Entrades amb l'etiqueta ‘Isaac Newton’

El dia de les ombres allargades

dijous, 27/12/2018

A Vilassar de Mar, al migdia, l’alçada màxima del Sol sobre l’horitzó és de 65 graus el dia 21 de juny, mentre que el 21 de desembre només és de 18 graus. Però si volem saber aquests valors per al lloc on vivim, només hem de conèixer el valor de la nostra latitud (a Vilassar és de 41,5 graus) i sumar-li i restar-li l’angle d’inclinació de l’eix de la Terra que com sabem és de 23,5 graus.

Al solstici d’hivern, el Sol només arriba als 18 graus d’alçada. Molt poc, oi? Fred, foscor, ombres allargades, la vida vegetal que s’atura per manca de llum solar. És el presagi de l’hivern que vindrà per acumulació de dies i setmanes en les que el Sol escalfa més l’hemisferi sud que el nord.

Però de fet, i com hem anat sabent a partir de Copèrnic, el causant dels solsticis no és el Sol, sino el nostre planeta, que té un moviment de rotació que no lliga amb la seva òrbita al voltant del Sol. La imatge (aquesta) d’aquesta pàgina web ho explica ben clar i mostra un fenomen que és menys conegut del que ens pensem: la direcció de l’eix de la Terra, en relació als estels llunyans, no canvia al llarg de l’any (el cert és que sí que canvia una mica, perquè l’eix de la Terra descriu un moviment de precessió com el d’una baldufa, que li fa completar una oscil·lació cada 25 mil anys; però en la nostra escala de temps, podem considerar-lo totalment estable i constant). I l’eix de rotació no pot canviar durant els mesos de l’any perquè les lleis de la dinàmica de Newton ho impedeixen (vegeu la nota al final).

El solstici d’hivern sol ser el 21 o el 22 de desembre, segons l’any. Ara bé, de fet i parlant correctament, el solstici no és un dia: és un instant. Hi ha qui ens explica que el solstici d’hivern es produeix quan l’eix de la Terra està inclinat de manera que el pol nord es troba totalment a la banda contrària del Sol, en relació al centre de la Terra. Però crec que és més fàcil d’entendre-ho si ens ajudem amb un pla i dues rectes. Si ho voleu explicar als nens, comenceu per agafar un full de paper, que representarà el pla de la nostra òrbita (l’anomenat pla de l’eclíptica). Marqueu el Sol al centre i dibuixeu un cercle que indicarà l’òrbita de la Terra (és el·líptica però la podem aproximar per un cercle). Ara, travesseu el paper amb un llapis A, perpendicular al paper, justament pel punt on heu marcat la posició del Sol. I, amb un altre llapis B inclinat respecte el primer que representarà l’eix de la Terra com podeu veure a la imatge d’abans, aneu recorrent l’òrbita. La Terra gira cada dia al voltant de B i una vegada cada any al voltant de A sense modificar mai la direcció del seu eix B. Imagineu ara les rectes rA i rB que allarguen els llapis A i B fins l’infinit per les seves dues bandes. Veureu que aquestes rectes rA i rB es tallen només dues vegades al llarg de l’any, en dos punts oposats de l’òrbita de la Terra, mentre que tota la resta de l’any no es toquen. Aquests dos instants màgics en els que rA i rB es tallen, són els solsticis d’estiu i hivern.

No hem de confondre els solsticis amb el periheli i afeli, punts de l’òrbita en què la Terra es troba el més propera possible del Sol i el més allunyada possible del Sol, respectivament. De fet, la Terra a l’hivern és més a prop del Sol que a l’estiu. Aquest any, el periheli serà el dia 3 de gener, 13 dies després del solstici d’hivern. Les estacions no depenen de la distància al Sol sino de la inclinació de l’eix de la Terra.

I, parlant de plans, tot plegat es torna menys antropocèntric a mesura que ens allunyem del sistema solar. Perquè el pla de l’eclíptica és bastant arbitrari. Es va anar concretant durant tot el lent procès en el qual la matèria va anar quedant atrapada per l’atracció solar, i és força coincident amb el pla de les òrbites dels altres planetes. Però és ben diferent del pla de la nostra galàxia, com podeu veure en aquest vídeo. El pla principal de la Via Làctia, aquest pla P que el Sol orbita cada 230 milions d’anys, és un altre pla de referència que ens és desconegut i llunyà, encara que no deixa de ser bonic pensar que el Sol, des de l’aparició dels dinosaures fins ara, hi ha donat justament tota una volta, passejant per P la vida que anava creixent al nostre planeta. Encara que no hi pensem gaire, som ciutadans insignificants que vivim prop del pla principal de la Via Làctia.

Tot i que, ben pensat, per què diem que la Terra, des de l’espai, es veu amb l’hemisferi nord a dalt? Veient la inclinació del pla principal de la Via Làctia respecte l’eclíptica (i pensant en l’orientació de totes les demés galàxies) és clar que hi ha infinits possibles observadors, i que la Terra “es pot veure” amb el pol nord a dalt o amb el pol nord a sota. És per això que m’agrada capgirar les boles del món dels meus amics i deixar-les com la que veieu a la imatge de dalt, de manera que Àfrica i els països del sud quedin més rellevants. La bola del món de la imatge, en una posició que correspon més o menys al solstici d’hivern i on nosaltres som quasi a sota del tot, és tan vàlida i correcta com totes les que trobareu a les botigues. Mirar-la, fa pensar.

Diuen que els humans ens tornem violents quan tenim por, però també quan veiem coses que no entenem. Perquè la ignorància, que es pot intentar abordar amb una anàlisi científica dels fets, també ens porta malauradament als mites, als dogmes, a la veritat que creiem que només tenim nosaltres, i a la violència contra “els altres”. Només cal mirar el cas d’en Giordano Bruno o el judici a Galileo Galilei. L’instint fa que tinguem ganes de destruir aquells qui qüestionen les nostres “veritats”. I de fet, els mites poden acabar generant violència mentre que en canvi, la ciència ens acosta a la pau. La ciència ens ajuda a entendre que no és que el Sol pugi a l’estiu i baixi a l’hivern, sino que simplement tot és degut a que l’eix de la Terra manté la seva direcció. Ens explica també que totes les persones tenim la mateixa dignitat i que tots som part d’un sistema ecològic que podem aprendre a cuidar, però que també podem destruir amb la nostra cobdicia i violència. I ara, després d’entendre que l’eix de la Terra es manté invariant, seria fantàstic que fóssim capaços d’entendre que l’equilibri de la vida a la Terra també s’ha de mantenir invariant…

——

Per cert, en Sebastià Alzamora parla de la violència i diu que és el comportament més primari de l’espècie humana, a més de ser un fet polític. Diu que un ésser humà, igual que qualsevol animal, pega, fereix o mata quan té por o se sent acorralat o amenaçat; però que, a diferència dels animals, l’ésser humà es torna també violent davant del que ignora: els animals esquivaran allò que no coneixen, però l’ésser humà de vegades s’hi torna i intenta destruir-ho. Diu que aquests dos paràmetres, la por i la ignorància, expliquen gairebé tots els actes de violència que saturen l’actualitat.

