Entrades amb l'etiqueta ‘geometria’

La horitzontal

dijous, 6/07/2017

Fa dies vaig anar a caminar per la carretera de les aigües de Barcelona. Vaig sortir de Sant Pere Màrtir, i al cap d’una hora i mitja vaig fer la foto d’aquí al costat, que mostra el camí i el lloc de sortida. Bé, de fet vaig fer dues fotos, part de les quals podeu veure a baix de tot junt amb dos detalls: un de la zona del castell de Montjuïc i amb un altre de l’inici del camí.

He canviat d’alçada, mentre caminava? El camí, fa baixada? L’horitzó, ens pot servir per a conèixer la direcció horitzontal? Si mireu qualsevol de les fotos, veureu que l’horitzó és per sota del començament del camí i pel damunt de Montjuïc. Però l’horitzó, és horitzontal?

De fet, depèn, com moltes altres coses a la vida. Depèn d’on jo sigui. Perquè la paradoxa és que l’horitzó quasi mai ens dona la horitzontal. Però la geometria, en la seva accepció més essencial de mesura de la Terra, ens aporta l’ajut que necessitem i ens obre la caixa dels misteris de l’horitzó (vegeu la nota al final). Tot es resumeix en tres indicacions: 1) allò que veiem sota l’horitzó, és a una alçada inferior a la nostra (és el cas del castell de Montjuïc, que es veu bé al detall de l’esquerra de la foto de baix). 2) tot el que veiem clarament per damunt de l’horitzó (com l’antena del cim del turó de Sant Pere Màrtir) és a una alçada superior a la nostra. 3) Si volem saber exactament l’alçada relativa a nosaltres del que veiem prop de l’horitzó, hem de fer un petit càlcul i una multiplicació en base a la nostra alçada sobre el nivell del mar (que podem saber, cercar, o bé estimar).

La foto de dalt la vaig fer des d’uns 3 Km. de distància. Tenint en compte que la meva alçada sobre el nivell del mar era de 280 metres, el valor de l’angle A (vegeu la nota al final) és de 0,00934 radians. Només he de fer una multiplicació per veure que l’error és igual a 3000*0,00934 = 28 metres. En tot cas, si no hagués tingut manera de conèixer la meva alçada i hagués considerat que era a 200 metres damunt del nivell del mar, el valor resultant hagués estat de 3000*0,0079 = 24 metres, que tampoc és tan diferent. I si hagués  suposat que em trobava a 400 metres damunt del nivell del mar, el valor resultant hagués estat de 3000*0,011 = 33 metres. Sempre que em mogui entre els 200 i els 400 metres d’alçada, puc afirmar que l’error d’alçada que em dona l’horitzó es troba entre els valors que puc calcular amb 0,0079 i 0,011, i sempre que em trobi entre els 400 i els 600 metres d’alçada, l’error d’alçada serà dins l’interval que puc calcular amb 0,011 i 0,0137.

En resum: en les condicions en que vaig fer la foto, l’horitzó es veu uns 28 metres per sota de la horitzontal. I aquesta és, aproximadament, la mesura que veiem de la diferència d’alçades entre camí i l’horitzó, a la foto. Podem concloure per tant que el camí no fa baixada, és pla. La carretera de les aigües es manté aproximadament a la cota 280.

Quan observem l’horitzó, tal vegada és un bon moment per treballar el càlcul mental. Si per exemple som a la Serra de Tramuntana, ens caldrà adaptar els càlculs de la nota del final, però si habitualment mirem el mar des de llocs que són per sota dels 400 o 600 metres, només cal que recordem tres valors: 0,0079, 0,011 i 0,0137, i ja podrem calcular la separació entre l’horitzó i la horitzontal.

He de dir que, quan soc dalt d’un turó i observo l’horitzó, no puc deixar de pensar en geometria, en l’etimologia d’aquesta paraula, en la frase de l’entrada de l’Acadèmia de Plató i en la mesura del nostre planeta. I penso que, unes quantes dotzenes d’horitzons més enllà, el passaport canvia de color i l’esquizofrènia és més possible.

Per cert, la Rosa Montero cita un llibre de David Eagleman i explica que l’element més determinant dels que predisposen a l’esquizofrènia és el color del passaport. Perquè la tensió social que produeix el fet de ser emigrant en un altre país, és un factor fonamental de risc per patir aquesta malaltia.

————

NOTA: Som no massa lluny de la costa, en un lloc des d’on veiem el mar i l’horitzó. Si sabem la nostra alçada h respecte el nivell del mar, podem calcular fàcilment la nostra distància a l’horitzó i l’error en alçada que cometem quan usem l’horitzó com a referència horitzontal. Imaginem i dibuixem un cercle que representa la Terra, i diem ara O al seu centre i R al seu radi mig, que és de 6371 Km. Suposem (això no canvia res i fa el dibuix més fàcil) que ens trobem a la línia vertical que passa per O. La nostra posició, que anomenaré P, és una mica exterior al cercle de manera que la seva distància a O és òbviament R+h. Si des de P dibuixem una recta rh tangent al cercle, aquesta recta ens dona justament la direcció en què veurem l’horitzó. La nostra distància D a l’horitzó serà la longitud del segment PH, on H (l’horitzó) és el punt de tangència entre la recta rh i el cercle. Ara bé, el triangle format pels punts P, O i H és un triangle rectangle amb l’angle recte al punt H, perquè la tangent a un cercle sempre és perpendicular al radi. Com que la longitud de la seva hipotenusa OP és R+h i el catet OH és el radi de la Terra, el teorema de Pitàgores ens diu que la distància D a l’horitzó és igual a l’arrel quadrada del quadrat de (R+h) menys el quadrat de R. En altres paraules, D és l’arrel quadrada de 2*R*h+h*h (per les alçades habituals, però, podeu comprovar que el terme h*h és menyspreable en relació a l’altre; per tant, podem simplement calcular l’arrel quadrada de 2*R*h).

