Entrades amb l'etiqueta ‘Arquimedes’

Ascensors d’aigua

dijous, 30/03/2017

Arquimedes va ser un dels savis més creatius de l’antiguitat. Tothom parla del seu famós principi, que de tan conegut ha passat a ser poc “pensat”. Imagineu un experiment com el de la imatge. Tenim una politja amb un recipient ple d’aigua a cada banda. Si els dos contenidors són idèntics i els tenim plens fins dalt, pesaran el mateix i tot quedarà equilibrat sense moure’s. Ara, posem un objecte que suri, per exemple un petit vaixell de joguina, al recipient de l’esquerra. L’aigua vessarà una mica, però, gràcies a Arquimedes, sabem que tot el sistema continuarà equilibrat: aigua i vaixell a una banda, només aigua a l’altra, tot quiet i sense pujar ni baixar. Perquè si només mirem el conjunt contenidor-aigua-vaixell que he representat a la dreta del dibuix, és fàcil veure que el pes de l’aigua que ha vessat és exactament igual al pes del vaixell (vegeu la nota al final). Quan posem el vaixell cau aigua, i tot es compensa. Això és el que va entendre Arquimedes quan diuen que va sortir al carrer, despullat i cridant eureka.

Fem ara un petit canvi a l’experiment. Posem menys aigua als contenidors de manera que arribi, per exemple, fins la meitat de la seva profunditat. Ho podem controlar bé si fem dues marques horitzontals idèntiques que indiquin el nivell desitjat a un i altre recipient. Quan posem el vaixell de manera que suri a l’aigua en un d’ells, òbviament desequilibrarem tot el sistema. Però si buidem aigua fins que torni a arribar al nivell de la marca, haurem tret una quantitat d’aigua equivalent al pes del vaixell, i tot tornarà a l’equilibri. La única diferència entre el primer experiment i aquest és que abans, l’aigua directament vessava, i en canvi ara l’hem de buidar nosaltres.

En qualsevol dels dos cassos, si al final, quan tot és equilibrat, traiem una mica més d’aigua del contenidor on hem posat el vaixell, és clar que baixarà el seu pes, descompensarem el sistema, i la politja començarà a girar mentre pugen contenidor, aigua i vaixell. És ben senzill: traiem aigua i el vaixell puja. Quan ja el tenim dalt, si agafem el vaixell, observarem, però, que el sistema torna a quedar desequilibrat; per tornar a la situació inicial, haurem d’afegir aigua al contenidor d’on hem tret el vaixell i que ara tenim a dalt. Tot plegat és un veritable ascensor d’aigua que funciona gràcies a l’energia hidràulica: quan posem algun objecte al contenidor de baix, hem de treure aigua; l’objecte puja, i quan arriba dalt i el traiem del seu contenidor, l’hem d’omplir amb més aigua. Anem afegint aigua sempre a dalt i l’hem d’anar traient a baix, de manera que l’aigua que baixa és la que fa pujar els nostres petits vaixells. No cal energia externa.

Un equip d’enginyers xinesos i alemanys han pensat en aquesta mateixa idea a l’engròs, i han dissenyat i construït un ascensor per vaixells a la presa de les tres Gorges, a la Xina. La presa, que es va inaugurar ara fa cinc anys, ha estat molt polèmica durant els darrers 13 anys perquè va inundar diverses zones arqueològiques, va incrementar el risc d’esllavissades i va obligar al desplaçament de més d’un milió de persones. Però aquest ascensor, inaugurat ara fa pocs mesos, ha estat sens dubte una solució molt creativa per a superar la barrera artificial que va generar la presa i pal·liar en part els seus efectes negatius. L’ascensor, que podeu veure en aquest vídeo, és impressionant. Fa que els vaixells puguin superar el desnivell de 110 metres i permet que continuïn navegant pel riu Iang-Tsé, amb un temps de pujada relativament curt de 21 minuts (que acaba essent de 40 minuts si hi afegim els temps d’entrada i sortida a l’ascensor). Una gran millora si ho comparem amb les 4 hores que requeria el sistema anterior, basat en rescloses. El sistema, a més de reduir els temps, gasta poca energia, incrementa la capacitat de transport de passatgers i mercaderies i redueix les emissions de carboni.