——

NOTA: Val a dir que l’estrany seria que la direcció de l’eix de la Terra anés canviant perquè, com bé ens va explicar Isaac Newton, els moviments de translació i rotació sempre són independents. El centre de gravetat de la Terra, que més o menys és el centre de la geoide, es mou al llarg de l’any en una òrbita el·líptica en el pla que anomenem de l’eclíptica, mentre la Terra gira cada dia al voltant del seu eix, que no canvia en absència de parells de forces exteriors.

Si voleu saber quin és l’angle (invariant) entre l’eix de la Terra i el vector normal al pla galàctic, mireu aquesta pàgina web i els seus dibuixos. L’angle és de  62,9 graus.

Els dibuixos de la ciència

dijous, 25/05/2017

Diuen que la ciència és complicada. Fins i tot hi ha qui pensa que la majoria de gent odia les matemàtiques. No ho crec. Soc dels que penso, com en George Steiner, que les matemàtiques, junt amb la música i la poesia, són els tres llenguatges de l’home, i que per això pot ser recomanable aprendre’ls i gaudir-ne. Steiner diu que hauríem de celebrar la prodigiosa fortuna per la qual, un “pobre animal forcat” (que és com Shakespeare ens defineix) ha engendrat aquests tres llenguatges majestuosos, i que hauríem de contemplar orgullosos i meravellats les creacions en que conflueixen aquests tres codis.

El mite de la dificultat de la ciència i de les matemàtiques cau i es desfà en engrunes quan ens adonem que molts conceptes científics es poden explicar amb un dibuix. Res de números, res de formules. Només llapis i paper. Aquí al costat en teniu una petita mostra amb quatre dibuixos. Són d’Aristarc de Samos, de Marie-Anne Paulze, de Santiago Ramón y Cajal i d’Isaac Newton.

El dibuix de dalt, d’Aristarc de Samos (de fet es tracta d’una reproducció que podeu trobar al llibre de Eric M. Rogers) és el resultat del que va pensar només mirant el cel de nit i sense sortir del seu poble. Les seves deduccions ens han arribat gràcies a la traducció de Commandino del llibre de Pappus d’Alexandria, que ha estat recentment publicat en edició facsímil. Aristarc, després de mirar molts dies les fases de la Lluna, va concloure que la Lluna era un astre esfèric, que les fases eren el resultat de la llum que rebia del Sol, i que la Terra i el Sol també havien de ser astres esfèrics. I a més, molts segles abans que Jules Verne, va fer un viatge imaginari a la Lluna i va entendre perfectament la posició relativa dels tres astres en el moment del quart creixent (o minvant): el que va dibuixar diu que si algú fos a la Lluna en el moment just del quart creixent, veuria que angle entre la Terra i el Sol és un angle recte. Es va adonar que quan la Lluna és en quart creixent, l’angle és el mateix que ja utilitzaven per construir els temples, les cases i els carrers de les ciutats. Aristarc va entendre els astres mirant, pensant, i dibuixant. Després, va mesurar l’angle que ell veia des de la Terra entre la Lluna i el Sol, i va poder deduir, per primera vegada a la historia de la humanitat, la distància relativa a que tenim el Sol i la Lluna (amb un petit error de 2,5 graus en la mesura de l’angle, error que no desmereix gens tot el que va pensar). Tot plegat, només amb un triangle.

Marie-Anne Paulze va fer els dibuixos dels llibres del seu company i marit, l’Antoine Lavoisier. Els dibuixos del rigor dels experiments, pesant-ho tot com mostra la imatge, que podeu també trobar a l’edició facsímil del seu llibre. Són els experiments que van enterrar l’alquímia i que van obrir la porta a la química moderna, els dibuixos de la crònica de com s’ha de fer els experiments per a que siguin fiables i puguin ser reproduïts. Gràcies a Lavoisier i als dibuixos de Marie-Anne Paulze, ara entenem els processos de combustió i oxidació, sabem com es combinen els elements químics, i podem fabricar medicaments i tota mena d’objectes.

El dibuix de baix al mig, és de Santiago Ramón y Cajal i el podeu trobar en un llibre recent que han publicat als Estats Units amb alguns dels seus dibuixos. El que veieu aquí és el dibuix de les capes de neurones que tenim a la retina, que pre-processen les imatges que veiem per tan d’enviar-les al cervell ja “digerides”. Ramón y Cajal deia que dibuixar neurones és com dibuixar un bosc, i que si no fem més que dibuixar arbre rere arbre, el resultat no serà un bosc. Deia que el dibuix d’un bosc requeria entendre l’essència del bosc, més que els arbres individuals. Per això, Santiago Ramón y Cajal observava als matins amb el seu microscopi, dinava, i a la tarda dibuixava el que recordava que havia vist al matí. Interessant, oi?

Finalment, a baix a la dreta teniu una meravella incunable. És un dels dibuixos que Isaac Newton fa anotar a la primera edició del seu llibre “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, per indicar el que caldria afegir a la segona edició. Podeu veure i llegir les 1031 pàgines del llibre a l’edició digital facsímil de la Universitat de Cambridge, que és una absoluta joia. El dibuix, que ens explica el moviment parabòlic que observem quan tirem una pedra, una poma o una pilota, és el que també ens deixa entendre el moviment de la Lluna, el de la Terra i la dinàmica de tot l’Univers. El geni de Newton va quedar manifest amb la seva frase “he vist que les forces es corresponen de manera bastant aproximada” que va formular el dia que va entendre que la força que feia caure les pomes amb trajectòria parabòlica era la mateixa que mantenia la Lluna en òrbita en un constant moviment de caiguda cap a la Terra. Va entendre tota la dinàmica dels astres mirant el moviment parabòlic dels objectes que tirem, i ho va fer, també, sense sortir del seu poble.

Per cert, en Kilian Jornet diu que el que importa quan vas a la natura és sentir-te despullat davant d’ella, perquè sense grans mitjans es poden fer grans coses. Diu que no som els amos d’aquest planeta, sinó únicament una part, i que no som més importants que un arbre o que una pedra.

