Entrades amb l'etiqueta ‘Leonardo da Vinci’

El per què del volar

dimecres, 20/09/2017

Hi ha moltes coses que ens sorprenen. Algunes estan relacionades amb la capacitat de volar.  Com és que molts insectes volen? Com s’ho fan per orientar-se, els ocells migratoris? Per què no podem volar com els ocells?

Volar no és fàcil. Quan va dissenyar l’Ornitòpter, Leonardo da Vinci va voler resoldre, en pocs anys, el mateix problema que l’evolució havia aconseguit després de milions d’anys de proves i errors. Per sort, la seva lucidesa el va fer desistir quan es va adonar que els humans tenim una relació entre potència i pes molt diferent a la de les aus i que no podem generar l’energia que cal per mantenir-nos volant. Molts altres, després, no van pensar tant i van dissenyar artefactes que van acabar amb la seva vida.

Dic tot això perquè, tot i que tinc ben presents els principis de Bernouilli i Venturi, cada cop que veig, a la pista, un d’aquests immensos ginys metàl·lics que anomenem avions, quedo admirat que pugui enlairar-se i volar. Com pot ser que un avió que pesa 300 o 400 tones voli amb la majestuositat d’una oreneta?

S’ha escrit molt sobre la física del volar, però no tot el publicat és fàcil d’entendre. A mi m’ha meravellat el text de Henk Tennekes, del MIT. Són 34 pàgines clares, completes i sorprenents, que m’atreviria a recomanar (traduïdes o no) com a possible lectura per les escoles de secundària. La imatge de dalt reprodueix el diagrama de la pàgina 17 del document, revisat l’any 2009; si el voleu estudiar en detall, el podeu trobar també aquí. Veureu que és una gràfica que representa tot tipus d’animals i ginys voladors, des de les mosques fins els avions, passant per les papallones i els ocells. L’eix vertical indica el seu pes en Newtons (un Kg. són 9,81 Newtons). La mosca de la fruita, ínfima, és la que menys pesa, mentre que molts avions superen el milió de Newtons, que són unes cent tones. Evidentment, el pes és un factor essencial a l’hora de volar, i per això els ossos dels ocells són buits i els nostres no. Però no hem de menystenir la superfície S de les ales. Un ocell d’ales grans podrà volar millor que un d’ales petites. A la nota del final recullo algunes de les dades que presenta en Henk Tennekes. Un cop sabem el pes (W) i el valor de la superfície S en metres quadrats, podem dividir-los i calcular la seva relació W/S, que és el que podem veure en l’eix horitzontal superior del diagrama. Aquest valor W/S és el pes que ha de suportar cada metre quadrat d’ala, si el que es vol és volar i no caure. És bonic veure que tot allò que vola es troba prop d’una recta en aquest diagrama que relaciona W/S amb W (vegeu un cop més la nota al final; val a dir que és ben fàcil incorporar nous animals i objectes voladors al diagrama, ja que només hem d’esbrinar el seu pes W i la grandària S de les seves ales). La mosca de març, el caragolet comú americà, l’oca canadenca i el Boeing 747 són pràcticament a la línia recta del diagrama. A més, els animals petits volen amb més facilitat que els grans. Si poguéssim agafar una mosca i fer-la el doble de gran, el seu pes seria 8 vegades més gran (el pes és proporcional al cub de la mida), però les seves ales només serien 4 vegades més grans. Com que les ales aguanten el pes en proporció a la seva superfície, no tindria prou força de sustentació i no podria volar. Hauria d’evolucionar fins tenir unes ales més grans en proporció al seu cos, o bé hauria de volar més ràpid.

I és que, en l’art de volar, la velocitat sempre pot ser una solució, perquè la física ens diu que la força de sustentació per metre quadrat d’ala és proporcional al quadrat de la velocitat. A ran de terra, el que cal per poder volar és assolir una velocitat V que, com a mínim i en metres per segon, compleixi l’equació W/S = 0.38 * V*V. En altres paraules: la velocitat mínima per a volar és proporcional a la relació W/S; aquesta és la raó per la qual, al diagrama d’en Henk Tennekes que veieu a la imatge de dalt, l’eix horitzontal superior indica el valor de W/S mentre que l’inferior mostra el valor de la velocitat. És elegant, oi?

El diagrama ho explica tot en un cop d’ull. Si incrementem el pes, estem augmentant el valor de la relació W/S, ens situem dalt i a la dreta, i ens cal més velocitat V. El que més pesa, per volar, ha d’anar més ràpid i per tant ha de gastar més energia.

Segons la gràfica, si els humans volguéssim volar amb la nostra pròpia força i energia, hauríem de fer-ho a una velocitat de l’ordre dels 30 metres per segon, que són uns 100 quilòmetres per hora. No ho tenim fàcil.