El nou elevador per pujar i baixar vaixells segueix el mateix esquema de la imatge, però a gran escala. La piscina / contenidor és de 25 per 130 metres, i està penjada de 256 cables, tots ells amb el corresponent contrapès a l’altra banda del cilindres / politja. Aquests contrapesos són de formigó perquè, com haureu observat, en cap cas cal modificar el seu pes: tot es regula afegint o traient aigua de la piscina que puja els vaixells. El sistema es complementa un sistema de seguretat basat en un conjunt de grans cargols d’eix vertical disposats al voltant de la piscina, que quan el sistema puja, van girant mentre segueixen pistes verticals roscades (com podeu veure aquí). En cas d’emergència, el sistema bloqueja aquests cargols i la piscina s’atura.

L’ascensor d’aigua de la presa de les tres Gorges pot pujar un o més vaixells amb un pes total (vaixell més aigua) d’unes 3100 tones, i amb despesa d’energia externa quasi nul·la. Això és el bonic: puja vaixells mentre baixa aigua. Arquimedes segur que ho trobaria fascinant.

Per cert, en Javier Sampedro diu que les matemàtiques i els números ens poden salvar de la post-veritat i de les veritats alternatives, però que això depèn de si sabem convèncer la gent que és molt important entendre les matemàtiques i la ciència, i de si sabem explicar als mestres que han d’ensenyar a pensar de manera racional, intel·ligent i creativa.

———

NOTA: En el conjunt contenidor-aigua-vaixell que he representat en el dibuix de la dreta, tot és en equilibri perquè el vaixell sura sense enfonsar-se. Per tant, l’empenta cap amunt deguda al principi d’Arquimedes ha de compensar exactament el pes de vaixell. Ara bé, gràcies a Arquimedes sabem que aquesta empenta cap amunt és igual al pes de l’aigua desallotjada, que no és més que el volum de la part enfonsada del vaixell perquè justament és aquest volum d’aigua el que “sobra” i vessa quan posem al vaixell a l’aigua. En poques paraules: el vaixell fa que vessi una quantitat d’aigua que és exactament igual al seu pes. Només cal tenir en compte una cosa: això només és cert per objectes de menys densitat que l’aigua, com els vaixells, els taps de suro i les ampolles buides i tapades. En els objectes més densos, com per exemple les monedes, l’empenta no pot compensar el pes i s’enfonsen. En aquest cas, la quantitat d’aigua que vessa, que continua essent igual a l’empenta vertical, és menor que el pes de l’objecte: ens dona el valor del seu volum, però no el del seu pes.

L’esfera d’Arquimedes

dimecres, 30/03/2016

Plutarc, a Les vides paral·leles i concretament a les biografies de Pelòpides i Marc Claudi Marcel III, explica que Arquimedes va demanar que a la làpida de la seva tomba gravessin un cilindre i una esfera inscrita, una mica com si féssim una superposició de la semiesfera de l’esquerra de la imatge i el cilindre de la dreta. Sabem que així ho van fer perquè Ciceró, a les Disputaciones tusculanas, explica que va visitar el seu sepulcre a Agrigent, que fins llavors era desconegut per als siracusans i que va trobar envoltat i cobert completament d’esbarzers. Diu: “Mentre jo estava recorrent amb la mirada tota la zona, vaig reparar en una columneta que tot just s’elevava per damunt dels matolls, en la qual hi havia la figura d’una esfera i un cilindre”.

És realment una sort que tinguem aquesta descripció de Ciceró, perquè de la seva tomba no en queda res. Tenim, això sí, un quadre de Benjamin West de l’any 1797 que descriu aquest moment de fa més de dos mil anys amb una bona dosi d’imaginació. Pedro M. González Urbaneja i Joan Vaqué Jordi diuen que hi ha una sorprenent unanimitat a reconèixer Arquimedes (287-212 aC) com el més important dels matemàtics de l’antiguitat. Ho diuen a la presentació de Mètode, publicat ara fa quasi vint anys per la Fundació Bernat Metge. El llibre, que us recomano, inclou un extens text introductori en què González i Vaqué repassen la vida i el context en què va viure Arquimedes. Expliquen, entre moltes altres coses, com va comprovar que la corona d’or del rei Hieró no era d’or pur i com, de pas, va descobrir el famós principi d’Arquimedes mentre cridava (sembla ser) Eureka.

