Entrades amb l'etiqueta ‘espai-temps’

Els electrons i nosaltres

dissabte, 15/12/2018

Al nostre cos tenim uns 17 grams o més d’electrons (vegeu la nota al final). Si els poguéssim posar tots junts farien un bon grapat de partícules.

Sense electrons no existiríem. Els electrons són darrera de totes les reaccions químiques i bioquímiques que conformen el nostre metabolisme i que ajuden, per exemple, a fabricar proteïnes amb la informació de l’ADN. Són també a la transmissió d’informació entre neurones del nostre cervell i a les fibres nervioses.

No fa massa, a partir dels descobriments d’ara fa dos segles (com el de la relació entre magnetisme i electricitat de Michael Faraday), vam veure que els podíem domesticar i fer que treballessin per a nosaltres. Perquè els electrons són dòcils i previsibles. Es mouen quan hi ha una diferència de potencial o quan es troben en entorns amb camps magnètics variables. Això ens ha permès fabricar motors elèctrics, rentadores, neveres, portes automàtiques, robots, ordinadors, telèfons mòbils i una infinitat d’invents quotidians que ens envolten.

L’any 1905, Einstein va formular l’efecte fotoelèctric i va descobrir la profunda relació que hi havia entre els electrons i els seus cosins, els fotons. Els fotons ens porten energia i informació a distància a la velocitat de la llum, escalfant-nos amb la llum del Sol, fent que els nostres ulls puguin rebre i processar imatges, i fent-nos arribar senyals de ràdio i televisió i fins i tot fotos i vídeos dels nostres amics. Gràcies a l’efecte fotoelèctric, els fotons activen determinats electrons del sensor CCD de la càmera del nostre mòbil i, miraculosament, podem fer fotos. Gràcies als electrons, els fotons que ens envia el Sol poden traslladar i moure grans objectes i actuar sobre la matèria, sent els combustibles, per exemple, dels trens d’alta velocitat: només els cal donar energia als electrons de determinades plaques solars que l’aniran propagant fins les catenàries que alimenten els trens. D’altra banda, els fotons de la wifi ens porten informació que podem llegir, veure, i després guardar en un llapis de memòria. Però, quan ho fem, són els electrons de una infinitat de pous de potencial qui ens guarden aquesta informació. Electrons i fotons, fotons i electrons.

L’experiment d’Albert Abraham Michelson i Edward Williams Morley l’any 1887 va ser el primer que va fer trontollar les nostres ingènues teories, en aquest cas sobre els fotons. L’experiment de de Michelson-Morley va demostrar que els fotons van sempre a la mateixa velocitat, ho miri qui ho miri. És l’experiment que va intrigar Albert Einstein fins que, 18 anys després, va acabar formulant la teoria de la relativitat i dient que si la velocitat de la llum era constant (com s’havia comprovat), tot el demés, inclòs el temps, havia de ser relatiu i no invariant. No hi ha ningú privilegiat, a l’univers. Però els fotons, això sí, sempre transmeten la seva informació i energia a velocitat constant. Una velocitat, la de la llum (c), que no es pot superar i que va resultar ser una constant de l’univers. No és possible enviar informació a una velocitat més gran que c. Per això, mai podrem saber com són ara mateix les galàxies llunyanes que veiem al cel de nit.

I els electrons? El 1913, Niels Bohr va proposar un model atòmic senzill que recorda el model planetari de Copèrnic. En ell, l’àtom és com un petit sistema solar amb el nucli al centre i un núvol d’electrons que hi donen voltes. Els electrons eren com boletes que anaven orbitant el nucli a diferents nivells d’energia. Quan baixaven a òrbites més interiors, emetien energia en forma d’un fotó. Quan captaven un fotó que arribava, agafaven la seva energia i pujaven a una òrbita més externa. Si captaven més fotons i energia, podien fins i tot lliurar-se de l’atracció del nucli i quedar lliures, creant un corrent elèctric quan la matèria era conductora.