———

Per cert, la Najat El Hachmi es pregunta per què els policies no miren de disparar a les cames enlloc de tirar a matar, i diu que pel que diuen les estadístiques de terroristes supervivents a tot Europa, és impossible que en surtin vius. En Josep Ramoneda es pregunta també si era inevitable que els Mossos matessin els terroristes, i demana què esperen els partits polítics a plantejar aquesta pregunta en seu parlamentària.

———

NOTA: Aquestes són les dades d’alguns dels insectes i ocells que cita en Henk Tennekes. El text les acompanya amb dibuixos de les seves siluetes. Per cada un d’ells teniu el seu pes W en Newtons, la superfície S de les seves ales en metres quadrats i l’ample a, de punta a punta amb les ales esteses, en metres:

– Borinot (Melolontha vulgaris): W = 0.01 N, S = 0.0004 m2, a = 0.06 m.
– Abella colibrí (Mellisuga helenae): W = 0.02 N, S = 0.0007 m2, a = 0.07 m.
– Mallerenga (Parus major): W = 0.2 N, S = 0.01 m2, a = 0.23 m.
– Oreneta rural (Hirunda rustica): W = 0.2 N, S = 0.013 m2, a = 0.33 m.
– Falcó (Accipiter nisus): W = 2.5 N, S = 0.08 m2, a = 0.75 m.
– Gavina (Larus argentatus): W = 11.4 N, S = 0.2 m2, a = 1.34 m.

El diagrama de la imatge de dalt que presenta en Henk Tennekes es basa en dues lleis ben senzilles. En primer lloc, per volar sense caure, cal que la força de sustentació que fa l’aire sobre les ales gràcies a la seva curvatura i a l’efecte que bé van estudiar Bernouilli i Venturi, sigui igual al pes W. En un avió de 600 tones de pes, l’aire ha de generar un impuls vertical cap amunt de 600 tones (increïble, oi?). Bé, tot depèn de la superfície S de les ales. Si S és de l’ordre de 850 metres quadrats, com és el cas dels grans avions, és fàcil veure que cada metre quadrat d’ala ha d’aguantar uns W/S = 700 Kg., i que cada decímetre quadrat ha de fer-se càrrec d’un pes d’uns 7 quilos, que ja és més raonable. Ara bé, la segona llei ens diu que el pes total és proporcional al cub de la mida de l’animal o objecte (que podem mesurar, per exemple, amb la seva amplada a) mentre que la força de sustentació és proporcional a la superfície S i per tant, al quadrat de la mida. Per tant, W/S és proporcional a la mida a, i W és proporcional al cub de a. Llavors, és clar que W/S és proporcional a l’arrel cúbica de W. I, en una escala logarítmica com la del diagrama de Henk Tennekes, la relació entre W/S i W ha de ser una recta. És la recta del gràfic de la imatge de dalt. Tot plegat, a més, explica perquè els animals petits volen amb més facilitat que els grans. Si poguéssim agafar una mosca i fer-la el doble de gran, el seu pes seria 8 vegades més gran (el cub de 2), però les seves ales només serien 4 vegades més grans. No tindria prou força de sustentació, i no podria volar.

L’altre Leonardo

divendres, 23/10/2015

Fa poc, en una conversa entre amics, va sortir el nom de Fibonacci. Tot parlant vaig constatar que aquest era, per dir-ho fàcil i curt, un nom poc conegut. Per què hem de saber-ne coses, d’aquest tal Fibonacci?. Què va fer? Al vespre, em vaig quedar pensant. En Leonardo de Pisa mereixia uns paràgrafs.

De Leonardo de Pisa sabem que va viure tres segles abans que l’altre, el da Vinci, i sabem que li deien Fibonacci perquè era fill d’un tal Guiglielmo, de renom Bonacci (bon jan). També sabem que l’any 1202, fa més de vuit segles, va escriure un llibre, el Liber Abaci. Una de les coses que va incloure al llibre va ser un curiós problema sobre la taxa de creixement  dels conills a les granges. Fibonacci mai va poder imaginar que aquest estrany problema sobre els conills és el que el faria famós.

