Entrades amb l'etiqueta ‘base 10’

El món i els números

dijous, 25/01/2018

Si us agraden els números (he de confessar que a mi m’agraden), us recomano que aneu a l’exposició que ha organitzat la Universitat de Barcelona al vestíbul de l’Edifici Històric a la plaça Universitat. Crec que es podrà visitar fins el proper 7 de febrer. El seu comissari, el catedràtic de física Javier Tejada ens recorda que la natura està escrita en llenguatge matemàtic i que, en observar-la, ens hem trobat amb els números. Per això, quan mesurem i quantifiquem, entenem més les coses.

La imatge d’aquí al costat és d’un dels cartells de l’exposició. Mostra que el comptatge en base 10 va néixer del fet de comptar amb els dits, i que les 9 xifres aràbigues que ara utilitzem, quan van ser inventades a la Índia, justament tenien entre 1 i 9 angles (que la imatge els representa com petits cercles vermells). Més tard, per representar el no-res, es va pensar en el zero, que és un grafisme sense angles. Interessant, oi?

L’exposició inclou apartats que ens expliquen la historia dels nombres, però que també quantifiquen la diversitat lingüística, les migracions dels nostres avantpassats, la física i la química, l’energia, els aliments, la biologia, el món jurídic, la demografia, i moltes coses més. Fins i tot parlen de la matèria que conforma els nostres cossos. Sabíeu que el nostre cos té uns 6.700 quadrilions d’àtoms?

Podem mesurar i quantificar el que sabem… però també el que no sabem, gràcies a l’estadística i les probabilitats. No sabem com evolucionarà una persona concreta que està malalta, però el cert és que els metges han vist molts casos semblants i han observat i anotat l’evolució de les seves malalties. En base a aquesta informació i en base a paràmetres i a indicadors que defineixen l’estat d’un determinat pacient (analítiques, exploracions, proves radiològiques i altres), els experts poden estimar amb força precisió la probabilitat que la malaltia evolucioni en un sentit o en un altre. De fet, els protocols que apliquen els centres assistencials i hospitalaris es basen en aquestes probabilitats. Són protocols que no ens poden garantir que el tractament proposat sigui el millor en cada cas concret, però sí que el que ens proposen és allò que té una probabilitat més elevada de funcionar bé. I això, en un escenari de coneixement molt limitat sobre el funcionament del cos humà, és el millor que es pot fer.

Un apartat interessant és el que planteja preguntes divertides. Sabeu que quan beveu un vas d’aigua, us esteu empassant un bon nombre de molècules d’aigua que ja es va beure en Cristòbal Colón el dia 12 d’octubre de 1492?. Aquest nombre, amb tota probabilitat, és de 1000 molècules, que va beure Colón i que ara esteu tornant a beure vosaltres. I sabeu que quan beveu alcohol, només tarda 30 segons en arribar al cervell?

Els números també quantifiquen la manca de justícia al món i mostren, amb tota la seva cruesa, el resultat de la cobdícia i vanitat humanes. L’exposició té un apartat dedicat als objectius de desenvolupament sostenible de les Nacions Unides. Explica que el 50% dels nens de tot el món viuen en zones afectades per conflictes i amb violència, i que els països amb conflictes són els que tenen un índex més elevat de pobresa. Diu que 1800 milions de persones beuen aigua contaminada amb restes fecals, i que 663 milions no disposen d’aigua potable. Que cada any llencem 3000 milions de tones d’aliments, i que la tercera part dels aliments que produïm s’acaben fent malbé o podrint. De fet, un informe del prestigiós institut SIPRI que podeu llegir aquí, cita un treball del 2015 de la Xarxa de Solucions de Desenvolupament Sostenible que justifica que, amb un pressupost públic extraordinari d’entre 760 i 885 mil milions de dòlars anuals entre els anys 2015 i 2030 (en dòlars de 2013), es podrien assolir els objectius de desenvolupament sostenible de la ONU en salut, educació, agricultura, seguretat alimentària, accés a l’energia moderna, abastament d’aigua i sanejament, infraestructures de telecomunicacions i transport, ecosistemes, resposta d’emergència i treball humanitari, incloent a més un pressupost addicional per a permetre la mitigació i l’adaptació del canvi climàtic. Pot semblar molt, però val a dir que és el 46-54% de la despesa militar mundial l’any 2015. La pregunta és si serem capaços de gastar la meitat del que destinem a tecnologia militar en aquelles coses que ens poden ajudar a sortir de la vora del precipici.

——

Per cert, el darrer informe d’Oxfam Intermón explica que l’any 2017, l’economia espanyola va aconseguir un fort creixement, del voltant del 3,2%. Però l’1% més ric va capturar el 40% de tota la riquesa creada, mentre que en el 50% més pobre a penes en va aprofitar el 7%. Oxfam constata que, malgrat les dades de creixement econòmic, Espanya segueix sent avui una societat més desigual que abans de la crisi.

Multiplicar i estimar

dimecres, 16/11/2016

Les taules de multiplicar tenen un encant que no estic segur que sapiguem transmetre als nostres nens i joves. Aquestes taules amaguen tots els possibles rectangles que podem formar amb 81 o menys objectes, siguin rajoles, fitxes o peces de fruita, i són part d’aquest entramat lògic i geomètric de l’Univers que no deixa de sorprendre’ns. Tres per tres, tres per quatre, tres per cinc, tres per sis. Quatre rectangles que podem fer si ens proposem organitzar les mandarines que hem comprat en tres files. El rectangle de cinc per vuit de la imatge és especialment bonic perquè els seus costats, que es troben en relació de 8/5 = 1.6, ens recorden que la successió de Fibonacci ens porta ràpidament a la relació àuria: només cal fer cinc sumes (5+8=13, 8+13=21, 13+21=34, 21+34=55, 34+55=89) i el rectangle de 55 per 89 ja és pràcticament de proporcions divines.