Dues fotos

dijous, 12/11/2015

Els més grans probablement recordareu el pas del cometa Halley, que molts vam poder veure ara fa 30 anys. No tornarà a visitar-nos fins el 2061, però abans en podrem veure d’altres. Imaginem ara que un cometa està passant prop de la Terra. A la nit, anem a un lloc fosc, fem una foto del cel i ens apuntem l’hora. Després, comparant la foto amb una carta del cel, podrem situar fàcilment el cometa en relació a les estrelles properes.

Què ens diu, aquesta foto? Ens dona alguna informació sobre el moviment del cometa? Podem deduir-ne on serà al cap d’un mes o d’un any? Malauradament, la resposta és negativa. La foto, com totes les instantànies, només ens diu on era en aquell precís instant en que vam prémer el disparador.

Suposem ara que l’endemà, encuriosits, anem al mateix lloc i, com que el cel també és clar, fem una segona foto. Què podem saber, ara? El conjunt de les dues fotos, ens dóna alguna informació sobre el moviment del cometa?

Aquesta va ser una de les conseqüències absolutament genials (i poc conegudes) dels treballs d’Isaac Newton. Newton ens va explicar que una foto no ens dona cap informació sobre el moviment del cometa, però que dues fotos ens expliquen tot el seu futur. Amb dues fotos podem saber on serà al cap d’un mes, l’any vinent o d’aquí a dos mil anys (sempre que les fotos siguin de suficient resolució i que ens haguem apuntat bé els instants de temps en què les vam captar, vegeu nota al final).

Tot plegat és fàcil d’entendre si canviem l’exemple i pensem en quelcom més quotidià que un cometa. Per exemple, una pilota. Mentre els nostres fills juguen a bàsquet amb amics, fem una foto. Ens agrada. La foto capta la pilota a l’aire, prop de la cistella. Però si enviem la foto a un conegut i no li donem cap informació més, no podrà saber si la pilota va entrar finalment a la cistella, perquè gràcies a Newton sabem que una foto no ens dona cap informació sobre el que passarà a continuació. En canvi, si fem una ràfega de fotos, n’escollim dues i les enviem a un físic, aquest ens calcularà fàcilment si va encistellar o no perquè la segona foto ens explica tant la direcció del moviment com la velocitat de la pilota, i això acaba determinant la seva trajectòria (vegeu la nota al final).

Aristòtil creia que els objectes i la matèria només es poden desplaçar quan alguna forma d’energia els empeny cap a una direcció donada. La seva idea era que el moviment sempre era conseqüència d’un determinat impuls, i que els objectes sense impuls no es movien. Explicava el moviment de les fletxes quan volaven i havien perdut l’impuls inicial de l’arc dient que les fletxes i altres objectes creaven una espècie de buit en la seva part posterior que resultava en una força que els desplaçava cap endavant. Newton, en canvi, va rebatre aquesta teoria de l’impuls i es va adonar que el moviment no necessita de cap força ni acció externa i que els objectes sense interacció exterior mantenen constant la seva velocitat. Les forces canvien la velocitat, no la mantenen. Per això, només podem saber la trajectòria d’una pilota si coneixem la seva velocitat inicial, perquè per entendre els canvis hem de saber d’on sortim. És el mateix que quan ens proposem fer exercici per aprimar-nos: només podrem saber si ens fa efecte si el primer dia ens pesem i apuntem el nostre pes inicial.

Ara fa cent anys, Einstein va publicar la seva teoria de la relativitat generalitzada, que explica la força gravitatòria en funció de la curvatura de l’espai-temps. L’explicació que el físic John Wheeler va donar d’aquesta teoria és ben suggerent. Wheeler divulgava la teoria d’Einstein tot dient que la matèria li diu a l’espai-temps com s’ha de corbar mentre que aquest espai-temps corbat li diu a la matèria com s’ha de moure. Einstein va modernitzar i perfeccionar les lleis de Newton, però no va haver de modificar la gran troballa del geni anglès: amb Einstein, com amb les teories de Newton, una foto no ens diu res i dues fotos ens ho poden explicar tot.

Per cert, en Pedro Olalla diu que a l’antiga Atenes, els tesmotetes, fiscals encarregats de processar els corruptes i aquells que proposessin lleis contràries a l’interès comú, juraven exercir el càrrec amb honradesa i es comprometien a haver de fer una estàtua d’or d’escala humana en cas de ser descoberts acceptant un suborn.

——

NOTA: Les lleis de la dinàmica de Newton suposen que coneixem totes les forces que actuen sobre l’objecte (o astre, o cometa) que estem estudiant. En aquest cas, Newton ens explica que l’acceleració de l’objecte serà sempre proporcional a la suma de totes aquestes forces, i que justament la constant de proporcionalitat és la massa de l’objecte. Com que l’acceleració és canvi de velocitat, només podem conèixer el moviment futur dels objectes si sabem la seva velocitat inicial. De fet, aquest moviment futur depèn de l’estat inicial de l’objecte i de les forces que actuaran sobre ell; i per saber aquest estat inicial, Newton ens diu que hem de conèixer la posició i la velocitat. Quan tirem una pedra o una pilota, sabem la posició inicial (la de la nostra mà) i les forces que actuaran sobre ella un cop estigui ja volant (la força de la gravetat i la resistència de l’aire). Però és clar que la velocitat inicial (que inclou la seva direcció) és essencial per a determinar la trajectòria i el punt de caiguda. Això ho saben molt bé els jugadors de tenis i de bàsquet. El moviment de la pilota, si considerem que la resistència de l’aire és negligible, és sempre parabòlic. Però, en funció del llançament, tindrem una paràbola que ben aviat acabarà tocant a terra o bé podem gaudir de trajectòries que, sense deixar de ser parabòliques, siguin llargues i poc corbades. De fet és molt més fàcil jugar amb la velocitat inicial que amb la posició inicial o les forces, que habitualment són ja determinades.

Doncs bé, sempre que fem dues fotos seguides, podem veure el desplaçament de l’objecte que estem observant i per tant calcular la seva velocitat (és clar que hem de saber també l’interval de temps entre les fotos). Per això, en situacions on coneixem bé les forces, dues fotos ens ho poden dir tot. Aquest és el cas de les pilotes aquí a la Terra i dels cometes, planetes i satèl·lits del sistema Solar. Només voldria comentar un detall final, i és que les mesures que podem fer a partir de dues fotos segur que contindran errors, deguts a imprecisions en la mesura del temps transcorregut entre elles i en l’estimació de la posició de l’objecte a cada una d’elles. Per això, els astrònoms fan els càlculs a partir de més de dues fotos i així redueixen el marge d’error. Però això no invalida el raonament: n’hi ha prou amb dues fotos si aquestes fotos són de suficient resolució i si a més hem apuntat curosament i amb molta precisió els instants de temps en què les vam captar.

La imatge de dalt és d’aquesta pàgina web.

