 15Kwh, i l’autonomia podrà baixar a uns 600 quilòmetres. Però, segons un estudi del Centre Nacional Holandès d’Estadística, que ha tingut en compte els hàbits de conducció holandesos i el nombre mitjà anual de dies ennuvolats o de pluja, durant 10 dels 12 mesos de l’any l’Stella Vie generarà diàriament el doble de l’energia que necessita una persona holandesa mitjana per a fer els seus trajectes. Per tant, quan arribin al vespre a casa, els usuaris d’aquest cotxe podran gastar part de la seva energia sobrera per al que els calgui, mentre rebaixen la factura d’electricitat. I evidentment, a casa nostra, el rendiment de l’Stella Vie serà molt superior, amb excedents d’energia més elevats. Transport de dia i energia de nit sense gastar combustible…

Per què hem de fabricar cotxes elèctrics amb bateries grans, pesades i lentes de carregar quan podríem aprofitar el sol que escalfa constantment el seu sostre? De fet, l’Stella Vie ja té permís de circulació a Europa, i els estudiants de l’equip de Eindhoven han creat una empresa que començarà a comercialitzar el cotxe a partir de l’any vinent. Les primeres unitats seran molt cares, però només caldrà esperar una mica.

Bona idea, oi? Ara bé, val a dir que, sortosament, no tot acaba en els cotxes. Hi ha qui ens demostra que és possible dissenyar i construir avions que volen amb l’energia del sol que recullen les seves ales. Vegeu, per exemple, el que fa en Bertrand Piccard al seu projecte “Solar Impulse.

———

Per cert, Matsui Kazumi, alcalde de Hiroshima i president dels alcaldes per la Pau, en una carta i a la seva corresponent declaració, proposa la construcció d’un món sense armes nuclears junt amb la creació de ciutats segures i resilients que ens portin al nostre objectiu final: el d’una pau mundial que sigui durable.

La corba que mai s’acaba

dissabte, 25/08/2018

Tenim una botiga (o una exposició) que té 16 zones diferents disposades en 4 files de 4, com veiem al primer dibuix de la imatge d’aquí al costat. Hi ha alguna forma de posar les parets o separacions de manera que la gent que entra per una banda hagi de passar per totes i cada una de les estances abans de sortir?

La resposta, que segurament haureu vist (o sofert) a algunes botigues, és el recorregut de Hilbert d’ordre 2, que teniu just al costat. Només cal deixar pas en el sentit d’aquest recorregut i barrar-lo en totes les demés direccions, de manera que cada una de les zones quadrades tinguin dos costats que permetin el pas i dos parets que l’impedeixin. Els visitants, abans de poder sortir, hauran de passar per tots els racons de l’espai d’exposició.

I si volem fragmentar més l’espai? En aquest cas podeu pensar en subdividir cada una de les 16 zones en 4, de manera que tingueu una quadricula de 64 (vuit per vuit) zones. Per a  crear un recorregut que passi per tots i cada un d’aquests 64 espais, només cal fer una cosa: per a cada un dels 16 espais del cas anterior que tenim dalt a la dreta a la imatge, mantindrem els seus “portals” d’entrada i sortida, però obligarem que la gent hagi de recórrer cada una de les seves 4 sub-zones. Veiem-ho en els dos primers quadrats de la disposició de 4 per 4. En el d’entrada, els visitants entraven per l’esquerra i sortien per la dreta; en el segon, entraven per l’esquerra i sortien per sota, segons veiem al recorregut de Hilbert de dalt a la dreta de la imatge. Ara, per generar el recorregut de Hilbert d’ordre 3 que passarà per 64 espais (recorregut que podeu veure a la imatge, sota i a l’esquerra), només hem de posar separacions que obliguin a fer un recorregut en “U” al primer quadrat i un altre en sentit Nord-Oest -> Nord-Est -> Sud-Est -> Sud-Oest al segon. Si aneu fent el mateix per tots els quadrats de dalt de la imatge, generareu fàcilment aquesta corba de Hilbert d’ordre 3.

Però això no acaba aquí, perquè podem repetir el procès. Subdividim cada una de les 64 zones en 4 sub-quadrats, i per cada un dels 64 quadrats mantenim els seus “portals” d’entrada i sortida, obliguem que els visitants hagin de recórrer cada una de les seves 4 sub-zones. El resultat és el recorregut de baix a la dreta de la imatge (corba de Hilbert d’ordre 4), que passa sistemàticament una sola vegada per tots i cada un dels 256 quadrats d’una retícula de 16 per 16 quadrats. Evidentment, la corba de Hilbert d’ordre 5 passa per tots els 1024 quadradets de 32 per 32, i la d’ordre 6 recorre (quasi res) 4096 petites zones quadrades. Si algun dia heu de muntar una exposició amb 4096 obres i voleu assegurar-vos que tothom passarà (mirant o no) per totes elles, ja sabeu la solució: podeu estructurar l’espai en base a una corba de Hilbert d’ordre 6. No és clar que garantiu la satisfacció de la gent, però el que és clar és que els haureu forçat a fer el que voleu. Podeu veure els 6 primers nivells de la corba de Hilbert plana en aquesta imatge gif animada (que també podeu trobar a la web que explica la corba de Hilbert). La de nivell 6 és realment recargolada, oi?

David Hilbert, el gran matemàtic, va estudiar i proposar aquesta corba l’any 1891, als 29 anys, un any després que Giuseppe Peano estudiés les corbes que porten el seu nom. Una de les seves propietats és que el procés de creació d’aquesta corba de Hilbert no acaba mai. Si tenim temps i paciència, podem dibuixar una corba de Hilbert d’ordre 7 que passarà per tots els 16384 quadradets d’una retícula de 128 per 128, o una d’ordre 10 que recorrerà més d’un milió de petits espais. Les corbes d’ordre 11 o 12 saben recórrer tots i cada un dels píxels de les imatges que captura una bona càmera digital, sense passar dues vegades pel mateix píxel. I podríem continuar més i més, subdividint cada vegada en 4 les regions quadrades del pas anterior (vegeu la nota al final). D’altra banda, la imatge de dalt ens mostra que, a cada pas, la corba és el doble de llarga que en el pas anterior. Si l’espai que tenim és sempre el mateix i només anem subdividint les seves cel·les, i si la longitud de la nostra corba de Hilbert d’ordre 2 és, per exemple, de 40 metres (la qual cosa correspon a un espai inicial de 10 per 10 metres), la d’ordre 3 serà de 80 metres, la d’ordre 4 tindrà 160 metres, la d’ordre 6 serà de 640 metres i, si arribéssim a la corba d’ordre 10, els visitants de la nostra exposició haurien de caminar 10 quilòmetres per sortir d’aquest espai diabòlic de 10 per 10 metres que els hem preparat. La conclusió és clara i evident: si no ens aturem i continuem refinant la corba de Hilbert, acabarà tenint una longitud infinita i omplint tot el quadrat inicial com un fil ben recargolat. És una corba que ho omple tot i que mai s’acaba. Per això, tot veient que omple tot un quadrat del pla, diem que té dimensió fractal 2.

