Entrades amb l'etiqueta ‘els grecs’

Els grecs i l’abstracció

divendres, 11/01/2019

Tenim una paret, com la que conté els punts A i C de la imatge. I ara, volem construir una segona paret a partir del seu punt final A, de manera tal que aquest segon tram formi angle recte amb la paret original A-C.

Si el terreny és pla, podem determinar la direcció de la segona paret amb un mètode, poc conegut, que només requereix disposar d’una corda i quatre estaques: clavem una primera estaca a A, lliguem una segona estaca al final de la corda, la tibem, i clavem aquesta nova estaca en el punt B (tot mirant que la distància de B a la paret A-C sigui menor que la llargada de la corda). Desclavem A i, mantenint l’extrem de la corda a B, anem girant i marcant al terra el cercle vermell de la imatge. Tornem a deixar A al seu lloc inicial, i a més, clavem la tercera estaca C a la intersecció entre el cercle i la paret. Finalment, mirant el punt B des de C, posem la darrera estaca D en el punt del cercle que veiem alineat amb B i C. Amb aquest algorisme d’estaca i corda, podem garantir que la direció entre A i D forma angle recte amb la paret original. Només cal anar fent paret des de A en direcció cap a D.

El que acabem de veure és una recepta pràctica (un algorisme) per a resoldre el problema, molt habitual en el camp de la construcció, de fer cantonades en angle recte. Les receptes matemàtiques per a resoldre determinats problemes no són cap novetat, però. Els egipcis i els babilonis ja en tenien fa 3.800 anys, i les feien servir en molts moments de la seva vida quotidiana que anaven des del càlcul d’impostos a la construcció de temples i ciutats passant per operacions comercials. Val a dir que coneixem la matemàtica babilònica gràcies a les més de 400 tauletes d’argila que els arqueòlegs han anat trobant des de mitjans del segle XIX. Són tauletes que donen solucions funcionals a problemes concrets, amb recursos matemàtics força sofisticats com fraccions, equacions quadràtiques i cúbiques i ternes d’enters que cumpleixen el teorema de Pitàgores. És força impressionant, si pensem que estem parlant bàsicament del periode comprès entre el 1800 a.C. i el 1600 a.C.

La civilització babilònica va acabar amb la caiguda del seu imperi, l’any 539 a.C., poc després de la mort de Tales de Milet l’any 546 a.C. I alguna cosa molt gran va passar en aquelles dècades del segle VI abans de Crist, entre la joventut de Tales (cap al 600 a.C.) i la seva mort. Perquè aquells anys, de la mà de Tales i altres pensadors que han caigut en l’oblit, els grecs van descobrir l’abstracció matemàtica i van començar a crear demostracions i teoremes. Hereus del coneixement matemàtic dels babilonis i egipcis, els grecs van fer el gran salt.

De fet, cal dir que s’ha perdut tot el que va escriure Tales de Milet (que va viure aproximadament entre el 623 a.C. i el 546 a.C.). En sabem d’ell per alguns relats d’Aristòtil així com pel llibre dels Elements d’Euclides, que cita les seves troballes en el camp de la matemàtica i de la geometría. Gràcies a Euclides sabem que fa més de 2500 anys, un dels 7 savis de Grècia, Tales, va deixar de pensar en com resoldre problemes concrets i va demostrar teoremes que, a més de resoldre problemes, ajudaven a entendre les lleis amagades de l’univers.

El que va demostrar Tales de Milet és que, donat qualsevol cercle, si considerem dos punts qualsevols diametralment oposats com poden ser els C i D de la imatge de dalt, per qualsevol altre punt A del cercle, l’angle entre A-C i A-D és recte. Ho podeu veure clarament en aquesta animació de Wikimèdia. És l’anomenat teorema de Tales, que és considerat el primer teorema de la història de la humanitat. La demostració, molt elegant, la teniu a la nota al final. Tot deriva d’una cadena d’afirmacions lògiques, cada una basada en l’anterior i que comencen en ben pocs axiomes, com bé sabem gràcies a Euclides. I acaba en un resultat absolutament general i abstracte que és cert per a tot cercle, per a tota parella de punts diametralment oposats, i per a tot altre punt A. Tres “per a tot” que ens mostren la indiscutible bellesa del descobriment de Tales. Perquè, com diuen, els teoremes formen part de les poques veritats eternes que els humans anem descobrint.

