Entrades amb l'etiqueta ‘equacions diferencials’

Les matemàtiques de les infeccions

divendres, 5/04/2019

Des dels anys 80 fins 1995, els mecanismes relacionats amb el virus de la Sida van ser totalment desconeguts. El desenvolupament de la malaltia era estrany. Ho mostra la imatge d’aquí al costat, que podeu trobar a aquesta web. La corba vermella ens indica l’evolució al llarg del temps de la concentració del virus a la sang en absència de tractament, en una escala logarítmica (a la dreta) que arriba fins a més d’un milió de virus per centímetre cúbic. La blava, mostra la concentració de les nostres cèl·lules immunitàries anomenades limfòcits T. La infecció primària generava una gran quantitat de virus durant unes poques setmanes, amb símptomes similars a una grip molt forta. Però el sistema immunitari aconseguia aturar-la parcialment, arribant a una quasi-estabilització a les 10-12 setmanes. Després, durant un llarg període (observeu que l’eix horitzontal de la gràfica té una doble escala), tot semblava tornar a la normalitat. Però, al cap de vuit o nou anys, el pacient entrava a la fase terminal, caracteritzat per un creixement molt i molt ràpid de la concentració de virus que eliminava del tot les poques defenses que encara li poguessin quedar.

Fins al 1995, no es donava gaire importància a la llarga fase latent de més de vuit anys, i els esforços clínics anaven encaminats a aturar la malaltia durant la seva explosió final. Tampoc s’acabava d’entendre perquè hi havia aquesta llarga aturada durant la qual les persones infectades podien fer vida normal.

La gran descoberta va venir l’any 1995 de la mà dels equips de recerca de David Ho i Alan Perelson, amb resultats que van publicar a la revista Nature, quan van aconseguir entendre el que passava durant aquests anys misteriosos de latència. I ho van fer amb matemàtiques, plantejant una equació diferencial per entendre l’evolució de la concentració de virus a la sang (vegeu la nota al final). La conclusió va ser que durant tots aquests vuit o deu anys, res era més lluny de la “vida normal”. Eren anys d’una lluita aferrissada entre el sistema immunològic i el virus, durant els quals, Ho i Perelson van calcular que la persona malalta anava destruint uns 10 mil milions de virus cada dia. Vuit o deu anys eliminant tots aquests virus cada dia! El problema és que el cos humà no pot mantenir aquest esforç massa anys, i ja és molt que sigui capaç de fer-ho dia rere dia durant molts anys. El sistema immunitari s’anava esgotant, i al final del període de latència acabava tirant la tovallola.

El gran error, fins 1995, va ser no pensar atacar la malaltia durant tots aquests anys “tranquils” de latència. Anys en els que la processó, que no es veia, anava per dins. Ho i Perelson van entendre que calia actuar, amb fàrmacs, durant justament aquests anys en els que semblava que no passava res. David Ho va ser nomenat home de l’any per la revista Time l’any 1996, i Alan Perelson va rebre el premi Max Delbruck fa poc més d’un any en reconeixement als seus resultats en immunologia teòrica. Gràcies als dos i a les equacions diferencials que van plantejar, ara es pot controlar l’evolució del virus de la Sida.

En un llibre que aviat publicarà (“Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe“), el professor Steven Strogatz porta els lectors a través de la història de segles i segles del càlcul matemàtic, mentre explica el paper crucial que el càlcul va tenir i ha tingut en la configuració del nostre món actual. Strogatz ho explica molt bé: Ho i Perelson van descobrir que el virus de la Sida no estava inactiu durant l’etapa asimptomàtica, i que era llavors quan calia atacar-lo.

La troballa de David Ho i Alan Perelson és un exemple de saviesa, biològica i matemàtica, que ha permès millorar la seguretat humana de moltes persones a tot el món, cuidant-les i tornant-los la vida.

———

Per cert, la Rosa Montero cita aquests versos de Salvatore Quasimodo: “cada un de nosaltres està sol damunt el cor de la Terra / travessat per un raig de Sol / I de cop, es fa de nit”. I diu que li agradaria tenir la saviesa suficient per a ser capaç de no arruïnar el fulgor d’aquest breu raig de llum amb els seus temors.

