Entrades amb l'etiqueta ‘Bernouilli’

El per què del volar

dimecres, 20/09/2017

Hi ha moltes coses que ens sorprenen. Algunes estan relacionades amb la capacitat de volar.  Com és que molts insectes volen? Com s’ho fan per orientar-se, els ocells migratoris? Per què no podem volar com els ocells?

Volar no és fàcil. Quan va dissenyar l’Ornitòpter, Leonardo da Vinci va voler resoldre, en pocs anys, el mateix problema que l’evolució havia aconseguit després de milions d’anys de proves i errors. Per sort, la seva lucidesa el va fer desistir quan es va adonar que els humans tenim una relació entre potència i pes molt diferent a la de les aus i que no podem generar l’energia que cal per mantenir-nos volant. Molts altres, després, no van pensar tant i van dissenyar artefactes que van acabar amb la seva vida.

Dic tot això perquè, tot i que tinc ben presents els principis de Bernouilli i Venturi, cada cop que veig, a la pista, un d’aquests immensos ginys metàl·lics que anomenem avions, quedo admirat que pugui enlairar-se i volar. Com pot ser que un avió que pesa 300 o 400 tones voli amb la majestuositat d’una oreneta?

S’ha escrit molt sobre la física del volar, però no tot el publicat és fàcil d’entendre. A mi m’ha meravellat el text de Henk Tennekes, del MIT. Són 34 pàgines clares, completes i sorprenents, que m’atreviria a recomanar (traduïdes o no) com a possible lectura per les escoles de secundària. La imatge de dalt reprodueix el diagrama de la pàgina 17 del document, revisat l’any 2009; si el voleu estudiar en detall, el podeu trobar també aquí. Veureu que és una gràfica que representa tot tipus d’animals i ginys voladors, des de les mosques fins els avions, passant per les papallones i els ocells. L’eix vertical indica el seu pes en Newtons (un Kg. són 9,81 Newtons). La mosca de la fruita, ínfima, és la que menys pesa, mentre que molts avions superen el milió de Newtons, que són unes cent tones. Evidentment, el pes és un factor essencial a l’hora de volar, i per això els ossos dels ocells són buits i els nostres no. Però no hem de menystenir la superfície S de les ales. Un ocell d’ales grans podrà volar millor que un d’ales petites. A la nota del final recullo algunes de les dades que presenta en Henk Tennekes. Un cop sabem el pes (W) i el valor de la superfície S en metres quadrats, podem dividir-los i calcular la seva relació W/S, que és el que podem veure en l’eix horitzontal superior del diagrama. Aquest valor W/S és el pes que ha de suportar cada metre quadrat d’ala, si el que es vol és volar i no caure. És bonic veure que tot allò que vola es troba prop d’una recta en aquest diagrama que relaciona W/S amb W (vegeu un cop més la nota al final; val a dir que és ben fàcil incorporar nous animals i objectes voladors al diagrama, ja que només hem d’esbrinar el seu pes W i la grandària S de les seves ales). La mosca de març, el caragolet comú americà, l’oca canadenca i el Boeing 747 són pràcticament a la línia recta del diagrama. A més, els animals petits volen amb més facilitat que els grans. Si poguéssim agafar una mosca i fer-la el doble de gran, el seu pes seria 8 vegades més gran (el pes és proporcional al cub de la mida), però les seves ales només serien 4 vegades més grans. Com que les ales aguanten el pes en proporció a la seva superfície, no tindria prou força de sustentació i no podria volar. Hauria d’evolucionar fins tenir unes ales més grans en proporció al seu cos, o bé hauria de volar més ràpid.

I és que, en l’art de volar, la velocitat sempre pot ser una solució, perquè la física ens diu que la força de sustentació per metre quadrat d’ala és proporcional al quadrat de la velocitat. A ran de terra, el que cal per poder volar és assolir una velocitat V que, com a mínim i en metres per segon, compleixi l’equació W/S = 0.38 * V*V. En altres paraules: la velocitat mínima per a volar és proporcional a la relació W/S; aquesta és la raó per la qual, al diagrama d’en Henk Tennekes que veieu a la imatge de dalt, l’eix horitzontal superior indica el valor de W/S mentre que l’inferior mostra el valor de la velocitat. És elegant, oi?

El diagrama ho explica tot en un cop d’ull. Si incrementem el pes, estem augmentant el valor de la relació W/S, ens situem dalt i a la dreta, i ens cal més velocitat V. El que més pesa, per volar, ha d’anar més ràpid i per tant ha de gastar més energia.

Segons la gràfica, si els humans volguéssim volar amb la nostra pròpia força i energia, hauríem de fer-ho a una velocitat de l’ordre dels 30 metres per segon, que són uns 100 quilòmetres per hora. No ho tenim fàcil.