Una de les primeres sorpreses que ens donen els electrons, però, és la seva habilitat per a ser màgics. Ara sabem que la teoria de Bohr no és certa, perquè no hi ha òrbites i mai sabem on són, els electrons. Hi són, són la causa de totes les reaccions químiques, tenen massa, però no els podem trobar. Mai podrem agrupar un grapat d’electrons. I Heisenberg ens explica que aquests electrons sembla que no existeixen sempre. Només existeixen quan algú els mira o, més ben dit, quan interaccionen amb una altra cosa. Són màgics. Es materialitzen en un lloc, amb una probabilitat calculable, quan topen contra algun cos. Els salts quàntics d’una òrbita a una altra són la seva manera de ser reals. Un electró és un conjunt de salts d’una interacció a una altra. Però quan ningú no els destorba, els electrons no són a cap lloc concret. No són enlloc. De fet, sembla que fins i tot apareixen i desapareixen a l’espai buit. Perquè l’espai buit és alguna cosa, no és pas el no-res. Ho diu el fet que l’espai sigui tridimensional en lloc de tenir, per exemple, dimensió quatre, perquè el no-res no té dimensions. I el que estem descobrint és que l’espai buit és l’escenari en el que poden créixer la geometria, les matemàtiques, la física… i els electrons, com bé diu en Carlo Rovelli citant Werner Heisenberg.

Però la darrera sorpresa d’aquests electrons que creiem tenir tan ben domesticats ens va arribar fa poc, el 2015, de la mà d’un grup de físics de la universitat de Delft (Ronald Hanson i altres; aquí teniu l’article científic que van publicar a la revista Nature). L’experiment va confirmar la hipòtesi de l’any 1964 de John Bell i ens va demostrar que els electrons i altres partícules elementals experimenten un fenomen que s’anomena “entrellaçament” que fa trontollar tot el que pensem sobre el funcionament de l’univers. Si dos electrons emeten fotons que es troben i queden entrellaçats, això fa que els dos electrons quedin també entrellaçats en el mateix instant, encara que es trobin a milions de quilòmetres de distància l’un de l’altre. I aquí apareix la màgia de l’entrellaçament, que fa que aquestes dues partícules passin a tenir una mena de telepatia subatòmica: si algú mesura una propietat d’un dels electrons (l’anomenat spin, per exemple, que té dos possibles valors) i immediatament algú altre mesura la mateixa propietat a l’altre, el valor que mesurarem al segon electró serà sempre el contrari del valor que han mesurar abans a l’altre. El segon electró, entrellaçat al primer, “sap” instantàniament com s’ha de mostrar quan se’l mesuri. La informació, entre electrons i partícules entrellaçades, es transmet a l’instant, en clara contradicció amb el que sabem que res pot anar més ràpid que la velocitat de la llum (vegeu alguns detalls de l’experiment a la nota al final). Com s’entén, això? Quin és aquest espai-temps que diu a tothom, inclosos als fotons, que no es pot superar la velocitat de la llum, a la vegada que permet que les partícules entrellaçades la superin del tot? Hi ha qui diu que quan els electrons i altres partícules s’entrellacen, es fonen i passen a ser una única partícula que es manifesta a dos llocs a la vegada. Però, com s’explica això de tenir un electró que s’ha desdoblat i materialitzat en dues posicions que poden trobar-se a anys llum de distància una de l’altre? Què és l’espai i què és el temps?

L’entrellaçament ens fa veure que certes propietats dels electrons i altres partícules no poden existir abans que les  mesurem. Diuen que l’acte de mesurar és el que realment crea aquestes propietats. I veiem que hi ha propietats que es creen a distància, instantàniament, saltant-se els principis que fins ara teníem: que res es pot transmetre a velocitat més gran que la de la llum. Els electrons entrellaçats representen el gran misteri de les parelles telepàtiques. A diferència dels seus cosins fotons, ràpids però previsibles.

La imatge de dalt l’he obtingut a partir de les d’aquesta pàgina web de Ryan Whitwam, que mostra els electrons que enllacen àtoms d’hidrogen. La imatge va ser obtinguda el 2013 amb un microscopi de força atòmica.

Les coses, i sobretot els electrons, no són tan deterministes com voldríem. Richard Feynman, a les seves lliçons de física, deia que amb els electrons i altres partícules no podem fer altra cosa que calcular probabilitats, i que hem de sospitar amb molt fonament que aquesta limitació ens acompanyarà sempre perquè és un fet essencial del món subatòmic. I Ronald Hanson reconeix que tot això de l’entrellaçament supera la nostra capacitat actual de comprensió: l’univers és definitivament estrany. I és que la natura és així, encara que no ens agradi.