———

NOTA: Una de les equacions diferencials de Ho i Perelson indica que la derivada de la concentració V de virus del Sida a la sang (corba vermella a la imatge de dalt) durant l’etapa de latència és igual a P – c*V. En aquesta equació, el valor del paràmetre “c” indica l’eficàcia del sistema immunològic i dels tractaments amb fàrmacs; de fet, si fem P=0 és fàcil veure que l’equació diferencial es pot integrar i ens porta a una concentració V de virus a la sang que és exponencialment decreixent. D’altra banda, i durant la fase de latència, el paràmetre “P” indica que si no féssim res (c=0), la proporció V de virus aniria creixent. El valor de “P” mesura la taxa de reproducció dels virus.

Evidentment, hi ha un equilibri quan la derivada és zero, i això implica P=c*V. I això és el que sembla que passa durant els vuit o nou anys de latència. Però només ho sembla, perquè, com mostren les corbes de la imatge, són 8 anys durant els quals el virus va lentament guanyant el sistema immunitari. En altres paraules, en absència de tractament, durant els anys de latència, el valor de “c” va baixant, poc a poc, però va baixant. Quan finalment el valor de “c” és massa baix, tot explota.

Atiyah i Pugwash

dissabte, 26/01/2019

Fa dues setmanes, en Michael Atiyah ens va deixar. Molts diaris se’n han fet ressò. La Julie Rehmeyer, del New York Times, deia que Atiyah va ser un matemàtic britànic que va unir matemàtiques i física d’una manera mai vista des dels temps d’Isaac Newton. Quasi res. Ho va fer durant la dècada dels 1960. I el cert és que el seu treball amb el professor Singer del MITM va conduir, per exemple, al neixement de la teoria de les cordes com a possible manera d’entendre l’estructura i la dinàmica de l’univers, i va proporcionar poderoses eines tant per als matemàtics com per als físics teòrics. Michael Atiyah va ser investit doctor honoris causa per la UPC fa poc més de 10 anys, sent apadrinat pel llavors degà de la facultat de matemàtiques i estadística, Sebastià Xambó.

El teorema de l’índex que van desenvolupar Michael Atiyah i Isadore Singer va ser com un miracle per entendre les equacions diferencials (que són les que ens permeten modelitzar fenòmens del món físic com el comportament dels gasos i líquids, la deformació dels materials i molts altres). Atès que moltes vegades aquestes equacions no es poden resoldre, Atiyah i Singer van descobrir que al menys, el que sí es podia arribar a saber és quantes solucions diferents té una equació diferencial. Singer i Atiyah van construir un pont entre l’anàlisi i la topologia que va resultar molt fructífer: Per a qualsevol conjunt C d’equacions diferencials, van explicar que existia un objecte geomètric O que es podia formar a partir de C. A continuació, van utilitzar la teoria K (la teoria topològica que Atiyah havia construït amb Hirzebruch) per caracteritzar aquest objecte O, i van obtenir un valor enter (índex). La troballa va ser el fet de descobrir que, a partir d’aquest índex que mostra el nombre de forats de O (genus), es pot saber el nombre de solucions del conjunt inicial C d’equacions diferencials. Van passar de les equacions diferencials a la geometria (O), de la geometria a la topologia, i finalment van veure que la topologia explicava C.

En aquesta entrevista de l’any 2004, Michael Atiyah deia que si fóssim ordinadors, aquestes màquines que poden tabular grans quantitats de tot tipus d’informació, mai no desenvoluparíem cap teoria. Només caldria prémer un botó per obtenir la resposta (concreta, mai abstracte). Deia que la matemàtica és una evolució del cervell humà, que quan respon a les influències externes, crea una maquinària amb la qual pot atacar el món exterior. La matemàtica és la nostra manera d’intentar reduir la complexitat en simplicitat, bellesa i elegància.