———

Per cert, la Najat El Hachmi es pregunta per què els policies no miren de disparar a les cames enlloc de tirar a matar, i diu que pel que diuen les estadístiques de terroristes supervivents a tot Europa, és impossible que en surtin vius. En Josep Ramoneda es pregunta també si era inevitable que els Mossos matessin els terroristes, i demana què esperen els partits polítics a plantejar aquesta pregunta en seu parlamentària.

———

NOTA: Aquestes són les dades d’alguns dels insectes i ocells que cita en Henk Tennekes. El text les acompanya amb dibuixos de les seves siluetes. Per cada un d’ells teniu el seu pes W en Newtons, la superfície S de les seves ales en metres quadrats i l’ample a, de punta a punta amb les ales esteses, en metres:

– Borinot (Melolontha vulgaris): W = 0.01 N, S = 0.0004 m2, a = 0.06 m.
– Abella colibrí (Mellisuga helenae): W = 0.02 N, S = 0.0007 m2, a = 0.07 m.
– Mallerenga (Parus major): W = 0.2 N, S = 0.01 m2, a = 0.23 m.
– Oreneta rural (Hirunda rustica): W = 0.2 N, S = 0.013 m2, a = 0.33 m.
– Falcó (Accipiter nisus): W = 2.5 N, S = 0.08 m2, a = 0.75 m.
– Gavina (Larus argentatus): W = 11.4 N, S = 0.2 m2, a = 1.34 m.

El diagrama de la imatge de dalt que presenta en Henk Tennekes es basa en dues lleis ben senzilles. En primer lloc, per volar sense caure, cal que la força de sustentació que fa l’aire sobre les ales gràcies a la seva curvatura i a l’efecte que bé van estudiar Bernouilli i Venturi, sigui igual al pes W. En un avió de 600 tones de pes, l’aire ha de generar un impuls vertical cap amunt de 600 tones (increïble, oi?). Bé, tot depèn de la superfície S de les ales. Si S és de l’ordre de 850 metres quadrats, com és el cas dels grans avions, és fàcil veure que cada metre quadrat d’ala ha d’aguantar uns W/S = 700 Kg., i que cada decímetre quadrat ha de fer-se càrrec d’un pes d’uns 7 quilos, que ja és més raonable. Ara bé, la segona llei ens diu que el pes total és proporcional al cub de la mida de l’animal o objecte (que podem mesurar, per exemple, amb la seva amplada a) mentre que la força de sustentació és proporcional a la superfície S i per tant, al quadrat de la mida. Per tant, W/S és proporcional a la mida a, i W és proporcional al cub de a. Llavors, és clar que W/S és proporcional a l’arrel cúbica de W. I, en una escala logarítmica com la del diagrama de Henk Tennekes, la relació entre W/S i W ha de ser una recta. És la recta del gràfic de la imatge de dalt. Tot plegat, a més, explica perquè els animals petits volen amb més facilitat que els grans. Si poguéssim agafar una mosca i fer-la el doble de gran, el seu pes seria 8 vegades més gran (el cub de 2), però les seves ales només serien 4 vegades més grans. No tindria prou força de sustentació, i no podria volar.

Els arcs de cadena

dimarts , 10/09/2013

Cadena3.jpg Compareu la imatge d’aquí al costat amb la foto que podeu veure aquí, i que mostra els arcs que Gaudí va dissenyar per a les golfes de la Pedrera. La forma és idèntica en ambdós casos. Els arcs de Gaudí, a la Pedrera, a la Colònia Güell o a la Sagrada Família, són arcs que podríem anomenar de cadena. Gaudí va entendre les propietats de les cadenes i les va utilitzar en molts dels seus dissenys.

Fa temps, el meu amic Miquel em va proposar d’escriure un article sobre les catenàries. Després de donar-hi força voltes, vaig decidir que podia explicar un experiment. Es tracta de fer dos petits forats separats uns vuit centímetres en una base de fusta, passar-hi una cadeneta de manera que pengi més o menys com es veu en aquesta imatge, mullar-la amb l’aigua d’un polvoritzador i deixar-la unes hores en el congelador. Si la traiem amb molta cura, hauríem de poder donar-li la volta i aconseguir que es vegi en forma d’arc, tal com teniu en la imatge de dalt (els foradets en la fusta fixen els dos extrems de la cadena i fan innecessari que l’haguem d’aguantar amb les mans). Ho podeu provar, encara que malauradament jo no me’n vaig sortir i vaig acabar desistint després de fer algunes proves. Per això, al final vaig fer aquesta foto, que després de girar-la 180 graus mostra la forma dels arcs de Gaudí. Val a dir que l’experiment no és gens fàcil perquè l’equilibri de les cadenes invertides és inestable. Però la física ens diu que si no hi ha joc entre les baules de la cadena i si el gir que hem fet per tal d’invertir la cadena ha estat exactament de 180 graus al voltant d’un eix horitzontal, la cadena ens quedarà amb la forma d’arc que veieu a la imatge de dalt, al menys mentre l’aigua no es descongeli del tot. El que passa és que la inestabilitat d’aquest equilibri dificulta molt l’experiment. Aconseguir una cadena invertida en equilibri és més difícil que mantenir una moneda, de cantell, en el punt més alt d’una bola de vidre o que intentar mantenir-nos drets damunt d’un llarg bastó vertical. Els objectes queden en equilibri estable quan els deixem caure, però costa molt de mantenir-los verticals i cap amunt. Les cadenes invertides són inestables, però ens expliquen els arcs de Gaudí.