La distància a l’horitzó, D, només depèn de la nostra alçada respecte el nivell del mar. Per alçades de 200 metres, 400 metres i 600 metres, aquesta distància és de 50,478 Km. (o sigui 50 Km. i 478 metres), 71,393 Km. i 87,436 Km. respectivament. Podeu comprovar-ho i calcular fàcilment el seu valor per qualsevol altre alçada h. O sigui, si som a una alçada d’entre 200 i 600 metres, l’horitzó es troba a una distància d’entre 50 i 87 quilòmetres. Podeu argumentar que semblen valors baixos, perquè algunes vegades segurament heu pogut veure algunes illes que es troben més lluny de 87 quilòmetres. Però és que les parts altes d’aquestes illes que són més enllà de l’horitzó, si no són massa lluny, sobresurten i en dies clars es poden veure.

Analitzem ara el valor de l’angle entre la direcció de la recta rh (que és la de l’horitzó que veiem) i la horitzontal. En el punt P on som, l’horitzontal és la perpendicular a la recta PO. L’angle A entre les rectes PO i PH és fàcil de veure que és idèntic a l’angle entre OH i OP, la tangent del qual és D/R. En els tres casos anteriors, amb alçades de 200 metres, 400 metres i 600 metres, aquest angle A és de 0,45 graus, 0,63 graus i 0,78 graus respectivament, tots ells força petits. En radians, aquests valors són de 0,0079, 0,011 i 0,0137. L’interès de representar-los en radians és que, multiplicant directament el seu valor per la distància de l’objecte que estiguem observant a la que ens trobem, sabem l’error en alçada (estic aproximant l’arc per la seva projecció vertical, la qual cosa és perfectament acceptable amb aquests valors tan petits dels angles). En altres paraules: si soc a 400 metres d’alçada, quan observo un determinat objecte (una casa, un camí) que és a la mateixa alçada de l’horitzó, si l’objecte és a 150 metres estic cometent un error de 150*0,011= 1,65 metres. Però si soc a 200 metres d’alçada, l’error és de 150*0,0079= 1,185 metres.

L’horitzó visible és per sota de l’horitzontal. Si soc a 200 metres d’alçada, l’error que cometo si mesuro horitzontals amb l’horitzó és de 0,0079*Dist, on Dist és la distancia a l’objecte que estic mirant. Si soc a 400 metres d’alçada, l’error que cometo és de 0,011*Dist, i si soc a 600 metres d’alçada, és de 0,0137*Dist.

Comentari final: He de dir i reconèixer que tot això que explico, per algunes i alguns de vosaltres no serà res de nou. De fet, vaig tenir alguns dubtes abans de posar-me a escriure aquest article. Però finalment, algunes persones properes van insistir…

 

 

La riquesa dels triangles

dimecres, 1/10/2014

On és el centre geomètric de Catalunya? Quin és el centre d’un triangle? Hi ha preguntes que semblen fàcils però que no ho són. En Clark Kimberling, matemàtic i compositor musical, ens explica part de la història dels triangles. Diu que fa molt i molt temps, algú s’ho va preguntar. Tot pensant, va dibuixar un triangle, i també hi va marcar les rectes que surten de cada un dels tres vèrtexs i passen just pel mig del costat oposat. Va quedar sorprès en veure que les tres rectes passaven per un punt. Va repetir l’experiment amb un altre triangle, i va observar el mateix comportament. Després de fer-ho amb un tercer triangle, ho va explicar als seus amics, que també ho van provar. Tothom que feia l’experiment, trobava el mateix resultat. Fos quin fos el triangle, sempre hi havia un punt màgic pel que passaven els tres segments rectes que unien els vèrtexs amb els punts centrals de les arestes oposades. Tal vegada era una manifestació del poder diví. De fet era una propietat ben senzilla que permetia trobar el centre de qualsevol triangle.

Segles més tard, algú va demostrar que això era sempre cert: les tres mitjanes (rectes que surten de cada un dels tres vèrtexs i creuen pel mig el costat oposat) passen sempre per un punt dins del triangle. Qui ho va demostrar, va trobar una de les propietats intrínseques de tot triangle. El punt va ser batejat com baricentre o centroide. Es va veure que aquest punt, el baricentre, és també el centre de massa del triangle. Si retalleu un triangle qualsevol en cartolina i el pengeu d’un fil, el triangle només us quedarà horitzontal si el pengeu pel baricentre. I, si el pengeu d’un dels seus tres vèrtexs, la línia vertical continuació del fil serà justament una de les mitjanes, de manera que si pinteu aquesta vertical damunt el triangle i ho repetiu pels altres dos vèrtexs, el punt intersecció serà un cop més el baricentre o centroide. Agafeu el triangle de cartolina i pengeu-lo per qualsevol punt: la línia vertical continuació del fil passarà per aquest punt màgic que els nostres avantpassats van anomenar baricentre. En aquesta web teniu una aplicació interactiva en la que podeu anar movent la posició dels tres vèrtexs del triangle i veure com es modifiquen les mitjanes i el baricentre.

Però aviat es va veure que el baricentre no era l’únic candidat, i que tenia bastants competidors per al títol de centre del triangle. Van aparèixer l’incentre, el circumcentre i l’ortocentre. I molts més. De fet, hi ha infinits punts que podem considerar que són el centre d’un determinat triangle (vegeu Nota al final). Els triangles són una mica com la política: perquè hi ha tants polítics que diuen que són de centre?

L’any 1994, en Clark Kimberling va començar un projecte inèdit. Va recopilar i posar a la web totes les propostes de centres de triangles que s’havien fet. L’afició de Kimberling pel col·leccionisme de centres no ha defallit. La seva enciclopèdia dels centres dels triangles ja conté (a data d’avui, perquè va creixent) un total de 6091 definicions, cada una acompanyada de les seves propietats i formules. La podeu consultar aquí.

