Entrades amb l'etiqueta ‘càlcul mental’

La horitzontal

dijous, 6/07/2017

Fa dies vaig anar a caminar per la carretera de les aigües de Barcelona. Vaig sortir de Sant Pere Màrtir, i al cap d’una hora i mitja vaig fer la foto d’aquí al costat, que mostra el camí i el lloc de sortida. Bé, de fet vaig fer dues fotos, part de les quals podeu veure a baix de tot junt amb dos detalls: un de la zona del castell de Montjuïc i amb un altre de l’inici del camí.

He canviat d’alçada, mentre caminava? El camí, fa baixada? L’horitzó, ens pot servir per a conèixer la direcció horitzontal? Si mireu qualsevol de les fotos, veureu que l’horitzó és per sota del començament del camí i pel damunt de Montjuïc. Però l’horitzó, és horitzontal?

De fet, depèn, com moltes altres coses a la vida. Depèn d’on jo sigui. Perquè la paradoxa és que l’horitzó quasi mai ens dona la horitzontal. Però la geometria, en la seva accepció més essencial de mesura de la Terra, ens aporta l’ajut que necessitem i ens obre la caixa dels misteris de l’horitzó (vegeu la nota al final). Tot es resumeix en tres indicacions: 1) allò que veiem sota l’horitzó, és a una alçada inferior a la nostra (és el cas del castell de Montjuïc, que es veu bé al detall de l’esquerra de la foto de baix). 2) tot el que veiem clarament per damunt de l’horitzó (com l’antena del cim del turó de Sant Pere Màrtir) és a una alçada superior a la nostra. 3) Si volem saber exactament l’alçada relativa a nosaltres del que veiem prop de l’horitzó, hem de fer un petit càlcul i una multiplicació en base a la nostra alçada sobre el nivell del mar (que podem saber, cercar, o bé estimar).

La foto de dalt la vaig fer des d’uns 3 Km. de distància. Tenint en compte que la meva alçada sobre el nivell del mar era de 280 metres, el valor de l’angle A (vegeu la nota al final) és de 0,00934 radians. Només he de fer una multiplicació per veure que l’error és igual a 3000*0,00934 = 28 metres. En tot cas, si no hagués tingut manera de conèixer la meva alçada i hagués considerat que era a 200 metres damunt del nivell del mar, el valor resultant hagués estat de 3000*0,0079 = 24 metres, que tampoc és tan diferent. I si hagués  suposat que em trobava a 400 metres damunt del nivell del mar, el valor resultant hagués estat de 3000*0,011 = 33 metres. Sempre que em mogui entre els 200 i els 400 metres d’alçada, puc afirmar que l’error d’alçada que em dona l’horitzó es troba entre els valors que puc calcular amb 0,0079 i 0,011, i sempre que em trobi entre els 400 i els 600 metres d’alçada, l’error d’alçada serà dins l’interval que puc calcular amb 0,011 i 0,0137.

En resum: en les condicions en que vaig fer la foto, l’horitzó es veu uns 28 metres per sota de la horitzontal. I aquesta és, aproximadament, la mesura que veiem de la diferència d’alçades entre camí i l’horitzó, a la foto. Podem concloure per tant que el camí no fa baixada, és pla. La carretera de les aigües es manté aproximadament a la cota 280.

Quan observem l’horitzó, tal vegada és un bon moment per treballar el càlcul mental. Si per exemple som a la Serra de Tramuntana, ens caldrà adaptar els càlculs de la nota del final, però si habitualment mirem el mar des de llocs que són per sota dels 400 o 600 metres, només cal que recordem tres valors: 0,0079, 0,011 i 0,0137, i ja podrem calcular la separació entre l’horitzó i la horitzontal.

He de dir que, quan soc dalt d’un turó i observo l’horitzó, no puc deixar de pensar en geometria, en l’etimologia d’aquesta paraula, en la frase de l’entrada de l’Acadèmia de Plató i en la mesura del nostre planeta. I penso que, unes quantes dotzenes d’horitzons més enllà, el passaport canvia de color i l’esquizofrènia és més possible.

