Entrades amb l'etiqueta ‘la terra’

La suor de la Terra

dijous, 2/11/2017

Tots sabem que quan tirem una pedra enlaire, cap al cel, arriba més o menys amunt en funció de la velocitat amb que la tirem (vegeu la nota al final). És possible tirar-la amb tanta força que la pedra ja no torni, sino que acabi escapant a l’atracció de la Terra i fugi cap a l’espai exterior?

Molta gent hi va pensar, en això. És, per exemple, el que ens proposava Jules Verne a la seva famosa novel·la de ciència-ficció. Els protagonistes utilitzaven un canó per donar al coet la velocitat inicial que necessitaria per arribar fins la Lluna (sense pensar massa en els efectes, decididament mortals, que el seu llançament hauria tingut en els tripulants). Però, realment hagués pogut arribar a la Lluna, el coet llençat pel canó Columbiad?

La resposta ens ve de la física. La velocitat necessària per escapar a l’atracció del nostre planeta és de 11,2 Km. per segon. La Carme Jordi ho explicava molt bé fa pocs dies. Si un objecte, gran o petit, té una velocitat més petita que aquests 11,2 Km. per segon, mai podrà sortir de l’atracció de la Terra. Però en canvi, si va més de pressa que aquests 11,2 Km. per segon, la Terra no el podrà retenir i sortirà directament a l’espai exterior. La física ens diu que aquesta llei és vàlida per a tot, sigui gran o petit. S’aplica als satèl·lits que volem enviar a estudiar altres planetes, a les pedres, als grans de sorra, a les molècules, als àtoms i a les seves partícules. Res pot escapar a la Terra si no té una velocitat de 11,2 o més Km. per segon. I arribar-hi no és pas fàcil, perquè aquesta velocitat és 33 vegades la velocitat del so. És una velocitat que, en 9 segons, ens portaria a una distància de 100 quilòmetres. Decididament, el canó del viatge de la Terra a la Lluna de Verne no hagués servit per arribar a l’astre dels dilluns.

La velocitat mitjana dels àtoms d’oxigen i nitrògen de l’atmosfera a temperatura ambient és supersònica, però no arriba a doblar la velocitat del so. És molt inferior, per tant, a la velocitat d’escapament. És clar que aquest és un valor mitjà i que alguns àtoms poden tenir en algun moment una velocitat bastant més elevada, però és realment improbable que arribin ells sols als 11,2 Km. per segon. En canvi, els darrers anys, els astrònoms han constatat que constantment, hi ha una mica d’atmosfera de la Terra que escapa en direcció a la plasmasfera i la magnetosfera. Les observacions han mostrat columnes esporàdiques de plasma que pugen a la plasmasfera, viatgen cap als extrems de la magnetosfera i que acaben interactuant amb el plasma del vent solar de l’espai exterior. El fenomen encara no s’entén gaire, però sabem que existeix aquest flux constant i continu de matèria, amb ions d’oxigen, hidrogen i heli, que deixa l’atmosfera i creua la plasmasfera, principalment a les regions polars. Es tracta d’unes 90 tones cada dia. Una possible explicació és que aquests ions incrementen la seva energia i velocitat i acaben podent fugir gràcies a l’impuls de la seva interacció amb els camps magnètics produïts pel vent solar i pel nostre planeta. Matèria que fuig i que podríem batejar com la suor de la Terra.

