Entrades amb l'etiqueta ‘eix de la terra’

El dia de les ombres allargades

dijous, 27/12/2018

A Vilassar de Mar, al migdia, l’alçada màxima del Sol sobre l’horitzó és de 65 graus el dia 21 de juny, mentre que el 21 de desembre només és de 18 graus. Però si volem saber aquests valors per al lloc on vivim, només hem de conèixer el valor de la nostra latitud (a Vilassar és de 41,5 graus) i sumar-li i restar-li l’angle d’inclinació de l’eix de la Terra que com sabem és de 23,5 graus.

Al solstici d’hivern, el Sol només arriba als 18 graus d’alçada. Molt poc, oi? Fred, foscor, ombres allargades, la vida vegetal que s’atura per manca de llum solar. És el presagi de l’hivern que vindrà per acumulació de dies i setmanes en les que el Sol escalfa més l’hemisferi sud que el nord.

Però de fet, i com hem anat sabent a partir de Copèrnic, el causant dels solsticis no és el Sol, sino el nostre planeta, que té un moviment de rotació que no lliga amb la seva òrbita al voltant del Sol. La imatge (aquesta) d’aquesta pàgina web ho explica ben clar i mostra un fenomen que és menys conegut del que ens pensem: la direcció de l’eix de la Terra, en relació als estels llunyans, no canvia al llarg de l’any (el cert és que sí que canvia una mica, perquè l’eix de la Terra descriu un moviment de precessió com el d’una baldufa, que li fa completar una oscil·lació cada 25 mil anys; però en la nostra escala de temps, podem considerar-lo totalment estable i constant). I l’eix de rotació no pot canviar durant els mesos de l’any perquè les lleis de la dinàmica de Newton ho impedeixen (vegeu la nota al final).

El solstici d’hivern sol ser el 21 o el 22 de desembre, segons l’any. Ara bé, de fet i parlant correctament, el solstici no és un dia: és un instant. Hi ha qui ens explica que el solstici d’hivern es produeix quan l’eix de la Terra està inclinat de manera que el pol nord es troba totalment a la banda contrària del Sol, en relació al centre de la Terra. Però crec que és més fàcil d’entendre-ho si ens ajudem amb un pla i dues rectes. Si ho voleu explicar als nens, comenceu per agafar un full de paper, que representarà el pla de la nostra òrbita (l’anomenat pla de l’eclíptica). Marqueu el Sol al centre i dibuixeu un cercle que indicarà l’òrbita de la Terra (és el·líptica però la podem aproximar per un cercle). Ara, travesseu el paper amb un llapis A, perpendicular al paper, justament pel punt on heu marcat la posició del Sol. I, amb un altre llapis B inclinat respecte el primer que representarà l’eix de la Terra com podeu veure a la imatge d’abans, aneu recorrent l’òrbita. La Terra gira cada dia al voltant de B i una vegada cada any al voltant de A sense modificar mai la direcció del seu eix B. Imagineu ara les rectes rA i rB que allarguen els llapis A i B fins l’infinit per les seves dues bandes. Veureu que aquestes rectes rA i rB es tallen només dues vegades al llarg de l’any, en dos punts oposats de l’òrbita de la Terra, mentre que tota la resta de l’any no es toquen. Aquests dos instants màgics en els que rA i rB es tallen, són els solsticis d’estiu i hivern.

No hem de confondre els solsticis amb el periheli i afeli, punts de l’òrbita en què la Terra es troba el més propera possible del Sol i el més allunyada possible del Sol, respectivament. De fet, la Terra a l’hivern és més a prop del Sol que a l’estiu. Aquest any, el periheli serà el dia 3 de gener, 13 dies després del solstici d’hivern. Les estacions no depenen de la distància al Sol sino de la inclinació de l’eix de la Terra.

I, parlant de plans, tot plegat es torna menys antropocèntric a mesura que ens allunyem del sistema solar. Perquè el pla de l’eclíptica és bastant arbitrari. Es va anar concretant durant tot el lent procès en el qual la matèria va anar quedant atrapada per l’atracció solar, i és força coincident amb el pla de les òrbites dels altres planetes. Però és ben diferent del pla de la nostra galàxia, com podeu veure en aquest vídeo. El pla principal de la Via Làctia, aquest pla P que el Sol orbita cada 230 milions d’anys, és un altre pla de referència que ens és desconegut i llunyà, encara que no deixa de ser bonic pensar que el Sol, des de l’aparició dels dinosaures fins ara, hi ha donat justament tota una volta, passejant per P la vida que anava creixent al nostre planeta. Encara que no hi pensem gaire, som ciutadans insignificants que vivim prop del pla principal de la Via Làctia.

Tot i que, ben pensat, per què diem que la Terra, des de l’espai, es veu amb l’hemisferi nord a dalt? Veient la inclinació del pla principal de la Via Làctia respecte l’eclíptica (i pensant en l’orientació de totes les demés galàxies) és clar que hi ha infinits possibles observadors, i que la Terra “es pot veure” amb el pol nord a dalt o amb el pol nord a sota. És per això que m’agrada capgirar les boles del món dels meus amics i deixar-les com la que veieu a la imatge de dalt, de manera que Àfrica i els països del sud quedin més rellevants. La bola del món de la imatge, en una posició que correspon més o menys al solstici d’hivern i on nosaltres som quasi a sota del tot, és tan vàlida i correcta com totes les que trobareu a les botigues. Mirar-la, fa pensar.

