Arxiu de la categoria ‘Descobriments científics’

El 60 dels sumeris

diumenge, 11/11/2018

Com bé ens explicava fa poc en Josep M. Mulet, quasi totes les cultures van començar a comptar amb els dits. I algunes de les poques que no ho van fer així, és perquè van acabar comptant amb els dits de la mà junt amb altres parts del cos. Aquesta és la raó per la qual el sistema basat en la base 10 és tan popular a tot el món.

Curiosament, però, aquest no va ser el cas dels sumeris, una de les cultures pioneres en l’estudi de les matemàtiques i en l’abstracció de les quantitats numèriques. Al principi dels registres històrics, fa uns cinc mil anys (entre el 2900 i el 2300 A.C.), l’escriptura sumèria no tenia representació simbòlica pels nombres, i el símbol que usaven per a escriure “una ovella” era diferent del símbol per a dir “un dia”. Després, van començar a comptar en base 12. Ho feien comptant les 12 falanges dels dits d’una mà amb el polze, com veieu a la mà de la dreta a la imatge de dalt. Ho podeu provar: mentre compteu de 1 a 12, es tracta que el polze vagi tocant cada una de les falanges de la mà en l’ordre que veieu a dalt. Aquesta és la raó per la qual tenim, per exemple, dotze signes del zodíac.

Però 12 era una quantitat massa petita, i els sumeris volien comptar fins més enllà. La solució va ser ben senzilla: cada vegada que comptaven de 1 a 12, aixecaven un dit de l’altra mà i tornaven a comptar fins 12. Ho podeu veure en aquest vídeo, que és d’on he tret la imatge de dalt (que representa el 24). És clar que 12 per 5 és 60, i d’aquí va sortir el sistema sexagesimal sumeri que després van importar els babilonis i que ha arribat fins els nostres dies en les hores de 60 minuts, en els minuts de 60 segons i en els 360 graus de la circumferència. I és que, a més, el 60 té una altra gran propietat, que és la de ser el primer número que és divisible per 2, 3, 4, 5 i 6, a més de ser-ho per 10, 12, 15 i 20. Per això un quart d’hora són quinze minuts, 12 minuts són la cinquena part de l’hora, i és fàcil parlar de quants intervals de 10 minuts té una hora. Si les hores tinguessin 100 minuts, per a dir “arribo en cinc minuts”, hauríem de dir que ens falten 8,3333333 minuts per arribar…

L’Arika Okrent ens explica anècdotes interessants sobre els sistemes de numeració de diferents cultures minoritàries, i en Takasugi Shinji ha publicat una taula amb les particularitats numèriques d’un total de 69 llenguatges. Els Huli, a Papua Nova Guinea, compten en base 15, i els habitants de la illa de Frederik Hendrik Island, prop també de Nova Guinea, en el seu llenguatge Ndom treballen en base 6.

———

Per cert, la Barbara Unmussig diu que, per combatre el canvi climàtic, cal reemplaçar el model de producció d’energia basat en el mercat i centrat en els inversors amb un altre que tracti l’energia com un bé públic, orquestrant alhora un canvi cap a modes de possessió i gestió social dels subministraments d’energia. Cal emprendre un canvi cap a un nou sistema socioeconòmic tot abandonant l’obsessió en el creixement del PIB, diu.

El joc de Ramanujan

divendres, 26/10/2018

Srīnivāsa Rāmānujan va ser aquell gran matemàtic indi que va tenir una vida massa curta. Va morir ara fa quasi un segle, als 32 anys, després de trobar molt bones solucions a infinitat de problemes. De fet, quan li van preguntar a Godfrey Hardy (que el va popularitzar en el llibre “Apologia d’un matemàtic”) sobre quina creia que havia estat la seva contribució personal més important al món de les matemàtiques, Hardy va contestar que sens dubte, aquesta havia estat el descobriment de Ramanujan. L’havia descobert i l’havia portat a Cambridge, on havien pogut treballar en nombrosos problemes matemàtics. Hardy deia que només se’l podia comparar amb Leonhard Euler o amb Jacobi.

Una de les coses que comenta en Hardy al seu llibre és que Ramanujan era amic de tots els números: li deies un número qualsevol, i Srīnivāsa improvitzava un relat curt relacionat amb ell. Si ho proveu, veureu que no és fàcil. Què podem dir del 67, per exemple?. I del 1729, el més petit dels anomenats números del taxi?

Fer-ho amb el 1729 no és fàcil, però intentar-ho amb números més petits pot ser un bon joc per passar una estona divertida amb els nens. Una possibilitat és fer-ho amb el pòster que veieu a l’esquerra de la imatge. El cartell hagués hagut d’acabar en el 99, però he de confessar que em vaig cansar una mica abans, quan aquest estiu el vaig estar fent. El pòster inclou tres capes de cartolina, que permeten que alguns números puguin deixar veure el de sota quan movem cap amunt la seva persianeta. Això sí, és important que la primera fila comenci en el zero per tal que tots els números de la mateixa horitzontal comparteixin desena.

El primer joc de Ramanujan consisteix en què, per torns, una de les persones diu un número i l’altra ha de explicar-ne alguna historia. Si parlem del 12, per exemple, podem lligar un petit relat amb les hores, els mesos de l’any i moltes coses més. El 11 és el número del fútbol, i el 29 és el dels anys de traspàs. Però com que finalment es tracta que acabin aprenent alguna cosa de matemàtiques, podem fixar-nos també en propietats més aritmètiques i incorporar-les als nostres relats. A la part dreta de la imatge, que mostra un detall amb sis dels números del pòster, els 2, 3 i 13 no tenen persiana, mentre que els 4, 12 i 14 sí (i de fet, el 12 en té dues de colors diferents, com es pot veure en aquest detall de la dreta). En resum, en algun moment del joc podem fer que s’adonin que hi ha quatre tipus de números: els que tenen una persiana que podem pujar i baixar, els que en tenen dues (una de taronja i una de blanca), els que no tenen persiana però tenen una ratlla dibuixada a sota, i els que no tenen ni persiana ni ratlla com el 26, el 52 i molts més.

Com que els números amb persiana són justament els de les taules de multiplicar, podem pensar en un segon joc de Ramanujan. Es tracta de baixar totes les persianes i, tot seguit, que el nen pugi les de, per exemple, la taula del 4 (vegeu la nota al final). S’adonarà que, per la propietat commutativa, només una de les dues solucions és l’adequada per la taula que està mostrant, però és quelcom que justament remarca aquesta propietat de la multiplicació. En el cas de números amb dues persianes com el 12, haurà de pensar si en puja una o dues perquè el 12 és a la vegada 3 x 4 i 6 x 2, i de les dues persianes, que mostren les dues opcions, només una és de la taula del 4 (de fet, quan pugem la persiana taronja, apareix allò que havíem escrit damunt de la persiana blanca de sota, i quan es puja aquesta, veiem la segona solució sota seu). A més de veure la seqüència de múltiples i el dibuix que deixa cada una de les taules al pòster, cada persiana deixa veure un rectangle de rajoles que ens mostra que les taules de multiplicar són diferents maneres d’agrupar rajoles en disposició rectangular. Després del joc, el pòster es pot deixar penjat per exemple amb la taula del 3, fins que ja volem avançar passant a la del 4, i així successivament.

Finalment, també podem jugar amb els números que no tenen persiana. Els que a més tenen una ratlla a sota, com el 3 i el 13, són els nombres primers que no es posen descompondre en producte de altres dos números més petits. No hi ha manera de posar 13 pomes en disposició rectangular, com bé sap tothom. I què passa amb els que no tenen ni persiana ni ratlla, com el 26 o el 52? Aquests permeten disposicions rectangulars, com 13×2, 26×2 o 13×4, però no surten a les taules perquè aquestes només van de l’1 al 9. Són el resultat de multiplicacions, però més complexes que les de les taules.