Fibonacci es va plantejar definir un model per al creixement dels conills. Deia que si deixem una parella de conills en un tancat, els alimentem i els anem observant a intervals regulars de temps, veurem que cada cop són més perquè s’aniran reproduint com a conills que són. Però de fet, l’interessant no és tant el problema que va proposar sinó la seva solució. La hipòtesi de Fibonacci va ser que si al principi tenim una parella i encertem bé cada quantes setmanes observem el grup, la propera vegada veurem dues parelles; la següent tres, i les següents tres vegades ens hi trobarem cinc, vuit i tretze parelles. Amb el problema dels conills, va inventar la seqüència que porta el seu nom: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … . És ben fàcil de recordar. Només cal començar amb l’1 i el 2 i anar sumant, perquè cada número de la seqüència de Fibonacci és la suma dels dos anteriors. El cinc és 2+3, el vuit és 3+5, i els següents al 13 i 21 són el 34 i el 55 perquè són el resultat de sumar 13+21 i 21+34. Cal reconèixer que aquesta seqüència no acaba d’explicar bé el creixement dels conills, perquè òbviament hi ha molts factors que en Fibonacci no va considerar. Però el que és admirable és que la seva sèrie (o seqüència) explica adequadament un bon nombre de fenòmens de l’Univers:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Ara sabem per exemple que la seva solució al problema dels conills amagava la famosa secció o raó àuria. Sense saber-ho, Fibonacci va descobrir la clau d’aquesta proporció divina, la que de fet ja coneixien els grecs. I ho va fer tres-cents anys abans que fos redescoberta per l’altre Leonardo (el de Vinci) i descrita amb termes com secció àuria o rectangle àuri en el ben conegut llibre de Luca Pacioli amb dibuixos originals de Leonardo de Vinci: De Divina Proportione. Segons Leonardo da Vinci i Luca Pacioli, un rectangle auri és un rectangle A format per un quadrat enganxat a un altre rectangle B de manera que B té les mateixes proporcions que A. En aquest cas, la relació entre les mides dels dos costats del rectangle auri és justament la raó o secció àuria. Leonardo da Vinci (així com molts d’altres pintors posteriors) va utilitzar rectangles auris per situar harmònicament els objectes en els quadres, i és ben conegut que les finestres i elements arquitectònics que segueixen les proporcions del rectangle auri són estèticament agradables. La pintura i l’arquitectura són plens d’exemples de rectangles explícits o implícits que segueixen aquesta proporció divina de la secció o raó àuria. Però, com es construïen aquests rectangles auris? Durant el segle XVI, els artistes i dissenyadors havien après a fer-ho amb regla i compàs. Doncs bé, el canvi va arribar un segle més tard, a principis del segle XVII, justament de la mà de Kepler. L’any 1605, Kepler va demostrar per primera vegada que el que Leonardo de Pisa havia dit a principis del segle XIII servia per crear els rectangles auris que Leonardo da Vinci havia necessitat feia anys. La troballa de Kepler va ser meravellosa i unificadora: va veure que si agafem un full de paper i fem rectangles amb parelles de nombres consecutius de la seqüència de Fibonacci, molt aviat aquests rectangles acaben essent els rectangles auris que desitjava Luca Pacioli. En d’altres paraules, un rectangle de 34 x 55 ja és pràcticament de proporcions divines o àuries, més que un que tingui dimensions 13 x 21 o 21 x 34. Si anem més enllà i construïm un rectangle de 89 x 144 o de 144 x 233 encara s’ajustarà més a les proporcions de la secció àuria. Però és ben fàcil veure que els rectangles de dimensions 34 x 55 en general són ja una bona aproximació al que Pacioli i da Vinci demanaven.

Ara bé, la seqüència de Fibonacci i la raó àuria no només serveixen als arquitectes i pintors. És una seqüència que explica no només les proporcions estàtiques, sinó que regeix un bon nombre de dinàmiques naturals. Fibonacci es troba en el cor de molts processos de creixement a la natura, com es mostra en aquest vídeo (que és d’on he tret la imatge de dalt). Agafem un paper quadriculat, pintem dos quadradets adjacents, i ja tenim un petit rectangle. A continuació, dibuixem un quadrat adjacent al costat més gran d’aquest rectangle, obtenim un nou rectangle, i repetim el procés tot pintant un quadrat que toqui el seu costat més llarg. Tal com mostra el vídeo, la mida dels quadrats va generant tota la seqüència de Fibonacci mentre que, ben aviat, la forma dels rectangles tendeix a la proporció o secció àuria. A més, el conjunt creix mentre dona voltes i produeix automàticament l’espiral logarítmica que trobem a fenòmens naturals tan diversos com les closques d’invertebrats (Nautilus), els ciclons tropicals i fins i tot les galàxies. La pauta de creixement dels ciclons és la mateixa que la que trobem implícita als quadres de Leonardo da Vinci o Albrecht Durer: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. És la llei dinàmica de creixement dels fenòmens que es basen no només en les posicions sinó també en les velocitats, i que coneixem gràcies a Newton. És el creixement que necessita saber l’estat (posició o mida) actual i l’anterior, perquè cada quadrat que afegim mentre fem créixer l’espiral de Fibonacci té una mida igual a la suma dels dos anteriors. De fet, no és més que la pauta dels conills del fill d’en Bonacci.