Diuen que els humans ens tornem violents quan tenim por, però també quan veiem coses que no entenem. Perquè la ignorància, que es pot intentar abordar amb una anàlisi científica dels fets, també ens porta malauradament als mites, als dogmes, a la veritat que creiem que només tenim nosaltres, i a la violència contra “els altres”. Només cal mirar el cas d’en Giordano Bruno o el judici a Galileo Galilei. L’instint fa que tinguem ganes de destruir aquells qui qüestionen les nostres “veritats”. I de fet, els mites poden acabar generant violència mentre que en canvi, la ciència ens acosta a la pau. La ciència ens ajuda a entendre que no és que el Sol pugi a l’estiu i baixi a l’hivern, sino que simplement tot és degut a que l’eix de la Terra manté la seva direcció. Ens explica també que totes les persones tenim la mateixa dignitat i que tots som part d’un sistema ecològic que podem aprendre a cuidar, però que també podem destruir amb la nostra cobdicia i violència. I ara, després d’entendre que l’eix de la Terra es manté invariant, seria fantàstic que fóssim capaços d’entendre que l’equilibri de la vida a la Terra també s’ha de mantenir invariant…

——

Per cert, en Sebastià Alzamora parla de la violència i diu que és el comportament més primari de l’espècie humana, a més de ser un fet polític. Diu que un ésser humà, igual que qualsevol animal, pega, fereix o mata quan té por o se sent acorralat o amenaçat; però que, a diferència dels animals, l’ésser humà es torna també violent davant del que ignora: els animals esquivaran allò que no coneixen, però l’ésser humà de vegades s’hi torna i intenta destruir-ho. Diu que aquests dos paràmetres, la por i la ignorància, expliquen gairebé tots els actes de violència que saturen l’actualitat.

——

NOTA: Val a dir que l’estrany seria que la direcció de l’eix de la Terra anés canviant perquè, com bé ens va explicar Isaac Newton, els moviments de translació i rotació sempre són independents. El centre de gravetat de la Terra, que més o menys és el centre de la geoide, es mou al llarg de l’any en una òrbita el·líptica en el pla que anomenem de l’eclíptica, mentre la Terra gira cada dia al voltant del seu eix, que no canvia en absència de parells de forces exteriors.

Si voleu saber quin és l’angle (invariant) entre l’eix de la Terra i el vector normal al pla galàctic, mireu aquesta pàgina web i els seus dibuixos. L’angle és de  62,9 graus.

El sol i la paret del fons

divendres, 27/07/2018

A l’hivern, m’entrarà el sol per la finestra i escalfarà la paret del fons?  Arribarà fins al passadís?

Per saber les respostes a aquestes preguntes cal seguir una sèrie de passos ben senzills, que podrem fer sense problemes si perdem, per una estona, aquesta maleïda i quasi universal por a les matemàtiques. L’algorisme (perquè el conjunt de passos que cal seguir per a resoldre un determinat problema és un algorisme) el podeu trobar a la nota del final. Hauré de definir correctament la direcció D que m’interessa, que no és altra que la que hauran de tenir els raigs de Sol que voldria que entressin per la finestra i escalfessin la paret del fons. Hauré de conèixer també la direcció E de l’eix de la Terra. I ara, saben D i E, només em caldrà calcular l’angle entre aquestes dues direccions i cercar (en una taula com aquesta o a la informació geogràfica del meu municipi) la latitud L del lloc on soc. Si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, la resposta és afirmativa: en algun moment de l’any, la llum del Sol entrarà per la finestra i il·luminarà el punt de la paret o del passadís que vull. Si no es troba entre aquests dos valors, la resposta és negativa (vegeu la nota al final).

La simplicitat del problema, un cop sabem l’angle entre D i E, és sorprenent, oi? De fet, ens sorprèn perquè tendim a pensar que som el centre del món i fins i tot de l’Univers, i que caminem ben drets i verticals. Però ho entendríem millor tot plegat si penséssim que la nostra vertical és tan vàlida com la dels habitants del Iemen o de Nova Zelanda, que el nostre planeta té una única direcció singular (la del seu eix E), i que aquesta direcció, comú a tothom, és la important.

Hi ha una segona dificultat, interessant i curiosa a la vegada: el nostre sistema cognitiu està molt més adaptat a pensar en termes de punts i distàncies que a imaginar direccions i angles. La prova és que ens és molt més fàcil fer una estimació de la distància entre dos punts del nostre poble o ciutat (per exemple, comptant els passos) que dir quina és la direcció d’un determinat carrer (definida pel seu angle respecte la direcció del nord) o bé fer una estimació de l’angle entre dos carrers que no siguin perpendiculars. Els vectors, que defineixen les direccions, són subtils i abstractes… I tot plegat és ben trist, perquè per explicar bé com està posada una cosa, hem de parlar forçosament de la seva posició i de la seva orientació (que implica direccions). Com explicaríeu, amb precisió i per carta o e-mail, les trajectòries del vol de les orenetes al capvespre a una persona llunyana?

Molts d’aquests conceptes i dels que surten a la nota del final són senzills i probablement haurien de formar part d’allò que anomenem “cultura general”. De fet penso que, si no som capaços de preveure el moviment del Sol, difícilment podrem entendre una cosa tan complicada com és el comportament de la gent que ens envolta. Perquè les matemàtiques i el raonament abstracte poden ser una bona eina per sortir del nostre castell egocèntric i per poder empatitzar amb els altres, siguin propers (els fills o néts adolescents, per exemple) o llunyans (els refugiats i la gent que viu en situacions de conflicte i violència). És bo saber que la nostra vertical no és millor que la dels que malviuen al Iemen o a la República Centreafricana. Qui camina de cap per avall: els que viuen a Nova Zelanda o nosaltres?

———

Per cert, la Sonia Khediri, italiana i empresonada per l’Estat Islàmic, explica que el seu marit es va negar a convertir-se en combatent de l’EI. “Si no lluitaves et mataven”, diu. Però finalment no el va matar l’Estat Islàmic, sino la coalició internacional amb un dron, perquè una nit es va deixar el wifi encès. Aquest és un dels “sofisticats algorismes intel·ligents” dels drons occidentals: els drons ataquen i maten la gent que usa wifi, perquè diuen que a Raqqa, només l’EI té wifi. Qui jutjarà els responsables de morts com aquesta?

———

NOTA: Hi ha dues maneres (dos algorismes) diferents per a trobar l’angle entre els vectors D i E. La primera és manual, i consisteix en materialitzar aquestes dues direccions amb dos fils o cordills. El primer, que ens defineix la direcció D, el fixem un punt F de la finestra i el punt P de la paret o del terra on volem saber si ens arribarà el Sol a l’hivern. El segon, que ens marcarà la direcció E de l’eix de la Terra, l’haurem de col·locar a la nit, probablement entre la branca d’algun arbre i una estaca clavada a terra, de manera que ens senyali la direcció a la estrella polar. En aquest cas, la dificultat la tindrem quan vulguem mesurar l’angle entre els dos cordills, perquè probablement un d’ells el tindrem dins de casa i l’altra, fora.

