Arxiu de la categoria ‘Cóm funciona?’

El 60 dels sumeris

diumenge, 11/11/2018

Com bé ens explicava fa poc en Josep M. Mulet, quasi totes les cultures van començar a comptar amb els dits. I algunes de les poques que no ho van fer així, és perquè van acabar comptant amb els dits de la mà junt amb altres parts del cos. Aquesta és la raó per la qual el sistema basat en la base 10 és tan popular a tot el món.

Curiosament, però, aquest no va ser el cas dels sumeris, una de les cultures pioneres en l’estudi de les matemàtiques i en l’abstracció de les quantitats numèriques. Al principi dels registres històrics, fa uns cinc mil anys (entre el 2900 i el 2300 A.C.), l’escriptura sumèria no tenia representació simbòlica pels nombres, i el símbol que usaven per a escriure “una ovella” era diferent del símbol per a dir “un dia”. Després, van començar a comptar en base 12. Ho feien comptant les 12 falanges dels dits d’una mà amb el polze, com veieu a la mà de la dreta a la imatge de dalt. Ho podeu provar: mentre compteu de 1 a 12, es tracta que el polze vagi tocant cada una de les falanges de la mà en l’ordre que veieu a dalt. Aquesta és la raó per la qual tenim, per exemple, dotze signes del zodíac.

Però 12 era una quantitat massa petita, i els sumeris volien comptar fins més enllà. La solució va ser ben senzilla: cada vegada que comptaven de 1 a 12, aixecaven un dit de l’altra mà i tornaven a comptar fins 12. Ho podeu veure en aquest vídeo, que és d’on he tret la imatge de dalt (que representa el 24). És clar que 12 per 5 és 60, i d’aquí va sortir el sistema sexagesimal sumeri que després van importar els babilonis i que ha arribat fins els nostres dies en les hores de 60 minuts, en els minuts de 60 segons i en els 360 graus de la circumferència. I és que, a més, el 60 té una altra gran propietat, que és la de ser el primer número que és divisible per 2, 3, 4, 5 i 6, a més de ser-ho per 10, 12, 15 i 20. Per això un quart d’hora són quinze minuts, 12 minuts són la cinquena part de l’hora, i és fàcil parlar de quants intervals de 10 minuts té una hora. Si les hores tinguessin 100 minuts, per a dir “arribo en cinc minuts”, hauríem de dir que ens falten 8,3333333 minuts per arribar…

L’Arika Okrent ens explica anècdotes interessants sobre els sistemes de numeració de diferents cultures minoritàries, i en Takasugi Shinji ha publicat una taula amb les particularitats numèriques d’un total de 69 llenguatges. Els Huli, a Papua Nova Guinea, compten en base 15, i els habitants de la illa de Frederik Hendrik Island, prop també de Nova Guinea, en el seu llenguatge Ndom treballen en base 6.

———

Per cert, la Barbara Unmussig diu que, per combatre el canvi climàtic, cal reemplaçar el model de producció d’energia basat en el mercat i centrat en els inversors amb un altre que tracti l’energia com un bé públic, orquestrant alhora un canvi cap a modes de possessió i gestió social dels subministraments d’energia. Cal emprendre un canvi cap a un nou sistema socioeconòmic tot abandonant l’obsessió en el creixement del PIB, diu.

Els matisos del canvi d’hora

divendres, 2/11/2018

Fa poc hem fet el pas a l’horari d’hivern, i es torna a parlar del bo que seria no fer canvis i deixar tot l’any el mateix horari. És curiós. Encara recordo tots els arguments que ens fan fer veure, no fa tants anys, que era molt millor tenir un horari d’estiu diferent al d’hivern.

Val a dir que, de fet, les coses tampoc són tan clares. Fa dos mesos, el 31 d’agost, llegíem que Europa apostava per mantenir el mateix horari a l’estiu i a l’hivern i que el canvi era imminent, mentre que fa poc, el 29 d’octubre, se’ns deia que la fi del canvi d’hora s’ajorna i que la UE s’inclina per deixar-ho tot igual fins al 2021.

Fem-nos algunes preguntes. Si deixem de canviar l’hora, què hem de fer? Ens quedem amb l’horari d’estiu o amb el d’hivern? De fet, i com sempre, tot té avantatges i inconvenients. Si mantenim tot l’any l’actual horari d’hivern, ja ens podem acomiadar dels sopars a l’aire lliure, als mesos de juny-juliol, amb llum després de les 9 de la nit. I, si ens quedem amb l’actual horari d’estiu, al desembre serà encara pràcticament de nit a les nou del matí. Tot plegat em recorda un amic de Tolosa, que sempre es desperta amb la llum del Sol al matí perquè diu que llevar-se quan encara és fosc és del tot antinatural. Amb aquesta opció, el meu amic segur que al desembre acabaria arribant bastant tard a la feina…

En tot cas, sembla que això ja està bastant decidit, perquè Espanya aposta per mantenir l’horari d’hivern (GMT+1) i tenir sempre llum solar al matí. Això pot tenir beneficis de tipus emocional i motivacional, segons diuen (a costa dels sopars d’estiu amb llum). Els partidaris de suprimir els canvis horaris, com Javier Albares, diuen que el canvi d’hora  trastoca el compàs del rellotge intern del nostre cos i, per tant, els cicles de son. Cosa que sembla que és una mica discutible, perquè el professor de neurociència de la UOC Diego Redolar diu en canvi que l’impacte que té canviar una hora és mínim. D’altra banda, cal tenir en compte que eliminar el canvi d’hora significarà la fi de l’horari unificat a gran part d’Europa, cosa que pot tenir algunes complicacions a nivell de coordinació d’horaris laborals i de comunicació a nivell professional. De fet, no tindríem dies de canvi d’hora però passaríem a tenir modificacions d’hora cada cop que agaféssim l’avió per anar a altres països.

Sense fer judicis de valor, crec que pot ser bo aportar alguns fets objectius. Fa alguns mesos, la revista Scientific American va tractar el tema. L’article compara tres ciutats americanes (Miami, Seattle i Fairbanks a Alaska), però el mateix es podria dir de Las Palmas de Gran Canària, París i Nord-Trøndelag, que tenen aproximadament les mateixes latituds. La primera observació és que l’interès del canvi d’hora depèn fortament de la latitud. A Miami o a les Canàries (latituds entre 25 i 29) hi ha suficient llum solar tot l’any, i per tant el canvi horari és innecessari. D’altra banda, a latituds extremes i superiors als 60 graus (com és el cas de Fairbanks a Alaska i Nord-Trøndelag a Noruega), la manca de llum a l’hivern fa que el canvi horari sigui essencial i que probablement hagi de ser de més d’una hora. Per tant, el tema que ara es planteja és un problema exclusiu de les zones de latitud intermèdia sigui a l’hemisferi nord o al sud. La segona consideració és que els potencials efectes negatius del fet de canviar l’hora es concentren al voltant de les dates de canvi, a la primavera i tardor; en canvi, els efectes beneficiosos és més fàcil que s’acabin mostrant al llarg de tot l’any. L’article cita en David Prerau, que ha escrit un llibre sobre el tema i que diu justament això: encara que hi pugui haver efectes negatius durant alguns dies, “compari això amb el fet de tenir set mesos amb postes de Sol una hora més tard”.

L’article presenta i analitza a més el resultat de 22 estudis realitzats des de l’any 2000: dos del camp de l’economia (tots dos en contra del canvi d’hora), vuit sobre els efectes en la criminalitat (4 dels quals a favor, 3 en contra i un inconclusiu), vuit sobre la salut (3 dels quals a favor i 5 en contra), i quatre relacionats amb l’energia (2 dels quals a favor, un en contra i un inconclusiu). Ara bé, només 10 dels 22 estudis analitzen els efectes al llarg de tot l’any. I d’aquests 10, 7 són favorables al canvi d’hora, dos són contraris i un és inconclusiu.

Hi ha molts estats d’opinió que van i venen com les modes: sorgeixen, s’amplifiquen, es fan virals fins que sembla que no és possible pensar altrament, i després, al cap d’un temps, minven i passen a la historia. En tenim un exemple ben clar en l’opinió dels anglesos abans i després del referèndum del Brexit, o en les actituds xenòfobes, altament preocupants, que estan creixent a molt països i que molts esperem que aviat minvin.

