Entrades amb l'etiqueta ‘centroide’

El trencaclosques del besavi

dijous, 31/01/2019

Fa pocs dies vaig anar a veure l’avi dels meus fills (li diem avi, però de fet és besavi: ja té tres besnéts). Aquest any en farà 99, i realment els porta d’allò més bé. Durant la conversa vam parlar d’actualitat, d’ètica, de política, de ciència, d’energies renovables, d’internet, dels mòbils i del problema dels qui volen fer negoci amb les nostres dades i metadades.

En un cert moment, va treure quatre peces idèntiques que a primera vista semblaven troncs de piràmide de base trapezoïdal. Em va dir: “saps fer una piràmide, amb aquestes peces?”. Les peces, totes iguals, tenien base trapezoïdal i eren simètriques en el sentit-dreta-esquerra. El primer que vaig pensar és que la piràmide final havia de ser un tetraedre, perquè teníem 4 peces i sabem que el tetraedre té 4 vèrtexs i 4 cares. Vaig estar fent proves uns minuts, i finalment (sortosament) me’n vaig sortir. Certament, era un tetraedre regular. Les quatre peces i el resultat final eren com les que teniu a la imatge de dalt, però de fusta. L’avi va continuar amb preguntes: És antic, aquest trencaclosques? Qui el va inventar? Com s’han fabricat, aquestes peces? Com es pot calcular la seva forma? El cert és que en aquell moment no vaig saber contestar tot el que em preguntava.

No he trobat informació sobre qui va inventar aquest trencaclosques i sobre si és molt antic. Però les seves preguntes em van tenir ocupat uns dies. Vaig començar a pensar. És cert que cada peça té 8 vèrtexs, i és fàcil veure que tots menys un, a la construcció final, es veuen. Els quatre vèrtexs (un de cada peça) que queden amagats, han de coincidir en un sol punt interior al tetraedre. Per simetria, aquest punt ha de ser el centroide del tetraedre regular final. Les cares del tetraedre es construeixen a partir de determinades cares de les peces, cosa que comporta un bon grapat de relacions geomètriques que van determinant la forma d’aquestes peces…

El resum de tot plegat el teniu en aquest retallable que he preparat (vegeu la nota al final si teniu ganes de saber-ne més). Si voleu jugar-hi amb els vostres fills, nebots, néts o amics i reptar-los a fer el trencaclosques, només heu d’imprimir el retallable 4 vegades, dibuixar-li “ales” a algunes arestes per poder unir les peces, retallar-lo, doblegar-lo i enganxar les seves cares fins acabar fent les quatre peces de la imatge de dalt. He de dir que és un retallable que no he trobat a cap pàgina web. No he dibuixat “ales” al retallable per a mostrar la simplicitat i simetria de la forma desplegada. I bé, quan tingueu les quatre peces, si no veieu com muntar el tetraedre, podeu llegir el darrer paràgraf de la nota al final.

He de dir que, tot cercant per internet, el que sí he trobat són dos trencaclosques més per a construir un tetraedre. Els trobareu en aquest document de la Universitat de Rice. Un d’ells té només dues peces i l’altre en té 4, que en aquest cas són piràmides de base quadrangular que provenen de la subdivisió de les dues peces idèntiques del seu primer trencaclosques. El pdf de la Universitat de Rice conté també retallables per a construir els dos exemples.

En total teniu tres retallables amb els que podreu passar una tarda divertida fent primer deu peces (4+4+2 poliedres de cartolina o paper) i fabricant després un total de tres tetraedres regulars. Si en teniu ganes i ho feu, segurament gaudireu d’una excursió que endinsa els qui la fan en indrets d’un món tridimensional força desconegut mentre ens va descobrint lleis i valors universals d’aquesta disciplina que va meravellar Plató i que es diu geometria.

M’agraden els trencaclosques polièdrics tridimensionals. I el fet de la seva estructura 3D suposa un repte afegit perquè, malauradament, la nostra capacitat d’imaginació i raonament geomètric és molt més 2D que 3D. Feu només una prova (vegeu la nota al final): intenteu imaginar les direccions en 3D de les arestes amagades de les quatre peces quan el tetraedre ja està muntat. Els trencaclosques 3D són un repte, però també una lliçó de prudència: ens baixen els fums i ens ajuden a recordar, com bons aliments de la modèstia intel·lectual, que no tot és tan fàcil.

Que puguem continuar molt temps gaudint junts de trencaclosques com aquests i parlant de molts altres temes, avi!

———

Per cert, l’Oriol Junqueras, en un article inusual, diu que hi ha dues lliçons de la física quàntica que ens poden orientar en el compromís polític. Aquestes són la modèstia intel·lectual i la prudència. Ara bé, malgrat la modèstia i la prudència, hem d’intervenir. Cal compromís, diu, per intentar millorar el món i intentar fer justícia: uns valors que ens són universals, en la mesura que són compartits per tots els humans en qualsevol lloc del món i en qualsevol moment de la nostra història com a espècie.