Si preferiu l’altra solució, necessitareu una plomada, una caixa gran de cartró o fusta, i una cinta mètrica. També us caldrà saber el migdia solar, que varia cada dia de l’any i és diferent segons el lloc on siguem. Però només heu d’anar a aquesta pàgina web, escriure el lloc on sou, i a baix a la dreta veureu que us diu l’hora del migdia solar. A més, farem servir coordenades cartesianes per definir els punts F, P i el vector D. Aquestes coordenades les va proposar en René Descartes, quan sembla que era al llit curant-se d’una grip i anava mirant el vol d’una mosca. En Descartes va veure que, si anava apuntant a cada moment la distància de la mosca a dues parets i al terra, aquests tres valors anaven determinant de manera exacta la posició de la mosca i per tant el seu moviment. Va ser una idea aparentment senzilla, però que va obrir la porta de la geometria analítica, que ara ens permet treballar numèricament amb els elements geomètrics. En record seu, parlem de coordenades cartesianes.

En definitiva, aquest és l’algorisme per determinar l’angle entre D i E:
1) Esperem al migdia solar i, amb l’ajut d’una plomada, marquem al terra la direcció nord, que és la direcció contrària a la de l’ombra del fil de la plomada. Aquesta serà la direcció de l’eix X del nostre sistema de coordenades.
2) Deixem una caixa al terra just al costat del fil de la plomada, de manera que una de les cantonades de la seva base segueixi la direcció nord i una altra marqui la direcció oest. La plomada ens senyalarà un dels vèrtexs de la caixa, que serà el nostre origen de coordenades, O. Guardem la plomada.
3) Ara ja tenim un sistema de coordenades cartesià, que ens queda definit per tres de les arestes de la caixa. La que va en direcció nord és l’eix X, la que mira a l’oest és l’eix Y, i la vertical que surt del mateix vèrtex de la caixa que els dos eixos anteriors, és l’eix Z. Les dues “parets de Descartes” són les cares verticals de la caixa que segueixen les direccions nord i oest.
4) En aquest sistema de coordenades, mesurem les coordenades (X,Y,Z) del punt F de la finestra i del punt P de la paret en els que hauríem fixat el cordill en el cas de la solució manual. Una manera fàcil de fer-ho és passar de 3D a 2D, marcant a terra els punts F1 i P1 que es troben just sota i a la vertical de F i P. Les distàncies entre F i P i els seus corresponents punts a terra són les coordenades Z, i les coordenades X, Y són les longituds dels rectangles que podem formar amb els punts F1 i O (o bé P1 i O) en diagonal.
5) Per a calcular els components del vector D només cal restar les coordenades de F menys les de P, i així obtenim uns primers components provisionals. Per exemple, el component provisional X de D és la coordenada X de F menys la coordenada X de P, i el mateix pel que fa als components provisionals Y i Z. Ara bé, un cop tenim el vector D, l’hem de normalitzar amb el teorema de Pitàgores: elevem al quadrat cada un dels seus components provisionals, sumem els tres valors, i calculem l’arrel quadrada d’aquest resultat, que li direm M. Finalment, dividim els tres components provisionals de D per M, i ara sí que tenim els components reals del vector unitari que defineix la direcció D.
6) D’altra banda, l’expressió del vector E és immediata, en aquest sistema de coordenades: el seu component X és el cosinus de L, el seu component Y és zero, i el component Z és el sinus de L, perquè la direcció de l’eix de la Terra mira al nord i només depèn de la longitud geogràfica del lloc on som.
7) El cosinus de l’angle entre els dos vectors unitaris D i E es calcula ara amb només tres multiplicacions i dues sumes, perquè és l’anomenat producte escalar entre D i E. Cal multiplicar els components X de D i E, sumar el resultat al producte dels components Y de D i E, i sumar el resultat de la primera suma amb el producte dels components Z de D i E. Ara, només cal preguntar a Google quin és l’angle que té aquest cosinus.

Finalment, cal observar que el raonament que fa que pugui resoldre el problema en base a veure si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, és ben senzill: Els raigs de Sol sempre arriben dins el pla de l’eclíptica, en una direcció que forma un angle amb E tal que al llarg de l’any varia entre 23,5 i -23,5. Per tant, per un determinat punt de la Terra de latitud L, l’angle entre D i E al llarg de l’any escombrarà tots els valors continguts entre L – 23,5 i L + 23,5 (si volem ser rigorosos haurem de dir que de fet, el Sol té un moviment aparent quasi helicoïdal de manera que l’angle entre D i E acaba recorrent un total de 365/2 trajectòries discretes entre L – 23,5 i L + 23,5; però això seria filar molt prim).

En el meu raonament, he aproximat l’angle entre l’equador i l’eclíptica, que és de 23 graus i 26 minuts, per 23,5 graus.

El Sol, aquest desconegut

dijous, 26/01/2017

Una pregunta que tal vegada podeu plantejar quan sigueu en una trobada d’amics que acceptin parlar de temes científics, és quina és la forma que descriu l’ombra de la punta d’un pal, un dia assolellat.

La resposta hauria de ser senzilla, però observareu que habitualment molta gent no l’encerta. Cada moment, la recta S que uneix la punta del pal amb la seva ombra al terra ens indica la direcció cap al Sol. Doncs bé, al llarg del dia, aquesta recta S descriu un con (una paperina, una superfície cònica) amb vèrtex a la punta P del pal (vegeu la nota al final). El fet que no en siguem conscients és degut, probablement, a que l’eix d’aquest con, que passa pel punt P, és paral·lel a l’eix de la Terra. I l’eix de la Terra té una orientació “estranya”, inclinada cap al nord i en direcció a la Polar. L’error dels nostres avantpassats i la dificultat que tenim per entendre el moviment aparent del Sol és fruit de la nostra manera provinciana de mirar i entendre el món. Creiem que caminem ben drets i eixerits, escalfats per un Sol que a l’estiu és més amunt i després més avall. Però habitem la Terra, i el nostre planeta té una única direcció singular: la del seu eix E. Som éssers que vivim torçats, inclinats en relació a l’eix E i en relació als altres. Quan els d’Igualada caminen, la seva vertical forma un angle de 48,42 graus amb l’eix de la Terra. Aquest angle és 49,28 de graus pels d’Amposta i de 62 graus pels que viuen a Tenerife. Quina és la direcció de referència, la meva o la de l’eix de la Terra?

