Entrades amb l'etiqueta ‘Buckminster Fuller’

El Sol, aquest desconegut

dijous, 26/01/2017

Una pregunta que tal vegada podeu plantejar quan sigueu en una trobada d’amics que acceptin parlar de temes científics, és quina és la forma que descriu l’ombra de la punta d’un pal, un dia assolellat.

La resposta hauria de ser senzilla, però observareu que habitualment molta gent no l’encerta. Cada moment, la recta S que uneix la punta del pal amb la seva ombra al terra ens indica la direcció cap al Sol. Doncs bé, al llarg del dia, aquesta recta S descriu un con (una paperina, una superfície cònica) amb vèrtex a la punta P del pal (vegeu la nota al final). El fet que no en siguem conscients és degut, probablement, a que l’eix d’aquest con, que passa pel punt P, és paral·lel a l’eix de la Terra. I l’eix de la Terra té una orientació “estranya”, inclinada cap al nord i en direcció a la Polar. L’error dels nostres avantpassats i la dificultat que tenim per entendre el moviment aparent del Sol és fruit de la nostra manera provinciana de mirar i entendre el món. Creiem que caminem ben drets i eixerits, escalfats per un Sol que a l’estiu és més amunt i després més avall. Però habitem la Terra, i el nostre planeta té una única direcció singular: la del seu eix E. Som éssers que vivim torçats, inclinats en relació a l’eix E i en relació als altres. Quan els d’Igualada caminen, la seva vertical forma un angle de 48,42 graus amb l’eix de la Terra. Aquest angle és 49,28 de graus pels d’Amposta i de 62 graus pels que viuen a Tenerife. Quina és la direcció de referència, la meva o la de l’eix de la Terra?

Tot es més fàcil si acceptem que l’important, al nostre planeta, és la rotació al voltant del seu eix E, i que som nosaltres els que tenim una vertical estranya i diferent de la direcció d’aquest eix. L’astronomia, començant pel moviment del Sol, s’entén molt millor quan ens situem de manera coherent amb aquest eix singular del planeta. No és gaire difícil. Només cal construir un quadrat de cartró o fusta, fer-hi passar un eix perpendicular com el que veieu a la imatge, i ajustar la dimensió d’aquest eix per tal que l’angle entre el pla quadrat i el terra (o la taula) sigui igual a 90 menys la latitud. A Puigcerdà, aquest angle haurà de ser de 90 – 42,43 = 47,57 graus, mentre que a Amposta serà de 90 – 40,72 = 49,28 graus. Ara, si girem el conjunt fins que la part superior de l’eix s’orienti cap al nord (ho podem fer mirant la direcció de l’ombra del fil d’una plomada en el moment del migdia solar), ja ho tindrem tot preparat. Tindrem un petit laboratori solar amb un quadrat pla paral·lel a l’equador i una vareta paral·lela a l’eix E de la Terra. Imaginem que poguéssim fer tot aquest sistema a mida humana i que ens estiréssim unes hores al llarg de la vareta o gnòmon. Veuríem l’absoluta regularitat del moviment diürn del Sol. De fet, i degut a aquest moviment solar que és cònic, hem entès que els rellotges de sol són més senzills quan el gnòmon té la direcció de E i quan projecten l’ombra en una superfície disposada de manera simètrica al voltant d’aquest gnòmon.

Hi ha dos exemples evidents de rellotges de Sol amb gnòmon segons la direcció de l’eix de la Terra i superfície disposada de manera simètrica al seu voltant: els rellotges equatorials (de superfície plana) i els cilíndrics. El primer és el que teniu per exemple a la part superior esquerra de la imatge de dalt, i que podeu trobar amb més detalls en aquesta web. El Sol gira uniformement al voltant del gnòmon de manera que la direcció de l’ombra gira 360/24 = 15 graus cada hora; per tant, en un rellotge equatorial, les línies de les hores solars són radials i equidistants. Però podem fer-ho encara millor, com ho van fer els que van construir el rellotge equatorial (i molts més) a Jantar Mantar ara fa tres segles. Com que el moviment diürn del Sol genera un con, si ajustem la longitud del gnòmon i el fem curt de manera que el con intersequi el pla equatorial del rellotge, l’ombra anirà seguint cada dia un cercle perfecte. L’angle de l’ombra ens dirà l’hora mentre el seu radi ens farà de calendari. A la imatge de baix a la dreta (que podeu trobar a aquesta web) teniu la divisió del pla equatorial del rellotge de Jantar Mantar en radis horaris i en cercles que marquen el calendari. Aquí podeu trobar més dades sobre aquest rellotge i sobre tot el complex astronòmic de Jaipur.