La simplicitat de les lleis de la natura es troba en un estrany problema que Leonardo de Pisa va plantejar l’any 1202, tres-cents anys abans de l’explosió renaixentista de Leonardo da Vinci i 500 anys abans de Newton. Tot és fàcil i no cal recordar quasi res: comenceu per l’1 i el 2, aneu sumant cada cop els dos darrers nombres, i quan arribeu al 34 i 55 tindreu una bona aproximació de la proporció que impulsa el creixement de ciclons i galàxies a la vegada que construeix les espirals de la vida.

Per cert, en Jean Daniel diu que l’espiral de violència de molts conflictes només es pot parar amb acords signats per les dues parts. Diu que cal anar a la força de la raó, més que a la raó de la força.

Les bicicletes voladores

dimecres, 19/11/2014

Es pot volar durant més d’un minut, només pedalant? Abans del segle XX, moltes persones van intentar volar tot impulsant-se amb la seva pròpia energia, però van morir en l’intent. I de fet, fa només set anys, tothom pensava que això de volar pedalant era impossible. L’enginyer aeronàutic Antonio Filippone (de la Universitat de Manchester) va publicar l’any 2007 un article científic al Journal of the American Helicopter Society en el que argumentava aquesta impossibilitat. Es veia tan difícil que l’associació d’helicòpters AHS va establir un premi de dos-cents cinquanta mil dòlars per als primers que aconseguissin volar durant un minut a més de tres metres d’alçada amb energia exclusivament humana. Incentivats pel premi, molts ho van provar. Però tots van fracassar, com havia predit Filippone.

Bé, de fet no tots. Dos joves enginyers de Toronto, Todd Reichert i Cameron Robertson, l’any 2011 van decidir dissenyar i construir un giny que els permetés superar el repte i guanyar el premi. I van aconseguir les dues coses, com podeu veure en aquest vídeo i podeu trobar ben explicat en aquesta web, que és d’on he tret la imatge que veieu aquí al costat. Després d’uns quants fracassos i de diversos canvis i millores en el disseny, el seu giny, Atlas, va volar durant 64 segons. El somni de Leonardo da Vinci es va materialitzar l’any passat.

La bicicleta voladora o helicòpter d’energia humana de Reichert i Robertson és una estructura lleugera de tubs de fibra de carboni en forma de X, al mig de la qual s’aguanta la bicicleta del pilot. A cada un dels quatre extrems de la X hi ha dues grans pales semblants a les dels helicòpters, recobertes amb una làmina de polièster mylar per aconseguir una adequada forma aerodinàmica. Quan Todd Reichert fa girar els pedals, uns cables transmeten el moviment a les quatre pales dels extrems de l’estructura en X. Les pales giren lentament, tant que sembla que tot plegat no hagi de volar. Però és la seva gran superfície la que aconsegueix la sustentació necessària. En aquest segon vídeo podeu veure més detalls.

El bonic d’aquesta bicicleta voladora és que és un sistema conjunt i entreteixit màquina-pilot, una mena de centaure del segle XXI. Mentre anaven millorant el disseny, el futur pilot, Todd Reichert, també havia d’anar millorant la seva forma física. Menys mal que és un bon esportista. Per començar, van veure que era massa gras. Fa tres anys, quan va començar el projecte, en Todd pesava 82 quilos. Els primers càlculs ja van mostrar que això no era acceptable. Va haver d’aprimar-se fins pesar 74,8 quilos, per tal que el pes total de màquina i pilot no superés els 130 quilos. I tot i així, per aixecar-se del terra calia una energia inicial de 1000 watts, seguida per una energia continuada d’uns 600 watts durant tot el minut de vol. En Todd es va haver d’entrenar sistemàticament per a poder estar en forma el dia de cada prova. Cal tenir en compte que 1000 watts és l’energia que necessiten els atletes que corren els 100 metres lliures, i que els que corren els 400 metres lliures han de generar una energia de 600 watts. Però al final, durant el vol exitós que heu vist en el vídeo, en Todd Reichert es va superar a si mateix: va generar 1100 watts durant els primers 12 segons, amb una mitjana de 690 watts durant la resta del vol de 64 segons. El que mostra el vídeo és una bicicleta voladora molt ben dissenyada i optimitzada, portada per un home que ha adaptat el seu cos a la bicicleta.