Ara bé, mentre aquestes partícules fugen, n’hi ha moltes altres que ens van caient del cel. Són els meteorits i micrometeorits. És difícil estimar-ne el volum total, però, segons els astrònoms de la Universitat de Cornell, la massa de material que cau anualment a la Terra oscil·la entre 37.000 i 78.000 tones (val a dir que la major part d’aquesta massa és deguda a partícules finíssimes, de pols còsmica). En altres paraules, cada dia ens cauen del cel entre 101 i 214 tones de matèria. Per cert, aquesta pàgina web del grup d’astrònoms de Cornell és molt recomanable. Explica amb rigor força coses que tal vegada ens poden interessar…

L’atmosfera del nostre planeta té fuites, i la seva suor, feta de molècules que han aconseguit assolir la velocitat d’escapament de 11,2 Km. per segon, envia cada dia unes 90 tones de material a l’espai exterior. Són gasos lleugers que marxen de l’atmosfera exterior del nostre planeta. Però no hem de patir massa. Primer, perquè, encara que no ens ho sembli, el pes total de l’atmosfera és d’unes 5.000.000.000.000.000 tones. No hi ha perill de quedar-nos sense aire. Però a més, hem vist que ens arriba més material del cel del que se’n va. En altres paraules: la Terra no perd, sino que guanya; es va engreixant de mica en mica. El planeta blau de la imatge de dalt continuarà sent blau i respirable sempre que els humans no fem massa ximpleries.
————

Per cert, en Pere Ortega cita Hannah Arendt, que ens va advertir que de la violència mai sorgeix el poder mentre que el poder només sorgeix de l’acció política. Hannah Arendt deia que la violència sorgeix quan hi ha absència de poder, quan el poder està en perill i es recorre a la violència armada per implementar-lo per la força.

————

NOTA: En el cas que tirem una pedra o un petit objecte enlaire, sabem que la seva energia cinètica és la meitat del producte de la seva massa per la seva velocitat al quadrat. Si ho fem bé i la tirem exactament en direcció vertical, anirà disminuint de velocitat mentre puja, i arribarà a una alçada tal que la seva energia potencial (massa per gravetat per alçada) sigui igual a l’energia cinètica inicial. En aquest moment haurà emprat tota l’energia inicial en la pujada, i s’aturarà un moment abans de començar a caure. L’alçada és ben fàcil de calcular, perquè si igualem les dues energies, veiem que el quadrat de la velocitat inicial és igual a 2 per l’acceleració de la gravetat i per l’alçada. Ara bé, això només és cert prop del terra. Si la velocitat inicial de l’objecte és molt gran i aquest puja molts quilòmetres, cal integrar i tenir en compte la variació de l’acceleració de la gravetat a mesura que ens allunyem del centre de la Terra. Si fem bé els càlculs, trobarem que, per a que l’objecte pugi i ja no torni a caure, la velocitat inicial ha de ser superior a 11,2 Km/segon.

L’anell de la vida

dimecres, 4/02/2015

La vida tal com la coneixem, la dels éssers vius més complexes, necessita oxigen, diòxid de carboni, aigua en estat liquid i altres minerals. Per sort, el planeta Terra té una mica de tot. Té oxigen, diòxid de carboni, carboni i aigua. Vivim en el planeta blau, un astre ben sorprenent amb tres quartes parts cobertes d’oceans.

No sabem si hi ha d’altres planetes amb diferents formes de vida, a la nostra galàxia i a l’Univers. Probablement sí. En tot cas, el que ens expliquen els astrònoms és que qualsevol estrella té una zona habitable, en forma d’anell. És l’anell de la vida. És només una qüestió de temperatura i calor. Els planetes que orbiten dins l’anell de la vida de qualsevol estrella tenen aigua en estat líquid i els compostos orgànics poden reaccionar químicament per a formar proteïnes i les molècules complexes de la vida. Però si sortim de l’anell de la vida en direcció a l’estrella, fa massa calor, l’aigua bull i tot es crema. Mentre que si ens allunyem per l’altra banda, tot es glaça i ja sabem que la manca de calor tampoc és amiga dels éssers vius superiors.