Moltes vegades no acabem d’adonar-nos que les taules de multiplicar i la descomposició en factors primers són un d’aquests invariants universals, aquí i a la galàxia més llunyana. Una cosa ben simple però que ens podria ajudar a tenir un cert grau de comunicació amb qualsevol altra tipus de vida intel·ligent, sigui a Andròmeda o al Iemen.

———

Per cert, en Javier Martín Rodríguez explica que l’actual rei Salmàn de l’Aràbia Saudita va designar el jove fill, Mohamed Bin Salmán, com a ministre de Defensa i va obrir el front de guerra al Iemen, tot com a part del seu pla per mantenir-se al poder. Tot plegat, per a acumular el prestigi i la autoritat que encara no té entre els seus oncles i cosins.  O sigui, et dediques a matar milers de persones per quedar bé amb la família.

———

NOTA: La versió del pòster que mostra la imatge no inclou, per qualsevol número D, ni el primer valor D x 1 de la seva teula de multiplicar ni el darrer, D x 10. Són dos casos trivials que d’altra banda acabarien fent més farragosa la construcció del pòster.

Els plàstics respectuosos

divendres, 19/10/2018

L’any passat, l’Ali Karami, junt amb altres investigadors de Malàisia, van analitzar la sal  de cuina de diferents països. Els resultats, que van publicar en aquest article de la revista Nature, indiquen que en 16 de les 17 mostres estudiades, els paquets de sal comercial contenien partícules de micro-plàstics provinents de l’aigua de mar. La mida mitjana de totes les que van trobar va ser de 515 μm, mentre que la desviació tipus era de 171 μm. L’estudi, però, només considerava partícules de mida superior a les 149 μm. Tot i que les proporcions trobades comporten un nivell baix de consum d’aquestes partícules antropogèniques a la sal (amb un màxim de 37 partícules per any i persona) i un impacte probablement negligible actualment en la salut, no és clar quin efecte poden tenir els micro-plàstics més petits, de manera que els investigadors indicaven que caldria establir noves metodologies que permetessin estudiar partícules més petites. Els països amb més proporció de micro-plàstics a la sal són Portugal i Australia.

La condició humana ens parla d’emocions, d’amor, de solidaritat i de cura dels altres. Però també de cobdícia, vanitat, ambició, depredació i brutícia. Els humans som bruts i ens costa entendre els límits. Quan, fa menys d’un segle, vam descobrir les possibilitats que ens oferia el petroli, ens vam llençar com bojos a cremar-lo i a fabricar nous materials com els plàstics, amb resultats realment interessants (energia, transport, industrialització, nous materials) que van anar acompanyats d’altres no tan bons: aire contaminat, escalfament global i oceans cada cop més plens de brossa i trossos de plàstic. Sabíeu que una ampolla de plàstic tarda uns 450 anys en biodegradar-se?

Però, ara que l’economia del petroli es troba cada vegada més qüestionada, tal vegada hem de tornar a pensar en el planeta i estudiar la fabricació de nous materials no basats en el petroli. I de fet, en tenim un bon exemple en els poli-hidroxi-alcanoats. Aquests polièsters, coneguts per les sigles PHA, són plàstics biodegradables que es poden fabricar amb un procès de fermentació controlada de matèria orgànica, usant determinats bacteris. En una primera fase, es regulen les condicions ambientals i de nutrients per tal de produir un fort creixement de la colònia de bacteris. Tot seguit, es fa un canvi en la composició de nutrients, i llavors els bacteris comencen a fabricar PHA, que queda dins les cèl·lules en forma de grànuls que emmagatzemen energia com petites piles de combustible cel·lular. Si el procés es fa bé, la quantitat final de PHA pot arribar al 80% del pes sec de tots els micro-organismes. Els PHA, que permeten els mateixos processos d’injecció i extrusió que els altres plàstics, són respectuosos amb el planeta i amb els nostres besnéts, i són compatibles amb el cos humà. Permeten fabricar tot tipus d’objectes, des de pel·lícules, safates i bosses fins ampolles i gots. Objectes que els bacteris ens fabriquen a partir de la fermentació de residus, i que ells mateixos s’encarreguen de “menjar-se” (usant la seva energia biocompatible) quan ja no ens interessen.

I, si tot això és cert, com és que no se’n parla més, dels plàstics PHA, sobretot tenint en compte que són materials que ja fa dècades que es coneixen? La raó ens l’explica Patricia Aymà, una jove graduada en Biotecnologia de 25 anys. Mira per on, es tracta de l’economia. Diu que el que passa és que és més car produir bioplàstic que plàstic de petroli. Per això, Patricia va donar la volta al problema i va crear una empresa de gestió de residus orgànics que, com a subproducte, fabrica bioplàstic. La idea és instal·lar màquines directament a les empreses i supermercats per tal que, mitjançant la fermentació per bacteris, aquests clients es puguin desfer fàcilment dels seus residus. Així s’eliminen els costos de transport i d’intermediaris i es pot assolir un preu de mercat del bioplàstic d’entre un i tres euros per quilo.

El sistema de Patricia Aymà, per cada quilo de residu orgànic acaba generant uns 400 grams de plàstic PHA. Molt bé, oi? Però el que no veig tan bé és la gestió que fem de tot plegat. Hi ha alguna cosa que em grinyola. Si pensem que els residus plàstics no biodegradables i no compatibles amb el cos humà (i amb el d’altres animals) són un greu perill pel planeta i pels nostres descendents, perquè els continuem fabricant amb un preu més baix que aquests nous plàstics verds? Està molt bé que la Patricia Aymà trobi maneres d’abaratir el seu procès de fabricació, però el problema és polític, i no l’haurien de resoldre les empreses, sino els governants. Ara bé, crec sincerament que els nostres governants no fan el que haurien de fer, i que tots plegats ens hem begut el seny. No fa massa, vam descobrir que fumar era nociu, i tots vam acceptar que incrementessin els impostos que gravaven el tabac. És tan difícil fer el mateix amb els plàstics no biodegradables, fins fer-los més cars que els PHA?

Una possible proposta, que pot semblar una mica esbojarrada però que facilitaria i permetria que tothom s’hi anés adaptant, seria gravar tots els plàstics no biodegradables i tots els combustibles fòssils amb un impost progressiu, que podria ser, per exemple, de tipus Fibonacci. És ben senzill. Aquest any, es mantenen els impostos de l’any passat, però a partir d’ara,  es revisen anualment: el valor de l’impost pel 2019 per a un determinat producte (plàstic o combustible) provinent del petroli seria la suma del seu impost l’any 2018 més el del 2017. El del 2020 es calcularia com la suma del de l’any 2019 i del corresponent al 2018, i així successivament. Només cal fer algunes sumes per a veure que així (i només amb mesures que poden semblar radicals com aquesta) podríem arribar segurament al 2030 havent complert els objectius de desenvolupament sostenible de Nacions Unides.

La imatge de dalt és d’aquesta web de l’empresa de Patricia Aymà.
——

Per cert, la Patricia Aymà denuncia que les grans empreses no s’arrisquen. Diu que va proposar la seva idea a empreses i universitats, però que no els va interessar. Comenta que falta una cultura del risc. “Què es pot perdre? Els diners? Doncs ja tornarem a començar”, diu.