Tot es més fàcil si acceptem que l’important, al nostre planeta, és la rotació al voltant del seu eix E, i que som nosaltres els que tenim una vertical estranya i diferent de la direcció d’aquest eix. L’astronomia, començant pel moviment del Sol, s’entén molt millor quan ens situem de manera coherent amb aquest eix singular del planeta. No és gaire difícil. Només cal construir un quadrat de cartró o fusta, fer-hi passar un eix perpendicular com el que veieu a la imatge, i ajustar la dimensió d’aquest eix per tal que l’angle entre el pla quadrat i el terra (o la taula) sigui igual a 90 menys la latitud. A Puigcerdà, aquest angle haurà de ser de 90 – 42,43 = 47,57 graus, mentre que a Amposta serà de 90 – 40,72 = 49,28 graus. Ara, si girem el conjunt fins que la part superior de l’eix s’orienti cap al nord (ho podem fer mirant la direcció de l’ombra del fil d’una plomada en el moment del migdia solar), ja ho tindrem tot preparat. Tindrem un petit laboratori solar amb un quadrat pla paral·lel a l’equador i una vareta paral·lela a l’eix E de la Terra. Imaginem que poguéssim fer tot aquest sistema a mida humana i que ens estiréssim unes hores al llarg de la vareta o gnòmon. Veuríem l’absoluta regularitat del moviment diürn del Sol. De fet, i degut a aquest moviment solar que és cònic, hem entès que els rellotges de sol són més senzills quan el gnòmon té la direcció de E i quan projecten l’ombra en una superfície disposada de manera simètrica al voltant d’aquest gnòmon.

Hi ha dos exemples evidents de rellotges de Sol amb gnòmon segons la direcció de l’eix de la Terra i superfície disposada de manera simètrica al seu voltant: els rellotges equatorials (de superfície plana) i els cilíndrics. El primer és el que teniu per exemple a la part superior esquerra de la imatge de dalt, i que podeu trobar amb més detalls en aquesta web. El Sol gira uniformement al voltant del gnòmon de manera que la direcció de l’ombra gira 360/24 = 15 graus cada hora; per tant, en un rellotge equatorial, les línies de les hores solars són radials i equidistants. Però podem fer-ho encara millor, com ho van fer els que van construir el rellotge equatorial (i molts més) a Jantar Mantar ara fa tres segles. Com que el moviment diürn del Sol genera un con, si ajustem la longitud del gnòmon i el fem curt de manera que el con intersequi el pla equatorial del rellotge, l’ombra anirà seguint cada dia un cercle perfecte. L’angle de l’ombra ens dirà l’hora mentre el seu radi ens farà de calendari. A la imatge de baix a la dreta (que podeu trobar a aquesta web) teniu la divisió del pla equatorial del rellotge de Jantar Mantar en radis horaris i en cercles que marquen el calendari. Aquí podeu trobar més dades sobre aquest rellotge i sobre tot el complex astronòmic de Jaipur.

En un rellotge equatorial tot és geomètricament simple i didàctic, perquè ens hem adaptat a l’orientació de l’eix de gir del nostre planeta. El Sol gira 15 graus cada hora, estiu i hivern (en hora solar, això sí; vegeu el comentari a la nota del final). D’altra banda, el radi dels cercles que van marcant el con solar cada dia i fan de calendari és molt fàcil de calcular (vegeu un cop més la nota al final). El 21 de juny el cercle és petit perquè el Sol és ben amunt al cel. Després, el con solar es va obrint, i els cercles es van fent més i més grans fins que el 21 de setembre, el con es fa pla i el cercle és immens, desbordant el pla del nostre rellotge. Llavors, a partir del 21 de setembre, tot canvia com per art de màgia. El Sol deixa d’il·luminar la cara superior del nostre rellotge i passa a la cara de sota, que és on es projectarà l’ombra de la part inferior del gnòmon durant la tardor i l’hivern. El con es va tancant, cada cop el radi dels cercles és més petit, i el 21 de desembre ens mostra el seu valor més petit. En d’altres paraules, veiem l’ombra a la part superior entre el 21 de març i el 21 de setembre, i en canvi la tenim a la part inferior els altres sis mesos de l’any. Tot és increïblement regular, senzill i repetitiu. És quelcom que sabien molt bé els constructors del rellotge de Jantar Mantar quan van fer les dues cares, una per la primavera-estiu i una altra per la tardor-hivern.

Podríem pensar també en rellotges esfèrics amb gnòmon segons la direcció de l’eix de la Terra, però permeteu-me que citi el cilíndric perquè conserva la simplicitat didàctica de l’equatorial a la vegada que ens dona encara més informació. La idea és ben senzilla: es tracta de recollir l’ombra del gnòmon en una superfície cilíndrica al voltant del gnòmon i per tant orientada també segons l’eix de la Terra. Aquest rellotge marca l’hora solar, és també calendari, i a més, si l’escapcem com si el talléssim amb un ganivet horitzontal (aquesta web explica com fer-ho), ens mostra el punt de l’horitzó per on sortirà el Sol i per on es posarà en qualsevol data de l’any. No és bonic?

Sempre m’he preguntat com és que pensem que podrem entendre el comportament humà i millorar la nostra societat si estem tan pendents de nosaltres mateixos i del nostre entorn proper que no pensem en quasi res més. De fet, encara que sembli estrany, el Sol ens pot ajudar: si tanquem els ulls, visualitzem la direcció de l’eix de la Terra i imaginem el nostre gir perpetu al seu voltant, ben aviat ens adonarem que la nostra pretesa verticalitat és un mite. El vertigen de pensar que caminem inclinats en un planeta que es mou com una baldufa tal vegada ens recol·loqui i ens faci veure que estem obligats a entendre’ns i a viure els uns al costat dels altres, com ens deien Kant, Fuller o Bauman.