Hi ha qui diu que les matemàtiques són avorrides i que a la geometria li manca la riquesa del llenguatge, de la literatura i de la poesia. Però els humans hem estat capaços d’inventar i proposar més de sis mil maneres diferents de calcular el centre d’una figura tan senzilla com és un triangle. Els triangles, tan poc sofisticats com semblen, amaguen una immensa diversitat. I de fet, encara que no ho sembli, la geometria és una font de conceptes opinables. Podríem tenir llargues converses i polèmiques sobre quin és el centre més adient, en un triangle (o a Catalunya). El cert és que la creativitat humana no té límits: pot abastar tant les paraules com els triangles.

Alguns científics pensen que tot l’Univers, tota la matèria i nosaltres mateixos, no som més que geometria. No sé si algun dia ho arribaran a esbrinar, els nostres descendents. Però la idea és captivadora, i dóna per molt. Els humans, a més d’agregats biològics, seriem agregats geomètrics racionals que s’interessen per les arts, la música, la poesia, … i pels més de 6000 possibles centres d’un objecte geomètric tan senzill com és el triangle.

Per cert, el pressupost de recerca que proposa el govern espanyol pel 2015 creix un 4,8% i arriba als 6.395 milions d’euros. Sembla una bona notícia. Però la lletra petita diu que el pressupost de recerca civil només creix un 1,3%, mentre que el pressupost de recerca militar s’incrementa en un 43%. No cal dir res més.
____________________________

NOTA: Els geòmetres parlen de les funcions de centre de triangle, i expliquen que per a cada possible funció existeix un centre diferent de cada triangle. Les funcions de centre de triangle depenen tant de les longituds dels tres costats com dels tres angles, i donen les coordenades trilineals del “seu” centre en funció d’aquests valors.

La monotonia dels territoris

dijous, 6/03/2014

ConquesGran.png No sempre és fàcil orientar-se, a la muntanya. El relleu que veiem canvia segons el punt de vista perquè hi ha muntanyes que no en deixen veure d’altres. A més, tots sabem que la perspectiva enganya i que un petit turó proper ens pot tapar tota una serralada. Si anem caminant, les formes i siluetes del que veiem van canviant constantment. A la muntanya, no hi ha pas monotonia, tot és força complicat. Però hi ha un fet ben conegut: els terrenys tenen direcció. És la direcció que l’aigua de la pluja ha marcat en les roques i la terra. L’erosió ha esculpit el territori durant milions d’anys i ens ha deixat el paisatge que veiem. Si deixem a banda els terrenys molt porosos com els deserts i les dunes, el territori quasi sempre fa pendent i no té concavitats. Els terrenys tenen direcció. És la direcció en què l’aigua avança en les escorrenties després de ploure.

De fet, és clar que en un lloc determinat, només tenim dues possibilitats. O bé el terreny fa pendent o bé no en fa. En el primer cas, l’aigua de pluja baixa en la direcció del pendent. De fet, si volem ser més rigorosos, hem de dir que l’aigua circula sempre en la direcció del màxim pendent en aquell punt. En el segon cas, si no hi ha pendent, tenim una concavitat, un mínim local si parlem en termes geomètrics. L’aigua s’hi acumula i acaba produint tolls, un llac o un estany com el de Banyoles. Però de fet, això no és una situació gaire habitual i la prova és que, exceptuant el Pirineu, en tenim pocs, de llacs. Les zones sense pendent són inestables perquè l’erosió, quan hi ha sobreeiximent del toll o del llac, va desgastant el terreny tot creant pendent.

L’aigua de pluja que cau i no es filtra, sempre baixa. Ha estat treballant milions d’anys per esculpir-se camins que sempre fan baixada, de les muntanyes al mar. De fet, hi ha una proposta matemàtica ben senzilla per als casos en què ens perdem a la muntanya. Es tracta de baixar sempre. Si baixem, arribarem a la plana i fins i tot al mar, on hi ha llocs habitats (si no tenim la mala sort de caure en un dels pocs llacs que podem trobar). El problema és que és com d’altres idees matemàtiques: ens poden ser útils, però no sempre ho són. Nosaltres no som com l’aigua, i és ben probable que si seguim aquest algorisme acabem necessitant cordes per baixar penya-segats i saltants d’aigua, a més d’una destral per obrir-nos pas per la vegetació dels torrents. Però arribarem a bon port. De fet, l’estratègia de baixar sempre en la direcció del màxim pendent no és més que l’anomenat algorisme del gradient, ben conegut en tècniques d’optimització amb ordinador.

Hi ha un fet interessant, en tot això. El fenomen no és invertible. Sempre hi ha una direcció de baixada però n’hi ha moltes de pujada. D’on ha vingut l’aigua que tenim en un lloc determinat, després de ploure?  En general pot haver vingut de molts llocs diferents. Però sempre continua baixant en la direcció de màxim pendent del terreny. Sabem que si no deixem de baixar, arribarem a baix de tot, a la costa. Però si no deixem de pujar, és clar que no sempre arribarem al cim que volem. Alguns cops ens equivocarem i arribarem a un cim més baix; haurem de baixar i tornar a pujar per a corregir el nostre error. En els terrenys hi ha punts més alts que tots els que els envolten. Són els cims. Però pràcticament no trobem cap punt que sigui més baix que tots els que l’envolten. Les depressions són molt poc habituals. La raó de tot plegat és que la gravetat és direccional. I en conseqüència, l’erosió també ho és. L’aigua s’ha anat fabricant camins cap avall però no ha tingut cap necessitat de crear camins cap amunt.