Una altre aspecte interessant de les corbes de Hilbert és que el mateix que hem fet en 2d es pot fer en 3d (en aquest vídeo podeu veure l’aspecte que té la corba de Hilbert 3D d’ordre 3, que passa pels 512 cubicles d’una retícula a l’espai). És una corba que també té longitud infinita amb dimensió fractal 3, de manera que acaba omplint tot l’espai inicial. Pot ser “útil” per a qui vulgui muntar una exposició sota l’aigua per visitants submarinistes.

Si, en una cartolina, pinteu una retícula de 8 per 8 quadrats i els aneu numerant de l’1 al 64 segons l’ordre del recorregut de la corba de Hilbert d’ordre 3, podeu fer un joc matemàtic d’estiu per als vostres nens. Els jugadors, per torns i amb un retolador, han d’anar pintant les separacions “prohibides” entre quadradets veïns, que són tots aquells costats de la retícula que separen quadrats amb números no consecutius. Cada un d’ells, abans de pintar-lo, explica quin vol pintar. Si intenta pintar un costat incorrecte (que separa números correlatius), un altre jugador (o vosaltres) avisa i guanya un punt. Al final, la retícula de la cartolina mostrarà el recorregut que ens fan seguir en una de les botigues que comentava al principi. Una altra cosa que podeu fer, al final, és veure qui troba la “millor drecera”, que és el costat ja pintat com a paret que separa dues caselles amb números el més diferents possibles. També podeu cercar altres dreceres no tan òptimes, i anar-les repintant d’un altre color.

La corba de Hilbert em fa pensar en Spinoza i en la seva “Ética demostrada segons l’ordre geomètric”, perquè és tot un exercici sobre els límits, el finit i l’infinit. En un quadrat ben finit i limitat, Hilbert ens hi construeix una corba que l’omple i que té longitud infinita. Ara bé, això té un petit problema: per a que tingui longitud infinita, hem de generar-la amb un “total” d’infinits passos, cosa que implica un temps de construció infinit. Com que som finits i limitats, ens haurem d’aturar, i la corba final tindrà una longitud mesurable. La corba de Hilbert no s’acabi mai, però no és del món real. Tot allò que forma la realitat (les corbes, els objectes, els recursos, el creixement, el poder, nosaltres mateixos) és limitat. L’infinit és una construcció mental, que podem imaginar gràcies al poder del raonament per recursió. Hem de ser ben conscients d’allò que és realista i del que són mites utòpics.

———
Per cert, en Vicent Martínez Guzmán, filòsof de la pau i traspassat fa pocs dies, deia això: “nosaltres els pacifistes som els realistes, els utòpics són els que volen aconseguir la pau mitjançant la violència”.

———

NOTA: La corba de Hilbert es pot explicar amb un algorisme recursiu de substitució que és ben curt i senzill. Tot l’algorisme consisteix en aquestes quatre regles de substitució, que anomenarem A, B, Af i Bf:
A -> e B C d A C A d C B e
B -> d A C e B C B e C A d
Af -> e C d C d C e
Bf -> d C e C e C d

Coneixeu els gràfics de la tortuga? Tenim una tortuga-robot que porta un retolador enganxat a la closca que marca, al terra, tot el camí que va fent. La tortuga només pot fer tres coses. Aturada, pot girar a l’esquerra (“e”) o a la dreta (“d”). Quan ja ha girat, pot caminar un petit trosset (“C”) en la direcció que es troba, trosset que sempre és de la mateixa longitud L. Els girs a l’esquerra (en contra de les agulles del rellotge) i a la dreta (en el sentit de les agulles del rellotge), són sempre de 90 graus. Per exemple, la regla Af diu que cal girar a l’esquerra, avançar L, girar a la dreta, avançar L, tornar a girar a la dreta, avançar L, i finalment girar a l’esquerra. És una regla, semblant a la Bf, que fa un recorregut en forma de “U” mentre es passeja pels 4 quadradets d’una retícula de 2 per 2.

Les regles A i B, que són les essencials de l’algorisme de Hilbert, indiquen que a cada pas de substitució, hem de substituir la lletra “A” o la “B” per tot el que hi ha a la dreta. Hi ha dues possibilitats. La primera, és només usar les regles “A” i “B”, començant per exemple per la “A” i substituint una i altra vegada les “A” i “B” de la dreta per les seves corresponents extensions. El procés és una recursió infinita, que ens portaria, si poguéssim acabar, a la corba teòrica de Hilbert. La segona, és començar per “A”, substituir N vegades per les expressions de la dreta de les regles “A” i “B”, i en acabar, usar les substitucions indicades per les regles “Af” i “Bf”, que ja no inclouen signes “A” i “B” i per tant aturen el procés. Si feu això darrer podreu acabar i fer que la tortuga dibuixi una corba, però només serà una aproximació a la corba de Hilbert…

El sol i la paret del fons

divendres, 27/07/2018

A l’hivern, m’entrarà el sol per la finestra i escalfarà la paret del fons?  Arribarà fins al passadís?

Per saber les respostes a aquestes preguntes cal seguir una sèrie de passos ben senzills, que podrem fer sense problemes si perdem, per una estona, aquesta maleïda i quasi universal por a les matemàtiques. L’algorisme (perquè el conjunt de passos que cal seguir per a resoldre un determinat problema és un algorisme) el podeu trobar a la nota del final. Hauré de definir correctament la direcció D que m’interessa, que no és altra que la que hauran de tenir els raigs de Sol que voldria que entressin per la finestra i escalfessin la paret del fons. Hauré de conèixer també la direcció E de l’eix de la Terra. I ara, saben D i E, només em caldrà calcular l’angle entre aquestes dues direccions i cercar (en una taula com aquesta o a la informació geogràfica del meu municipi) la latitud L del lloc on soc. Si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, la resposta és afirmativa: en algun moment de l’any, la llum del Sol entrarà per la finestra i il·luminarà el punt de la paret o del passadís que vull. Si no es troba entre aquests dos valors, la resposta és negativa (vegeu la nota al final).

La simplicitat del problema, un cop sabem l’angle entre D i E, és sorprenent, oi? De fet, ens sorprèn perquè tendim a pensar que som el centre del món i fins i tot de l’Univers, i que caminem ben drets i verticals. Però ho entendríem millor tot plegat si penséssim que la nostra vertical és tan vàlida com la dels habitants del Iemen o de Nova Zelanda, que el nostre planeta té una única direcció singular (la del seu eix E), i que aquesta direcció, comú a tothom, és la important.

