Entrades amb l'etiqueta ‘geometria’

Les esferes de bastons

dissabte, 20/04/2019

Ho he de confessar. M’agraden els icosaedres. Són els sòlids platònics que millor aproximen les esferes, en ser els que més cares tenen. Plató els relacionava amb l’aigua, suau i esmunyedissa. Cada un dels seus 12 vèrtexs és idèntic als altres, formant casquets de cinc triangles equilàters. I a més, com podeu veure als dibuixos de baix de la taula de coordenades d’aquesta web, els 12 vèrtexs es poden agrupar en 3 grups de quatre, que corresponen a les cantonades de tres rectangles de proporció àuria disposats de manera perpendicular.

La imatge, que podeu trobar a aquesta web de la NASA, mostra un icosaedre dalt a l’esquerra junt amb dos sòlids derivats. A dalt al centre (i també a sota) tenim el resultat de quadruplicar el nombre inicial de cares. I dalt a la dreta, veiem el que obtenim si tornem a quadruplicar les cares. Les 20 cares inicials de l’icosaedre passen a 80 i després a 320 (vegeu la nota al final) de manera que l’icosaedre es va convertint pas a pas en una esfera. Són les meravelloses cúpules geodèsiques com les que va crear en Buckminster Fuller.

Un bon treball manual per a fer amb els nens (si tenen una mica de paciència) és construir una quasi-esfera de 80 cares, amb bastons i argolles. El primer que haureu de decidir és el radi de l’esfera final, que anomenaré R. Si voleu que serveixi com a globus per a fer una làmpada, per exemple, podeu escollir un R de 10 o 20 centímetres, però si voleu fer una cabana esfèrica haureu de pensar en un valor de R del voltant d’un metre. Necessitareu 42 argolles metàl·liques i un total de 120 bastons de fusta. Seixanta d’aquests bastons hauran de tenir un forat a cada extrem, amb una separació entre ells igual a 0,546532*R; els altres 60, una mica més llargs, els haureu de preparar amb una separació entre forats igual a c=0,618*R (vegeu la nota al final). Les argolles, com les dels clauers però més grans, han de poder agrupar fins a 6 bastons cada una, quan els enfilem pels seus forats. Un consell: comenceu construint un simple tetraedre de 12 vèrtexs i 20 cares (en el que cada una de les seves arestes estarà formada per dos bastons dels curts units amb una argolla central), i després acabeu omplint les sub-cares amb els altres 60 bastons més llargs. El resultat mereix la pena.

En Buckminster Fuller era un enamorat dels icosaedres. Bona part dels seus dissenys, com el mapa del món “Dymaxion”, es basaven en aquest poliedre regular de 20 cares. Parlava de l’harmonia dels icosaedres, i deia que la humanitat també havia d’aprendre a viure de manera harmònica i en pau, convivint i tenint cura d’aquesta “nau espacial Terra” que és tot el que tenim. Deia que per a fer-ho, calia convertir l’armament en “viviment”, en tecnologia al servei de les necessitats de totes les persones, i saber conviure amb els altres, amb els desconeguts. Llegir els seus escrits és endinsar-se en un Univers molt particular en el que la geometria Platònica i Euclidiana li il·luminava el camí a seguir per avançar cap una societat més humana i respectuosa amb la dignitat de tothom.

———

Per cert, el biòleg Mark Moffett ens parla de la sorprenent habilitat que tenim de trobar-nos còmodes entre desconeguts. Podem entrar a una cafeteria o un estadi ple de gent desconeguda sense pensar-nos-ho dues vegades, cosa que no farien els ximpanzés, o els llops. Aquesta habilitat, diu, ha permès que els éssers humans siguem ara a tot el món. A més, com a conseqüència de les exploracions a partir del segle XV i, més recentment, del turisme i les xarxes socials, ara hi ha contacte entre persones de parts ben llunyanes del planeta. Per tant, ja no podem tenir por dels forasters, diu.

———

NOTA: L’icosaedre té 12 vèrtexs, 20 cares (triangles equilàters), i 30 arestes. Si el subdividim obtenim el del mig de la imatge de dalt, que té 12+30=42 vèrtexs, 20*4=80 cares 30*2+20*3=120 arestes. La regla és molt senzilla. Si anomenem V, C i A el nombre de vèrtexs, cares i arestes del poliedre inicial, el nombre de vèrtexs de l’icosaedre subdividit és V+A perquè aquesta subdivisió es basa en afegir un nou vèrtex al mig de totes i cada una de les seves arestes i després “inflar” l’aresta fins que aquest nou vèrtex passi a trobar-se sobre l’esfera circumscrita (que de fet és la que volem anar aproximant). Això es pot veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt. El triangle marcat amb arestes en vermell, que en el icosaedre inicial era un triangle equilàter amb tres arestes, ara les té subdividides i inflades de manera que tots 6 vèrtexs (els 3 vells i els 3 nous) pertanyen a l’esfera circumscrita. A més, el nombre de cares de l’icosaedre subdividit és C*4 perquè el que cal fer, en un segon pas, és afegir tres arestes a cada cara inicial per unir els seus tres nous vèrtexs, de manera que qualsevol cara inicial en genera 4 de noves. Aquestes 4 noves cares es poden veure bé en el triangle vermell de l’icosaedre subdividit de la imatge de dalt: tres d’elles són verdes i la quarta, la del centre, és de color marró clar. Finalment, el nombre d’arestes de l’icosaedre subdividit és A*2+C*3 per tot el que acabem de veure. La mateixa regla es pot repetir una o més vegades, per anar obtenint icosaedres subdividits que cada cop siguin més semblants a una esfera. De fet, el poliedre de la dreta a la imatge de dalt, que té 80*4=320 cares, s’ha obtingut aplicant la mateixa regla de subdividir les arestes en 2 i les cares en 4 al poliedre de 80 cares del mig (tot plegat es pot complicar encara una mica més, perquè a cada pas de subdivisió, les arestes les podem dividir no en 2, sino en 3, en 4, o en més trossos; es fàcil veure que quan subdividim les arestes en 3, per exemple, cada cara passa a convertir-se en 9 sub-cares).

Algunes curiositats finals. Tots els poliedres que obtenim, fem els passos de subdivisió que fem i dividim com dividim les arestes a cada pas, compleixen la ben coneguda equació d’Euler que s’aplica a tots els poliedres topològicament equivalents a una esfera: C+V=A+2. D’altra banda, tots els nous vèrtexs tenen 6 triangles al seu voltant, mentre que els 12 vèrtexs inicials continuen tenint els 5 que ja tenien. Ho podeu veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt, en el que els pentàgons formats pels 5 triangles que envolten cada un dels vèrtexs inicials es representen en verd. Aquesta és una propietat molt curiosa: quan repetim la subdivisió i arribem, per exemple, al poliedre de la dreta de la imatge (amb 320 cares i 42+120=162 vèrtexs), quasi tots els vèrtexs pertanyen a 6 triangles, menys 12 d’ells, que només en tenen 5. En concret, aquest poliedre té 150 vèrtexs amb 6 triangles i 12 vèrtexs amb 5. Costa de veure, perquè el nostre sistema perceptiu tendeix a confondre anells de 5 i de 6 triangles, però si us hi fixeu bé, trobareu, en aquest poliedre subdividit de 320 cares, els 12 vèrtexs de l’icosaedre inicial amb els seus pentàgons de triangles al voltant. Són a les mateixes posicions que tenien al principi, no s’han mogut.

I un darrer detall. Els triangles dels icosaedres subdividits no són equilàters, sino isòsceles (si fossin equilàters, hauríem inventat un nou sòlid platònic regular, cosa que sabem que és impossible). En el icosaedre inicial, la longitud de les arestes és a=1,051462*R, on R és el radi de l’esfera circumscrita. En canvi, en el de 80 cares del mig de la imatge de dalt, trobem arestes de dues mides. Les vermelles (em refereixo al poliedre de sota de la imatge de dalt) tenen una longitud b=0,546532*R, mentre que les tres que uneixen els nous punts i subdivideixen la cara en quatre sub-cares tenen una longitud c=0,618*R. Per tant, si volem construir una quasi-esfera de 80 cares amb 120 bastons, n’haurem de preparar 30*2=60 d’una mida b=0,546532*R i 20*3=60 de llargada c=0,618*R. Meitat i meitat. La diferència de llargades entre uns i altres és d’un 13%.

La geometria de cada dia

divendres, 22/03/2019

La imatge d’aquestes cadires, que vaig fer l’altre dia, ens permet saber el nombre de llums que hi havia a l’habitació. Ho podeu deduir?

Només cal mirar la zona de la paret que es veu entre les dues cadires de l’esquerra, i comptar el nombre d’ombres que hi projecten els dos respatllers. De la cadira de més a l’esquerra en surten dues ombres, una més amunt i l’altra més avall, que reprodueixen la forma del respatller. Així mateix, veiem dues altres ombres a la banda esquerra de la segona cadira, una també més amunt i l’altra més avall. Per tant, com que els respatllers creen quatre (2+2) línies d’ombra a la paret, podem concloure que el sostre de l’habitació té 4 punts de llum. Dos d’ells són a l’esquerra, i dos a la dreta (evidentment, cada respatller genera 4 línies d’ombra; el que passa és que dues d’elles queden amagades darrera la cadira, i només es veuen una mica entre el seient i el respatller. És per això que només estic comptant dues ombres per cadira.