En un rellotge equatorial tot és geomètricament simple i didàctic, perquè ens hem adaptat a l’orientació de l’eix de gir del nostre planeta. El Sol gira 15 graus cada hora, estiu i hivern (en hora solar, això sí; vegeu el comentari a la nota del final). D’altra banda, el radi dels cercles que van marcant el con solar cada dia i fan de calendari és molt fàcil de calcular (vegeu un cop més la nota al final). El 21 de juny el cercle és petit perquè el Sol és ben amunt al cel. Després, el con solar es va obrint, i els cercles es van fent més i més grans fins que el 21 de setembre, el con es fa pla i el cercle és immens, desbordant el pla del nostre rellotge. Llavors, a partir del 21 de setembre, tot canvia com per art de màgia. El Sol deixa d’il·luminar la cara superior del nostre rellotge i passa a la cara de sota, que és on es projectarà l’ombra de la part inferior del gnòmon durant la tardor i l’hivern. El con es va tancant, cada cop el radi dels cercles és més petit, i el 21 de desembre ens mostra el seu valor més petit. En d’altres paraules, veiem l’ombra a la part superior entre el 21 de març i el 21 de setembre, i en canvi la tenim a la part inferior els altres sis mesos de l’any. Tot és increïblement regular, senzill i repetitiu. És quelcom que sabien molt bé els constructors del rellotge de Jantar Mantar quan van fer les dues cares, una per la primavera-estiu i una altra per la tardor-hivern.

Podríem pensar també en rellotges esfèrics amb gnòmon segons la direcció de l’eix de la Terra, però permeteu-me que citi el cilíndric perquè conserva la simplicitat didàctica de l’equatorial a la vegada que ens dona encara més informació. La idea és ben senzilla: es tracta de recollir l’ombra del gnòmon en una superfície cilíndrica al voltant del gnòmon i per tant orientada també segons l’eix de la Terra. Aquest rellotge marca l’hora solar, és també calendari, i a més, si l’escapcem com si el talléssim amb un ganivet horitzontal (aquesta web explica com fer-ho), ens mostra el punt de l’horitzó per on sortirà el Sol i per on es posarà en qualsevol data de l’any. No és bonic?

Sempre m’he preguntat com és que pensem que podrem entendre el comportament humà i millorar la nostra societat si estem tan pendents de nosaltres mateixos i del nostre entorn proper que no pensem en quasi res més. De fet, encara que sembli estrany, el Sol ens pot ajudar: si tanquem els ulls, visualitzem la direcció de l’eix de la Terra i imaginem el nostre gir perpetu al seu voltant, ben aviat ens adonarem que la nostra pretesa verticalitat és un mite. El vertigen de pensar que caminem inclinats en un planeta que es mou com una baldufa tal vegada ens recol·loqui i ens faci veure que estem obligats a entendre’ns i a viure els uns al costat dels altres, com ens deien Kant, Fuller o Bauman.

———

Per cert, en Eduardo Martínez Abascal explica que la família mitjana a Espanya (uns 12 milions d’abonats) paga uns 45 euros al mes en electricitat. Diu que tenim el tercer preu més car dins de la Unió Europea, després de Dinamarca i Alemanya… Com deien els romans: Cui prodest?

———

NOTA: Imaginem la direcció definida per una certa recta S. Imaginem ara que aquesta direcció (que és un vector, parlant en termes geomètrics) gira al voltant d’un determinat eix E. És clar que el conjunt de direccions definides per una rotació arbitrària de S al voltant de E, que podem expressar com Rotació(S,E,alfa) per qualsevol valor de alfa, formen un con d’eix E. És el con que veurem si fem girar ràpidament un paraigua sense tela al que només li quedin les barnilles. Imaginem ara que la direcció S és invariant, però que som nosaltres els que girem al voltant de E. Com que el moviment és relatiu, el resultat també serà un con.

Això és exactament el que passa quan estudiem el moviment del Sol. Nosaltres (i tot el que ens envolta) girem al voltant de l’eix de la Terra, mentre que la direcció S de la Terra al Sol, vista per un observador inercial i extern al sistema solar, és aproximadament constant al llarg d’un dia. Per això, la recta S que uneix la punta del pal amb la seva ombra al terra descriu un con. Ara bé, de fet, i per ser precisos, hauríem de parlar d’un quasi-con, perquè és clar que l’endemà, S haurà canviat lleugerament tot girant un angle de quasi un grau (ha de girar 360 graus en 365 dies). La trajectòria del Sol, definida per la variació de la direcció S al llarg del dia, és per tant un quasi-con que no acaba de tancar perquè es va convertint en el quasi-con del dia següent. El quasi-con solar comença el màxim de tancat a cada solstici, es va obrint lentament com el full d’una immensa paperina que va aplanant-se, arriba a ser pla i geomètricament degenerat quan arriba el següent equinocci, i després torna a tancar-se lentament a l’altra banda del pla en el seu camí cap al següent solstici en un moviment harmoniós que ens fa recorda les flors de la xicoira o la calèndula (de fet i òbviament, mogudes pel Sol).

El rellotge equatorial descrit a dalt mostra l’hora solar. Pot mostrar també l’hora oficial si les línies de les hores, en comptes de marcar-les com a radis, les corbem lleugerament de manera que codifiquin l’equació del temps. Però en aquest cas caldria construir dos rellotges: un d’estiu-tardor que marcaria les hores i calendari d’estiu entre el 21 de juny i el 21 de setembre a la cara superior i el mateix per al període entre el 21 de setembre i el 21 de desembre a la cara inferior, i un altre d’hivern-primavera que serviria per l’hivern a la cara inferior i per la primavera a la seva cara superior. Això és degut a que l’equació del temps no és simètrica al llarg de l’any.