Hi ha una segona dificultat, interessant i curiosa a la vegada: el nostre sistema cognitiu està molt més adaptat a pensar en termes de punts i distàncies que a imaginar direccions i angles. La prova és que ens és molt més fàcil fer una estimació de la distància entre dos punts del nostre poble o ciutat (per exemple, comptant els passos) que dir quina és la direcció d’un determinat carrer (definida pel seu angle respecte la direcció del nord) o bé fer una estimació de l’angle entre dos carrers que no siguin perpendiculars. Els vectors, que defineixen les direccions, són subtils i abstractes… I tot plegat és ben trist, perquè per explicar bé com està posada una cosa, hem de parlar forçosament de la seva posició i de la seva orientació (que implica direccions). Com explicaríeu, amb precisió i per carta o e-mail, les trajectòries del vol de les orenetes al capvespre a una persona llunyana?

Molts d’aquests conceptes i dels que surten a la nota del final són senzills i probablement haurien de formar part d’allò que anomenem “cultura general”. De fet penso que, si no som capaços de preveure el moviment del Sol, difícilment podrem entendre una cosa tan complicada com és el comportament de la gent que ens envolta. Perquè les matemàtiques i el raonament abstracte poden ser una bona eina per sortir del nostre castell egocèntric i per poder empatitzar amb els altres, siguin propers (els fills o néts adolescents, per exemple) o llunyans (els refugiats i la gent que viu en situacions de conflicte i violència). És bo saber que la nostra vertical no és millor que la dels que malviuen al Iemen o a la República Centreafricana. Qui camina de cap per avall: els que viuen a Nova Zelanda o nosaltres?

———

Per cert, la Sonia Khediri, italiana i empresonada per l’Estat Islàmic, explica que el seu marit es va negar a convertir-se en combatent de l’EI. “Si no lluitaves et mataven”, diu. Però finalment no el va matar l’Estat Islàmic, sino la coalició internacional amb un dron, perquè una nit es va deixar el wifi encès. Aquest és un dels “sofisticats algorismes intel·ligents” dels drons occidentals: els drons ataquen i maten la gent que usa wifi, perquè diuen que a Raqqa, només l’EI té wifi. Qui jutjarà els responsables de morts com aquesta?

———

NOTA: Hi ha dues maneres (dos algorismes) diferents per a trobar l’angle entre els vectors D i E. La primera és manual, i consisteix en materialitzar aquestes dues direccions amb dos fils o cordills. El primer, que ens defineix la direcció D, el fixem un punt F de la finestra i el punt P de la paret o del terra on volem saber si ens arribarà el Sol a l’hivern. El segon, que ens marcarà la direcció E de l’eix de la Terra, l’haurem de col·locar a la nit, probablement entre la branca d’algun arbre i una estaca clavada a terra, de manera que ens senyali la direcció a la estrella polar. En aquest cas, la dificultat la tindrem quan vulguem mesurar l’angle entre els dos cordills, perquè probablement un d’ells el tindrem dins de casa i l’altra, fora.

Si preferiu l’altra solució, necessitareu una plomada, una caixa gran de cartró o fusta, i una cinta mètrica. També us caldrà saber el migdia solar, que varia cada dia de l’any i és diferent segons el lloc on siguem. Però només heu d’anar a aquesta pàgina web, escriure el lloc on sou, i a baix a la dreta veureu que us diu l’hora del migdia solar. A més, farem servir coordenades cartesianes per definir els punts F, P i el vector D. Aquestes coordenades les va proposar en René Descartes, quan sembla que era al llit curant-se d’una grip i anava mirant el vol d’una mosca. En Descartes va veure que, si anava apuntant a cada moment la distància de la mosca a dues parets i al terra, aquests tres valors anaven determinant de manera exacta la posició de la mosca i per tant el seu moviment. Va ser una idea aparentment senzilla, però que va obrir la porta de la geometria analítica, que ara ens permet treballar numèricament amb els elements geomètrics. En record seu, parlem de coordenades cartesianes.

En definitiva, aquest és l’algorisme per determinar l’angle entre D i E:
1) Esperem al migdia solar i, amb l’ajut d’una plomada, marquem al terra la direcció nord, que és la direcció contrària a la de l’ombra del fil de la plomada. Aquesta serà la direcció de l’eix X del nostre sistema de coordenades.
2) Deixem una caixa al terra just al costat del fil de la plomada, de manera que una de les cantonades de la seva base segueixi la direcció nord i una altra marqui la direcció oest. La plomada ens senyalarà un dels vèrtexs de la caixa, que serà el nostre origen de coordenades, O. Guardem la plomada.
3) Ara ja tenim un sistema de coordenades cartesià, que ens queda definit per tres de les arestes de la caixa. La que va en direcció nord és l’eix X, la que mira a l’oest és l’eix Y, i la vertical que surt del mateix vèrtex de la caixa que els dos eixos anteriors, és l’eix Z. Les dues “parets de Descartes” són les cares verticals de la caixa que segueixen les direccions nord i oest.
4) En aquest sistema de coordenades, mesurem les coordenades (X,Y,Z) del punt F de la finestra i del punt P de la paret en els que hauríem fixat el cordill en el cas de la solució manual. Una manera fàcil de fer-ho és passar de 3D a 2D, marcant a terra els punts F1 i P1 que es troben just sota i a la vertical de F i P. Les distàncies entre F i P i els seus corresponents punts a terra són les coordenades Z, i les coordenades X, Y són les longituds dels rectangles que podem formar amb els punts F1 i O (o bé P1 i O) en diagonal.
5) Per a calcular els components del vector D només cal restar les coordenades de F menys les de P, i així obtenim uns primers components provisionals. Per exemple, el component provisional X de D és la coordenada X de F menys la coordenada X de P, i el mateix pel que fa als components provisionals Y i Z. Ara bé, un cop tenim el vector D, l’hem de normalitzar amb el teorema de Pitàgores: elevem al quadrat cada un dels seus components provisionals, sumem els tres valors, i calculem l’arrel quadrada d’aquest resultat, que li direm M. Finalment, dividim els tres components provisionals de D per M, i ara sí que tenim els components reals del vector unitari que defineix la direcció D.
6) D’altra banda, l’expressió del vector E és immediata, en aquest sistema de coordenades: el seu component X és el cosinus de L, el seu component Y és zero, i el component Z és el sinus de L, perquè la direcció de l’eix de la Terra mira al nord i només depèn de la longitud geogràfica del lloc on som.
7) El cosinus de l’angle entre els dos vectors unitaris D i E es calcula ara amb només tres multiplicacions i dues sumes, perquè és l’anomenat producte escalar entre D i E. Cal multiplicar els components X de D i E, sumar el resultat al producte dels components Y de D i E, i sumar el resultat de la primera suma amb el producte dels components Z de D i E. Ara, només cal preguntar a Google quin és l’angle que té aquest cosinus.

Finalment, cal observar que el raonament que fa que pugui resoldre el problema en base a veure si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, és ben senzill: Els raigs de Sol sempre arriben dins el pla de l’eclíptica, en una direcció que forma un angle amb E tal que al llarg de l’any varia entre 23,5 i -23,5. Per tant, per un determinat punt de la Terra de latitud L, l’angle entre D i E al llarg de l’any escombrarà tots els valors continguts entre L – 23,5 i L + 23,5 (si volem ser rigorosos haurem de dir que de fet, el Sol té un moviment aparent quasi helicoïdal de manera que l’angle entre D i E acaba recorrent un total de 365/2 trajectòries discretes entre L – 23,5 i L + 23,5; però això seria filar molt prim).