El miracle dels axons

divendres, 12/10/2018

En Xavier Rubert de Ventós, a un dels seus llibres de divulgació filosòfica, explica que el nostre “Jo” no és més que l’encontre entre els dos sistemes genètics dels nostres pares a una determinada ciutat, una llengua, un sistema social determinat, un parell d’amors, una desena de familiars, una vintena d’amics i una cinquantena de llibres dels quals, com diu tot citant Valéry, “no he retingut ni el millor ni el pitjor, sino que n’ha quedat allò que ha pogut”. El resultat, diu, és que els estímuls que ens arriben s’ens reflecteixen amb un angle i intensitat peculiars i únics.

Som qui som gràcies al nostre passat, i el nostre passat és memòria. Però també sabem que la memòria i els records surten de la reactivació de grups específics de neurones que tenen connexions sinàptiques persistents entre elles. Els axons i les sinapsis són, per tant, una part essencial del nostre “Jo”. La nostra identitat sorgeix d’una infinitat d’interaccions sinàptiques.

El cervell humà té 86 mil milions de neurones, de les quals, 16 mil milions són al còrtex. En canvi, en total només necessita una energia de 25 watts. En aquest vídeo, Anders Lansner ens explica que el nombre de connexions sinàptiques entre els axons de les nostres neurones és deu mil vegades més gran que el nombre de neurones, i que la longitud total dels axons amb mielina d’un cervell humà adult és de cent vuitanta mil quilòmetres. O sigui, que si connectéssim els axons dels cervells de dues persones, tindríem un fil que arribaria a la Lluna. Podem dir que, en un cert sentit físic, l’amistat i l’amor arriben a la Lluna.

No és fàcil imaginar aquests nombres tan grans. Podem pensar que el nombre de neurones al còrtex és el doble que el nombre d’habitants al món, i això ja ens dona una idea del que tenim dins el nostre cap. Però, com ho fem per a representar-nos mentalment el nombre de connexions neuronals?

Diuen que tot l’univers es quantifica en base a tres escales, cada una d’elles com la que veieu a la imatge de dalt (que mostra les escales Potemkin, de 192 esglaons; la imatge la podeu trobar a aquesta pàgina web). Són l’escala de l’espai, la del temps i la de la complexitat i la organització. L’escala de l’espai és la del sistema mètric decimal que vam aprendre a l’escola. Quan érem petits, ens explicaven que un decímetre són 10 centímetres, que un metre són 10 decímetres, i que un decàmetre són 10 metres. Malauradament, segurament no vam ser conscients de tot el que implicava la notació numèrica posicional i el concepte d’ordre de magnitud (en aquest cas, en base 10). Posant i traient zeros o “corrent la coma”, fàcilment ens podem passejar per tota la realitat i anar del més gran al món microscòpic. A l’escala del sistema mètric, cada esglaó és 10 vegades més gran que el de sota i 10 vegades més petit que el del seu damunt. Si posem noms a cada esglaó i ens situem a l’esglaó d’un metre, quan baixem al de sota, som al del decímetre. Si baixem tres esglaons a partir del metre, ens trobem als mil·límetres, i si en canvi en baixem 6, som al de les micres, al món microscòpic del bacteris. Ara bé, si pugem tres esglaons, som als quilòmetres. I de fet, només en podrem pujar 26, perquè la mida de l’Univers observable és de l’ordre de 10^26 metres (un 1 amb 26 zeros), que són els 26 esglaons. No és gaire, oi? Pujant i baixant 26+6 esglaons passem de la mida d’un bacteri a la de tot l’Univers. La longitud total dels meus axons (igual que la distància a la Lluna) la trobo pujant només 8 o 9 esglaons a partir del metre. Els esglaons, treballant de 10 en 10, arriben on calgui sense problemes.

L’escala del temps és similar. Si ens situem a l’esglaó d’un segon, el de sota és el de les dècimes de segon i el de sobre representa 10 segons. És fàcil veure que en aquesta escala només podré pujar 17 o 18 esglaons, perquè l’edat de l’Univers és de l’ordre de 13 mil milions d’anys i cada any són 31.536.000 segons. No existeix cap període de temps que s’hagi d’escriure, en segons, amb més de 18 xifres en base 10.

Però l’escala de la complexitat és la que ens pot ajudar a entendre el cervell humà. Si l’esglaó de baix de tot representa una neurona, el nombre de neurones que tenim és quasi a l’esglaó 11, i el nombre de connexions sinàptiques es troba a l’esglaó 14 (un 1 seguit de 14 zeros). Curiosament, aquest nombre de connexions al nostre cervell és el mateix que el nombre de bits d’informació a tots els llibres de la biblioteca del Congrés dels Estats Units. Teòricament, hauríem de poder recitar de memòria qualsevol paràgraf de qualsevol llibre d’aquesta (o qualsevol altra) biblioteca…

El nombre d’àtoms a l’Univers és inferior a 10^82 (tota la matèria es troba en els primers 82 esglaons de complexitat, si no anem al món subatòmic), i la informació que portem al genoma, codificada en 6 x 10^9 nucleòtids, correspon a 1,5 Gigabytes (esglaó 10, si pensem que la unitat és el bit d’informació). És clar que la genètica no ho és tot, perquè és impossible que el nostre ADN (esglaó 10) pugui definir el conjunt de les nostres connexions sinàptiques, que es troben a l’esglaó 14 (10^14; vegeu la nota al final). I la cosa encara és pitjor, perquè el 99,9% del nostre genoma és comú a tots els humans, i allò que ens diferencia és ben poc (uns 125 Megabytes d’informació, a l’esglaó 9). Aquest és el miracle dels axons: quan s’han de connectar, rarament miren el genoma. Les connexions sinàptiques entre axons són nostres, no dels nostres pares. Allò que modela i conforma la nostra xarxa d’interacció entre neurones (i el nostre “Jo”) són els estímuls que ens arriben i allò que hem viscut, com bé deia en Xavier Rubert de Ventós.

——

Per cert, la Olivia Muñoz-Rojas diu que l’habilitat que alguns polítics i protagonistes mediàtics tenen per a mentir sense posar-se vermells, convida a reflexionar sobre el rubor, que cal reivindicar perquè és expressió de vida. Comenta que Darwin ja deia que no és el sentiment de culpa el que ens posa la cara vermella, sinó la sospita que altres pensin o sàpiguen que som culpables.

——

NOTA: Al naixement, la quantitat de sinapsis per neurona és de 2.500, però als dos o tres anys, ja és de 15.000 sinapsis per neurona. La vida l’experiència ens connecta axons i neurones.

Les molècules del got d’aigua

dissabte, 29/09/2018

Fa poc vaig llegir l’article que Albert Einstein va escriure l’any 1905 sobre la teoria del moviment Brownià. Poder llegir aquest article que Einstein va publicar als Annals de Física, en versió facsímil, amb les paraules i formules originals que va escriure i revisar ell mateix, va ser un plaer només comparable al de contemplar una obra mestra de la pintura, escoltar Mozart o llegir poesia. He estat dies portant les 18 pàgines impreses de l’article tot el dia amb mi, per així poder assaborir-lo trosset a trosset. El podeu trobar aquí.

Einstein, a l’article, explica essencialment tres coses. En primer lloc, mostra que quan tirem una mica de solut (per exemple, sucre, unes gotes de colorant, o fins i tot pol·len o pols de farina) en un solvent (aigua, però també un gas com l’aire), el comportament del solut és el mateix en tots els cassos, de manera que és possible calcular la seva pressió directament a partir de la teoria cinètica del calor que Ludwig Boltzmann havia enunciat feia pocs anys. Després, troba una formula per a calcular el coeficient de difusió, que mesura la velocitat amb la que el solut s’anirà estenent pel solvent; i, a continuació, dedueix una senzilla expressió que permet calcular el desplaçament mitjà de les partícules de solut durant un cert temps en funció justament d’aquest coeficient de difusió (vegeu la nota al final). La idea és ben senzilla: el solut es va difonent en el solvent perquè les seves partícules o molècules no paren de moure’s en un moviment que anomenem Brownià (en record de Robert Brown), empeses per infinitat de molècules del solvent que xoquen amb elles de manera totalment aleatòria.