Els territoris són monòtons, parlant en termes matemàtics. Ho són perquè tenen un ordre intrínsec i estan orientats en el sentit que baixa l’aigua. Si pensem que són superfícies o funcions de dues variables que codifiquen l’alçada en qualsevol punt d’unes determinades coordenades geogràfiques, els terrenys són superfícies sense mínims, en les que sempre podem anar baixant (amb les excepcions dels estanys i depressions). Les funcions matemàtiques monòtones representen una relació d’ordre, i els terrenys incorporen l’ordre que l’aigua els ha anat esculpint al llarg de molt i molts anys. Si ho mirem així, hem de dir que no és cert el que dèiem abans. A la muntanya, sempre hi ha monotonia, en sentit matemàtic i geomètric. És la monotonia de l’aigua, és l’ordre intrínsec a les conques dels rius.

El que teniu a dalt és un mapa de les conques hidrogràfiques de Catalunya, que també podeu veure aquí. La zona de més a l’esquerra inclou la Vall d’Aran, bona part de la província de Lleida i part de la de Tarragona. Tota aquesta zona pertany a la conca de l’Ebre excepte la Vall d’Aran, que com sabem és conca Atlàntica. La pluja de Lleida s’encamina cap l’Ebre, però la que cau a la Vall d’Aran fa un llarg camí fins Bordeus i l’oceà, si abans no es filtra sota terra o acaba en una aixeta. La zona de la dreta del mapa, amb més regions delimitades en negre, inclou totes les conques Mediterrànies excepte la de l’Ebre. Tot el que plou i no s’absorbeix en qualsevol punt d’una d’elles, segueix un camí sempre descendent fins sortir al mar per un dels rius principals. Hi ha conques grans, com la del Llobregat, el Ter o el Fluvià. D’altres, com la del Tordera, són força més petites i recullen menys aigua.

Els mapes de les conques hidrogràfiques destil·len l’historia dels terrenys i de la seva erosió al llarg de milions d’anys. Fixeu-vos que la frontera entre la conca del Llobregat i la del Ter és molt gran. Quan plou en aquestes zones, les gotes que venen d’un mateix núvol es separen i acaben seguint camins divergents. Unes viatjaran per Girona i Verges mentre que les altres passaran prop de Montserrat i de l’aeroport de Barcelona. Pocs mapes inclouen aquestes fronteres naturals entre conques. I és ben trist, perquè tenen més historia que les fronteres artificials que edifiquem els humans. Les nostres fronteres duren uns quants segles, però les fronteres entre conques perduren milers i milers d’anys. L’extensió de les conques hidrogràfiques ens explica perquè té sentit construir embassaments a la conca del Llobregat i no a la del Besós o a la del Daró. El territori Català té tantes regions monòtones com conques. Heu pensat algun cop, en creuar aquestes carenes i línies geogràfiques de separació entre conques, que esteu canviant de regió en el món de l’aigua? Dalt d’aquestes carenes podeu gaudir de l’experiència de pensar que les aigües a una i altra banda van visitant tranquil·lament terrenys de monotonicitat constant, sempre baixant fins arribar al mar.

La gestió de les conques no és gens fàcil, i això és especialment cert en els rius que reguen diversos països. Si els que viuen aigües amunt es queden massa aigua, els pobles d’aigües avall es queixaran, amb raó. En alguns casos, el tema s’ha resolt bé, amb pactes entre uns i altres. En d’altres, la gestió de les conques és un aparador que ens mostra les relacions de poder i dominació. Tot plegat és molt lent si es vol fer bé, perquè cal que tothom accepti la solució final. La gestió del riu Colorado n’és un bon exemple. L’any 1922 ja es va arribar a un primer pacte entre Mèxic i els Estats Units, pacte que s’ha anat millorant al llarg dels anys i que va ser objecte d’una darrera regulació fa poc més d’un any. És bonic observar la seva flexibilitat, que es concreta en el fet de contemplar i regular situacions extremes, de sequera o de massa aigua, que requereixen solucions adaptades i específiques. I és bo saber-ho perquè la gestió de l’aigua, al segle XXI, no serà pas senzilla, a les nostres latituds.

Per cert, la Plataforma en Defensa de l’Ebre diu que si s’aplica el previst en el nou Pla Hidrològic s’acceleraran els processos de salinització, subsidència i regressió que ja pateix la desembocadura del riu.

Les edats cúbiques

dimecres, 6/11/2013

Edats_Cubiques_Mandarines.jpg Els aniversaris també poden tenir una flaire matemàtica i geomètrica. Sabeu que hi ha edats que són unidimensionals, d’altres que són bidimensionals i que algunes són volumètriques?

Hi ha un joc que podeu fer el dia de l’aniversari dels vostres fills o amics. Encara que ben pensat, i per a que no us diguin que sou una mica friquis, tal vegada és millor que el feu al cap d’uns dies… Es tracta d’intentar construir figures geomètriques amb un nombre d’objectes igual al de l’edat que estem celebrant. Ho podeu fer amb daus, peces de fruita o fins i tot amb glaçons. Fareu fileres, circumferències o corbes més o menys creatives. Però no sempre podreu posar-los en forma de polígons o de figures a l’espai.

Només hi ha tres edats cúbiques: els vuit, els vint-i-set i els seixanta quatre anys. A la imatge podeu veure el primer cas. La prova de que els vuit anys és una edat cúbica és que podem disposar vuit mandarines de manera que formin un cub de dues per dues per dues. Com que 27 és 3 al cub, als joves que fan vint-i-set anys els podeu regalar 27 bombons posats de manera que omplin un cub de 3 per 3 per 3, i és clar que els 64 anys formen un cub de costat 4. Però ja no trobem cap més edat cúbica fins els 125 anys, que difícilment celebrareu si no sou tortugues.

