Entrades amb l'etiqueta ‘mapes’

La geometria de la injustícia

divendres, 12/01/2018

Una de les grans avantatges d’haver estat capaços de construir ginys que acabem enviant a l’espai és que podem gaudir d’imatges de la Terra com la d’aquí al costat. És un mapa de món que podeu trobar a les pàgines web de la NASA, en resolució mitjana (8 MB) i en molt alta definició (256 MB). La imatge no deixa indiferent. És la constatació que els humans hem deixat gran part de la nostra espècie a les fosques, en una situació de terrible injustícia energètica.

En Paul Smith Lomas, a unes jornades organitzades per la Reial Acadèmia Anglesa d’Enginyeria, explicava que on es fa més evident la injustícia tecnològica és en el cas de l’accés a l’energia. Perquè l’accés a una energia que sigui assequible, fiable i neta és vital per a poder tenir molts altres serveis bàsics. Ens recordava també que mil milions de persones encara no tenen accés a cap tipus d’electricitat, mentre que uns altres mil milions ho fan de manera intermitents i amb baixa qualitat. Són la gent dels països foscos del mapa.

Els grecs ens van regalar la paraula “geometria” per definir el fet de mesurar el nostre planeta i tot allò que conté. La geometria ens ajuda a mesurar el radi de la Terra, l’extensió dels oceans i els diferents tipus de territoris i paisatges. També, ens dona eines per mesurar la injustícia. A baix de tot teniu el mateix mapa del món de dalt (més aclarit per mostrar les vores dels continents) amb una malla regular superposada que permet quantificar la distribució geogràfica de tot tipus de fenòmens. Només cal comptar el nombre de cel·les que contenen allò que volem mesurar i el nombre de les que no ho contenen. Per exemple, si comptem el nombre de cel·les de terra ferma, i hi afegim totes aquelles cel·les que contenen zones costeres i que tenen més proporció de terra que de mar, i ho dividim pel total de cel·les del mapa (que és 30*60=1800), tindrem un valor aproximat del percentatge de superfície del nostre planeta que forma part dels continents i illes. Ho podem fer comptant, però també ho podem fer jugant: imprimim el mapa amb la malla de cel·les, el posem damunt la taula, i llancem moltes vegades un petit cub de fusta a l’aire, de manera que acabi caient a la taula. El percentatge de vegades que el cub de fusta cau en cel·les de terra ferma tendeix, a mesura que juguem més i més temps, al mateix valor que hauríem obtingut en base a comptar cel·les. I evidentment, si ara subdividim la malla i passem a treballar amb cel·les més petites, anirem trobant valors més acurats. En definitiva: el comptatge de cel·les en base a malles que anem refinant és un bon recurs que ens ofereix la geometria.

Si ho fem en el mapa de sota, veurem que, a Europa, no hi ha cap cel·la fosca. Per tant, i a la resolució de la malla de la imatge, podem concloure que el 100% del territori europeu té un bon accés a l’energia elèctrica. La situació a Àfrica, en canvi, és ben diferent. Si analitzem tot el continent, trobarem 21 cel·les amb punts de llum, d’un total de 96. Dit en altres paraules, el 78% del territori africà és a les fosques, amb aquest comptatge concret de cel·les que estem fent. Ara bé, per sota de la línia vermella que indica la latitud de Florida als Estats Units i que separa la franja Mediterrània de l’Àfrica subsahariana, la foscor és quasi absoluta amb molt petites excepcions. Si subdividim les cel·les i anem repetint el comptatge a mesura que aquestes es fan petites, observarem que el 99% del territori africà per sota d’aquesta línia vermella que marca el paral·lel dels 25,7 graus de latitud nord, és a les fosques.