En el meu raonament, he aproximat l’angle entre l’equador i l’eclíptica, que és de 23 graus i 26 minuts, per 23,5 graus.

El ginkgo, nosaltres i el rellotge de les probabilitats

dissabte, 14/07/2018

El rellotge de la fi del món (l’anomenat Doomsday Clock) és un símbol que representa la probabilitat que provoquem una catàstrofe global que acabi amb la nostra espècie a la Terra. Periòdicament i des de 1947, és actualitzat pels membres de la Junta de Seguretat i Ciència dels científics atòmics, en base als estudis científics que publiquen al seu butlletí. Durant les primeres dècades mostrava el perill d’una extinció provocada per bombes atòmiques, però des de 2007, inclou també la probabilitat d’un suïcidi col·lectiu provocat pel canvi climàtic fruit de l’escalfament global. Pocs anys després, en John Cook, en un article de l’any 2013 en aquest butlletí que es basava en una anàlisi del científic James Hansen, va fer una afirmació polèmica i discutible però que tenia l’encert d’explicar l’essència catastròfica del canvi climàtic: va quantificar l’escalfament global i l’excés energètic del planeta, dient que era equivalent a l’explosió de milers de bombes atòmiques cada dia, 365 dies a l’any. La catàstrofe climàtica és aquí, encara que no en siguem gaire conscients…

Com deia, el rellotge de la fi del món és el rellotge de les probabilitats. És simplement una manera gràfica d’indicar la probabilitat que siguem prop de la nostra fi, avaluada periòdicament per aquest grup de científics. Al principi, l’any 1947, el van situar a 7 minuts de la mitjanit, i després l’han anat movent en funció de la probabilitat de catàstrofe antropogènica augmentava o disminuïa. La imatge de sota (que podeu trobar a aquesta web) mostra els avanços i retards del rellotge durant aquests anys. La mínima probabilitat de catàstrofe va ser l’any 1991, després dels acords Estats Units – Rússia de reducció d’armament atòmic. Però a partir de l’any 1995, el risc ha anat creixent de manera quasi constant, i el rellotge s’ha anat acostant a la mitjanit final. Ara mateix, el tenim a només 2 minuts de les 12 de la nit.

Hi ha qui diu que estem destruint el planeta. No és cert. Simplement ens estem suïcidant, i cada cop és més urgent posar-hi remei. Estem en perill evident de desaparèixer, però si ho fem, la vida al planeta continuarà i tal vegada, d’aquí uns milions d’anys, sorgirà una nova espècie més intel·ligent que nosaltres. Una prova que la vida és molt més resistent que nosaltres (a més dels bacteris) és el ginkgo biloba. La imatge de dalt és d’una fulla dels ginkgos de la Via Augusta de Barcelona, però també n’hi ha a Granollers, a Girona i a molta altres indrets. Sabíeu que hi ha bastants ginkgos biloba que van sobreviure a la bomba de Hiroshima? Aquesta pàgina web en mostra sis. Un d’ells era a només 1.130 metres de l’epicentre. La bomba ho va arrasar tot, però aquests ginkgos van demostrar que la bogeria humana no pot acabar amb la vida.

No destruirem el planeta. I probablement tampoc acabarem d’extingir del tot l’espècie humana. Però hi ha una gran probabilitat que aquesta barreja de neoliberalisme, colonialisme, militarisme i masclisme inhumà que ens governa acabi matant bastant més de mil milions de persones durant aquest segle. Perquè, com deien l’any passat en Camilo Mora i els seus col·laboradors a la revista Nature, al voltant del 30% de la població mundial està exposada actualment a condicions climàtiques que superen el llindar màxim permès pel nostre organisme durant almenys 20 dies l’any. Cap al 2100, en Camilo Mora diu que aquest percentatge es preveu que augmentarà a ~48% en un escenari de reduccions dràstiques de les emissions de gasos d’efecte hivernacle, mentre que podria créixer fins al ~74% en un escenari d’emissions creixents. D’aquí a 82 anys, els nostres néts és probable que vegin que més de la meitat de la població mundial, obligada a romandre en zones de gran escalfament, es troba en situació de fortíssim risc de mort. La medicina lluita per allargar-nos una mica la vida, però la humanitat acabarà matant una gran part de la seva població (aquella que és desposseïda i prescindible).

Deixeu-me que comenti un darrer estudi. És el dels professors Vitali, Glattfelder i Battiston, que van analitzar més de 43.000 empreses multinacionals. En el seu estudi, van descobrir que el 80% d’aquestes empreses estava controlat per només 737 persones. Com diu en Federico Mayor Zaragoza, aquests són l’oligarquia no democràtica (del G-7 o del G-8, en les seves paraules) que actualment decideix per on ha d’anar el món i els seus més de 7.000 milions d’habitants.

Som en una situació que pot acabar matant un percentatge molt significatiu de la humanitat, amb un sistema no democràtic que controlen menys de 1000 persones. Em temo que, en aquest context, hi ha una paraula que mostra amb tota la cruesa el que malauradament veurem: genocidi.

Acabo amb tres frases més de Federico Mayor Zaragoza, pronunciades aquesta mateixa setmana a la Universitat d’Estiu per la Pau: “ara sabem que el supremacisme mata… però hem de saber passar de l’ús de la força a la paraula… les dones seran la pedra angular de la nova civilització que hem de construir, perquè rarament usen la violència”.

——

Per cert, la Petra Reski es pregunta per què, després del relleu de Sonia Alfano a la presidència de la Comissió Parlamentària anti-Màfia Europea (CRIM), l’activitat de la Comissió va caure de cop, i sorprenentment, en el silenci i la més absoluta inacció. Diu que avui, la Màfia és un component estructural del capitalisme financer.

 

Elogi de les interaccions

dijous, 21/06/2018

Quan ens donem un cop amb una porta de ferro, què passa? Ens fem mal perquè la nostra pell xoca amb la matèria sòlida del ferro, amb els seus àtoms?