El teorema de Tales és d’una elegancia indiscutible. Només pensant i a partir d’uns quants axiomes (tal com ho va formalitzar Euclides dos segles després), va descobrir una llei que relacionava els angles rectes dels quadrats i rectangles amb la uniforme perfecció dels cercles. Podem tenir dubtes de si Euclides va atribuir a Tales alguns descobriments que tal vegada no eren seus, Però el que sí és clar és que al segle VII a.C. no hi ha proves de l’existència de raonament abstracte, i en canvi quan es van escriure els Elemants al segle III a.C., l’abstracció matemàtica estava totalment consolidada. La revolució de l’abstracció va ser obra dels grecs. El pensament matemàtic abstracte, els axiomes, les demostracions i els teoremes, són regals que ens van fer els grecs, justament (i no és casualitat) mentre anaven creant la filosofía.

Per cert, la imatge de satèlit de dalt mostra les terrasses de pedra seca de Cadaqués en el punt de coordenades (42,287682, 3,26407) pel que fa a latitud i longitud.

——

Per cert, en Joseph Stiglitz parla del “green new deal” dels EEUU, i diu que si no abordem ara els reptes que presenta el canvi climàtic, la càrrega que haurà de suportar la pròxima generació serà enorme. Diu que val més deixar una herència de deutes financers, que d’alguna manera podem gestionar, que no pas enfrontar els nostres fills a un possible desastre mediambiental impossible de gestionar. I de fet, una de les coses que alguns proposen per a tenir ingressos en el “green new deal”, és la d’encongir el complex militar-industrial reduint la despesa militar en un 50%, tancant a més les bases militars dels EUA al voltant del món i creant una nova ronda d’iniciatives de desarmament nuclear.

——

NOTA: El teorema de Tales diu que en qualsevol cercle, si tenim dos punts C i D diametralment oposats, per qualsevol altre punt A de la vora del cercle es compleix que l’angle CAD amb vèrtex A és recte (utilitzo la notació clàssica pels angles, amb tres punts on el vèrtex és el punt del mig). En altres paraules, ens diu que A-C és sempre perpendicular a A-D. Tales ho va demostrar dibuixant el segment que uneix A amb B, i analitzant els triangles ABC i ABD. El primer que va constatar és que tos dos triangles són isòsceles, perquè la longitud dels tres costats A-B, B-C i B-D és idèntica i igual al radi del cercle. Per tant, l’angle ACB és igual a l’angle CAB; l’anomenaré alfa. De la mateixa manera, l’angle BAD és igual a l’angle BDA; l’anomenaré beta. Ara, imaginem que dibuixo una recta paral·lela a C-D que passi pel punt A. Marquem-hi dos punts: C’ a la banda de C, i D’ a la banda de D. L’angle C’AC és igual al ACB, i el D’AD és igual a l’angle BDA, perquè aquesta és la propietat que compleixen les parelles d’angles alterns interns, com bé ens va explicar Euclides. Ara, només cal mirar els angles al voltant de A i veure que les 5 direccions C’-A, C-A, B-A, D-A i D’-A inclouen 4 angles que han de sumar 180 graus perquè C’-A és oposada a D’-A. Per tant, 2*alfa + 2*beta = 180. I d’aquí, Tales va concloure que l’angle CAD = alfa + beta = 90. El seu resultat va ser, és i serà vàlid per qualsevol cercle i per qualsevol posició del punt A. És general, abstracte i perpetu.

Elogi de les interaccions

dijous, 21/06/2018

Quan ens donem un cop amb una porta de ferro, què passa? Ens fem mal perquè la nostra pell xoca amb la matèria sòlida del ferro, amb els seus àtoms?