En un rellotge equatorial tot és geomètricament simple i didàctic, perquè ens hem adaptat a l’orientació del gir terrestre. El radi dels cercles que van marcant el con solar cada dia i fan de calendari és molt fàcil de calcular: només cal saber la declinació del Sol (l’angle del con solar per damunt o per sota del pla equatorial) i dividir la longitud del gnòmon que sobresurt del pla per la tangent d’aquest angle. Cal observar que la declinació solar al llarg de l’any (que podeu trobar en taules com aquesta) és la mateixa per a tots els punts del planeta.

Crear viviment o destruir?

dijous, 5/03/2015

M’agrada la paraula viviment. Hi vaig pensar fa pocs dies en llegir un article d’opinió del New York Times que he de confessar que em va deixar tocat. El trobareu aquí, en anglès. És el testimoni d’en Timothy Kudo, capità de l’exèrcit d’Estats Units. En Timothy és un militar que, tot pensant que la guerra és necessària, ens presenta un testimoni cru i real, una descripció de com va aprendre a matar. Us en tradueixo algunes frases:

“Era la nit, durant la meva primera setmana a l’Afganistan l’any 2010, i ens trobàvem a la província de Helmand. La veu a l’altra banda de la ràdio em va dir que hi havia dues persones que estaven fent un sot al costat de la carretera. Em va preguntar si els disparava i matava. Vaig intentar preguntar a algú de més amunt en la línia de comandament… No vaig trobar ningú… Vaig adonar-me que era una decisió que havia de prendre jo… Finalment vaig dir: dispara!”

“Durant l’entrenament dels oficials de la marina, se’ns va ensenyar a ser decisius. Se’ns deia que fins i tot una mala decisió era millor que no prendre cap decisió. Però penso que la combinació de judicis imperfectes, confiança en l’autoritat i necessitat de ser decisiu no acaba produint resultats mesurats”

“Un cop el fet de matar perd la seva mística, deixa de ser una eina d’últim recurs… Al cap d’un temps, tot el que fèiem semblava acceptable. Matar podia ser banal”

“Ningú parla mai de les morts accidentals. Hi ha paperassa, una curta investigació, i després, silenci”

He de dir que no entenc que els humans dediquem esforços a destruir, i que tampoc entenc aquells científics, tecnòlegs, empresaris i polítics que treballen per a fabricar eines de destrucció. Amb tot el que cal fer i construir en aquest món globalitzat per a millorar les condicions de vida de les persones, no puc entendre aquest afany per a destruir i matar. Els bombardeigs a Gaza, Síria, Ucraïna, la República Centre-Africana i a tants altres llocs destrueixen en pocs segons les cases, escoles i equipaments que la gent ha aixecat amb temps i molt esforç. Les guerres fan que la gent acabi pagant amb les seves propietats i les seves vides les vanitats i interessos d’un grapat de poderosos. El total de la despesa militar a Espanya l’any passat va ser de més de 16 mil milions d’euros. Són 367 euros per persona o, si ho preferiu, 3094 euros per aturat i any. Són diners preparats per a destruir el que altres han creat.

La imatge de dalt, que he tret d’aquesta web, mostra en Buckminster Fuller l’any 1971 durant una de les seves xerrades a l’aire lliure. En Buckminster Fuller, Bucky pels amics, va ser un arquitecte i dissenyador genial, un utòpic, un visionari (vegeu la nota al final). L’any 1983, poc abans de morir, va escriure un article que podeu trobar aquí en versió original, en el que defensava que calia convertir l’armament (weaponry en anglès) a “livingry“. Es va inventar aquesta darrera paraula, que podríem traduir per “viviment”, per contrast amb el terme armament. L’objectiu de l’armament és destruir, el del viviment és crear i construir. Fuller definia viviment com un conjunt d’artefactes que permetrien emancipar els humans de l’explotació dels molts per part d’uns pocs. Creia que calia reconvertir el disseny i la producció científica i tecnològica tot passant de la producció d’armament a la de viviment. A l’article, Bucky Fuller inclou una llista de 26 possibles ginys del viviment: una casa sostenible (la casa Dymaxion), el bany compacte, la cúpula geodèsica, sistemes sostenibles de rentat, sistemes de reciclatge, sistemes de generació d’energia alternativa i altres que ara fins i tot potser ens fan somriure. El rellevant, en tot cas, va ser la seva visió de futur i la seva defensa vehement de la necessitat de reconvertir l’industria de l’armament en industria del viviment. En Buckminster Fuller detestava el mal ús de les eines, la utilització pervertida d’eines que podrien servir per a millorar les condicions de vida de les persones i que en alguns casos s’acabaven convertint en mitjans de destrucció. En una visió profètica de la globalització, insistia en que habitem la nau espacial Terra. Pensant que la nostra tribu és ja tot el món, deia que la Terra és ben petita, si la sabem mirar des d’una perspectiva suficientment llunyana. És un punt blau a l’espai, una nau que ens porta per l’espai sideral a velocitats vertiginoses. I, així com els astronautes de qualsevol estació espacial saben molt bé que, si volen sobreviure, han de conviure sense barallar-se, Fuller explicava que estem obligats a fer el mateix si no ens volem destruir junt amb el planeta. Proposava fer sovint aquest exercici de perspectiva per a visualitzar la petitesa d’una Terra que ens acull mentre ens transporta per la buidor de l’espai interplanetari.