 

La inèrcia, l’estabilitat i les bicicletes

dimecres, 20/08/2014

Un grup d’amics parlen d’anar en bicicleta. Una persona diu que les bicicletes han de ser de roda gran, per a ser més estables. Una altra, en canvi, opina que la mida de les rodes no és massa important i que les bicicletes urbanes, plegables i de rodes petites, tenen moltes avantatges tot mantenint un bon nivell d’estabilitat.

Qui té raó?

L’estabilitat de les bicicletes es basa (parcialment, com després veurem) en l’anomenat efecte giroscòpic i en les lleis de conservació del moment angular o cinètic. És un efecte ben curiós i sorprenent. Les, rodes, quan giren, tenen “inèrcia de rotació” i es resisteixen a canviar la direcció del seu eix de gir. Quan volem modificar aquesta direcció, reaccionen amb un comportament estrany: giren en direcció perpendicular a la que trobaríem lògica. Quan aprenem a anar en bicicleta, el que fem és precisament interioritzar aquest mecanisme i saber com reaccionar “en sentit perpendicular”. Si la bicicleta s’inclina cap a la nostra dreta, enlloc de voler compensar movent el cos a l’altra banda, el que fem és girar el volant a l’esquerra. Si us fixeu bé en el moviment d’una bicicleta mentre avança, veureu que constantment va oscil·lant a dreta i esquerra de la vertical mentre el ciclista també va girant el volant a banda i banda, harmònicament. És el mateix principi físic dels giroscopis i de les baldufes. De fet, si imagineu un ciclista amb una càmera de vídeo en posició vertical damunt el seu casc, quan després reproduíssiu el vídeo veuríeu que la càmera ha anat gravant els núvols en un constant gir al voltant del zenit, com les baldufes. Les bicicletes són estables per l’efecte giroscòpic i perquè segueixen un moviment oscil·latori de precessió (fixeu-vos que algunes motos que tenen dues rodes al davant, han de disposar d’un sofisticat mecanisme per a permetre la inclinació a banda i banda).

El moviment de rotació és sempre més interessant que el de translació, perquè no hi estem tan habituats. Galileo Galilei, en el seu famós experiment a la torre de Pisa, va mostrar que el temps de caiguda de diferents objectes més o menys pesats, si no considerem la resistència de l’aire, és el mateix. Isaac Newton ho va explicar detalladament quan va escriure la llei fonamental de la dinàmica: la força és igual a la massa per l’acceleració. Com que la força del pes és també proporcional a la massa, tots els objectes cauen amb la mateixa acceleració (9,8 metres per segon al quadrat) i tarden el mateix en arribar al terra, com ja havia vist Galileo. Ara bé, això deixa de ser cert quan tenim objectes rodons que cauen per un pla inclinat, perquè a més de baixar han de girar cada cop més ràpidament. I de la mateixa manera que per accelerar un objecte cal vèncer la seva inèrcia – proporcional a la seva massa -, per fer-lo girar més i més ràpid cal tenir en compte la seva inèrcia de rotació, que depèn del moment d’inèrcia. Fixeu-vos en aquesta web i en el seu vídeo. Els quatre objectes baixen rodant pel pla inclinat. Tenen el mateix diàmetre, però diferents moments d’inèrcia. Si baixessin relliscant i sense girar, tots arribaren ensems a baix de tot. Com que baixen girant, el que té el moment d’inèrcia més petit és el que arriba primer, perquè té menys inèrcia de rotació, necessita menys energia per girar, i pot dedicar més energia a incrementar la seva velocitat de baixada. Segons les lleis de la física, el moment d’inèrcia d’aquests quatre objectes és el producte de la seva massa per una constant k i pel quadrat del seu radi. Els quatre radis són iguals i tot depèn del valor de k. L’esfera de color de fusta és massissa i té una k=0,4, mentre que l’esfera vermella és buida, amb una k de 0,667. El cilindre blau, ple, té un valor de k de 0,5, i la k del tub verd és de 1. La conclusió de tot plegat és que l’objecte més ràpid és l’esfera plena de color de fusta i que el més lent és el tub verd. Ara bé, aquest tub verd, amb tota la massa a la perifèria com les rodes de les bicicletes, és el que emmagatzema més energia de rotació. I això és important quan anem en bicicleta.

Sabem que els objectes tenen molta més energia quan van de pressa. És l’energia que els físics anomenen energia cinètica. L’energia cinètica és proporcional a la massa de l’objecte i al quadrat de la seva velocitat, i per tant es multiplica per 4 cada cop que dupliquem la velocitat. Segons la llei de la inèrcia, tots els objectes tendeixen a continuar el moviment sense canviar la seva velocitat. Si els volem aturar de cop, hem de poder absorbir tota la seva energia cinètica. Per això és molt més greu el xoc d’un camió que el d’una bicicleta, i per això els accidents de carretera amb vehicles a gran velocitat solen ser catastròfics. Però les bicicletes i les motos, quan van de pressa, a més de l’energia cinètica deguda a la velocitat amb que es mouen, també tenen una energia cinètica de rotació de les rodes, proporcional al seu moment d’inèrcia i al quadrat de la velocitat angular de rotació. Aquesta energia cinètica de rotació de les rodes és rellevant quan anem a gran velocitat però petita quan ens movem lentament. Depèn del radi de les rodes de la bicicleta, perquè el moment d’inèrcia és proporcional al quadrat del radi. Les bicicletes de carretera, amb rodes de diàmetre 622 mil·límetres, tenen un moment d’inèrcia molt més gran que les plegables, que poden tenir un diàmetre de rodes de només 497 o fins i tot de 356 mil·límetres. Ara bé, si anem a poca velocitat, l’energia cinètica de rotació és petita, tant a les bicicletes de carreres com a les plegables. Això fa que l’efecte giroscòpic no sempre sigui significatiu.

La conclusió és que els dos amics tenen raó, perquè moltes vegades les coses no són ni blanques ni negres. Les rodes grans contribueixen a l’estabilitat de les bicicletes, sobretot quan anem a una certa velocitat. Però si anem amb una bicicleta de rodes petites o si passegem tranquil·lament i a poca velocitat, tot és diferent: l’efecte giroscòpic passa a ser molt menys rellevant, la bicicleta esdevé menys estable, i hem d’afinar molt més els moviments del volant per aconseguir mantenir l’equilibri i anar per on volem. La bicicleta és com una pròtesi, una extensió del nostre cos que controlem de manera automàtica. Quan disminueix la seva estabilitat, el nostre cervell actua immediatament i el nostre sistema d’equilibri supleix el que la bicicleta no ens pot aportar. Tot plegat és un exemple molt bonic del que podríem anomenar simbiosi home-màquina. La bicicleta garanteix una part de l’estabilitat i nosaltres automàticament hi posem la resta, de manera que podem moure’ns a velocitat quasi nul·la i no caure. Els que diuen que la mida de les rodes no és massa important, és clar que tenen ben desenvolupat el seu sistema d’equilibri, perquè s’hi troben segurs passi el que passi. En canvi, les persones més insegures (entre els quals em compto) és probable que pensin que les bicicletes és millor que siguin de ser de roda gran, per a ser més estables. Tot depèn del color del vidre pel qual mirem, oi?