Hi ha edats rectangulars, com els 35 anys, i edats quadrades com els 25. Amb 35 daus podem fer un rectangle de 5 per 7, però és fàcil veure que amb aquests daus no podem construir cap poliedre tridimensional. Els 25 i els 35 anys són edats planes, bidimensionals. Algunes edats són encara més simples. Als 23 anys, no podeu fer altra cosa que posar els daus en fila perquè no queden bé de cap altra manera. Els 23 anys són unidimensionals, com els 37 o els 59 anys. En canvi, els 60 anys són polièdrics i en concret paral·lelepipèdics: podem construir una caixa de 4 per 5 mandarines de base amb tres pisos d’alçada.

En les edats triangulars, si el dia del nostre aniversari anem a comprar tantes mandarines con anys complim, després les podrem deixar damunt la taula en forma de triangle regular i equilàter. El 3 és evidentment un nombre triangular, i és fàcil veure que hi ha un bon nombre d’edats que compleixen aquesta propietat de ser triangulars. Ho són els 6 anys, i també els 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78 i 91, i no segueixo perquè poca gent arriba als 105 anys. Cada triangle es forma a partir de l’anterior tot afegint tantes mandarines com justament té aquesta base més una. I podreu comprovar fàcilment que tota edat triangular és a més rectangular.

Finalment, tenim algunes edats que són piramidals. Ens deixen construir piràmides regulars amb diferents nivells com la que teniu a la imatge de dalt, piràmides en les que cada nivell és un dels triangles equilàters que ara tot just comentàvem. Formen tetraedres, sòlids Platònics com els cubs. Però les edats piramidals són més escasses que les triangulars. Les úniques edats piramidals o tetraèdriques són els 4 anys, així com els 10, 20, 35, 56 i 84 anys.

Galileo Galilei ja va dir que el llibre de la naturalesa i de l’Univers que veiem davant els nostres ulls no es pot entendre si primer no aprenem la seva llengua i aprenem a conèixer els caràcters en els que és escrit. Galileo deia que l’Univers està escrit en llengua matemàtica, i que les seves característiques són els triangles, cercles i d’altres figures geomètriques sense les quals és impossible entendre’l: sense això, deia, tot és un endinsar-se vanament en un fosc laberint.

El fet que un nombre sigui unidimensional, rectangular, cúbic o tetraèdric no té massa misteri perquè tot plegat es deriva de la seva descomposició en factors primers. Euclides ja va demostrar que existeixen infinits nombres primers, i que tots els altres nombres són productes d’aquests primers. El teorema fonamental de l’aritmètica estableix que qualsevol enter positiu superior a 1 pot representar-se sempre com producte de nombres primers, i que aquesta factorització és única. En aquest context, és clar que que els nombres primers no permeten fer ni rectangles ni poliedres, i que els nombres que només tenen dos factors primers són bidimensionals i “plans”. Per poder generar volums i poliedres, cal evidentment que els nombres tinguin tres factors primers o més. Per cert, sabríeu establir la relació que hi ha entre els nombres triangulars i els nombres quadrats? I la que també hi ha entre els tetraèdrics i els cúbics? Cada nombre triangular té un “nombre germà” que és quadrat, de la mateixa manera que cada nombre tetraèdric té un germà cúbic.

Les converses entre matemàtics són estranyes. En el seu llibre “Apologia d’un matemàtic”, Godfrey Hardy explica una anècdota del dia que va anar a visitar el seu amic i deixeble Ramanujan quan aquest estava malalt. Srinivasa Ramanujan va ser un dels grans matemàtics de principis del segle XX, ben conegut pels seus descobriments en el camp de la teoria dels nombres. Per parlar d’alguna cosa, aquell dia Hardy va comentar que havia arribat en el taxi número 1729, però que aparentment aquest nombre no tenia res d’especial. Ramanujan va replicar immediatament que això no era pas cert, perquè el 1729 era un nombre molt interessant: de fet, el 1729 era (i és) el nombre més petit que es pot representar com a suma de dos cubs de dues maneres diferents. Des d’aquell dia, als nombres que es poden expressar de dues maneres com a suma de dos cubs, se’ls anomena nombres del taxi, “taxicab numbers“. Ramanujan era amic de tots els nombres i de tots ells en podia dir anècdotes. Va morir massa jove i tot i així, va deixar un gran llegat. De fet, quan li van preguntar a Godfrey Hardy sobre quina creia que havia estat la seva contribució més important al món les matemàtiques, va contestar que sens dubte, el descobriment de Ramanujan. L’havia descobert i portat a Cambridge, on van poder treballar en nombrosos problemes matemàtics.

Quants anys teniu? La vostra edat, és unidimensional, bidimensional o tridimensional? L’encant de tot plegat és que la flexibilitat geomètrica dels nombres és conseqüència directa de la seves propietats pel que fa a la factorització. I això és quelcom d’intrínsec als nombres, és el llenguatge i la poesia de l’Univers. Si comptem fins a dotze i anem agafant cada cop un còdol, al final podrem disposar-los en dos pisos de tres per dos. Ho podem fer nosaltres, i ho pot fer qualsevol ésser intel·ligent en els llocs més recòndits de les galàxies. Els nombres primers i els factors primers són el llenguatge bàsic i comú de la vida intel·ligent, es trobi on es trobi. En paraules de Javier Sampedro, el fet sorprenent i quasi irracional de les matemàtiques és la seva eficàcia per a descriure els mecanismes de l’Univers, per a capturar la seva harmonia i essència i per a preveure el seu futur. Qui diu que la matemàtica no és poesia?

Per cert, Moisès Broggi deia que hem d’estar contents d’haver nascut i viscut després de Mozart.

Cóm fer que una taula no balli

dimecres, 7/08/2013

Taula.jpg Tenim una taula de quatre potes com la de la imatge, però una de les seves potes no toca el terra. Podem fer que quedi ben estable, sense falcar-la?