Però, per què, a la paret i entre les dues cadires, es veu aquesta combinació tan complexa de zones més o menys fosques? Doncs perquè, en el cas de quatre punts de llum (i simplificant una mica el problema, vegeu la nota al final), les ombres a la paret poden ser de 4 graus diferents. Si féssim 4 experiments, encenent cada vegada una sola de les llums, veuríem per separat les seves 4 ombres, totes diferents. En cada cas, l’ombra agruparia el conjunt de punts de la paret que no reben llum perquè el respatller els la tapa. Ara bé, quan encenem els 4 punts de llum, és clar que tindrem zones de la paret que no reben llum de cap dels focus (ombres fosques), zones que en reben només d’un d’ells (ombres uns mica més clares), zones que en reben de dos d’ells (ombres força clares) i zones que reben llum de tres focus però no del quart (ombres molt clares). Són els quatre graus d’ombra que veieu a la imatge, a les zones que es creen per intersecció de les zones d’ombra individuals, més fosques a mesura que es van creuant, de dalt a baix. Si proveu de fer el mateix experiment en una habitació amb més d’un punt de llum, tot analitzant les ombres que projecten les fulles d’una planta sobre una paret vertical propera, us adonareu del complicat que pot arribar ser l’estudi d’una cosa que sembla tan senzilla com són les ombres.

Les ombres són geomètriques, és clar. Però cal reconèixer que estem massa acostumats a les figures senzilles i planes. Tenim una certa tendència a creure que geomètric és sinònim de senzill. Parlem de l’estic geomètric dels grecs, per exemple, per designar un art sobri que utilitzava línies, rombes, meandres, reticulats, triangles i cercles. En canvi, la geometria és molt més que això, com bé ens va explicar en Carl Friedrich Gauss quan va estudiar i mesurar la Terra i les formes del seu paisatge. Gràcies a Gauss, ara sabem mesurar la curvatura dels turons i serralades, i sabem que el seu signe és diferent de la dels ports de muntanya, aquests llocs màgics que contenen dues direccions sense curvatura. Perquè etimològicament, geometria és mesura de la Terra, i la Terra només l’hem entès bé els qui hem tingut la sort d’haver nascut després de Gauss. Les obres escultòriques són pura geometria, com ho són els núvols, els penya-segats, la Costa Brava, i fins i tot el mateix Univers. Ho sabem gràcies als treballs de geometria no euclidiana que va iniciar Gauss i que van continuar Nikolai Lobatxevski, Georg Riemann i Albert Einstein.

I de fet, la geometria tracta també de la nostra mesura i de la de les desigualtats socials, perquè som part de la Terra. La prova és que, a les ciutats, regions, països i continents, sovint deixem ben marcats els espais i zones amb tots els colors de la desigualtat i la indignitat. Només cal caminar un matí per la geometria de Barcelona, anant de Pedralbes a Nou Barris.

Gaudir de la geometria que ens envolta requereix, però, una mirada assossegada. Observar la geometria del món és com mirar una obra d’art o com llegir un poema. No es pot fer amb presses. La geometria ens acompanya silenciosament, en els turons que Gauss ens va ajudar a mesurar i entendre, a les pujades i baixades quan caminem i a les ombres refrescants a l’estiu. També ens acompanya en la meravella de formes de tots els éssers vivents i en tot el que veiem i palpem, inclosos els relleus i textures que desvetllen les nostres carícies. És la geometria que podem anar descobrint de la mà del pensament assossegat. Perquè som geometria.

——

Per cert, la Milagros Pérez Oliva diu, citant el darrer informe social de les entitats catalanes d’acció social ECAS, que el 20% de la població catalana viu en la pobresa, enfront al 16,9% de mitjana a la Unió Europea. Diu també que la meitat dels catalans té dificultats per arribar a final de mes. A quins llocs viuen? Això també és geometria.

——

NOTA: En realitat, la foscor de les 4 ombres individuals no és la mateixa en totes elles, perquè alguns punts de llum del sostre són més lluny que els altres. Això fa que el nombre de tonalitats de les zones d’ombra sigui més gran de quatre.

Si voleu entendre bé com es formen les diferents zones d’ombra i els seus graus de foscor, dibuixeu les dues línies d’ombra que surten de cada una de les dues cadires, i aneu analitzant el nombre de focus de llum que veuran els punts de cada una de les zones que es formen com a conseqüència de les interseccions.

La democràcia còsmica

divendres, 22/02/2019

Hi ha una pregunta que segurament tots ens haurem fet alguna vegada, mirant el cel a la nit. Com és que l’univers, amb la seva immensitat tridimensional, és ple d’agrupacions d’astres que són planes? Per què ho són, les galàxies espirals? Com és que tots els estels de la Via Làctia, inclòs el Sol, giren al voltant del centre junt amb els braços galàctics en òrbites quasi coplanars? Per què, a escala més reduïda i en el nostre sistema solar, el pla de les òrbites de tots els planetes és bàsicament el mateix? Per què les galàxies i els sistemes planetaris acaben perdent una de les tres dimensions espacials? Per què no són esfèriques, per exemple? (Per cert, la imatge d’aquí al costat és de la web de la revista National Geographic).

L’explicació d’aquest fenomen geomètric de la preferència bidimensional ens arriba de la mà d’Isaac Newton i de les lleis de la dinàmica. Els núvols de pols d’estrelles, formats de fet a partir de l’explosió d’anteriors supernoves, no eren estables, i van començar a col·lapsar per efecte gravitatori. Part de la pols va anar directament al centre, però una altra part va començar a orbitar al voltant seu per efecte de la seva velocitat inicial. Aquests girs, inicialment aleatoris i lents, es van anar amplificant a mesura que el núvol s’anava col·lapsant (és la mateixa llei de conservació del moment angular que fa que les persones que patinen sobre gel acabin girant molt més ràpid quan acosten els seus braços al cos). L’increment de velocitat va permetre estabilitzar moltes d’aquelles òrbites. I a la vegada anava sorgint, molt lentament, el que podríem anomenar un “gir majoritari”. Però ara ve la part interessant, que podríem anomenar de “democràcia còsmica”: la pols que orbitava en plans diferents al majoritari era atreta, cada cop més, per la matèria que girava en el pla de consens, de manera que les seves òrbites es van anar acostant, al llarg de milions d’anys, a aquest pla de gir majoritari. És un fenomen  “d’atracció per la majoria”. La pols còsmica no va “competir” sino que va “cooperar” per a concentrar-se, fins assolir nivells que van possibilitar la vida. Tot plegat va donar lloc a les òrbites planetàries coplanars, als prims discs de les galàxies espirals i als discs d’acreció al voltant dels forats negres, com podeu llegir en aquesta interessant web de preguntes i respostes astronòmiques. Aquesta altra web inclou explicacions més tècniques i complementàries.  

Tal vegada pot semblar estrany, però aquest “canvi d’actitud” de la pols còsmica que acaba anant cap al pla de consens mentre abandona la seva “convicció tridimensional” (i que així, en concentrar-se en un pla, crea la vida i ens crea a nosaltres), em recorda un article de fa temps d’en John Carlin. Aquí el teniu. En John Carlin, reflexionant amb perspectiva britànica, ens parla de la paraula anglesa “compromise” i del fet que no es pot traduir per “pacte”. L’Oxford English Dictionary defineix “compromise” com “un acord al qual s’ha arribat després que banda i banda fessin concessions”, mentre que l’Enciclopèdia Catalana defineix pacte com “Convenció formal entre dues persones o més”, i el diccionari de la Reial Acadèmia Espanyola diu que pactar és “Acordar algo entre dos o más personas o entidades, obligándose mutuamente a su observancia”. Amb aquesta anàlisi, arriba a la conclusió que “compromise” no té traducció (ni al català ni al castellà) i que per tant, el concepte de cedir i fer concessions, és d’alguna manera aliè a la nostra cultura.

Interessant, oi? El fet de cedir i “fer concessions”, allò que va fer que la matèria que orbitava es concentrés en discs, sembla ser que no és part de la nostra cultura (ni de l’egípcia, com explica en John Carlin). Aquest concepte, profundament democràtic, sí que hi és, en canvi, a la cultura i llengua britàniques. Però en aquestes latituds preferim vèncer, abans que escoltar i cedir. Una idea, aquesta, que sobretot interessa als poderosos, com bé ens explica en Federico Mayor Zaragoza quan parla d’aquesta plutocràcia que va substituint perillosament la democràcia. I que també ens recorda l’economista Julia Cagé, quan diu que les idees de dretes tenen més pes perquè estan més ben finançades. I tot plegat es fa evident quan observem que el món es rearma, en paraules de la Carme Colomina: armar-se per vèncer, vèncer per conquerir, conquerir per signar pactes de vencedors. Enlloc de seguir el camí democràtic: escoltant, respectant l’altre i construint compromisos en base a cedir, com en John Carlin explica que va aconseguir fer en Nelson Mandela.   

Tal vegada algú pot pensar que la comparació entre les lleis còsmiques de la natura i la capacitat d’escoltar, parlar i cedir en democràcia està massa agafada pels pèls. Pot ser cert, però val la pena pensar-hi una mica. Perquè el cosmos és meravellosament harmònic, i nosaltres, agregats de pols d’estrelles que vam sorgir gràcies a les mateixes lleis de la física que van aplanar les galàxies, no ho som gens. Hem d’aprendre a ser humans, i no ho haurem fet fins que no haguem reeixit en amarar la nostra societat global, incloent totes les persones, dels principis de la democràcia còsmica que ens envolta.