Una de les coses que van haver de fer en Todd Reichert i en Cameron Robertson va ser programar una aplicació per al seu portàtil que tingués en compte tots els paràmetres del centaure volador. El programa de disseny havia de tenir en compte tan els paràmetres estructurals com els aerodinàmics i els humans. El van fer només en cinc mesos, perquè es van poder basar en els resultats de la tesi doctoral que ja havia acabat en Todd. Per a que fos senzill i ràpid, van preferir usar models aproximats però que ja donaven bons resultats. Ja sabem que, en enginyeria, el més adient no és sempre el més perfecte.

Aquí tenim un exemple ben bonic d’un treball de recerca i tesi doctoral que acaba creixent fins donar resultats absolutament rellevants i innovadors: el programa integrat de disseny d’en Reichert i Robertson el té ara la NASA, que l’està ara perfeccionant amb l’objectiu d’aconseguir bicicletes voladores que puguin volar molt més lluny que l’Atlas. Fa cent anys, els humans vam aconseguir volar amb motor, i ara molta gent pot volar amb parapent. Qui sap si els nostres néts podran escollir entre anar en bicicleta, fer bicicleta estàtica o volar una estona amb la seva bicicleta voladora…

Per cert, fa pocs dies llegíem que la via més eficaç per trobar feina és tenir contactes. L’escriptora siciliana Simonetta Angelo Hornby diu que molta gent, a la Sicília d’avui, no troben feina si no és mitjançant contactes. Diu que això és la Màfia, la “mafiosità”. Ho va dir fa poc a un grup d’amics, i comenta que es va produir un terrible silenci.

Les divisions i l’actitud renaixentista

dimecres, 7/05/2014

Leonardo.jpg El desinterès per les matemàtiques pot venir, en molts casos, com a conseqüència directa de dificultats a l’hora d’haver de fer divisions. Ho diu l’Steven Strogatz en el seu blog del New York Times. Comptar, sumar i multiplicar no és difícil. Però dividir té la seva gràcia perquè el resultat de la divisió entre dos enters en general no és un enter. La divisió va requerir inventar un nou tipus de nombres: els nombres racionals o fraccions (com 2/7 o 5/13). Justament, la paraula racional es deriva del fet que són una ràtio entre dos nombres enters. Un dels problemes inherents a la divisió és que hi ha moltes maneres de descriure una determinada part d’un tot. Si dividim un pastís pel mig, podem dir que cada tros és la meitat del pastís. També podem dir que és 1/2 pastís, amb una fracció o nombre racional que indica que estem parlant d’una de les dues parts iguals en què l’hem dividit. Però cada un d’aquests trossos és també el 50% del total, i fins i tot podem dir que és 0,5 del pastís. Tenim quatre maneres diferents de dir el mateix, i això fa que sigui un embolic. Steven Strogatz comenta també una escena de la pel·lícula “El meu peu esquerre. Quan una de les germanes de Christy pregunta quin és el 25% de un quart, el seu pare diu: “aquesta és una pregunta estúpida, oi? què és això del 25% d’un quart? No pots tenir un quart d’un quart!”. Christy, amb paràlisi cerebral, intenta dibuixar “1/16″ al terra amb el seu peu esquerre, però no se’n surt. La resposta del pare de Christy, negant la solució del problema, és una bona mostra de l’aversió que molta gent té cap a les matemàtiques i de l’actitud dels qui, de joves, no van entendre bé el concepte de divisió. Quan la guineu no les pot haver, diu que són verdes. Strogatz pensa que les divisions són el lloc en el que molts estudiants s’estimben en el mur de les matemàtiques. No són les integrals, les matrius o les derivades. Són les divisions de tota la vida.

Fa pocs dies vam poder llegir un dossier especial en defensa de l’ensenyament de les humanitats. Diversos experts argumentaven que les humanitats forneixen les eines intel·lectuals adequades per a que els estudiants es puguin adaptar millor a un context laboral incert i canviant com l’actual, en què els coneixements pràctics queden ràpidament desfasats. Deien que l’estudi de les humanitats ajuda a formar ciutadans amb pensament crític. Hi estic totalment d’acord. Hem de defensar l’ensenyament de les humanitats. Però he de confessar que el dossier em va deixar una mica sorprès i que em va fer pensar. El fet és que els nostres joves tampoc saben ciències, i que molts d’ells rebutgen els coneixements matemàtics. Hi ha estudis que demostren que molta gent té problemes quan ha de fer simples divisions. Però, si no saben ni humanitats ni ciències, què és el que aprenen els nostres joves? He de dir que no ho tinc clar. Tampoc saben tecnologia. Són hàbils en l’ús dels nous ginys, però no saben cóm funcionen. Què aprenen? Hem de defensar només les humanitats?