La resposta és no. No xoquem amb la matèria fèrria sino que som repel·lits, abans d’arribar-hi, per les seves forces atòmiques. Són els electrons exteriors dels àtoms de les cèl·lules de la nostra pell els que són aturats en sec per una immensa força d’interacció que es genera entre ells i els electrons dels àtoms de la capa exterior de la xapa de ferro. Perquè una porta de ferro, bàsicament, és espai buit, sense quasi res de matèria. És el que veiem a la imatge d’aquí al costat (que he tret d’aquest vídeo, força conegut i molt recomanable), que mostra l’aspecte que tenen els objectes que considerem sòlids quan els mirem a una distància de l’ordre d’una centèsima d’Àngstrom (un Àngstrom és una mil milionèsima d’un metre: si cada habitant de la Terra s’empetitís fins mesurar un Àngstrom i ens poséssim tots en fila, faríem una línia de 7 metres). Considerem un cub de ferro de densitat 7,9 i de 56 grams. Amb una simple divisió, veiem que el seu volum és de 7,1 mil·lilitres. Ara bé, com que la química ens diu que 56 grams de ferro són un mol, i com que un mol conté 6 per 10 elevat a 23 àtoms (el nombre d’Avogadro), a l’estructura cristallina cúbica del ferro alfa, cada àtom ocupa un espai de 1,2 x (10 ^ (-23)) centímetres cúbics (només cal dividir 7,1 pel nombre d’Avogadro). I ara, l’arrel cúbica d’aquest valor ens dona la separació els nuclis de dos àtoms de ferro veïns: 2,3 Àngstroms. Si ens situem al nucli d’un àtom de ferro amb els seus 56 neutrons i protons (com el de la imatge de dalt), haurem de travessar una distància de 2,3 Àngstroms pràcticament buida que només conté uns quants electrons fins trobar el següent nucli de l’àtom de ferro veí, que sabem que té un diàmetre, en metres, de 5,6 per 10 elevat a la potència menys 15.

Si dividim la distància de 2,3 Àngstroms entre dos nuclis veïns d’àtoms de ferro per aquest valor del diàmetre dels seus nuclis, obtindrem que la relació és de 41.000. O sigui: si el nucli d’un àtom de ferro tingués la mida d’un cigró, el seu veí a l’estructura cristallina de la porta estaria a 400 metres. Aquesta és la imatge d’una sòlida porta de ferro quan la mirem a una distància de l’ordre d’una centèsima d’Àngstrom: un conjunt de cigrons disposats regularment, cada un d’ells a quatre-cents metres dels seus veïns. En mig, en aquests 400 metres, uns pocs electrons que pràcticament no tenen massa i que no es volen deixar veure. Els sòlids són buits. Però atenció: interaccionen fortament amb la nostra pell.

Curiosament, el funcionament del nostre cervell es basa també en les interaccions entre neurones, més que en les neurones mateixes. Diuen que el cervell és l’objecte més complex del sistema solar, encara que només inclogui el 2 per cent del pes corporal. Com podeu llegir aquí, es calcula que dins de la cavitat cranial hi ha cent mil milions de neurones, que gestionen un nombre immensament més gran de connexions neuronals. De fet, el nombre de sinapsis és superior als 1000 bilions. El nostre cervell consumeix un 20 per cent de la nostra energia total (de fet, en els nadons, el cervell consumeix un 65 per cent de la seva energia total), i és tant sofisticat que el nostre ADN dedica el 80 per cent dels gens per a codificar les seves característiques. Sorprenent, oi?

Ara bé, segons explica en Christof Koch, qualsevol mecanisme molt complex amb un nombre d’interconnexions per damunt d’un determinat llindar i tal que la seva estructura codifiqui un conjunt de relacions causa-efecte, acaba tenint un cert nivell de consciència i sentint alguna cosa que ve de dins seu. Perquè segons la teoria de la informació integrada de Guilio Tononi, la consciència d’un cert sistema, a partir d’una determinada massa crítica de complexitat, ve determinada per les seves propietats causals, i per tant, la consciència acaba sent una propietat intrínseca i fonamental dels sistemes físics quan esdevenen més i més complexes. O sigui, que és un poder causal intrínsec que apareix automàticament en mecanismes molt i molt complexes com el cervell humà. De fet, Tononi diu que la complexitat d’un cert sistema ens pot donar una mesura del seu grau de consciència. A la seva teoria integrada de la informació, aquesta mesura la quantifiquen amb un valor que anomenen “Fi”. I el valor “Fi” del cervell humà és tan gran, que fa impossible calcular o simular-ne això que en diem consciència. La consciència no es pot simular, perquè només es troba dins la mateixa estructura dels sistemes que ho són.

El ferro és sòlid no com a conseqüència de la matèria que el conforma (matèria que deixa immensos espais buits), sino que ho és com a resultat de les forces atòmiques d’interacció, que, cal dir-ho, són molt poques perquè només afecten els àtoms més propers. I sembla ser que nosaltres som conscients no pel fet de tenir cent mil milions de neurones al cervell, sino gràcies al nombre ingent d’interaccions que generen entre elles. Tots dos, el xoc amb la porta i  pensaments del tipus “sóc viu”, són dos resultats d’una immensitat d’interaccions a nivell microscòpic. Mira per on, bona part del que experimentem cada dia és resultat d’interaccions.

Els humans també interaccionem, encara que amb moderació. L’amor, l’amistat, les relacions, fins i tot les xarxes socials, van modelant el nostre Jo i donen sentit a la nostra vida. Construïm la vida sobre les nostres relacions perquè som animals socials. Però clarament no som com les neurones. Les nostres interaccions són modestes, febles i poc nombroses. Els grecs van crear la democràcia quan van entendre la importància del dret a la paraula, del dret a discutir-ho tot, del dret a interaccionar públicament a l’assemblea i del dret a empoderar-se. Però ens cal lluitar, ara i sempre, per a que aquesta paraula no perdi el seu significat de respecte als drets de totes les persones i per a que no sigui segrestada pels qui pensen més en el seu desig de poder que en la gent.

—-

Per cert, en Pedro Olalla ens recorda que la democràcia va sorgir de la societat grega, quan va posar a l’abast de tothom una cosa fonamental: el dret a la paraula, el dret a discutir-ho tot i i el dret a interaccionar públicament a l’assemblea i a l’Àgora. Explica que la democràcia va brollar de l’ànima dels grecs quan van comprendre que la vida humana era única i més valuosa que qualsevol tresor o ambició, cosa que va portar a un pas progressiu del poder cap a mans dels ciutadans.

Em mullaré?

divendres, 15/06/2018

Plou. Vaig caminant i he oblidat el paraigua a casa, però porto barret. Em mullaré molt? Què és millor, caminar poc a poc o anar a més bon ritme?

Vaig en bici o en moto. Es posa a ploure. Quanta aigua rebrà la meva camisa durant els 300 metres que em falten per aixoplugar-me?