——

Per cert, parlant de coses que sabem fer amb els electrons i l’electricitat, la Rosa Montero diu que el 70% de la inversió en infraestructures ferroviàries es dedica a l’alta velocitat, que només és utilitzada per un 4% de viatgers. En canvi, els trens de rodalies, regionals i de mitja distància, que transporten al 96% dels usuaris, reben menys d’un terç del pressupost. A més, la modernització d’un quilòmetre de via convencional (fins arribar a velocitats mitjanes de 165 Km/h) és 10 vegades més barata que la construcció d’un quilòmetre d’AVE.

——

NOTA: La massa en repòs d’un electró és aproximadament 9,109 * 10^(-31) Kg., que correspon a 1/1836 de la massa del protó. La massa del neutró és molt similar a la del protó, s’altra banda. Tenint en compte que el nostre cos té entre un 60 i un 65% d’aigua, i que bàsicament som hidrogen, oxigen i carboni en proporcions del 10%, 65% i 19,37% respectivament (la suma d’aquests tres elements és el 94,37% del nostre pes), és fàcil fer un càlcul aproximat del pes total dels electrons que ens conformen. Com que el pes atòmic de l’hidrogen és 1, la proporció d’electrons deguda als àtoms d’hidrogen és de 0.1 / 1836, o sigui, 5.45 * 10^(-5). El mateix càlcul amb l’oxigen dona dona una proporció en pes d’electrons de (0.65 * 8/15.999) / 1836 = 1.77 * 10^(-4), atès que el seu pes atòmic és de 15,999. I si ho fem amb el carboni, el resultat és (0.1937 * 6/12) / 1836 = 0.53 * 10^(-4). Sumant les tres proporcions, veiem que per cada 10 quilos del nostre pes, tenim 2,845 grams d’electrons que provenen d’àtoms d’hidrogen, oxigen i carboni. Val a dir que el total és una mica més gran, perquè caldria sumar-hi els electrons dels elements més complexes que també configuren les molècules de la resta del nostres cos (molècules que en total suposen 563 grams per cada 10 Kg. de pes).

L’experiment de Ronald Hanson i els del seu grup va demostrar que, en l’entrellaçament, no hi ha variables ocultes (no hi ha fenòmens que ara no puguem detectar però que tal vegada en el futur podríem arribar a mesurar), i que, per tant, l’entrellaçament és una propietat real que tenen els electrons, els fotons, i altres partícules. L’experiment, màgic i sorprenent, va ser aquest: a dos laboratoris A i B separats 1280 metres a Delft, els científics van experimentar amb electrons que havien quedat atrapats prop d’alguns àtoms de nitrogen que hi havia, a tall d’impuresa, en dos diamants (un a A i l’altre a B). Amb impulsos de làser, anaven activant reiteradament els electrons de manera que, tant l’electró del diamant de A com el del diamant de B emetien un fotó cada un d’ells a cada impuls làser. Els fotons es dirigien a un tercer laboratori C entre A i B, on algunes vegades es trobaven en un mirall semitransparent i quedaven entrellaçats. Llavors es produïa un fenomen sorprenent, que és l’anomenat “intercanvi d’entrellaçament”: de manera immediata, quan els dos fotons s’entrellaçaven a C, els seus dos emissors, els electrons als diamants de A i B, quedaven també entrellaçats. És com si, quan uns joves formen parella, els seus pares quedessin automàticament aparellats entre sogres. Tot seguit, es mesurava l’spin de l’electró de A i també es mesurava l’spin corresponent de l’electró de B. Com que no hi havia cap possibilitat de transmetre informació entre A, B i C (es tractava de demostrar que l’entrellaçament es transmet de manera instantània), el que es va fer és usar tres rellotges atòmics d’alta precisió, un a cada lloc, i guardar localment a tres ordinadors a A, B i C, el temps i el resultat de cada experiment. Si a A i B es guarda el moment de l’emissió de cada fotó, els instants de temps en que es fan les mesures i els valors dels spin que s’han mesurat, i a C es guarda els instants de temps en els que s’ha pogut aconseguir un entrellaçament exitós de fotons, es pot fer una anàlisi a posteriori i només considerar vàlids els cassos en que hi ha hagut entrellaçament de fotons a C i en els que les mesures d’spin als corresponents electrons a A i B s’han fet amb una diferència de temps de menys de 4,27 microsegons (el temps que la llum tarda en recórrer els 1280 metres). D’aquesta manera ens assegurem que la mesura feta a A no ha pogut arribar a B i que la mesura que hem fet a B no s’ha pogut transmetre a A. En tot cas, cal dir que l’experiment és una mica més complicat perquè els spins dels electrons es poden mesurar en diferents eixos i perquè cal garantir la màxima neutralitat durant el càlcul de les correlacions (veure l’article).