La Rosa Montero diu que encara l’esgarrifa una meravellosa escena de la pel·lícula Àgora, d’Alejandro Amenábar, en què es veia el nostre planeta surant amb impertorbable serenitat al mig del cosmos, mentre s’escolten els crits dels nens i dones degollats en una de les massacres que narra el film. I ens recorda una cosa, als terraplanistes: som formigues cegues i ferotges, incapaços de desenganxar els ulls de terra. Acaba dient que ens aniria molt millor si aconseguíssim mirar més sovint el cel.

Podem aconseguir ser un element no dissonant dins la democràcia còsmica? Podem moure’ns de les desigualtats a la tolerància i a la cura de totes les persones i el planeta?

——

Per cert, l’Anna García Altés i en Josep Maria Argimon diuen que les desigualtats en renda es tradueixen en desigualtats en salut, i que la mala salut i la pobresa s’hereten. Expliquen que, per sortir de la crisi, cal establir polítiques actives focalitzades en els joves i els nens (i les joves i les nenes) i aconseguir que l’ascensor social, avui avariat, funcioni per sortir veritablement de la crisi econòmica i trencar l’herència de la pobresa. Són propostes per a la refundació democràtica…

El trencaclosques del besavi

dijous, 31/01/2019

Fa pocs dies vaig anar a veure l’avi dels meus fills (li diem avi, però de fet és besavi: ja té tres besnéts). Aquest any en farà 99, i realment els porta d’allò més bé. Durant la conversa vam parlar d’actualitat, d’ètica, de política, de ciència, d’energies renovables, d’internet, dels mòbils i del problema dels qui volen fer negoci amb les nostres dades i metadades.

En un cert moment, va treure quatre peces idèntiques que a primera vista semblaven troncs de piràmide de base trapezoïdal. Em va dir: “saps fer una piràmide, amb aquestes peces?”. Les peces, totes iguals, tenien base trapezoïdal i eren simètriques en el sentit-dreta-esquerra. El primer que vaig pensar és que la piràmide final havia de ser un tetraedre, perquè teníem 4 peces i sabem que el tetraedre té 4 vèrtexs i 4 cares. Vaig estar fent proves uns minuts, i finalment (sortosament) me’n vaig sortir. Certament, era un tetraedre regular. Les quatre peces i el resultat final eren com les que teniu a la imatge de dalt, però de fusta. L’avi va continuar amb preguntes: És antic, aquest trencaclosques? Qui el va inventar? Com s’han fabricat, aquestes peces? Com es pot calcular la seva forma? El cert és que en aquell moment no vaig saber contestar tot el que em preguntava.

No he trobat informació sobre qui va inventar aquest trencaclosques i sobre si és molt antic. Però les seves preguntes em van tenir ocupat uns dies. Vaig començar a pensar. És cert que cada peça té 8 vèrtexs, i és fàcil veure que tots menys un, a la construcció final, es veuen. Els quatre vèrtexs (un de cada peça) que queden amagats, han de coincidir en un sol punt interior al tetraedre. Per simetria, aquest punt ha de ser el centroide del tetraedre regular final. Les cares del tetraedre es construeixen a partir de determinades cares de les peces, cosa que comporta un bon grapat de relacions geomètriques que van determinant la forma d’aquestes peces…

El resum de tot plegat el teniu en aquest retallable que he preparat (vegeu la nota al final si teniu ganes de saber-ne més). Si voleu jugar-hi amb els vostres fills, nebots, néts o amics i reptar-los a fer el trencaclosques, només heu d’imprimir el retallable 4 vegades, dibuixar-li “ales” a algunes arestes per poder unir les peces, retallar-lo, doblegar-lo i enganxar les seves cares fins acabar fent les quatre peces de la imatge de dalt. He de dir que és un retallable que no he trobat a cap pàgina web. No he dibuixat “ales” al retallable per a mostrar la simplicitat i simetria de la forma desplegada. I bé, quan tingueu les quatre peces, si no veieu com muntar el tetraedre, podeu llegir el darrer paràgraf de la nota al final.

He de dir que, tot cercant per internet, el que sí he trobat són dos trencaclosques més per a construir un tetraedre. Els trobareu en aquest document de la Universitat de Rice. Un d’ells té només dues peces i l’altre en té 4, que en aquest cas són piràmides de base quadrangular que provenen de la subdivisió de les dues peces idèntiques del seu primer trencaclosques. El pdf de la Universitat de Rice conté també retallables per a construir els dos exemples.

En total teniu tres retallables amb els que podreu passar una tarda divertida fent primer deu peces (4+4+2 poliedres de cartolina o paper) i fabricant després un total de tres tetraedres regulars. Si en teniu ganes i ho feu, segurament gaudireu d’una excursió que endinsa els qui la fan en indrets d’un món tridimensional força desconegut mentre ens va descobrint lleis i valors universals d’aquesta disciplina que va meravellar Plató i que es diu geometria.

M’agraden els trencaclosques polièdrics tridimensionals. I el fet de la seva estructura 3D suposa un repte afegit perquè, malauradament, la nostra capacitat d’imaginació i raonament geomètric és molt més 2D que 3D. Feu només una prova (vegeu la nota al final): intenteu imaginar les direccions en 3D de les arestes amagades de les quatre peces quan el tetraedre ja està muntat. Els trencaclosques 3D són un repte, però també una lliçó de prudència: ens baixen els fums i ens ajuden a recordar, com bons aliments de la modèstia intel·lectual, que no tot és tan fàcil.

Que puguem continuar molt temps gaudint junts de trencaclosques com aquests i parlant de molts altres temes, avi!

———

Per cert, l’Oriol Junqueras, en un article inusual, diu que hi ha dues lliçons de la física quàntica que ens poden orientar en el compromís polític. Aquestes són la modèstia intel·lectual i la prudència. Ara bé, malgrat la modèstia i la prudència, hem d’intervenir. Cal compromís, diu, per intentar millorar el món i intentar fer justícia: uns valors que ens són universals, en la mesura que són compartits per tots els humans en qualsevol lloc del món i en qualsevol moment de la nostra història com a espècie.

———

NOTA: Com bé mostra el retallable, les quatre peces són idèntiques i tenen un eix de simetria dreta-esquerra. Això fa que el tetraedre final admeti dues construccions diferents amb les mateixes peces. Una, que podríem dir que “gira en el sentit de les agulles del rellotge, és la que mostra la imatge de dalt: a qualsevol de les cares del tetraedre, si ens situem en el trapezi de mida més gran i en sortim per l’aresta més petita de les dues que són paral·leles per a visitar la peça petita i finalment anar a la peça mitjana, estarem movent-nos en el sentit de les agulles del rellotge. Ara bé, és fàcil veure que podem disposar les peces de manera que el recorregut sigui anti-horari. Només cal que, a la cara més frontal de la imatge per exemple, fem que la peça gran contingui el vèrtex inferior esquerra del tetraedre en lloc d’incloure el seu vèrtex superior.

Si suposem que la mida de les arestes del tetraedre és 1, sabem que la seva alçada és 1/3 de l’arrel de 6. És fàcil veure a més que, a la construcció final, cada una de les 4 peces queda amb 7 vèrtexs visibles i un d’amagat. Lògicament i per simetria, els 4 vèrtexs amagats (un de cada peça) coincideixen en un punt O de l’espai que justament és el centroide del tetraedre final (punt a distància 1/12*arrel(6) de la base i que es troba a la intersecció dels sis plans de simetria que passen per cada una de les arestes del tetraedre). En aquest punt O convergeixen 4 arestes, totes amagades, en direcció a cada una de les 4 cares del tetraedre, cada una d’elles paral·lela a alguna de les arestes externes del tetraedre. Ara bé, si pensem en la silueta externa del tetraedre que es forma quan el mirem en una direcció arbitrària, ens adonarem que és un quadrilàter amb quatre arestes que anomenaré a, b, c i d. I justament, a, b, c i d defineixen les direccions de les quatre arestes amagades que conflueixen al punt O. Pensem en una d’elles (la a, per exemple). Com que a pertany a dues de les 4 cares del tetraedre, només pot definir la direcció que va de O a alguna de les dues cares que no la contenen (perquè la direcció de la recta que va d’un punt O a una cara que no conté O mai pot ser una direcció de la cara). Resumint, podem escriure una taula que indica, per a cada una de les 4 arestes a, b, c i d, les dues cares del tetraedre que són candidates a ser connectades amb O amb un segment que tingui la seva direcció. Però, curiosament, moltes de les possibilitats combinatòries que dona aquesta taula són invàlides i tot plegat permet arribar a la conclusió que només hi ha 2 configuracions acceptables, que corresponen a les construccions horària i anti-horària que hem comentat abans. En resum: un tetraedre, quatre peces idèntiques i simètriques que connecten entre elles en el centroide, dues úniques maneres de construir el trencaclosques: segons les agulles del rellotge o en sentit contrari.

Amb tot el que hem dit és fàcil veure que, al retallable, la dimensió de les 5 línies horitzontals (per a construir un tetraedre final d’aresta unitat) ha de ser de 1/4, 1/4, 3/4, 1/2 i 1/4. D’altra banda, la distància en vertical entre aquestes línies (indicant amb la lletra A l’arrel de 3) ha de ser de 1/4, (1/4)*A, (1/8)*A i (1/8)*A. I és fàcil comprovar que, amb aquestes mides, a la construcció final, els vèrtexs amagats coincideixen en el centroide O. No deixa de ser curiós que les 4 peces tinguin cada una d’elles una cara perfectament quadrada que evidentment quedarà amagada en el muntatge final.