Per cert, la Rosa Montero cita un llibre de David Eagleman i explica que l’element més determinant dels que predisposen a l’esquizofrènia és el color del passaport. Perquè la tensió social que produeix el fet de ser emigrant en un altre país, és un factor fonamental de risc per patir aquesta malaltia.

————

NOTA: Som no massa lluny de la costa, en un lloc des d’on veiem el mar i l’horitzó. Si sabem la nostra alçada h respecte el nivell del mar, podem calcular fàcilment la nostra distància a l’horitzó i l’error en alçada que cometem quan usem l’horitzó com a referència horitzontal. Imaginem i dibuixem un cercle que representa la Terra, i diem ara O al seu centre i R al seu radi mig, que és de 6371 Km. Suposem (això no canvia res i fa el dibuix més fàcil) que ens trobem a la línia vertical que passa per O. La nostra posició, que anomenaré P, és una mica exterior al cercle de manera que la seva distància a O és òbviament R+h. Si des de P dibuixem una recta rh tangent al cercle, aquesta recta ens dona justament la direcció en què veurem l’horitzó. La nostra distància D a l’horitzó serà la longitud del segment PH, on H (l’horitzó) és el punt de tangència entre la recta rh i el cercle. Ara bé, el triangle format pels punts P, O i H és un triangle rectangle amb l’angle recte al punt H, perquè la tangent a un cercle sempre és perpendicular al radi. Com que la longitud de la seva hipotenusa OP és R+h i el catet OH és el radi de la Terra, el teorema de Pitàgores ens diu que la distància D a l’horitzó és igual a l’arrel quadrada del quadrat de (R+h) menys el quadrat de R. En altres paraules, D és l’arrel quadrada de 2*R*h+h*h (per les alçades habituals, però, podeu comprovar que el terme h*h és menyspreable en relació a l’altre; per tant, podem simplement calcular l’arrel quadrada de 2*R*h).

La distància a l’horitzó, D, només depèn de la nostra alçada respecte el nivell del mar. Per alçades de 200 metres, 400 metres i 600 metres, aquesta distància és de 50,478 Km. (o sigui 50 Km. i 478 metres), 71,393 Km. i 87,436 Km. respectivament. Podeu comprovar-ho i calcular fàcilment el seu valor per qualsevol altre alçada h. O sigui, si som a una alçada d’entre 200 i 600 metres, l’horitzó es troba a una distància d’entre 50 i 87 quilòmetres. Podeu argumentar que semblen valors baixos, perquè algunes vegades segurament heu pogut veure algunes illes que es troben més lluny de 87 quilòmetres. Però és que les parts altes d’aquestes illes que són més enllà de l’horitzó, si no són massa lluny, sobresurten i en dies clars es poden veure.

Analitzem ara el valor de l’angle entre la direcció de la recta rh (que és la de l’horitzó que veiem) i la horitzontal. En el punt P on som, l’horitzontal és la perpendicular a la recta PO. L’angle A entre les rectes PO i PH és fàcil de veure que és idèntic a l’angle entre OH i OP, la tangent del qual és D/R. En els tres casos anteriors, amb alçades de 200 metres, 400 metres i 600 metres, aquest angle A és de 0,45 graus, 0,63 graus i 0,78 graus respectivament, tots ells força petits. En radians, aquests valors són de 0,0079, 0,011 i 0,0137. L’interès de representar-los en radians és que, multiplicant directament el seu valor per la distància de l’objecte que estiguem observant a la que ens trobem, sabem l’error en alçada (estic aproximant l’arc per la seva projecció vertical, la qual cosa és perfectament acceptable amb aquests valors tan petits dels angles). En altres paraules: si soc a 400 metres d’alçada, quan observo un determinat objecte (una casa, un camí) que és a la mateixa alçada de l’horitzó, si l’objecte és a 150 metres estic cometent un error de 150*0,011= 1,65 metres. Però si soc a 200 metres d’alçada, l’error és de 150*0,0079= 1,185 metres.