Hi ha una segona injustícia geomètrica, però. El mapa del món que teniu dalt i baix, tot i que és l’habitual que estem acostumats a veure, eixampla les terres dels països del nord mentre encongeix les de la gent que viu al sud. És fàcil comprovar-ho. Només cal anar a un mapa del món interactiu com aquest, que mostra una part del continent africà. Sota, a la dreta, trobarem un segment que indica la distància, al mapa, entre dos punts separats mil quilòmetres. Ara, sense fer zoom, arrossegueu el mapa amb el cursor per desplaçar-vos cap al nord, a Europa, i aneu mirant el segment que mostra els 1000 Km. Veureu que cada cop que deixeu el cursor per mirar el mapa, aquest segment d’escala canvia de mida. Al final, el mapa ja mostra un segment de 500 Km. perquè el de 1000 Km. seria massa llarg. Això és degut a que els mapes del món tradicionals comprimeixen el continent africà (i tots els països del sud) mentre donen més espai a Europa. La geometria de les nostres representacions, basada en sistemes de projecció que vam decidir els europeus, és injusta amb els africans i els habitants del sud global.

La injustícia energètica és evident, encara que no mesurem res. Ens ho diu ben clar la imatge de dalt. Ara, si volem afinar més i mesurar-la, sabem que el comptatge de cel·les és una bona eina i un bon recurs de la geometria. Però també sabem que els fenòmens que veiem a la superfície de la Terra mai els podrem mesurar de manera precisa amb comptatge de cel·les sobre representacions de mapes plans del món, perquè tota projecció implica distorsió. Podem, això sí, utilitzar aquesta tècnica del comptatge de cel·les si el que subdividim és directament l’esferoide oblat de la superfície terrestre (per exemple, amb tècniques quasi uniformes com les dels icosaedres subdividits de Buckminster Fuller), i això sí que ens donarà resultats bons i acurats.

La humanitat és injusta en quasi tot, i l’energia n’és un clar exemple. No podem parlar de valors globals de riquesa o de consum energètic sense afegir dades sobre la dispersió, les desigualtats i la variància. I la geometria ens permet mesurar aquesta injustícia, que es mostra en una increïble desigualtat geogràfica. La conclusió: ho estem fent molt malament.

——

Per cert, en Ben Hayes i en Nick Buxton constaten que els efectes de l’escalfament global es presenten sempre com riscs polítics i de seguretat nacional des del prisma exclusiu dels interessos dominants a cada país. I de fet, diuen, el que s’està fent és fortificar illes de prosperitat en mig d’oceans de misèria.

Àfrica creix

dijous, 23/07/2015

Els mapes enganyen. Si cerqueu la paraula “mapamundi” a internet i compareu les imatges que apareixen a la vostra pantalla, veureu que els continents no tenen sempre la mateixa forma. Àfrica i Amèrica del Sud, per exemple, són continents que en alguns mapes surten més allargats que en d’altres. El problema és que la Terra és esfèrica, i és ben conegut que les pilotes són de mal aplanar. És impossible representar bé la superfície del nostre planeta en mapamundis plans i d’una sola peça.

Feu una prova. Pregunteu a qualsevol amic que, amb l’ajut d’un mapamundi, us digui quantes vegades Àfrica és més gran que Groenlàndia. Jo ho he provat, i us diria que la resposta és quatre o cinc, cosa que és totalment errònia: la resposta correcta és 14, com podeu comprovar ben fàcilment amb un globus terraqüi.

El problema és que la projecció Mercator, utilitzada en molts mapamundis, amplifica les zones de la Terra més llunyanes de l’Equador. La projecció cilíndrica de Gerard Kremer Mercator és còmoda perquè representa els meridians i paral·lels com línies verticals i horitzontals. Però fa créixer les zones temperades i fredes de l’hemisferi nord (Europa, Rússia, Japó i els Estats Units) a costa de les zones tropicals africanes, asiàtiques i americanes. Val a dir que és simètrica respecte l’equador, però el que passa és que a les zones temperades i fredes de l’hemisferi sud, que també amplifica, hi ha molt més mar que terra ferma. Però el resultat és que la percepció habitual que hom té de la mida d’Àfrica és més petita que la real. A més de saber poc del que passa a Àfrica i dels seus patiments, ens l’imaginem com un continent encongit.