Val a dir que aquesta primavera ha estat un bona ocasió per pensar en problemes geomètrics relacionats amb la pluja…

Imaginem per un moment que no fa vent i que la pluja cau verticalment. Quanta aigua ens caurà damunt durant, per exemple, un minut? Si estem aturats, el nostre barret rebrà tota la pluja que es troba en el prisma vertical que tinc damunt meu (el prisma B de la imatge de sota, en la que el barret seria H). Aquest prisma B, que anomenaré prisma de pluja, té una alçada tal que conté totes les gotes que acabaran caient damunt meu durant 60 segons. Què passarà ara, quan comenci a caminar? Una manera senzilla d’entendre-ho és usar el concepte de moviment relatiu, que tan bé ens va explicar l’Albert Einstein quan va exposar la seva teoria de la relativitat especial (vegeu el meravellós llibre de divulgació que va escriure el mateix Einstein junt amb Leopold Infeld l’any 1939, o bé el llibre més recent d’en Brian Greene): l’aigua que rebrà el nostre barret si comencem a caminar a una determinada velocitat V, és la mateixa que si em quedo parat i la pluja cau amb un vent lateral de velocitat V. La física ens diu que en aquest cas, el prisma d’aigua s’inclina i passa a tenir la forma A de la imatge de baix. A i B tenen la mateixa alçada, l’únic que passa és que la base superior de A es desplaça endavant un espai igual a la velocitat V multiplicada pel temps (en el nostre cas, un minut). Ara bé, com que els dos prismes A i B tenen la mateixa base H i idèntica alçada, el càlcul geomètric del seu volum ens dona el mateix resultat. Conclusió: en un minut, i independentment del que jo faci, el meu barret rebrà la mateixa quantitat d’aigua.

Però, què li passa a la part de davant de la meva camisa? Si no em moc, em trobo en la situació D de la imatge de baix. Com que la camisa és quasi vertical (la represento per V), el seu prisma d’aigua, D, no té gruix i el seu volum és nul. Si no camino, el davant de la meva camisa quasi no es mullarà. I si ara començo a caminar, passaré de la situació D a la C, amb un prisma d’aigua de bases verticals (és fàcil deduir la seva forma pensant en la trajectòria de la gota que arriba a l’extrem superior de la base V al cap d’un minut, i tenint en compte que les trajectòries de totes les altres gotes que arribaran a V seran paral·leles i de la mateixa longitud). En aquest cas, el volum del prisma d’aigua és el producte de la seva base (àrea de V) per la seva alçada, que a la seva vegada és proporcional a la velocitat i al temps, o sigui, a l’espai que he caminat. Si camino lentament, en un minut la meva camisa o samarreta es mullarà molt menys que si em poso a córrer. Però com que l’alçada del prisma d’aigua és el producte de la velocitat pel temps i això és l’espai recorregut, el cert és que la part de davant de la meva roba, en el tros que em falta per arribar on vull anar, es mulla exactament el mateix tant si m’afanyo com si no.

Podríem també parlar d’inclinacions intermèdies com és el cas dels parabrises dels cotxes i motos, i veuríem que el resultat és un terme mig entre els dels casos H i V. Però de fet, si anem en bici o en moto, no ens volem entretenir en calcular volums de prismes d’aigua, i només volem protegir-nos, no hi ha cap secret: hem de tapar-nos sobretot pel davant i per damunt.

Si he de caminar 500 metres abans d’arribar a casa, el millor que puc fer (si no em vull esperar sota algun teulat) és anar ràpid: encara que la part de davant de la meva samarreta rebi la mateixa quantitat d’aigua, el meu barret ho agrairà, i a més, acabaré amb l’esquena pràcticament seca.

Si anem en cotxe i considerem un determinat interval de temps (per exemple un minut), quan plou, el sostre del cotxe rep la mateixa quantitat d’aigua, independentment de si estem parats, anem poc a poc o conduïm a gran velocitat. El parabrisa de davant, en canvi, sí que rep molta més aigua quan accelerem; però el del darrera, si anem ràpids, aviat deixarà de rebre aigua i romandrà sec. Tot plegat és fàcil d’entendre i de quantificar si usem els conceptes associats a la relativitat del moviment i calculem volums de prismes d’aigua.

——

Per cert, la Ida Dominijanni diu que perquè Europa faci un gir cal una esquerra europea que sigui capaç de fer-la girar. Diu que Europa ha d’entendre per fi que el neoliberalisme no és el seu destí, sinó una orientació política i econòmica que pot i ha de ser abandonada.

 

La música i els trítons

divendres, 8/06/2018

En George Steiner diu que hauríem de celebrar la prodigiosa fortuna per la qual, un “pobre animal forcat” com nosaltres (així és com ens defineix Shakespeare al Rei Lear) ha engendrat tres llenguatges majestuosos: la música, la matemàtica i la poesia. En el seu llibre ens explica que la música, l’únic idioma planetari, és segurament més antiga que la parla, i que la matemàtica, barreja d’harmonia, equilibri formal i conclusió elegant, pot exhibir una bellesa radiant. De fet, com bé diu, fins i tot els sordmuts poden fer matemàtica.

La música té efectes beneficiosos no només per a nosaltres, sino també per als animals, en base a les reaccions rítmiques que provoca a les neurones del cervell. Quan escoltem una nota musical, per exemple el LA de 400 Hz de la tercera octava de fa uns anys, les nostres neurones reaccionen a aquesta freqüència de quatre-cents bategs per segon. I d’aquí és d’on ve la importància dels harmònics. En aquest cas, els tres primers harmònics vibren a 800, 1200 i 1600 Hz. Allò que distingeix un instrument musical d’un altre és la proporció que conté, cada nota, d’aquests harmònics i dels següents. El que ens resulta agradable és que els harmònics mantenen el ritme. Si imaginem un tambor virtual extra ràpid que marqués el ritme de 400 cops per segon, el seu primer harmònic estaria seguint una cadència de 800 tocs per segon, i la del segon harmònic seria de 1200. Dit d’una altra manera, un de cada tres tocs del segon harmònic coincideix amb un toc de la nota principal, i el mateix passa amb un de cada dos del primer harmònic. Els harmònics van coincidint al llarg del temps de manera regular i en funció de les seves freqüències, i això contribueix al plaer que experimentem quan escoltem les notes.

En Joan Girbau ens va explicar, ja fa més de 30 anys, la íntima relació que hi ha entre aquests dos llenguatges dels trítons, la música i la matemàtica. Aquí podeu llegir l’article complet, que va publicar el Butlletí de la societat catalana de matemàtiques. Partim de la base que cada nota es pot representar per una freqüència u (més les proporcions de barreja dels seus harmònics, que ara per ara no considerarem). La pregunta és: és possible trobar un conjunt finit de notes, que anomenarem S, que ens permeti tocar música amb els instruments? En Joan Girbau deia que, atesa la importància dels primers harmònics, és raonable que si una determinada nota de freqüència u pertany al nostre conjunt S, les notes de freqüència doble i meitat (2*u i u/2) també hi siguin. Ara bé, el fet dels harmònics que abans comentàvem fa que la nostra percepció d’aquestes tres notes en progressió geomètrica de raó 2 (u/2, u i 2*u) sigui molt similar. De fet, les percebem com notes “de la mateixa família”. I és per això que diem que u i 2*u són la mateixa nota, encara que de diferents escales (vegeu la nota al final). Les notes de qualsevol escala són els primers harmònics de les notes de l’escala anterior (més greu).