Per cert, Javier Solana parla sobre les conclusions, molt preocupants, del IPCC, i diu que en aquest moment crític en que els mateixos combustibles fòssils que ens van portar la prosperitat ens poden portar ara a la perdició, la solució ha de venir un cop més de la mà de la innovació i de la ciència. Però mentre va desmantellant tot el sistema de recerca i ciència a Espanya, el govern de Rajoy ha aconseguit, en menys de tres anys, passar d’un deute públic de 737.406 milions d’euros al deute actual de 1.007.319 milions d’euros.

El color negre, els gerros i la física quàntica

dimecres, 23/04/2014

Gerro_ForatNegre1.jpg El problema de la física quàntica és que no és gens intuïtiva. Sempre recordaré una anècdota d’ara fa quaranta anys, quan jo era estudiant de físiques a la UB mentre feia de professor a la UPC. Va ser a classe de mecànica quàntica. Recordo el professor, omplint la pissarra de formules i més formules. Era tota una cadena de raonaments, de petits passos que ens portaven de cada formula a l’esglaó de la següent. En acabar l’hora de classe, va requadrar la darrera equació i va dir: “i això és un àtom d’hidrogen”. Em vaig quedar perplex. Jo havia anat seguint un a un els passos de la demostració, però al final no vaig entendre res. Vaig descobrir que entendre els arbres individualment no ajudava pas a entendre el bosc. De fet, la meva idea d’un àtom d’hidrogen era (i és) una altra cosa ben diferent…

Ludwig Boltzmann, pels voltants de 1870, va re-escriure la termodinàmica en base a la hipòtesi que la matèria és un conjunt d’àtoms, tot utilitzant l’estadística i la llei dels grans nombres. La transmissió de la calor, les lleis de la termodinàmica i el concepte d’entropia van quedar definitivament explicats. La matèria era discreta, no era un gran magma continu. Boltzmann va veure que la interacció constant entre milions i milions de molècules és que el fa que molts fenòmens físics siguin irreversibles. Va entendre que la matèria era discreta i va poder explicar les lleis de la termodinàmica. Però, què és la llum? Què són els colors? Què és el color negre?

La història de la física quàntica ve de lluny. I ve dels molts experiments que es van fer per entendre el significat del color negre. Isaac Newton, l’any 1671, a la seva teoria dels colors, va dir que la llum és color i que la llum blanca conté tots els colors. En contra, i segons Newton, el negre és l’absència de color i de llum. A la nit, tot és negre perquè no hi ha llum. Però per a poder entendre les propietats del color negre, calia fer experiments i disposar d’objectes negres. Otto Lummer i Wilhelm Wien, l’any 1895, van fer una proposta ben senzilla (ja suggerida abans per Kirchoff i Boltzmann). Van proposar que el cos negre ideal fos una cavitat amb un forat. La idea és senzilla. Imagineu qualsevol objecte amb una cavitat suficientment gran i amb un petit forat. El forat es veu negre perquè la poca llum que hi entra acaba essent absorbida per les parets i no torna a sortir. Com que no surt llum, es veu negre, segons la teoria de Newton. És el que podeu veure en el gerro de la foto. El forat del broc és negre. Els físics de finals del segle XIX van fabricar-se recipients de ceràmica amb petits forats negres i van començar a experimentar. I aquí van començar les contradiccions i els problemes. William Herschel va veure que no tots els colors negres eren iguals. Com tot a la vida, tots els negres són iguals, però alguns són més iguals que d’altres. Poseu un termòmetre a mig metre del forat d’un gerro. El termòmetre marcarà la temperatura ambient. Escalfeu ara el gerro posant-lo uns minuts al foc i repetiu l’experiment. El forat és negre com abans, però ara aquest color negre té energia, i el termòmetre puja. Tenim un broc negre que irradia energia. William Herschel va fer un altre experiment, que fàcilment podeu repetir. En una habitació fosca i amb un prisma, va repetir el muntatge de Newton i va descompondre la llum blanca del Sol que entrava per una escletxa de la finestra, projectant els colors de l’arc de Sant Martí a la pared oposada. Va situar un termòmetre en diferents punts, i va veure que no tots els colors de l’espectre escalfaven igual. El termòmetre marcava més temperatura en la zona del vermell que en la del blau. Però el més sorprenent és que a la zona sense llum, la zona negre de més enllà del vermell, el termòmetre encara pujava més. Va descobrir que hi ha colors negres que són més calents que els vermells i que els taronges.

Tot plegat era un embolic. De fet, William Thomson (Lord Kelvin) va donar una conferència l’abril de 1900 sobre els problemes relacionats amb l’èter i amb els cossos negres. Va dir que tots dos eren “núvols”, punts foscos en les teories físiques de la llum i del color, aspectes incomprensibles de la física.

Aviat es va veure que la radiació que surt pels petits forats dels gerros calents i dels forns en equilibri tèrmic es regeix per un espectre de radiació universal que no depèn ni del material de les seves parets ni de la seva forma interna. Només depèn de la temperatura. Es van fer molts experiments i es van poder dibuixar amb precisió les corbes de radiació dels cossos negres. Fixeu-vos en les gràfiques. Nosaltres ho veiem negre perquè, si la temperatura no és massa alta, la radiació és infraroja i cau fora de l’espectre visible. Hi ha radiació però no la veiem. Quan augmentem la temperatura del forn, sí que la corba entra dins l’espectre visible, i el forat es comença a veure vermellós. Per temperatures del forn molt més elevades, la radiació va entrant a la zona dels ultraviolats. Wilhelm Wien va deduir experimentalment una primera formula, anomenada llei de desplaçament o llei exponencial de Wien, per a explicar aquestes gràfiques de radiació dels cossos negres. Va dir que, donada una temperatura T del forn en graus Kelvin, l’energia irradiada a una determinada freqüència de llum f havia de ser proporcional al cub de f i a una funció del quocient f/T. Per tant, si volem tenir radiació a una freqüència més alta (blaus i ultraviolats), hem de fer que T sigui més gran.