Per a fer el trencaclosques i muntar un tetraedre regular, una bona estratègia és primer agrupar les peces dues a dues, connectant-les per les seves cares quadrades per així amagar-les. Veureu que, per cada conjunt de dues peces, només hi ha dos girs al voltant de la cara quadrada comú que construeixen un tros del tetraedre final. Ara bé, cal tenir en compte, com ja hem comentat, que una d’aquestes dues configuracions ens porta al tetraedre de sentit horari, mentre que l’altra condueix a la construcció anti-horària. Per tant, hem d’assegurar-nos que un i altre conjunt de dues peces siguin coherents entre sí pel que fa a la seva configuració “horària”. Evidentment, només en aquest cas els dos conjunts de dues peces encaixaran bé entre ells i ens donaran el tetraedre que cerquem.

Atiyah i Pugwash

dissabte, 26/01/2019

Fa dues setmanes, en Michael Atiyah ens va deixar. Molts diaris se’n han fet ressò. La Julie Rehmeyer, del New York Times, deia que Atiyah va ser un matemàtic britànic que va unir matemàtiques i física d’una manera mai vista des dels temps d’Isaac Newton. Quasi res. Ho va fer durant la dècada dels 1960. I el cert és que el seu treball amb el professor Singer del MITM va conduir, per exemple, al neixement de la teoria de les cordes com a possible manera d’entendre l’estructura i la dinàmica de l’univers, i va proporcionar poderoses eines tant per als matemàtics com per als físics teòrics. Michael Atiyah va ser investit doctor honoris causa per la UPC fa poc més de 10 anys, sent apadrinat pel llavors degà de la facultat de matemàtiques i estadística, Sebastià Xambó.

El teorema de l’índex que van desenvolupar Michael Atiyah i Isadore Singer va ser com un miracle per entendre les equacions diferencials (que són les que ens permeten modelitzar fenòmens del món físic com el comportament dels gasos i líquids, la deformació dels materials i molts altres). Atès que moltes vegades aquestes equacions no es poden resoldre, Atiyah i Singer van descobrir que al menys, el que sí es podia arribar a saber és quantes solucions diferents té una equació diferencial. Singer i Atiyah van construir un pont entre l’anàlisi i la topologia que va resultar molt fructífer: Per a qualsevol conjunt C d’equacions diferencials, van explicar que existia un objecte geomètric O que es podia formar a partir de C. A continuació, van utilitzar la teoria K (la teoria topològica que Atiyah havia construït amb Hirzebruch) per caracteritzar aquest objecte O, i van obtenir un valor enter (índex). La troballa va ser el fet de descobrir que, a partir d’aquest índex que mostra el nombre de forats de O (genus), es pot saber el nombre de solucions del conjunt inicial C d’equacions diferencials. Van passar de les equacions diferencials a la geometria (O), de la geometria a la topologia, i finalment van veure que la topologia explicava C.

En aquesta entrevista de l’any 2004, Michael Atiyah deia que si fóssim ordinadors, aquestes màquines que poden tabular grans quantitats de tot tipus d’informació, mai no desenvoluparíem cap teoria. Només caldria prémer un botó per obtenir la resposta (concreta, mai abstracte). Deia que la matemàtica és una evolució del cervell humà, que quan respon a les influències externes, crea una maquinària amb la qual pot atacar el món exterior. La matemàtica és la nostra manera d’intentar reduir la complexitat en simplicitat, bellesa i elegància.

En Michael Atiyah, però, també es va destacar pel seu rebuig a la guerra i per la seva defensa aferrissada de la Pau al món. Entre els anys 1997 i 2002 va ser president de la societat Pugwash i va coordinar les conferències Pugwash durant aquells anys. L’associació de científics Pugwash vol un món lliure d’armes nuclears i altres armes de destrucció massiva, i té com a objectiu desenvolupar i donar suport a l’ús de polítiques basades en l’evidència científica, centrades en àrees on hi ha riscos nuclears i d’armes de destrucció massiva. Pugwash vol fomentar discussions creatives sobre la manera d’augmentar la seguretat de totes les persones, promovent el desenvolupament de polítiques que siguin cooperatives i futuristes. Doncs bé, l’any 1998, i com a president de Pugwash, Atiyah va fer el discurs inaugural de la conferència que es va celebrar a Jurica (Queretaro, Mèxic) sota el lema “El llarg camí cap a la Pau”. El podeu trobar, per exemple, a “Books.Google” si cerqueu “Michael Atiyah address The Long Roads to Peace“. Després de citar els problemes concrets que tenia el món fa una mica més de vint anys (no massa diferents als d’ara), va dir això: “la imatge a llarg termini es centra en diferents aspectes: explosió de població, degradació ambiental, pressió sobre recursos del planeta, mega-ciutats, noves malalties, desigualtats. Aquests són els problemes fonamentals que dominaran el segle vinent. Però, més enllà de tots aquests problemes … tenim les possibles catàstrofes que poden engolir el món: actualment tenim armes nuclears, químiques i biològiques … Hi ha un perill inherent per la mera existència (i estat de preparació) d’aquestes armes … l’enorme càrrega econòmica imposada per la constant recerca d’armes millors i millors, dificulta el poder fer front a les necessitats reals del món a llarg termini”. Atiyah acabava dient que malauradament, el món en general prefereix les armes més que la mantega. Gran paradoxa en unes frases que avui mateix continuen sent totalment vàlides.

Si teniu una mica de temps, podeu gaudir-lo en directe en aquesta gravació de quan va donar la conferencia Gibbs l’any 1991 (força jove) o en aquesta altra de la seva xerrada als Laboratoris Cavendish l’any 2002 (ja no tan jove). A totes dues, per cert, es recolza en les famoses transparències d’acetat que tant havíem usat a xerrades i congressos. I una curiositat: les dues dates són anys palíndroms consecutius.

Les dues facetes de Michael Atiyah, la de matemàtic i la d’activista de la Pau, són ben properes, encara que a primera vista no ho sembli. Perquè la matemàtica es basa en l’abstracció, i la ciència arriba al convenciment dels nostres límits pel camí de la mesura i el pensament. Eines, totes dues, que ens ajuden a allunyar-nos de l’interès pel “bentenir” i del desig de violència. Perquè de fet, com molt bé explica l’Emilio Lledó, al principi de la cultura grega, felicitat i “benestar” eren sinònims de “bentenir: de tenir més, tenir terres, cases, esclaus, vestits. I per tenir més, moltes vegades cal manllevar-ho dels altres, amb violència. Més tard, en canvi, els mateixos filòsofs grecs van evolucionar cap al concepte del “benser”. Lledó diu que la pau interior del “benser” és conscient dels límits i es conforma amb ben poc, perquè la felicitat del “bentenir” no sols és impossible en un entorn de misèria, crueltat i violència, sino que les acaba incrementant. I he de dir que a mi, l’experiència em diu que els matemàtics i científics són molt més a la banda dels límits i del “benser” que a la del “bentenir“. Deu ser per això que, com va fer en Michael Atiyah, a molts els agrada treballar contra la violència i les armes i en pro de la pau mundial. Perquè el teorema d’Atiyah i Singer és perpetu, etern i global. I quan has descobert que la ment humana pot descobrir i crear veritats matemàtiques universals, difícilment pots acabar pensant que cal defensar “els Nostres” en contra “dels Altres”.

La imatge de dalt, que podeu trobar a aquesta web, mostra una de les escultures encisadores d’en Carlo Sequin. És una superfície d’una sola cara amb 4 vores i genus 10. En Carlo Sequin, professor de la Universitat de Califòrnia a Berkeley, va ser un dels pioners en el camp dels models geomètrics digitals.

——

Per cert, la Esther Giménez-Salinas explica que, al món, hi ha una proporció mitjana de només 10 dones per cada 100 delinqüents (la proporció de dones empresonades a Catalunya és un 7,61% del total). Diu que cal que analitzem en positiu aquesta resistència de la dona a la violència i al delicte.

El dia de les ombres allargades

dijous, 27/12/2018

A Vilassar de Mar, al migdia, l’alçada màxima del Sol sobre l’horitzó és de 65 graus el dia 21 de juny, mentre que el 21 de desembre només és de 18 graus. Però si volem saber aquests valors per al lloc on vivim, només hem de conèixer el valor de la nostra latitud (a Vilassar és de 41,5 graus) i sumar-li i restar-li l’angle d’inclinació de l’eix de la Terra que com sabem és de 23,5 graus.

Al solstici d’hivern, el Sol només arriba als 18 graus d’alçada. Molt poc, oi? Fred, foscor, ombres allargades, la vida vegetal que s’atura per manca de llum solar. És el presagi de l’hivern que vindrà per acumulació de dies i setmanes en les que el Sol escalfa més l’hemisferi sud que el nord.

Però de fet, i com hem anat sabent a partir de Copèrnic, el causant dels solsticis no és el Sol, sino el nostre planeta, que té un moviment de rotació que no lliga amb la seva òrbita al voltant del Sol. La imatge (aquesta) d’aquesta pàgina web ho explica ben clar i mostra un fenomen que és menys conegut del que ens pensem: la direcció de l’eix de la Terra, en relació als estels llunyans, no canvia al llarg de l’any (el cert és que sí que canvia una mica, perquè l’eix de la Terra descriu un moviment de precessió com el d’una baldufa, que li fa completar una oscil·lació cada 25 mil anys; però en la nostra escala de temps, podem considerar-lo totalment estable i constant). I l’eix de rotació no pot canviar durant els mesos de l’any perquè les lleis de la dinàmica de Newton ho impedeixen (vegeu la nota al final).

