Entrades amb l'etiqueta ‘coeficient de difusió’

Les molècules del got d’aigua

dissabte, 29/09/2018

Fa poc vaig llegir l’article que Albert Einstein va escriure l’any 1905 sobre la teoria del moviment Brownià. Poder llegir aquest article que Einstein va publicar als Annals de Física, en versió facsímil, amb les paraules i formules originals que va escriure i revisar ell mateix, va ser un plaer només comparable al de contemplar una obra mestra de la pintura, escoltar Mozart o llegir poesia. He estat dies portant les 18 pàgines impreses de l’article tot el dia amb mi, per així poder assaborir-lo trosset a trosset. El podeu trobar aquí.

Einstein, a l’article, explica essencialment tres coses. En primer lloc, mostra que quan tirem una mica de solut (per exemple, sucre, unes gotes de colorant, o fins i tot pol·len o pols de farina) en un solvent (aigua, però també un gas com l’aire), el comportament del solut és el mateix en tots els cassos, de manera que és possible calcular la seva pressió directament a partir de la teoria cinètica del calor que Ludwig Boltzmann havia enunciat feia pocs anys. Després, troba una formula per a calcular el coeficient de difusió, que mesura la velocitat amb la que el solut s’anirà estenent pel solvent; i, a continuació, dedueix una senzilla expressió que permet calcular el desplaçament mitjà de les partícules de solut durant un cert temps en funció justament d’aquest coeficient de difusió (vegeu la nota al final). La idea és ben senzilla: el solut es va difonent en el solvent perquè les seves partícules o molècules no paren de moure’s en un moviment que anomenem Brownià (en record de Robert Brown), empeses per infinitat de molècules del solvent que xoquen amb elles de manera totalment aleatòria.

I justament, el més bonic de l’escrit d’Einstein és el desenllaç final. Un cop ha deduït les formules que regulen dos comportaments (difusió i desplaçament mitjà) de les partícules de solut, elimina la variable que mesura el coeficient de difusió i obté la formula que podeu veure, amb la grafia original de l’article de 1905, a dalt. Es tracta d’una equació com a mínim sorprenent (vegeu un cop més la nota al final) perquè relaciona una magnitud perfectament mesurable com és el desplaçament mitjà de les partícules de pol·len que suren en un got d’aigua durant el seu moviment Brownià, amb el nombre de molècules d’aigua que tinc al got.

Einstein va entendre que el moviment Brownià era una prova de l’estructura molecular de l’aigua (i d’altres líquids i gasos), però a més ens va explicar com calcular el nombre de molècules. Gràcies a Einstein, ara sabem que cada 18 grams d’aigua contenen 601.698 trilions de molècules, que a cada centímetre cúbic n’hi ha 33.428 trilions, que la massa de cada una d’elles és evidentment un gram dividit per 33.428 trilions, i que el nombre de molècules que tinc en el meu got d’un quart de litre d’aigua és igual a 8 quadrilions i 356.917 trilions. Tot, gràcies a poder mesurar l’efecte que tenen els xocs aleatoris de tota aquesta munió de molècules sobre alguns grans microscòpics de pol·len. Per primera vegada, algú ens havia donat eines per a mesurar el domini atòmic. I la troballa no va ser només la idea, sinó la precisió dels resultats.

Albert Einstein va tancar un capítol de la historia de l’estructura de la matèria amb una elegància indiscutible. Tot havia començat amb Antoine Lavoisier, que l’any 1789, cinc anys abans que el matessin, va escriure el primer llibre de química moderna després de descobrir l’oxigen i els mecanismes de la combustió. Havia continuat amb John Dalton, que, entre 1802 i 1808, va fer la hipòtesi que la matèria estava formada d’àtoms, que els àtoms es combinaven en relacions enteres simples, i que era possible deduir els pesos relatius dels àtoms de diferents elements. I amb Amedeo Avogadro, que l’any 1811, per a combinar els treballs de Dalton sobre l’estructura atòmica de la matèria amb la llei dels gasos de Joseph Louis Gay-Lussac, va fer la gran hipòtesi: que dos volums iguals de gasos diferents, tots dos a la mateixa temperatura i pressió, contenen el mateix nombre de molècules. Molt després, l’any 1874, el químic rus Dmitri Mendeléiev, basant-se en el mètode d’Stanislao Cannizzaro per determinar masses atòmiques de diferents gasos, va establir la llei dels gasos ideals, va poder repartir els elements químics coneguts a la taula periòdica que va proposar quasi en paral·lel amb Lothar Meyer, i va poder predir l’existència d’elements encara no descoberts. Però va ser Einstein qui ens va regalar l’eina per a quantificar-ho tot, explicant-nos com calcular la quantitat d’àtoms o molècules en un mol de qualsevol solvent (el que ara s’anomena nombre d’Avogadro). Per primera vegada, només mesurant els moviments del pol·len vam saber obrir les portes del món atòmic.