Permeteu-me que acabi amb una cita d’Erich Fromm. Fromm deia que l’alternativa fonamental que tenim és entre vida i mort, entre creativitat i violència destructiva, entre la realitat i les il·lusions, entre l’objectivitat i la intolerància, entre germanor/independència i dominància/submissió. Deia que el fet de ser conscients de l’existència d’alternatives alliberadores pot fer que tornin a despertar les nostres energies amagades per encaminar-nos cap al respecte per la “vida” enlloc de fer-ho cap a la “mort”. Aquesta energia d’Erich Fromm dirigida cap a la vida és la que, anys més tard, Bucky Fuller reivindicaria com a font per a crear més i més viviment.

Per cert, la Pilar Bonet parla dels qui s’oposen a la Guerra i diu que Anna Politkóvskaya (assassinada el 2006) lluitava en contra de la guerra de Chechenia mentre que Boris Nemtsov, assassinat la setmana passada, s’oposava a la guerra d’Ucrània.

—–

Nota personal: Vaig començar a interessar-me pels treballs d’en Buckminster Fuller quan vaig saber de la seva trobada amb en Norman Foster. Va ser al principi dels anys 70, quan Foster treballava en el seu primer gran projecte, el Centre Sainsbury. En veure el projecte, Fuller li va preguntar: “Quan pesa el seu edifici, Sr. Foster?” Foster va quedar desconcertat perquè no ho sabia. Però aquesta pregunta va obligar-lo a replantejar-se la seva manera de dissenyar i va iniciar una forta relació entre els dos que va durar del 1971 fins la mort de Richard Buckminster Fuller l’any 1983. Des de llavors, Norman Foster va perseguir sempre la lleugeresa, amb criteris de sostenibilitat i de reducció del que és superflu. Amb una sola frase, el mestre Fuller va canviar la vida de Norman Foster. Ara bé, en Buckminster Fuller també va ser un dissenyador visionari. Va crear cotxes i cases futuristes, va estendre el concepte de cúpula geodèsica tot dissenyant la meravellosa coberta de l’exposició universal de Montreal l’any 1967, va proposar una projecció icosaèdrica per als mapes del món i va insistir en el concepte de “dissenyador global”. El dissenyador global, segons Bucky Fuller, ha d’usar les troballes de la ciència i de la tecnologia, tot transformant-les en eines per a la felicitat humana a nivell mundial i sostenible.

Els avions, els mapes i les closques d’ou

dimecres, 17/12/2014

Què és més ràpid, anar en avió de Barcelona a Nova York o de Sao Paulo a Mèxic DF? No sé si us passa el mateix que a mi, però jo trobo que la durada dels viatges llargs en avió es fa difícil de preveure. Donats quatre punts sobre la Terra, no sempre és fàcil saber si la distància entre els dos primers és més gran o més petita que la distància entre els dos segons.

Estem acostumats a imaginar que tot és pla. Quan pensem en distàncies, habitualment ho fem en terrenys que considerem plans. Les mesurem en línia recta, sobre el terreny o en mapes plans, en el mòbil o estesos damunt la taula. Però ja sabem que la Terra no és plana. De fet és un geoide, amb una forma quasi esfèrica que enganya la nostra intuïció. Mireu aquesta bola del món interactiva. Podeu girar-la, i cada cop que us atureu us mostra a més la direcció dels vents. Però a mesura que l’aneu girant, és fàcil veure que la distància aparent entre dos punts determinats qualsevols va variant. Per a fer-nos una idea del valor d’una determinada distància, el millor és girar la bola del món fins que el punt mig entre les dues ciutats que estem estudiant, per exemple Barcelona i Nova York, coincideixi amb el centre del cercle de la Terra. En aquesta posició, la distància que veiem en pantalla permet determinar la distància real entre els dos punts (vegeu Nota al final). Us trobareu amb sorpreses, perquè la nostra intuïció alguns cops ens enganya. El problema és que vam aprendre geografia amb mapes del món inexactes que en alguns casos distorsionen els continents.

La Terra és pràcticament esfèrica, un globus. Les formes rodones i esfèriques ens són ben familiars. Sabem el fàcil que és inflar globus i fer bombolles de sabó. Però tan les esferes com els trossos d’esfera amaguen molts secrets i no sempre són tan dòcils. Proveu de construir una esfera, encara que sigui aproximada, retallant i enganxant cartolina. No és pas fàcil. I tenim un teorema geomètric, el de “l’esfera peluda” que diu que si pretenem pentinar una esfera amb pèls, sempre ens quedarà algun remolí. A més, les esferes no es poden aplanar. I aquest és el gran problema dels mapes: és impossible fer un bon mapa de la Terra perquè volem que els nostres mapes siguin plans mentre que el nostre planeta és esfèric i no es deixa aplanar.

Imaginem que pintem el mapa d’Europa en un tros de closca d’ou. El mapa podrà ser força fidel, perquè els trossos de closca d’ou són semblants a casquets esfèrics. Però no és gaire còmode portar closques d’ou d’una banda a l’altre, com tampoc ho és anar sempre amb una bola del món sota el braç. Si volem un mapa pla, la geometria ens diu que només tenim dues opcions: distorsionar o trencar. Cap d’elles és perfecte, però aquest és el dilema. Les matemàtiques ens diuen que la perfecció en els mapes no existeix.