Però, quan una opinió es fa viral, val la pena pensar-ho bé i contrastar-la amb fets i amb altres fonts. Perquè les opinions virals no sempre ens ajuden i beneficien…

———

Per cert, i parlant d’estats d’opinió, en Josep Ramoneda diu que el llenguatge que vehicula l’extrema dreta és la cortina per amagar el problema de fons, que no és la immigració, ni els drets de les minories odiades, sino la desigualtat social i la pèrdua de benestar de sectors que es pensaven salvats i es tornen a veure a l’abisme. Diu que els poders econòmics globalitzats estan disposats, com en el cas del Brasil, a adaptar-se a poders autoritaris que els garanteixin el control social.

El joc de Ramanujan

divendres, 26/10/2018

Srīnivāsa Rāmānujan va ser aquell gran matemàtic indi que va tenir una vida massa curta. Va morir ara fa quasi un segle, als 32 anys, després de trobar molt bones solucions a infinitat de problemes. De fet, quan li van preguntar a Godfrey Hardy (que el va popularitzar en el llibre “Apologia d’un matemàtic”) sobre quina creia que havia estat la seva contribució personal més important al món de les matemàtiques, Hardy va contestar que sens dubte, aquesta havia estat el descobriment de Ramanujan. L’havia descobert i l’havia portat a Cambridge, on havien pogut treballar en nombrosos problemes matemàtics. Hardy deia que només se’l podia comparar amb Leonhard Euler o amb Jacobi.

Una de les coses que comenta en Hardy al seu llibre és que Ramanujan era amic de tots els números: li deies un número qualsevol, i Srīnivāsa improvitzava un relat curt relacionat amb ell. Si ho proveu, veureu que no és fàcil. Què podem dir del 67, per exemple?. I del 1729, el més petit dels anomenats números del taxi?

Fer-ho amb el 1729 no és fàcil, però intentar-ho amb números més petits pot ser un bon joc per passar una estona divertida amb els nens. Una possibilitat és fer-ho amb el pòster que veieu a l’esquerra de la imatge. El cartell hagués hagut d’acabar en el 99, però he de confessar que em vaig cansar una mica abans, quan aquest estiu el vaig estar fent. El pòster inclou tres capes de cartolina, que permeten que alguns números puguin deixar veure el de sota quan movem cap amunt la seva persianeta. Això sí, és important que la primera fila comenci en el zero per tal que tots els números de la mateixa horitzontal comparteixin desena.

El primer joc de Ramanujan consisteix en què, per torns, una de les persones diu un número i l’altra ha de explicar-ne alguna historia. Si parlem del 12, per exemple, podem lligar un petit relat amb les hores, els mesos de l’any i moltes coses més. El 11 és el número del fútbol, i el 29 és el dels anys de traspàs. Però com que finalment es tracta que acabin aprenent alguna cosa de matemàtiques, podem fixar-nos també en propietats més aritmètiques i incorporar-les als nostres relats. A la part dreta de la imatge, que mostra un detall amb sis dels números del pòster, els 2, 3 i 13 no tenen persiana, mentre que els 4, 12 i 14 sí (i de fet, el 12 en té dues de colors diferents, com es pot veure en aquest detall de la dreta). En resum, en algun moment del joc podem fer que s’adonin que hi ha quatre tipus de números: els que tenen una persiana que podem pujar i baixar, els que en tenen dues (una de taronja i una de blanca), els que no tenen persiana però tenen una ratlla dibuixada a sota, i els que no tenen ni persiana ni ratlla com el 26, el 52 i molts més.

Com que els números amb persiana són justament els de les taules de multiplicar, podem pensar en un segon joc de Ramanujan. Es tracta de baixar totes les persianes i, tot seguit, que el nen pugi les de, per exemple, la taula del 4 (vegeu la nota al final). S’adonarà que, per la propietat commutativa, només una de les dues solucions és l’adequada per la taula que està mostrant, però és quelcom que justament remarca aquesta propietat de la multiplicació. En el cas de números amb dues persianes com el 12, haurà de pensar si en puja una o dues perquè el 12 és a la vegada 3 x 4 i 6 x 2, i de les dues persianes, que mostren les dues opcions, només una és de la taula del 4 (de fet, quan pugem la persiana taronja, apareix allò que havíem escrit damunt de la persiana blanca de sota, i quan es puja aquesta, veiem la segona solució sota seu). A més de veure la seqüència de múltiples i el dibuix que deixa cada una de les taules al pòster, cada persiana deixa veure un rectangle de rajoles que ens mostra que les taules de multiplicar són diferents maneres d’agrupar rajoles en disposició rectangular. Després del joc, el pòster es pot deixar penjat per exemple amb la taula del 3, fins que ja volem avançar passant a la del 4, i així successivament.

Finalment, també podem jugar amb els números que no tenen persiana. Els que a més tenen una ratlla a sota, com el 3 i el 13, són els nombres primers que no es posen descompondre en producte de altres dos números més petits. No hi ha manera de posar 13 pomes en disposició rectangular, com bé sap tothom. I què passa amb els que no tenen ni persiana ni ratlla, com el 26 o el 52? Aquests permeten disposicions rectangulars, com 13×2, 26×2 o 13×4, però no surten a les taules perquè aquestes només van de l’1 al 9. Són el resultat de multiplicacions, però més complexes que les de les taules.

Moltes vegades no acabem d’adonar-nos que les taules de multiplicar i la descomposició en factors primers són un d’aquests invariants universals, aquí i a la galàxia més llunyana. Una cosa ben simple però que ens podria ajudar a tenir un cert grau de comunicació amb qualsevol altra tipus de vida intel·ligent, sigui a Andròmeda o al Iemen.

———

Per cert, en Javier Martín Rodríguez explica que l’actual rei Salmàn de l’Aràbia Saudita va designar el jove fill, Mohamed Bin Salmán, com a ministre de Defensa i va obrir el front de guerra al Iemen, tot com a part del seu pla per mantenir-se al poder. Tot plegat, per a acumular el prestigi i la autoritat que encara no té entre els seus oncles i cosins.  O sigui, et dediques a matar milers de persones per quedar bé amb la família.

———

NOTA: La versió del pòster que mostra la imatge no inclou, per qualsevol número D, ni el primer valor D x 1 de la seva teula de multiplicar ni el darrer, D x 10. Són dos casos trivials que d’altra banda acabarien fent més farragosa la construcció del pòster.

Els plàstics respectuosos

divendres, 19/10/2018

L’any passat, l’Ali Karami, junt amb altres investigadors de Malàisia, van analitzar la sal  de cuina de diferents països. Els resultats, que van publicar en aquest article de la revista Nature, indiquen que en 16 de les 17 mostres estudiades, els paquets de sal comercial contenien partícules de micro-plàstics provinents de l’aigua de mar. La mida mitjana de totes les que van trobar va ser de 515 μm, mentre que la desviació tipus era de 171 μm. L’estudi, però, només considerava partícules de mida superior a les 149 μm. Tot i que les proporcions trobades comporten un nivell baix de consum d’aquestes partícules antropogèniques a la sal (amb un màxim de 37 partícules per any i persona) i un impacte probablement negligible actualment en la salut, no és clar quin efecte poden tenir els micro-plàstics més petits, de manera que els investigadors indicaven que caldria establir noves metodologies que permetessin estudiar partícules més petites. Els països amb més proporció de micro-plàstics a la sal són Portugal i Australia.

La condició humana ens parla d’emocions, d’amor, de solidaritat i de cura dels altres. Però també de cobdícia, vanitat, ambició, depredació i brutícia. Els humans som bruts i ens costa entendre els límits. Quan, fa menys d’un segle, vam descobrir les possibilitats que ens oferia el petroli, ens vam llençar com bojos a cremar-lo i a fabricar nous materials com els plàstics, amb resultats realment interessants (energia, transport, industrialització, nous materials) que van anar acompanyats d’altres no tan bons: aire contaminat, escalfament global i oceans cada cop més plens de brossa i trossos de plàstic. Sabíeu que una ampolla de plàstic tarda uns 450 anys en biodegradar-se?