La resposta és no. No xoquem amb la matèria fèrria sino que som repel·lits, abans d’arribar-hi, per les seves forces atòmiques. Són els electrons exteriors dels àtoms de les cèl·lules de la nostra pell els que són aturats en sec per una immensa força d’interacció que es genera entre ells i els electrons dels àtoms de la capa exterior de la xapa de ferro. Perquè una porta de ferro, bàsicament, és espai buit, sense quasi res de matèria. És el que veiem a la imatge d’aquí al costat (que he tret d’aquest vídeo, força conegut i molt recomanable), que mostra l’aspecte que tenen els objectes que considerem sòlids quan els mirem a una distància de l’ordre d’una centèsima d’Àngstrom (un Àngstrom és una mil milionèsima d’un metre: si cada habitant de la Terra s’empetitís fins mesurar un Àngstrom i ens poséssim tots en fila, faríem una línia de 7 metres). Considerem un cub de ferro de densitat 7,9 i de 56 grams. Amb una simple divisió, veiem que el seu volum és de 7,1 mil·lilitres. Ara bé, com que la química ens diu que 56 grams de ferro són un mol, i com que un mol conté 6 per 10 elevat a 23 àtoms (el nombre d’Avogadro), a l’estructura cristallina cúbica del ferro alfa, cada àtom ocupa un espai de 1,2 x (10 ^ (-23)) centímetres cúbics (només cal dividir 7,1 pel nombre d’Avogadro). I ara, l’arrel cúbica d’aquest valor ens dona la separació els nuclis de dos àtoms de ferro veïns: 2,3 Àngstroms. Si ens situem al nucli d’un àtom de ferro amb els seus 56 neutrons i protons (com el de la imatge de dalt), haurem de travessar una distància de 2,3 Àngstroms pràcticament buida que només conté uns quants electrons fins trobar el següent nucli de l’àtom de ferro veí, que sabem que té un diàmetre, en metres, de 5,6 per 10 elevat a la potència menys 15.

Si dividim la distància de 2,3 Àngstroms entre dos nuclis veïns d’àtoms de ferro per aquest valor del diàmetre dels seus nuclis, obtindrem que la relació és de 41.000. O sigui: si el nucli d’un àtom de ferro tingués la mida d’un cigró, el seu veí a l’estructura cristallina de la porta estaria a 400 metres. Aquesta és la imatge d’una sòlida porta de ferro quan la mirem a una distància de l’ordre d’una centèsima d’Àngstrom: un conjunt de cigrons disposats regularment, cada un d’ells a quatre-cents metres dels seus veïns. En mig, en aquests 400 metres, uns pocs electrons que pràcticament no tenen massa i que no es volen deixar veure. Els sòlids són buits. Però atenció: interaccionen fortament amb la nostra pell.

Curiosament, el funcionament del nostre cervell es basa també en les interaccions entre neurones, més que en les neurones mateixes. Diuen que el cervell és l’objecte més complex del sistema solar, encara que només inclogui el 2 per cent del pes corporal. Com podeu llegir aquí, es calcula que dins de la cavitat cranial hi ha cent mil milions de neurones, que gestionen un nombre immensament més gran de connexions neuronals. De fet, el nombre de sinapsis és superior als 1000 bilions. El nostre cervell consumeix un 20 per cent de la nostra energia total (de fet, en els nadons, el cervell consumeix un 65 per cent de la seva energia total), i és tant sofisticat que el nostre ADN dedica el 80 per cent dels gens per a codificar les seves característiques. Sorprenent, oi?