L’horitzó visible és per sota de l’horitzontal. Si soc a 200 metres d’alçada, l’error que cometo si mesuro horitzontals amb l’horitzó és de 0,0079*Dist, on Dist és la distancia a l’objecte que estic mirant. Si soc a 400 metres d’alçada, l’error que cometo és de 0,011*Dist, i si soc a 600 metres d’alçada, és de 0,0137*Dist.

Comentari final: He de dir i reconèixer que tot això que explico, per algunes i alguns de vosaltres no serà res de nou. De fet, vaig tenir alguns dubtes abans de posar-me a escriure aquest article. Però finalment, algunes persones properes van insistir…

 

 

Multiplicar i estimar

dimecres, 16/11/2016

Les taules de multiplicar tenen un encant que no estic segur que sapiguem transmetre als nostres nens i joves. Aquestes taules amaguen tots els possibles rectangles que podem formar amb 81 o menys objectes, siguin rajoles, fitxes o peces de fruita, i són part d’aquest entramat lògic i geomètric de l’Univers que no deixa de sorprendre’ns. Tres per tres, tres per quatre, tres per cinc, tres per sis. Quatre rectangles que podem fer si ens proposem organitzar les mandarines que hem comprat en tres files. El rectangle de cinc per vuit de la imatge és especialment bonic perquè els seus costats, que es troben en relació de 8/5 = 1.6, ens recorden que la successió de Fibonacci ens porta ràpidament a la relació àuria: només cal fer cinc sumes (5+8=13, 8+13=21, 13+21=34, 21+34=55, 34+55=89) i el rectangle de 55 per 89 ja és pràcticament de proporcions divines.

Fa poc, en una conversa amb companys, dèiem que en aquest món de les noves tecnologies cal aprendre més que mai les taules de multiplicar perquè són una de les abstraccions fascinants de l’estructura de tot el que ens envolta. Amb tota probabilitat, podem afirmar que els membres de qualsevol població d’essers intel·ligents que hi pugui haver més enllà de la galàxia d’Andròmeda i la nebulosa d’Orió, han descobert com nosaltres la màgia de les taules de multiplicar i els conjunts d’objectes que es poden agrupar en rectangles. No és increïble?

En canvi, saber multiplicar i dividir serveix de ben poc, avui en dia. Quina és la darrera vegada que vàreu fer una divisió a mà? A més, les receptes per multiplicar i dividir quantitats de varies xifres que vam aprendre quan érem petits són obscures i no necessàriament les més adequades. Té sentit que els nostres fills i néts hagin de fer, mecànicament, operacions complexes que després faran amb la calculadora del seu mòbil? No hem de confondre l’aprenentatge de les taules de multiplicar amb l’obligació de fer operacions feixugues i complexes. Crec sincerament que, més que saber multiplicar, l’important és aprendre tècniques de càlcul mental per a poder estimar el valor del resultat. Després, si ens cal el resultat exacte, ja el demanarem a la calculadora. Només un detall: hi ha moltes maneres d’estimar un resultat, però si ho sabem fer bé, sabrem afinar i no caure en valors subestimats o sobreestimats. I no em direu que aquesta expressió “estimar un resultat” no té el seu encant, oi?

En poques paraules: he de confessar que gaudeixo amb les taules de multiplicar i que estimo les tècniques per estimar mentalment el resultat de les multiplicacions i divisions. Les estimo i les defenso perquè ens expliquen ben fàcilment l’ordre de magnitud dels resultats.