Però, ara que l’economia del petroli es troba cada vegada més qüestionada, tal vegada hem de tornar a pensar en el planeta i estudiar la fabricació de nous materials no basats en el petroli. I de fet, en tenim un bon exemple en els poli-hidroxi-alcanoats. Aquests polièsters, coneguts per les sigles PHA, són plàstics biodegradables que es poden fabricar amb un procès de fermentació controlada de matèria orgànica, usant determinats bacteris. En una primera fase, es regulen les condicions ambientals i de nutrients per tal de produir un fort creixement de la colònia de bacteris. Tot seguit, es fa un canvi en la composició de nutrients, i llavors els bacteris comencen a fabricar PHA, que queda dins les cèl·lules en forma de grànuls que emmagatzemen energia com petites piles de combustible cel·lular. Si el procés es fa bé, la quantitat final de PHA pot arribar al 80% del pes sec de tots els micro-organismes. Els PHA, que permeten els mateixos processos d’injecció i extrusió que els altres plàstics, són respectuosos amb el planeta i amb els nostres besnéts, i són compatibles amb el cos humà. Permeten fabricar tot tipus d’objectes, des de pel·lícules, safates i bosses fins ampolles i gots. Objectes que els bacteris ens fabriquen a partir de la fermentació de residus, i que ells mateixos s’encarreguen de “menjar-se” (usant la seva energia biocompatible) quan ja no ens interessen.

I, si tot això és cert, com és que no se’n parla més, dels plàstics PHA, sobretot tenint en compte que són materials que ja fa dècades que es coneixen? La raó ens l’explica Patricia Aymà, una jove graduada en Biotecnologia de 25 anys. Mira per on, es tracta de l’economia. Diu que el que passa és que és més car produir bioplàstic que plàstic de petroli. Per això, Patricia va donar la volta al problema i va crear una empresa de gestió de residus orgànics que, com a subproducte, fabrica bioplàstic. La idea és instal·lar màquines directament a les empreses i supermercats per tal que, mitjançant la fermentació per bacteris, aquests clients es puguin desfer fàcilment dels seus residus. Així s’eliminen els costos de transport i d’intermediaris i es pot assolir un preu de mercat del bioplàstic d’entre un i tres euros per quilo.

El sistema de Patricia Aymà, per cada quilo de residu orgànic acaba generant uns 400 grams de plàstic PHA. Molt bé, oi? Però el que no veig tan bé és la gestió que fem de tot plegat. Hi ha alguna cosa que em grinyola. Si pensem que els residus plàstics no biodegradables i no compatibles amb el cos humà (i amb el d’altres animals) són un greu perill pel planeta i pels nostres descendents, perquè els continuem fabricant amb un preu més baix que aquests nous plàstics verds? Està molt bé que la Patricia Aymà trobi maneres d’abaratir el seu procès de fabricació, però el problema és polític, i no l’haurien de resoldre les empreses, sino els governants. Ara bé, crec sincerament que els nostres governants no fan el que haurien de fer, i que tots plegats ens hem begut el seny. No fa massa, vam descobrir que fumar era nociu, i tots vam acceptar que incrementessin els impostos que gravaven el tabac. És tan difícil fer el mateix amb els plàstics no biodegradables, fins fer-los més cars que els PHA?

Una possible proposta, que pot semblar una mica esbojarrada però que facilitaria i permetria que tothom s’hi anés adaptant, seria gravar tots els plàstics no biodegradables i tots els combustibles fòssils amb un impost progressiu, que podria ser, per exemple, de tipus Fibonacci. És ben senzill. Aquest any, es mantenen els impostos de l’any passat, però a partir d’ara,  es revisen anualment: el valor de l’impost pel 2019 per a un determinat producte (plàstic o combustible) provinent del petroli seria la suma del seu impost l’any 2018 més el del 2017. El del 2020 es calcularia com la suma del de l’any 2019 i del corresponent al 2018, i així successivament. Només cal fer algunes sumes per a veure que així (i només amb mesures que poden semblar radicals com aquesta) podríem arribar segurament al 2030 havent complert els objectius de desenvolupament sostenible de Nacions Unides.

La imatge de dalt és d’aquesta web de l’empresa de Patricia Aymà.
——

Per cert, la Patricia Aymà denuncia que les grans empreses no s’arrisquen. Diu que va proposar la seva idea a empreses i universitats, però que no els va interessar. Comenta que falta una cultura del risc. “Què es pot perdre? Els diners? Doncs ja tornarem a començar”, diu.

El miracle dels axons

divendres, 12/10/2018

En Xavier Rubert de Ventós, a un dels seus llibres de divulgació filosòfica, explica que el nostre “Jo” no és més que l’encontre entre els dos sistemes genètics dels nostres pares a una determinada ciutat, una llengua, un sistema social determinat, un parell d’amors, una desena de familiars, una vintena d’amics i una cinquantena de llibres dels quals, com diu tot citant Valéry, “no he retingut ni el millor ni el pitjor, sino que n’ha quedat allò que ha pogut”. El resultat, diu, és que els estímuls que ens arriben s’ens reflecteixen amb un angle i intensitat peculiars i únics.

Som qui som gràcies al nostre passat, i el nostre passat és memòria. Però també sabem que la memòria i els records surten de la reactivació de grups específics de neurones que tenen connexions sinàptiques persistents entre elles. Els axons i les sinapsis són, per tant, una part essencial del nostre “Jo”. La nostra identitat sorgeix d’una infinitat d’interaccions sinàptiques.

El cervell humà té 86 mil milions de neurones, de les quals, 16 mil milions són al còrtex. En canvi, en total només necessita una energia de 25 watts. En aquest vídeo, Anders Lansner ens explica que el nombre de connexions sinàptiques entre els axons de les nostres neurones és deu mil vegades més gran que el nombre de neurones, i que la longitud total dels axons amb mielina d’un cervell humà adult és de cent vuitanta mil quilòmetres. O sigui, que si connectéssim els axons dels cervells de dues persones, tindríem un fil que arribaria a la Lluna. Podem dir que, en un cert sentit físic, l’amistat i l’amor arriben a la Lluna.

No és fàcil imaginar aquests nombres tan grans. Podem pensar que el nombre de neurones al còrtex és el doble que el nombre d’habitants al món, i això ja ens dona una idea del que tenim dins el nostre cap. Però, com ho fem per a representar-nos mentalment el nombre de connexions neuronals?

Diuen que tot l’univers es quantifica en base a tres escales, cada una d’elles com la que veieu a la imatge de dalt (que mostra les escales Potemkin, de 192 esglaons; la imatge la podeu trobar a aquesta pàgina web). Són l’escala de l’espai, la del temps i la de la complexitat i la organització. L’escala de l’espai és la del sistema mètric decimal que vam aprendre a l’escola. Quan érem petits, ens explicaven que un decímetre són 10 centímetres, que un metre són 10 decímetres, i que un decàmetre són 10 metres. Malauradament, segurament no vam ser conscients de tot el que implicava la notació numèrica posicional i el concepte d’ordre de magnitud (en aquest cas, en base 10). Posant i traient zeros o “corrent la coma”, fàcilment ens podem passejar per tota la realitat i anar del més gran al món microscòpic. A l’escala del sistema mètric, cada esglaó és 10 vegades més gran que el de sota i 10 vegades més petit que el del seu damunt. Si posem noms a cada esglaó i ens situem a l’esglaó d’un metre, quan baixem al de sota, som al del decímetre. Si baixem tres esglaons a partir del metre, ens trobem als mil·límetres, i si en canvi en baixem 6, som al de les micres, al món microscòpic del bacteris. Ara bé, si pugem tres esglaons, som als quilòmetres. I de fet, només en podrem pujar 26, perquè la mida de l’Univers observable és de l’ordre de 10^26 metres (un 1 amb 26 zeros), que són els 26 esglaons. No és gaire, oi? Pujant i baixant 26+6 esglaons passem de la mida d’un bacteri a la de tot l’Univers. La longitud total dels meus axons (igual que la distància a la Lluna) la trobo pujant només 8 o 9 esglaons a partir del metre. Els esglaons, treballant de 10 en 10, arriben on calgui sense problemes.