Ja que l’estructura de les notes en escales ens garanteix automàticament que per a qualsevol nota u, els seus harmònics 2*u i 4*u també existeixen com a notes, la pregunta que sembla lògic que ens fem a continuació és què hem de fer per a que l’harmònic 3*u sigui també una nota que puguem tocar. I aquí comencen les sorpreses. En Joan Girbau demostra que, si volem tenir un conjunt de notes S tal que, per qualsevol nota de S, les notes 2*u, 3*u i 4*u també pertanyin a S, aquest conjunt S ha de tenir infinites notes. La música sembla que té un problema…

Però aquí arriba la genialitat dels pitagòrics, que van resoldre el problema dels harmònics amb una solució aproximada: l’escala pitagòrica cromàtica. Es tracta de trobar un conjunt de notes a cada escala de manera que per cada una d’elles u, hi hagi una altra nota v que sigui aproximadament v=3*u. En Joan Girbau demostra que conjunt més petit de notes que garanteix això conté justament 12 notes. L’escala dodecafònica surt de manera natural quan imposem que els tres primers harmònics de qualsevol nota siguin també (o quasi ho siguin) altres notes que puguem tocar! I una curiositat, que també trobareu a l’article d’en Joan Girbau: si volem millorar l’escala pitagòrica dodecafònica i tenir una millor aproximació dels harmònics 3*u, hem de passar de 12 a 41 notes. Val a dir que les dues millors aproximacions s’obtenen amb 665 i amb 15.601 notes a cada escala. Però, us imagineu un piano amb 665 tecles a cada escala? El fet quasi miraculós que van descobrir els pitagòrics és que tot lliga ja molt bé amb només 12 notes.

Una altra solució al problema dels harmònics és l’escala cromàtica temperada, que surt de definir una distància entre notes (vegeu un cop més la nota al final), pensar en escales d’un cert nombre de notes (per exemple, m) i imposar que totes les distàncies entre notes consecutives siguin iguals. Si s’estudien els valors de m que garanteixen que per tota nota u, l’escala conté també una bona aproximació de 3*u, es troben els valors m=7 (escala natural sense sostinguts), m=12 (escala dodecafònica) i m=29.

De fet, els valors de les freqüències de les 12 notes a l’escala pitagòrica cromàtica i a l’escala cromàtica temperada són molt semblants. Ho podeu comprovar a la pàgina 101 del llibre “Fes matemàtiques!” de Armengol Gasull (si escriviu “matemàtiques música escala cromàtica vibracions segon” a un cercador com Google, anireu directament a aquesta pàgina i podreu veure la taula comparativa). Tot lliga. Les 12 notes de l’escala natural amb sostinguts són la solució al problema d’incorporar els primers harmònics de totes les notes. Mira per on, els pitagòrics van resoldre un bon problema matemàtic d’optimització…

——

Per cert, la Lourdes Parramón parla del recull “Mujeres” d’Eduardo Galeano, i diu que preservar de l’oblit les dones que, pel seu capteniment exemplar, mereixen un lloc d’honor en la memòria col·lectiva, eixuga un deute moral. Parla d’iniciatives ciutadanes que pretenen corregir l’absència clamorosa de dones en l’arena pública, com ara #OnSónLesDones o Falten Elles, una acció de l’organització “Hay Derecho” que assenyala i posa en evidència els dèficits detectats.

——

NOTA: En Joan Girbau comenta que les escales musicals defineixen una relació d’equivalència entre les notes: dues notes u, v són equivalents si u = v*(2^q) per un determinat valor q enter. Això permet definir el conjunt quocient E i el conjunt de notes dins cada escala. Però es pot demostrar que si volem que, donada una nota u de E, 3*u i u/3 siguin també de E, cal un conjunt S amb infinites notes (de fet, això ja passa si només considerem 3*u). D’altra banda, la distància entre dues notes u i v es defineix en base al logaritme de la seva relació, per tal que compleixi les propietats habituals en tota distància: dist (u,v) = log (abs(u/v)).

L’Alzheimer i els ritmes

dimecres, 30/05/2018

Durant els darrers cent anys hem après molt sobre el funcionament del cervell, gràcies als treballs de Santiago Ramón y Cajal i amb l’ajut de sistemes de detecció i mesura com el de l’electroencefalografia que va inventar en Hans Berger. Sabem que tenim uns 86 mil milions de neurones, que cada una d’elles es connecta amb milers d’altres, i que grups molt nombrosos de neurones s’activen de manera sincronitzada i rítmica, produint ones que ara sabem captar. Quan dormim profundament i sense somiar, les neurones generen una música latent d’ones delta de baixa freqüència (entre un i quatre Hz o cicles per segon). Però les nostres neurones també ressonen en moltes altres freqüències. Per exemple, quan estem actius, generem ones gamma més ràpides (de 30 a 70 Hz), associades amb la formació de idees, el llenguatge, la memòria i amb la percepció conscient.

El cert és que hem avançat molt, però que encara no sabem res, del nostre cervell. Som com un nen a la platja, que juga amb la sorra i les onades sense ser conscient de la immensitat de l’oceà. En Marcus du Sautoy ens parla de la extraordinària complexitat del cervell humà i diu que el més probable és que els humans mai arribem a entendre’l del tot.

Dic això perquè fa poc vaig llegir una notícia molt bonica. S’ha descobert que el fet de sotmetre ratolins que tenen plaques d’Alzheimer en el seu cervell a flaixos intermitents i rítmics de llum LED durant una estona, redueix dràsticament el nombre d’aquestes plaques. Ho ha descobert un grup de científics del Massachusetts Institute of Technology (MIT), que van trobar que la llum estimulava les cèl·lules a ressonar i destruir les proteïnes nocives que s’acumulen i que provoquen l’aparició de la demència. Això sí, cal que el parpelleig segueixi un ritme de 40 flaixos per segon, perquè així activa aquest tipus concret d’ones gamma. Encara que ni els humans ni les rates podem percebre que es tracta d’una llum formada per una seqüència d’impulsos lumínics (ho veiem com una llum continua, per la persistència de la imatge a la retina), els ulls sí que capten els flaixos, els seus senyals òptics passen al cervell, les neurones s’activen a la mateixa freqüència, i amb les seves ones – el seu “ball” – van trencant les plaques. De fet, ara mateix s’està fent proves en persones malaltes d’Alzheimer, com podeu veure a aquesta noticia del New Scientist i en el vídeo que mostra. La imatge de dalt és justament d’aquest vídeo. Cal dir que s’ha vist que determinades vibracions i sons de la mateixa freqüència de 40 Hz són també útils i trenquen plaques d’Alzheimer. Sembla que l’important és fer ressonar les neurones a la freqüència de 40 Hz, no pas com es fa.

Una prova del limitat que és el nostre coneixement del funcionament del cervell humà i de la immensa complexitat del que encara no sabem són els experiments que ens mostren que la realitat pot ser molt diferent al que creiem que veiem. Un exemple és l’efecte McGurk, que aquí teniu explicat. Estem acostumats a que hi hagi coherència entre les nostres percepcions visual i acústica. Doncs bé, si en algun moment no coincideixen, el nostre cervell ha de decidir. El resultat és que no ens adonem de la discrepància, i que pensem que el real és només una de les dues (normalment la visual). Ho podeu veure i experimentar amb aquest vídeo de la BBC. Conclusió: en molts casos no captem bé la realitat, com ja ens deia Plató. Si això és el que ens passa, voleu dir que ens serà fàcil desentrellar els misteris del nostre propi cervell i entendre allò que realment fa?