Quasi tots els mapamundis que coneixem segueixen el camí de la distorsió. És el que passa, per exemple, quan fem una foto de la bola del món. La Terra se’ns distorsiona i veiem distàncies més grans al mig que cap a les vores perquè és impossible de representar fidelment la Terra tota connectada i sense distorsió. En els mapamundis, no podem prendre mesures amb un regle.

Però ens queda la segona opció, la de trencar. Si premem la closca d’ou de la foto de dalt després de pintar-hi el mapa d’Europa, ens quedarà el continent ben aplanat i sense quasi distorsió, però tot trencat. Hi ha molta gent que ha creat mapes d’aquest tipus, encara que són poc coneguts. Són mapes que segueixen el principi de la closca d’ou xafada. Aquí teniu el mapa Dymaxion que va proposar en Buckminster Fuller. I aquí podeu veure el mapa octaèdric de la Terra, que us podreu construir si visiteu el museu de matemàtiques de Barcelona. La Terra es pot tallar i separar de moltíssimes maneres, i cada una d’elles ens generarà un mapa diferent del tipus closca d’ou trencada. Si volem minimitzar la distorsió, hem de fer que les cares planes finals siguin ben petites. Per això, en Jarke Van Wijk parla dels mapes “Miriahedral“. Mireu i gaudiu d’aquest vídeo, que trobareu a la seva pàgina web. Ens mostra algunes de les infinites maneres de trencar i aplanar el nostre planeta.

Podem decidir-nos a estudiar bé la geografia i la geometria del nostre planeta amb una bola del món, o amb mapes (per cert, heu pensat en l’etimologia de la paraula “geometria”?). Però si decidim fer-ho amb mapes, haurem d’escollir: distorsió o talls.

Per cert, en Joan Majó diu que els poders polítics democràtics no poden acceptar un nou pacte amb el capitalisme financer, sinó que cal obligar al nou capitalisme a canviar les seves regles. Diu també que les noves regulacions han de tenir caràcter global, perquè ara la partida es juga a escala de tot el món.

——

NOTA: Quan pensem en distàncies, habitualment ho fem en espais que considerem plans. Les mesurem en línia recta, sobre el terreny o en mapes plans. Però, a la Terra, les grans distàncies no les podem mesurar en línia recta. Si volem calcular la distància entre dos indrets com Barcelona i Nova York i aproximem la Terra per una esfera, la geometria ens explica que si volem trobar la distància més curta, hem de mesurar-la en un arc de cercle màxim. Tot plegat no és pas difícil d’imaginar. Tenim tres punts: les dues ciutats A i B que estem estudiant (Barcelona i Nova York, o Rio de Janeiro i Mèxic DF) i el centre de la Terra, que anomenarem O. Els tres punts A, B i O defineixen un pla que talla la Terra en dues meitats, com si fos una síndria, i que ens marca el cercle màxim que passa per A i B perquè sabem que el centre de qualsevol cercle màxim és el punt O. Quan girem la bola del món fins veure centrat i damunt de O el punt mig entre A i B, aconseguim mirar la Terra des d’una posició en la que el pla dels punts A, B i O el veiem de canto. Com que, a més, els punts A i B els hem situat de manera simètrica en relació a la projecció del centre O, el problema de calcular la distància real entre A i B sobre la superfície del planeta (la que recorren els avions) es redueix al problema de calcular la llargada de l’arc AB a partir de la de la seva corda, que és la que podem mesurar en la projecció que veiem del globus terraqüi. I aquí és on rau la dificultat: mesurem cordes, però les distàncies reals són arcs de cercle màxim. Ens equivoquem perquè estem acostumats a veure i mesurar distàncies curtes, i la geometria ens diu que, quan el radi del cercle és molt més gran que l’arc, les mesures de l’arc i de la seva corda són pràcticament coincidents. Si en un mapa veiem tres pobles A, B i C situats de manera que els habitants de B veuen A i C en angle recte, sabem que podrem aplicar el teorema de Pitàgores: si la distància entre A i B és de 3 quilòmetres i la distància entre B i C és de 4 quilòmetres, la distància entre A i C (hipotenusa) serà de 5 quilòmetres. La hipotenusa al quadrat és igual a la suma dels quadrats dels dos catets. Però els triangles esfèrics que se’ns formen sobre la superfície de la Terra són sorprenents. Per començar, els geòmetres mesuren els costats dels triangles, que sempre són arcs de cercles màxims, en graus. Un triangle esfèric té tres costats i tres angles però tots sis es mesuren com angles perquè és molt més senzill i clar. En trigonometria esfèrica, veureu formules on apareixen el sinus i el cosinus dels costats dels triangles. De fet, l’equivalent del teorema de Pitàgores per triangles esfèrics, que hom pot trobar fàcilment a partir de les formules del pentàgon de Neper, diu que el cosinus de la hipotenusa és igual al producte del cosinus dels dos catets. Força diferent del teorema de Pitàgores que coneixem, oi?