Les esgarrifances galàctiques

dijous, 10/03/2016

A la superfície dels llacs hi ha molta vida. A més de vegetals microscòpics com els cianobacteris, hi podem trobar insectes com els de la família dels sabaters que caminen sense enfonsar-se gràcies a tensió superficial de l’aigua i a una cera repel·lent a l’aigua que tenen a les extremitats. L’espai vital de tots ells, que conformen l’anomenat plèuston, és una interfície bidimensional aigua-aire que els proporciona tot el que necessiten: aigua, nutrients, oxigen i diòxid de carboni.

Imaginem un dia tranquil, sense vent. El llac és en repòs, com una bassa d’oli. Els organismes del plèuston fan la seva vida, menjant i sobrevivint. Tot de sobte, passa una barca pel mig del llac. L’estela que deixa es va obrint, i al cap d’uns segons afectarà qualsevol punt del llac. Si ho mirem des de la riba, el fenomen és clar: les dues línies de l’estela són de fet un grup de dues, tres o quatre petites onades que avancen tot trencant la monotonia de l’aigua quieta. La superfície del llac és plana a tot arreu excepte a les dues línies “gruixudes” de l’estela. Però si poguessin parlar, els insectes del plèuston no dirien el mateix, perquè no tenen una visió global i completa del llac. Només detecten el seu entorn, i de fet passen de sentir-se en una superfície tranquil·la a trobar-se trasbalsats de cop durant uns pocs segons, passats els quals tornen a la tranquilitat habitual. I, quin és aquest trasbals?. Bàsicament, que fan pujades i baixades, però sobretot que la superfície de l’aigua, en el seu entorn més immediat, s’estira i s’arronsa unes quantes vegades (és fàcil veure que les ones impliquen un allargament local de la superfície de l’aigua, sobretot en els seus vessants inclinats). Qualsevol insecte notarà que puja i baixa tres o quatre vegades. Quan és dalt o baix, se li arronsa l’espai i se li acosten els insectes del seu voltant, mentre que quan al vessant inclinat de la ona, observa que l’espai s’estira i els seus veïns s’allunyen. Després, passats uns quants segons d’esgarrifança i desconcert, tot torna sortosament a l’estat habitual de repòs.

Les ones gravitacionals tenen una certa semblança amb aquestes ones de les esteles dels vaixells. Els geòmetres dirien que només cal moure’ns de les dues dimensions de la superfície del llac al 4D, perquè les ones gravitacionals afecten l’entramat de quatre dimensions de l’espai-temps en el que, conscientment o no, vivim tots plegats. Ara fa justament 100 anys, Einstein va publicar la seva teoria de la relativitat general, on un dels conceptes essencials és l’indissoluble lligam entre espai i temps. Aquesta misteriosa entitat 4D, l’espai temps en el que naixem, vivim i morim, es “pla” a les regions intergalàctiques però es deforma prop dels estels, planetes i altres objectes de l’univers. Ens és molt difícil d’entendre-ho perquè no podem pensar en 4D, però un cop més podem fer experiments 2D que ens permeten entendre el que passa a l’Univers. Ho podeu veure en el vídeo del cub metàl·lic i la bala de la ESA, que també podeu veure a aquesta pàgina web. De fet, quan la bala és molt prop del cub i quan finalment xoca amb ell, si  miréssim amb microscopi la superfície elàstica, veuríem petites ones com les de l’estela de les barques.