La imatge que veieu, d’aquesta web, és part d’un article recent de la revista Nature (Scientific American). Ens mostra el Sol, la Terra i l’anell habitable del sistema solar en tres instants de temps diferents: quan fa 3500 milions d’anys va començar la vida a la Terra, la situació en el moment actual, i la previsió per d’aquí a 1750 milions d’anys. Quan la vida va sorgir al nostre planeta, la Terra era al mig de l’anell, en condicions que ara sabem que eren òptimes per a la vida. Però avui veiem que som prop del precipici, prop del límit intern de l’anell. És degut a que les estrelles, i el Sol també, generen més i més calor a mesura que es van fent vells. Això fa que l’anell habitable es vagi desplaçant lentament cap a zones cada vegada més llunyanes. És una imatge que impressiona i fa pensar, oi? És clar que, a escala humana, no hi ha cap perill perquè estem parlant de períodes de temps molt grans. Ara bé, aquest sí que és un escalfament global inexorable, amb efectes devastadors. Fixeu-vos que, al dibuix de sota, la Terra ha canviat de color, ha deixat de ser el planeta blau. D’aquí a 1750 milions d’anys la Terra no podrà tenir aigua liquida perquè la temperatura a la seva superfície superarà els 100 graus. S’hauran evaporat els oceans i tot serà un immens desert sec i erm, perquè abans d’arribar als 100 graus, s’hauran desnaturalitzat les proteïnes i l’ADN.

La vida a la Terra té més passat que futur. Si canviem l’escala de temps i la transformem a escala humana, podem afirmar amb tota seguretat que la vida al nostre planeta ja té uns 60 anys, i que n’hi queden menys de 30. Som el resultat d’una evolució que ha anat fent el seu camí durant dos períodes de 1750 milions d’anys, però que sabem que s’extingirà abans d’acabar el tercer d’aquests llargs períodes. El mateix Sol que cada dia ens dóna l’energia vital, ens va acostant molt lentament al precipici del final de la vida, a la negror del cercle intern de la imatge de dalt. Som limitats, i Gaia també.

Per cert, Sebastiao Salgado diu que no li preocupa si la nostra espècie desapareix, perquè va arribar a la Terra abans-d’ahir. Fa un milió d’anys no existia. Els dinosaures, que havien viscut 150 milions d’anys, van desaparèixer fa 100 milions d’anys. Diu que si desapareix la nostra espècie, o una espècie de formiga o de balena, en el fons és més o menys la mateixa cosa, perquè formem part d’un moviment més ampli, planetari, de l’evolució. Salgado diu que creu en la intel·ligència de l’evolució.

Els avions, els mapes i les closques d’ou

dimecres, 17/12/2014

Què és més ràpid, anar en avió de Barcelona a Nova York o de Sao Paulo a Mèxic DF? No sé si us passa el mateix que a mi, però jo trobo que la durada dels viatges llargs en avió es fa difícil de preveure. Donats quatre punts sobre la Terra, no sempre és fàcil saber si la distància entre els dos primers és més gran o més petita que la distància entre els dos segons.

Estem acostumats a imaginar que tot és pla. Quan pensem en distàncies, habitualment ho fem en terrenys que considerem plans. Les mesurem en línia recta, sobre el terreny o en mapes plans, en el mòbil o estesos damunt la taula. Però ja sabem que la Terra no és plana. De fet és un geoide, amb una forma quasi esfèrica que enganya la nostra intuïció. Mireu aquesta bola del món interactiva. Podeu girar-la, i cada cop que us atureu us mostra a més la direcció dels vents. Però a mesura que l’aneu girant, és fàcil veure que la distància aparent entre dos punts determinats qualsevols va variant. Per a fer-nos una idea del valor d’una determinada distància, el millor és girar la bola del món fins que el punt mig entre les dues ciutats que estem estudiant, per exemple Barcelona i Nova York, coincideixi amb el centre del cercle de la Terra. En aquesta posició, la distància que veiem en pantalla permet determinar la distància real entre els dos punts (vegeu Nota al final). Us trobareu amb sorpreses, perquè la nostra intuïció alguns cops ens enganya. El problema és que vam aprendre geografia amb mapes del món inexactes que en alguns casos distorsionen els continents.