El solstici d’hivern sol ser el 21 o el 22 de desembre, segons l’any. Ara bé, de fet i parlant correctament, el solstici no és un dia: és un instant. Hi ha qui ens explica que el solstici d’hivern es produeix quan l’eix de la Terra està inclinat de manera que el pol nord es troba totalment a la banda contrària del Sol, en relació al centre de la Terra. Però crec que és més fàcil d’entendre-ho si ens ajudem amb un pla i dues rectes. Si ho voleu explicar als nens, comenceu per agafar un full de paper, que representarà el pla de la nostra òrbita (l’anomenat pla de l’eclíptica). Marqueu el Sol al centre i dibuixeu un cercle que indicarà l’òrbita de la Terra (és el·líptica però la podem aproximar per un cercle). Ara, travesseu el paper amb un llapis A, perpendicular al paper, justament pel punt on heu marcat la posició del Sol. I, amb un altre llapis B inclinat respecte el primer que representarà l’eix de la Terra com podeu veure a la imatge d’abans, aneu recorrent l’òrbita. La Terra gira cada dia al voltant de B i una vegada cada any al voltant de A sense modificar mai la direcció del seu eix B. Imagineu ara les rectes rA i rB que allarguen els llapis A i B fins l’infinit per les seves dues bandes. Veureu que aquestes rectes rA i rB es tallen només dues vegades al llarg de l’any, en dos punts oposats de l’òrbita de la Terra, mentre que tota la resta de l’any no es toquen. Aquests dos instants màgics en els que rA i rB es tallen, són els solsticis d’estiu i hivern.

No hem de confondre els solsticis amb el periheli i afeli, punts de l’òrbita en què la Terra es troba el més propera possible del Sol i el més allunyada possible del Sol, respectivament. De fet, la Terra a l’hivern és més a prop del Sol que a l’estiu. Aquest any, el periheli serà el dia 3 de gener, 13 dies després del solstici d’hivern. Les estacions no depenen de la distància al Sol sino de la inclinació de l’eix de la Terra.

I, parlant de plans, tot plegat es torna menys antropocèntric a mesura que ens allunyem del sistema solar. Perquè el pla de l’eclíptica és bastant arbitrari. Es va anar concretant durant tot el lent procès en el qual la matèria va anar quedant atrapada per l’atracció solar, i és força coincident amb el pla de les òrbites dels altres planetes. Però és ben diferent del pla de la nostra galàxia, com podeu veure en aquest vídeo. El pla principal de la Via Làctia, aquest pla P que el Sol orbita cada 230 milions d’anys, és un altre pla de referència que ens és desconegut i llunyà, encara que no deixa de ser bonic pensar que el Sol, des de l’aparició dels dinosaures fins ara, hi ha donat justament tota una volta, passejant per P la vida que anava creixent al nostre planeta. Encara que no hi pensem gaire, som ciutadans insignificants que vivim prop del pla principal de la Via Làctia.

Tot i que, ben pensat, per què diem que la Terra, des de l’espai, es veu amb l’hemisferi nord a dalt? Veient la inclinació del pla principal de la Via Làctia respecte l’eclíptica (i pensant en l’orientació de totes les demés galàxies) és clar que hi ha infinits possibles observadors, i que la Terra “es pot veure” amb el pol nord a dalt o amb el pol nord a sota. És per això que m’agrada capgirar les boles del món dels meus amics i deixar-les com la que veieu a la imatge de dalt, de manera que Àfrica i els països del sud quedin més rellevants. La bola del món de la imatge, en una posició que correspon més o menys al solstici d’hivern i on nosaltres som quasi a sota del tot, és tan vàlida i correcta com totes les que trobareu a les botigues. Mirar-la, fa pensar.

Diuen que els humans ens tornem violents quan tenim por, però també quan veiem coses que no entenem. Perquè la ignorància, que es pot intentar abordar amb una anàlisi científica dels fets, també ens porta malauradament als mites, als dogmes, a la veritat que creiem que només tenim nosaltres, i a la violència contra “els altres”. Només cal mirar el cas d’en Giordano Bruno o el judici a Galileo Galilei. L’instint fa que tinguem ganes de destruir aquells qui qüestionen les nostres “veritats”. I de fet, els mites poden acabar generant violència mentre que en canvi, la ciència ens acosta a la pau. La ciència ens ajuda a entendre que no és que el Sol pugi a l’estiu i baixi a l’hivern, sino que simplement tot és degut a que l’eix de la Terra manté la seva direcció. Ens explica també que totes les persones tenim la mateixa dignitat i que tots som part d’un sistema ecològic que podem aprendre a cuidar, però que també podem destruir amb la nostra cobdicia i violència. I ara, després d’entendre que l’eix de la Terra es manté invariant, seria fantàstic que fóssim capaços d’entendre que l’equilibri de la vida a la Terra també s’ha de mantenir invariant…

——

Per cert, en Sebastià Alzamora parla de la violència i diu que és el comportament més primari de l’espècie humana, a més de ser un fet polític. Diu que un ésser humà, igual que qualsevol animal, pega, fereix o mata quan té por o se sent acorralat o amenaçat; però que, a diferència dels animals, l’ésser humà es torna també violent davant del que ignora: els animals esquivaran allò que no coneixen, però l’ésser humà de vegades s’hi torna i intenta destruir-ho. Diu que aquests dos paràmetres, la por i la ignorància, expliquen gairebé tots els actes de violència que saturen l’actualitat.

——

NOTA: Val a dir que l’estrany seria que la direcció de l’eix de la Terra anés canviant perquè, com bé ens va explicar Isaac Newton, els moviments de translació i rotació sempre són independents. El centre de gravetat de la Terra, que més o menys és el centre de la geoide, es mou al llarg de l’any en una òrbita el·líptica en el pla que anomenem de l’eclíptica, mentre la Terra gira cada dia al voltant del seu eix, que no canvia en absència de parells de forces exteriors.

Si voleu saber quin és l’angle (invariant) entre l’eix de la Terra i el vector normal al pla galàctic, mireu aquesta pàgina web i els seus dibuixos. L’angle és de  62,9 graus.

La geometria de l’ordre

divendres, 23/03/2018

Anem per una carretera o camí, en un trajecte tranquil perquè volem gaudir del paisatge. Durant el trajecte, anem passant pobles. No us dic res de nou si afirmo que podem ordenar els pobles en base a quan els anem veient. Sortim del primer poble, en passem uns quants, i arribem al darrer, que és el nostre destí.

Aquest ordre, però, desapareix quan mirem els pobles al mapa, perquè ara hi ha moltíssimes maneres d’ordenar-los. Els podem ordenar per la seva latitud geogràfica, per la seva alçada sobre el nivell del mar, per la seva proximitat al mar o a una determinada ciutat, i per moltes altres variables no geogràfiques com la seva població o el nombre de bancs per seure. En les dues dimensions d’un mapa no hi ha cap ordre objectiu; en canvi, aquest ordre apareix quan caminem o anem en cotxe: les carreteres i camins ordenen els pobles. De fet, la geometria ens ho explica ben clar: tot allò que és representable al llarg d’una línia (com els pobles al llarg d’un camí o les baules en una cadena) és ordenable, mentre que allò que trobem en espais 2D, 3D o de n dimensions, és intrínsecament no ordenable. Podem ordenar-ho, és clar, però per a fer-ho ens cal afegir criteris que són extrínsecs respecte la seva posició. Aquesta multiplicitat d’ordenacions té però els seus avantatges: l’ajuntament d’un determinat poble sempre podrà trobar un criteri adient tal que, quan l’apliquin, el poble quedi el primer en l’ordenació de tots els de la seva regió o comarca. I aquí és on surten també algunes dificultats, perquè tothom acaba sent el primer en alguna cosa.

Pensem en un altre exemple. M’agradaria llogar una caseta a un poble, però no sé si tindré prou Sol a la terrassa, a l’hivern. El problema és que hi ha altres cases que no sé si em faran ombra. I la solució no és evident, perquè el problema és 3D (la posició del Sol al llarg de l’any ho és) i com acabem de veure, en aquest cas no hi ha cap ordenació intrínseca. Doncs bé, hi ha una solució elegant que ens va donar, ara fa 38 anys, l’equip d’en Henry Fuchs: podem construir un arbre de partició binària de l’espai. Perquè els arbres de partició binària de l’espai (vegeu la nota al final) estructuren la informació, sigui 2D, 3D o nD, de tal manera que contenen, de manera implícita, una infinitat de possibles ordenacions. Segons com els “llegim”, aquests arbres ens donen una ordenació o una altra. Són pots d’ordenació condensada multidimensional, estructures que ens guarden la geometria de l’ordre a l’espai. La seva bellesa, al meu entendre, és una mostra més de la poesia de l?univers.

———

Per cert, en Josep Ramoneda, parlant de les penes que demana la fiscalia Italiana als càrrecs de l’ONG Open Arms, diu que mai ningú pot ser reprimit per ajudar qui es troba en perill, i que en una societat democràtica la llei té un límit, que són els drets fonamentals de les persones. Diu també que quan aquests drets es violen, la democràcia es degrada, i que estem veient com Europa s’enfonsa al mar, per a més glòria del despotisme. Quan ho llegeixo, penso que a Europa han desaparegut l’ordre i la seva geometria.