L’estela de les barques deforma temporalment la superfície 2D del llac de la mateixa manera que qualsevol moviment accelerat d’un estel o planeta amb molta massa deforma l’entramat 4D de l’espai-temps. Tot plegat costa d’entendre, però LIGO ens acaba de demostrar que és cert. Costa d’entendre perquè podem arribar a imaginar que l’espai es contrau i expandeix, però pensar que el temps oscil·la de la mateixa manera és quelcom que requereix més imaginació. I costa d’entendre perquè, encara que visquem en un espai 3D, som bàsicament éssers 2D que quasi no sortim de la superfície de la Terra i que mirem molt més a dreta i esquerra que a la immensitat de l’Univers nocturn. Penseu només el que ens costa entendre bé el moviment del Sol i dels astres al cel.

El sistema LIGO que ara ha detectat aquestes ones gravitatòries inclou dos detectors idèntics, un a Livingston (Louisiana, 30°33′46.42″N 90°46′27.27″W) i l’altre, anomenat LIGO Hanford, a Richland, estat de Washington (46°27′18.52″N 119°24′27.56″W). La distància entre els dos detectors és de 3002 quilòmetres. Cada un d’ells té forma de “L”, amb dos braços perpendiculars de 4 quilòmetres, que de fet són túnels perfectament rectilinis i sense aire. La idea és senzilla: un mirall semi-transparent divideix un raig làser que surt del vèrtex de la “L” en dos, de manera que el primer va per un dels braços, es reflexa en un mirall al final del túnel i torna mentre el segon fa el mateix pel túnel de l’altre braç. Els dos raigs làser, després d’haver recorregut 4+4 Km. cada un d’ells, es tornen a trobar molt a prop d’on s’han generat, i es barregen. El sistema s’ha ajustat de manera que en condicions normals, les ones dels dos raigs arriben invertides (es diu en oposició de fase) i per tant s’anul·len (en aquesta web de la revista Scientific American podeu trobar una bona explicació). Quan hi ha qualsevol moviment per petit que sigui de la Terra (la vibració produïda per un tren, un petit terratrèmol, una tempesta elèctrica), el sistema el detecta perquè aquestes vibracions afecten la longitud d’algun dels dos braços, les ones ja no arriben en oposició de fase, i apareix un patró d’interferència que deixa de ser zero. I de fet, cada un dels dos detectors està trobant constantment petites “esgarrifances” produïdes per fenòmens naturals o per l’home. Per això, tot plegat només té sentit si enlloc d’un detector en tenim dos, perquè la immensa majoria de vibracions les veurem només a Richland o a Livingston. I per això, quan un mateix patró d’esgarrifança el detectem a dos llocs que són a més de 3000 quilòmetres de distància, podem afirmar que és una vibració que ens ve de l’Univers. És com si poséssim dos petits detectors d’onades separats cent metres a la superfície del llac. Si algú tira una pedra prop d’un d’ells, l’altre no detectarà res. Però si passa una barca, tots dos detectaran el mateix patró d’onades (això sí, amb un cert retard entre l’un i l’altre).

Doncs bé, els dos detectors LIGO, que van començar a treballar l’any 2002, no van detectar cap ona gravitacional fins el 18 de setembre de 2015. Aquest dia, poc abans del migdia, els dos detectors van captar les ones que veieu a la imatge, que he tret d’aquesta pàgina web. Els dos detectors van captar el mateix patró d’ones, però el de Livingston, Louisiana ho va fer 7 mil·lèsimes de segon abans que el LIGO Handford. Fa sis mesos, ens van arribar les ones produïdes pel xoc de dos forats negres, cada un d’ells equivalent a 30 vegades la massa del Sol, i que va tenir lloc fa 1300 milions d’anys, quan a la Terra tot eren bacteris i només els més espavilats començaven a fer fotosíntesi. Les gràfiques són el reportatge gràfic d’un terrible cataclisme, que si us fixeu en l’eix horitzontal, veureu que va durar poques dècimes de segon (els darrers instants abans el col·lapse dels dos forats negres). Les tres gràfiques mostren les vibracions detectades a Hansford i Livingston (amb la predicció segons la teoria de la relativitat superposada) i, a sota, la superposició del que van detectar els dos observatoris. No hi ha dubte, és el primer signe que tenim d’un immens xoc de proporcions galàctiques. Però així i tot, la crònica és increïblement subtil. Fixeu-vos que el valor de la tensió (Strain) o estirament relatiu de l’espai, és de 10 elevat a menys 21. En d’altres paraules, les vibracions que podríem observar en la llargada d’una barra de 100 milions de quilòmetres, serien de l’ordre de la mida d’un àtom. I, tot i això, el sistema LIGO ha pogut detectar aquesta lleugeríssima esgarrifança galàctica.

