Entrades amb l'etiqueta ‘gradient’

Elogi dels pendents

dimecres, 26/07/2017

Quan caminem o quan anem amb bicicleta, sabem molt bé què són els pendents perquè els notem. És un concepte ben clar i senzill. Mireu el tram que he marcat en groc, a la zona del mapa de la imatge dins la lupa. Si sabem l’escala del mapa, només hem de mesurar la distància entre dues corbes de nivell. Un pendent del 5% ens diu que la carretera (o la pista) puja cinc metres cada 100 metres de recorregut horitzontal en el mapa, i si el pendent és del 10%, és que cada cent metres en pugem 10. Però, per què 100 metres? Si el camí puja de manera regular, podem fer el càlcul cada cent (o dos-cents) metres i el resultat ja serà prou acurat. Però si és un camí de muntanya, el pendent és irregular i pot canviar metre a metre. En aquest cas, podem calcular el pendent local amb una barra de fusta d’un metre. La recolzem a terra per l’extrem més elevat i la mantenim horitzontal (per exemple, amb un nivell d’aigua). La distància de l’altre extrem al terra, en vertical i en centímetres, ens diu el pendent de la pista, perquè una pujada constant de 10 centímetres cada metre indica un pendent del 10%, el mateix que quan pugem 10 metres cada 100 metres (vegeu la nota al final). I què és millor? Mesurar pendents en un tram llarg, de cent metres o d’un quilòmetre, o mesurar pendents locals? Tot depèn del que vulguem saber, si el que ens cansarem a cada pas o el que pujarem al final. En tot cas, el problema del pendents locals és un tema apassionant, que va captivar a Grecs com Arquimedes i que va acabar sent resolt de manera meravellosa i elegant per Newton i Leibnitz. Quan us parlin de derivades, penseu en el pendent de les carreteres. Les derivades no són més que el pendent local a cada punt, calculat amb barres horitzontals cada cop més petites. Les paraules espanten una mica, però els conceptes no.

Imaginem ara que decidim sortir de la pista i continuar camp a través. Hem deixat el camí, unidimensional, i ara ens podem moure en qualsevol direcció. Tenim la llibertat d’anar al Nord o al Sud, a l’Est o a l’Oest. Però, quin és el pendent, quan som en un punt determinat de la muntanya? La resposta no és difícil: només cal pensar que, a mesura que tenim més llibertat, el concepte de “pendent” s’enriqueix. En 2D, en dues dimensions, en lloc de pendents tenim gradients. El gradient té direcció, a més del valor del pendent. Té la direcció del màxim pendent. Imagineu-vos a qualsevol lloc de la muntanya que veieu a la imatge. Mireu al vostre voltant. En algunes direccions, fa pujada; en d’altres, fa baixada. La direcció de màxima pujada és la direcció del gradient; el valor del pendent en aquesta direcció ens indica justament la magnitud o mòdul d’aquest gradient. El gradient ens dona informació local sobre la forma de la superfície de la muntanya amb diverses dades: ens diu quina és la direcció de màxima pujada i el valor del seu pendent, ens explica que la direcció contrària és la de màxima baixada, i ens mostra la direcció horitzontal de pendent zero, que és justament la seva perpendicular. Els esquiadors bé saben que, per aturar-se, cal situar els esquís en direcció perpendicular al gradient.

Ara bé, no només hi ha pendent a les carreteres i gradient d’alçada a les muntanyes. Hi ha gradient a qualsevol magnitud que no sigui constant. Podem parlar del gradient de temperatures a la superfície de la Terra o del mar, de gradient de la concentració de vegetació, però fins i tot podem parlar de gradients 3D quan som davant de magnituds que tenen valors diferents a cada punt de l’espai: la temperatura de l’aire, la concentració de diòxid de carboni, la humitat, la densitat de protons (ions d’hidrogen) per metre cúbic, la puresa de l’aire, la temperatura de cada punt de l’oceà. A l’espai o dins del mar, tot és igual llevat que ara els gradients són tridimensionals: a qualsevol punt a uns quants metres de fondària al mar, la direcció del gradient de temperatura ens diu quina és la direcció òptima que hem de prendre si volem anar a llocs més calents, i qualsevol direcció perpendicular a aquesta ens portarà a punts propers sense que notem cap canvi de temperatura. De la mateixa manera, el gradient de protons ens permet anar cap a zones de l’espai amb més i més concentració de protons i el de contaminació ens indica justament on no hem de dirigir-nos si volem aire pur.