La Terra és pràcticament esfèrica, un globus. Les formes rodones i esfèriques ens són ben familiars. Sabem el fàcil que és inflar globus i fer bombolles de sabó. Però tan les esferes com els trossos d’esfera amaguen molts secrets i no sempre són tan dòcils. Proveu de construir una esfera, encara que sigui aproximada, retallant i enganxant cartolina. No és pas fàcil. I tenim un teorema geomètric, el de “l’esfera peluda” que diu que si pretenem pentinar una esfera amb pèls, sempre ens quedarà algun remolí. A més, les esferes no es poden aplanar. I aquest és el gran problema dels mapes: és impossible fer un bon mapa de la Terra perquè volem que els nostres mapes siguin plans mentre que el nostre planeta és esfèric i no es deixa aplanar.

Imaginem que pintem el mapa d’Europa en un tros de closca d’ou. El mapa podrà ser força fidel, perquè els trossos de closca d’ou són semblants a casquets esfèrics. Però no és gaire còmode portar closques d’ou d’una banda a l’altre, com tampoc ho és anar sempre amb una bola del món sota el braç. Si volem un mapa pla, la geometria ens diu que només tenim dues opcions: distorsionar o trencar. Cap d’elles és perfecte, però aquest és el dilema. Les matemàtiques ens diuen que la perfecció en els mapes no existeix.

Quasi tots els mapamundis que coneixem segueixen el camí de la distorsió. És el que passa, per exemple, quan fem una foto de la bola del món. La Terra se’ns distorsiona i veiem distàncies més grans al mig que cap a les vores perquè és impossible de representar fidelment la Terra tota connectada i sense distorsió. En els mapamundis, no podem prendre mesures amb un regle.

Però ens queda la segona opció, la de trencar. Si premem la closca d’ou de la foto de dalt després de pintar-hi el mapa d’Europa, ens quedarà el continent ben aplanat i sense quasi distorsió, però tot trencat. Hi ha molta gent que ha creat mapes d’aquest tipus, encara que són poc coneguts. Són mapes que segueixen el principi de la closca d’ou xafada. Aquí teniu el mapa Dymaxion que va proposar en Buckminster Fuller. I aquí podeu veure el mapa octaèdric de la Terra, que us podreu construir si visiteu el museu de matemàtiques de Barcelona. La Terra es pot tallar i separar de moltíssimes maneres, i cada una d’elles ens generarà un mapa diferent del tipus closca d’ou trencada. Si volem minimitzar la distorsió, hem de fer que les cares planes finals siguin ben petites. Per això, en Jarke Van Wijk parla dels mapes “Miriahedral“. Mireu i gaudiu d’aquest vídeo, que trobareu a la seva pàgina web. Ens mostra algunes de les infinites maneres de trencar i aplanar el nostre planeta.

Podem decidir-nos a estudiar bé la geografia i la geometria del nostre planeta amb una bola del món, o amb mapes (per cert, heu pensat en l’etimologia de la paraula “geometria”?). Però si decidim fer-ho amb mapes, haurem d’escollir: distorsió o talls.

Per cert, en Joan Majó diu que els poders polítics democràtics no poden acceptar un nou pacte amb el capitalisme financer, sinó que cal obligar al nou capitalisme a canviar les seves regles. Diu també que les noves regulacions han de tenir caràcter global, perquè ara la partida es juga a escala de tot el món.

