Entrades amb l'etiqueta ‘latitud’

El dia de les ombres allargades

dijous, 27/12/2018

A Vilassar de Mar, al migdia, l’alçada màxima del Sol sobre l’horitzó és de 65 graus el dia 21 de juny, mentre que el 21 de desembre només és de 18 graus. Però si volem saber aquests valors per al lloc on vivim, només hem de conèixer el valor de la nostra latitud (a Vilassar és de 41,5 graus) i sumar-li i restar-li l’angle d’inclinació de l’eix de la Terra que com sabem és de 23,5 graus.

Al solstici d’hivern, el Sol només arriba als 18 graus d’alçada. Molt poc, oi? Fred, foscor, ombres allargades, la vida vegetal que s’atura per manca de llum solar. És el presagi de l’hivern que vindrà per acumulació de dies i setmanes en les que el Sol escalfa més l’hemisferi sud que el nord.

Però de fet, i com hem anat sabent a partir de Copèrnic, el causant dels solsticis no és el Sol, sino el nostre planeta, que té un moviment de rotació que no lliga amb la seva òrbita al voltant del Sol. La imatge (aquesta) d’aquesta pàgina web ho explica ben clar i mostra un fenomen que és menys conegut del que ens pensem: la direcció de l’eix de la Terra, en relació als estels llunyans, no canvia al llarg de l’any (el cert és que sí que canvia una mica, perquè l’eix de la Terra descriu un moviment de precessió com el d’una baldufa, que li fa completar una oscil·lació cada 25 mil anys; però en la nostra escala de temps, podem considerar-lo totalment estable i constant). I l’eix de rotació no pot canviar durant els mesos de l’any perquè les lleis de la dinàmica de Newton ho impedeixen (vegeu la nota al final).

El solstici d’hivern sol ser el 21 o el 22 de desembre, segons l’any. Ara bé, de fet i parlant correctament, el solstici no és un dia: és un instant. Hi ha qui ens explica que el solstici d’hivern es produeix quan l’eix de la Terra està inclinat de manera que el pol nord es troba totalment a la banda contrària del Sol, en relació al centre de la Terra. Però crec que és més fàcil d’entendre-ho si ens ajudem amb un pla i dues rectes. Si ho voleu explicar als nens, comenceu per agafar un full de paper, que representarà el pla de la nostra òrbita (l’anomenat pla de l’eclíptica). Marqueu el Sol al centre i dibuixeu un cercle que indicarà l’òrbita de la Terra (és el·líptica però la podem aproximar per un cercle). Ara, travesseu el paper amb un llapis A, perpendicular al paper, justament pel punt on heu marcat la posició del Sol. I, amb un altre llapis B inclinat respecte el primer que representarà l’eix de la Terra com podeu veure a la imatge d’abans, aneu recorrent l’òrbita. La Terra gira cada dia al voltant de B i una vegada cada any al voltant de A sense modificar mai la direcció del seu eix B. Imagineu ara les rectes rA i rB que allarguen els llapis A i B fins l’infinit per les seves dues bandes. Veureu que aquestes rectes rA i rB es tallen només dues vegades al llarg de l’any, en dos punts oposats de l’òrbita de la Terra, mentre que tota la resta de l’any no es toquen. Aquests dos instants màgics en els que rA i rB es tallen, són els solsticis d’estiu i hivern.

No hem de confondre els solsticis amb el periheli i afeli, punts de l’òrbita en què la Terra es troba el més propera possible del Sol i el més allunyada possible del Sol, respectivament. De fet, la Terra a l’hivern és més a prop del Sol que a l’estiu. Aquest any, el periheli serà el dia 3 de gener, 13 dies després del solstici d’hivern. Les estacions no depenen de la distància al Sol sino de la inclinació de l’eix de la Terra.

I, parlant de plans, tot plegat es torna menys antropocèntric a mesura que ens allunyem del sistema solar. Perquè el pla de l’eclíptica és bastant arbitrari. Es va anar concretant durant tot el lent procès en el qual la matèria va anar quedant atrapada per l’atracció solar, i és força coincident amb el pla de les òrbites dels altres planetes. Però és ben diferent del pla de la nostra galàxia, com podeu veure en aquest vídeo. El pla principal de la Via Làctia, aquest pla P que el Sol orbita cada 230 milions d’anys, és un altre pla de referència que ens és desconegut i llunyà, encara que no deixa de ser bonic pensar que el Sol, des de l’aparició dels dinosaures fins ara, hi ha donat justament tota una volta, passejant per P la vida que anava creixent al nostre planeta. Encara que no hi pensem gaire, som ciutadans insignificants que vivim prop del pla principal de la Via Làctia.

Tot i que, ben pensat, per què diem que la Terra, des de l’espai, es veu amb l’hemisferi nord a dalt? Veient la inclinació del pla principal de la Via Làctia respecte l’eclíptica (i pensant en l’orientació de totes les demés galàxies) és clar que hi ha infinits possibles observadors, i que la Terra “es pot veure” amb el pol nord a dalt o amb el pol nord a sota. És per això que m’agrada capgirar les boles del món dels meus amics i deixar-les com la que veieu a la imatge de dalt, de manera que Àfrica i els països del sud quedin més rellevants. La bola del món de la imatge, en una posició que correspon més o menys al solstici d’hivern i on nosaltres som quasi a sota del tot, és tan vàlida i correcta com totes les que trobareu a les botigues. Mirar-la, fa pensar.