Hi ha tota una teoria que darrerament va agafant pes, que diu que la vida es basa en gradients de protons. Heu sentit parlar d’en Luca? Segons el professor William Martin, de la Universitat Heinrich Heine de Düsseldorf, en Luca (“Last Universal Common Ancestor“), l’antecessor de tots els bacteris, animals i plantes, era ja a la Terra fa uns quatre mil milions d’anys, quan el nostre planeta només tenia 560 milions d’anys. Per a arribar a saber coses d’en Luca, l’equip de recerca d’en William Martin va analitzar tots els gens de microbis i bacteris que s’han anat codificant i arxivant al llarg dels darrers 20 anys i que es poden consultar a les bases de dades d’ADN. En total, van estudiar 6 milions de gens i els van poder organitzar en arbres genealògics evolutius (si per exemple trobem un gen humà que també el tenen els ratolins, això ens diu que nosaltres l’hem heretat dels mamífers inferiors). Van poder classificar els sis milions de gens en un gran arbre de famílies genètiques, i van veure que, de tots ells, només 355 gens complien els criteris per pertànyer probablement a Luca, aquest avantpassat conjunt de tots els bacteris i éssers vivents. La conclusió de l’equip d’en William Martin, polèmica però molt interessant, és que el més probable és que Luca fos un organisme que “vivia” en zones del fons marí amb emanacions gasoses riques en metalls, molt calentes per la interacció entre l’aigua de mar i el magma que sortia d’alguns llocs del fons oceànic. En un article publicat a la revista Nature Microbiology, expliquen que alguns d’aquests 355 gens permeten generar energia a partir de l’hidrogen, i que un d’ells és el que fabrica la girasa inversa, un enzim que actualment es troba només en microbis que viuen a temperatures extremadament altes. En un altre article, en Kevin Drum cita els treballs de l’equip d’en William Martin junt amb els del bioquímic Nick Lane, i explica que aquests organismes inicials com en Luca generaven energia tot aprofitant justament els gradients de concentració d’hidrogen, amb un metabolisme que es basava en l’intercanvi de protons a les membranes de les mitocòndries. Les membranes, perpendiculars al gradient, afavorien l’intercanvi en la direcció del màxim pendent per optimitzar l’energia vital. En Luca va sobreviure i segurament va iniciar tota la vida a la Terra perquè va poder treure profit dels gradients de protons a llocs del fons marí on justament aquests gradients eren molt elevats. No és la manera més eficient de produir energia, però era l’única font que hi havia, fa uns 4.000 milions d’anys. La vida va anar evolucionant per aprofitar-ho, i les cèl·lules actuals tenen els seus propis mecanismes interns basats en gradients de protons.

Però no només la vida. Els gradients són també el motor de les societats, que avancen i es mouen quan hi ha una forta coincidència d’interessos. En aquest cas, no obstant, tot plegat és molt més complicat perquè les motivacions i els interessos socials tenen infinitat de matisos i dimensions…

Els gradients són font de vida, i els gradients són un repte vital. Ens agrada pujar muntanyes, com als insectes que els agrada pujar parets. Sense pendents i gradients, tot seria inert i nosaltres no hi seriem. L’Univers crea vida perquè és ple de gradients. Gradients que mouen la vida, les societats i la democràcia, i que ens haurien de permetre posar una mica de seny per afrontar els reptes que l’espècie humana tindrà durant les properes dècades.

Per cert, en Noam Chomsky diu que les qüestions que ara és més important abordar són les amenaces veritablement existencials que afrontem: el canvi climàtic i el perill de guerra nuclear. I es queixa que la interferència del poder empresarial i les fortunes privades en les eleccions nord-americanes no es consideri un crim sino el funcionament normal de la democràcia.

———

NOTA: Amb la barra horitzontal, hem format un triangle rectangle en el que la barra és un dels catets i on el segment recte T que uneix el punt més alt del terreny (on la barra toca el terra) amb el peu de la línia vertical que podem imaginar sota l’altre extrem de la barra, és la hipotenusa. El segment T ens dona la direcció local de la recta tangent a la carretera o pista; observareu que la manera habitual que tenim de parlar de pendents, en percentatges, no és altra cosa que mesurar la tangent trigonomètrica de l’angle que forma T amb la horitzontal. Podríem també calcular l’arc tangent de la divisió entre la distància en vertical de l’extrem lliure al terra i la longitud de la barra, i llavors parlar de pendent en graus angulars.