———

NOTA: La partició binària de l’espai binari (BSP) és una manera d’estructurar un determinat espai inicial convex (per exemple, una regió cúbica) que es basa en subdividir-lo recursivament en subconjunts convexos en base a plans. Aquesta subdivisió dóna lloc a una representació dels objectes dins de l’espai basada en una estructura de dades d’arbre anomenada arbre BSP. Després d’una idea inicial de Schumacker i els seus col·laboradors l’any 1969, la proposta dels arbres BSP va ser formulada i desenvolupada en detall a partir de l’any 1980 per Henry Fuchs i els seus estudiants.

La idea és ben simple. Pensem en l’exemple de les cases i les ombres. Comencem amb una regió inicial que pot ser una capsa imaginària (convexa) que contingui, en 3D, el conjunt de totes les cases que volem estudiar. Escollim una façana d’un dels edificis més o menys centrats a la capsa inicial, i designem el seu pla P com a primer pla discriminant. Aquest pla separa i classifica totes les cases en dos grups: les que es troben a la part de davant del pla (en direcció cap enfora de la façana que ha donat lloc a aquest pla P) i aquelles que són a la seva banda del darrera. Pot donar-se el cas, és clar, que alguna casa no quedi ni al seu davant ni al darrera, sino que quedi tallada per P. En aquest cas, dividirem la casa en dues parts de manera que cada una d’elles quedi ben classificada, davant o darrera de P (de fet, una de les coses que ha de tenir en compte l’algorisme que escull el pla discriminant P, a més de subdividir el conjunt de cases en dos subconjunts acceptablement equilibrats, és el d’intentar que talli el menor nombre possible d’altres cases – en base a heurístiques que prioritzin les façanes de carrers llargs i rectes, per exemple -). Un cop hem trobat el pla discriminant P, el conjunt inicial de cases ens haurà quedat classificat en dos subconjunts: el de les que són davant de P i el de les que són al seu darrera. I cada un d’aquests dos subconjunts correspon a una regió convexa de l’espai, sub-regions R1 i R2 que provenen del fet de tallar, amb el pla P, la capsa convexa inicial. A partir d’ara, l’algorisme continua tractant, per separat, cada una d’aquestes dues sub-regions, fent-hi el mateix: cerca del pla discriminant i subdivisió del conjunt de cases entre les que són al seu davant i les que es troben al seu darrera. Per a R1, trobarà un pla P1 que la dividirà en dues sub-regions R11 i R12.  Per a R2, trobarà un pla P2 que la dividirà en dues sub-regions R21 i R22. Evidentment, P1 només actua dins de R1 i P2 només ho fa dins de R2. El procés es repeteix fins que a cada regió només hi hagi, per exemple, una casa.

L’interessant d’aquesta subdivisió recursiva de l’espai és que estructura la informació, permet la seva classificació, l’agrupa, és vàlida en 2D, en 3D i en qualsevol espai de dimensió superior nD, i a més incorpora de manera automàtica una infinitat de possibles ordenacions posteriors. Podem estructurar i organitzar a l’espai els pobles d’una comarca, les regions del cervell d’una persona o informació multidimensional d’una comarca que incorpori dades geogràfiques i de població, riquesa, salut i altres. Tot queda representat en regions polièdriques convexes que podem accedir de manera trivial tot movent-nos per un arbre de plans discriminants.

Tornem a l’exemple de les cases el Sol, les façanes i les ombres. Tindré sol a la terrassa d’aquella casa que m’agrada, el dia 10 de gener a les 4 de la tarda? L’únic que he de fer és calcular la posició (de fet, parlant amb propietat, el que he de calcular és el vector que defineix l’orientació) del Sol aquest dia a aquesta hora. Un cop sé on serà el Sol en aquest moment, comparo la seva posició amb el primer pla discriminant P. Si diem PS a la banda de P on és el Sol, i PN a l’altra banda, és evident que les cases de PS poden fer ombra a les de de PN, però que, en canvi, cap casa de PN pot fer ombra a les cases de PS. Si separo les cases en dos grups i poso primer les de PN i després les de PS, ja he fet un primer pas cap a l’ordre. L’únic que he de fer ara és repetir el procés amb els plans discriminants de PN i de PS: miro on és el Sol en relació a aquests plans i separo les cases, deixant primer les que queden separades del Sol pel pla i després les altres. Al final, aquest algorisme m’haurà generat un ordre parcial (anomenat també topològic) de manera que la primera casa en aquesta llista final ordenada pot tenir ombra de qualsevol de les altres, mentre que la darrera segur que no té ombres; per a qualsevol casa del mig de la llista, les d’abans no li poden fer ombra però les posteriors, sí. L’interessant de tot plegat és que l’ordre que obtenim depèn de la posició del Sol. L’arbre conté tots els ordres possibles de manera implícita, per a totes les possibles posicions del Sol al llarg de l’any, de manera que permet que els càlculs d’ombres siguin més eficients i ràpids.

Allò que és geomètric

divendres, 9/03/2018

Què és geomètric, i què no ho és? Si poseu “pintura geomètrica” en un cercador, us trobarà, a la web, fotos com la de dalt de la imatge, que tots veiem com una composició geomètrica. És un conjunt simple, format per superposició de figures quasi-rectangulars de diversos colors. Jo diria que la seva característica fonamental no és el fet de ser geomètric, sino la seva bidimensionalitat.

Mireu en canvi el quadre de baix, d’Edward Hopper, que és un exemple paradigmàtic del caràcter geomètric tridimensional de tot el que ens envolta. Hi podem veure les ombres degudes a l’orientació local de la superfície del terreny, que permeten deduir la posició del Sol, dalt a l’esquerra però no molt alta; les siluetes (aquells punts amb vector normal perpendicular a la direcció que els connectava amb l’ull de Hopper), les curvatures i plecs del terreny, les zones de curvatura Gaussiana positiva o negativa, algunes zones localment desenvolupables i fins i tot planes… Poca cosa es pot dir del caràcter geomètric del quadre de dalt, mentre que es podria escriure tot un llibre sobre la poesia que traspua l’obra de Hopper.

Hi ha un fet cultural força trist: no estem gaire preparats per a gaudir de la bellesa de les formes 3D, excepte, això sí, les humanes. Si ens demanen que mostrem alguna cosa geomètrica, és força probable que agafem un llapis i fem un dibuix 2D amb traços rectes i uns quants angles. Deu ser per això que els escultors són més escassos que els pintors i dibuixants.

Al món i la natura hi ha molt poques rectes. La geometria, aquesta ciència de la mesura del món que hem creat, ha de tenir eines per estudiar i entendre totes les formes corbades que ens envolten. La separació entre corbes i rectes és la que distingeix el món natural de l’artificial, perquè les rectes les vam inventar els humans. Van ser les rectes dels temples inques, egipcis, maies i babilònics, les que van inspirar Euclides quan, en un exercici d’abstracció, les va imaginar com continuació infinita del camí més curt que uneix dos punts donats.

I no es por parlar de geometria, de la geometria de veritat del món natural, sense parlar de Carl Friedrich Gauss. Gauss va ser un geni. Es diu que, als tres anys, va corregir un error en els càlculs financers del seu pare. I als set anys, a l’escola, va descobrir la formula per a calcular la suma d’una progressió aritmètica. De jove, mentre feia de cartògraf, va crear i escriure tota la disciplina que ara es coneix amb el nom de geometria diferencial, junt amb el concepte de curvatura de Gauss que porta el seu nom. El seu descobriment que les característiques de curvatura d’una superfície es poden deduir de manera completa només mesurant angles i distàncies i sense “mirar-la des de fora” és el que ara ens permet validar experimentalment la curvatura de l’espai que va plantejar Einstein a la seva teoria de la relativitat general, i la que ens ajuda a gaudir de tots els matisos corbats quan mirem el meravellós quadre de Hopper.

Tot és geometria. La nostra realitat geomètrica, tan similar a la dels altres animals, ens ajuda a entendre que som natura i que som geometria. Tenim una forma exterior quasi-simètrica, amb un pla de simetria que separa dreta i esquerra que fa que les nostres mans, en lloc de idèntiques, siguin enantiomorfes. La similitud en la disposició dels nucleòtids al llarg de l’hèlix de l’ADN (tot un prodigi geomètric absolutament tridimensional) fa que tots els humans siguem essencialment similars, i ens explica, com molt bé va fer Albert Einstein, que totes les persones que habitem el món som iguals pel que fa als nostres drets. Acabo amb tres frases que se li atribueixen: “Hi ha dues maneres de mirar la vida: creure que els miracles no existeixen o creure que tot és un miracle”, “El meu ideal polític és la democràcia. Que es respecti tothom com a individu i cap persona sigui idolatrada”, i “La paraula progrés no té cap sentit mentre hi hagi nens infeliços”.

Per cert, avui acabo amb una imatge (geomètrica, també), en comptes d’una cita:

La geometria de la injustícia

divendres, 12/01/2018

Una de les grans avantatges d’haver estat capaços de construir ginys que acabem enviant a l’espai és que podem gaudir d’imatges de la Terra com la d’aquí al costat. És un mapa de món que podeu trobar a les pàgines web de la NASA, en resolució mitjana (8 MB) i en molt alta definició (256 MB). La imatge no deixa indiferent. És la constatació que els humans hem deixat gran part de la nostra espècie a les fosques, en una situació de terrible injustícia energètica.