La solució és senzilla. Si la taula està ben fabricada i els punts de sota de les quatre potes formen un quadrat regular (i per tant pla), només cal que girem la taula i segur que trobarem una posició en la que la taula queda estable. Sabeu per què? Si pensem una mica, veurem que la resposta ens arriba des de la geometria.

Les taules de tres potes sempre queden estables, sense ballar. Però tenen una base més petita i és més fàcil que bolquin. Les de quatre potes tenen una bona base de sustentació, però la quarta pota no sempre toca el terra. Ho podem entendre si identifiquem les potes amb gomets de colors, com en la imatge. Imaginem que la taula es recolza bé en les dues potes que porten el gomet groc, però que es mou. Quan la pota “vermella” toca el terra, la “verda” queda aixecada, i quan la la “verda” toca el terra, la que queda aixecada és la “vermella”. Com que estem suposant que les potes formen un quadrat pla, és clar que el que no és pla és el terra. I la taula balla perquè oscila entre dos estats estables, cada un d’ells del tipus “taula de tres potes”: o bé es recolza en les dues grogues i en la vermella, o bé en les dues grogues i en la verda.

Imaginem ara que girem la taula exactament un quart de volta i deixem les potes vermella i verda on abans teníem les grogues. Lògicament, la taula es recolzarà en aquestes potes vermella i verda i les que ballaran seran les dues potes grogues. Podem aconseguir que com abans, la base de sustentació sigui el triangle format per les dues potes grogues i la vermella? És fàcil veure que això només és possible si imaginem una situació virtual en què les potes siguessin com agulles que poguessin perforar el terra: si girem al voltant de l’eix definit per la pota vermella i la groga que toca el terra i volem fer que l’altra pota groga també hi toqui, haurem de clavar la pota verda i enfonsar-la sota el terra.

Finalment, la solució ens ve de la mà de les matemàtiques i de la teoria de les funcions continues, que va desenvolupar Bernhard Bolzano ara fa uns dos-cents anys. Sabem que tot el que varia entre dos estats extrems, passa per tots els estats intermedis. Si la temperatura al migdia és de 30 graus i a la nit ha estat de 20 graus, en algun moment del matí hem d’haver passat pels 25 graus (i pels 23, i pels 27). En el nostre cas, tenim dues posicions en les que la taula s’apoia en les mateixes tres potes: les dues grogues i la vermella. Però en una d’elles, la pota verda queda sense tocar el terra mentre que en l’altra, queda sota terra. I com que el terra és continu, el teorema de Bolzano ens diu que existeix una posició intermèdia en la que la pota verda no és ni per sobre ni per sota, sinó que toca el terra. En aquesta posició, la taula es recolza en les quatre potes. Només hem d’anar girant la taula fins trobar aquesta posició.

Nota: Agraeixo a l’Àlvar Vinacua que m’expliqués aquesta solució, un matí d’hivern mentre treballàvem en una taula mal falcada.

Les matemàtiques i la irracionalitat

dimecres, 26/06/2013

CargolNautilus.jpg Els pitagòrics van ser molt bons matemàtics. Algunes de les seves demostracions ens són útils encara ara. Estaven tan segurs dels seus descobriments, que es van passar. Defensaven que el món era “harmonia i nombres” i que tot s’ordenava segons proporcions. Totes les mesures, enteres, es relacionaven entre sí segons fraccions que indicaven els seus valors relatius. Van crear un gran mite que ho explicava tot. Però van acabar ensopegant amb una figura geomètrica tan senzilla com és el quadrat. El mite pitagòric es va desintegrar davant dels quadrats. El mateix raonament que els havia permès construir el seu mite, els va fer veure que era fals. La seva racionalitat els va portar al descobriment de fets irracionals, que ningú va entendre ni va poder explicar fins 2000 anys després.

De fet, Pitàgores és un dels noms grecs més coneguts, sobretot gràcies al “seu” teorema.  Però en sabem molt poc, d’ell. Sabem que va viure entre el 582 i el 496 abans de Crist. Tot i haver nascut a Samos, va marxar al sud d’Itàlia, a Crotona (en la regió anomenada Magna Grècia) on va fundar una escola, una societat secreta amb bases matemàtiques i filosòfiques i amb regles molt estrictes de conducta. Els pitagòrics eren vegetarians, seguien estranys ritus i tenien una moral basada en l’estudi i en el desig de saviesa. Els descobriments no es podien atribuir a cap membre concret de l’escola, eren simplement considerats troballes de l’escola, de la secta. El seu lema era que tot eren nombres: pensaven que l’estructura de l’univers era aritmètica i geomètrica. Els pitagòrics (terme amb el que els anomenava Aristòtil) van descobrir l’harmonia i la teoria musical, van introduir els pesos i mesures i van defensar que la Terra era esfèrica. Però estaven tan capficats amb les seves teories que van acabar creant el seu propi mite. Barrejaven el coneixement científic rigorós amb idees místiques i supersticioses populars molt antigues, vinculades a la màgia numèrica.

Els pitagòrics van descobrir que els sons musicals harmoniosos en instruments de corda corresponien a longituds de la corda en proporcions senzilles. De fet i segons una llegenda, Pitàgores va elaborar la seva teoria musical quan va escoltar els sons dels martells de diferents mides (i pesos) dels ferrers. Les consonàncies bàsiques de la música eren tres: l’harmonia que passa d’una octava a la següent amb la fracció 1/2, la cinquena (quan la relació entre freqüències és 2/3), i la quarta, quan aquesta relació és de 3/4. Tot es podia mesurar amb nombres i amb fraccions.