L’escala del temps és similar. Si ens situem a l’esglaó d’un segon, el de sota és el de les dècimes de segon i el de sobre representa 10 segons. És fàcil veure que en aquesta escala només podré pujar 17 o 18 esglaons, perquè l’edat de l’Univers és de l’ordre de 13 mil milions d’anys i cada any són 31.536.000 segons. No existeix cap període de temps que s’hagi d’escriure, en segons, amb més de 18 xifres en base 10.

Però l’escala de la complexitat és la que ens pot ajudar a entendre el cervell humà. Si l’esglaó de baix de tot representa una neurona, el nombre de neurones que tenim és quasi a l’esglaó 11, i el nombre de connexions sinàptiques es troba a l’esglaó 14 (un 1 seguit de 14 zeros). Curiosament, aquest nombre de connexions al nostre cervell és el mateix que el nombre de bits d’informació a tots els llibres de la biblioteca del Congrés dels Estats Units. Teòricament, hauríem de poder recitar de memòria qualsevol paràgraf de qualsevol llibre d’aquesta (o qualsevol altra) biblioteca…

El nombre d’àtoms a l’Univers és inferior a 10^82 (tota la matèria es troba en els primers 82 esglaons de complexitat, si no anem al món subatòmic), i la informació que portem al genoma, codificada en 6 x 10^9 nucleòtids, correspon a 1,5 Gigabytes (esglaó 10, si pensem que la unitat és el bit d’informació). És clar que la genètica no ho és tot, perquè és impossible que el nostre ADN (esglaó 10) pugui definir el conjunt de les nostres connexions sinàptiques, que es troben a l’esglaó 14 (10^14; vegeu la nota al final). I la cosa encara és pitjor, perquè el 99,9% del nostre genoma és comú a tots els humans, i allò que ens diferencia és ben poc (uns 125 Megabytes d’informació, a l’esglaó 9). Aquest és el miracle dels axons: quan s’han de connectar, rarament miren el genoma. Les connexions sinàptiques entre axons són nostres, no dels nostres pares. Allò que modela i conforma la nostra xarxa d’interacció entre neurones (i el nostre “Jo”) són els estímuls que ens arriben i allò que hem viscut, com bé deia en Xavier Rubert de Ventós.

——

Per cert, la Olivia Muñoz-Rojas diu que l’habilitat que alguns polítics i protagonistes mediàtics tenen per a mentir sense posar-se vermells, convida a reflexionar sobre el rubor, que cal reivindicar perquè és expressió de vida. Comenta que Darwin ja deia que no és el sentiment de culpa el que ens posa la cara vermella, sinó la sospita que altres pensin o sàpiguen que som culpables.

——

NOTA: Al naixement, la quantitat de sinapsis per neurona és de 2.500, però als dos o tres anys, ja és de 15.000 sinapsis per neurona. La vida l’experiència ens connecta axons i neurones.

Les molècules del got d’aigua

dissabte, 29/09/2018

Fa poc vaig llegir l’article que Albert Einstein va escriure l’any 1905 sobre la teoria del moviment Brownià. Poder llegir aquest article que Einstein va publicar als Annals de Física, en versió facsímil, amb les paraules i formules originals que va escriure i revisar ell mateix, va ser un plaer només comparable al de contemplar una obra mestra de la pintura, escoltar Mozart o llegir poesia. He estat dies portant les 18 pàgines impreses de l’article tot el dia amb mi, per així poder assaborir-lo trosset a trosset. El podeu trobar aquí.

Einstein, a l’article, explica essencialment tres coses. En primer lloc, mostra que quan tirem una mica de solut (per exemple, sucre, unes gotes de colorant, o fins i tot pol·len o pols de farina) en un solvent (aigua, però també un gas com l’aire), el comportament del solut és el mateix en tots els cassos, de manera que és possible calcular la seva pressió directament a partir de la teoria cinètica del calor que Ludwig Boltzmann havia enunciat feia pocs anys. Després, troba una formula per a calcular el coeficient de difusió, que mesura la velocitat amb la que el solut s’anirà estenent pel solvent; i, a continuació, dedueix una senzilla expressió que permet calcular el desplaçament mitjà de les partícules de solut durant un cert temps en funció justament d’aquest coeficient de difusió (vegeu la nota al final). La idea és ben senzilla: el solut es va difonent en el solvent perquè les seves partícules o molècules no paren de moure’s en un moviment que anomenem Brownià (en record de Robert Brown), empeses per infinitat de molècules del solvent que xoquen amb elles de manera totalment aleatòria.

I justament, el més bonic de l’escrit d’Einstein és el desenllaç final. Un cop ha deduït les formules que regulen dos comportaments (difusió i desplaçament mitjà) de les partícules de solut, elimina la variable que mesura el coeficient de difusió i obté la formula que podeu veure, amb la grafia original de l’article de 1905, a dalt. Es tracta d’una equació com a mínim sorprenent (vegeu un cop més la nota al final) perquè relaciona una magnitud perfectament mesurable com és el desplaçament mitjà de les partícules de pol·len que suren en un got d’aigua durant el seu moviment Brownià, amb el nombre de molècules d’aigua que tinc al got.

Einstein va entendre que el moviment Brownià era una prova de l’estructura molecular de l’aigua (i d’altres líquids i gasos), però a més ens va explicar com calcular el nombre de molècules. Gràcies a Einstein, ara sabem que cada 18 grams d’aigua contenen 601.698 trilions de molècules, que a cada centímetre cúbic n’hi ha 33.428 trilions, que la massa de cada una d’elles és evidentment un gram dividit per 33.428 trilions, i que el nombre de molècules que tinc en el meu got d’un quart de litre d’aigua és igual a 8 quadrilions i 356.917 trilions. Tot, gràcies a poder mesurar l’efecte que tenen els xocs aleatoris de tota aquesta munió de molècules sobre alguns grans microscòpics de pol·len. Per primera vegada, algú ens havia donat eines per a mesurar el domini atòmic. I la troballa no va ser només la idea, sinó la precisió dels resultats.

Albert Einstein va tancar un capítol de la historia de l’estructura de la matèria amb una elegància indiscutible. Tot havia començat amb Antoine Lavoisier, que l’any 1789, cinc anys abans que el matessin, va escriure el primer llibre de química moderna després de descobrir l’oxigen i els mecanismes de la combustió. Havia continuat amb John Dalton, que, entre 1802 i 1808, va fer la hipòtesi que la matèria estava formada d’àtoms, que els àtoms es combinaven en relacions enteres simples, i que era possible deduir els pesos relatius dels àtoms de diferents elements. I amb Amedeo Avogadro, que l’any 1811, per a combinar els treballs de Dalton sobre l’estructura atòmica de la matèria amb la llei dels gasos de Joseph Louis Gay-Lussac, va fer la gran hipòtesi: que dos volums iguals de gasos diferents, tots dos a la mateixa temperatura i pressió, contenen el mateix nombre de molècules. Molt després, l’any 1874, el químic rus Dmitri Mendeléiev, basant-se en el mètode d’Stanislao Cannizzaro per determinar masses atòmiques de diferents gasos, va establir la llei dels gasos ideals, va poder repartir els elements químics coneguts a la taula periòdica que va proposar quasi en paral·lel amb Lothar Meyer, i va poder predir l’existència d’elements encara no descoberts. Però va ser Einstein qui ens va regalar l’eina per a quantificar-ho tot, explicant-nos com calcular la quantitat d’àtoms o molècules en un mol de qualsevol solvent (el que ara s’anomena nombre d’Avogadro). Per primera vegada, només mesurant els moviments del pol·len vam saber obrir les portes del món atòmic.

Tot plegat, és un exemple sublim d’on podem arribar (més ben dit, d’on poden arribar algunes persones) només pensant i deduint. Perquè la formula d’Einstein que teniu a dalt és el miracle que ens permet saber, mesurant simplement la velocitat de difusió d’un colorant o el moviment del pol·len damunt l’aigua, quantes molècules hi ha al nostre got d’aigua, i quin és el pes (de fet, la massa) de cada una d’elles. Albert Einstein ens va ensenyar que podem entendre allò que és però que no podem veure, si sabem fer bones deduccions a partir del que sí veiem i observem de manera fiable. Observar, pensar, entendre, deduir, descobrir, són els grans principis de la ciència. I després actuar, perquè la ciència és la mare de l’enginyeria. Tot plegat, tenint ben presents dos aspectes essencials. Primer: quan observem, hem d’evitar que ens enganyin i hem d’estudiar els fets amb total objectivitat (això és especialment rellevant, en aquest món de falses veritats). I el segon: quan actuem, no ens oblidem de l’ètica. Nulle dia sine etica.