I justament, el més bonic de l’escrit d’Einstein és el desenllaç final. Un cop ha deduït les formules que regulen dos comportaments (difusió i desplaçament mitjà) de les partícules de solut, elimina la variable que mesura el coeficient de difusió i obté la formula que podeu veure, amb la grafia original de l’article de 1905, a dalt. Es tracta d’una equació com a mínim sorprenent (vegeu un cop més la nota al final) perquè relaciona una magnitud perfectament mesurable com és el desplaçament mitjà de les partícules de pol·len que suren en un got d’aigua durant el seu moviment Brownià, amb el nombre de molècules d’aigua que tinc al got.

Einstein va entendre que el moviment Brownià era una prova de l’estructura molecular de l’aigua (i d’altres líquids i gasos), però a més ens va explicar com calcular el nombre de molècules. Gràcies a Einstein, ara sabem que cada 18 grams d’aigua contenen 601.698 trilions de molècules, que a cada centímetre cúbic n’hi ha 33.428 trilions, que la massa de cada una d’elles és evidentment un gram dividit per 33.428 trilions, i que el nombre de molècules que tinc en el meu got d’un quart de litre d’aigua és igual a 8 quadrilions i 356.917 trilions. Tot, gràcies a poder mesurar l’efecte que tenen els xocs aleatoris de tota aquesta munió de molècules sobre alguns grans microscòpics de pol·len. Per primera vegada, algú ens havia donat eines per a mesurar el domini atòmic. I la troballa no va ser només la idea, sinó la precisió dels resultats.

Albert Einstein va tancar un capítol de la historia de l’estructura de la matèria amb una elegància indiscutible. Tot havia començat amb Antoine Lavoisier, que l’any 1789, cinc anys abans que el matessin, va escriure el primer llibre de química moderna després de descobrir l’oxigen i els mecanismes de la combustió. Havia continuat amb John Dalton, que, entre 1802 i 1808, va fer la hipòtesi que la matèria estava formada d’àtoms, que els àtoms es combinaven en relacions enteres simples, i que era possible deduir els pesos relatius dels àtoms de diferents elements. I amb Amedeo Avogadro, que l’any 1811, per a combinar els treballs de Dalton sobre l’estructura atòmica de la matèria amb la llei dels gasos de Joseph Louis Gay-Lussac, va fer la gran hipòtesi: que dos volums iguals de gasos diferents, tots dos a la mateixa temperatura i pressió, contenen el mateix nombre de molècules. Molt després, l’any 1874, el químic rus Dmitri Mendeléiev, basant-se en el mètode d’Stanislao Cannizzaro per determinar masses atòmiques de diferents gasos, va establir la llei dels gasos ideals, va poder repartir els elements químics coneguts a la taula periòdica que va proposar quasi en paral·lel amb Lothar Meyer, i va poder predir l’existència d’elements encara no descoberts. Però va ser Einstein qui ens va regalar l’eina per a quantificar-ho tot, explicant-nos com calcular la quantitat d’àtoms o molècules en un mol de qualsevol solvent (el que ara s’anomena nombre d’Avogadro). Per primera vegada, només mesurant els moviments del pol·len vam saber obrir les portes del món atòmic.

Tot plegat, és un exemple sublim d’on podem arribar (més ben dit, d’on poden arribar algunes persones) només pensant i deduint. Perquè la formula d’Einstein que teniu a dalt és el miracle que ens permet saber, mesurant simplement la velocitat de difusió d’un colorant o el moviment del pol·len damunt l’aigua, quantes molècules hi ha al nostre got d’aigua, i quin és el pes (de fet, la massa) de cada una d’elles. Albert Einstein ens va ensenyar que podem entendre allò que és però que no podem veure, si sabem fer bones deduccions a partir del que sí veiem i observem de manera fiable. Observar, pensar, entendre, deduir, descobrir, són els grans principis de la ciència. I després actuar, perquè la ciència és la mare de l’enginyeria. Tot plegat, tenint ben presents dos aspectes essencials. Primer: quan observem, hem d’evitar que ens enganyin i hem d’estudiar els fets amb total objectivitat (això és especialment rellevant, en aquest món de falses veritats). I el segon: quan actuem, no ens oblidem de l’ètica. Nulle dia sine etica.

———

Per cert, l’Amador Fernández-Savater reivindica la capacitat de pensar i actuar, per sortir de la posició espectadora que no canvia res. Diu que sense pensament no hi ha creació, i que sense creació quedem atrapats en alternatives infernals, diu que la lluita és un regal que ens permet aprendre, junt amb els altres.

———

NOTA: L’article d’Einstein de l’any 1905 sobre el moviment Brownià és un viatge pels mètodes moderns de la matemàtica i la física. Utilitza les variables d’estat que ara emprem en l’estudi dels sistemes dinàmics, la teoria cinètica del calor (o dels gasos) de Boltzmann, el concepte de molècula (amb una estimació aproximada del nombre d’Avogadro), la llei dels gasos perfectes, el concepte d’entropia, les lleis de la dinàmica de Newton, de la difusió i de la pressió osmòtica, la integració analítica per a poder quantificar comportaments macroscòpics, la hipòtesi d’independència entre diferents partícules, la interpretació del coeficient de difusió com la constant de proporcionalitat entre les derivades espacials i la temporal a l’equació en derivades parcials de la difusió…

En tot cas, les dues grans aportacions de l’article són la deducció de la formula de la difusió, i la del desplaçament de les partícules. A la primera, Einstein aconsegueix calcular el coeficient de difusió (per exemple, d’una gota de colorant vermell en un got d’aigua) només en funció de la temperatura, la viscositat de l’aigua i el radi de les molècules de colorant. A la segona, dona la formula per a calcular la mitjana quadràtica dels desplaçaments de les partícules (de pol·len, colorant o del que sigui) en una determinada direcció x, en funció del coeficient de difusió i del temps. La formula de dalt surt d’eliminar la variable que mesura el coeficient de difusió que surt a aquestes dues equacions. Permet calcular N (el nombre de molècules que conté un mol de qualsevol substància química) com la inversa de la mitjana quadràtica dels desplaçaments de les partícules (cal observar que Einstein representava el nombre 1 per la lletra “I”), multiplicada per R*T (R es la constant dels gasos i T és la temperatura absoluta en graus Kelvin, vegeu a sota) i dividida pel producte de 3 pi per k i per P (on k és la viscositat del solvent i P és el radi de les partícules o molècules del solut. Per cert, és interessant que la formula contingui el nombre pi, oi? La importància del que és rodó també la trobem al món atòmic…

Aquesta formula de Einstein va permetre, només 4 anys després, que el físic francès Jean Perrin determinés el valor del nombre d’Avogadro N a partir de mesures experimentals del moviment Brownià. Perrin va deduir que el valor de N era 6,7 per 10 elevat a la potència 23. Després, aquest nombre N de molècules que conté un mol de qualsevol substància química s’ha acabat fixant en 6,022 per 10 a la 23. Un mol d’aigua, per exemple, són 18,015 grams o centímetres cúbics d’aigua.

La llei dels gasos perfectes diu que el producte P.V (pressió per volum) és igual a n per R per T, on n és la quantitat de gas (en mols), R es la constant dels gasos, i T és la temperatura absoluta en graus Kelvin.

Aquesta pàgina inclou dues simulacions animades del moviment Brownià.