Tot plegat, és un exemple sublim d’on podem arribar (més ben dit, d’on poden arribar algunes persones) només pensant i deduint. Perquè la formula d’Einstein que teniu a dalt és el miracle que ens permet saber, mesurant simplement la velocitat de difusió d’un colorant o el moviment del pol·len damunt l’aigua, quantes molècules hi ha al nostre got d’aigua, i quin és el pes (de fet, la massa) de cada una d’elles. Albert Einstein ens va ensenyar que podem entendre allò que és però que no podem veure, si sabem fer bones deduccions a partir del que sí veiem i observem de manera fiable. Observar, pensar, entendre, deduir, descobrir, són els grans principis de la ciència. I després actuar, perquè la ciència és la mare de l’enginyeria. Tot plegat, tenint ben presents dos aspectes essencials. Primer: quan observem, hem d’evitar que ens enganyin i hem d’estudiar els fets amb total objectivitat (això és especialment rellevant, en aquest món de falses veritats). I el segon: quan actuem, no ens oblidem de l’ètica. Nulle dia sine etica.

———

Per cert, l’Amador Fernández-Savater reivindica la capacitat de pensar i actuar, per sortir de la posició espectadora que no canvia res. Diu que sense pensament no hi ha creació, i que sense creació quedem atrapats en alternatives infernals, diu que la lluita és un regal que ens permet aprendre, junt amb els altres.

———

NOTA: L’article d’Einstein de l’any 1905 sobre el moviment Brownià és un viatge pels mètodes moderns de la matemàtica i la física. Utilitza les variables d’estat que ara emprem en l’estudi dels sistemes dinàmics, la teoria cinètica del calor (o dels gasos) de Boltzmann, el concepte de molècula (amb una estimació aproximada del nombre d’Avogadro), la llei dels gasos perfectes, el concepte d’entropia, les lleis de la dinàmica de Newton, de la difusió i de la pressió osmòtica, la integració analítica per a poder quantificar comportaments macroscòpics, la hipòtesi d’independència entre diferents partícules, la interpretació del coeficient de difusió com la constant de proporcionalitat entre les derivades espacials i la temporal a l’equació en derivades parcials de la difusió…

En tot cas, les dues grans aportacions de l’article són la deducció de la formula de la difusió, i la del desplaçament de les partícules. A la primera, Einstein aconsegueix calcular el coeficient de difusió (per exemple, d’una gota de colorant vermell en un got d’aigua) només en funció de la temperatura, la viscositat de l’aigua i el radi de les molècules de colorant. A la segona, dona la formula per a calcular la mitjana quadràtica dels desplaçaments de les partícules (de pol·len, colorant o del que sigui) en una determinada direcció x, en funció del coeficient de difusió i del temps. La formula de dalt surt d’eliminar la variable que mesura el coeficient de difusió que surt a aquestes dues equacions. Permet calcular N (el nombre de molècules que conté un mol de qualsevol substància química) com la inversa de la mitjana quadràtica dels desplaçaments de les partícules (cal observar que Einstein representava el nombre 1 per la lletra “I”), multiplicada per R*T (R es la constant dels gasos i T és la temperatura absoluta en graus Kelvin, vegeu a sota) i dividida pel producte de 3 pi per k i per P (on k és la viscositat del solvent i P és el radi de les partícules o molècules del solut. Per cert, és interessant que la formula contingui el nombre pi, oi? La importància del que és rodó també la trobem al món atòmic…

Aquesta formula de Einstein va permetre, només 4 anys després, que el físic francès Jean Perrin determinés el valor del nombre d’Avogadro N a partir de mesures experimentals del moviment Brownià. Perrin va deduir que el valor de N era 6,7 per 10 elevat a la potència 23. Després, aquest nombre N de molècules que conté un mol de qualsevol substància química s’ha acabat fixant en 6,022 per 10 a la 23. Un mol d’aigua, per exemple, són 18,015 grams o centímetres cúbics d’aigua.

La llei dels gasos perfectes diu que el producte P.V (pressió per volum) és igual a n per R per T, on n és la quantitat de gas (en mols), R es la constant dels gasos, i T és la temperatura absoluta en graus Kelvin.

Aquesta pàgina inclou dues simulacions animades del moviment Brownià.