Un darrer comentari. El fet que les vibracions arribessin 7 mil·lisegons abans a Livingston que al detector de Hanford, ajuda a detectar el punt del cel on es va produir el xoc dels forats negres. Com que les ones gravitacionals, que ens arriben a la velocitat de la llum, en 7 mil·lisegons recorren 2100 quilòmetres, podem imaginar una esfera de radi 2100 Km. centrada al punt H (Hanford), que a la seva vegada es troba a 3002 Km. del punt L (Livingston). Geomètricament, és fàcil veure que la direcció que indica la posició dels forats negres al cel és la perpendicular a algun dels plans que passen per L i són tangents a l’esfera centrada a H (en d’altres paraules, la direcció és una de les normals a un con).

En Luis Lehner, físic de la Universitat d’Ontario que treballa en el projecte LIGO, explica que les ones que van poder captar ara fa sis mesos no només demostren l’existència de les ones gravitacionals sinó que també són la confirmació més sòlida que hi ha hagut fins ara que l’Univers té forats negres. Per cert, al projecte LIGO hi treballen més de mil científics de 15 països. La ciència no veu fronteres. Lehner diu també que cada nou aparell que inventem per mirar el cel ens obre una finestra que ens deixa veure coses que no sabíem, i compara el que hem vist ara amb el LIGO amb el que va descobrir Galileu quan va mirar el cel de nit amb telescopi per primera vegada. Tot i que per ser precisos hauríem de dir que és cert que cada nou aparell que inventem per mirar el cel ens descobreix aspectes amagats de l’Univers, però que a la vegada ens planteja moltes més preguntes. Perquè el cabàs de la ciència sempre hi haurà moltes més preguntes que respostes.

———

Per cert, en Xavier Roig parla del Mobile World Congress i no entén com és que es prenen per sàvies “quatre banalitats expel·lides per multimilionaris gurus de les xarxes electròniques de xafarderia”. Cita Umberto Eco, que fa menys d’un any va dir que les xarxes socials donen dret a parlar a legions d’idiotes que abans parlaven només al bar després d’un got de vi, sense perjudicar la comunitat.

Les tres endevinalles del GPS

dijous, 1/01/2015

A les dues del migdia, veig arribar dos helicòpters. Arriben a la vegada. Cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Barcelona a les 13:12, i l’altre, que ha sortit de Tarragona a les 13:24. Els dos diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. On soc?

En aquest cas no és difícil saber on sóc. Només cal tenir un mapa a escala i un compàs. L’helicòpter que ve de Barcelona ha volat durant 42 minuts, i amb això ja podem saber que som a 80 quilòmetres de Barcelona (vegeu nota al final). Amb el mateix raonament aplicat a l’altre helicòpter, deduïm que ens trobem a 60 quilòmetres de Tarragona. Ara, només cal estendre el mapa i dibuixar-hi dos cercles: el dels punts que són a 80 Km. de Barcelona, i el dels que es troben a 60 Km. de Tarragona. Ben aviat ens adonem que som a Cervera, al punt on es troben els dos cercles (hi ha un segon punt d’intersecció, però el podem descartar perquè és al mar). En poques paraules, podem saber on som si disposem d’un mapa i un compàs i si sabem la nostra distància a un mínim de dos punts determinats. Són tècniques ben conegudes pels navegants.

Anem ara a la segona endevinalla:

No tinc rellotge i no sé l’hora. Però veig arribar tres helicòpters. Arriben alhora, i cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Lleida a les 9:30, el segon explica que ha sortit de Girona a les 10, i el tercer diu que ha sortit de Manresa a les 10:10. Tots diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. On soc?