Ara bé, segons explica en Christof Koch, qualsevol mecanisme molt complex amb un nombre d’interconnexions per damunt d’un determinat llindar i tal que la seva estructura codifiqui un conjunt de relacions causa-efecte, acaba tenint un cert nivell de consciència i sentint alguna cosa que ve de dins seu. Perquè segons la teoria de la informació integrada de Guilio Tononi, la consciència d’un cert sistema, a partir d’una determinada massa crítica de complexitat, ve determinada per les seves propietats causals, i per tant, la consciència acaba sent una propietat intrínseca i fonamental dels sistemes físics quan esdevenen més i més complexes. O sigui, que és un poder causal intrínsec que apareix automàticament en mecanismes molt i molt complexes com el cervell humà. De fet, Tononi diu que la complexitat d’un cert sistema ens pot donar una mesura del seu grau de consciència. A la seva teoria integrada de la informació, aquesta mesura la quantifiquen amb un valor que anomenen “Fi”. I el valor “Fi” del cervell humà és tan gran, que fa impossible calcular o simular-ne això que en diem consciència. La consciència no es pot simular, perquè només es troba dins la mateixa estructura dels sistemes que ho són.

El ferro és sòlid no com a conseqüència de la matèria que el conforma (matèria que deixa immensos espais buits), sino que ho és com a resultat de les forces atòmiques d’interacció, que, cal dir-ho, són molt poques perquè només afecten els àtoms més propers. I sembla ser que nosaltres som conscients no pel fet de tenir cent mil milions de neurones al cervell, sino gràcies al nombre ingent d’interaccions que generen entre elles. Tots dos, el xoc amb la porta i  pensaments del tipus “sóc viu”, són dos resultats d’una immensitat d’interaccions a nivell microscòpic. Mira per on, bona part del que experimentem cada dia és resultat d’interaccions.

Els humans també interaccionem, encara que amb moderació. L’amor, l’amistat, les relacions, fins i tot les xarxes socials, van modelant el nostre Jo i donen sentit a la nostra vida. Construïm la vida sobre les nostres relacions perquè som animals socials. Però clarament no som com les neurones. Les nostres interaccions són modestes, febles i poc nombroses. Els grecs van crear la democràcia quan van entendre la importància del dret a la paraula, del dret a discutir-ho tot, del dret a interaccionar públicament a l’assemblea i del dret a empoderar-se. Però ens cal lluitar, ara i sempre, per a que aquesta paraula no perdi el seu significat de respecte als drets de totes les persones i per a que no sigui segrestada pels qui pensen més en el seu desig de poder que en la gent.

—-

Per cert, en Pedro Olalla ens recorda que la democràcia va sorgir de la societat grega, quan va posar a l’abast de tothom una cosa fonamental: el dret a la paraula, el dret a discutir-ho tot i i el dret a interaccionar públicament a l’assemblea i a l’Àgora. Explica que la democràcia va brollar de l’ànima dels grecs quan van comprendre que la vida humana era única i més valuosa que qualsevol tresor o ambició, cosa que va portar a un pas progressiu del poder cap a mans dels ciutadans.

Els grecs: un bon antídot contra la vanitat

dimecres, 17/04/2013

Antikitera.jpg L’any 1901, el pescador d’esponges Elies Stadiatos va descobrir les restes d’un naufragi no molt lluny de la costa de l’illa grega d’Anticitera, entre Citera i Creta. Va trobar àmfores, monedes, estàtues, diversos objectes, i un bloc massís i petrificat. És el que veieu a la foto. És l’anomenat mecanisme d’Anticitera (o “Antikithera“). Es troba al Museu Arqueològic Nacional d’Atenes. La nau que va naufragar era romana, i tot plegat podia ser part d’un tresor (botí) de l’illa de Rodes que portaven a Roma per a una celebració organitzada en honor de Juli Cèsar.

Ha costat més de cent anys entendre què era i per a què servia aquest bloc recobert de corals, algues i animals marins. Ara sabem que era un giny per a poder seguir el moviment dels astres. Encara que fa temps es pensava en una datació aproximada del 87 aC, d’altres recerques més recents han permès situar la seva construcció entre el 150 a.C i el 100 a.C. De fet, Marc Tuli Ciceró, en el segle I (a “La República”) parla de dues màquines que podien preveure els moviments del Sol, la Lluna i els cinc planetes coneguts en aquell moment. Ciceró diu que van ser construïts per Arquimedes i portats a Roma l’any 212 a.C. després de la mort d’Arquimedes pel general Marc Claudi Marcelus. Un dels dos artefactes va ser guardat pels descendents d’aquest general, i Ciceró el cita en una conversa imaginària en què Philus va participar l’any 129 a.C. en una mansió propietat de Publi Corneli Escipió. En aquesta conversa, Caius Sulpici Galus, que va ser cònsol amb el nebot del general Marcelus l’any 166 a.C., explicava el funcionament del giny d’Anticitera. Caius Sulpici Galus també és citat per Plini el Vell com el primer romà que va escriure un llibre sobre els eclipsis de Sol i Lluna. En tot cas, el tema és polèmic, i d’altres hipòtesis apunten l’astrònom Hiparc com el dissenyador d’aquest mecanisme.