Daniel Gamper, en el mateix dossier, deia que no es tracta de contraposar humanisme i ciència, perquè no són excloents. Gamper deia que cal una concepció més renaixentista del saber. M’agrada aquesta idea. De fet, moltes de les afirmacions que es poden llegir en el dossier s’apliquen també directament a les ciències. És ben conegut que l’estudi de les matemàtiques i de les ciències ajuda a formar ciutadans amb pensament crític perquè, com explica Jorge Wagensberg, és impossible tenir judici crític en l’actual entorn científic-tècnic si l’ignorem.

Un estudi fet per Annamaria Lusardi i Olivia Mitchell explica el grau d’ignorància aritmètica de la gent de diferents països. Lusardi i Mitchell van fer una enquesta amb tres preguntes. La primera deia: si tenim 100 euros en un compte d’estalvi amb un interès del 2% anual, quants diners tindrem en el compte al cap de cinc anys, si durant aquests anys no hem fet cap operació? (les possibles respostes eren: més de 102 euros, exactament 102 euros, menys de 102 euros, no sé). La segona pregunta deia: si l’interès dels nostres estalvis és del 1% i la taxa d’inflació és del 2% anual, al cap d’un any, què podrem comprar amb aquests estalvis? (les possibles respostes en aquest cas eren: més del que podria comprar avui, el mateix, podrem comprar menys, no sé). I la tercera preguntava què era més segur, si comprar accions d’una sola empresa o comprar accions d’un fons que inverteix en diverses empreses. L’estudi es va fer amb gent de 7 paisos. És interessant llegir l’anàlisi que van fer de les respostes per països, tenint en compte que les respostes correctes eren “més de 102 euros”, “podrem comprar menys”, i “és més segur comprar accions d’un fons”. Als Estats Units, només el 30% dels enquestats van encertar totes les respostes. A Itàlia les van encertar el 25% dels enquestats, i a Rusia, el 4%. La conclusió d’Annamaria Lusardi i Olivia Mitchell és que el grau d’ignorància financera és molt alt i preocupant. Diuen que és fonamental lluitar contra l’analfabetisme financer si volem defensar-nos i no ser enganyats. Ara bé, l’analfabetisme financer és de fet un analfabetisme matemàtic, és la dificultat per aplicar correctament les operacions aritmètiques que són necessàries per a resoldre les preguntes de la seva enquesta. El problema, un cop més, són les divisions.

El rebuig que tenim a les ciències i a les matemàtiques facilita que ens enganyin. Els diaris i les webs són plens de dades, alguns cops fins i tot errònies, que només podem interpretar bé si ens les prenem com un exercici mental i ens posem a fer divisions i a calcular proporcions. Dividir dades desemmascara molts discursos. Proveu d’analitzar els pressupostos públics, siguin del vostre Ajuntament, de la Generalitat, de l’Estat Espanyol o d’Europa. Podem comparar les partides any a any i veurem que, amb l’excepció d’Europa, totes van baixant. Ens diran que no es pot fer res, que cal estrènyer-se el cinturó. Però l’evolució de les proporcions de cada partida respecte del total ens diu una altra cosa. Ens diu, per exemple, que cada vegada paguem més pels interessos del deute mentre els nostres polítics van rebaixant el tros de pastís destinat a les polítiques socials, a l’educació i a la recerca. Les decisions polítiques es llegeixen en les proporcions en que reparteixen el pastís del pressupost. El pastís s’encongeix, és cert. Però el problema és cóm es fan els talls i qui s’emporta els més grossos.

Fa poc llegíem que el 68,7% de la població es reparteix el 3% de la riquesa mundial mentre que el 0,7% té el 41% d’aquesta riquesa. Sabríeu cóm deduir, a partir d’aquestes dades, que la relació entre el que té una de les persones més riques del món i el que té un dels més pobres és més gran que 1341? (vegeu nota al final). També llegíem que la cerca de la caixa negra de l’avió que sembla que va caure a l’oceà Indic s’estava fent en una zona de 600 quilòmetres quadrats. Sabeu imaginar-vos la mida d’aquesta zona?

Tal vegada, si Leonardo da Vinci aixequés el cap, ens demanaria que fóssim una mica més renaixentistes i que treballéssim per a millorar l’ensenyament de totes les matèries que ajuden a formar el pensament crític: humanitats, ciències i matemàtiques.

Per cert, en Jorge Wagensberg diu que si no hagués estat per les crisis, tots seriem encara bacteris.