———

Per cert, en Eduardo Martínez Abascal explica que la família mitjana a Espanya (uns 12 milions d’abonats) paga uns 45 euros al mes en electricitat. Diu que tenim el tercer preu més car dins de la Unió Europea, després de Dinamarca i Alemanya… Com deien els romans: Cui prodest?

———

NOTA: Imaginem la direcció definida per una certa recta S. Imaginem ara que aquesta direcció (que és un vector, parlant en termes geomètrics) gira al voltant d’un determinat eix E. És clar que el conjunt de direccions definides per una rotació arbitrària de S al voltant de E, que podem expressar com Rotació(S,E,alfa) per qualsevol valor de alfa, formen un con d’eix E. És el con que veurem si fem girar ràpidament un paraigua sense tela al que només li quedin les barnilles. Imaginem ara que la direcció S és invariant, però que som nosaltres els que girem al voltant de E. Com que el moviment és relatiu, el resultat també serà un con.

Això és exactament el que passa quan estudiem el moviment del Sol. Nosaltres (i tot el que ens envolta) girem al voltant de l’eix de la Terra, mentre que la direcció S de la Terra al Sol, vista per un observador inercial i extern al sistema solar, és aproximadament constant al llarg d’un dia. Per això, la recta S que uneix la punta del pal amb la seva ombra al terra descriu un con. Ara bé, de fet, i per ser precisos, hauríem de parlar d’un quasi-con, perquè és clar que l’endemà, S haurà canviat lleugerament tot girant un angle de quasi un grau (ha de girar 360 graus en 365 dies). La trajectòria del Sol, definida per la variació de la direcció S al llarg del dia, és per tant un quasi-con que no acaba de tancar perquè es va convertint en el quasi-con del dia següent. El quasi-con solar comença el màxim de tancat a cada solstici, es va obrint lentament com el full d’una immensa paperina que va aplanant-se, arriba a ser pla i geomètricament degenerat quan arriba el següent equinocci, i després torna a tancar-se lentament a l’altra banda del pla en el seu camí cap al següent solstici en un moviment harmoniós que ens fa recorda les flors de la xicoira o la calèndula (de fet i òbviament, mogudes pel Sol).

El rellotge equatorial descrit a dalt mostra l’hora solar. Pot mostrar també l’hora oficial si les línies de les hores, en comptes de marcar-les com a radis, les corbem lleugerament de manera que codifiquin l’equació del temps. Però en aquest cas caldria construir dos rellotges: un d’estiu-tardor que marcaria les hores i calendari d’estiu entre el 21 de juny i el 21 de setembre a la cara superior i el mateix per al període entre el 21 de setembre i el 21 de desembre a la cara inferior, i un altre d’hivern-primavera que serviria per l’hivern a la cara inferior i per la primavera a la seva cara superior. Això és degut a que l’equació del temps no és simètrica al llarg de l’any.

En un rellotge equatorial tot és geomètricament simple i didàctic, perquè ens hem adaptat a l’orientació del gir terrestre. El radi dels cercles que van marcant el con solar cada dia i fan de calendari és molt fàcil de calcular: només cal saber la declinació del Sol (l’angle del con solar per damunt o per sota del pla equatorial) i dividir la longitud del gnòmon que sobresurt del pla per la tangent d’aquest angle. Cal observar que la declinació solar al llarg de l’any (que podeu trobar en taules com aquesta) és la mateixa per a tots els punts del planeta.

Rellotges de sol digitals

dimecres, 25/06/2014

Rellotge_Sol_Selva_Camp.jpg A la Selva del Camp, l’ajuntament ha construït aquest monumental rellotge de Sol digital, de tres metres d’alçada. És a la rotonda d’entrada pel sud, a l’accés a la Selva des de la carretera de Reus a Alcover, damunt d’una representació en pedra de la rosa dels vents.

La idea és fàcil d’entendre, com en molts rellotges de sol. Enlloc de tenir un estil o gnòmon que fa ombra, aquí el gnòmon és una línia recta pintada damunt d’un gran quadrilàter de ferro. La llum del Sol passa pels forats de l’arcada del rellotge i els projecta damunt la placa de ferro. Fixeu-vos que en aquesta arcada hi ha totes les hores des de les 6 del matí fins les 6 de la tarda, i que en cada cas, sota el dígit de l’hora, hi ha un foradet. Quan la llum que travessa el foradet corresponent a les 9 del matí il·lumina la línia del gnòmon també s’hi projecta el nombre 9 per a que sapiguem que són les nou, hora solar. Podeu veure que, a més, l’arcada té un forat just en mig de cada dues hores, per a que el rellotge pugui marcar les mitges hores.

Alguns dels trets d’aquest rellotge en són essencials, mentre que d’altres només en són artístics. El més important, si voleu repetir i adaptar el disseny, és que el gnòmon, la línia recta pintada damunt del quadrilàter, sigui paral·lel a l’eix de la Terra. Ha d’estar dirigit cap al nord, en la direcció que ens assenyala la polar, tot formant un angle respecte el pla horitzontal igual a la latitud del lloc on sou. És bo que la placa que porta dibuixada la línia del gnòmon estigui orientada en direcció est-oest, si voleu que el rellotge marqui tant les hores del matí com les de la tarda. Però el disseny de l’arcada amb els nombres i els forats admet moltes variants. De fet, una opció interessant és fer-la amb un cilindre o arcada cilíndrica d’eix coincident amb la línia del gnòmon. Fer un rellotge de sol és divertit, i a més és un bon exercici per entendre el seu moviment diürn. Aquest moviment aparent del Sol al cel pot semblar aparentment complicat, però s’entén bé si es pensa en termes d’un gnòmon orientat segons l’eix de la Terra. Imagineu un pla que podeu girar al voltant del gnòmon, pla que podeu visualitzar com un full de paper que gira al voltant de l’espiral d’una llibreta. Orienteu l’espiral de la llibreta com el gnòmon, i gireu el full cap al Sol, de manera que cap dels seus dos costats faci ombra. Toqueu l’extrem exterior del full amb la punta d’un llapis, i marqueu, en un dels dos costats del full, la línia d’ombra que us apareix. Aquesta línia, si ara girem el full de paper un angle de 15 graus cada hora, és una molt bona aproximació de la direcció en que anirem trobant el Sol al cel al llarg del dia. Sempre és igual, estiu i hivern, perquè la velocitat de rotació de la Terra és pràcticament constant; la única cosa que canvia és la direcció de la línia d’ombra en el full, que a l’hivern és més baixa i a l’estiu és més alta. La conclusió de tot plegat és que l’únic que cal és marcar els foradets de cada hora a l’arcada en direccions separades per angles de 15 graus (7,5 graus si ho feu cada mitja hora). Després, només haureu de punxonar els nombres de les hores.