Sobre la ortogonalitat

dimecres, 12/09/2018

Com bé explica la Lydia Maniatis, l’angle recte és especial, per nosaltres. Som capaços de detectar, amb gran precisió, angles que no són exactament rectes. I, a casa o a qualsevol edifici, el nostre cervell agraeix que els racons i els cantells dels mobles formin angles de 90 graus. Però la Lydia Maniatis ha observat també que som encara més fins a l’hora de detectar petites desviacions de l’angle recte entre el terra horitzontal i aquells objectes que suposadament haurien de ser verticals. Diu que el fet d’alinear objectes verticals amb la direcció de la gravetat fa visible l’estructura de les forces i crea una simetria que ens fa percebre l’equilibri. En canvi, l’asimetria ens genera una major tensió a l’objecte, en una o altra direcció.

Som animals amb tendència a la ortogonalitat. A l’any comencem a caminar, ortogonals al terra. A diferència de moltes altres espècies, quasi tot ho fem amb angles rectes: les cases, els mobles, els papers, els paquets, els llibres, els quadres, els envasos, les cartes, i fins i tot els carrers, sobretot a algunes ciutats com Barcelona, Nova York,  Kyoto o altres.

La imatge de dalt mostra una part de l’eixample de Barcelona, on he marcat dues de les sortides de l’estació del metro de Diagonal al Passeig de Gràcia, i, amb una línia groga, la part superior de la Rambla Catalunya. Fa uns dies, vaig sentir una conversa a l’andana: una persona li preguntava a una altra quina era la millor sortida, de les dues que he marcat, per anar a la Rambla Catalunya. Sense més informació, i donats dos punts A i B d’un determinat carrer, es pot parlar de quin és el que ens va millor per anar a un altre carrer que és paral·lel al primer?  La resposta, evidentment, és negativa. Ara bé, si sabem el lloc del segon carrer on volem anar, ens hi podem acostar per carrers que li siguin ortogonals, per minimitzar el recorregut. Perquè els camins que hem de recórrer, a l’eixample de Barcelona o a Manhattan, acaben ser esglaonats amb trams ortogonals. I la distància més curta entre dos punts si seguim sempre els carrers, és justament l’anomenada distància de Manhattan, basada a la seva vegada en la dita geometria del taxista. És el que tenim quan caminem per ciutats amb carrers ortogonals.

I ara, tornant a casa, potser podem badar una mica mentre mirem un racó o un canto del sostre. Per què? Doncs perquè els racons amaguen un dels grans misteris de l’Univers. Tres plans que acaben en un punt, tres arestes que els separen i que formen angles rectes. Son els angles rectes dels antics temples i piràmides, els que els nostres avantpassats van descobrir amagats darrera dels nombres 3, 4 i 5, els que van donar lloc al teorema de Pitàgores i al descobriment d’aquells nombres tan absurds que van ser anomenats irracionals. I el màgic número 3. Per què els racons tenen 3 arestes i no 4? Per què som en un espai aparentment de dimensió 3?

Però la ortogonalitat també la trobem al món abstracte i al de les relacions. S’ha vist, per exemple, que hi ha una correlació positiva entre l’accés a l’energia d’un determinat país o regió i el seu desenvolupament pel que fa, per exemple, a l’educació. Si dibuixem dos eixos, a l’horitzontal indiquem el grau d’accés a l’energia i al vertical marquem el grau d’educació de la gent, veurem que els punts que marquen la situació dels diferents països són propers a una línia recta inclinada que ens mostra que quan creix un factor, creix l’altre Hi ha una relació directa entre ells. En canvi, la correlació entre l’accés a l’energia d’un determinat país o regió i la mortalitat infantil és negativa (relació inversa) perquè a mesura que creix la primera, es redueix la segona, i la línia de la gràfica s’inclina cap avall. Però hi ha un tercer cas, en què la variació d’un dels factors (o variables) no afecta en res a l’altre. En aquest cas, es diu que aquestes variables són independents o ortogonals (en matemàtiques i per exemple en els espais vectorials, els conceptes d’ortogonal i de independent, són sinònims). Igual que el fet que els meridians i paral·lels siguin ortogonals fa que la meva latitud sigui totalment independent de la meva longitud (puc caminar modificant qualsevol d’elles sense canviar l’altre en res: proveu d’anar d’est a oest o de nord a sud), el grau d’interès de la gent per la química hauria de ser segurament ortogonal a l’alçada sobre el nivell del mar del poble on viu, per dir alguna cosa. O bé, el tipus d’opinions que una determinada persona expressa i defensa hauria de poder ser, en tot estat democràtic, independent i ortogonal al tipus d’opinió de qualsevol altra persona o institució, per poderosa que aquesta darrera sigui.

——

Per cert, en Carles Capdevila deia que els poders, tots ells, no suporten la llibertat de premsa. I que aquesta va ser la seva gran decepció durant els 5 anys que va dirigir l’Ara. Deia que el desvergonyiment amb què reps pressions i amenaces indica una mala salut democràtica. I és que la informació i opinions que emeten els mitjans han de ser ortogonals s a la opinió de polítics, poderosos i poders fàctics.

Els cotxes solars

dijous, 6/09/2018

M’agrada llegir certs diaris, són una font constant d’anècdotes i acudits. L’altre dia, la secció de “motor” d’un diari classificava els cotxes en aquestes categories: aventurer, ciutadà, coupé, elèctric, mític i polivalent. Si no fos perquè evidentment, l’únic objectiu de la pàgina era vendre, jo els hagués proposat afegir-hi la classe de cotxes impressionants (això d’impressionar és bàsic), la dels amfibis i la dels musicals. No puc entendre com s’ho van oblidar.

Heu sentit parlar del projecte Stella? És una iniciativa del “grup solar” (Solar Team Eindhoven, STE) de la Universitat de Tecnologia de Eindhoven, format per uns 20 estudiants que es van renovant. Fa uns quants anys, van voler demostrar que els cotxes solars eren possibles. En van dissenyar i fabricar un, van anar a Austràlia a la competició “World Solar Challenge” fa 5 anys, i van guanyar. Dos anys després, al 2015, van tornar a guanyar amb un disseny més perfeccionat de 4 places, l’anomenat Stella Lux. I el seu tercer disseny, l’Stella Vie, va guanyar un cop més la competició l’any passat. Tres premis consecutius: 2013, 2015, 2017, en aquesta competició bianual i a la categoria “creuer“.

El cotxe Stella Vie (la imatge de dalt és d’aquesta web) és de 5 places, té un perfil altament aerodinàmic i porta el sostre recobert amb 5 metres quadrats de cel·les fotovoltaiques, que és el màxim permès pels organitzadors de “World Solar Challenge” l’any passat. La seva bateria de 15 Kwh, unes 6 vegades més petita que les dels cotxes elèctrics habituals (que solen ser d’uns 100 Kwh), es carrega automàticament amb el Sol quan deixem el cotxe aparcat durant uns 30 minuts o quan anem poc a poc per zones urbanes durant uns 45 minuts. Pesa 375 Kg., la seva velocitat màxima és de 130 Km/h, i té 5 metres de llarg i 1,65 metres d’ample.