_________________________________________

NOTA: Per a calcular la resposta a la primera pregunta, podem fer un senzill càlcul proporcional i dir que de cada 1000 persones, 687 tenen 3 unitats de riquesa mentre que les 7 més riques tenen 41 unitats de riquesa. Fixeu-vos que és el mateix que ens deien, però suprimint decimals i tants per cent. Per tant, la riquesa d’una persona que es trobi en la mitjana del grup dels més pobres és de 3/687. De la mateixa manera, la riquesa d’una persona en la mitjana del grup de les més riques és de 41/7. La relació entre la riquesa d’una i altra és el resultat de la divisió (41/7)/(3/687), que és el mateix que multiplicar 41 per 687 i dividir el resultat per 21. Si ho feu, veureu que el resultat és 1341,28. La relació entre el que té una de les persones més riques del món i el que té un dels més pobres ha de ser més gran que 1341, perquè la riquesa de la primera és més gran que la mitjana de les del seu grup, i la de la segona serà més petita que la mitjana del grup dels més pobres. La segona pregunta es pot resoldre amb càlcul mental. Només cal trobar dos nombres que multiplicats donin el valor de la superfície que ens diuen. En el nostre cas, veiem que el producte de 20 per 30 és 600. Per tant estem parlant d’una zona de 20 per 30 quilòmetres, que ara ja és fàcil d’imaginar. Si ens parlessin de 600 hectàrees, caldria fer el mateix però amb la diferència que ara el resultat, 20 per 30, ens ve donat en hectòmetres. Eliminem un zero a cada una de les dues dimensions, i obtenim que es tracta d’una zona de 2 per 3 quilòmetres.

Un darrer comentari. Els nombres 41/7 i 3/687 són racionals, però hi ha molts nombres, com per exemple el 0,12122122212222…, que són irracionals i no es poden escriure com fraccions. En aquest exemple, primer hem escrit un “2” entre dos “1” successius, després n’hi hem posat dos, després tres, i aixi successivament. Sabem segur que el nombre no és racional perquè, per construcció, a la seva expressió decimal no hi ha cap període que es repeteixi. Ens pot semblar que els nombres irracionals són estranys, i que n’hi ha pocs, però no és cert. Els rars són els racionals. Quasi tots els nombres reals, els decimals, són irracionals. De fet, i com ens diu l’Steven Strogatz, les rares i exòtiques són les fraccions.

Els prestatges i Leonardo da Vinci

dimecres, 21/08/2013

Prestatge1.jpg Cóm podem aguantar un prestatge de llibres? Els dos prestatges de la imatge  són plens de llibres. Els prestatges són especialment prims per a poder observar bé la seva flexió, produïda pel pes. Tots dos tenen el mateix gruix i la mateixa llargada, són idèntics. Hem posat vint-i-set llibres en el prestatge de dalt i el mateix nombre de llibres en el de baix, encara que els llibres del prestatge de sota són més gruixuts i pesen una mica més. Fixeu-vos que els llibres de dalt queden més separats que els de baix. Però el prestatge de dalt sembla a punt de trencar-se mentre que el de sota aguanta molt millor els llibres. Sabeu per què?

La única diferència és que els suports del prestatge de sota són més endins. Cada un d’ells l’hem mogut endins un 11,8% de la llargada total del prestatge. Ho podeu veure en aquesta altra foto, feta des de sota.

Si heu de muntar prestatges, no poseu els suports als extrems. Si feu la hipòtesi, força raonable, que el pes estarà uniformement repartit al llarg del prestatge, una bona solució és col·locar els suports a una distància del centre igual a 0,381967*L, on L és la la llargada total del prestatge. És fàcil veure que això és equivalent a dir que els posem a una distància del 11,803% de cada un dels dos extrems. És el que hem fet en el prestatge de sota de la imatge de dalt d’aquest article. La teoria física de l’elasticitat ens explica que aquesta posició és la que millor reparteix els esforços de tensió al llarg del prestatge quan l’omplim de llibres, com veurem més endavant. Si acostem els suports als extrems del prestatge, el punt central és el que més pateix i si ens passem de pes, el prestatge acabarà trencant-se pel mig. És la situació que tenim en el prestatge de dalt. Si, en canvi, movem els suports cap al centre, els punts que més pateixen passen a ser justament els dels suports. En aquest cas, si anem afegint pes, el prestatge acabarà trencant-se pel punt on tenim un dels dos suports. Per això, muntar el prestatge amb els suports a una distància del centre igual a 0,381967*L és una bona solució: els punts de màxima tensió, el centre i els dos dels suports, es troben equilibrats.

Hi ha d’altres solucions (podríem minimitzar la deformació màxima vertical, per exemple). Però la solució que comporta que la distància al centre sigui 0,381967*L és doblement interessant. Ho és perquè ajuda a que el material del prestatge treballi relaxadament des d’un punt de vista elàstic. I també ho és perquè aquest estrany nombre 0,381967 és el resultat de restar 1 menys la raó àuria φ, també anomenada secció àuria, nombre d’or o divina proporció. La raó àuria s’anomena amb la lletra grega fi en honor a Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó. Mira per on, els prestatges ben muntats ens connecten amb els grecs i amb el Partenó.