Diuen que els humans ens tornem violents quan tenim por, però també quan veiem coses que no entenem. Perquè la ignorància, que es pot intentar abordar amb una anàlisi científica dels fets, també ens porta malauradament als mites, als dogmes, a la veritat que creiem que només tenim nosaltres, i a la violència contra “els altres”. Només cal mirar el cas d’en Giordano Bruno o el judici a Galileo Galilei. L’instint fa que tinguem ganes de destruir aquells qui qüestionen les nostres “veritats”. I de fet, els mites poden acabar generant violència mentre que en canvi, la ciència ens acosta a la pau. La ciència ens ajuda a entendre que no és que el Sol pugi a l’estiu i baixi a l’hivern, sino que simplement tot és degut a que l’eix de la Terra manté la seva direcció. Ens explica també que totes les persones tenim la mateixa dignitat i que tots som part d’un sistema ecològic que podem aprendre a cuidar, però que també podem destruir amb la nostra cobdicia i violència. I ara, després d’entendre que l’eix de la Terra es manté invariant, seria fantàstic que fóssim capaços d’entendre que l’equilibri de la vida a la Terra també s’ha de mantenir invariant…

——

Per cert, en Sebastià Alzamora parla de la violència i diu que és el comportament més primari de l’espècie humana, a més de ser un fet polític. Diu que un ésser humà, igual que qualsevol animal, pega, fereix o mata quan té por o se sent acorralat o amenaçat; però que, a diferència dels animals, l’ésser humà es torna també violent davant del que ignora: els animals esquivaran allò que no coneixen, però l’ésser humà de vegades s’hi torna i intenta destruir-ho. Diu que aquests dos paràmetres, la por i la ignorància, expliquen gairebé tots els actes de violència que saturen l’actualitat.

——

NOTA: Val a dir que l’estrany seria que la direcció de l’eix de la Terra anés canviant perquè, com bé ens va explicar Isaac Newton, els moviments de translació i rotació sempre són independents. El centre de gravetat de la Terra, que més o menys és el centre de la geoide, es mou al llarg de l’any en una òrbita el·líptica en el pla que anomenem de l’eclíptica, mentre la Terra gira cada dia al voltant del seu eix, que no canvia en absència de parells de forces exteriors.

Si voleu saber quin és l’angle (invariant) entre l’eix de la Terra i el vector normal al pla galàctic, mireu aquesta pàgina web i els seus dibuixos. L’angle és de  62,9 graus.

El sol i la paret del fons

divendres, 27/07/2018

A l’hivern, m’entrarà el sol per la finestra i escalfarà la paret del fons?  Arribarà fins al passadís?

Per saber les respostes a aquestes preguntes cal seguir una sèrie de passos ben senzills, que podrem fer sense problemes si perdem, per una estona, aquesta maleïda i quasi universal por a les matemàtiques. L’algorisme (perquè el conjunt de passos que cal seguir per a resoldre un determinat problema és un algorisme) el podeu trobar a la nota del final. Hauré de definir correctament la direcció D que m’interessa, que no és altra que la que hauran de tenir els raigs de Sol que voldria que entressin per la finestra i escalfessin la paret del fons. Hauré de conèixer també la direcció E de l’eix de la Terra. I ara, saben D i E, només em caldrà calcular l’angle entre aquestes dues direccions i cercar (en una taula com aquesta o a la informació geogràfica del meu municipi) la latitud L del lloc on soc. Si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, la resposta és afirmativa: en algun moment de l’any, la llum del Sol entrarà per la finestra i il·luminarà el punt de la paret o del passadís que vull. Si no es troba entre aquests dos valors, la resposta és negativa (vegeu la nota al final).

La simplicitat del problema, un cop sabem l’angle entre D i E, és sorprenent, oi? De fet, ens sorprèn perquè tendim a pensar que som el centre del món i fins i tot de l’Univers, i que caminem ben drets i verticals. Però ho entendríem millor tot plegat si penséssim que la nostra vertical és tan vàlida com la dels habitants del Iemen o de Nova Zelanda, que el nostre planeta té una única direcció singular (la del seu eix E), i que aquesta direcció, comú a tothom, és la important.

Hi ha una segona dificultat, interessant i curiosa a la vegada: el nostre sistema cognitiu està molt més adaptat a pensar en termes de punts i distàncies que a imaginar direccions i angles. La prova és que ens és molt més fàcil fer una estimació de la distància entre dos punts del nostre poble o ciutat (per exemple, comptant els passos) que dir quina és la direcció d’un determinat carrer (definida pel seu angle respecte la direcció del nord) o bé fer una estimació de l’angle entre dos carrers que no siguin perpendiculars. Els vectors, que defineixen les direccions, són subtils i abstractes… I tot plegat és ben trist, perquè per explicar bé com està posada una cosa, hem de parlar forçosament de la seva posició i de la seva orientació (que implica direccions). Com explicaríeu, amb precisió i per carta o e-mail, les trajectòries del vol de les orenetes al capvespre a una persona llunyana?

Molts d’aquests conceptes i dels que surten a la nota del final són senzills i probablement haurien de formar part d’allò que anomenem “cultura general”. De fet penso que, si no som capaços de preveure el moviment del Sol, difícilment podrem entendre una cosa tan complicada com és el comportament de la gent que ens envolta. Perquè les matemàtiques i el raonament abstracte poden ser una bona eina per sortir del nostre castell egocèntric i per poder empatitzar amb els altres, siguin propers (els fills o néts adolescents, per exemple) o llunyans (els refugiats i la gent que viu en situacions de conflicte i violència). És bo saber que la nostra vertical no és millor que la dels que malviuen al Iemen o a la República Centreafricana. Qui camina de cap per avall: els que viuen a Nova Zelanda o nosaltres?