——

NOTA: Quan pensem en distàncies, habitualment ho fem en espais que considerem plans. Les mesurem en línia recta, sobre el terreny o en mapes plans. Però, a la Terra, les grans distàncies no les podem mesurar en línia recta. Si volem calcular la distància entre dos indrets com Barcelona i Nova York i aproximem la Terra per una esfera, la geometria ens explica que si volem trobar la distància més curta, hem de mesurar-la en un arc de cercle màxim. Tot plegat no és pas difícil d’imaginar. Tenim tres punts: les dues ciutats A i B que estem estudiant (Barcelona i Nova York, o Rio de Janeiro i Mèxic DF) i el centre de la Terra, que anomenarem O. Els tres punts A, B i O defineixen un pla que talla la Terra en dues meitats, com si fos una síndria, i que ens marca el cercle màxim que passa per A i B perquè sabem que el centre de qualsevol cercle màxim és el punt O. Quan girem la bola del món fins veure centrat i damunt de O el punt mig entre A i B, aconseguim mirar la Terra des d’una posició en la que el pla dels punts A, B i O el veiem de canto. Com que, a més, els punts A i B els hem situat de manera simètrica en relació a la projecció del centre O, el problema de calcular la distància real entre A i B sobre la superfície del planeta (la que recorren els avions) es redueix al problema de calcular la llargada de l’arc AB a partir de la de la seva corda, que és la que podem mesurar en la projecció que veiem del globus terraqüi. I aquí és on rau la dificultat: mesurem cordes, però les distàncies reals són arcs de cercle màxim. Ens equivoquem perquè estem acostumats a veure i mesurar distàncies curtes, i la geometria ens diu que, quan el radi del cercle és molt més gran que l’arc, les mesures de l’arc i de la seva corda són pràcticament coincidents. Si en un mapa veiem tres pobles A, B i C situats de manera que els habitants de B veuen A i C en angle recte, sabem que podrem aplicar el teorema de Pitàgores: si la distància entre A i B és de 3 quilòmetres i la distància entre B i C és de 4 quilòmetres, la distància entre A i C (hipotenusa) serà de 5 quilòmetres. La hipotenusa al quadrat és igual a la suma dels quadrats dels dos catets. Però els triangles esfèrics que se’ns formen sobre la superfície de la Terra són sorprenents. Per començar, els geòmetres mesuren els costats dels triangles, que sempre són arcs de cercles màxims, en graus. Un triangle esfèric té tres costats i tres angles però tots sis es mesuren com angles perquè és molt més senzill i clar. En trigonometria esfèrica, veureu formules on apareixen el sinus i el cosinus dels costats dels triangles. De fet, l’equivalent del teorema de Pitàgores per triangles esfèrics, que hom pot trobar fàcilment a partir de les formules del pentàgon de Neper, diu que el cosinus de la hipotenusa és igual al producte del cosinus dels dos catets. Força diferent del teorema de Pitàgores que coneixem, oi?

Si voleu calcular la distància sobre la superfície de la Terra entre dues ciutats A i B de les que sabeu les seves coordenades geogràfiques de longitud i latitud, ho podeu fer analitzant el triangle esfèric format per A, B i el pol nord. A l’hemisferi nord, si les latituds de A i B les anomenem L1 i L2 i si diem D a la diferència entre els valors de les seves coordenades de longitud, haureu d’utilitzar funcions trigonomètriques i calcular els cinc valors a=cos(L1), b=cos(L2), c=sin(L1), d=sin(L2), e=cos(D). Es pot fer, si voleu, amb un full de càlcul. Llavors, el valor c*d+a*b*e és el cosinus de l’angle que ens indica la separació entre els punts A i B sobre el seu cercle màxim. Només cal trobar aquest angle amb la inversa de la funció cosinus, passar-lo a radians i multiplicar-lo pel radi de la Terra (aproximadament, 6370 Km). El resultat és la distància, en quilòmetres, que haurem de recórrer si volem anar de A a B en avió.

Les dimensions donen sorpreses

dimecres, 22/10/2014

Com afecta el meu consum de combustibles fòssils a l’escalfament de la Terra? Si vaig sempre en cotxe, però m’ho repenso i decideixo que l’any vinent deixaré el cotxe aparcat i aniré en transport públic, és clar que ajudaré a reduir les emissions. Però l’efecte, si només ho faig jo, serà poc rellevant. La reducció serà marginal, molt petita, perquè cada un de nosaltres som ben poca cosa si ens comparem amb el planeta i amb tota la humanitat.