Durant molts anys no es va saber què era, aquell bloc petrificat. Fins que fa uns 50 anys, en Derek de Solla Prize el va analitzar va quedar estorat. A la revista “Scientific American” de juny de 1959, va escriure això: “fa una mica de por pensar que just abans de la caiguda de la seva civilització, els antics grecs havien arribat tan a prop del que ara tenim en la nostra civilització, i això no només pel que fa al pensament sinó també en la seva tecnologia científica”. Després de Derek de Solla han hagut de passar cinquanta anys més. Investigadors de diversos projectes que incouen equips dels EUA, Anglaterra i Grècia han pogut desxifrar el misteri tot utilitzant tècniques d’escanejat tomogràfic d’alta resolució. La idea és senzilla: han utilitzat tècniques similars a les que empren els metges quan ens fan un escànner (TAC) per poder veure què tenim dins nostre.

Gràcies a investigadors com Derek de Solla Prize, Tony Freeth, Alexander Jones, James Evans, Alan Thorndike i d’altres, ara podem entendre i copsar la complexitat del mecanisme d’Anticitera (tot i que les restes són parcials i que alguns engranatges s’han perdut). El tros que conservem té un total de 30 engranatges (un d’ells amb 223 dents), engranatges epicicloïdals i un engranatge amb eix no paral·lel a la resta. Són mecanismes que crèiem que que no existien a l’antiguitat i que pensàvem que havíem descobert i dissenyat fa un parell o tres de segles. Per a que us feu una idea de la seva complexitat i perfecció, aquí sota podeu veure una foto de la reconstrucció d’aquest mecanisme d’Anticitera (que també es troba al Museu Arqueològic Nacional d’ Atenes). La reconstrucció va ser fabricada per Robert J. Deroski seguint el model de Derek de Solla Price. El mecanisme primitiu, l’autèntic, va ser fabricat en bronze a partir de làmines primes de gran qualitat. Calculava la posició del Sol i de la Lluna, les seves fases, la posició dels cinc planetes més importants, convertia del calendari Egipci de 365 dies al calendari Metònic (lunar i de 235 dies), i permetia fer prediccions dels eclipsis, ja que sabien que la posició relativa entre el Sol, la Terra i la Lluna es repeteix cada 223 mesos lunars. Per això, un dels engranatges té 223 dents…

A més, Philip Ball i Tony Freeth van publicar fa cinc anys a la Revista Nature que el mecanisme servia també per fixar amb exactitud la celebració dels Jocs Olímpics. L’interior de l’artefacte té una inscripció que indica “Nemea” en referència a un dels jocs que van ser més importants, a més d’una altra que indica “Olimpia”. Els dials donaven amb precisió la data de la lluna plena més propera al solstici d’estiu de cada quatre anys, data en la qual s’iniciaven els jocs.

La revista “Scientific American”, el desembre de 2009, indicava que aquest descobriment ens obligarà a revisar els nostres coneixements sobre història de la ciència.

Quantes coses que pensem que hem descobert fa poc, ja havien estat pensades, dissenyades i construïdes pels nostres avantpassats? Quants descobriments i quantes idees es van perdre en l’incendi de la biblioteca d’Alexandria i en totes les guerres anteriors i posteriors? Per què algunes vegades ens sentim tan orgullosos de l’actual progrés i del que creiem que hem descobert i creat?