Tot va canviar radicalment en només cinc anys. Després de la conferència de Lord Kelvin l’abril de 1900, Max Planck va trobar la formula que explicava les corbes experimentals de radiació dels cossos negres. La va presentar, exhaurint el final del segle XIX, en una ponència a la Societat de Física de Berlín el dia 14 de desembre de 1900 (vegeu nota al final). Havia trobat una funció tal que, en donar valors numèrics a la freqüència f de la llum i a la temperatura T, dibuixava les mateixes corbes que les que s’havien trobat als Laboratoris. El seu mètode va ser molt enginyós, però amb resultats que van sorprendre i desconcertar fins i tot el propi autor. Planck va “trossejar” l’energia de les parets del forn en petits paquets, i va tenir la bona idea de fer-ho amb paquets d’energia proporcional a la freqüència, E=h*f on h era la constant de proporcionalitat (vegeu nota al final). Imagineu que teniu una foto aèria d’una determinada regió desprès d’un incendi forestal, i que voleu calcular el percentatge de superfície cremada. El que va fer Planck és similar a dividir la foto en una quadrícula i mirar quants quadrets són de zona cremada i quants no. El percentatge de zona cremada és aproximadament el nombre de quadrets de zona cremada respecte al total. La idea de Planck va ser fer cada cop més petita la mida de la quadricula (que en el seu cas era justament el valor de la constant de proporcionalitat h) i trobar, en el limit, la formula desitjada. Però el limit no va funcionar. L’aproximació de les corbes experimentals millorava quan baixava la mida de la quadrícula (h) però a partir d’un cert valor, empitjorava. La mida h de la quadrícula tenia un valor òptim, i això implicava que els generadors d’energia de les parets del forn no eren continus sinó discrets, i que la seva mida era h. La física quàntica va començar l’octubre de 1900, quan Max Planck va trobar l’equació matemàtica de les corbes experimentals de radiació dels cossos negres i va calcular l’ara anomenada constant de Planck, h. La formula de Planck només coincidia amb les gràfiques experimentals quan la “mida de la quadrícula” era la constant de Planck, i en canvi no hi coincidia si s’utilitzava una mida més gran o més petita.

Cinc anys després, el 1905, Albert Einstein va anomenar quants als paquets d’energia E=h*f. Einstein va explicar que l’energia d’un cos ponderable no es pot subdividir en un nombre arbitrari de parts arbitràriament petites, i que la segmentació és consubstancial a la radiació. Els quants es van batejar amb el nom de fotons: farcellets limitats d’ones i a la vegada partícules. Com a conseqüència, Einstein va poder explicar la interacció fotons – electrons i l’efecte fotoelèctric en un treball que li va valdre el Premi Nobel. Però Planck es va sentir sempre incòmode amb els seus descobriments, era un conservador que creia en el continu i no en el discret. Planck es va oposar a Einstein perquè opinava que l’energia no era discreta. Opinava que el significat dels quants E=h*f era limitat i que només havia de servir per a les deduccions. Dèia que “la introducció dels quants s’ha de fer amb l’ànim més conservador possible, i només en els casos que demostrin per sí mateixos ser absolutament necessaris”. Planck va descobrir la fisica quàntica malgrat seu. L’any 1931 recordava: “el que vaig trobar va ser un acte de desesperació, ja que sóc pacífic per naturalesa i rebutjo qualsevol aventura dubtosa”.

A la física, tot es va capgirar en cinquanta anys. Pels voltants de 1870, poca gent pensava que la matèria fos discreta i ningú defensava que l’energia ho fos. Al 1920, els físics havien entès i comprovat que la matèria són àtoms i partícules i que l’energia radiant és una munió de fotons. Tot el petit és discret, a l’Univers. Poc després, l’any 1927, Heisenberg va demostrar a més que el món de les partícules i dels fotons és un món que mai coneixerem del tot, perquè és impossible mesurar amb precisió la seva posició i la seva velocitat en un instant determinat. El petit és discret i a més, és una mica secret. Heisenberg deia, en relació a la coneguda frase de Laplace: “si coneixem el present podem predir el futur”, que el que és fals en ella no és la conclusió, “sinó la premissa”. Mai podrem conèixer bé el present. El principi d’indeterminació de Heisenberg va fer caure la ciència dels núvols. La ciència mai ho podrà conèixer tot. Paral·lelament amb Heisenberg, la solució va venir de la mà de l’estadística. Si no podem predir ni el futur ni el moviment de les partícules i dels electrons, el que sí podem fer és calcular cóm evoluciona al llarg del temps la probabilitat de tenir aquestes partícules i electrons en determinats punts de l’espai. Si no podem saber on són, al menys podem saber on és probable que siguin. Schroedinger, l’any 1926, va proposar la coneguda equació d’ona, que descriu la probabilitat de trobar un electró en un punt determinat al voltant del nucli de l’àtom. L’equació d’ona que em van mostrar fa quaranta anys explica tot el que podem saber sobre on trobarem l’electró quàntic de l’àtom d’hidrogen, i ho explica amb un raonament basat en l’observació dels brocs negres dels gerros i forns.

Per cert, George Orwell, al final de “Homenatge a Catalunya” diu: “vigili el lector amb el meu partidisme i amb la inevitable distorsió deguda a que he vist els fets des d’un costat. I tingui també la mateixa cura quan llegeixi altres llibres sobre la guerra civil Espanyola”.

_______________________________________

Nota: Max Planck va convertir el problema continu en un de discret, mètode que ja havia fet servir Arquimedes per a calcular volums de cons i esferes i que van formalitzar Newton i Leibnitz en el seu càlcul infinitesimal. Va postular que la cavitat de forn tenia molts oscil·ladors, i que cada cada un d’ells radiava en una freqüència f amb una energia que era proporcional a la freqüència i que va discretitzar com E=h*f. La seva idea era fer h cada cop més petita i trobar, en el limit, la formula desitjada. Però el limit no va funcionar. La seva formula concordava amb els resultats experimentals quan el valor de la constant h era de h=6,62 per 10 a la -34 Joules per segon. Si en canvi baixava més el valor de h i arribava al limit, l’energia es feia infinita en la zona de l’ultraviolat, cosa que evidentment era falsa i que no concordava amb els resultats experimentals.

La llei de radiació dels cossos negres de Max Planck diu que la densitat d’energia d’un forn a temperatura T (en graus Kelvin) i a la freqüència f (valor que correspon a les ordenades de la gràfica experimental) és C*f*f*f/(exp(a*f/T) – 1), on exp és la funció exponencial, la constant C és 8 vegades el valor 3.14159.. de pi per la constant de Planck h i dividit pel cub de la velocitat de la llum, i la constant a és a=h/k on h és la constant de Planck i k és la constant de Boltzmann, la constant de la formula de l’entropia que podeu veure aquí, gravada a la seva tomba.