Els pitagòrics definien els nombres triangulars com els que podíem obtenir tot col·locant monedes en forma de triangle. Si poseu tres monedes en línia damunt d’una taula, afegiu una segona fila amb dues monedes encaixades i finalment en poseu una dalt de tot, obtindreu un triangle equilàter de sis monedes. Si comenceu amb quatre monedes, el triangle tindrà 4+3+2+1=10 monedes, i si comenceu amb cinc, el triangle tindrà 5+4+3+2+1=15 monedes. Els nombres 6, 10 i 15 són nombres pitagòrics triangulars. De fet, el 10 representava l’harmonia pitagòrica i s’anomenava “tetraktys” o dècada. Una harmonia que no era el simple resultat de comptar els dits de les mans, sinó que es destilava d’un procés d’abstracció matemàtica. I a més dels nombres triangulars, tenien els nombres quadrats: si enlloc de fer triangles amb monedes feu quadrats, obtindreu els nombres quadrats perfectes: 4, 9, 16, 25, 36, etc.

L’anomenat teorema de Pitàgores procedeix dels babilonis, però probablement el seu nom ve de del fet que sembla que els pitagòrics van ser els primers a donar-ne una demostració senzilla i geomètrica. Com és ben conegut, el teorema diu que en tot triangle rectangle, la suma dels quadrats de les longituds dels dos catets és igual al quadrat de la longitud de la hipotenusa. Els triplets pitagòrics són valors enters que fan que els triangles amb costats d’aquestes llargades siguin rectangles. El triplet pitagòric més conegut és el 3, 4, 5.

El símbol de l’escola pitagòrica era l’estrella de cinc puntes que es forma quan es dibuixen totes les diagonals d’un pentàgon regular. És clar, per tant, que sabien com construir pentàgons regulars. Segons Simone Weil, el pensament pitagòric és el gran misteri de la civilització grega, perquè el trobem per totes bandes. Impregna gairebé tota la poesia, la filosofia – sobretot Plató, que Aristòtil veia com un pur pitagòric -, la música, l’arquitectura, l’escultura, l’aritmètica, la geometria, l’astronomia, la mecànica, la biologia… Però malgrat tot, en sabem molt poc: a més del secretisme de la secta, s’han perdut tots els seus escrits i només en sabem per referències indirectes.

Pensem ara en la seqüència dels quadrats perfectes: 1, 4, 9, 16, 25, 36, etc. Existeix algun quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte? Fixeu-vos que no és el cas del 9, perquè 18 no és un quadrat perfecte. Tampoc és el cas del 25, perquè el 49 ho és, però el 50 no.

Els pitagòrics van demostrar que la resposta és negativa, i ho van fer ara fa més de 2500 anys. Van veure que no existeix cap quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte. La demostració pitagòrica, molt senzilla, ens ha arribat gràcies a Aristòtil (vegeu nota al final). Va ser un resultat terrible, que els pitagòrics no van poder entendre. Volia dir que la diagonal dels quadrats era incommensurable. És fàcil d’imaginar la seva perplexitat. Imaginem qualsevol unitat de mesura (un centímetre, un pam, un metre) i suposem que construïm un quadrat tal que el seu costat mesura A unitats, on A és un enter: si A=100, estarem fent un quadrat de 100 x 100. Doncs bé, segons el seu propi teorema de Pitàgores i dient H a la longitud de la diagonal del quadrat, el doble del quadrat de A ha de ser igual al quadrat de H. Però com que ja havien demostrat que no existeix cap quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte, és clar que la longitud de H no pot ser entera, i per tant la relació entre A i H no pot ser una fracció. I el mateix passa si la longitud de A és fraccionària (vegeu nota al final). En un simple quadrat, la diagonal no es pot mesurar. Els pitagòrics es van topar amb el concepte de magnituds incommensurables. Segons el mateix Euclides, a la seva proposició 8, “Si dues magnituds no guarden entre si la raó que un nombre guarda amb un nombre, les magnituds són incommensurables”. Els pitagòrics van veure que no hi havia cap manera d’expressar el valor de la longitud de la diagonal d’un simple quadrat. Cap operació aritmètica ni cap fracció podia donar el seu valor, en funció de la longitud A del costat.

Va ser la seva gran contradicció. Els pitagòrics van crear un mite i ells mateixos van descobrir que l’havien de destruir. Van creure que tot es podia explicar amb enters i fraccions, i que el nombre era l’essència de totes les coses. Però tot raonant, van veure que això era fals. La situació va ser realment dramàtica. Tan dramàtica, que van decidir mantenir en secret la demostració. Era difícil acceptar que havien demostrat la falsedat del seu propi mite. Havien trobat un resultat estrany, irracional. Per això, els nombres que mesuren magnituds com la diagonal d’un quadrat o la superfície d’un cercle que no es poden expressar com fraccions, se’ls anomena nombres irracionals. Les matemàtiques dels irracionals van nàixer de la perplexitat dels pitagòrics.

Va caldre esperar fins Newton i Leibnitz per entendre el què passava. Ningú ho va saber entendre fins fa poc més de 300 anys. Isaac Newton i Gottfried Wilhelm von Leibniz van inventar el càlcul infinitesimal i van descobrir que, per estudiar els valors infinitament petits, les fraccions no eren suficients. Van estudiar l’anomenada recta real. Imagineu que pintem una línia recta, marquem els punts que són a distància 1, 2, … del seu origen i després hi anem marcant els punts corresponent a totes les possibles fraccions: punts a distància 1/2, 2/3, 3/4, etc de l’origen. És impossible fer-ho perquè no acabaríem mai, però si fos possible, veuríem que al final quedarien molts més forats que llocs marcats. Quedarien tots els forats corresponents a nombres irracionals, a valors que no es poden expressar com fraccions o proporcions. La longitud de la diagonal d’un quadrat és el producte de la mesura del costat per l’arrel quadrada de 2, i les arrels quadrades de 2, de 3, de 5 i de molts altres nombres són nombres irracionals: els nombres de Leibnitz i Newton, els nombres que no podem escriure com fraccions sinó que els hem de calcular com a límits de successions.