Si voleu calcular la distància sobre la superfície de la Terra entre dues ciutats A i B de les que sabeu les seves coordenades geogràfiques de longitud i latitud, ho podeu fer analitzant el triangle esfèric format per A, B i el pol nord. A l’hemisferi nord, si les latituds de A i B les anomenem L1 i L2 i si diem D a la diferència entre els valors de les seves coordenades de longitud, haureu d’utilitzar funcions trigonomètriques i calcular els cinc valors a=cos(L1), b=cos(L2), c=sin(L1), d=sin(L2), e=cos(D). Es pot fer, si voleu, amb un full de càlcul. Llavors, el valor c*d+a*b*e és el cosinus de l’angle que ens indica la separació entre els punts A i B sobre el seu cercle màxim. Només cal trobar aquest angle amb la inversa de la funció cosinus, passar-lo a radians i multiplicar-lo pel radi de la Terra (aproximadament, 6370 Km). El resultat és la distància, en quilòmetres, que haurem de recórrer si volem anar de A a B en avió.

Els drets i els drons

dimecres, 27/03/2013

DretsHumans.jpg Hem aprés a construir ginys teledirigits i autodirigits. Les naus que enviem a Mart i a d’altres planetes són mostres evidents que sabem fer artefactes no tripulats que van on desitgem i que ho fan amb gran precisió. Els satèl·lits meteorològics són bons exemples de que tota aquesta tecnologia (barreja de sistemes de control i navegació, algorismes, sistemes energètics i de comunicacions) ens pot ser realment útil.

Els drons també són ginys teledirigits. Però els seus usos poden ser èticament molt més discutibles. Fa pocs dies, l’Antoni Bassas comentava que el senador del Tea Party Rand Paul va parlar durant quasi tretze hores al ple del Senat dels EUA que havia de votar la confirmació del nomenament del nou director de la CIA, John Brennan. El discurs de Paul es podia resumir en una pregunta que, en opinió de Bassas, captura tota una època de drets, tecnologia i por: ¿el president pot matar un americà sense judici? No deixa de ser sorprenent que al final, qui ho va dir va ser un republicà. El discurs de Rand Paul va ser ovacionat pels grups de drets civils, condemnat pels seus companys de la dreta republicana, contestat per la Casa Blanca i amplificat pels mitjans fins a convertir-lo en un “Houston, tenim un problema” per a Obama, diu Bassas.

Hem tardat molts segles en construir els fonaments del Dret i en establir les bases dels Estats de Dret. Als Estats moderns, els ciutadans deleguen la venjança en els jutges i tothom es sotmet als seus veredictes. La resposta a la pregunta de si el president d’un Estat pot matar un ciutadà sense judici, la podem llegir a la Declaració Universal dels Drets Humans. I la resposta és que no. No es pot matar sense judici previ. I tampoc amb judici, en els països en els que per sort hem abolit la pena de mort. La Declaració Universal dels Drets Humans, en els seus articles 3, 10 i 11-1 diu que tot individu té dret a la vida, a la llibertat i a la seguretat de la seva persona. Diu que tota persona té dret a ser escoltada públicament i amb justícia per un tribunal independent i imparcial. Diu també que té dret a la presumpció d’innocència mentre no es provi la seva culpabilitat en judici públic i amb totes les garanties per a la seva defensa.

Bucky Fuller va inventar el terme viviment (“livingry” en anglès) en contraposició a armament, o “weaponry”. Deia que cal reconvertir les actuals capacitats tecnològiques de l’home, traspassant-les des de l’armament cap un viviment avançat, cap a una tecnologia que reverteixi en tota la humanitat. L’Estat de dret es reserva el dret de la violència, però això, com tot, té els seus límits. I el limit el dóna el dret que tothom té a la vida i el dret que té a un judici just. No es pot parlar de que unes execucions siguin pitjors que altres. Totes són horribles. I també ho són tots els crims d’estat, les morts extrajudicials, les guerres secretes i totes les guerres. Preservar la vida i la dignitat humana és essencial. Cal combatre la hipocresia dels governs, que guanyen diners amb el comerç d’armes.

El poeta Luis Cernuda va oposar la dignitat de les víctimes al fragor de les armes. En el seu llibre “Las nubes” diu que les causes humanes, per dignes que siguin, mai poden prevaldre sobre els drets humans. Per Cernuda, la destrucció i la mort no es poden cantar ni glorificar sota cap pretext. Rafael Sánchez Ferlosio també ens parla dels drons i ens diu que poden portar-nos una inquietant mutació del mateix concepte de gratuïtat amb l’excusa que els bons “són els nostres”.

No hi ha drons bons i drons dolents. Els drons són simples màquines. El que sí hi ha és responsabilitat per part dels que en fan ús. Segurament caldria adaptar les normes del Dret a aquests nous ginys, tot establint regulacions que siguin compatibles amb els drets humans. És èticament correcte tenir drons que puguin matar selectivament? En quins cassos és correcte usar drons per observar, tot violant el dret a la intimitat? Cal detenir i jutjar, o podem matar directament? Com és que mentre que en alguns cassos l’Estat de Dret persegueix judicialment els responsables (cas GAL), estem veient molts altres cassos d’assassinats selectius que queden impunes? Perquè alguns governants poden fer el que volen?