———

Per cert, la Sonia Khediri, italiana i empresonada per l’Estat Islàmic, explica que el seu marit es va negar a convertir-se en combatent de l’EI. “Si no lluitaves et mataven”, diu. Però finalment no el va matar l’Estat Islàmic, sino la coalició internacional amb un dron, perquè una nit es va deixar el wifi encès. Aquest és un dels “sofisticats algorismes intel·ligents” dels drons occidentals: els drons ataquen i maten la gent que usa wifi, perquè diuen que a Raqqa, només l’EI té wifi. Qui jutjarà els responsables de morts com aquesta?

———

NOTA: Hi ha dues maneres (dos algorismes) diferents per a trobar l’angle entre els vectors D i E. La primera és manual, i consisteix en materialitzar aquestes dues direccions amb dos fils o cordills. El primer, que ens defineix la direcció D, el fixem un punt F de la finestra i el punt P de la paret o del terra on volem saber si ens arribarà el Sol a l’hivern. El segon, que ens marcarà la direcció E de l’eix de la Terra, l’haurem de col·locar a la nit, probablement entre la branca d’algun arbre i una estaca clavada a terra, de manera que ens senyali la direcció a la estrella polar. En aquest cas, la dificultat la tindrem quan vulguem mesurar l’angle entre els dos cordills, perquè probablement un d’ells el tindrem dins de casa i l’altra, fora.

Si preferiu l’altra solució, necessitareu una plomada, una caixa gran de cartró o fusta, i una cinta mètrica. També us caldrà saber el migdia solar, que varia cada dia de l’any i és diferent segons el lloc on siguem. Però només heu d’anar a aquesta pàgina web, escriure el lloc on sou, i a baix a la dreta veureu que us diu l’hora del migdia solar. A més, farem servir coordenades cartesianes per definir els punts F, P i el vector D. Aquestes coordenades les va proposar en René Descartes, quan sembla que era al llit curant-se d’una grip i anava mirant el vol d’una mosca. En Descartes va veure que, si anava apuntant a cada moment la distància de la mosca a dues parets i al terra, aquests tres valors anaven determinant de manera exacta la posició de la mosca i per tant el seu moviment. Va ser una idea aparentment senzilla, però que va obrir la porta de la geometria analítica, que ara ens permet treballar numèricament amb els elements geomètrics. En record seu, parlem de coordenades cartesianes.

En definitiva, aquest és l’algorisme per determinar l’angle entre D i E:
1) Esperem al migdia solar i, amb l’ajut d’una plomada, marquem al terra la direcció nord, que és la direcció contrària a la de l’ombra del fil de la plomada. Aquesta serà la direcció de l’eix X del nostre sistema de coordenades.
2) Deixem una caixa al terra just al costat del fil de la plomada, de manera que una de les cantonades de la seva base segueixi la direcció nord i una altra marqui la direcció oest. La plomada ens senyalarà un dels vèrtexs de la caixa, que serà el nostre origen de coordenades, O. Guardem la plomada.
3) Ara ja tenim un sistema de coordenades cartesià, que ens queda definit per tres de les arestes de la caixa. La que va en direcció nord és l’eix X, la que mira a l’oest és l’eix Y, i la vertical que surt del mateix vèrtex de la caixa que els dos eixos anteriors, és l’eix Z. Les dues “parets de Descartes” són les cares verticals de la caixa que segueixen les direccions nord i oest.
4) En aquest sistema de coordenades, mesurem les coordenades (X,Y,Z) del punt F de la finestra i del punt P de la paret en els que hauríem fixat el cordill en el cas de la solució manual. Una manera fàcil de fer-ho és passar de 3D a 2D, marcant a terra els punts F1 i P1 que es troben just sota i a la vertical de F i P. Les distàncies entre F i P i els seus corresponents punts a terra són les coordenades Z, i les coordenades X, Y són les longituds dels rectangles que podem formar amb els punts F1 i O (o bé P1 i O) en diagonal.
5) Per a calcular els components del vector D només cal restar les coordenades de F menys les de P, i així obtenim uns primers components provisionals. Per exemple, el component provisional X de D és la coordenada X de F menys la coordenada X de P, i el mateix pel que fa als components provisionals Y i Z. Ara bé, un cop tenim el vector D, l’hem de normalitzar amb el teorema de Pitàgores: elevem al quadrat cada un dels seus components provisionals, sumem els tres valors, i calculem l’arrel quadrada d’aquest resultat, que li direm M. Finalment, dividim els tres components provisionals de D per M, i ara sí que tenim els components reals del vector unitari que defineix la direcció D.
6) D’altra banda, l’expressió del vector E és immediata, en aquest sistema de coordenades: el seu component X és el cosinus de L, el seu component Y és zero, i el component Z és el sinus de L, perquè la direcció de l’eix de la Terra mira al nord i només depèn de la longitud geogràfica del lloc on som.
7) El cosinus de l’angle entre els dos vectors unitaris D i E es calcula ara amb només tres multiplicacions i dues sumes, perquè és l’anomenat producte escalar entre D i E. Cal multiplicar els components X de D i E, sumar el resultat al producte dels components Y de D i E, i sumar el resultat de la primera suma amb el producte dels components Z de D i E. Ara, només cal preguntar a Google quin és l’angle que té aquest cosinus.