La idea d’aprofitar rotondes per a tenir escultures que a la vegada són rellotges de sol és bonica, oi?. I en aquest cas, la idea té l’interès afegit que el rellotge és digital. Hi ha qui dirà que l’hora solar no és precisa ni exacta i que només funciona quan fa bon temps. Però tampoc ens cal més que això, contestaran els del moviment “slow i molts d’altres. Sabem que l’hora solar pot arribar a diferir de l’hora civil en un quart d’hora, però sempre tenim l’equació del temps per a fer les correccions necessàries, si ens cal. I aquests rellotges de sol, que ens sobreviuran, ens recorden que som espurnes en un Univers que segueix i seguirà el seu curs amb seus ritmes immutables.

Aquí a sota teniu un analema solar, fet a la ciutat de Burgos. Un analema és la constatació gràfica de l’equació del temps. Cal molta paciència, per fer-lo. Si en voleu fer un, haureu d’anar fent fotos del Sol, sempre a la mateixa hora, al llarg de tot un any. No cal que feu una foto cada dia, podeu pensar en fer-ne una cada setmana, per exemple. Obtindreu l’analema quan superposeu totes les fotos. Però moltes vegades, els núvols us impediran fer la foto. Només podreu fer-les els dies que faci bon temps. Per això els intervals no són uniformes, en els analemes com el de sota. El dia solar és l’interval de temps entre un migdia i el migdia del dia següent. Els astrònoms (i els navegants) el poden mesurar amb molta precisió perquè al migdia el Sol passa pel meridià, la línia imaginària del cel que uneix la polar, el zenit i la direcció del sud a l’horitzó. Els analemes i l’equació del temps són conseqüència del fet que la durada del dia solar no és constant. Al llarg de l’any, hi ha només quatre dies en els que el dia solar és de 24 hores. Són el 15 d’abril, el 14 de juny, el 2 de setembre i el 25 de desembre. En canvi, al febrer i al novembre ens trobem amb diferències de fins 14 i 16 minuts. Al novembre, el temps solar és més ràpid que el nostre temps civil, i al febrer és més lent. Ara bé, què passaria si féssiu un analema amb un estel determinat, enlloc de fer-ho amb el Sol? Doncs que hi veuríeu una simple línia, la línia del meridià, perquè els dies siderals són tots de la mateixa durada. Encara que menys pràctics, si en construissim, veuriem que els rellotges d’estels són molt més precissos que els de Sol i que marquen bé les hores escurçades dels dies siderals (que tampoc són de 24 hores) sense haver de fer correccions amb l’equació del temps. Sabíeu que el temps que cal per a que les estrelles tornin a passar, al cap d’un dia, per la mateixa posició del cel, és de 23 hores, 56 minuts i 4 segons?

Per cert, Francisco Chico Whitaker diu que no som en una confrontació del 99% contra el 1%. Som en una lluita del 1% dels crítics per a que el 98% desperti, i tots puguem combatre l’altre 1% que és qui dirigeix el sistema.

 

Analema_Solar.jpg

Les postes de Sol i els equinoccis

dimecres, 20/03/2013

PostaSol.jpg Hem sortit al camp i estem gaudint d’una posta de Sol com la de Menorca que teniu a la foto d’aquí al costat. Voldríem compartir l’experiència. Us heu preguntat alguna vegada en quins altres llocs de la Terra estan també gaudint en aquest mateix moment d’una posta de Sol?

Hi ha dos dies a l’any en que és fàcil contestar aquesta pregunta: el de l’equinocci de primavera i el de l’equinocci de tardor. Per això és una pregunta d’actualitat. Justament avui, 20 de març, és l’equinocci de primavera. En els equinoccis, la posta de Sol és simultània en tots els punts de la Terra que són al mateix meridià. En d’altres paraules, avui la posta de Sol és simultània en tots aquells llocs que tenen la mateixa longitud geogràfica. Quan el Sol es pongui aquí, també ho farà a la ciutat de Lomé, a Togo. Però això no passa cap altre dia de l’any.

La línia de crepuscle és la línia de separació entre la part del nostre planeta que està il·luminada pel Sol i la part fosca. Va variant al llarg del dia a causa del gir de la terra. En els mapamundis la veiem com una projecció, que només és vertical els dies dels equinoccis. La seva forma canvia al llarg de l’any i ens explica coses sobre la durada dels dies i les nits i sobre les quatre estacions.

Aquesta aplicació interactiva de l’Agència Europea de l’Espai (ESA) ens mostra l’estat present de la línia de crepuscle (si no la veieu bé, aneu a aquesta web i feu clic al petit mapa que veureu a la dreta). És la imatge que ens mostren els avions de llarg recorregut, però en aquesta web la podem veure sempre i des de qualsevol lloc. Veiem on és de dia i de nit i qui està veient una posta de Sol. També ens mostra (en blau) la trajectòria de l’estació espacial internacional, la seva posició i els punts de la terra des d’on la podem veure al cel (són els de dins de l’el·lipse groga). Amb els botons vermells podreu modificar el temps per fer-lo anar més ràpid, i després tornar a la situació actual. Podeu provar d’entrar-hi diverses vegades al llarg de l’any i veureu que la línia de crepuscle va canviant lentament la seva forma. De fet, el canvi serà força evident les properes setmanes perquè és més ràpid prop dels equinoccis.