Copèrnic i les mesures

dimecres, 15/01/2014

Copernic.jpg L’any 1543 va ser un any especial. Aquest any, l’arrogància humana va haver de baixar uns quants esglaons. Nicolau Copèrnic va publicar el seu llibre “De Revolutionibus Orbium Coelestium, en el que postulava que la Terra no era el centre de l’Univers. Deia que les mesures i observacions astronòmiques s’explicaven molt més fàcilment si acceptàvem que la terra era un de tants planetes, com Venus, Mart i Júpiter, que anaven girant al voltant del Sol. El seu model heliocèntric era molt més senzill que el model geocèntric de Ptolomeu, i explicava bé els valors de les taules astronòmiques sense haver de recórrer a estranyes solucions com la dels epicicles. Però amb Copèrnic vam deixar de ser els éssers mimats de Déu, creats a la seva imatge i semblança i habitants d’un planeta en repòs al bell mig de l’Univers.

El model heliocèntric de Copèrnic era simple i enginyós, però poca gent se’l va creure. De fet, al cap de pocs anys, el 1588, Tycho Brahe va proposar un model alternatiu (el model geoheliocèntric) en el qual la Terra retornava al centre de tot plegat, la Lluna i el Sol giraven al voltant de la Terra, i la resta de planetes giraven al voltant del Sol. A la imatge podeu veure el model de Tycho Brahe en fons blanc i el model Copernicà en fons negre (ens ambdós casos, la fletxa indica el centre de l’Univers, el que no es mou). El model de Brahe també explicava correctament totes les mesures i observacions astronòmiques, amb l’avantatge que no violentava els jerarques catòlics. Tycho Brahe defensava el seu model tot argumentant la impossibilitat que un objecte tant voluminós i pesat com la Terra pogués girar a gran velocitat al voltant del Sol sense que ens adonéssim.

A banda que el fet de pensar en una Terra movent-se per l’espai a tota velocitat era poc creïble, el model Copernicà no concordava amb les mesures i observacions del segle XVI. Si la Terra no és el centre de tot i gira al voltant del Sol, cal que a més giri al voltant del seu eix i que doni una volta cada 24 hores. En els models de Ptolomeu i de Tycho Brahe, nosaltres estem quiets mentre el Sol gira ràpidament i dona una volta a la Terra cada dia. Però en el model Copernicà, és la Terra què ha de girar cada dia. La primera pregunta de Tycho Brahe era cóm és que els objectes cauen verticalment i no es desvien com a conseqüència del gir de la Terra, si aquest és un fenomen que s’observa quan deixem caure objectes damunt d’una plataforma giratòria. La segona pregunta que feia Brahe estava relacionada amb la posició relativa de les estrelles al cel, que aparentment era sempre la mateixa. Les constel·lacions i les estrelles eren i són una mena de “foto fixa” al cel de nit. Brahe argumentava que, amb la hipòtesi Copernicana, les nits d’estiu i les d’hivern les estaríem veient des de llocs molts diferents de l’espai (punts oposats de la trajectòria de la Terra al voltant del Sol) i que per tant hauríem de veure les estrelles des de perspectives diferents i amb canvis en les seves posicions relatives (canvis angulars que en astronomia s’anomenen paral·laxi). El raonament, impecable, de Tycho Brahe, era que si no veiem canvis en les posicions relatives, les estrelles en el model Copernicà han d’estar molt i molt lluny de la Terra i del Sol, cosa que de fet, ara sabem que és certa. Però tot plegat es complicava perquè al segle XVI els instruments d’observació i mesura eren defectuosos i tothom pensava que les estrelles eren petits discs brillants d’un cert diàmetre. Els astrònoms fins i tot mesuraven els discs estel·lars i tothom parlava del diàmetre aparent de les estrelles, quan ara sabem que tot això era incorrecte i que les estrelles són pràcticament puntuals. Però Tycho Brahe va fer un senzill càlcul de proporcions i va concloure que, si les estrelles són molt i molt lluny i tenien el diàmetre aparent que tothom acceptava, havien de ser gegantines, molt mes grans que el Sol. Com que això era absurd, Brahe i els seus deixebles van arribar a la conclusió que la teoria heliocèntrica no podia ser certa.

Malauradament, els copernicans no van saber rebatre aquests arguments i tampoc van poder aportar observacions alternatives. El cert és que, com que no tenien raonaments científics, en van acabar donant de religiosos. Defensaven que la seva teoria no era absurda perquè “la divina saviesa és molt més gran que el que puguem nosaltres imaginar”, i per tant, el que algú pot pensar que és absurd, no té per què ser-ho. Una ben trista defensa, oi? D’altra, banda, les noves observacions astronòmiques no ajudaven. Pels voltants de l’any 1650, Battista Riccioli va construir un telescopi millor que el de Galileo. Va deduir que el diàmetre aparent de les estrelles era més petit del que es creia, encara que les seves noves mesures del paral·laxi ho compensaven. Les estrelles de Riccioli acabaven essent igual de gegantines que abans, en el model de Copèrnic.

Tot plegat va portar cua durant bastants anys. Robert Hooke, responsable d’experiments de la Reial Societat anglesa, deia l’any 1674 que no era pas clar si la Terra es movia o no: “Whether the Earth move or stand still hath been a problem. There hath not been any one who hath found out a certain manifestation either of the one or the other“. Galileo Galilei va demostrar l’any 1609 amb el seu telescopi que Júpiter tenia quatre llunes i que per tant no tot girava al voltant de la Terra, deixant clar que el model clàssic de Ptolomeu era incorrecte. Però de fet les seves observacions lligaven tant amb el model de Tycho Brahe com amb el de Copèrnic i no permetien discernir quin era el correcte.

Isaac Newton va ser qui va donar el primer suport científic significatiu a la teoria Copernicana. Les lleis de la física Newtoniana no funcionaven amb el model geoheliocèntric de Tycho Brahe i sí que concordaven amb les lleis de Kepler i amb el model Copernicà. Però la prova definitiva es va fer esperar i no va arribar fins el 1838, 470 anys després de la publicació del llibre de Copèrnic. Van ser quasi cinc segles de dubtes, baralles, arguments i contra-arguments. Els instruments de mesura de la revolució industrial van assolir per primera vegada la precisió necessària, i tothom va descobrir que els atacs contra la teoria heliocèntrica de Copèrnic eren conseqüència de mesures fetes amb instruments defectuosos. En concret, Friedrich Bessel va poder calcular el paral·laxi d’algunes estrelles l’any 1838 tot comprovant que eren molt i molt lluny. De manera quasi simultània, George Airy va saber explicar (en base a la difracció de la llum per l’atmosfera) per què les estrelles es veuen d’un cert diàmetre quan de fet són pràcticament puntuals, i Ferdinand Reich i Johann Friedrich Benzenberg van mesurar la desviació no vertical dels cossos que cauen, tot veient que concordava amb les prediccions de la física (efecte Coriolis degut a la rotació de la Terra). Les mesures del segle XIX van esvair els dubtes que havien propiciat Tycho Brahe i els seus deixebles, el segle XVI. En canvi, a Copèrnic li havien fallat les mesures.