Finalment, cal observar que el raonament que fa que pugui resoldre el problema en base a veure si l’angle entre D i E es troba entre els valors L – 23,5 i L + 23,5, és ben senzill: Els raigs de Sol sempre arriben dins el pla de l’eclíptica, en una direcció que forma un angle amb E tal que al llarg de l’any varia entre 23,5 i -23,5. Per tant, per un determinat punt de la Terra de latitud L, l’angle entre D i E al llarg de l’any escombrarà tots els valors continguts entre L – 23,5 i L + 23,5 (si volem ser rigorosos haurem de dir que de fet, el Sol té un moviment aparent quasi helicoïdal de manera que l’angle entre D i E acaba recorrent un total de 365/2 trajectòries discretes entre L – 23,5 i L + 23,5; però això seria filar molt prim).

En el meu raonament, he aproximat l’angle entre l’equador i l’eclíptica, que és de 23 graus i 26 minuts, per 23,5 graus.

Les tres endevinalles del GPS

dijous, 1/01/2015

A les dues del migdia, veig arribar dos helicòpters. Arriben a la vegada. Cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Barcelona a les 13:12, i l’altre, que ha sortit de Tarragona a les 13:24. Els dos diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. On soc?

En aquest cas no és difícil saber on sóc. Només cal tenir un mapa a escala i un compàs. L’helicòpter que ve de Barcelona ha volat durant 42 minuts, i amb això ja podem saber que som a 80 quilòmetres de Barcelona (vegeu nota al final). Amb el mateix raonament aplicat a l’altre helicòpter, deduïm que ens trobem a 60 quilòmetres de Tarragona. Ara, només cal estendre el mapa i dibuixar-hi dos cercles: el dels punts que són a 80 Km. de Barcelona, i el dels que es troben a 60 Km. de Tarragona. Ben aviat ens adonem que som a Cervera, al punt on es troben els dos cercles (hi ha un segon punt d’intersecció, però el podem descartar perquè és al mar). En poques paraules, podem saber on som si disposem d’un mapa i un compàs i si sabem la nostra distància a un mínim de dos punts determinats. Són tècniques ben conegudes pels navegants.

Anem ara a la segona endevinalla:

No tinc rellotge i no sé l’hora. Però veig arribar tres helicòpters. Arriben alhora, i cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Lleida a les 9:30, el segon explica que ha sortit de Girona a les 10, i el tercer diu que ha sortit de Manresa a les 10:10. Tots diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. On soc?

Aquesta ja no és tan fàcil, però la intuïció matemàtica ens diu que és probable que puguem deduir on som, perquè ens manca una informació (la nostra hora) però en canvi en tenim una de nova, la del tercer helicòpter. Jugant amb el mapa i el compàs, és fàcil veure que podem trobar la solució per aproximacions successives. Podem anar fent proves, tot fixant cada vegada un valor hipotètic per l’hora del rellotge que no tenim. Imaginem que quan veiem arribar els tres helicòpters junts, són les 10:30. Ara, com que ja tenim l’hora d’arribada, podem dibuixar els tres cercles, com podeu veure a la imatge de sota. I de fet podem fer el mateix per les 11:20 i obtindrem els cercles que també podeu veure a la imatge de baix, a la dreta. Cap dels dos cassos és possible, perquè en aquests dos instants no hi ha cap punt del mapa en el que els tres helicòpters coincideixin. En canvi, els tres cercles de les 10:55 sí que intersequen, i ho fan a Puigcerdà. Podem assegurar que som a la Cerdanya, a Puigcerdà. El truc és anar provant amb diferents hipòtesis pel que fa al temps del nostre rellotge, fins que encertem el cas en què els tres cercles intersequen en un punt. Cal dir que, de fet, també ho podem resoldre directament i sense haver d’anar provant, amb l’ajut de la geometria (vegeu la nota al final).

El sistema GPS es basa en el mateix principi, amb l’única diferència que enlloc d’helicòpters tenim senyals electromagnètics de ràdio que viatgen a la velocitat de la llum. Si entenem les endevinalles, entenem el GPS. Avui en dia, quan ens perdem, ho tenim més fàcil que els nostres avis. Molts telèfons mòbils tenen GPS, i el sistema GPS ens diu on som. Podem veure la nostra posició en un mapa i podem saber les coordenades geogràfiques del lloc on som: longitud i latitud. El GPS funciona mitjançant una xarxa de satèl·lits que orbiten al voltant de la terra. Cada satèl·lit porta un rellotge atòmic per mesurar el temps amb una precisió de l’ordre de menys d’un nanosegon (un nanosegon és la mil milionèsima part d’un segon). Gràcies a Einstein, sabem que la velocitat de la llum és constant. Com que aquesta velocitat és de 300 mil quilòmetres per segon, amb una única divisió veiem que tant la llum com les ones electromagnètiques que rebem dels satèl·lits recorren 30 centímetres cada nanosegon. Els rellotges atòmics son tan ràpids que la llum només avança uns 4 o 5 centímetres entre cada dos tics. Com en el cas dels helicòpters, els GPS mesuren distàncies amb el temps. Quan volem determinar la nostra posició, el GPS localitza automàticament un mínim de quatre satèl·lits de la xarxa, dels quals rep senyals que indiquen la posició del satèl·lits (abans era la ciutat d’on surt cada helicòpter) i el temps (en fraccions de nanosegon) de sortida del senyal en el rellotge de cadascun d’ells. En base a aquests senyals, el GPS pot calcular les nostres coordenades geogràfiques tal com fèiem a l’endevinalla, amb un error de precisió que en condicions normals és d’uns 15 metres. Val a dir que a més, aviat tindrem el sistema Galileo. A diferència del GPS (Nord-americà i militar) el sistema Galileo és un projecte civil, l’alternativa de la Unió Europea a l’actual GPS. Oferirà un servei obert, de lliure accés per a tothom, amb un error de quatre metres sobre el terreny i de vuit metres en vertical.