———

NOTA: Com bé mostra el retallable, les quatre peces són idèntiques i tenen un eix de simetria dreta-esquerra. Això fa que el tetraedre final admeti dues construccions diferents amb les mateixes peces. Una, que podríem dir que “gira en el sentit de les agulles del rellotge, és la que mostra la imatge de dalt: a qualsevol de les cares del tetraedre, si ens situem en el trapezi de mida més gran i en sortim per l’aresta més petita de les dues que són paral·leles per a visitar la peça petita i finalment anar a la peça mitjana, estarem movent-nos en el sentit de les agulles del rellotge. Ara bé, és fàcil veure que podem disposar les peces de manera que el recorregut sigui anti-horari. Només cal que, a la cara més frontal de la imatge per exemple, fem que la peça gran contingui el vèrtex inferior esquerra del tetraedre en lloc d’incloure el seu vèrtex superior.

Si suposem que la mida de les arestes del tetraedre és 1, sabem que la seva alçada és 1/3 de l’arrel de 6. És fàcil veure a més que, a la construcció final, cada una de les 4 peces queda amb 7 vèrtexs visibles i un d’amagat. Lògicament i per simetria, els 4 vèrtexs amagats (un de cada peça) coincideixen en un punt O de l’espai que justament és el centroide del tetraedre final (punt a distància 1/12*arrel(6) de la base i que es troba a la intersecció dels sis plans de simetria que passen per cada una de les arestes del tetraedre). En aquest punt O convergeixen 4 arestes, totes amagades, en direcció a cada una de les 4 cares del tetraedre, cada una d’elles paral·lela a alguna de les arestes externes del tetraedre. Ara bé, si pensem en la silueta externa del tetraedre que es forma quan el mirem en una direcció arbitrària, ens adonarem que és un quadrilàter amb quatre arestes que anomenaré a, b, c i d. I justament, a, b, c i d defineixen les direccions de les quatre arestes amagades que conflueixen al punt O. Pensem en una d’elles (la a, per exemple). Com que a pertany a dues de les 4 cares del tetraedre, només pot definir la direcció que va de O a alguna de les dues cares que no la contenen (perquè la direcció de la recta que va d’un punt O a una cara que no conté O mai pot ser una direcció de la cara). Resumint, podem escriure una taula que indica, per a cada una de les 4 arestes a, b, c i d, les dues cares del tetraedre que són candidates a ser connectades amb O amb un segment que tingui la seva direcció. Però, curiosament, moltes de les possibilitats combinatòries que dona aquesta taula són invàlides i tot plegat permet arribar a la conclusió que només hi ha 2 configuracions acceptables, que corresponen a les construccions horària i anti-horària que hem comentat abans. En resum: un tetraedre, quatre peces idèntiques i simètriques que connecten entre elles en el centroide, dues úniques maneres de construir el trencaclosques: segons les agulles del rellotge o en sentit contrari.

Amb tot el que hem dit és fàcil veure que, al retallable, la dimensió de les 5 línies horitzontals (per a construir un tetraedre final d’aresta unitat) ha de ser de 1/4, 1/4, 3/4, 1/2 i 1/4. D’altra banda, la distància en vertical entre aquestes línies (indicant amb la lletra A l’arrel de 3) ha de ser de 1/4, (1/4)*A, (1/8)*A i (1/8)*A. I és fàcil comprovar que, amb aquestes mides, a la construcció final, els vèrtexs amagats coincideixen en el centroide O. No deixa de ser curiós que les 4 peces tinguin cada una d’elles una cara perfectament quadrada que evidentment quedarà amagada en el muntatge final.

Per a fer el trencaclosques i muntar un tetraedre regular, una bona estratègia és primer agrupar les peces dues a dues, connectant-les per les seves cares quadrades per així amagar-les. Veureu que, per cada conjunt de dues peces, només hi ha dos girs al voltant de la cara quadrada comú que construeixen un tros del tetraedre final. Ara bé, cal tenir en compte, com ja hem comentat, que una d’aquestes dues configuracions ens porta al tetraedre de sentit horari, mentre que l’altra condueix a la construcció anti-horària. Per tant, hem d’assegurar-nos que un i altre conjunt de dues peces siguin coherents entre sí pel que fa a la seva configuració “horària”. Evidentment, només en aquest cas els dos conjunts de dues peces encaixaran bé entre ells i ens donaran el tetraedre que cerquem.