Als carrers del nostres pobles i ciutats, és ben fàcil saber-ne el pendent a cada punt perquè l’ampit de les entrades a les cases i botigues ens fa de barra horitzontal. Només cal mirar quina és la l’alçada que hi ha entre l’ampit en els seus dos extrems i el terra del carrer, i després dividir la diferència entre aquestes dues alçades per l’ample de l’ampit.

La monotonia dels territoris

dijous, 6/03/2014

ConquesGran.png No sempre és fàcil orientar-se, a la muntanya. El relleu que veiem canvia segons el punt de vista perquè hi ha muntanyes que no en deixen veure d’altres. A més, tots sabem que la perspectiva enganya i que un petit turó proper ens pot tapar tota una serralada. Si anem caminant, les formes i siluetes del que veiem van canviant constantment. A la muntanya, no hi ha pas monotonia, tot és força complicat. Però hi ha un fet ben conegut: els terrenys tenen direcció. És la direcció que l’aigua de la pluja ha marcat en les roques i la terra. L’erosió ha esculpit el territori durant milions d’anys i ens ha deixat el paisatge que veiem. Si deixem a banda els terrenys molt porosos com els deserts i les dunes, el territori quasi sempre fa pendent i no té concavitats. Els terrenys tenen direcció. És la direcció en què l’aigua avança en les escorrenties després de ploure.

De fet, és clar que en un lloc determinat, només tenim dues possibilitats. O bé el terreny fa pendent o bé no en fa. En el primer cas, l’aigua de pluja baixa en la direcció del pendent. De fet, si volem ser més rigorosos, hem de dir que l’aigua circula sempre en la direcció del màxim pendent en aquell punt. En el segon cas, si no hi ha pendent, tenim una concavitat, un mínim local si parlem en termes geomètrics. L’aigua s’hi acumula i acaba produint tolls, un llac o un estany com el de Banyoles. Però de fet, això no és una situació gaire habitual i la prova és que, exceptuant el Pirineu, en tenim pocs, de llacs. Les zones sense pendent són inestables perquè l’erosió, quan hi ha sobreeiximent del toll o del llac, va desgastant el terreny tot creant pendent.

L’aigua de pluja que cau i no es filtra, sempre baixa. Ha estat treballant milions d’anys per esculpir-se camins que sempre fan baixada, de les muntanyes al mar. De fet, hi ha una proposta matemàtica ben senzilla per als casos en què ens perdem a la muntanya. Es tracta de baixar sempre. Si baixem, arribarem a la plana i fins i tot al mar, on hi ha llocs habitats (si no tenim la mala sort de caure en un dels pocs llacs que podem trobar). El problema és que és com d’altres idees matemàtiques: ens poden ser útils, però no sempre ho són. Nosaltres no som com l’aigua, i és ben probable que si seguim aquest algorisme acabem necessitant cordes per baixar penya-segats i saltants d’aigua, a més d’una destral per obrir-nos pas per la vegetació dels torrents. Però arribarem a bon port. De fet, l’estratègia de baixar sempre en la direcció del màxim pendent no és més que l’anomenat algorisme del gradient, ben conegut en tècniques d’optimització amb ordinador.

Hi ha un fet interessant, en tot això. El fenomen no és invertible. Sempre hi ha una direcció de baixada però n’hi ha moltes de pujada. D’on ha vingut l’aigua que tenim en un lloc determinat, després de ploure?  En general pot haver vingut de molts llocs diferents. Però sempre continua baixant en la direcció de màxim pendent del terreny. Sabem que si no deixem de baixar, arribarem a baix de tot, a la costa. Però si no deixem de pujar, és clar que no sempre arribarem al cim que volem. Alguns cops ens equivocarem i arribarem a un cim més baix; haurem de baixar i tornar a pujar per a corregir el nostre error. En els terrenys hi ha punts més alts que tots els que els envolten. Són els cims. Però pràcticament no trobem cap punt que sigui més baix que tots els que l’envolten. Les depressions són molt poc habituals. La raó de tot plegat és que la gravetat és direccional. I en conseqüència, l’erosió també ho és. L’aigua s’ha anat fabricant camins cap avall però no ha tingut cap necessitat de crear camins cap amunt.