La raó àuria va meravellar els artistes del Renaixement. Euclides ja la menciona en els seus Elements, però va ser Leonardo da Vinci qui en va quedar realment fascinat i li va donar el nom. L’any 1509, Luca Pacioli va publicar un tractat complet dedicat a la raó àuria: “De Divina Proportione“. Tant Leonardo com Albrecht Dürer, que consideraven que φ era la màxima expressió de l’harmonia, la van utilitzar per establir els cànons de les proporcions perfectes del cos humà. L’home de Vitruvi, el famós dibuix de Leonardo da Vinci realitzat prop de l’any 1492 per estudiar les les proporcions del cos humà, representa una figura masculina despullada en dues posicions de braços i cames i inscrita en un cercle i un quadrat. La relació entre el costat del quadrat i el radi del cercle és la raó àuria. El rectangle auri, el que té els seus dos costats en proporció àuria, és l’únic que es pot separar en un quadrat i en un altre rectangle auri. Els rectangles contenidors de les closques dels Nautilus i de les espirals dels ciclons i galàxies són rectangles auris.

El valor exacte de la raó àuria o nombre φ es pot calcular com la meitat de l’arrel quadrada de cinc, menys 0,5 (o més 0,5 si el que voleu és la seva inversa). Una de les propietats divertides del nombre φ és que la diferència entre ell i el seu invers, és la unitat: si la proporció entre els costats a i b d’un rectangle auri és a/b = φ = 0,61803, la proporció inversa és b/a = 1/φ = 1 + φ = 1,61803. Per això, algunes vegades llegireu que el valor de φ és 0,61803 i d’altres trobareu que és 1,61803. Habitualment, el primer s’anomena amb la lletra fi minúscula (φ), i el segon amb la fi majúscula, Φ. Tot depèn de si ho mirem del dret o de l’inrevés, de si dividim el costat a pel costat b o de si dividim b per a. En el fons, tot és el mateix.

Els prestatges que aguanten pes, flexionen com les bigues i els ponts. La teoria física de l’elasticitat ens diu que quan un prestatge flexiona com el de dalt de la imatge, les fibres de les seves capes superiors es contrauen mentre que les de les seves capes inferiors s’estiren. Aquesta tensió que han d’aguantar les fibres de la fusta – o les partícules del material que sigui – es mesura amb l’anomenat moment flector. Quan el moment flector és massa gran, el material no pot aguantar el pes i el prestatge es trenca, justament pel punt de màxim moment flector i de màxima tensió. Tot plegat es pot explicar bé amb funcions polinòmiques (vegeu la nota al final). De fet, fent experiments amb un prestatge carregat de llibres podríem explicar bona part de la teoria matemàtica de funcions amb els seus punts d’inflexió, derivades, màxims i mínims; fins i tot podem explicar les  integrals.

La teoria física de l’elasticitat ens recorda que els prestatges agraeixen que tinguem en compte la raó àuria. Tal vegada, quan els muntem, recordarem Fidies, Leonardo da Vinci i Luca Pacioli

Per cert, Rosalía Mera deia que si regategem en el tema de la salut, de la infància i de l’educació ens estem fent un trist favor. Deia també que no es pot retallar per baix i per la part més fàcil…

 

Nota: En el cas de prestatges amb dos suports i amb pes uniformement repartit, la gràfica del moment flector al llarg del prestatge està formada per tres trossos de paràbola connectats entre sí. En llenguatge matemàtic i si suposem, per simplificar, que la llargada total L és 1, que el pes total és Q i que la distància de cada suport al seu extrem més proper és d, el moment flector en qualsevol punt a distància x (amb x<d) de l’extrem es pot veure que és Q*x*x/2. En canvi, si la distància x és més gran que d i ens trobem entre els dos suports, el moment flector és Q*x*x/2 – Q*(x-d)/2. Amb uns quants càlculs podreu veure que si volem que els valors extrems d’aquest moment en les posicions dels suports i en el centre, siguin iguals en valor absolut, ens apareix la raó àuria. Però la teoria de l’elasticitat també ens explica que aquest moment flector és la derivada segona de la corba que formarà el prestatge deformat quan hi posem els llibres. En d’altres paraules, el perfil del prestatge deformat en aquest cas és un polinomi de grau 4 que podem calcular si integrem dues vegades la funció del moment flector. I això no és tot. Per exemple, els punts en què el moment flector és nul (que, amb les fórmules de més amunt, podem veure que són dos sempre que d sigui menor que 1/4) corresponen a dos punts d’inflexió en la forma del perfil del prestatge deformat. Són els dos punts en els que aquest perfil passa de convex a còncau.