A la “World Solar Challenge“, l’Stella Vie va recórrer 3021 quilòmetres portant una mitjana de 3,4 passatgers, còmodament asseguts als seients de davant i darrera. Això sí, per a poder guanyar, van haver d’usar una mica d’energia de la seva bateria, exactament 45,7 Kwh. Tenint en compte que l’energia d’un litre de gasolina són uns 8,9 Kwh, és fàcil veure que el consum equivalent durant els més de tres mil quilòmetres de la carrera va ser de 0,17 litres cada 100 quilòmetres. En tot cas, tot depèn de la velocitat i dels quilòmetres que vulguem fer. Si conduïm a velocitat urbana i a un màxim de 70 Km/h en un dia solejat, el cotxe serà autosuficient i en un dia d’estiu podrem fer 1000 o més quilòmetres. Si, en canvi, volem arribar als 120 o 130 Km/h, el cotxe necessitarà un suplement energètic de la seva petita bateria de 15Kwh, i l’autonomia podrà baixar a uns 600 quilòmetres. Però, segons un estudi del Centre Nacional Holandès d’Estadística, que ha tingut en compte els hàbits de conducció holandesos i el nombre mitjà anual de dies ennuvolats o de pluja, durant 10 dels 12 mesos de l’any l’Stella Vie generarà diàriament el doble de l’energia que necessita una persona holandesa mitjana per a fer els seus trajectes. Per tant, quan arribin al vespre a casa, els usuaris d’aquest cotxe podran gastar part de la seva energia sobrera per al que els calgui, mentre rebaixen la factura d’electricitat. I evidentment, a casa nostra, el rendiment de l’Stella Vie serà molt superior, amb excedents d’energia més elevats. Transport de dia i energia de nit sense gastar combustible…

Per què hem de fabricar cotxes elèctrics amb bateries grans, pesades i lentes de carregar quan podríem aprofitar el sol que escalfa constantment el seu sostre? De fet, l’Stella Vie ja té permís de circulació a Europa, i els estudiants de l’equip de Eindhoven han creat una empresa que començarà a comercialitzar el cotxe a partir de l’any vinent. Les primeres unitats seran molt cares, però només caldrà esperar una mica.

Bona idea, oi? Ara bé, val a dir que, sortosament, no tot acaba en els cotxes. Hi ha qui ens demostra que és possible dissenyar i construir avions que volen amb l’energia del sol que recullen les seves ales. Vegeu, per exemple, el que fa en Bertrand Piccard al seu projecte “Solar Impulse.

———

Per cert, Matsui Kazumi, alcalde de Hiroshima i president dels alcaldes per la Pau, en una carta i a la seva corresponent declaració, proposa la construcció d’un món sense armes nuclears junt amb la creació de ciutats segures i resilients que ens portin al nostre objectiu final: el d’una pau mundial que sigui durable.

La il·lusió de la consciència

divendres, 31/08/2018

Albert Einstein, el febrer de 1950, en contestar la carta angoixada d’un pare que havia perdut el seu fill, li deia que som part de l’Univers, una part limitada en temps i espai. Li comentava també que experimentem els nostres sentiments i pensaments com quelcom independent de la resta, en una mena d’il·lusió òptica de la consciència, i que el camí per arribar a la pau d’esperit era justament no alimentar aquesta il·lusió, sino intentar superar-la.

He de confessar que he tardat uns vint anys fins entendre (crec) què volia dir Einstein quan parlava de la “il·lusió de la consciència”. La consciència, aquesta experiència subjectiva del “Jo” tan forta i evident, és una il·lusió? Com pot ser?

La resposta m’ha vingut, en part, dels treballs de Guilio Tononi relacionats amb la teoria integrada de la informació, però també dels estudis relacionats amb el test del mirall, de les teories il·lusionistes, i d’uns articles recents, molt recomanables, de la revista Scientific American sobre allò que ens fa humans. Els treballs de Guilio Tononi, relacionats amb la teoria integrada de la informació, es basen en una mesura (que Tononi anomena Phi) de la complexitat de les connexions entre les subparts de qualsevol sistema que processi informació. En particular, i en el cas del nostre cervell, el valor de Phi depèn del nombre de connexions neuronals. Doncs bé, la conclusió de la teoria de Tononi és que qualsevol sistema amb un valor de Phi suficientment elevat és inevitablement conscient de si mateix. El valor de Phi del nostre cervell és suficientment elevat, gràcies a que l’evolució ens ha fet saltar del cervell de 950 centímetres cúbics del homo erectus de fa 143 mil anys fins als 1500 del actual homo sapiens. Però, segons els resultats de Giulio Tonini i el seu equip, qualsevol altre criatura vivent de l’Univers o qualsevol sistema informàtic futur que assoleixi un valor de Phi per damunt del llindar, passarà automàticament a ser conscient del seu “Jo”. Sembla ser que no som tan únics i privilegiats, a l’Univers, perquè tot depèn de la complexitat connectiva (encara que som molt i molt lluny de poder fabricar sistemes robòtics i informàtics que compleixin la condició de Tononi).

D’altra banda, el test del mirall, proposat pel psicòleg Gordon Gallup l’any 1970, és un mètode que permet determinar si determinats animals tenen capacitat d’auto-reconeixement. És ben senzilla: els científics col·loquen una marca visual a la cara o en el cos de l’animal, generalment amb pintura o amb un adhesiu sense perfum, i, a continuació, observen què fa quan és davant d’un mirall i veu la seva imatge. Es diu que l’animal ha passat exitosament el test del mirall si es mou per veure millor la marca reflectida al mirall i si se la toca o fins i tot intenta treure netejar-se-la. Els nadons no passen el test del mirall fins als 18 mesos. Un cop més, sembla ser que no som els únics que tenim auto-consciència.

I les teories il·lusionistes? Doncs, com bé explica Keith Frankish, les teories de la consciència solen acceptar que la consciència fenomenal és real i pretenen explicar per què existeix. En canvi, els investigadors que defensen aquesta nova teoria il·lusionista sostenen que la consciència fenomenal és una il·lusió, i només pretenen explicar per què ens sembla que existeix. Interessant, oi?

Susan Blackmore, professora de la Universitat de Plymouth, ens parla dels mems a un dels articles del número de la revista Scientific American dedicat a què ens fa humans. Els mems són informacions que emetem, rebem i copiem. Són la unitat mínima de transmissió de l’herència cultural. Són paraules, frases, idees, tecnologies, modes, hàbits. Doncs bé, segons Susan Blackmore i Daniel Dennett, el cervell processa constantment esborranys de mems de manera descontrolada, fins que el sistema és preguntat i ha de donar alguna resposta. És en aquest moment quan el pensament s’ens fa conscient, i podem transmetre el mem (verbalitzant-lo o mostrant-lo) als altres. La consciència és per tant un fenomen a posteriori: sembla ser que som conscients quan fixem i solidifiquem algun esborrany de mem. Segons Dennett, la consciencia humana és essencialment un immens complexe de mems. Una il·lusió, en paraules de Blackmore, deguda a que som màquines de gens i mems (a diferència dels altres èssers vius, només basats en gens). Una il·lusió, això sí, que possibilita el nostre llenguatge, que manté la nostra memòria autobiogràfica i que fomenta aquesta falsa percepció que som un “Jo” que es manté en el temps i que ens sembla que no ha d’acabar. De fet, som únics perquè som prou intel·ligents com per poder auto-enganyar-nos i creure que hi ha un Jo conscient, com bé ens diu la Susan Blackmore.

Tornant a la frase profètica d’Einstein, la il·lusió de la consciència podria ser la il·lusió de l’infinit i d’aquesta falsa estabilitat del “Jo” que, en pensar que és un invariant al llarg del temps, creiem que no ha de poder acabar morint i desapareixent. Però les noves teories científiques ens expliquen que si pensem així ens auto-enganyem. És com quan veiem trucs de màgia, com bé ens explica en Daniel Dennett en aquest vídeo.