Però podem pensar una mica més i donar-hi més voltes. Si encara en teniu ganes, aquí teniu la tercera endevinalla:

Veig arribar dos helicòpters. Arriben junts, però no tinc rellotge i no sé l’hora. Cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Lleida a les 10:30, i l’altre, que ha sortit de Tarragona a les 11. Els dos diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. Puc dir alguna cosa d’on soc?

Aquest cas és ben interessant. Si en el mapa dibuixeu el segment recte que uneix Vic i Amposta, podem afirmar que ens trobem en algun punt d’aquesta recta (vegeu, un cop més, la nota al final). Puc trobar-me a Vic, però és segur que no soc ni a Solsona ni a Mataró…

Per cert, en Noam Chomsky diu que el paper dels intel·lectuals i activistes radicals ha de ser analitzar i valorar, mirar de persuadir, organitzar, però mai arribar al poder i governar. Diu que han d’estar preparats per plantar cara a la repressió i actuar en defensa dels valors que professen.

 

Si voleu veure millor aquestes fotos, cliqueu aquí i mireu les tres pàgines del pdf en mode pantalla completa. Podreu anar endavant i endarrera amb les fletxes del teclat

 

NOTA: A la primera endevinalla, ens diuen que el primer helicòpter ha sortit a les 13:12 i que ha arribat a les 14 hores. Per tant, ha volat durant 48 minuts. A una velocitat constant de 100 quilòmetres per hora, és clar que cada 6 minuts recorre 10 Km. i, en conseqüència, en els 48 minuts haurà fet un total de (48/6)*10 = 80 quilòmetres. El mateix raonament serveix per al segon helicòpter.

Per a entendre la segona endevinalla, imagineu-vos una representació 3D amb eixos x-y-z. En el pla horitzontal dels eixos x-y, tenim el mapa de Catalunya o de la regió del món que estem estudiant. En l’eix z, vertical, representem el temps. És un diagrama espai-temps, similar als que utilitzava Einstein per il·lustrar la teoria de la relativitat. Tot allò que passa, per exemple, a les 10 del matí, es pot representar en un pla horitzontal (el pla del present, en aquest cas, el pla de les 10) paral·lel al pla x-y. Quan passa el temps, el pla del present puja inexorablement. En aquest pla de les 10 podem situar un punt a Girona que marca la posició de l’helicòpter gironí, que acaba de sortir. En canvi, el que ha sortit de Lleida a les 9:30 ja ha volat durant mitja hora, i l’únic que podem dir és que es troba en algun punt del cercle centrat a Lleida i de radi 50 Km. Al cap d’un quart d’hora, en el pla de les 10:15, ja podrem dibuixar els tres cercles, que a partir d’ara aniran creixent. A la imatge de dalt podeu veure l’estat dels tres cercles a les 10:30, a les 10:55 i a les 11:20. Si ara ens situem fora de l’espai i el temps i observem el diagrama 3D mentre el pla del present puja i els cercles creixen, és fàcil veure que cada cercle crea un con o paperina virtual que es va obrint a mesura que passa el temps. Cada helicòpter, en aquest diagrama d’espai-temps, té associat un con de possibles llocs on es pot trobar. I la geometria ens diu que tres cons d’eix vertical intersequen en un punt, en el punt que ens diu on som. En els GPS i en el sistema Galileo passa exactament això, amb l’única diferència que enlloc d’helicòpters tenim senyals electromagnètics que viatgen a la velocitat de la llum. El que calculen els nostres GPS a partir dels missatges que reben dels satèl·lits és aquest punt d’intersecció entre els tres cons en el diagrama espai-temps.

Si us interessa, us podeu descarregar la conferència que vaig donar a les Aules Universitàries per a la Gent Gran d’aquesta web. I aquí podeu trobar una mica d’història junt amb una comparació entre l’actual sistema GPS i el futur sistema Galileo.

I què passa en el cas de la tercera endevinalla? En aquest cas només tenim dos cons en el diagrama d’espai-temps, amb eixos verticals que passen per Tarragona i Lleida. Si imaginem el pla del present que va pujant, hi veurem dos cercles que es van acostant, passen a ser tangents en un punt intermedi (que anomenaré Q) del segment recte que uneix Tarragona i Lleida i, a partir d’aquest moment, ja sempre més intersequen. Si dibuixeu, en el mapa, el segment recte entre Tarragona i Lleida i suposem que el que surt de Lleida vola en direcció a Tarragona, a les 11 del matí es trobarà en un punt imtermedi R entre Prades i Alcover, mentre que el de Tarragona estarà acabant de sortir. És clar que el punt Q es troba exactament a mig camí entre R i Tarragona, prop de la carretera de Reus a Alcover. Dibuixeu ara la recta perpendicular al segment Tarragona-Lleida que passa per Q. És una recta que veureu que passa per les rodalies de Vic i d’Amposta. No podem saber exactament on som perquè ens manquen dades, però podem estar ben segurs que som en algun punt d’aquesta recta i que no som ni a Tàrrega, ni a Ripoll ni a Sitges.

Rellotges de sol digitals

dimecres, 25/06/2014

Rellotge_Sol_Selva_Camp.jpg A la Selva del Camp, l’ajuntament ha construït aquest monumental rellotge de Sol digital, de tres metres d’alçada. És a la rotonda d’entrada pel sud, a l’accés a la Selva des de la carretera de Reus a Alcover, damunt d’una representació en pedra de la rosa dels vents.