Aquesta ja no és tan fàcil, però la intuïció matemàtica ens diu que és probable que puguem deduir on som, perquè ens manca una informació (la nostra hora) però en canvi en tenim una de nova, la del tercer helicòpter. Jugant amb el mapa i el compàs, és fàcil veure que podem trobar la solució per aproximacions successives. Podem anar fent proves, tot fixant cada vegada un valor hipotètic per l’hora del rellotge que no tenim. Imaginem que quan veiem arribar els tres helicòpters junts, són les 10:30. Ara, com que ja tenim l’hora d’arribada, podem dibuixar els tres cercles, com podeu veure a la imatge de sota. I de fet podem fer el mateix per les 11:20 i obtindrem els cercles que també podeu veure a la imatge de baix, a la dreta. Cap dels dos cassos és possible, perquè en aquests dos instants no hi ha cap punt del mapa en el que els tres helicòpters coincideixin. En canvi, els tres cercles de les 10:55 sí que intersequen, i ho fan a Puigcerdà. Podem assegurar que som a la Cerdanya, a Puigcerdà. El truc és anar provant amb diferents hipòtesis pel que fa al temps del nostre rellotge, fins que encertem el cas en què els tres cercles intersequen en un punt. Cal dir que, de fet, també ho podem resoldre directament i sense haver d’anar provant, amb l’ajut de la geometria (vegeu la nota al final).

El sistema GPS es basa en el mateix principi, amb l’única diferència que enlloc d’helicòpters tenim senyals electromagnètics de ràdio que viatgen a la velocitat de la llum. Si entenem les endevinalles, entenem el GPS. Avui en dia, quan ens perdem, ho tenim més fàcil que els nostres avis. Molts telèfons mòbils tenen GPS, i el sistema GPS ens diu on som. Podem veure la nostra posició en un mapa i podem saber les coordenades geogràfiques del lloc on som: longitud i latitud. El GPS funciona mitjançant una xarxa de satèl·lits que orbiten al voltant de la terra. Cada satèl·lit porta un rellotge atòmic per mesurar el temps amb una precisió de l’ordre de menys d’un nanosegon (un nanosegon és la mil milionèsima part d’un segon). Gràcies a Einstein, sabem que la velocitat de la llum és constant. Com que aquesta velocitat és de 300 mil quilòmetres per segon, amb una única divisió veiem que tant la llum com les ones electromagnètiques que rebem dels satèl·lits recorren 30 centímetres cada nanosegon. Els rellotges atòmics son tan ràpids que la llum només avança uns 4 o 5 centímetres entre cada dos tics. Com en el cas dels helicòpters, els GPS mesuren distàncies amb el temps. Quan volem determinar la nostra posició, el GPS localitza automàticament un mínim de quatre satèl·lits de la xarxa, dels quals rep senyals que indiquen la posició del satèl·lits (abans era la ciutat d’on surt cada helicòpter) i el temps (en fraccions de nanosegon) de sortida del senyal en el rellotge de cadascun d’ells. En base a aquests senyals, el GPS pot calcular les nostres coordenades geogràfiques tal com fèiem a l’endevinalla, amb un error de precisió que en condicions normals és d’uns 15 metres. Val a dir que a més, aviat tindrem el sistema Galileo. A diferència del GPS (Nord-americà i militar) el sistema Galileo és un projecte civil, l’alternativa de la Unió Europea a l’actual GPS. Oferirà un servei obert, de lliure accés per a tothom, amb un error de quatre metres sobre el terreny i de vuit metres en vertical.

Però podem pensar una mica més i donar-hi més voltes. Si encara en teniu ganes, aquí teniu la tercera endevinalla:

Veig arribar dos helicòpters. Arriben junts, però no tinc rellotge i no sé l’hora. Cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Lleida a les 10:30, i l’altre, que ha sortit de Tarragona a les 11. Els dos diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. Puc dir alguna cosa d’on soc?

Aquest cas és ben interessant. Si en el mapa dibuixeu el segment recte que uneix Vic i Amposta, podem afirmar que ens trobem en algun punt d’aquesta recta (vegeu, un cop més, la nota al final). Puc trobar-me a Vic, però és segur que no soc ni a Solsona ni a Mataró…

Per cert, en Noam Chomsky diu que el paper dels intel·lectuals i activistes radicals ha de ser analitzar i valorar, mirar de persuadir, organitzar, però mai arribar al poder i governar. Diu que han d’estar preparats per plantar cara a la repressió i actuar en defensa dels valors que professen.