En tot cas, què ens fa diferents, als humans? Al mateix número de la revista on surt l’article de la Susan Blackmore, en Kewin Laland ens parla de la potència del llenguatge (sobretot matemàtic) i de l’aprenentatge social, que ens han permès explicar habilitats i tècniques als altres amb una precisió tal que ha acabat permetent poder enviar una nau espacial a fer fotos de Plutó, mentre que la Christine Kenneally i en Thomas Suddendorf parlen de la importància de la cultura, de la capacitat d’intercanvi de pensaments amb els altres i de la possibilitat de construir i imaginar escenaris molt complexos. Així mateix, en Michael Tomasello defensa la importància de la cooperació, que ens va començar a diferenciar dels altres primats fa uns 400 mil anys: els nostres avantpassats van començar a cooperar durant la caça (cosa que els ximpanzés no han fet mai) i, a més d’incrementar la seva efectivitat, van passar de la intencionalitat individual a la conjunta, cosa que, en paraules seves, va posar el “nosaltres” per damunt del “jo”, perquè van constatar que pensar en “nosaltres” era egoistament més interessant per cada un dels membres de la tribu. La cooperació i la utilitat del “nosaltres” va suposar el començament de la distribució tribal de tasques, l’establiment de normes del grup, i l’inici de la moral.

Einstein ens deia que no hauríem d’alimentar aquesta il·lusió de la consciència perdurable, sino que hauríem d’intentar superar-la, des d’una visió realista de la condició humana i de la nostra essencial limitació. No és fàcil, però és cada cop més imprescindible, perquè en aquest món limitat, els infinits i les absències de límits són irreals. I de fet, en Tomasello ens suggereix un possible camí: diu que actualment, en aquest planeta que se’ns ha fet petit, es cada cop menys clar qui som els “nosaltres” i qui és fora de la tribu. I acaba dient que si volem resoldre els grans majors reptes com a espècie, que amenacen a totes les societats humanes per igual, hem d’estar preparats per a pensar que tota la humanitat és “nosaltres” i que ningú és “els altres”.

La imatge de dalt la podeu trobar aquí.
——

Per cert, la Gemma Nierga va citar John Donne i els seus versos, que van ser recitats en vuit idiomes: “la mort de qualsevol home m’afebleix perquè estic lligat a la humanitat. Per això mai preguntis per qui toquen les campanes: toquen per tu”

La corba que mai s’acaba

dissabte, 25/08/2018

Tenim una botiga (o una exposició) que té 16 zones diferents disposades en 4 files de 4, com veiem al primer dibuix de la imatge d’aquí al costat. Hi ha alguna forma de posar les parets o separacions de manera que la gent que entra per una banda hagi de passar per totes i cada una de les estances abans de sortir?

La resposta, que segurament haureu vist (o sofert) a algunes botigues, és el recorregut de Hilbert d’ordre 2, que teniu just al costat. Només cal deixar pas en el sentit d’aquest recorregut i barrar-lo en totes les demés direccions, de manera que cada una de les zones quadrades tinguin dos costats que permetin el pas i dos parets que l’impedeixin. Els visitants, abans de poder sortir, hauran de passar per tots els racons de l’espai d’exposició.

I si volem fragmentar més l’espai? En aquest cas podeu pensar en subdividir cada una de les 16 zones en 4, de manera que tingueu una quadricula de 64 (vuit per vuit) zones. Per a  crear un recorregut que passi per tots i cada un d’aquests 64 espais, només cal fer una cosa: per a cada un dels 16 espais del cas anterior que tenim dalt a la dreta a la imatge, mantindrem els seus “portals” d’entrada i sortida, però obligarem que la gent hagi de recórrer cada una de les seves 4 sub-zones. Veiem-ho en els dos primers quadrats de la disposició de 4 per 4. En el d’entrada, els visitants entraven per l’esquerra i sortien per la dreta; en el segon, entraven per l’esquerra i sortien per sota, segons veiem al recorregut de Hilbert de dalt a la dreta de la imatge. Ara, per generar el recorregut de Hilbert d’ordre 3 que passarà per 64 espais (recorregut que podeu veure a la imatge, sota i a l’esquerra), només hem de posar separacions que obliguin a fer un recorregut en “U” al primer quadrat i un altre en sentit Nord-Oest -> Nord-Est -> Sud-Est -> Sud-Oest al segon. Si aneu fent el mateix per tots els quadrats de dalt de la imatge, generareu fàcilment aquesta corba de Hilbert d’ordre 3.

Però això no acaba aquí, perquè podem repetir el procès. Subdividim cada una de les 64 zones en 4 sub-quadrats, i per cada un dels 64 quadrats mantenim els seus “portals” d’entrada i sortida, obliguem que els visitants hagin de recórrer cada una de les seves 4 sub-zones. El resultat és el recorregut de baix a la dreta de la imatge (corba de Hilbert d’ordre 4), que passa sistemàticament una sola vegada per tots i cada un dels 256 quadrats d’una retícula de 16 per 16 quadrats. Evidentment, la corba de Hilbert d’ordre 5 passa per tots els 1024 quadradets de 32 per 32, i la d’ordre 6 recorre (quasi res) 4096 petites zones quadrades. Si algun dia heu de muntar una exposició amb 4096 obres i voleu assegurar-vos que tothom passarà (mirant o no) per totes elles, ja sabeu la solució: podeu estructurar l’espai en base a una corba de Hilbert d’ordre 6. No és clar que garantiu la satisfacció de la gent, però el que és clar és que els haureu forçat a fer el que voleu. Podeu veure els 6 primers nivells de la corba de Hilbert plana en aquesta imatge gif animada (que també podeu trobar a la web que explica la corba de Hilbert). La de nivell 6 és realment recargolada, oi?

David Hilbert, el gran matemàtic, va estudiar i proposar aquesta corba l’any 1891, als 29 anys, un any després que Giuseppe Peano estudiés les corbes que porten el seu nom. Una de les seves propietats és que el procés de creació d’aquesta corba de Hilbert no acaba mai. Si tenim temps i paciència, podem dibuixar una corba de Hilbert d’ordre 7 que passarà per tots els 16384 quadradets d’una retícula de 128 per 128, o una d’ordre 10 que recorrerà més d’un milió de petits espais. Les corbes d’ordre 11 o 12 saben recórrer tots i cada un dels píxels de les imatges que captura una bona càmera digital, sense passar dues vegades pel mateix píxel. I podríem continuar més i més, subdividint cada vegada en 4 les regions quadrades del pas anterior (vegeu la nota al final). D’altra banda, la imatge de dalt ens mostra que, a cada pas, la corba és el doble de llarga que en el pas anterior. Si l’espai que tenim és sempre el mateix i només anem subdividint les seves cel·les, i si la longitud de la nostra corba de Hilbert d’ordre 2 és, per exemple, de 40 metres (la qual cosa correspon a un espai inicial de 10 per 10 metres), la d’ordre 3 serà de 80 metres, la d’ordre 4 tindrà 160 metres, la d’ordre 6 serà de 640 metres i, si arribéssim a la corba d’ordre 10, els visitants de la nostra exposició haurien de caminar 10 quilòmetres per sortir d’aquest espai diabòlic de 10 per 10 metres que els hem preparat. La conclusió és clara i evident: si no ens aturem i continuem refinant la corba de Hilbert, acabarà tenint una longitud infinita i omplint tot el quadrat inicial com un fil ben recargolat. És una corba que ho omple tot i que mai s’acaba. Per això, tot veient que omple tot un quadrat del pla, diem que té dimensió fractal 2.

Una altre aspecte interessant de les corbes de Hilbert és que el mateix que hem fet en 2d es pot fer en 3d (en aquest vídeo podeu veure l’aspecte que té la corba de Hilbert 3D d’ordre 3, que passa pels 512 cubicles d’una retícula a l’espai). És una corba que també té longitud infinita amb dimensió fractal 3, de manera que acaba omplint tot l’espai inicial. Pot ser “útil” per a qui vulgui muntar una exposició sota l’aigua per visitants submarinistes.