Podríem parlar molt dels descobriments d’Arquimedes. Però el millor i més gran de tots, en les seves pròpies paraules, va ser demostrar que el volum de l’esfera és dos terços del volum del seu cilindre circumscrit. Ell mateix va quedar tan sorprès que va demanar que quedés esculpit en pedra a la seva tomba. El seu raonament es va basar en un resultat previ (i molt bonic) d’Éudox d’Cnidos, que ja havia descobert que el volum del con sempre és un terç del volum del cilindre que té la seva mateixa base i alçada. El que va veure Arquimedes és el que mostra la imatge de dalt. Hi veiem una semiesfera a l’esquerra, un con al centre amb la mateixa base que la sessió equatorial de l’esfera i una alçada igual al seu radi, i un cilindre a la dreta amb les mateixes bases i alçades del con. Si ara fem un tall horitzontal imaginari del conjunt esfera-con, obtindrem seccions de mida diferent segons per on tallem. A dalt veiem per exemple un tall per l’equador de l’esfera, que només toca el con en el seu vèrtex superior. Al mig i a sota, en canvi, veiem el resultat de dues seccions diferents i intermèdies. Dons bé, sigui quin sigui el pla de tall horitzontal, Arquimedes va demostrar que la superfície del tall que queda a l’esfera més la del con, és sempre igual a la del tall del cilindre (vegeu la nota al final, amb més detalls). Sorprenent, oi?  En d’altres paraules: si construïm els tres objectes de la imatge en qualsevol material (plastilina, fusta,…), fem un tall horitzontal de tots tres a qualsevol alçada i tot seguit fem un segon tall molt proper, haurem obtingut tres llesques primes. Si posem ara la llesca del cilindre a un plat d’una balança i les altres dues llesques, de la semiesfera i del con, a l’altre plat, veurem que sempre pesen igual, tallem per on tallem. Un cop fet aquest descobriment, el raonament d’Arquimedes va ser ben senzill, perquè aquest comportament de les llesques fa que el volum del cilindre hagi de ser igual a la suma de volums del con i de la semiesfera. En conseqüència, com que sabem que el volum del con és 1/3 del volum del cilindre, el de la semiesfera ha de ser 2/3 de (pi*R*R)*R, que és el volum del cilindre. I només cal multiplicar per 2 per passar del volum de de la semiesfera al de l’esfera, tot obtenint la ben coneguda formula del volum de l’esfera que Arquimedes ens va regalar.

Arquimedes va morir sense por a mans d’un soldat romà, malgrat les ordres que tenia l’exèrcit en el sentit que no havia de ser ferit.

Per cert, Eva Cantón diu que la Tamara, al quiosc de patates fregides de la Place Jourdan de Bruseles, comenta que no es pensa llevar cada dia amb la por al cos perquè mai sabem on i quan ens passarà alguna cosa.

———

NOTA: El raonament d’Arquimedes es va basar en dos importants resultats anteriors. El de Éudox que ja he comentat sobre el volum dels cons i piràmides, i el teorema de Pitàgores. A la semiesfera de la imatge de dalt i a la fila del mig, imaginem el triangle rectangle definit pel centre de la base superior de la semiesfera, el centre del tall circular pintat en cian a la figura, i el punt més a la dreta d’aquest tall. El catet vertical, que ve definit per la posició del pla horitzontal de tall, suposarem que té una longitud H. El catet horitzontal és el radi del cercle de tall. Direm rT a la seva mesura. Pel que fa a la hipotenusa, la seva longitud és el radi R de l’esfera, que a la vegada és el de les bases del con i del cilindre. Doncs bé, Pitàgores ens diu que el quadrat de R és igual al quadrat de H més el quadrat de rT. Ara bé, H és també el radi de la secció circular del con, perquè el triangle rectangle corresponent que es forma en el con és isòsceles. Si multipliquem la identitat del teorema de Pitàgores pel nombre pi, tenim que pi*R*R = pi*H+H + pi*rT*rT. En d’altres paraules, la superfície del cercle de tall al cilindre és igual a la del tall del con més la del cercle de tall a la semiesfera. Fàcil, oi? Només cal tenir la idea feliç…