En Paul Smith Lomas, a unes jornades organitzades per la Reial Acadèmia Anglesa d’Enginyeria, explicava que on es fa més evident la injustícia tecnològica és en el cas de l’accés a l’energia. Perquè l’accés a una energia que sigui assequible, fiable i neta és vital per a poder tenir molts altres serveis bàsics. Ens recordava també que mil milions de persones encara no tenen accés a cap tipus d’electricitat, mentre que uns altres mil milions ho fan de manera intermitents i amb baixa qualitat. Són la gent dels països foscos del mapa.

Els grecs ens van regalar la paraula “geometria” per definir el fet de mesurar el nostre planeta i tot allò que conté. La geometria ens ajuda a mesurar el radi de la Terra, l’extensió dels oceans i els diferents tipus de territoris i paisatges. També, ens dona eines per mesurar la injustícia. A baix de tot teniu el mateix mapa del món de dalt (més aclarit per mostrar les vores dels continents) amb una malla regular superposada que permet quantificar la distribució geogràfica de tot tipus de fenòmens. Només cal comptar el nombre de cel·les que contenen allò que volem mesurar i el nombre de les que no ho contenen. Per exemple, si comptem el nombre de cel·les de terra ferma, i hi afegim totes aquelles cel·les que contenen zones costeres i que tenen més proporció de terra que de mar, i ho dividim pel total de cel·les del mapa (que és 30*60=1800), tindrem un valor aproximat del percentatge de superfície del nostre planeta que forma part dels continents i illes. Ho podem fer comptant, però també ho podem fer jugant: imprimim el mapa amb la malla de cel·les, el posem damunt la taula, i llancem moltes vegades un petit cub de fusta a l’aire, de manera que acabi caient a la taula. El percentatge de vegades que el cub de fusta cau en cel·les de terra ferma tendeix, a mesura que juguem més i més temps, al mateix valor que hauríem obtingut en base a comptar cel·les. I evidentment, si ara subdividim la malla i passem a treballar amb cel·les més petites, anirem trobant valors més acurats. En definitiva: el comptatge de cel·les en base a malles que anem refinant és un bon recurs que ens ofereix la geometria.

Si ho fem en el mapa de sota, veurem que, a Europa, no hi ha cap cel·la fosca. Per tant, i a la resolució de la malla de la imatge, podem concloure que el 100% del territori europeu té un bon accés a l’energia elèctrica. La situació a Àfrica, en canvi, és ben diferent. Si analitzem tot el continent, trobarem 21 cel·les amb punts de llum, d’un total de 96. Dit en altres paraules, el 78% del territori africà és a les fosques, amb aquest comptatge concret de cel·les que estem fent. Ara bé, per sota de la línia vermella que indica la latitud de Florida als Estats Units i que separa la franja Mediterrània de l’Àfrica subsahariana, la foscor és quasi absoluta amb molt petites excepcions. Si subdividim les cel·les i anem repetint el comptatge a mesura que aquestes es fan petites, observarem que el 99% del territori africà per sota d’aquesta línia vermella que marca el paral·lel dels 25,7 graus de latitud nord, és a les fosques.

Hi ha una segona injustícia geomètrica, però. El mapa del món que teniu dalt i baix, tot i que és l’habitual que estem acostumats a veure, eixampla les terres dels països del nord mentre encongeix les de la gent que viu al sud. És fàcil comprovar-ho. Només cal anar a un mapa del món interactiu com aquest, que mostra una part del continent africà. Sota, a la dreta, trobarem un segment que indica la distància, al mapa, entre dos punts separats mil quilòmetres. Ara, sense fer zoom, arrossegueu el mapa amb el cursor per desplaçar-vos cap al nord, a Europa, i aneu mirant el segment que mostra els 1000 Km. Veureu que cada cop que deixeu el cursor per mirar el mapa, aquest segment d’escala canvia de mida. Al final, el mapa ja mostra un segment de 500 Km. perquè el de 1000 Km. seria massa llarg. Això és degut a que els mapes del món tradicionals comprimeixen el continent africà (i tots els països del sud) mentre donen més espai a Europa. La geometria de les nostres representacions, basada en sistemes de projecció que vam decidir els europeus, és injusta amb els africans i els habitants del sud global.

La injustícia energètica és evident, encara que no mesurem res. Ens ho diu ben clar la imatge de dalt. Ara, si volem afinar més i mesurar-la, sabem que el comptatge de cel·les és una bona eina i un bon recurs de la geometria. Però també sabem que els fenòmens que veiem a la superfície de la Terra mai els podrem mesurar de manera precisa amb comptatge de cel·les sobre representacions de mapes plans del món, perquè tota projecció implica distorsió. Podem, això sí, utilitzar aquesta tècnica del comptatge de cel·les si el que subdividim és directament l’esferoide oblat de la superfície terrestre (per exemple, amb tècniques quasi uniformes com les dels icosaedres subdividits de Buckminster Fuller), i això sí que ens donarà resultats bons i acurats.

La humanitat és injusta en quasi tot, i l’energia n’és un clar exemple. No podem parlar de valors globals de riquesa o de consum energètic sense afegir dades sobre la dispersió, les desigualtats i la variància. I la geometria ens permet mesurar aquesta injustícia, que es mostra en una increïble desigualtat geogràfica. La conclusió: ho estem fent molt malament.

——

Per cert, en Ben Hayes i en Nick Buxton constaten que els efectes de l’escalfament global es presenten sempre com riscs polítics i de seguretat nacional des del prisma exclusiu dels interessos dominants a cada país. I de fet, diuen, el que s’està fent és fortificar illes de prosperitat en mig d’oceans de misèria.

El cel, els globus i els engolidors

divendres, 1/09/2017

Quan puc, que no és sovint, m’agrada escollir una nit clara i sense lluna per anar a la muntanya, lluny de la contaminació lumínica, a mirar els estels. És ben fàcil. Només cal jeure a terra, embolicar-se amb una manta, i ja estem en condicions de començar a gaudir d’un espectacle que és quasi insòlit, en aquest segle de la llum: el que ens mostren, cada nit a la foscor, bilions d’estels. Nosaltres, si anem sense binocles o telescopi, només en podrem veure uns quants milers, però amb l’avantatge de poder contemplar, de cop, quasi la meitat de l’Univers. El que he de reconèixer és que, quan ho faig, al cap d’una estona m’envaeix sovint una estranya sensació de vertigen. Tinc la impressió de he de caure cap al cel i que sóc xuclat pels estels. És llavors quan la immensitat de l’espai i la quasi eternitat dels estels em parlen de la meva insignificança.

El cel és font de coneixement i de dubtes. És un immens espai de secrets, que poc a poc anem desvetllant. Els antics pensaven que els estels eren llums, tots penjats d’una gran esfera celeste centrada a la Terra. Després vam saber que no érem al centre, i que el Sol era un estel com milions d’altres, però més aviat petit. Sabem que alguns estels són molt més lluny que altres, i que certs punts brillants del cel que ens semblen estels són de fet galàxies amb milions d’estels. Només a Laniakea, l’immens grup local de galàxies on ens trobem, sabem que hi ha aproximadament cinquanta mil bilions d’estels, agrupats en més de 100.000 galàxies com la nostra, algunes d’elles formant cúmuls com els de Virgo, Hidra i Centaure. Ara bé, des de fa 92 anys en sabem molt més i a la vegada tenim moltes més preguntes sense resposta. Fa 92 anys vam descobrir que l’Univers es troba en contínua expansió, com si els estels fossin puntets en un globus que anem inflant. Totes les galàxies s’allunyen de nosaltres, i nosaltres ens anem separant d’elles. Però això no és tot. Després vam veure, amb gran desconcert, que l’expansió s’accelera: tot se’n va, i cada cop se’n va més ràpid. Quin és el motor d’aquesta acceleració? Aquesta és la gran pregunta de la cosmologia actual. La principal conjectura ens parla de l’anomenada matèria fosca, una matèria que no hauríem pogut encara detectar i que seria la que contraresta l’atracció gravitatòria i acaba accelerant l’expansió. Però fa poc s’ha publicat una altra possible explicació, elegant i geomètrica. A continuació en teniu alguns detalls.

Abans de Copèrnic, Kepler i Galileu, eren pocs els que entenien alguna cosa sobre la forma i estructura de la Terra i el cel. Els grecs es van interessar per la geometria, que com sabem significa mesura de la Terra. Alguns d’ells, com Eratòstenes, van preparar i fer experiments d’una elegància indiscutible per a mesurar la Terra. Els càlculs d’Eratòstenes van ser els més precisos del món antic, amb un error en el radi de la Terra que oscil·la entre en 1% i un 17% en funció de si va usar l’estadi egipci o l’àtic com unitat de mesura. Però la majoria de gent ho va oblidar i durant molt temps es va desentendre de la geo-metria. De fet, la pràctica totalitat dels europeus de fa mil anys desconeixien les troballes dels grecs, i estaven ben segurs que la Terra era plana.

Amb el cel va passar el mateix que amb el nostre planeta. El tractat de l’esfera de Joan de Sacrobosco, un dels llibres més divulgats entre els segles XIII i XV, deia que la Terra era una esfera situada en el centre d’una altra esfera molt més gran amb totes els estels fixes, mentre que el Sol, la Lluna i els planetes es movien en esferes intermèdies. Després, Kepler ens va treure una primera vena dels ulls i ens va explicar que la Lluna girava al voltant de la Terra i que tots els planetes, inclosos nosaltres, giràvem al voltant del Sol. Però van haver d’esperar fins 1838 (fa només 180 anys) per a que Friederich Wilhelm Bessel ens ajudés a treure la segona vena, poguéssim començar a calcular les distàncies que ens separen dels estels més propers i féssim els primers mapes que ens mostren l’estructura del cel (vegeu la nota al final). Quan la geografia ja havia assolit la majoria d’edat, Bessel ens va obrir la porta de cosmografia i, si em permeteu, de la cosmometria.