———

Per cert, l’Amador Fernández-Savater reivindica la capacitat de pensar i actuar, per sortir de la posició espectadora que no canvia res. Diu que sense pensament no hi ha creació, i que sense creació quedem atrapats en alternatives infernals, diu que la lluita és un regal que ens permet aprendre, junt amb els altres.

———

NOTA: L’article d’Einstein de l’any 1905 sobre el moviment Brownià és un viatge pels mètodes moderns de la matemàtica i la física. Utilitza les variables d’estat que ara emprem en l’estudi dels sistemes dinàmics, la teoria cinètica del calor (o dels gasos) de Boltzmann, el concepte de molècula (amb una estimació aproximada del nombre d’Avogadro), la llei dels gasos perfectes, el concepte d’entropia, les lleis de la dinàmica de Newton, de la difusió i de la pressió osmòtica, la integració analítica per a poder quantificar comportaments macroscòpics, la hipòtesi d’independència entre diferents partícules, la interpretació del coeficient de difusió com la constant de proporcionalitat entre les derivades espacials i la temporal a l’equació en derivades parcials de la difusió…

En tot cas, les dues grans aportacions de l’article són la deducció de la formula de la difusió, i la del desplaçament de les partícules. A la primera, Einstein aconsegueix calcular el coeficient de difusió (per exemple, d’una gota de colorant vermell en un got d’aigua) només en funció de la temperatura, la viscositat de l’aigua i el radi de les molècules de colorant. A la segona, dona la formula per a calcular la mitjana quadràtica dels desplaçaments de les partícules (de pol·len, colorant o del que sigui) en una determinada direcció x, en funció del coeficient de difusió i del temps. La formula de dalt surt d’eliminar la variable que mesura el coeficient de difusió que surt a aquestes dues equacions. Permet calcular N (el nombre de molècules que conté un mol de qualsevol substància química) com la inversa de la mitjana quadràtica dels desplaçaments de les partícules (cal observar que Einstein representava el nombre 1 per la lletra “I”), multiplicada per R*T (R es la constant dels gasos i T és la temperatura absoluta en graus Kelvin, vegeu a sota) i dividida pel producte de 3 pi per k i per P (on k és la viscositat del solvent i P és el radi de les partícules o molècules del solut. Per cert, és interessant que la formula contingui el nombre pi, oi? La importància del que és rodó també la trobem al món atòmic…

Aquesta formula de Einstein va permetre, només 4 anys després, que el físic francès Jean Perrin determinés el valor del nombre d’Avogadro N a partir de mesures experimentals del moviment Brownià. Perrin va deduir que el valor de N era 6,7 per 10 elevat a la potència 23. Després, aquest nombre N de molècules que conté un mol de qualsevol substància química s’ha acabat fixant en 6,022 per 10 a la 23. Un mol d’aigua, per exemple, són 18,015 grams o centímetres cúbics d’aigua.

La llei dels gasos perfectes diu que el producte P.V (pressió per volum) és igual a n per R per T, on n és la quantitat de gas (en mols), R es la constant dels gasos, i T és la temperatura absoluta en graus Kelvin.

Aquesta pàgina inclou dues simulacions animades del moviment Brownià.

Sobre la ortogonalitat

dimecres, 12/09/2018

Com bé explica la Lydia Maniatis, l’angle recte és especial, per nosaltres. Som capaços de detectar, amb gran precisió, angles que no són exactament rectes. I, a casa o a qualsevol edifici, el nostre cervell agraeix que els racons i els cantells dels mobles formin angles de 90 graus. Però la Lydia Maniatis ha observat també que som encara més fins a l’hora de detectar petites desviacions de l’angle recte entre el terra horitzontal i aquells objectes que suposadament haurien de ser verticals. Diu que el fet d’alinear objectes verticals amb la direcció de la gravetat fa visible l’estructura de les forces i crea una simetria que ens fa percebre l’equilibri. En canvi, l’asimetria ens genera una major tensió a l’objecte, en una o altra direcció.

Som animals amb tendència a la ortogonalitat. A l’any comencem a caminar, ortogonals al terra. A diferència de moltes altres espècies, quasi tot ho fem amb angles rectes: les cases, els mobles, els papers, els paquets, els llibres, els quadres, els envasos, les cartes, i fins i tot els carrers, sobretot a algunes ciutats com Barcelona, Nova York,  Kyoto o altres.

La imatge de dalt mostra una part de l’eixample de Barcelona, on he marcat dues de les sortides de l’estació del metro de Diagonal al Passeig de Gràcia, i, amb una línia groga, la part superior de la Rambla Catalunya. Fa uns dies, vaig sentir una conversa a l’andana: una persona li preguntava a una altra quina era la millor sortida, de les dues que he marcat, per anar a la Rambla Catalunya. Sense més informació, i donats dos punts A i B d’un determinat carrer, es pot parlar de quin és el que ens va millor per anar a un altre carrer que és paral·lel al primer?  La resposta, evidentment, és negativa. Ara bé, si sabem el lloc del segon carrer on volem anar, ens hi podem acostar per carrers que li siguin ortogonals, per minimitzar el recorregut. Perquè els camins que hem de recórrer, a l’eixample de Barcelona o a Manhattan, acaben ser esglaonats amb trams ortogonals. I la distància més curta entre dos punts si seguim sempre els carrers, és justament l’anomenada distància de Manhattan, basada a la seva vegada en la dita geometria del taxista. És el que tenim quan caminem per ciutats amb carrers ortogonals.

I ara, tornant a casa, potser podem badar una mica mentre mirem un racó o un canto del sostre. Per què? Doncs perquè els racons amaguen un dels grans misteris de l’Univers. Tres plans que acaben en un punt, tres arestes que els separen i que formen angles rectes. Son els angles rectes dels antics temples i piràmides, els que els nostres avantpassats van descobrir amagats darrera dels nombres 3, 4 i 5, els que van donar lloc al teorema de Pitàgores i al descobriment d’aquells nombres tan absurds que van ser anomenats irracionals. I el màgic número 3. Per què els racons tenen 3 arestes i no 4? Per què som en un espai aparentment de dimensió 3?

Però la ortogonalitat també la trobem al món abstracte i al de les relacions. S’ha vist, per exemple, que hi ha una correlació positiva entre l’accés a l’energia d’un determinat país o regió i el seu desenvolupament pel que fa, per exemple, a l’educació. Si dibuixem dos eixos, a l’horitzontal indiquem el grau d’accés a l’energia i al vertical marquem el grau d’educació de la gent, veurem que els punts que marquen la situació dels diferents països són propers a una línia recta inclinada que ens mostra que quan creix un factor, creix l’altre Hi ha una relació directa entre ells. En canvi, la correlació entre l’accés a l’energia d’un determinat país o regió i la mortalitat infantil és negativa (relació inversa) perquè a mesura que creix la primera, es redueix la segona, i la línia de la gràfica s’inclina cap avall. Però hi ha un tercer cas, en què la variació d’un dels factors (o variables) no afecta en res a l’altre. En aquest cas, es diu que aquestes variables són independents o ortogonals (en matemàtiques i per exemple en els espais vectorials, els conceptes d’ortogonal i de independent, són sinònims). Igual que el fet que els meridians i paral·lels siguin ortogonals fa que la meva latitud sigui totalment independent de la meva longitud (puc caminar modificant qualsevol d’elles sense canviar l’altre en res: proveu d’anar d’est a oest o de nord a sud), el grau d’interès de la gent per la química hauria de ser segurament ortogonal a l’alçada sobre el nivell del mar del poble on viu, per dir alguna cosa. O bé, el tipus d’opinions que una determinada persona expressa i defensa hauria de poder ser, en tot estat democràtic, independent i ortogonal al tipus d’opinió de qualsevol altra persona o institució, per poderosa que aquesta darrera sigui.