En Michael Atiyah, però, també es va destacar pel seu rebuig a la guerra i per la seva defensa aferrissada de la Pau al món. Entre els anys 1997 i 2002 va ser president de la societat Pugwash i va coordinar les conferències Pugwash durant aquells anys. L’associació de científics Pugwash vol un món lliure d’armes nuclears i altres armes de destrucció massiva, i té com a objectiu desenvolupar i donar suport a l’ús de polítiques basades en l’evidència científica, centrades en àrees on hi ha riscos nuclears i d’armes de destrucció massiva. Pugwash vol fomentar discussions creatives sobre la manera d’augmentar la seguretat de totes les persones, promovent el desenvolupament de polítiques que siguin cooperatives i futuristes. Doncs bé, l’any 1998, i com a president de Pugwash, Atiyah va fer el discurs inaugural de la conferència que es va celebrar a Jurica (Queretaro, Mèxic) sota el lema “El llarg camí cap a la Pau”. El podeu trobar, per exemple, a “Books.Google” si cerqueu “Michael Atiyah address The Long Roads to Peace“. Després de citar els problemes concrets que tenia el món fa una mica més de vint anys (no massa diferents als d’ara), va dir això: “la imatge a llarg termini es centra en diferents aspectes: explosió de població, degradació ambiental, pressió sobre recursos del planeta, mega-ciutats, noves malalties, desigualtats. Aquests són els problemes fonamentals que dominaran el segle vinent. Però, més enllà de tots aquests problemes … tenim les possibles catàstrofes que poden engolir el món: actualment tenim armes nuclears, químiques i biològiques … Hi ha un perill inherent per la mera existència (i estat de preparació) d’aquestes armes … l’enorme càrrega econòmica imposada per la constant recerca d’armes millors i millors, dificulta el poder fer front a les necessitats reals del món a llarg termini”. Atiyah acabava dient que malauradament, el món en general prefereix les armes més que la mantega. Gran paradoxa en unes frases que avui mateix continuen sent totalment vàlides.

Si teniu una mica de temps, podeu gaudir-lo en directe en aquesta gravació de quan va donar la conferencia Gibbs l’any 1991 (força jove) o en aquesta altra de la seva xerrada als Laboratoris Cavendish l’any 2002 (ja no tan jove). A totes dues, per cert, es recolza en les famoses transparències d’acetat que tant havíem usat a xerrades i congressos. I una curiositat: les dues dates són anys palíndroms consecutius.

Les dues facetes de Michael Atiyah, la de matemàtic i la d’activista de la Pau, són ben properes, encara que a primera vista no ho sembli. Perquè la matemàtica es basa en l’abstracció, i la ciència arriba al convenciment dels nostres límits pel camí de la mesura i el pensament. Eines, totes dues, que ens ajuden a allunyar-nos de l’interès pel “bentenir” i del desig de violència. Perquè de fet, com molt bé explica l’Emilio Lledó, al principi de la cultura grega, felicitat i “benestar” eren sinònims de “bentenir: de tenir més, tenir terres, cases, esclaus, vestits. I per tenir més, moltes vegades cal manllevar-ho dels altres, amb violència. Més tard, en canvi, els mateixos filòsofs grecs van evolucionar cap al concepte del “benser”. Lledó diu que la pau interior del “benser” és conscient dels límits i es conforma amb ben poc, perquè la felicitat del “bentenir” no sols és impossible en un entorn de misèria, crueltat i violència, sino que les acaba incrementant. I he de dir que a mi, l’experiència em diu que els matemàtics i científics són molt més a la banda dels límits i del “benser” que a la del “bentenir“. Deu ser per això que, com va fer en Michael Atiyah, a molts els agrada treballar contra la violència i les armes i en pro de la pau mundial. Perquè el teorema d’Atiyah i Singer és perpetu, etern i global. I quan has descobert que la ment humana pot descobrir i crear veritats matemàtiques universals, difícilment pots acabar pensant que cal defensar “els Nostres” en contra “dels Altres”.

La imatge de dalt, que podeu trobar a aquesta web, mostra una de les escultures encisadores d’en Carlo Sequin. És una superfície d’una sola cara amb 4 vores i genus 10. En Carlo Sequin, professor de la Universitat de Califòrnia a Berkeley, va ser un dels pioners en el camp dels models geomètrics digitals.

——

Per cert, la Esther Giménez-Salinas explica que, al món, hi ha una proporció mitjana de només 10 dones per cada 100 delinqüents (la proporció de dones empresonades a Catalunya és un 7,61% del total). Diu que cal que analitzem en positiu aquesta resistència de la dona a la violència i al delicte.