La imatge de sota mostra la línia de crepuscle el dia del solstici d’estiu. Fixeu-vos que, a les nostres latituds, el dia és molt més llarg que la nit. A més, es veu clarament que més amunt del cercle polar àrtic de l’hemisferi nord, sempre és de dia. En el moment que representa la imatge, el Sol s’està ponent a la vegada a Alaska, a Xile i a la costa atlàntica d’Argentina. No és una mica sorprenent, que les postes de Sol a les costes americanes del Pacífic i de l’Atlàntic siguin simultànies? D’altra banda, i com també veiem a la imatge, a la Xina està sortint el Sol. Si voleu entendre com evoluciona la línia de crepuscle, imprimiu dues còpies d’aquesta imatge. Feu servir una de les dues còpies de mapa i retalleu l’altra de manera que només us quedi la part fosca, la part que queda per sota de la línia de crepuscle. Si ara poseu la plantilla damunt el mapa i la moveu de dreta a esquerra (fent que la base de la plantilla coincideixi sempre amb la del mapa), veureu en quines zones es va fent de dia i de nit. Recordeu que els punts de la meitat dreta de la plantilla són els punts de la Terra on està sortint el Sol i que els punts de la seva meitat esquerra són els punts de la Terra on s’està ponent. En el solstici d’estiu, el Sol es pon alhora aquí i a la costa oriental de Sud-Àfrica. Si ara capgireu la plantilla i feu coincidir-ne la base amb la part superior del mapa, podreu experimentar el que passa el dia del solstici d’hivern perquè els solsticis són simètrics. A l’hivern i a les nostres latituds, la nit és molt més llarga que el dia.

Podeu trobar més informació i més dades sobre les estacions, els solsticis i els equinoccis en aquesta web, i també en aquesta (i en moltes d’altres). Tant aquesta pàgina com aquesta altra mostren imatges del nostre planeta.

A la realitat tot és més senzill que als mapes perquè no tenim les distorsions pròpies de les projeccions cartogràfiques. Com que el Sol és molt lluny i els seus raigs es poden considerar paral·lels, la Terra sempre té una meitat a les fosques (nit) i una meitat il·luminada (dia). En el globus terraqüi, la separació dia/nit (línia de crepuscle) és un cercle. El pla que conté aquest cercle (pla de crepuscle) talla la terra en dues meitats iguals, i és perpendicular al pla eclíptic perquè aquest pla de l’eclíptica conté tant la trajectòria de la Terra com el Sol. Què passa als equinoccis?  Doncs que els equinoccis són els únics dos instants de l’any en què el pla de crepuscle conté l’eix de la Terra. Sabríeu imaginar quina és la posició relativa entre aquest pla de crepuscle i l’eix de la terra al març, al juny, al setembre i al desembre?

Tal vegada us preguntareu quin sentit té parlar dels equinoccis i de la línia de crepuscle quan estem inundats de problemes i males noticies en aquest món de bogeria. La meva resposta personal (i no sempre transferible) és que la ciència pot ser un bon refugi per descansar i gaudir de la bellesa tot fugint del descontrol, de les injustícies, de la intolerància, de la violència i de la corrupció. La ciència, igual que l’hàbit de llegir, l’art o els esports, és un refugi (temporal, això sí, perquè no hauria de ser un mecanisme per escapar de la realitat). Tant en els solsticis com en els equinoccis, pot ser molt sa observar el cel, deixar anar la ment i pensar-hi tal com feien els nostres avantpassats fa més de dos mil anys, oi?

SolsticiEstiu.jpg

Un experiment de ciència per als nens

dijous, 6/12/2012

RellotgeSolEquatorial.jpg S’acosten festes. Tots tenim fills, néts, nebots o amics que tenen fills. Amb dos talls de cartró i amb menys temps del que costa fer el sopar, si voleu podreu  construir un rellotge de sol equatorial amb què podreu experimentar i ajudar els nens a entendre el moviment aparent del sol i les estacions de l’any. Us animeu?

Els ingredients són un tros de cartró, un regle, una esquadra i un semicercle graduat.

Comencem tallant dues peces de cartró com les que veieu planes damunt la taula, a la imatge: un triangle i un rectangle. Tallem un triangle rectangle amb una base AC de 20 centímetres i l’angle recte al punt C. La base del rectangle serà de 28 centímetres. Us podeu ajudar amb l’esquadra per aconseguir que els angles quedin ben rectes. Però, quan mesurem les alçades abans de tallar el cartró, hem de tenir en compte que depenen de la latitud del lloc on som. L’alçada L del triangle (distància entre B i C) es pot veure que és de 18.4 cm. a Vielha, 18.2 cm. a Cadaqués, 17.4 cm. a Barcelona o 17.2 centímetres a Amposta. A qualsevol altre lloc podem deduir un valor aproximat per interpolació, o bé calcular el valor exacte a partir de les fórmules corresponents (vegeu nota al final). Haurem de fer el mateix per saber l’alçada del rectangle, que ha de ser de 13.6 cm. a Vielha, 13.5 a Cadaqués, 13.1 a Barcelona o 13 centímetres a Amposta.

Passem ara a fer els talls perquè les peces encaixin. Marquem primer les línies on farem els dos talls. Al triangle (ho podem fer amb l’ajut de l’esquadra) marquem la recta perpendicular a l’aresta AB que passa pel punt C. Al rectangle, marquem la vertical pel punt mig de la base, Q. Fem un tall fins la meitat de cada una d’aquestes dues línies per poder encaixar després les dues peces tal com es veu al rellotge ja construït a la part superior de la imatge. Finalment, situem el semicercle graduat sobre la base del rectangle i amb el seu centre al punt Q, i marquem línies cada 15 graus, a més de la línia dels 90 graus que ja teníem. Aquest marcat de línies cada 15 graus s’ha de repetir també a la cara de sota del rectangle, amb el semicercle novament centrat al punt Q.