Tot plegat m’ha recordat un acudit d’en Randall Munroe que podeu veure aquí i que ordena algunes branques del saber pel seu grau de “puresa”. Els psicòlegs diuen que la sociologia no és més que psicologia aplicada, els bioquímics afirmen que la psicologia no és més que bioquímica aplicada, els químics diuen que la bioquímica és química aplicada, els físics afirmen que la química és en realitat una forma de física aplicada…, i els matemàtics s’ho miren tot de lluny i amb perspectiva. De fet, els experiments del MIT sobre els flaixos de llum i les plaques d’Alzheimer ens demostren que, encara que el nostre coneixement del cervell sigui quasi nul, podem tractar i segurament podrem guarir alteracions i degradacions bioquímiques amb sistemes no invasius només basats en la física. Llum que pot curar l’Alzheimer. Bonic, oi? Podrem algun dia tractar i guarir-nos de la cobdicia humana?

———

Per cert, la Rosa Montero diu que el 80% de les 43.000 empreses multinacionals del món estan controlades per només 737 persones. Diu que com que hi ha un miler d’individus que posseeixen el món, els polítics haurien d’estar de la nostra part, de part de tots els altres ciutadans, per intentar controlar els potentats. Democràcia és això, no el que tenim.

Gaia, els estels i nosaltres

divendres, 18/05/2018

Mireu-vos el dit índex amb el braç estès. Tanqueu primer un ull i després l’altre. Com és ben conegut, l’efecte de la paral·laxi fa que la posició del nostre dit en relació a la paret o al paisatge del fons sigui diferent en un i altre cas. La paral·laxi, aquest fenomen de canvi de posició relativa d’allò que és proper respecte el que és més llunyà, és el que va fer que l’evolució ens dissenyés amb dos ulls una mica separats per a que el cervell pogués triangular i percebre les distàncies.

La imatge d’aquí al costat ens mostra el mateix, però a escala planetària. La podeu veure a aquesta pàgina web. El fons d’estels és únic, però les quatre imatges de la lluna han estat preses (totes elles al mateix instant) des del Pol Nord (la de sota), del Pol Sud (la de dalt) i des de dos punts oposats de l’Equador (les del mig). Sabent el radi de la Terra i suposant que els estels del fons són molt més lluny, a partir d’aquesta imatge i amb una senzilla formula trigonomètrica és fàcil calcular la distància de la lluna a nosaltres.

La missió europea Gaia està fent el mateix però a escala més gran. La nau Gaia gira al voltant del Sol en una òrbita en el punt Lagrangià L2, a 1,5 milions de quilòmetres de la Terra. Un bon lloc amb un entorn de radiació baix i alta estabilitat tèrmica, que a més permet fotografiar els diferents estels de la Via Làctia des de dues posicions, en situacions oposades de l’òrbita terrestre i de la seva òrbita, separats uns 303 milions de quilòmetres. Encara que les fotos les fa en moments diferents de l’any i mentre va orbitant al voltant de la Terra, és com si Gaia tingués dos ulls separats més de 300 milions de quilòmetres. És cert que això tampoc és tan nou, i que Bessel, l’any 1838, ja va descobrir la paral·laxi basada en l’òrbita de la Terra era una bona manera de calcular la nostra distància als estels més propers. L’interessant de la nau Gaia són moltes més coses, de les quals voldria fer èmfasi en dues. El telescopi de Gaia pot mesurar les paral·laxis dels estels de magnitud entre 3 i 13 amb una precisió rècord de 6,7 milionèsimes de segon d’arc. En paraules més planeres, podria distingir una moneda d’un euro a la superfície de la Lluna. Increïble, oi? Per aconseguir-ho, li cal un grau extrem d’estabilitat i poder fer fotografies sense cap pertorbació per part de la Terra, de la seva atmosfera i del Sol. Gaia utilitza sistemes de micro-propulsió amb gas fred, molt sofisticats, per mantenir els telescopis girant a un ritme constant i garantir la precisió requerida. D’altra banda, Gaia usa informació altament redundant. Durant 5 anys ha observat més de mil milions d’estels, obtenint 70 unes fotos de cada un d’ells. Això equival a haver fotografiat una mitjana de 70 milions d’objectes cada dia, amb uns 40 GigaBytes d’informació diaris que ens va enviant. Total: 73 TeraBytes d’informació.

El resultat és un nou mapa galàctic tridimensional que conté les posicions de 1.700 milions d’estels juntament amb les posicions, moviment i característiques lumíniques de 1.300 milions d’estels de la Via Làctia. Tota la informació és a la web de la ESA. Són les dades recollides al llarg de 22 mesos de funcionament. L’actual mapa galàctic supera àmpliament, en nombre d’estels i precisió, el catàleg anterior, que només tenia dos milions d’estels. Gaia té tres metres i mig d’amplada, si no comptem el para-sol de 10 metres. El seu sensor, de tecnologia CCD com de les nostres càmeres digitals, és de mil milions de píxels amb una superfície total de 0,38 metres quadrats.

Aquí podeu veure el mapa de la ESA amb els 1.700 milions d’estels. I aquest és el vídeo d’un viatge imaginari que surt del nostre planeta i que s’allunya fins veure una bona perspectiva de tota la nostra galàxia, la Via Làctia. El vídeo mostra simultàniament les primeres dades enviades per Gaia (a l’esquerra) i les que ara tenim, molt més completes, a la dreta. El viatge comença mirant enrere cap al Sol, allunyant-se, i viatjant entre estels fins sortir de la galàxia.

Tal vegada aquest vídeo ens pugui ajudar una mica a entendre la nostra essència ínfima i efímera, a fer un somriure escèptic quan escoltem i llegim les vanes pretensions dels qui es creuen poderosos, i a exigir-los que respectin els drets i la dignitat de tots els altres, ara i aquí.

Per cert, l’Emilio Lledó diu que, estudiant la literatura grega, va descobrir que la felicitat era inicialment “tenir més”, tenir terres, cases, esclaus, àmfores, vestits. Tot això servia per assegurar la sempre fràgil i inestable existència: el “benestar” era absència d’angoixa i preocupació pel “bentenir”. Més tard, amb les paraules que van poder descobrir i descriure un univers més abstracte, el “benestar” es va transformar en “benser”, amb descripcions de l’equilibri, la sensatesa i l’alegria que surt dels territoris inescrutats del Jo. Però l’Emilio Lledó diu que el sentiment d’equilibri i assossec interior està contínuament amenaçat, i que la felicitat és impossible si la mirada descobreix la malaltia social i la corrupció que destrueix la vida col·lectiva.