A més de moltes arrels quadrades, el nombre “pi” i el nombre “e” són irracionals. També ho és la raó àuria o proporció divina, que impregna la natura. La raó àuria, de valor 1,618033… és la meitat de la suma de 1 més l’arrel de 5. Com que l’arrel de 5 és irracional, la raó àuria també ho és. La natura és plena de proporcions àuries: els pètals de les flors, els nervis de les fulles, les espirals logarítmiques dels cargols “nautilus”. Tots són magnituds irracionals, són “excepcions” a la racionalitat pitagòrica.

Nota: Els quadrats perfectes són els quadrats dels nombres naturals 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. En d’altres paraules, són els nombres que tenen arrel quadrada entera. El que van demostrar els pitagòrics és que és impossible trobar una parella d’enters A, B tals que 2*A*A sigui igual que B*B. Ho van fer per reducció a l’absurd: suposem que sí que hem trobat aquesta parella de valors A i B. En aquest cas, els dos enters 2*A*A i B*B són iguals. Calculem la seva descomposició en factors primers, que és ben conegut que és única (per exemple, si 2*A*A=50, els factors primers són 2,5,5 perquè el resultat del producte de tots tres és 50). Però en aquest resultat, el nombre de factors “2” serà sempre senar perquè afegim un “2” als factors de A*A i en qualsevol quadrat, els factors primers hi són en nombre parell. Per tant, el nombre de factors “2” en B*B ha de ser senar. I això és absurd, perquè sabem que B*B és un quadrat perfecte. Aquest absurd és el que els va enderrocar el seu mite.

Un darrer comentari, sobre la diagonal dels quadrats. Si el costat A fos fraccionari, per exemple amb un valor igual a 100 i 3/4, només cal amplificar el quadrat 4 vegades (4 és el valor del denominador) i l’haurem convertit en un quadrat de costat enter amb A=403, que ens porta al cas anterior que ja hem considerat.

Per què la lluna no té sempre la mateixa forma?

dilluns, 2/07/2012

LlunaQuartCreixent2.jpg Sembla una pregunta senzilla: perquè només en veiem la part il·luminada pel sol, i perquè la posició relativa entre el sol i la lluna va canviant al llarg de tot el cicle lunar de 29 dies.

Fa uns 2300 anys, a Alexandria, Aristarc de Samos va pensar el mateix. Però va anar més enllà, i com a bon científic, va veure i va saber interpretar el que tothom tenia davant dels seus ulls però no comprenia. Aristarc es va situar mentalment a la lluna, en el moment del quart creixent. Si des de la terra veiem exactament la meitat de la lluna il·luminada i la meitat no, és que estem mirant “de costat”. És el mateix que quan fem una foto a una persona. Si el sol és baix (per exemple, a punt de pondre’s) i fem la foto amb el sol de costat, a la foto veurem mitja cara rebent la llum del sol i mitja cara a l’ombra. El raonament d’Aristarc va ser impecable. Va començar pensant que a l’espai, la terra, la lluna i el sol formaven un triangle. En el moment del quart creixent, la lluna té el sol de costat. Per tant, el triangle terra-lluna-sol en aquest moment ha de ser rectangle. En altres paraules, l’angle (mesurat des de la lluna i en el moment del quart creixent) entre el sol i la terra, ha de ser de noranta graus. És admirable, no? Simplement mirant la lluna des de la terra, Aristarc va deduir l’angle que hauria vist si hagués anat a la lluna!

Aristarc  va ser probablement el primer en continuar el raonament i deduir que el sol era molt més lluny que la lluna. Ho va fer connectant idees, barrejant la seva abstracció del triangle rectangle lluna-terra-sol amb les eines de càlcul geomètric i trigonomètric que existien llavors. Simplement, i des d’Alexandria, va mesurar l’angle entre la lluna i el sol en el moment del quart creixent i amb això va poder saber el valor dels tres angles del triangle rectangle lluna-terra-sol. Va concloure que el sol era unes 18 vegades més lluny que la lluna.

No sabem si aquesta deducció la va fer Aristarc per primer cop, o si es va inspirar en texts i treballs d’astrònoms anteriors. En sabem molt poc, dels avenços i dels descobriments dels antics. Però el que sí és clar és que fa 2300 anys ja hi havia qui sabia com calcular distàncies relatives entre la terra, la lluna i el sol.

L’únic problema que va tenir Aristarc va ser un problema de mesura. Els seus instruments eren precaris, i es va equivocar quan va mesurar l’angle entre la lluna i el sol. Si intenteu repetir el seu experiment (ho haureu de fer al matí, que és quan, a la fase de quart creixent, podem veure simultàniament la lluna i el sol al cel), comprovareu que l’angle entre la lluna i el sol és quasi de noranta graus. De fet, és de 89 graus i 51 minuts. La seva mesura, en canvi, va ser d’uns 87 graus. El seu raonament va ser totalment correcte, però no va poder mesurar millor l’angle. Ara sabem que un error de quasi tres graus en un triangle rectangle tant allargat produeix errors molt grans en el resultat. De fet, el sol és bastant més lluny: uns 400 cops més lluny que la lluna.

Aristarc de Samos va defensar la teoria heliocèntrica, però no li van fer cas. Les teories geocèntriques, amb la terra al bell mig de l’univers, dominaven en el camp de l’astronomia. Van haver de passar quasi 1800 anys fins que Copèrnic ens va demostrar que no érem al centre de l’univers.

El llibre d’Aristarc, “Sobre els tamanys i les distàncies del sol i de la lluna”, traduit al llatí per Commandino l’any 1572, el teniu també en versió castellana. I aqui tenim una de les pàgines del llibre de Commandino. En notació traduida directament del grec, A representa el sol, B la terra i C la lluna:

DiagramaAristarcSamos.jpg