La idea és fàcil d’entendre, com en molts rellotges de sol. Enlloc de tenir un estil o gnòmon que fa ombra, aquí el gnòmon és una línia recta pintada damunt d’un gran quadrilàter de ferro. La llum del Sol passa pels forats de l’arcada del rellotge i els projecta damunt la placa de ferro. Fixeu-vos que en aquesta arcada hi ha totes les hores des de les 6 del matí fins les 6 de la tarda, i que en cada cas, sota el dígit de l’hora, hi ha un foradet. Quan la llum que travessa el foradet corresponent a les 9 del matí il·lumina la línia del gnòmon també s’hi projecta el nombre 9 per a que sapiguem que són les nou, hora solar. Podeu veure que, a més, l’arcada té un forat just en mig de cada dues hores, per a que el rellotge pugui marcar les mitges hores.

Alguns dels trets d’aquest rellotge en són essencials, mentre que d’altres només en són artístics. El més important, si voleu repetir i adaptar el disseny, és que el gnòmon, la línia recta pintada damunt del quadrilàter, sigui paral·lel a l’eix de la Terra. Ha d’estar dirigit cap al nord, en la direcció que ens assenyala la polar, tot formant un angle respecte el pla horitzontal igual a la latitud del lloc on sou. És bo que la placa que porta dibuixada la línia del gnòmon estigui orientada en direcció est-oest, si voleu que el rellotge marqui tant les hores del matí com les de la tarda. Però el disseny de l’arcada amb els nombres i els forats admet moltes variants. De fet, una opció interessant és fer-la amb un cilindre o arcada cilíndrica d’eix coincident amb la línia del gnòmon. Fer un rellotge de sol és divertit, i a més és un bon exercici per entendre el seu moviment diürn. Aquest moviment aparent del Sol al cel pot semblar aparentment complicat, però s’entén bé si es pensa en termes d’un gnòmon orientat segons l’eix de la Terra. Imagineu un pla que podeu girar al voltant del gnòmon, pla que podeu visualitzar com un full de paper que gira al voltant de l’espiral d’una llibreta. Orienteu l’espiral de la llibreta com el gnòmon, i gireu el full cap al Sol, de manera que cap dels seus dos costats faci ombra. Toqueu l’extrem exterior del full amb la punta d’un llapis, i marqueu, en un dels dos costats del full, la línia d’ombra que us apareix. Aquesta línia, si ara girem el full de paper un angle de 15 graus cada hora, és una molt bona aproximació de la direcció en que anirem trobant el Sol al cel al llarg del dia. Sempre és igual, estiu i hivern, perquè la velocitat de rotació de la Terra és pràcticament constant; la única cosa que canvia és la direcció de la línia d’ombra en el full, que a l’hivern és més baixa i a l’estiu és més alta. La conclusió de tot plegat és que l’únic que cal és marcar els foradets de cada hora a l’arcada en direccions separades per angles de 15 graus (7,5 graus si ho feu cada mitja hora). Després, només haureu de punxonar els nombres de les hores.

La idea d’aprofitar rotondes per a tenir escultures que a la vegada són rellotges de sol és bonica, oi?. I en aquest cas, la idea té l’interès afegit que el rellotge és digital. Hi ha qui dirà que l’hora solar no és precisa ni exacta i que només funciona quan fa bon temps. Però tampoc ens cal més que això, contestaran els del moviment “slow i molts d’altres. Sabem que l’hora solar pot arribar a diferir de l’hora civil en un quart d’hora, però sempre tenim l’equació del temps per a fer les correccions necessàries, si ens cal. I aquests rellotges de sol, que ens sobreviuran, ens recorden que som espurnes en un Univers que segueix i seguirà el seu curs amb seus ritmes immutables.

Aquí a sota teniu un analema solar, fet a la ciutat de Burgos. Un analema és la constatació gràfica de l’equació del temps. Cal molta paciència, per fer-lo. Si en voleu fer un, haureu d’anar fent fotos del Sol, sempre a la mateixa hora, al llarg de tot un any. No cal que feu una foto cada dia, podeu pensar en fer-ne una cada setmana, per exemple. Obtindreu l’analema quan superposeu totes les fotos. Però moltes vegades, els núvols us impediran fer la foto. Només podreu fer-les els dies que faci bon temps. Per això els intervals no són uniformes, en els analemes com el de sota. El dia solar és l’interval de temps entre un migdia i el migdia del dia següent. Els astrònoms (i els navegants) el poden mesurar amb molta precisió perquè al migdia el Sol passa pel meridià, la línia imaginària del cel que uneix la polar, el zenit i la direcció del sud a l’horitzó. Els analemes i l’equació del temps són conseqüència del fet que la durada del dia solar no és constant. Al llarg de l’any, hi ha només quatre dies en els que el dia solar és de 24 hores. Són el 15 d’abril, el 14 de juny, el 2 de setembre i el 25 de desembre. En canvi, al febrer i al novembre ens trobem amb diferències de fins 14 i 16 minuts. Al novembre, el temps solar és més ràpid que el nostre temps civil, i al febrer és més lent. Ara bé, què passaria si féssiu un analema amb un estel determinat, enlloc de fer-ho amb el Sol? Doncs que hi veuríeu una simple línia, la línia del meridià, perquè els dies siderals són tots de la mateixa durada. Encara que menys pràctics, si en construissim, veuriem que els rellotges d’estels són molt més precissos que els de Sol i que marquen bé les hores escurçades dels dies siderals (que tampoc són de 24 hores) sense haver de fer correccions amb l’equació del temps. Sabíeu que el temps que cal per a que les estrelles tornin a passar, al cap d’un dia, per la mateixa posició del cel, és de 23 hores, 56 minuts i 4 segons?