Ja ho deia Johann Wolfgang Goethe: “Odio els grecs. Cada cop que tinc una idea, després descobreixo que els grecs ja ho havien pensat i dit”.

Antikitera2.jpg

Per què la lluna no té sempre la mateixa forma?

dilluns, 2/07/2012

LlunaQuartCreixent2.jpg Sembla una pregunta senzilla: perquè només en veiem la part il·luminada pel sol, i perquè la posició relativa entre el sol i la lluna va canviant al llarg de tot el cicle lunar de 29 dies.

Fa uns 2300 anys, a Alexandria, Aristarc de Samos va pensar el mateix. Però va anar més enllà, i com a bon científic, va veure i va saber interpretar el que tothom tenia davant dels seus ulls però no comprenia. Aristarc es va situar mentalment a la lluna, en el moment del quart creixent. Si des de la terra veiem exactament la meitat de la lluna il·luminada i la meitat no, és que estem mirant “de costat”. És el mateix que quan fem una foto a una persona. Si el sol és baix (per exemple, a punt de pondre’s) i fem la foto amb el sol de costat, a la foto veurem mitja cara rebent la llum del sol i mitja cara a l’ombra. El raonament d’Aristarc va ser impecable. Va començar pensant que a l’espai, la terra, la lluna i el sol formaven un triangle. En el moment del quart creixent, la lluna té el sol de costat. Per tant, el triangle terra-lluna-sol en aquest moment ha de ser rectangle. En altres paraules, l’angle (mesurat des de la lluna i en el moment del quart creixent) entre el sol i la terra, ha de ser de noranta graus. És admirable, no? Simplement mirant la lluna des de la terra, Aristarc va deduir l’angle que hauria vist si hagués anat a la lluna!

Aristarc  va ser probablement el primer en continuar el raonament i deduir que el sol era molt més lluny que la lluna. Ho va fer connectant idees, barrejant la seva abstracció del triangle rectangle lluna-terra-sol amb les eines de càlcul geomètric i trigonomètric que existien llavors. Simplement, i des d’Alexandria, va mesurar l’angle entre la lluna i el sol en el moment del quart creixent i amb això va poder saber el valor dels tres angles del triangle rectangle lluna-terra-sol. Va concloure que el sol era unes 18 vegades més lluny que la lluna.

No sabem si aquesta deducció la va fer Aristarc per primer cop, o si es va inspirar en texts i treballs d’astrònoms anteriors. En sabem molt poc, dels avenços i dels descobriments dels antics. Però el que sí és clar és que fa 2300 anys ja hi havia qui sabia com calcular distàncies relatives entre la terra, la lluna i el sol.

L’únic problema que va tenir Aristarc va ser un problema de mesura. Els seus instruments eren precaris, i es va equivocar quan va mesurar l’angle entre la lluna i el sol. Si intenteu repetir el seu experiment (ho haureu de fer al matí, que és quan, a la fase de quart creixent, podem veure simultàniament la lluna i el sol al cel), comprovareu que l’angle entre la lluna i el sol és quasi de noranta graus. De fet, és de 89 graus i 51 minuts. La seva mesura, en canvi, va ser d’uns 87 graus. El seu raonament va ser totalment correcte, però no va poder mesurar millor l’angle. Ara sabem que un error de quasi tres graus en un triangle rectangle tant allargat produeix errors molt grans en el resultat. De fet, el sol és bastant més lluny: uns 400 cops més lluny que la lluna.

Aristarc de Samos va defensar la teoria heliocèntrica, però no li van fer cas. Les teories geocèntriques, amb la terra al bell mig de l’univers, dominaven en el camp de l’astronomia. Van haver de passar quasi 1800 anys fins que Copèrnic ens va demostrar que no érem al centre de l’univers.

El llibre d’Aristarc, “Sobre els tamanys i les distàncies del sol i de la lluna”, traduit al llatí per Commandino l’any 1572, el teniu també en versió castellana. I aqui tenim una de les pàgines del llibre de Commandino. En notació traduida directament del grec, A representa el sol, B la terra i C la lluna:

DiagramaAristarcSamos.jpg