La riquesa dels triangles

dimecres, 1/10/2014

On és el centre geomètric de Catalunya? Quin és el centre d’un triangle? Hi ha preguntes que semblen fàcils però que no ho són. En Clark Kimberling, matemàtic i compositor musical, ens explica part de la història dels triangles. Diu que fa molt i molt temps, algú s’ho va preguntar. Tot pensant, va dibuixar un triangle, i també hi va marcar les rectes que surten de cada un dels tres vèrtexs i passen just pel mig del costat oposat. Va quedar sorprès en veure que les tres rectes passaven per un punt. Va repetir l’experiment amb un altre triangle, i va observar el mateix comportament. Després de fer-ho amb un tercer triangle, ho va explicar als seus amics, que també ho van provar. Tothom que feia l’experiment, trobava el mateix resultat. Fos quin fos el triangle, sempre hi havia un punt màgic pel que passaven els tres segments rectes que unien els vèrtexs amb els punts centrals de les arestes oposades. Tal vegada era una manifestació del poder diví. De fet era una propietat ben senzilla que permetia trobar el centre de qualsevol triangle.

Segles més tard, algú va demostrar que això era sempre cert: les tres mitjanes (rectes que surten de cada un dels tres vèrtexs i creuen pel mig el costat oposat) passen sempre per un punt dins del triangle. Qui ho va demostrar, va trobar una de les propietats intrínseques de tot triangle. El punt va ser batejat com baricentre o centroide. Es va veure que aquest punt, el baricentre, és també el centre de massa del triangle. Si retalleu un triangle qualsevol en cartolina i el pengeu d’un fil, el triangle només us quedarà horitzontal si el pengeu pel baricentre. I, si el pengeu d’un dels seus tres vèrtexs, la línia vertical continuació del fil serà justament una de les mitjanes, de manera que si pinteu aquesta vertical damunt el triangle i ho repetiu pels altres dos vèrtexs, el punt intersecció serà un cop més el baricentre o centroide. Agafeu el triangle de cartolina i pengeu-lo per qualsevol punt: la línia vertical continuació del fil passarà per aquest punt màgic que els nostres avantpassats van anomenar baricentre. En aquesta web teniu una aplicació interactiva en la que podeu anar movent la posició dels tres vèrtexs del triangle i veure com es modifiquen les mitjanes i el baricentre.

Però aviat es va veure que el baricentre no era l’únic candidat, i que tenia bastants competidors per al títol de centre del triangle. Van aparèixer l’incentre, el circumcentre i l’ortocentre. I molts més. De fet, hi ha infinits punts que podem considerar que són el centre d’un determinat triangle (vegeu Nota al final). Els triangles són una mica com la política: perquè hi ha tants polítics que diuen que són de centre?

L’any 1994, en Clark Kimberling va començar un projecte inèdit. Va recopilar i posar a la web totes les propostes de centres de triangles que s’havien fet. L’afició de Kimberling pel col·leccionisme de centres no ha defallit. La seva enciclopèdia dels centres dels triangles ja conté (a data d’avui, perquè va creixent) un total de 6091 definicions, cada una acompanyada de les seves propietats i formules. La podeu consultar aquí.

Hi ha qui diu que les matemàtiques són avorrides i que a la geometria li manca la riquesa del llenguatge, de la literatura i de la poesia. Però els humans hem estat capaços d’inventar i proposar més de sis mil maneres diferents de calcular el centre d’una figura tan senzilla com és un triangle. Els triangles, tan poc sofisticats com semblen, amaguen una immensa diversitat. I de fet, encara que no ho sembli, la geometria és una font de conceptes opinables. Podríem tenir llargues converses i polèmiques sobre quin és el centre més adient, en un triangle (o a Catalunya). El cert és que la creativitat humana no té límits: pot abastar tant les paraules com els triangles.

Alguns científics pensen que tot l’Univers, tota la matèria i nosaltres mateixos, no som més que geometria. No sé si algun dia ho arribaran a esbrinar, els nostres descendents. Però la idea és captivadora, i dóna per molt. Els humans, a més d’agregats biològics, seriem agregats geomètrics racionals que s’interessen per les arts, la música, la poesia, … i pels més de 6000 possibles centres d’un objecte geomètric tan senzill com és el triangle.

Per cert, el pressupost de recerca que proposa el govern espanyol pel 2015 creix un 4,8% i arriba als 6.395 milions d’euros. Sembla una bona notícia. Però la lletra petita diu que el pressupost de recerca civil només creix un 1,3%, mentre que el pressupost de recerca militar s’incrementa en un 43%. No cal dir res més.
____________________________

NOTA: Els geòmetres parlen de les funcions de centre de triangle, i expliquen que per a cada possible funció existeix un centre diferent de cada triangle. Les funcions de centre de triangle depenen tant de les longituds dels tres costats com dels tres angles, i donen les coordenades trilineals del “seu” centre en funció d’aquests valors.