Pensem ara en un problema geomètric força conegut. Imaginem que poguéssim fabricar un cable d’acer de 40 mil quilòmetres, que donés tota la volta a la Terra. És una situació hipotètica, perquè si ho volguéssim fer de veritat hauríem de resoldre el problema de deixar tens i ben recte el cable per damunt del mar, probablement amb ajut d’una munió de flotadors (per cert, us heu preguntat quina seria la millor manera d’estendre aquest cable tensat, per a aconseguir que faci el màxim de recorregut per terra ferma i el mínim per l’aigua dels oceans?). Suposem que ho aconseguim (al menys, imaginàriament) i que el cable queda tens i ben posat. Ara, quan ja el tenim bé, el tallem, afegim 10 metres de cable i el tornem a soldar. Què passarà?

Hi ha dues situacions extremes. Si no hi fem res, el cable ens quedarà destensat en el lloc on hi hem afegit els deu metres. Però si intentem repartir el tros afegit al llarg de tot el cable per a que no es noti on hem fet la soldadura, el cable quedarà aixecat de terra un metre i 59 centímetres tot al llarg del seu recorregut. En d’altres paraules, probablement ens caldrà construir de l’ordre de quaranta milions de pals de 1,59 metres d’alçada per anar aguantant el cable metre a metre durant tota la seva volta a la terra, perquè ens haurà quedat a l’alçada dels ulls a tot arreu.

Aquests dos problemes són diferents, però tenen una certa connexió. La nostra experiència quan ens enfrontem a la Terra o a tota la humanitat ens diu que l’actuació de cada un de nosaltres és imperceptible (tot i que que quan ho fem tots a l’hora, sabem que la cosa ja és diferent, per sort). Probablement és per això que ens sembla absurd acceptar que el fet d’afegir deu metres de cable tingui aquests efectes globals tan significatius. En tot cas, l’explicació matemàtica és ben senzilla, vegeu la nota al final.

Pensem ara en un tercer problema que aparentment no té cap relació amb aquests dos. Suposem que estem pelant una patata (o una poma) d’uns 3 centímetres. Quin percentatge de la patata desaprofitem si fem una pela prima d’un mil·límetre?  I si ho féssim amb una patata més gran de 6 centímetres? L’explicació que trobareu també a la nota del final ens diu que, si suposem que la patata o la poma són pràcticament rodones (esfèriques), estem desaprofitant el 20% del pes de la primera patata. El resultat és probablement més gran que el que tots diríem, oi?.

La connexió entre els tres problemes es troba en el concepte de dimensions de l’espai. El cable és unidimensional, la pela de les patates és pràcticament bidimensional, i les pomes i patates són tridimensionals. Això fa que certes magnituds creixin molt més ràpid que d’altres, amb comportaments que algunes vegades poden semblar sorprenents perquè estem massa acostumats a les proporcionalitats. Vivim en un Univers de tres dimensions perceptibles, com va formular molt bé René Descartes mentre observava volar una mosca quan era malalt al llit, tot aprofitant per plantejar-se el problema de posicionar-la respecte l’habitació. Per cert, per què són tres, les dimensions de l’espai? Si no l’heu llegit i voleu saber una mica més sobre les paradoxes de les dimensions de l’espai, us recomano el llibre “Flatland”, de Edwin Abbott Abbott.

Per cert, els hereus de John D. Rockefeller, el magnat que va cofundar el 1870 el gegant petrolier Standard Oil, han anunciat que vendran les seves participacions en combustibles fòssils. Diuen que ell reconeixeria que la tecnologia de les energies netes és el negoci del futur.
_____________________________