Encaixem ara les dues peces fent que quedin perpendiculars, i ja tenim el rellotge acabat. Els experiments els farem amb el rellotge damunt d’una taula horitzontal. Els costats que quedaran damunt la taula (com podeu veure a la foto) són la base AC del triangle i la base del rectangle que és oposada al punt Q. Només cal orientar-lo adequadament. Ho podem aconseguir amb una brúixola, fent que el triangle quedi orientat en direcció nord-sud amb els punts B i C mirant al nord i el punt A dirigit al sud. Però, si no tenim brúixola, també el podem orientar tot “posant-lo en hora” amb l’hora solar (vegeu el darrer paràgraf de la nota al final). L’hora solar és aproximadament una hora menys que l’hora oficial en horari d’hivern i dues hores menys a l’estiu. Encara que si ho fem així acabem cometent alguns errors (vegeu nota al final), aquests no afecten pas els resultats dels experiments que podrem fer.

El primer que podrem veure és que el moviment aparent del sol al cel és sempre, estiu i hivern, un moviment regular i uniforme al voltant de l’aresta inclinada del triangle (l’aresta AB). Això passa perquè l’aresta AB és paral·lela a l’eix de rotació de la terra. La terra és la que realment gira. De fet és fàcil veure que, a més, el pla del rectangle ens ha quedat paral·lel a l’equador de la terra. Com que el sol cada dia gira 360 graus, el gir que fa cada hora és de 360/24=15 graus. Si tenim el rellotge ben orientat, al migdia – hora solar – el triangle no fa ombra. Però a mesura que passa el temps, l’ombra de l’aresta AB sobre el rectangle gira uniformement i cada hora que passa va coincidint amb cada una de les ratlletes que hem marcat amb separació de 15 graus. No cal dir que podem subdividir aquests intervals de 15 graus tant com vulguem (sobretot si hem acabat fent el rellotge a una escala més gran) per mesurar quarts d’hora o fraccions de temps més petites. Podeu repetir aquest experiment a l’estiu o a l’hivern i veureu que sempre passa el mateix. L’ombra gira amb precisió astronòmica, a raó de 15 graus cada hora (només amb petites correccions degudes a l’equació del temps, però que són imperceptibles dia a dia).

Si deixeu el rellotge a la intempèrie a una zona on es pugui veure bé el cel i sortiu a mirar-lo una nit estrellada, comprovareu que l’aresta AB apunta cap l’Estrella Polar. Quan mirem la Polar, estem mirant en la direcció de l’eix de rotació de la terra. Les estrelles no fan ombra, però el seu moviment aparent és també d’un gir de gairebé 15 graus cada hora al voltant de la nostra aresta AB. Per cert, sabíeu que el temps que cal perquè les estrelles tornin a passar, al cap d’un dia, per la mateixa posició del cel, és de 23 hores, 56 minuts i 4 segons? (per això abans he usat la paraula “gairebé”). Per què no és de 24 hores? Aquí teniu més informació sobre el dia sideral, el dia solar mitjà i el dia solar vertader.

I a més, el nostre rellotge ens indica les estacions de l’any. A la primavera i a l’estiu (exactament, entre l’equinocci de primavera i el de tardor) el sol és alt i il·lumina la cara superior de la nostra peça rectangular de cartró. A la resta de l’any (tardor i hivern) la cara superior queda a l’ombra i el sol il·lumina la cara de sota. Per això hem marcat els angles de 15 graus a les dues cares: el rectangle té una cara de primavera-estiu i una cara de tardor-hivern…

Acabo amb un experiment una mica més difícil. Ara necessitareu una canyeta de les de beure orxata i un filferro d’uns 40 centímetres. Doblegueu el filferro per la meitat. Us ha de quedar formant dos trams rectes d’uns 20 cm., amb un angle agut entre ells de 67 graus. Poseu ara la canyeta damunt l’aresta AB, i entreu-hi un dels dos trams rectes del filferro de manera que l’angle us quedi a l’extrem superior de la canyeta, prop del punt B. Gireu el filferro (la palleta us fa de coixinet) al voltant de l’aresta AB. Esteu simulant el moviment de la direcció en la que veiem el sol al llarg del dia, ara que al desembre som prop del solstici d’hivern. La direcció del sol cada dia descriu un con, una paperina imaginària, centrada a l’eix AB. Ja teniu un simulador del moviment aparent del sol. Podeu fer el mateix qualsevol altre dia de l’any, però haureu de tornar a doblegar el filferro i canviar l’angle. Als equinoccis, aquest angle ha de ser de 90 graus mentre que al solstici d’estiu l’haureu de doblegar formant un angle greu de 113.43 graus. La màxima diferència entre l’angle de dobleg i els 90 graus és igual a la inclinació de l’eix de la terra respecte l’eclíptica, 23.43 graus.

Nota: L’alçada L del triangle és D*tangent(Lat), on D és la mesura de la base AC (en el nostre cas, 20 cm.) i l’angle Lat és la latitud geogràfica del lloc on som. De la mateixa manera, l’alçada del rectangle és D*sinus(Lat). D’altra banda, és clar que podem fer el rellotge més gran, si volem que sigui més precís. Les dimensions que us he proposat fan que les dues peces de cartró siguin més petites que un full A4, i per tant les podem portar a qualsevol carpeta. Però evidentment podem fer D=30 cm., D=40 cm. o fer D tan gran com vulguem.

Pel que fa a l’hora solar, he dit que és aproximadament una hora menys a l’horari d’hivern i dues hores menys a l’horari d’estiu perquè no estic tenint en compte l’equació del temps i tampoc no estic considerant la longitud geogràfica del lloc on som. A Cadaqués i a Vielha, el sol no passa pas pel seu punt àlgid al cel a la mateixa hora. Als diferents llocs d’un mateix fus horari, l’hora civil és la mateixa però l’hora solar no: l’hora solar depèn de la longitud geogràfica del lloc. A l’estiu, a Vielha hi passa a les 13 hores i 58 minuts, mentre que a Cadaqués ho fa a les 13 hores i 47 minuts. El sol surt abans a Cadaqués i es pon més tard a Vielha…