Els territoris són monòtons, parlant en termes matemàtics. Ho són perquè tenen un ordre intrínsec i estan orientats en el sentit que baixa l’aigua. Si pensem que són superfícies o funcions de dues variables que codifiquen l’alçada en qualsevol punt d’unes determinades coordenades geogràfiques, els terrenys són superfícies sense mínims, en les que sempre podem anar baixant (amb les excepcions dels estanys i depressions). Les funcions matemàtiques monòtones representen una relació d’ordre, i els terrenys incorporen l’ordre que l’aigua els ha anat esculpint al llarg de molt i molts anys. Si ho mirem així, hem de dir que no és cert el que dèiem abans. A la muntanya, sempre hi ha monotonia, en sentit matemàtic i geomètric. És la monotonia de l’aigua, és l’ordre intrínsec a les conques dels rius.

El que teniu a dalt és un mapa de les conques hidrogràfiques de Catalunya, que també podeu veure aquí. La zona de més a l’esquerra inclou la Vall d’Aran, bona part de la província de Lleida i part de la de Tarragona. Tota aquesta zona pertany a la conca de l’Ebre excepte la Vall d’Aran, que com sabem és conca Atlàntica. La pluja de Lleida s’encamina cap l’Ebre, però la que cau a la Vall d’Aran fa un llarg camí fins Bordeus i l’oceà, si abans no es filtra sota terra o acaba en una aixeta. La zona de la dreta del mapa, amb més regions delimitades en negre, inclou totes les conques Mediterrànies excepte la de l’Ebre. Tot el que plou i no s’absorbeix en qualsevol punt d’una d’elles, segueix un camí sempre descendent fins sortir al mar per un dels rius principals. Hi ha conques grans, com la del Llobregat, el Ter o el Fluvià. D’altres, com la del Tordera, són força més petites i recullen menys aigua.

Els mapes de les conques hidrogràfiques destil·len l’historia dels terrenys i de la seva erosió al llarg de milions d’anys. Fixeu-vos que la frontera entre la conca del Llobregat i la del Ter és molt gran. Quan plou en aquestes zones, les gotes que venen d’un mateix núvol es separen i acaben seguint camins divergents. Unes viatjaran per Girona i Verges mentre que les altres passaran prop de Montserrat i de l’aeroport de Barcelona. Pocs mapes inclouen aquestes fronteres naturals entre conques. I és ben trist, perquè tenen més historia que les fronteres artificials que edifiquem els humans. Les nostres fronteres duren uns quants segles, però les fronteres entre conques perduren milers i milers d’anys. L’extensió de les conques hidrogràfiques ens explica perquè té sentit construir embassaments a la conca del Llobregat i no a la del Besós o a la del Daró. El territori Català té tantes regions monòtones com conques. Heu pensat algun cop, en creuar aquestes carenes i línies geogràfiques de separació entre conques, que esteu canviant de regió en el món de l’aigua? Dalt d’aquestes carenes podeu gaudir de l’experiència de pensar que les aigües a una i altra banda van visitant tranquil·lament terrenys de monotonicitat constant, sempre baixant fins arribar al mar.

La gestió de les conques no és gens fàcil, i això és especialment cert en els rius que reguen diversos països. Si els que viuen aigües amunt es queden massa aigua, els pobles d’aigües avall es queixaran, amb raó. En alguns casos, el tema s’ha resolt bé, amb pactes entre uns i altres. En d’altres, la gestió de les conques és un aparador que ens mostra les relacions de poder i dominació. Tot plegat és molt lent si es vol fer bé, perquè cal que tothom accepti la solució final. La gestió del riu Colorado n’és un bon exemple. L’any 1922 ja es va arribar a un primer pacte entre Mèxic i els Estats Units, pacte que s’ha anat millorant al llarg dels anys i que va ser objecte d’una darrera regulació fa poc més d’un any. És bonic observar la seva flexibilitat, que es concreta en el fet de contemplar i regular situacions extremes, de sequera o de massa aigua, que requereixen solucions adaptades i específiques. I és bo saber-ho perquè la gestió de l’aigua, al segle XXI, no serà pas senzilla, a les nostres latituds.

Per cert, la Plataforma en Defensa de l’Ebre diu que si s’aplica el previst en el nou Pla Hidrològic s’acceleraran els processos de salinització, subsidència i regressió que ja pateix la desembocadura del riu.