Les cadenes i les pedres són una mica com la nit i el dia. Les cadenes i cordes aguanten molt bé quan les estirem. Podem utilitzar-les per arrossegar objectes i per remolcar cotxes. Les pedres, en canvi, aguanten molt bé quan les premem. Les pedres de sota les parets i muralles aguanten el pes de tot el que tenen damunt sense cap problema. Diem que les cadenes treballen molt bé a tracció, i que les pedres suporten bé els esforços de compressió. En canvi, ni les cadenes serveixen per als esforços de compressió ni les pedres ens van bé quan hem de fer treballs de tracció: les cadenes i cordes “premsades” directament es pleguen, i si volguéssim arrossegar un objecte tot estirant-lo mitjançant un “pal” de pedra, segur que aquest es trencaria. Què passa quan pengem una cadena pels seus dos extrems, com en aquesta foto? Doncs que la cadena, després d’algunes oscil·lacions, queda en equilibri en una posició tal que entre les seves baules només hi ha esforços de tracció. És així perquè no pot ser de cap altra manera, ja que les baules s’articulen entre elles i només poden treballar a tracció. Imagineu qualsevol d’aquestes baules. És estirada cap a un i altre costat per les seves dues baules veïnes, i la gravetat la voldria fer caure. Com que tot queda en equilibri, la suma de les dues forces amb que l’estiren les seves veïnes i la del seu pas, ha de ser nul·la. Aquesta propietat de les cadenes és el que va portar, com veurem en el paràgraf següent, a entendre la seva equació matemàtica. Doncs bé, ara que tenim la cadena en equilibri, congelem-la, donem-li la volta i intentem deixar-la tal com la tenim en la imatge de dalt. Com que hem invertit la direcció del pes de cada baula, és clar que tot quedarà en equilibri si també canviem la direcció de les forces de les seves baules veïnes. El resultat és que ara, totes les forces entre elements de la cadena – o de la corda – són de compressió. Les cadenes en equilibri només aguanten forces de tracció, mentre que les cadenes invertides en equilibri – inestable – només aguanten esforços de compressió. Per això, Gaudí va pensar que els arcs de cadena podien ser ideals per a les construccions de pedra. Perquè fem que la pedra rebi només els esforços que pot aguantar bé. Les cadenes voten pels arcs cap avall i les pedres voten pels arcs cap amunt.

Galileo Galilei defensava que les cadenes penjants tenien la forma d’una paràbola. Però no és cert, tal com Christiaan Huygens va poder demostrar només quatre anys després de la mort de Galileo, als disset anys, l’any 1646. L’any 1690, Jakob Bernoulli va proposar com a desafiament el problema de trobar l’equació matemàtica de la forma d’una cadena penjada dels dos extrems. L’any següent, el 1691, el problema va ser resolt simultàniament pel seu germà Johann Bernoulli, per Gottfried Leibniz i pel mateix Christiaan Huygens, cosa que va generar un cert conflicte entre els germans Jakob i Johann. Havien trobat la catenària, la corba matemàtica que descriu la forma d’una cadena penjant en equilibri pel seu propi pes. La paraula catenària deriva del llatí catenarĭus, propi de la cadena, i la seva equació és la de la funció cosinus hiperbòlic.

Anomenem catenàries als cables penjants que porten energia elèctrica a les locomotores dels trens, perquè tenen la forma de les cadenes aguantades pels extrems. Tots els cables elèctrics d’alta tensió entre torres consecutives tenen la mateixa forma. El mateix passa amb les cadenes que separen espais, amb els cables dels ponts penjants, amb les cadenes de les àncores dels vaixells i amb les cordes que pengen sense cap més pes que el seu. Si els extrems no són massa separats, només cal mirar-los de cap per avall i ens recordaran els arcs de Gaudí.

Els arcs de catenària o de cadena, els arcs de Gaudí, fan que les pedres treballin bé i a compressió. L’únic problema que tenen, i que en alguns casos ha obligat a pensar en solucions força imaginatives – per exemple, en la construcció de la Sagrada Família -, és el del perill de vinclament. Si no es dissenyen bé els suports laterals, els esforços de compressió en les pedres d’un arc de catenària poden acabar doblegant-lo de costat de la mateixa manera que si feu força per a comprimir una vareta prima de plàstic, es plegarà i acabarà trencant-se o feta tot un manyoc.

Per cert, en Nelson Mandela deia que si vols fer les paus amb el teu enemic, has de treballar amb ell: llavors esdevindrà el teu company.