El cel, però, és una veritable capsa de sorpreses. Quan mirem els estels a la nit, estem mirant el passat, perquè veiem la llum que ens arriba després de viatjar molts anys per l’espai. Si tenim la sort d’observar l’explosió d’una supernova que sabem que es troba a 1000 anys llum, és evident que va explotar fa mil anys, en els temps del comte Ramon Borrell, perquè la llum de la seva explosió ha tardat mil anys en arribar-nos. I si l’estel és a dos mil milions d’anys llum, és que va explotar quan tot just començava la vida a la Terra. Mirar al cel i mirar enrere en el temps és el mateix. Quan mirem els estels a la nit, estem gaudint d’un viatge al passat. Un passat que ara sabem que no és estàtic: l’any 1928, Edwin Hubble va descobrir que l’Univers és com un globus en expansió. Les galàxies que veiem al cel constantment fugen de nosaltres (i nosaltres d’elles) seguint la llei de Hubble, de la mateixa manera que els punts d’un globus es separen quan l’anem inflant (vegeu la nota al final). Molts d’aquests puntets que veiem al cel estan marxant constantment més i més enllà, i els que són més lluny ho fan més ràpid. Podria dir, rient-me de mi mateix i en una escapada puntual cap a la fantasia, que tal vegada és per això que moltes vegades he experimentat aquesta sensació de ser “xuclat” per aquests estels del cel que fugen.

Curiosament, podem fer l’exercici mental de rebobinar el temps mentre apliquem la llei de Hubble. Si ho fem i retrocedim en el temps, anirem desinflant el globus i ens adonarem que qualsevol estel o galàxia ha hagut de trobar-se més a prop nostre en el passat. Com més retrocedim, més a prop és tot. I, com que coneixem les lleis de l’expansió, podem calcular enrere i trobar fàcilment el moment del Big Bang, en què l’Univers era ínfim. Gràcies a Hubble i a la seva llei, ara sabem que l’Univers te uns tretze mil vuit-cents milions d’anys. Val a dir que aquest càlcul es complica una mica, perquè l’any 1998 es va descobrir que l’expansió de l’Univers és accelerada i cada cop més ràpida. El càlcul acurat de l’edat de l’Univers depèn de que sapiguem calcular bé el valor d’aquesta acceleració expansiva en cada moment del passat.

En pocs anys hem après moltes coses. Sabem que l’Univers és com un globus que es va inflant, que totes les galàxies es van allunyant, que la seva velocitat depèn de la distància, i ara hem vist que cada cop ho fan més ràpidament. Hem pogut descobrir les lleis que governen aquesta expansió, i amb tot això hem pogut arribar a calcular ni més ni menys que l’edat de l’Univers. Però cada descobriment porta a noves preguntes. Què és el que fa que l’Univers cada cop s’expandeixi més ràpid? Segons la llei de la gravitació universal hauria de ser al revés, de la mateixa manera que quan llancem una pedra a l’aire, cada cop puja més lentament. La idea més estesa és que aquesta acceleració expansiva és deguda a una certa matèria (i energia) fosca, que encara ningú ha pogut detectar. Però recentment ha sorgit una segona teoria, que trobo realment elegant i que es basa en pensar que tot l’Univers és ple d’engolidors invisibles. La teoria, proposada per Juan García-Bellido i Sébastien Clesse, que podeu trobar en aquest article científic, ha estat també explicada a la revista Scientific American. En García-Bellido i en Sébastien Clesse ens recorden que, just després del Big Bang, segurament hi va haver una fase d’expansió increïblement prodigiosa que va fer que dos punts separats menys que un radi atòmic, al cap d’una deumil·lèsima d’una milionèsima d’una milionèsima d’una milionèsima d’una milionèsima d’una milionèsima de segon, es trobessin a una distància de 4 anys llum. L’amplificació de les fluctuacions durant aquesta inflació (vegeu la nota al final) segurament va produir, diuen, milions i milions de “forats negres primordials” (PBH) que encara són a tot l’Univers (amb masses que anirien de la centèsima part de la del Sol a la de deu mil Sols) i que podrien explicar perfectament l’acceleració expansiva que ara observem. Com que no emeten pràcticament radiació i són invisibles, els PBH són bons candidats naturals per explicar-nos el misteri de la matèria fosca.

És clar que és una teoria que cal comprovar, i García-Bellido i Sébastien Clesse proposen alguns experiments que, en el futur, podran dir-nos si el que han proposat és cert. Però en tot cas ho trobo molt elegant, perquè si és cert no caldria cercar estranyes matèries fosques, sino que tot quedaria explicat en base a singularitats de l’espai-temps. La solució del misteri de la matèria fosca ens vindria de la geometria, mitjançant una infinitat de singularitats que s’estenen per tot l’Univers i que fan d’engolidors. La sensació de sentir-me “xuclat” pels estels a la nit és purament mental, però tal vegada, en mig de la foscor de la nit, sí que hi ha milions d’engolidors que van xuclant matèria de manera discreta i silenciosa. Les lleis de l’Univers que regeixen les nostres vides són les de la física, que anem sabent que es basa fortament en l’estructura geomètrica de l’espai. En definitiva, i en certa manera, som química dels estels (molts elements essencials per la vida, com el iode i el molibdè, van haver de ser fabricats per alguna supernova), i som física i geometria. La veritat és que, mirant el cel, em costa entendre la condició humana i la seva arrogància, dogmatisme, orgull i vanitat.

Per cert, en Xavier Antich diu que potser ens caldria una revelació com la de Petrarca, però a la inversa, per redescobrir la natura de la qual som, i ben just, una petita peça. Diu que podríem repetir el credo de Thoreau: “Crec en el bosc, i en les prades, i en la nit durant la qual creix el blat de moro”.

————

NOTA: Els estels de les constel·lacions que veiem al cel, com els de la Óssa Major o Orió, no són tots a la mateixa distància de la Terra. Friedrich Bessel va poder calcular el paral·laxi d’alguns estels l’any 1838 tot comprovant que eren molt lluny. Ho va fer observant la mateixa zona del cel dues vegades, separades mig any. Va veure que el fons d’estels fixes no canviava, però que alguns estels sí que es veien desplaçats. Aquest desplaçament és el paral·laxi. És el mateix que passa quan mirem un objecte proper tancant primer un ull i després l’altre: l’objecte es desplaça en relació al fons. Bessel va poder calcular la distància als estels amb senzills càlculs trigonomètrics a partir de saber la distància entre les dues posicions de la Terra a la seva òrbita. Actualment, una altra manera de calcular distàncies a estels i galàxies més llunyanes és la que es basa en les cefeides, estels polsants en els que la seva brillantor és funció de la freqüència de la seva pulsació. Els astrònoms, mesurant la brillantor aparent d’una certa cefeida i calculant la seva brillantor veritable a partir de l’observació de les seves pulsacions, poden calcular la seva distància.

La llei de Hubble mostra una relació de proporcionalitat entre la distància i la velocitat de les galàxies. Va ser formulada per Edwin Hubble l’any 1929 després de gairebé una dècada d’observacions, i lliga a més amb la solució de les equacions d’Einstein de la relativitat general. Diu que les galàxies s’allunyen a una velocitat proporcional a la seva distància, segons la constant de Hubble. L’Univers és per tant com la superfície d’un globus que es va inflant, però en 3D enlloc de en 2D. Si imaginem que som una formiga en un dels punts del globus i aquest es va inflant, no veurem canviar les posicions “al cel” dels altres punts, perquè les direccions es mantenen durant l’inflat. Els estels i les galàxies no canvien de lloc a l’esfera del cel, només se’n van “enrere”.

La llei de Hubble afegeix relleu i moviment al cel de nit. El desplaçament de les línies espectrals de la llum que ens arriba dels estels ens permet calcular la velocitat a que s’allunyen de nosaltres, i la constant de Hubble ens permet estimar la seva distància (que després podem acabar d’ajustar amb cefeides o amb tècniques de paral·laxi). Finalment, per cada estel del cel sabem calcular el lluny que és, el ràpid que s’està allunyant, i de quin moment del passat és la llum que ara veiem. Un llibre que explica molt bé tots aquests fenòmens és “La Poesía del Universo”, de Robert Osserman, traduït per Mercedes García i editat en castellà per Grijalbo Mondadori.

El que diuen els investigadors García-Bellido i en Sébastien Clesse és que, durant la fase d’inflació, les petites fluctuacions quàntiques es van amplificar immensament fins escales macroscòpiques, deixant l’empremta de diferències de densitat que hem pogut observar al mapa de la radiació de fons de l’Univers. En aquest procés, les regions denses de la boira inicial de partícules fonamentals podrien haver col·lapsat per efecte de la seva pròpia gravetat només un segon després de la inflació, formant els anomenats forats negres primordials (PBHs). Els PBH serien, per tant, pics de densitat produïts per fluctuacions en l’univers primitiu, que van acabar en singularitats de l’espai-temps i que van anar generant agrupacions invisibles de milions de forats negres de diferents masses, d’entre 0,01 i 10.000 vegades la massa del nostre Sol. Aquests forats negres primordials massius podrien ser la major part o fins i tot la totalitat de la matèria fosca de l’Univers.