Quin és el resultat de multiplicar 4302 per 21? I el de dividir 7750 per 67? En el primer cas, el primer que podem pensar és que el resultat de 4302 per 21 és el de multiplicar 4300 per 21 més 2 per 21, que és 42. I per multiplicar 4300 per 21, podem començar multiplicant per 20: fem el doble de 4300, que és 8600, i ara li afegim un cero i obtenim 86.000; ara només li hem de sumar 4300 (perquè estàvem multiplicant per 21 i no per 20) i els 42 que ens havíem deixat. El resultat és 90.342 i l’hem obtingut només amb càlcul mental. Fixeu-vos que el que hem fet no és més que usar la descomposició en base 10 (4302 és 4*1000 + 3*100 + 2 mentre que 21 és 2*10 + 1) i anar calculant per separat els termes que conformen el resultat final, aplicant en cada cas les taules de multiplicar i la regla de la multiplicació per 10 o per potències de 10. De fet, també haguéssim pogut oblidar-nos del 42 inicial i donar un valor estimat de 90.300, que és prou aproximat. I ara, de la mateixa manera, per dividir podem anar multiplicant i provant. El resultat de la divisió entre 7750 i 67 és superior a 100, perquè 67 per 100 és 6700; però no arriba a 200, perquè és clar, sense calcular-ho, que el doble de 6700 és més gran que 7750. Per tant ens quedem amb el 100, i el que ens queda per repartir (divisió és repartiment, com bé sabem) és 7750 – 6700 = 1050. Podem continuar amb càlcul mental, però però també podem simplement estimar el resultat. És clar que 67 per 10 és 670, i que 67 per 20 és el doble: 1340. Com que el que ens queda per repartir és 1050, que és pràcticament al mig entre 670 i 1340, podem pensar que una bona estimació del resultat de la divisió de 1050 per 67 és 15. I el resultat d’estimar mentalment el valor de la divisió entre 7.750 i 67 serà 115. Per cert, la calculadora dóna 115,67.

Les avantatges del càlcul mental per estimar el resultat de les operacions són com a mínim tres. Continuem practicant les taules de multiplicar, fem un bon exercici mental que sempre és recomanable, i podem fer una anàlisi crítica més acurada del que ens envolta i del que escoltem i llegim. Ho podem fer sempre i en tot lloc, no ens cal res.

Moltes pifies que fem i veiem, molts errors periodístics i moltes falses interpretacions podrien evitar-se si tots tinguéssim l’hàbit de calcular mentalment i estimar els resultats. És clar, per exemple, que la divisió d’abans entre 7.750 i 67 dóna el mateix resultat (115) que la divisió entre 77.500 i 670 i que la divisió entre 775.000 milions i 6.700 milions, perquè si repartim 14 pans entre 7 persones n’haurem de donar dos a cada una, i també n’acabarem donant dos a cada un si repartim 14 milions de pans entre 7 milions de persones. Un d’aquests errors, que va acabar donant forma a tot un article d’opinió, consistia en pensar que quan repartim milions de coses entre milions de persones, el resultat és de milions. Menys mal que en el cas que comento, la autora va reconèixer el seu error aritmètic. Tot s’hagués salvat estimant els resultats i amb una mica de càlcul mental.

———

Per cert, en Federico Mayor Zaragoza diu que no es pot acceptar el que és inacceptable, i que no podem permetre que Donald Trump posi en pràctica les seves promeses, en particular la de desdir-se dels acords de París sobre el canvi climàtic. Diu que ha arribat el moment d’aixecar la veu perquè el silenci pot ser un delicte.

El càlcul mental i els caixers dels pàrquings

dijous, 25/07/2013

 

Hem de pagaMonedesCaixer.jpgr 2,75 euros en el caixer automàtic del pàrquing. Tenim una moneda de dos euros, una d’un euro, dues de deu cèntims i tres monedes de 5 cèntims. Cóm hem d’introduir les monedes per tal de quedar-nos al final amb el mínim de monedes a la butxaca?

És clar que no podem pagar l’import exacte. D’altra banda, el total de les nostres monedes és de 3,35 euros. Ens sobren diners i la màquina ens haurà de tornar canvi.

El problema té la seva gràcia, perquè volem dues coses a l’hora. Volem desfer-nos del màxim de monedes, i volem que la màquina ens en torni el mínim nombre possible. Si ho pensem bé, veurem que som davant d’un problema d’optimització combinatòria, no gens fàcil.

El millor és utilitzar un mètode heurístic, que no sempre dona el millor resultat possible però que és raonablement fàcil d’usar i memoritzar, a la vegada que ens pot servir per exercitar la ment en situacions quotidianes. Es tracta de desacoblar les dues parts del problema i primer pensar només en el canvi que ens donarà el caixer.