——

Per cert, en Carles Capdevila deia que els poders, tots ells, no suporten la llibertat de premsa. I que aquesta va ser la seva gran decepció durant els 5 anys que va dirigir l’Ara. Deia que el desvergonyiment amb què reps pressions i amenaces indica una mala salut democràtica. I és que la informació i opinions que emeten els mitjans han de ser ortogonals s a la opinió de polítics, poderosos i poders fàctics.

Els cotxes solars

dijous, 6/09/2018

M’agrada llegir certs diaris, són una font constant d’anècdotes i acudits. L’altre dia, la secció de “motor” d’un diari classificava els cotxes en aquestes categories: aventurer, ciutadà, coupé, elèctric, mític i polivalent. Si no fos perquè evidentment, l’únic objectiu de la pàgina era vendre, jo els hagués proposat afegir-hi la classe de cotxes impressionants (això d’impressionar és bàsic), la dels amfibis i la dels musicals. No puc entendre com s’ho van oblidar.

Heu sentit parlar del projecte Stella? És una iniciativa del “grup solar” (Solar Team Eindhoven, STE) de la Universitat de Tecnologia de Eindhoven, format per uns 20 estudiants que es van renovant. Fa uns quants anys, van voler demostrar que els cotxes solars eren possibles. En van dissenyar i fabricar un, van anar a Austràlia a la competició “World Solar Challenge” fa 5 anys, i van guanyar. Dos anys després, al 2015, van tornar a guanyar amb un disseny més perfeccionat de 4 places, l’anomenat Stella Lux. I el seu tercer disseny, l’Stella Vie, va guanyar un cop més la competició l’any passat. Tres premis consecutius: 2013, 2015, 2017, en aquesta competició bianual i a la categoria “creuer“.

El cotxe Stella Vie (la imatge de dalt és d’aquesta web) és de 5 places, té un perfil altament aerodinàmic i porta el sostre recobert amb 5 metres quadrats de cel·les fotovoltaiques, que és el màxim permès pels organitzadors de “World Solar Challenge” l’any passat. La seva bateria de 15 Kwh, unes 6 vegades més petita que les dels cotxes elèctrics habituals (que solen ser d’uns 100 Kwh), es carrega automàticament amb el Sol quan deixem el cotxe aparcat durant uns 30 minuts o quan anem poc a poc per zones urbanes durant uns 45 minuts. Pesa 375 Kg., la seva velocitat màxima és de 130 Km/h, i té 5 metres de llarg i 1,65 metres d’ample.

A la “World Solar Challenge“, l’Stella Vie va recórrer 3021 quilòmetres portant una mitjana de 3,4 passatgers, còmodament asseguts als seients de davant i darrera. Això sí, per a poder guanyar, van haver d’usar una mica d’energia de la seva bateria, exactament 45,7 Kwh. Tenint en compte que l’energia d’un litre de gasolina són uns 8,9 Kwh, és fàcil veure que el consum equivalent durant els més de tres mil quilòmetres de la carrera va ser de 0,17 litres cada 100 quilòmetres. En tot cas, tot depèn de la velocitat i dels quilòmetres que vulguem fer. Si conduïm a velocitat urbana i a un màxim de 70 Km/h en un dia solejat, el cotxe serà autosuficient i en un dia d’estiu podrem fer 1000 o més quilòmetres. Si, en canvi, volem arribar als 120 o 130 Km/h, el cotxe necessitarà un suplement energètic de la seva petita bateria de 15Kwh, i l’autonomia podrà baixar a uns 600 quilòmetres. Però, segons un estudi del Centre Nacional Holandès d’Estadística, que ha tingut en compte els hàbits de conducció holandesos i el nombre mitjà anual de dies ennuvolats o de pluja, durant 10 dels 12 mesos de l’any l’Stella Vie generarà diàriament el doble de l’energia que necessita una persona holandesa mitjana per a fer els seus trajectes. Per tant, quan arribin al vespre a casa, els usuaris d’aquest cotxe podran gastar part de la seva energia sobrera per al que els calgui, mentre rebaixen la factura d’electricitat. I evidentment, a casa nostra, el rendiment de l’Stella Vie serà molt superior, amb excedents d’energia més elevats. Transport de dia i energia de nit sense gastar combustible…

Per què hem de fabricar cotxes elèctrics amb bateries grans, pesades i lentes de carregar quan podríem aprofitar el sol que escalfa constantment el seu sostre? De fet, l’Stella Vie ja té permís de circulació a Europa, i els estudiants de l’equip de Eindhoven han creat una empresa que començarà a comercialitzar el cotxe a partir de l’any vinent. Les primeres unitats seran molt cares, però només caldrà esperar una mica.

Bona idea, oi? Ara bé, val a dir que, sortosament, no tot acaba en els cotxes. Hi ha qui ens demostra que és possible dissenyar i construir avions que volen amb l’energia del sol que recullen les seves ales. Vegeu, per exemple, el que fa en Bertrand Piccard al seu projecte “Solar Impulse.

———

Per cert, Matsui Kazumi, alcalde de Hiroshima i president dels alcaldes per la Pau, en una carta i a la seva corresponent declaració, proposa la construcció d’un món sense armes nuclears junt amb la creació de ciutats segures i resilients que ens portin al nostre objectiu final: el d’una pau mundial que sigui durable.

La corba que mai s’acaba

dissabte, 25/08/2018

Tenim una botiga (o una exposició) que té 16 zones diferents disposades en 4 files de 4, com veiem al primer dibuix de la imatge d’aquí al costat. Hi ha alguna forma de posar les parets o separacions de manera que la gent que entra per una banda hagi de passar per totes i cada una de les estances abans de sortir?

La resposta, que segurament haureu vist (o sofert) a algunes botigues, és el recorregut de Hilbert d’ordre 2, que teniu just al costat. Només cal deixar pas en el sentit d’aquest recorregut i barrar-lo en totes les demés direccions, de manera que cada una de les zones quadrades tinguin dos costats que permetin el pas i dos parets que l’impedeixin. Els visitants, abans de poder sortir, hauran de passar per tots els racons de l’espai d’exposició.

I si volem fragmentar més l’espai? En aquest cas podeu pensar en subdividir cada una de les 16 zones en 4, de manera que tingueu una quadricula de 64 (vuit per vuit) zones. Per a  crear un recorregut que passi per tots i cada un d’aquests 64 espais, només cal fer una cosa: per a cada un dels 16 espais del cas anterior que tenim dalt a la dreta a la imatge, mantindrem els seus “portals” d’entrada i sortida, però obligarem que la gent hagi de recórrer cada una de les seves 4 sub-zones. Veiem-ho en els dos primers quadrats de la disposició de 4 per 4. En el d’entrada, els visitants entraven per l’esquerra i sortien per la dreta; en el segon, entraven per l’esquerra i sortien per sota, segons veiem al recorregut de Hilbert de dalt a la dreta de la imatge. Ara, per generar el recorregut de Hilbert d’ordre 3 que passarà per 64 espais (recorregut que podeu veure a la imatge, sota i a l’esquerra), només hem de posar separacions que obliguin a fer un recorregut en “U” al primer quadrat i un altre en sentit Nord-Oest -> Nord-Est -> Sud-Est -> Sud-Oest al segon. Si aneu fent el mateix per tots els quadrats de dalt de la imatge, generareu fàcilment aquesta corba de Hilbert d’ordre 3.

Però això no acaba aquí, perquè podem repetir el procès. Subdividim cada una de les 64 zones en 4 sub-quadrats, i per cada un dels 64 quadrats mantenim els seus “portals” d’entrada i sortida, obliguem que els visitants hagin de recórrer cada una de les seves 4 sub-zones. El resultat és el recorregut de baix a la dreta de la imatge (corba de Hilbert d’ordre 4), que passa sistemàticament una sola vegada per tots i cada un dels 256 quadrats d’una retícula de 16 per 16 quadrats. Evidentment, la corba de Hilbert d’ordre 5 passa per tots els 1024 quadradets de 32 per 32, i la d’ordre 6 recorre (quasi res) 4096 petites zones quadrades. Si algun dia heu de muntar una exposició amb 4096 obres i voleu assegurar-vos que tothom passarà (mirant o no) per totes elles, ja sabeu la solució: podeu estructurar l’espai en base a una corba de Hilbert d’ordre 6. No és clar que garantiu la satisfacció de la gent, però el que és clar és que els haureu forçat a fer el que voleu. Podeu veure els 6 primers nivells de la corba de Hilbert plana en aquesta imatge gif animada (que també podeu trobar a la web que explica la corba de Hilbert). La de nivell 6 és realment recargolada, oi?