Si, en una cartolina, pinteu una retícula de 8 per 8 quadrats i els aneu numerant de l’1 al 64 segons l’ordre del recorregut de la corba de Hilbert d’ordre 3, podeu fer un joc matemàtic d’estiu per als vostres nens. Els jugadors, per torns i amb un retolador, han d’anar pintant les separacions “prohibides” entre quadradets veïns, que són tots aquells costats de la retícula que separen quadrats amb números no consecutius. Cada un d’ells, abans de pintar-lo, explica quin vol pintar. Si intenta pintar un costat incorrecte (que separa números correlatius), un altre jugador (o vosaltres) avisa i guanya un punt. Al final, la retícula de la cartolina mostrarà el recorregut que ens fan seguir en una de les botigues que comentava al principi. Una altra cosa que podeu fer, al final, és veure qui troba la “millor drecera”, que és el costat ja pintat com a paret que separa dues caselles amb números el més diferents possibles. També podeu cercar altres dreceres no tan òptimes, i anar-les repintant d’un altre color.

La corba de Hilbert em fa pensar en Spinoza i en la seva “Ética demostrada segons l’ordre geomètric”, perquè és tot un exercici sobre els límits, el finit i l’infinit. En un quadrat ben finit i limitat, Hilbert ens hi construeix una corba que l’omple i que té longitud infinita. Ara bé, això té un petit problema: per a que tingui longitud infinita, hem de generar-la amb un “total” d’infinits passos, cosa que implica un temps de construció infinit. Com que som finits i limitats, ens haurem d’aturar, i la corba final tindrà una longitud mesurable. La corba de Hilbert no s’acabi mai, però no és del món real. Tot allò que forma la realitat (les corbes, els objectes, els recursos, el creixement, el poder, nosaltres mateixos) és limitat. L’infinit és una construcció mental, que podem imaginar gràcies al poder del raonament per recursió. Hem de ser ben conscients d’allò que és realista i del que són mites utòpics.

———
Per cert, en Vicent Martínez Guzmán, filòsof de la pau i traspassat fa pocs dies, deia això: “nosaltres els pacifistes som els realistes, els utòpics són els que volen aconseguir la pau mitjançant la violència”.

———

NOTA: La corba de Hilbert es pot explicar amb un algorisme recursiu de substitució que és ben curt i senzill. Tot l’algorisme consisteix en aquestes quatre regles de substitució, que anomenarem A, B, Af i Bf:
A -> e B C d A C A d C B e
B -> d A C e B C B e C A d
Af -> e C d C d C e
Bf -> d C e C e C d

Coneixeu els gràfics de la tortuga? Tenim una tortuga-robot que porta un retolador enganxat a la closca que marca, al terra, tot el camí que va fent. La tortuga només pot fer tres coses. Aturada, pot girar a l’esquerra (“e”) o a la dreta (“d”). Quan ja ha girat, pot caminar un petit trosset (“C”) en la direcció que es troba, trosset que sempre és de la mateixa longitud L. Els girs a l’esquerra (en contra de les agulles del rellotge) i a la dreta (en el sentit de les agulles del rellotge), són sempre de 90 graus. Per exemple, la regla Af diu que cal girar a l’esquerra, avançar L, girar a la dreta, avançar L, tornar a girar a la dreta, avançar L, i finalment girar a l’esquerra. És una regla, semblant a la Bf, que fa un recorregut en forma de “U” mentre es passeja pels 4 quadradets d’una retícula de 2 per 2.

Les regles A i B, que són les essencials de l’algorisme de Hilbert, indiquen que a cada pas de substitució, hem de substituir la lletra “A” o la “B” per tot el que hi ha a la dreta. Hi ha dues possibilitats. La primera, és només usar les regles “A” i “B”, començant per exemple per la “A” i substituint una i altra vegada les “A” i “B” de la dreta per les seves corresponents extensions. El procés és una recursió infinita, que ens portaria, si poguéssim acabar, a la corba teòrica de Hilbert. La segona, és començar per “A”, substituir N vegades per les expressions de la dreta de les regles “A” i “B”, i en acabar, usar les substitucions indicades per les regles “Af” i “Bf”, que ja no inclouen signes “A” i “B” i per tant aturen el procés. Si feu això darrer podreu acabar i fer que la tortuga dibuixi una corba, però només serà una aproximació a la corba de Hilbert…

D’on venim?

divendres, 17/08/2018

La resposta que ens dona en Caleb Scharf, que vaig llegir a la revista Scientific American i que podeu trobar aquí, és difícilment millorable. És per això que m’he pres la llibertat de copiar directament una traducció del que diu:

“Fa molt de temps, els àtoms del teu cos es trobaven totalment dispersos, a bilions de quilòmetres de distància en un espai buit. Fa milers de milions d’anys, no hi havia cap indici que digués que finalment acabarien configurant els teus ulls, la pell, el cabell, els ossos o les 86.000 milions de neurones del teu cervell. Molts d’aquests àtoms eren a l’interior de diverses estrelles, separades per molts bilions de quilòmetres. Quan aquestes estrelles van esclatar, van llançar parts d’ells mateixes cap a l’espai en núvols de gasos que van acabar omplint una petita regió d’una galàxia en mig de centenars de milers de milions d’altres galàxies, distribuïdes en una zona de l’espai-temps de gairebé un quadrilió de quilòmetres. Alguns d’aquests àtoms han format part de les closques de trilobits, tal vegada de milers de trilobits. Després, han estat en tentacles, arrels, peus, ales, sang i trilions de bacteris. Alguns ja eren als ulls de criatures que alguna vegada van mirar el paisatge ara fa 100 milions d’anys. Uns altres van ser als rovells d’ou dels dinosaures o a la exhalació de la respiració d’alguna criatura que jadejava durant l’edat de gel. Per a uns altres, aquesta és la seva primera vegada que s’estableixen en un organisme viu, havent passat, això sí, per oceans i núvols, formant part d’un bilió de gotes de pluja o de mil milions de flocs de neu. Però ara, en aquest moment, tots són aquí, fent-te.”

Quan de petits ens van explicar el sistema mètric decimal, segurament no vam ser conscients de tot el que implicava la notació numèrica posicional i el concepte d’ordre de magnitud (en aquest cas, en base 10). Un decímetre són 10 centímetres, un metre són 10 decímetres, un decàmetre són 10 metres. Les unitats, en el sistema mètric, són esglaons. Cada un d’ells és 10 vegades més gran que el de sota i 10 vegades més petit que el del seu damunt. El sorprenent és que tota la realitat, de la partícula més petita a tot l’Univers, s’explica amb només 63 esglaons. I nosaltres som més o menys al mig d’aquesta escala d’ordres de magnitud. Els àtoms de les nostres proteïnes, que es troben als esglaons de baix de l’escala però que fa milers de milions d’anys van ser fabricats durant les explosions de les supernoves en galàxies i regions de dalt de tot d’aquesta mateixa escala, s’han trobat a mitja escala i, mira per on, som nosaltres.

La imatge de dalt l’he fet a partir de la que podeu trobar aquí, a la web amb les imatges que va fer la nau Apollo 8. I, per si no la coneixeu, aquí teniu la foto del nostre planeta amb la Lluna que va fer la sonda Cassini des de Saturn. Totes les ambicions humanes, juntes en una minúscula boleta blava perduda a l’espai. Tota la humanitat, viatjant per l’espai dins la nau espacial Terra, com bé deia en Buckminster Fuller. Per què no aprenem a viure junts?

——

Per cert, l’Eduardo Mendieta parla de la foto de la Terra que va enviar la nau Apollo 8, i diu que som en una brillant boleta blava (una bala) perduda a la immensa soledat del negre buit. Diu que la vida és un ínfim episodi temporal a la Terra. Anem en una fletxa cap endavant, o en una espiral a la qual caurem?