És fàcil veure que com a mínim hem d’introduir tres euros. I és clar que hem de posar-hi tant la moneda d’un euro com la de dos euros, perquè si no ho fem, no hi ha manera que arribem als 2,75 euros.

També sabem que el màxim que hi podem posar són 3,35 euros, que és tot el que tenim. Per tant, el valor de les monedes que hi posarem segur que es trobarà entre 3 i 3,35 euros. Hi ha alguna quantitat que ens minimitzi el nombre de monedes que la màquina ens tornarà en el canvi?  La resposta és senzilla i permet pensar-la in situ, quan som al caixer: si el valor del total de monedes que hi posem és de 3,25 euros, el canvi consistirà (segurament) en una única moneda de 50 cèntims.

Ja tenim resolta la primera part del problema. Podem minimitzar el nombre de monedes del canvi si aconseguim posar-hi 3,25 euros. Passem a la segona part: cóm podem desfer-nos del màxim de monedes i acabar introduint 3,25 euros abans que la màquina ens retorni el canvi?  Una solució és utilitzar el màxim de monedes (de les que tenim) per a fer un total de 3,25 euros, i, a continuació, anar-les posant al caixer ordenadament, començant per les de poc valor i acabant per les més grans. En el nostre cas, decidirem introduir les tres de cinc cèntims, una de deu cèntims, la d’un euro i la de dos euros perquè tot plegat suma 3,25 euros i així només ens quedarem amb una moneda de deu cèntims. Tenim força llibertat pel que fa a l’ordre en que posem les monedes, però és clar que hem de deixar pel final o bé la moneda d’un euro o bé la de dos euros si volem evitar que la màquina ens doni el canvi abans d’hora.

En resum: hi hem d’introduir 3,25 euros, i això ho podem fer de manera que aconseguim treure’ns totes les monedes que teníem menys una. A més, podem minimitzar el nombre de monedes que ens tornarà la màquina. Al final, ens quedarem amb dues monedes a la butxaca i pensarem que hem resolt bé el problema.

Quina és la simplificació que hem fet i que no sempre funciona?:  La de desacoblar el problema. No és aquest el cas, però podria passar que tinguéssim una solució en que la màquina ens retorna dues (no una) moneda, i que fa que ens puguem desfer de bastantes més monedes. Per això, si volem estar segurs d’haver arribat a la solució òptima, a la millor de totes, hem de fer una anàlisi exhaustiva de totes les possibilitats (vegeu la nota al final). Us veieu amb cor de pensar un exemple en el que la heurística que us he proposat no arriba a la millor solució?

Encara que sembli estrany, pagar en un caixer no és massa diferent que jugar a escacs. Tenim un objectiu (en el nostre cas, quedar-nos amb el mínim de monedes), i hem de dissenyar una estratègia (que no és més que un algorisme) per arribar-hi o, al menys, per anar-hi a prop. Aquesta estratègia, però, depèn “d’un altre”, que en aquest cas és l’algorisme que algú ha programat en el caixer. El nostre algorisme serà millor si entenem i tenim en compte l’algorisme “de l’altre”. I a més, tenim la dificultat afegida que la solució òptima d’aquests problemes requereix analitzar una munió de possibilitats. Per això, és bo pensar en heurístiques, que no són més que algorismes ràpids que habitualment donen solucions raonablement acceptables. D’això en parla la teoria de jocs. En escacs, per exemple, un algorisme òptim hauria d’analitzar totes les possibles evolucions futures del joc, tenint en compte totes les possibles estratègies tant les nostres com les de l’altre; com que això és intractable, els jocs per ordinador sempre utilitzen heurístiques, ràpides però subòptimes.

No es pot tenir tot. Els algorismes de càlcul i raonament mental són molt útils, però no sempre ens donen la millor solució. Els algorismes de cerca exhaustiva i optimització combinatòria troben la millor solució possible, però millor que no penseu en usar-los quan sou davant del caixer perquè de ràpids no en tenen res.