David Hilbert, el gran matemàtic, va estudiar i proposar aquesta corba l’any 1891, als 29 anys, un any després que Giuseppe Peano estudiés les corbes que porten el seu nom. Una de les seves propietats és que el procés de creació d’aquesta corba de Hilbert no acaba mai. Si tenim temps i paciència, podem dibuixar una corba de Hilbert d’ordre 7 que passarà per tots els 16384 quadradets d’una retícula de 128 per 128, o una d’ordre 10 que recorrerà més d’un milió de petits espais. Les corbes d’ordre 11 o 12 saben recórrer tots i cada un dels píxels de les imatges que captura una bona càmera digital, sense passar dues vegades pel mateix píxel. I podríem continuar més i més, subdividint cada vegada en 4 les regions quadrades del pas anterior (vegeu la nota al final). D’altra banda, la imatge de dalt ens mostra que, a cada pas, la corba és el doble de llarga que en el pas anterior. Si l’espai que tenim és sempre el mateix i només anem subdividint les seves cel·les, i si la longitud de la nostra corba de Hilbert d’ordre 2 és, per exemple, de 40 metres (la qual cosa correspon a un espai inicial de 10 per 10 metres), la d’ordre 3 serà de 80 metres, la d’ordre 4 tindrà 160 metres, la d’ordre 6 serà de 640 metres i, si arribéssim a la corba d’ordre 10, els visitants de la nostra exposició haurien de caminar 10 quilòmetres per sortir d’aquest espai diabòlic de 10 per 10 metres que els hem preparat. La conclusió és clara i evident: si no ens aturem i continuem refinant la corba de Hilbert, acabarà tenint una longitud infinita i omplint tot el quadrat inicial com un fil ben recargolat. És una corba que ho omple tot i que mai s’acaba. Per això, tot veient que omple tot un quadrat del pla, diem que té dimensió fractal 2.

Una altre aspecte interessant de les corbes de Hilbert és que el mateix que hem fet en 2d es pot fer en 3d (en aquest vídeo podeu veure l’aspecte que té la corba de Hilbert 3D d’ordre 3, que passa pels 512 cubicles d’una retícula a l’espai). És una corba que també té longitud infinita amb dimensió fractal 3, de manera que acaba omplint tot l’espai inicial. Pot ser “útil” per a qui vulgui muntar una exposició sota l’aigua per visitants submarinistes.

Si, en una cartolina, pinteu una retícula de 8 per 8 quadrats i els aneu numerant de l’1 al 64 segons l’ordre del recorregut de la corba de Hilbert d’ordre 3, podeu fer un joc matemàtic d’estiu per als vostres nens. Els jugadors, per torns i amb un retolador, han d’anar pintant les separacions “prohibides” entre quadradets veïns, que són tots aquells costats de la retícula que separen quadrats amb números no consecutius. Cada un d’ells, abans de pintar-lo, explica quin vol pintar. Si intenta pintar un costat incorrecte (que separa números correlatius), un altre jugador (o vosaltres) avisa i guanya un punt. Al final, la retícula de la cartolina mostrarà el recorregut que ens fan seguir en una de les botigues que comentava al principi. Una altra cosa que podeu fer, al final, és veure qui troba la “millor drecera”, que és el costat ja pintat com a paret que separa dues caselles amb números el més diferents possibles. També podeu cercar altres dreceres no tan òptimes, i anar-les repintant d’un altre color.

La corba de Hilbert em fa pensar en Spinoza i en la seva “Ética demostrada segons l’ordre geomètric”, perquè és tot un exercici sobre els límits, el finit i l’infinit. En un quadrat ben finit i limitat, Hilbert ens hi construeix una corba que l’omple i que té longitud infinita. Ara bé, això té un petit problema: per a que tingui longitud infinita, hem de generar-la amb un “total” d’infinits passos, cosa que implica un temps de construció infinit. Com que som finits i limitats, ens haurem d’aturar, i la corba final tindrà una longitud mesurable. La corba de Hilbert no s’acabi mai, però no és del món real. Tot allò que forma la realitat (les corbes, els objectes, els recursos, el creixement, el poder, nosaltres mateixos) és limitat. L’infinit és una construcció mental, que podem imaginar gràcies al poder del raonament per recursió. Hem de ser ben conscients d’allò que és realista i del que són mites utòpics.

———
Per cert, en Vicent Martínez Guzmán, filòsof de la pau i traspassat fa pocs dies, deia això: “nosaltres els pacifistes som els realistes, els utòpics són els que volen aconseguir la pau mitjançant la violència”.

———

NOTA: La corba de Hilbert es pot explicar amb un algorisme recursiu de substitució que és ben curt i senzill. Tot l’algorisme consisteix en aquestes quatre regles de substitució, que anomenarem A, B, Af i Bf:
A -> e B C d A C A d C B e
B -> d A C e B C B e C A d
Af -> e C d C d C e
Bf -> d C e C e C d

Coneixeu els gràfics de la tortuga? Tenim una tortuga-robot que porta un retolador enganxat a la closca que marca, al terra, tot el camí que va fent. La tortuga només pot fer tres coses. Aturada, pot girar a l’esquerra (“e”) o a la dreta (“d”). Quan ja ha girat, pot caminar un petit trosset (“C”) en la direcció que es troba, trosset que sempre és de la mateixa longitud L. Els girs a l’esquerra (en contra de les agulles del rellotge) i a la dreta (en el sentit de les agulles del rellotge), són sempre de 90 graus. Per exemple, la regla Af diu que cal girar a l’esquerra, avançar L, girar a la dreta, avançar L, tornar a girar a la dreta, avançar L, i finalment girar a l’esquerra. És una regla, semblant a la Bf, que fa un recorregut en forma de “U” mentre es passeja pels 4 quadradets d’una retícula de 2 per 2.

Les regles A i B, que són les essencials de l’algorisme de Hilbert, indiquen que a cada pas de substitució, hem de substituir la lletra “A” o la “B” per tot el que hi ha a la dreta. Hi ha dues possibilitats. La primera, és només usar les regles “A” i “B”, començant per exemple per la “A” i substituint una i altra vegada les “A” i “B” de la dreta per les seves corresponents extensions. El procés és una recursió infinita, que ens portaria, si poguéssim acabar, a la corba teòrica de Hilbert. La segona, és començar per “A”, substituir N vegades per les expressions de la dreta de les regles “A” i “B”, i en acabar, usar les substitucions indicades per les regles “Af” i “Bf”, que ja no inclouen signes “A” i “B” i per tant aturen el procés. Si feu això darrer podreu acabar i fer que la tortuga dibuixi una corba, però només serà una aproximació a la corba de Hilbert…

El sol i la paret del fons

divendres, 27/07/2018

A l’hivern, m’entrarà el sol per la finestra i escalfarà la paret del fons?  Arribarà fins al passadís?

Per saber les respostes a aquestes preguntes cal seguir una sèrie de passos ben senzills, que podrem fer sense problemes si perdem, per una estona, aquesta maleïda i quasi universal por a les matemàtiques. L’algorisme (perquè el conjunt de passos que cal seguir per a resoldre un determinat problema és un algorisme) el podeu trobar a la nota del final. Hauré de definir correctament la direcció D que m’interessa, que no és altra que la que hauran de tenir els raigs de Sol que voldria que entressin per la finestra i escalfessin la paret del fons. Hauré de conèixer també la direcció E de l’eix de la Terra. I ara, saben D i E, només em caldrà calcular l’angle entre aquestes dues direccions i cercar (en una taula com aquesta o a la informació geogràfica del meu municipi) la latitud L del lloc on soc. Si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, la resposta és afirmativa: en algun moment de l’any, la llum del Sol entrarà per la finestra i il·luminarà el punt de la paret o del passadís que vull. Si no es troba entre aquests dos valors, la resposta és negativa (vegeu la nota al final).