Per cert, Francisco Chico Whitaker diu que no som en una confrontació del 99% contra el 1%. Som en una lluita del 1% dels crítics per a que el 98% desperti, i tots puguem combatre l’altre 1% que és qui dirigeix el sistema.

 

Analema_Solar.jpg

De John Harrison a Galileo

dimecres, 12/06/2013

GalileoSatellite.jpg Què podem fer si ens perdem enmig del mar, a la muntanya, dins d’un bosc o en un desert? Sortosament, ho tenim més fàcil que els nostres avis. Molts telèfons mòbils tenen GPS, i el sistema GPS ens diu on som. Podem veure la nostra posició en un mapa i podem saber les coordenades geogràfiques del lloc on som: longitud i latitud. El GPS ha estat un bon invent per a poder orientar-nos. El que no és tan conegut és que, tant al segle XVIII com al segle XXI, si ens podem orientar és gràcies als rellotges. Hem aprés que per mesurar bé la posició i el lloc on som, cal saber mesurar bé el temps. Depenem de la física i de la l’íntima relació que hi ha entre espai i temps.

Els navegants i descobridors del renaixement sabien calcular bé la latitud. Només calia mesurar, amb un sextant, l’alçada màxima del Sol o de les estrelles sobre l’horitzó i consultar les taules astronòmiques. Però la longitud geogràfica sempre va ser molt més esquívola. La diferència de longituds geogràfiques entre dos llocs de la Terra (o separació entre els seus meridians) és clar que és proporcional a la diferència entre les seves corresponents hores solars. Per això calien els rellotges. Els vaixells que sortien de qualsevol port, per exemple de Barcelona, portaven un rellotge ajustat a l’hora solar de Barcelona. Quan, dies després, eren enmig del mar, per saber la longitud del meridià només havien de mesurar l’hora solar i restar-la de la que marcava el rellotge. El principi és ben conegut. Si anem a Pontevedra, veurem que el Sol surt més tard i es pon més tard que aquí. Els navegants ho feien a l’inrevés: mesuraven aquest retard i amb això podien calcular la seva posició, el seu meridià. En teoria tot era perfecte. Es podien orientar gràcies als rellotges. Només hi havia un “petit” problema: els rellotges no eren bons, i avançaven o s’endarrerien. Com que 24 hores equivalen al gir de 360 graus de la Terra, un error de 4 minuts en l’hora és equivalent a un error d’un grau en la mesura de la longitud geogràfica, que correspon a 111 quilòmetres si som a l’Equador. No és pas un error menyspreable. Els navegants no es podien orientar bé perquè tenien rellotges dolents.

A principis del segle XVIII, es parlava molt del problema de la longitud. Calia trobar maneres de calcular-la amb més precisió. Els anglesos, molt preocupats pel tema, van ser pragmàtics. Justament l’any 1714, el Parlament anglès va acordar donar un premi de vint mil lliures a la persona que trobés una solució al problema. El premi es donaria a la persona que trobés com mesurar la longitud amb un error de menys de mig grau i que ho demostrés en un viatge en vaixell. El rellotger John Harrison va anar millorant el disseny dels seus mecanismes fins aconseguir un rellotge, l’anomenat H4, que superava els requeriments del Parlament. L’any 1764, el seu fill William ho va demostrar en un viatge de 47 dies a les illes Barbados. El rellotge només es va endarrerir 39 segons, equivalents a una distància de 18 quilòmetres en l’Equador. Tot i que no va ser fàcil convèncer la comissió del Parlament, John Harrison va finalment rebre el premi l’any 1773 junt amb el reconeixement públic d’haver resolt el problema de la longitud.

Què fa un GPS per a saber on som? El GPS també utilitza rellotges per calcular distàncies i determinar la nostra posició. John Harrison utilitzava rellotges, i els nostres GPS també. La diferència és que els rellotges dels GPS són molt més precisos. I no són en els nostres GPS, sinó que estan en els satèl·lits que són en òrbita.

El sistema GPS funciona mitjançant una xarxa de satèl·lits que orbiten al voltant de la terra. Cada satèl·lit porta un rellotge atòmic per mesurar el temps amb una precisió de l’ordre d’un nanosegon (un nanosegon és la mil milionèsima part d’un segon). Si mesurem el temps que tarda un senyal electromagnètic en viatjar des d’el satèl·lit fins el GPS del nostre telèfon, podrem calcular la distància entre els dos amb un simple producte perquè, gràcies a Einstein, sabem que la velocitat de la llum és constant. Com que aquesta velocitat és de 300 mil quilòmetres per segon, amb una única divisió podem veure que tant la llum com les ones electromagnètiques que rebem dels satèl·lits recorren 30 centímetres cada nanosegon. Els rellotges atòmics son tan ràpids que, en cas que facin un tic cada nanosegon, la llum només avança un pam i mig entre cada dos tics. Doncs bé, quan volem determinar la nostra posició, el GPS localitza automàticament un mínim de quatre satèl·lits de la xarxa, dels quals rep senyals que indiquen la seva posició i el temps (en nanosegons) en el rellotge de cadascun d’ells. En base a aquests senyals, el GPS pot calcular el retard dels senyals i per tant les distàncies als satèl·lits (vegeu nota al final). Finalment, obtenim les nostres coordenades geogràfiques amb un error de precisió que en condicions normals és d’uns 15 metres.