Molts dels qui no van acceptar les teories de Copèrnic ara fa 470 anys, ho van fer en nom de les creences i de la religió. Però Dennis Danielson i Chistopher M. Graney expliquen que molts d’altres ho van fer en base a observacions i experiments, tot utilitzant una metodologia científicament correcta i respectable. L’únic problema és que, com hem vist, els seus instruments de mesura no eren prou precisos. Encara que tres segles més tard es va saber que estaven equivocats, no podem pas dir que fossin mals científics. Ells ho feien bé, amb els instruments que tenien. Danielson i Graney comenten que la critica científica a la teoria Copernicana té una certa semblança amb el que va passar fa dos anys quan un grup de científics del CERN va semblar que havien trobat que els neutrins viatjaven a una velocitat més gran que la de la llum. Tant les teories com els resultats que poden ser revolucionaris s’han d’analitzar amb el cap fred, tot verificant-los amb nous experiments. Part de l’encís de la ciència és l’actitud permanent de dubte i desconfiança. Danielson i Graney diuen que cal estar sempre preparats per a rebatre, amb arguments rigorosos, les afirmacions i teories dels altres, per fortes i clares que puguin semblar. Els grecs pensaven que les estrelles eren fetes d’una substància etèria i lleugera que no existia a la Terra. Tothom ho va creure fins que les mesures d’espectrometria van demostrar que els elements químics que formen les estrelles són els mateixos que tenim a casa nostra. Ara es parla de la matèria fosca, d’una matèria fantasma diferent de totes les que coneixem. Danielson i Graney diuen: “tot això de la matèria fosca, no us sona una mica a la mítica substància etèria de les estrelles dels grecs?”

 

Per cert, en Juan Cruz diu que la immensa majoria dels crims col·lectius (del segle XX i anteriors) s’han comès en nom del bé, de la justícia i de la felicitat per a tots.

Per què els atletes salten d’esquena?

dimecres, 8/08/2012
High_Jump.jpg

Salt de Yaroslav Rybakov (de www.lasprovincias.es)

 

Fa cent anys, els atletes feien el salt d’alçada sense perdre la seva verticalitat i fent un moviment de tisora amb les seves cames. Per què ho fan tant complicat, ara?

L’explicació ens la donen les lleis de la dinàmica, formulades fa 325 anys per Isaac Newton. Newton ens va explicar que quan saltem, des d’el moment que perdem contacte amb el terra, el moviment és conegut i previsible. Si no considerem la fricció amb l’aire (que podem considerar menyspreable), les lleis de la dinàmica ens diuen que el centre de gravetat de l’atleta descriu un moviment parabòlic, i que a més, l’anomenat moment angular es manté constant durant tot el salt.

Centrem-nos primer en el moviment parabòlic. La corba que descriu qualsevol objecte que llencem o qualsevol persona o animal que salta, és una paràbola. L’aigua que surt de les mànegues quan reguem, el moviment d’una pedra que tirem, els salts de les granotes… tot són paràboles. Sabem, per la física, que l’alçada màxima a que arribarà la paràbola només depèn de la velocitat vertical en el moment de deixar el terra(*). Com més alçada demanem en el punt àlgid de la paràbola, més velocitat vertical necessitarem i per tant, ens caldrà més energia.

En saltar d’esquena, els atletes aconsegueixen una cosa realment sorprenent: passen per damunt del bastó mentre que el seu centre de gravetat (i la paràbola que descriu) passa per sota. Ens ho explica John Barrow al seu llibre “Mathletics”, citat per Rose Eveleth a la revista “Scientific American” d’aquest mes d’agost. L’atleta passa per damunt del bastó, però només ha d’esmerçar l’energia necessària per a fer que el seu “punt central” passi, en trajectòria parabòlica, per sota del bastó.

El centre de gravetat, el punt central d’un objecte, d’un animal o d’una persona, és un punt essencial a la física i a la dinàmica Newtoniana. Qualsevol objecte o persona, per mantenir-se en equilibri en repòs i sense caure, ha de mantenir el centre de gravetat damunt la seva base de sustentació. I tot objecte penjat d’un fil o d’una corda, queda en repòs de tal manera que el seu centre de gravetat és en un punt de la continuació imaginària del fil. Observeu per exemple la peça triangular en el mòbil de Alexander Calder de la imatge. Calder.jpg Si la pengem del fil primer per un punt i deprés per un altre, podem localitzar el seu centre de gravetat: pintem la continuació del fil en cada un dels dos cassos, i marquem el punt d’intersecció entre les línies que hem pintat. El centre de gravetat d’una pilota és sempre el seu centre geomètric, però en una poma o en un secador de cabell, la seva posició depèn de la forma concreta de l’objecte. Mireu ara la foto d’en Yaroslav Rybakov al principi d’aquest article. Si agafeu un ninot, li doneu la mateixa forma que veieu a la foto, i el pengeu d’un fil des de diferents punts, podreu comprovar que el seu centre de gravetat és un punt a l’aire, just per sota del bastó horitzontal.

Els humans ens podem doblegar, fent que el nostre centre de gravetat, el nostre “punt central”, quedi situat fora del nostre cos. Els insectes (per exemple, les llagostes i els grills) quan salten no ho poden fer. La rigidesa del seu exo-esquelet els ho impedeix. El seu centre de gravetat, el seu punt central, el que descriu una paràbola, és dins del seu cos. Si una llagosta gegant tingués la mateixa massa que un dels nostres atletes, hauria d’emprar més energia que l’atleta, per a fer el mateix salt: la seva trajectòria parabòlica hauria de passar per damunt del bastó i no per sota.

I què significa que el moment angular es conserva? Vol dir que el moviment de gir de l’atleta al voltant del seu centre de gravetat, durant el salt, també es troba predeterminat. És conseqüència directa de l’impuls en el moment de deixar el terra. Però en aquest cas, l’atleta té més marge de maniobra durant el salt. De manera semblant als que fan patinatge artístic sobre gel, si s’encongeix o s’estira podrà variar i regular la seva velocitat de gir. Amb molt d’entrenament, pot ajustar que l’esquena quedi horitzontal en el moment àlgid, i pot aconseguir una bona caiguda.

(*)  Nota: l’alçada màxima és proporcional a l’arrel quadrada del component vertical de la velocitat inicial.