El disseny dels ponts i les lleis de la física

dimecres, 28/11/2012

Golden_Gate_Bridge.jpg Alguns ponts, es fan mirar. El Golden Gate Bridge a San Francisco n’és un cas clar. Fixeu-vos en l’esveltesa del resultat. Compleix perfectament la seva missió sense cap necessitat de reforçar més les seves estructures. És prim i eficaç. El seu disseny és un exemple d’enginyeria sostenible que té en compte factors tan diversos com la càrrega dels vehicles que hi passen, el vent o els terratrèmols.

El dissenyador André Ricard diu que els bons dissenys afegeixen millores que semblen obvies, solucions de sentit comú. És la discreció del que és eficaç. Els bons dissenys han de ser útils i funcionals. Els bons dissenys no caduquen, no canvien amb les modes. No és fàcil millorar el disseny de les tisores, dels clips o de les bicicletes.

Els bons dissenys també són respectuosos amb la natura i amb les lleis de la física. Són funcionals, i alhora estalvien materials i energia. Tenen la bellesa de la simplicitat. Són una prova perdurable de que hem entès les lleis de la Natura i de l’Univers i de que ens hi hem adaptat. En molts cassos, un dels objectius del disseny és aconseguir que la Natura treballi per a nosaltres. I cada cop anem aprenent i ho sabem fer millor, això de que treballi per a nosaltres.

El Golden Gate és un pont penjant. Els dos cables principals que van d’una torre a l’altra serveixen per aguantar tota la part del pont que veiem entre les torres. Ho fan amb els cables verticals que també veieu a la foto. Si suposem que la càrrega de camions i altres vehicles al llarg del pont és uniforme, els dos cables principals adopten la forma d’una catenària. És la forma dels cables de les catenàries dels trens. Catenària deriva de la paraula llatina catenarius (cadena) perquè és la forma que adoptaria una cadena de la mateixa llargada. Tots els cables treballen a tracció, com cal i com ens diuen les lleis de l’estàtica (el pes del pont i de tots els vehicles que hi passen tendeix a estirar tots i cada un dels cables). Però si proveu de fer una maqueta de pont penjant amb dues torres (per exemple, de Lego) i una cadena, veureu que molts cops la cadena fa caure les torres cap al centre. Per això, al Golden Gate i als altres ponts penjants, els cables principals continuen a banda i banda de les torres fins quedar ben ancorats a terra ferma a cada un dels dos extrems del pont. El disseny aconsegueix que tot quedi en equilibri, perquè les forces horitzontals que estiren cada torre cap als seus dos costats s’equilibren entre elles. Les torres acaben només rebent una força resultant vertical que transmeten als seus fonaments (i han de ser prou rígides per evitar possibles efectes de vinclament). Tot plegat és senzill i clar. La mateixa imatge del pont ens explica com treballen i com es transmeten les forces. Si cerqueu imatges d’altres ponts penjants com el de Brooklyn, veureu que les regles de disseny són molt similars. No hi ha dubte que els ponts penjants són bons dissenys, no?. En tot cas, val a dir que el procés real de disseny és més complex, perquè inclou simulacions dinàmiques a més dels càlculs estàtics que hem mencionat. Els ponts han de poder resistir forts vents i fins i tot terratrèmols, i ho aconsegueixen amb flexibilitat, movent-se i adaptant-se a les forces de la natura. Les simulacions per ordinador permeten garantir a priori que el pont podrà assolir aquestes deformacions (i vibracions gegants) sense arribar a un risc de trencament. En els ponts (i en d’altres cassos), cal flexibilitat i capacitat de deformació per poder fer front a les catàstrofes. La rigidesa condueix al trencament.

Els grecs ens van deixar el llegat de la Filosofia i la Ciència. Els romans, després, ens van deixar el Dret i ens van mostrar com ser uns bons enginyers. Van fer magnifiques vies i ponts meravellosos. Molts dels ponts romans han arribat fins als nostres dies. A Salamanca hi ha dos ponts: el pont modernista d’Enric Estevan i el pont romà. Fins fa poc, un senyal a l’entrada del pont obligava els vehicles pesats a passar pel pont romà.

Però no tot són bons dissenys. Segur que recordem molts objectes que han acabat desapareixent del mercat. En el cas dels ponts, passa el mateix. Molts d’ells acaben tenint una vida més aviat curta. El pont de Bushbuckridge a Sud-àfrica va caure en el decurs d’una inspecció, l’any 1989. Un cartell al costat del pont sobre el riu Aragó a Santa Cilia de Jaca explica que les crescudes del riu han afectat molt els pilars de l’antic pont medieval i que l’actual passarel·la és només per a vianants. Però la veritat és que quan hi vaig ser, al juliol de 2011, no hi havia cap passarel·la: una crescuda del riu havia enfonsat el pont.