El sistema Galileo és l’alternativa de la Unió Europea a l’actual GPS. Galileo és un projecte civil, a diferència del GPS que és Nord-Americà i militar. Oferirà un servei obert, de lliure accés per a tothom, amb un error de quatre metres sobre el terreny i de vuit metres en vertical, juntament amb un servei de pagament amb abonament que emetrà senyals encriptades amb un marge d’error inferior al metre per a localització en aplicacions específiques com la navegació aèria i els serveis de cartografia. El servei i la qualitat de les dades de posició deixarà d’estar supeditat als criteris i prioritats militars. Serà un servei per a la societat civil, més fiable i força més precís que el GPS. La constel·lació Galileo estarà formada per 30 satèl·lits en òrbita en una alçada mitjana de 23.222 quilòmetres, junt amb una sèrie d’estacions terrestres que controlaran els satèl·lits per tal de millorar la precisió del senyal i corregir-ne la trajectòria. Cada satèl·lit Galileo (vegeu la imatge de dalt) porta dos rellotges atòmics: un rellotge màser d’hidrogen que només endarrereix un nanosegon cada 24 hores, i un rellotge secundari de rubidi amb precisió de 1,8 nanosegons cada 12 hores. Ara mateix, els primers quatre satèl·lits Galileo ja són en òrbita i es troben en fase de proves. D’aquí a 4 o 5 anys (el 2017 o el 2018), ja el podrem utilitzar.

És més fàcil i més precís mesurar el temps que mesurar grans distàncies. Per això els mapes antics i medievals eren poc precisos, i per això els humans sempre hem fet servir rellotges per orientar-nos i per conèixer la nostra posició i les nostres coordenades. Però fa quatre segles, quan els navegants calculaven la seva posició, no ho podien fer bé: cometien errors de l’ordre de 100 quilòmetres. Fa tres segles i gràcies als rellotges de John Harrison, els errors ja eren només de l’ordre de 15 o 20 quilòmetres. Avui, gràcies als rellotges atòmics i a la tecnologia GPS, podem saber on som amb un error mil vegades més petit, de l’ordre dels 15 metres. I d’aquí a cinc anys, amb Galileo ho sabrem amb un error de només 4 metres. Tot plegat, perquè hem entès que el temps ens pot explicar l’espai i perquè hem trobat la manera de fer que ens l’expliqui.

Nota: Les estacions terrestres de control monitoritzen els satèl·lits i garanteixen que els seus rellotges estiguin “en hora” al nanosegon, a més de que tinguin informació sobre la seva posició en l’espai en tot moment. Llavors, si el nostre aparell GPS o Galileo portés un rellotge atòmic d’alta precisió incorporat, tot seria força senzill. Com hem dit, el GPS localitzaria automàticament alguns satèl·lits de la xarxa, dels quals rebria senyals amb informació sobre la posició i el temps en el satèl·lit en l’instant d’emissió del senyal. El temps de viatge del senyal es podria obtenir restant el temps en l’instant que rebem el senyal menys el temps en l’instant d’emissió. Multiplicant per la velocitat de la llum, el temps de viatge ens donaria la distància D al satèl·lit. Com que el satèl·lit també ens hauria enviat la seva posició a l’espai, podríem concloure (amb un únic satèl·lit) que segur que ens trobem en algun punt de l’esfera que té el centre a la posició del satèl·lit i radi D. Amb més d’un satèl·lit, el mateix raonament ens donaria per a cada satèl·lit una esfera sobre la que ens hem de trobar, i podríem calcular la nostra posició tot intersecant aquestes esferes (podem afegir a més la superfície de la Terra si sabem que estem tocant de peus a terra). Val a dir que és bo tenir informació redundant de molts satèl·lits perquè així podem reduir errors i calcular, amb algorismes de mínims quadrats, un punt que es trobi el més prop possible de les esferes de tots els satèl·lits que observem. Però malauradament tot plegat és una mica més complicat perquè els rellotges dels GPS evidentment no són atòmics. Sabem amb molta precisió l’instant d’emissió dels senyals, però l’instant de recepció el sabem amb una precisió molt més baixa. El problema és més complicat, però la solució no és massa més difícil. Suposem que estem veient 5 satèl·lits. Fem el càlcul com abans, restant el temps que ens dóna el rellotge del GPS del temps en l’instant d’emissió que ens arriba amb el senyal, i obtenim un radi d’esfera per a cada satèl·lit: D1, D2, …, D5. Aquests radis són incorrectes, però sabem que l’error és el mateix en tots ells, perquè és degut a un error en la mesura del temps de recepció, que és el minuend en totes les restes. Per tant podem assegurar que els radis correctes seran D1+d, D2+d, …, D5+d on el valor desconegut d depèn de l’error en el rellotge del GPS. Cal trobar el valor òptim de d. Aquest valor  és el que fa que els punts d’intersecció entre tots els possibles conjunts de tres esferes siguin el més propers possibles entre ells. Cal observar que en el cas de 5 esferes, podem formar deu conjunts diferents de 3 esferes cada un (les combinacions de 5 elements escollits de 3 en 3) i per tant, haurem de trobar el valor de d que apropi el màxim possible aquests deu punts. Cal tenir també en compte que cada conjunt de tres esferes intersecta en dos punts, però que un d’ells és a l’espai exterior i no és vàlid. Un cop hem calculat el valor d, calculem el punt d’intersecció de totes les esferes i ja hem resolt el càlcul de la nostra posició. Podeu comprovar que, si no imposem res més, el càlcul es pot fer si veiem un mínim de 4 satèl·lits. Però si sabem, per exemple que estem caminant o que anem en cotxe, el nombre mínim de satèl·lits baixa a tres perquè el càlcul es pot limitar a cercar punts sobre la superfície de la Terra.

En resum: podem saber on som gràcies a la geometria, als satèl·lits, a la informàtica i als algorismes d’optimització…