Fa poc, en una conversa amb companys, dèiem que en aquest món de les noves tecnologies cal aprendre més que mai les taules de multiplicar perquè són una de les abstraccions fascinants de l’estructura de tot el que ens envolta. Amb tota probabilitat, podem afirmar que els membres de qualsevol població d’essers intel·ligents que hi pugui haver més enllà de la galàxia d’Andròmeda i la nebulosa d’Orió, han descobert com nosaltres la màgia de les taules de multiplicar i els conjunts d’objectes que es poden agrupar en rectangles. No és increïble?

En canvi, saber multiplicar i dividir serveix de ben poc, avui en dia. Quina és la darrera vegada que vàreu fer una divisió a mà? A més, les receptes per multiplicar i dividir quantitats de varies xifres que vam aprendre quan érem petits són obscures i no necessàriament les més adequades. Té sentit que els nostres fills i néts hagin de fer, mecànicament, operacions complexes que després faran amb la calculadora del seu mòbil? No hem de confondre l’aprenentatge de les taules de multiplicar amb l’obligació de fer operacions feixugues i complexes. Crec sincerament que, més que saber multiplicar, l’important és aprendre tècniques de càlcul mental per a poder estimar el valor del resultat. Després, si ens cal el resultat exacte, ja el demanarem a la calculadora. Només un detall: hi ha moltes maneres d’estimar un resultat, però si ho sabem fer bé, sabrem afinar i no caure en valors subestimats o sobreestimats. I no em direu que aquesta expressió “estimar un resultat” no té el seu encant, oi?

En poques paraules: he de confessar que gaudeixo amb les taules de multiplicar i que estimo les tècniques per estimar mentalment el resultat de les multiplicacions i divisions. Les estimo i les defenso perquè ens expliquen ben fàcilment l’ordre de magnitud dels resultats.

Quin és el resultat de multiplicar 4302 per 21? I el de dividir 7750 per 67? En el primer cas, el primer que podem pensar és que el resultat de 4302 per 21 és el de multiplicar 4300 per 21 més 2 per 21, que és 42. I per multiplicar 4300 per 21, podem començar multiplicant per 20: fem el doble de 4300, que és 8600, i ara li afegim un cero i obtenim 86.000; ara només li hem de sumar 4300 (perquè estàvem multiplicant per 21 i no per 20) i els 42 que ens havíem deixat. El resultat és 90.342 i l’hem obtingut només amb càlcul mental. Fixeu-vos que el que hem fet no és més que usar la descomposició en base 10 (4302 és 4*1000 + 3*100 + 2 mentre que 21 és 2*10 + 1) i anar calculant per separat els termes que conformen el resultat final, aplicant en cada cas les taules de multiplicar i la regla de la multiplicació per 10 o per potències de 10. De fet, també haguéssim pogut oblidar-nos del 42 inicial i donar un valor estimat de 90.300, que és prou aproximat. I ara, de la mateixa manera, per dividir podem anar multiplicant i provant. El resultat de la divisió entre 7750 i 67 és superior a 100, perquè 67 per 100 és 6700; però no arriba a 200, perquè és clar, sense calcular-ho, que el doble de 6700 és més gran que 7750. Per tant ens quedem amb el 100, i el que ens queda per repartir (divisió és repartiment, com bé sabem) és 7750 – 6700 = 1050. Podem continuar amb càlcul mental, però però també podem simplement estimar el resultat. És clar que 67 per 10 és 670, i que 67 per 20 és el doble: 1340. Com que el que ens queda per repartir és 1050, que és pràcticament al mig entre 670 i 1340, podem pensar que una bona estimació del resultat de la divisió de 1050 per 67 és 15. I el resultat d’estimar mentalment el valor de la divisió entre 7.750 i 67 serà 115. Per cert, la calculadora dóna 115,67.

Les avantatges del càlcul mental per estimar el resultat de les operacions són com a mínim tres. Continuem practicant les taules de multiplicar, fem un bon exercici mental que sempre és recomanable, i podem fer una anàlisi crítica més acurada del que ens envolta i del que escoltem i llegim. Ho podem fer sempre i en tot lloc, no ens cal res.

Moltes pifies que fem i veiem, molts errors periodístics i moltes falses interpretacions podrien evitar-se si tots tinguéssim l’hàbit de calcular mentalment i estimar els resultats. És clar, per exemple, que la divisió d’abans entre 7.750 i 67 dóna el mateix resultat (115) que la divisió entre 77.500 i 670 i que la divisió entre 775.000 milions i 6.700 milions, perquè si repartim 14 pans entre 7 persones n’haurem de donar dos a cada una, i també n’acabarem donant dos a cada un si repartim 14 milions de pans entre 7 milions de persones. Un d’aquests errors, que va acabar donant forma a tot un article d’opinió, consistia en pensar que quan repartim milions de coses entre milions de persones, el resultat és de milions. Menys mal que en el cas que comento, la autora va reconèixer el seu error aritmètic. Tot s’hagués salvat estimant els resultats i amb una mica de càlcul mental.

———

Per cert, en Federico Mayor Zaragoza diu que no es pot acceptar el que és inacceptable, i que no podem permetre que Donald Trump posi en pràctica les seves promeses, en particular la de desdir-se dels acords de París sobre el canvi climàtic. Diu que ha arribat el moment d’aixecar la veu perquè el silenci pot ser un delicte.