Nota final: Si volem estudiar bé el problema i estar segurs que hem trobat una bona solució, sobretot en casos en què tenim més monedes, ens cal una mica de paper i llapis. Pensem en la primera part del problema, la que intenta minimitzar el nombre de monedes que esperem que ens torni la màquina. Hem vist que el valor de les monedes que hi posarem estarà sempre entre 3 euros i 3,35 euros. Combinant adequadament les monedes que tenim, podem aconseguir introduir al caixer (abans que ens comenci a donar el canvi) qualsevol d’aquestes quantitats:

  • 3 euros (amb les dues monedes de un i dos euros)
  • 3,05 euros (amb les monedes d’un i dos euros i una de 5 cèntims)
  • 3,10 euros (amb les monedes d’un i dos euros i dues de 5 cèntims, per exemple)
  • 3,15 euros (amb les monedes d’un i dos euros i les tres de 5 cèntims, per exemple)
  • 3,20 euros (amb les monedes d’un i dos euros, una de 10 cèntims i dues de 5 cèntims, per exemple)
  • 3,25 euros (amb les monedes d’un i dos euros, les tres de 5 cèntims i una de 10 cèntims, per exemple)
  • 3,30 euros (amb les monedes d’un i dos euros, dues de 5 cèntims i dues de 10 cèntims)
  • 3,35 euros (amb les monedes d’un i dos euros, les tres de 5 cèntims i dues de 10 cèntims)

I, en cada un d’aquests casos, què ens tornarà la màquina?

  • En el cas de 3 euros, el més probable és que ens torni dues monedes, de 20 i 5 cèntims
  • En el cas de 3,05 euros, el més probable és que ens torni dues monedes, de 10 i 20 cèntims
  • En el cas de 3,10 euros, el més probable és que ens torni tres monedes, de 5, 10 i 20 cèntims
  • En el cas de 3,15 euros, el més probable és que ens torni dues monedes de 20 cèntims
  • En el cas de 3,20 euros, el més probable és que ens torni tres monedes, una de 5 i dues de 20 cèntims
  • En el cas de 3,25 euros, el més probable és que ens torni una moneda de 50 cèntims
  • En el cas de 3,30 euros, el més probable és que ens torni dues monedes, de 5 i 50 cèntims
  • En el cas de 3,35 euros, el més probable és que ens torni tres monedes de 20 cèntims

Dic que això és el més probable, perquè el caixer funciona en base a un algorisme, i no sabem exactament quines opcions ha considerat la persona que l’ha programat. El lògic seria que ens tornés el canvi amb el mínim possible de monedes, però això no és sempre així. Si us hi heu fixat, els caixers moltes vegades donen dues monedes de 50 cèntims enlloc d’una d’un euro. I, com indiquem en el darrer cas dels que hem vist, per tornar 60 cèntims, és força habitual que ens torni 3 monedes de 20 cèntims encara que seria més òptim si ens retornés una de 10 i una de 50. De fet en el nostre cas, fixeu-vos que els 3,35 euros també serien una solució òptima si sabem que la màquina ens tornarà dues monedes (de 50 i 10) enlloc de tres de 20.

Però si haguéssim de pagar 2,90 euros i tinguéssim tres monedes d’un euro i tres de deu cèntims, és fàcil veure que l’heurística que abans us he proposat no és òptima. En aquest cas, el millor és desfer-nos de totes les monedes tot forçant que la màquina ens torni dues monedes de vint cèntims, perquè si fem que ens torni només una moneda de canvi, acabarem amb més de dues monedes a la butxaca.

Per tal d’estar segurs que hem trobat la solució òptima, no tenim altra sortida que analitzar totes les possibilitats i utilitzar tècniques d’optimització combinatòria. Tenim moltes maneres d’anar introduint les monedes al caixer (de fet és un problema de permutacions amb repetició en que algunes permutacions són idèntiques perquè, arribat un cert punt, generen el mateix canvi per part de la màquina). Per a cada una de les possibilitats sabem el nombre total de monedes: les que ens tornarà més les que no hi posem. L’anàlisi exhaustiu de totes elles ens porta a la solució òptima.