 

Si voleu veure millor aquestes fotos, cliqueu aquí i mireu les tres pàgines del pdf en mode pantalla completa. Podreu anar endavant i endarrera amb les fletxes del teclat

 

NOTA: A la primera endevinalla, ens diuen que el primer helicòpter ha sortit a les 13:12 i que ha arribat a les 14 hores. Per tant, ha volat durant 48 minuts. A una velocitat constant de 100 quilòmetres per hora, és clar que cada 6 minuts recorre 10 Km. i, en conseqüència, en els 48 minuts haurà fet un total de (48/6)*10 = 80 quilòmetres. El mateix raonament serveix per al segon helicòpter.

Per a entendre la segona endevinalla, imagineu-vos una representació 3D amb eixos x-y-z. En el pla horitzontal dels eixos x-y, tenim el mapa de Catalunya o de la regió del món que estem estudiant. En l’eix z, vertical, representem el temps. És un diagrama espai-temps, similar als que utilitzava Einstein per il·lustrar la teoria de la relativitat. Tot allò que passa, per exemple, a les 10 del matí, es pot representar en un pla horitzontal (el pla del present, en aquest cas, el pla de les 10) paral·lel al pla x-y. Quan passa el temps, el pla del present puja inexorablement. En aquest pla de les 10 podem situar un punt a Girona que marca la posició de l’helicòpter gironí, que acaba de sortir. En canvi, el que ha sortit de Lleida a les 9:30 ja ha volat durant mitja hora, i l’únic que podem dir és que es troba en algun punt del cercle centrat a Lleida i de radi 50 Km. Al cap d’un quart d’hora, en el pla de les 10:15, ja podrem dibuixar els tres cercles, que a partir d’ara aniran creixent. A la imatge de dalt podeu veure l’estat dels tres cercles a les 10:30, a les 10:55 i a les 11:20. Si ara ens situem fora de l’espai i el temps i observem el diagrama 3D mentre el pla del present puja i els cercles creixen, és fàcil veure que cada cercle crea un con o paperina virtual que es va obrint a mesura que passa el temps. Cada helicòpter, en aquest diagrama d’espai-temps, té associat un con de possibles llocs on es pot trobar. I la geometria ens diu que tres cons d’eix vertical intersequen en un punt, en el punt que ens diu on som. En els GPS i en el sistema Galileo passa exactament això, amb l’única diferència que enlloc d’helicòpters tenim senyals electromagnètics que viatgen a la velocitat de la llum. El que calculen els nostres GPS a partir dels missatges que reben dels satèl·lits és aquest punt d’intersecció entre els tres cons en el diagrama espai-temps.

Si us interessa, us podeu descarregar la conferència que vaig donar a les Aules Universitàries per a la Gent Gran d’aquesta web. I aquí podeu trobar una mica d’història junt amb una comparació entre l’actual sistema GPS i el futur sistema Galileo.

I què passa en el cas de la tercera endevinalla? En aquest cas només tenim dos cons en el diagrama d’espai-temps, amb eixos verticals que passen per Tarragona i Lleida. Si imaginem el pla del present que va pujant, hi veurem dos cercles que es van acostant, passen a ser tangents en un punt intermedi (que anomenaré Q) del segment recte que uneix Tarragona i Lleida i, a partir d’aquest moment, ja sempre més intersequen. Si dibuixeu, en el mapa, el segment recte entre Tarragona i Lleida i suposem que el que surt de Lleida vola en direcció a Tarragona, a les 11 del matí es trobarà en un punt imtermedi R entre Prades i Alcover, mentre que el de Tarragona estarà acabant de sortir. És clar que el punt Q es troba exactament a mig camí entre R i Tarragona, prop de la carretera de Reus a Alcover. Dibuixeu ara la recta perpendicular al segment Tarragona-Lleida que passa per Q. És una recta que veureu que passa per les rodalies de Vic i d’Amposta. No podem saber exactament on som perquè ens manquen dades, però podem estar ben segurs que som en algun punt d’aquesta recta i que no som ni a Tàrrega, ni a Ripoll ni a Sitges.