L’altre dia, un amic expert va ser molt critic amb el pont de l’exposició o de la peineta, dissenyat per Santiago Calatrava i construït a València. Compareu l’esveltesa del pont de la foto del principi d’aquest article amb la que teniu a sota. El disseny del pont de la peineta vol reptar les lleis de la física, amb una estructura de suport lateral i inclinada en forma d’arc, que fa que tota l’amplada del pont quedi en volada. El dissenyador no va voler connectar amb les lleis de la natura. El repte es va traduir en tones de ferro i d’estructures de reforç sota del pont, com es veu a la foto. És massís i contundent, tot i que només ha de salvar una distància de 131 metres, enfront dels 1280 metres del Golden Gate. El pont de la peineta es va pressupostar en 12.6 milions d’euros però va acabar costant 36 milions d’euros. Els dissenys que repten la física acaben pesant més i són molt més cars. En aquest cas, podríem fer la mateixa pregunta que Buckminster Fuller va fer a Norman Foster: Quan pesa el seu edifici, Sr. Foster?

Quan veiem un nou disseny val la pena repetir-nos la pregunta de Buckminster Fuller, no creieu?

Calatrava2.jpg

 

Els fullerens, els fàrmacs, Plató i Pitàgores

diumenge, 16/09/2012

Fullerene_C60.png Llegeixo un estudi que trobo sorprenent: sembla ser que el fullerè C-60 és un molt bon anti-oxidant. Els autors de l’estudi expliquen que, dissolt en oli i administrat en dosis moderades a ratolins de laboratori, els ha allargat (i quasi duplicat) la vida. Dic “sembla ser” perquè en ciència cal ser molt curós i sempre dubtar una mica dels resultats que llegim i que ens expliquen. Com diuen els anglosaxons, ens ho hem de prendre amb “un gra de sal”. Cal treballar, experimentar i fer encara moltes proves, però és bastant probable que, en el futur, trobem fullerens en molts medicaments. Els fullerens són anti-oxidants i uns bons fixadors d’antibiòtics, a banda de tenir aplicacions en fotodetectors, cristalls líquids o catalitzadors. Van ser descoberts l’any 1985, i el seu nom prové de Buckminster Fuller, el dissenyador enamorat dels icosaedres que va concebre la cúpula geodèsica del pavelló dels Estats Units a l’exposició universal de Montreal l’any 1967. Bucky Fuller va morir al 1983, sense haver pogut admirar la perfecció de la molècula del fullerè C-60.

El fullerè C-60 és una molècula composta per seixanta àtoms de carboni. Només carboni. La molècula del C-60 no té cap més element. És perfectament simètrica i estable, amb els àtoms disposats en dotze pentàgons regulars i vint hexàgons regulars, seguint la distribució dels vèrtexs i les cares d’un icosaedre. És una pilota de futbol de mida nanoscòpica. Es una altra de les formes estables del carboni, com els cristalls de diamant, el grafè o els nano-tubs.

Els àtoms de carboni a la molècula C-60 prenen la forma d’un icosaedre, amb els pentàgons als vèrtexs i els hexàgons a les cares de l’icosaedre. Hem redescobert els sòlids platònics (vegeu la nota al final). No us sembla bonic, que al cap de 2400 anys, tornin els sòlids platònics i es materialitzin en una molècula que tal vegada ens pot ajudar a envellir millor?

Sabíeu que els reovirus, que poden donar lloc a malalties gastrointestinals i respiratòries, també tenen forma d’icosaedre? Aqui teniu una imatge del virus RDV, el virus del nanisme de l’arrós.

La natura té una predilecció per les esferes, els sòlids platònics, i en concret pels icosaedres. Les esferes es creen quan no hi ha direccions privilegiades (en física, diríem que les forces són isòtropes). Per això els astres, els planetes i les bombolles de sabó són esfèriques. En Buckminster Fuller va veure que la millor manera d’aproximar una esfera per un poliedre amb cares planes i quasi sense direccions privilegiades, era subdividint un icosaedre. Molts algorismes actuals utilitzen la mateixa idea, i aproximen les esferes tot subdividint poliedres. Però també hem descobert que els àtoms de carboni s’agrupen en molècules d’estructura icosaèdrica.

Nota: Tots sabem que hi ha infinits polígons regulars. Però en canvi, a l’espai, només existeixen cinc poliedres regulars. Són poliedres que podem construir amb cartolina (mireu la figura aquí baix), i que tenen totes les seves cares iguals. És ben curiós, no? Tenim infinites possibilitats al pla, i només cinc a l’espai. El primer que ho va deixar en un escrit que ens ha arribat, va ser en Plató, als seus diàlegs. Però és una idea que ja es coneixia abans. Segons Proci de Constantinoble, els sòlids platònics podien haver estat descoberts per Pitàgores o pels Pitagòrics. Però, voleu saber per què només són cinc? Suposem que volem construir un poliedre regular que tingui m polígons regulars, de n costats cadascun. És fàcil veure que, en tot polígon regular, cadascun dels seus angles és de 180 – 360/n = 180*(n-2)/n graus. Però (imagineu un cop més que l’esteu construint amb cartolina), com que el poliedre ha de ser convex, a cada un dels seus vèrtexs ens ha de sobrar cartolina. En altres paraules, cal que aquest valor de l’angle d’un polígon multiplicat per m, sigui més petit que 360 graus. O sigui, cal que 180*(n-2)/n < 360. I, el que és el mateix, cal que  (m-2)*(n-2)<4. Aquesta equació només té cinc solucions, justament les que corresponen als cinc poliedres platònics:

PlatonicSolids.jpg http://www.iet.ntnu.no/~schellew/PlatonicSolids/PlatonicSolids.html