NOTA: La nostra experiència algunes vegades que ens enganya. Estem acostumats a fenòmens que tenen un comportament “proporcional”, que en matemàtiques anomenem lineal. En aquests fenòmens, l’efecte és proporcional a la causa. Si anomenem “x” a la causa i “y” a l’efecte, els fenòmens lineals es regeixen per la ben coneguda equació y=a*x, on “a” és la constant de proporcionalitat. Però en el primer problema, el de la meva contribució a les emissions i a l’escalfament del planeta, el comportament no és lineal sinó afí. Si diem “x” al total de les nostres emissions individuals en un any i “y” és el grau d’escalfament de la Terra durant el mateix període, l’equació afí que relaciona x amb y és y=E+m*x, on E és el grau d’escalfament que hi haurà encara que jo no faci res. Com que el valor de E és molt gran en comparació amb la meva contribució m*x, el que jo puc fer individualment és ben poc, a no ser que m’agrupi amb molta altra gent. En canvi, el segon problema, el del cable tensat a la Terra, torna a ser lineal perquè la longitud L de la circumferència del cable és funció lineal del radi R segons la ben coneguda formula L=2*pi*R. El valor de R és molt gran, és el radi de la Terra. Però fixeu-vos que si afegim x metres de cable, tindrem L+x=2*pi*R2, on R2 és el radi de la nova circumferència que formarà el cable. Si ara restem les dues expressions, tindrem x=2*pi(R2-R). Això ens diu que, independentment de la longitud total del cable i del radi de la Terra, l’increment R2-R del radi de la circumferència que formarà el cable és y=R2-R=a*x, amb a=1/(2*pi). Amb 10 metres més de cable, ens quedarà a una alçada de 1,59 metres; i si afegíssim 20 metres, el cable quedaria a una alçada de més de 3 metres. El problema del cable és lineal mentre que el de l’escalfament és afí.

El problema del que desaprofitem quan pelem una patata té relació amb funcions quadràtiques i cúbiques, en canvi. Ja hem vist que la longitud d’una circumferència és lineal en relació al seu radi, però la superfície d’una esfera és quadràtica i el seu volum és cúbic. En concret, és ben conegut que la superfície d’una bola esfèrica de radi R és 4*pi*R*R i que el seu volum és (4/3)*pi*R*R*R. Per trobar la superfície cal elevar el radi al quadrat, i per a calcular el volum l’hem d’elevar al cub. Això fa que, si comparem la superfície d’una patata rodona de 3 centímetres amb la d’una altra de 6 centímetres de diàmetre, veurem que la segona té 4 vegades més de superfície de pela que la primera. I si pensem en el volum (o pes), ens trobarem que la segona pesarà 8 vegades més que la primera, perquè el cub de 2*R és vuit vegades el cub de R. Les superfícies i els volums o pesos no es comporten de manera lineal o proporcional, i per això algunes vegades també ens sorprenen. La quantitat de patata que desaprofitem quan la pelem es pot calcular ben fàcilment ja que només hem de multiplicar la superfície pel gruix de la pela. Si diem “g” a aquest gruix, el volum de patata desaprofitat és 4*pi*g*R*R. Si ara dividim pel volum total (4/3)*pi*R*R*R veurem que la proporció que desaprofitem és simplement 3*g/R. Aquest valor, quan el gruix és de 0,1 centímetres i el radi és de 1,5 centímetres, és igual a 3*0,1/1,5=0,2 que equival a un 20% del total de la patata. Fixeu-vos que aquesta és una funció interessant, lineal en relació al valor de g però inversament proporcional al radi R. En el cas de la segona patata, de mida 6 centímetres, és clar que el resultat és 0,1 i que estem desaprofitant el 10% del seu pes. Si us sembla estrany que quan pelem una patata de 3 centímetres de diàmetre amb peles de gruix d’un mil·límetre estem llençant en 20% del pes de tota la patata, penseu que si repetim el procés de pelar-la deu vegades, només ens quedarà una petita boleta de 5 mil·límetres de radi, i que si ho féssim 15 vegades no ens quedaria res. Això ja ens fa veure que el percentatge que desaprofitem ha de ser més gran que un 6,66% (equivalent a una fracció de 1/15) i segurament més gran que el 10%. En el nostre cas, és del 20%.