La simplicitat del problema, un cop sabem l’angle entre D i E, és sorprenent, oi? De fet, ens sorprèn perquè tendim a pensar que som el centre del món i fins i tot de l’Univers, i que caminem ben drets i verticals. Però ho entendríem millor tot plegat si penséssim que la nostra vertical és tan vàlida com la dels habitants del Iemen o de Nova Zelanda, que el nostre planeta té una única direcció singular (la del seu eix E), i que aquesta direcció, comú a tothom, és la important.

Hi ha una segona dificultat, interessant i curiosa a la vegada: el nostre sistema cognitiu està molt més adaptat a pensar en termes de punts i distàncies que a imaginar direccions i angles. La prova és que ens és molt més fàcil fer una estimació de la distància entre dos punts del nostre poble o ciutat (per exemple, comptant els passos) que dir quina és la direcció d’un determinat carrer (definida pel seu angle respecte la direcció del nord) o bé fer una estimació de l’angle entre dos carrers que no siguin perpendiculars. Els vectors, que defineixen les direccions, són subtils i abstractes… I tot plegat és ben trist, perquè per explicar bé com està posada una cosa, hem de parlar forçosament de la seva posició i de la seva orientació (que implica direccions). Com explicaríeu, amb precisió i per carta o e-mail, les trajectòries del vol de les orenetes al capvespre a una persona llunyana?

Molts d’aquests conceptes i dels que surten a la nota del final són senzills i probablement haurien de formar part d’allò que anomenem “cultura general”. De fet penso que, si no som capaços de preveure el moviment del Sol, difícilment podrem entendre una cosa tan complicada com és el comportament de la gent que ens envolta. Perquè les matemàtiques i el raonament abstracte poden ser una bona eina per sortir del nostre castell egocèntric i per poder empatitzar amb els altres, siguin propers (els fills o néts adolescents, per exemple) o llunyans (els refugiats i la gent que viu en situacions de conflicte i violència). És bo saber que la nostra vertical no és millor que la dels que malviuen al Iemen o a la República Centreafricana. Qui camina de cap per avall: els que viuen a Nova Zelanda o nosaltres?

———

Per cert, la Sonia Khediri, italiana i empresonada per l’Estat Islàmic, explica que el seu marit es va negar a convertir-se en combatent de l’EI. “Si no lluitaves et mataven”, diu. Però finalment no el va matar l’Estat Islàmic, sino la coalició internacional amb un dron, perquè una nit es va deixar el wifi encès. Aquest és un dels “sofisticats algorismes intel·ligents” dels drons occidentals: els drons ataquen i maten la gent que usa wifi, perquè diuen que a Raqqa, només l’EI té wifi. Qui jutjarà els responsables de morts com aquesta?

———

NOTA: Hi ha dues maneres (dos algorismes) diferents per a trobar l’angle entre els vectors D i E. La primera és manual, i consisteix en materialitzar aquestes dues direccions amb dos fils o cordills. El primer, que ens defineix la direcció D, el fixem un punt F de la finestra i el punt P de la paret o del terra on volem saber si ens arribarà el Sol a l’hivern. El segon, que ens marcarà la direcció E de l’eix de la Terra, l’haurem de col·locar a la nit, probablement entre la branca d’algun arbre i una estaca clavada a terra, de manera que ens senyali la direcció a la estrella polar. En aquest cas, la dificultat la tindrem quan vulguem mesurar l’angle entre els dos cordills, perquè probablement un d’ells el tindrem dins de casa i l’altra, fora.

Si preferiu l’altra solució, necessitareu una plomada, una caixa gran de cartró o fusta, i una cinta mètrica. També us caldrà saber el migdia solar, que varia cada dia de l’any i és diferent segons el lloc on siguem. Però només heu d’anar a aquesta pàgina web, escriure el lloc on sou, i a baix a la dreta veureu que us diu l’hora del migdia solar. A més, farem servir coordenades cartesianes per definir els punts F, P i el vector D. Aquestes coordenades les va proposar en René Descartes, quan sembla que era al llit curant-se d’una grip i anava mirant el vol d’una mosca. En Descartes va veure que, si anava apuntant a cada moment la distància de la mosca a dues parets i al terra, aquests tres valors anaven determinant de manera exacta la posició de la mosca i per tant el seu moviment. Va ser una idea aparentment senzilla, però que va obrir la porta de la geometria analítica, que ara ens permet treballar numèricament amb els elements geomètrics. En record seu, parlem de coordenades cartesianes.

En definitiva, aquest és l’algorisme per determinar l’angle entre D i E:
1) Esperem al migdia solar i, amb l’ajut d’una plomada, marquem al terra la direcció nord, que és la direcció contrària a la de l’ombra del fil de la plomada. Aquesta serà la direcció de l’eix X del nostre sistema de coordenades.
2) Deixem una caixa al terra just al costat del fil de la plomada, de manera que una de les cantonades de la seva base segueixi la direcció nord i una altra marqui la direcció oest. La plomada ens senyalarà un dels vèrtexs de la caixa, que serà el nostre origen de coordenades, O. Guardem la plomada.
3) Ara ja tenim un sistema de coordenades cartesià, que ens queda definit per tres de les arestes de la caixa. La que va en direcció nord és l’eix X, la que mira a l’oest és l’eix Y, i la vertical que surt del mateix vèrtex de la caixa que els dos eixos anteriors, és l’eix Z. Les dues “parets de Descartes” són les cares verticals de la caixa que segueixen les direccions nord i oest.
4) En aquest sistema de coordenades, mesurem les coordenades (X,Y,Z) del punt F de la finestra i del punt P de la paret en els que hauríem fixat el cordill en el cas de la solució manual. Una manera fàcil de fer-ho és passar de 3D a 2D, marcant a terra els punts F1 i P1 que es troben just sota i a la vertical de F i P. Les distàncies entre F i P i els seus corresponents punts a terra són les coordenades Z, i les coordenades X, Y són les longituds dels rectangles que podem formar amb els punts F1 i O (o bé P1 i O) en diagonal.
5) Per a calcular els components del vector D només cal restar les coordenades de F menys les de P, i així obtenim uns primers components provisionals. Per exemple, el component provisional X de D és la coordenada X de F menys la coordenada X de P, i el mateix pel que fa als components provisionals Y i Z. Ara bé, un cop tenim el vector D, l’hem de normalitzar amb el teorema de Pitàgores: elevem al quadrat cada un dels seus components provisionals, sumem els tres valors, i calculem l’arrel quadrada d’aquest resultat, que li direm M. Finalment, dividim els tres components provisionals de D per M, i ara sí que tenim els components reals del vector unitari que defineix la direcció D.
6) D’altra banda, l’expressió del vector E és immediata, en aquest sistema de coordenades: el seu component X és el cosinus de L, el seu component Y és zero, i el component Z és el sinus de L, perquè la direcció de l’eix de la Terra mira al nord i només depèn de la longitud geogràfica del lloc on som.
7) El cosinus de l’angle entre els dos vectors unitaris D i E es calcula ara amb només tres multiplicacions i dues sumes, perquè és l’anomenat producte escalar entre D i E. Cal multiplicar els components X de D i E, sumar el resultat al producte dels components Y de D i E, i sumar el resultat de la primera suma amb el producte dels components Z de D i E. Ara, només cal preguntar a Google quin és l’angle que té aquest cosinus.

Finalment, cal observar que el raonament que fa que pugui resoldre el problema en base a veure si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, és ben senzill: Els raigs de Sol sempre arriben dins el pla de l’eclíptica, en una direcció que forma un angle amb E tal que al llarg de l’any varia entre 23,5 i -23,5. Per tant, per un determinat punt de la Terra de latitud L, l’angle entre D i E al llarg de l’any escombrarà tots els valors continguts entre L – 23,5 i L + 23,5 (si volem ser rigorosos haurem de dir que de fet, el Sol té un moviment aparent quasi helicoïdal de manera que l’angle entre D i E acaba recorrent un total de 365/2 trajectòries discretes entre L – 23,5 i L + 23,5; però això seria filar molt prim).

En el meu raonament, he aproximat l’angle entre l’equador i l’eclíptica, que és de 23 graus i 26 minuts, per 23,5 graus.