Quan la Reial Societat Geogràfica anglesa va proposar a Kai Krause que fes un mapa insòlit, ell va pensar en fer quelcom que contribuís a corregir el nostre encongiment cultural. El resultat va ser el mapa-trencaclosques que podeu veure en aquesta web. La imatge de dalt la podeu trobar en aquest blog de la revista Scientific American, que explica que Àfrica podria acollir quasi tota Europa, la Xina, els Estats Units, el Japó i la Índia. No puc fer res millor que citar en Kai Krause quan diu que “Àfrica és simplement immensa i molt, molt més gran que el que tu o jo pensàvem. Mira-la, fixa’t-hi, pren consciència, i somriu perquè ja mai més ho oblidaràs. Davant teu, Àfrica està assolint l’estatura que es mereix tenir.

En Jarke Van Wijk proposa mapes molt trencats però que aproximen prou bé la superfície del globus terraqüi. Ell els anomena mapes “Miriahedral“. Aquest vídeo, que trobareu a la seva pàgina web, en mostra uns quants. Us el recomano.

 
Per cert, Caitlin Moran vol que existeixi la igualtat perquè desitja que tota la gent que ho passa malament arribi a ser feliç. Diu que la desigualtat és deixalla medieval.

Les tres endevinalles del GPS

dijous, 1/01/2015

A les dues del migdia, veig arribar dos helicòpters. Arriben a la vegada. Cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Barcelona a les 13:12, i l’altre, que ha sortit de Tarragona a les 13:24. Els dos diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. On soc?

En aquest cas no és difícil saber on sóc. Només cal tenir un mapa a escala i un compàs. L’helicòpter que ve de Barcelona ha volat durant 42 minuts, i amb això ja podem saber que som a 80 quilòmetres de Barcelona (vegeu nota al final). Amb el mateix raonament aplicat a l’altre helicòpter, deduïm que ens trobem a 60 quilòmetres de Tarragona. Ara, només cal estendre el mapa i dibuixar-hi dos cercles: el dels punts que són a 80 Km. de Barcelona, i el dels que es troben a 60 Km. de Tarragona. Ben aviat ens adonem que som a Cervera, al punt on es troben els dos cercles (hi ha un segon punt d’intersecció, però el podem descartar perquè és al mar). En poques paraules, podem saber on som si disposem d’un mapa i un compàs i si sabem la nostra distància a un mínim de dos punts determinats. Són tècniques ben conegudes pels navegants.

Anem ara a la segona endevinalla:

No tinc rellotge i no sé l’hora. Però veig arribar tres helicòpters. Arriben alhora, i cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Lleida a les 9:30, el segon explica que ha sortit de Girona a les 10, i el tercer diu que ha sortit de Manresa a les 10:10. Tots diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. On soc?

Aquesta ja no és tan fàcil, però la intuïció matemàtica ens diu que és probable que puguem deduir on som, perquè ens manca una informació (la nostra hora) però en canvi en tenim una de nova, la del tercer helicòpter. Jugant amb el mapa i el compàs, és fàcil veure que podem trobar la solució per aproximacions successives. Podem anar fent proves, tot fixant cada vegada un valor hipotètic per l’hora del rellotge que no tenim. Imaginem que quan veiem arribar els tres helicòpters junts, són les 10:30. Ara, com que ja tenim l’hora d’arribada, podem dibuixar els tres cercles, com podeu veure a la imatge de sota. I de fet podem fer el mateix per les 11:20 i obtindrem els cercles que també podeu veure a la imatge de baix, a la dreta. Cap dels dos cassos és possible, perquè en aquests dos instants no hi ha cap punt del mapa en el que els tres helicòpters coincideixin. En canvi, els tres cercles de les 10:55 sí que intersequen, i ho fan a Puigcerdà. Podem assegurar que som a la Cerdanya, a Puigcerdà. El truc és anar provant amb diferents hipòtesis pel que fa al temps del nostre rellotge, fins que encertem el cas en què els tres cercles intersequen en un punt. Cal dir que, de fet, també ho podem resoldre directament i sense haver d’anar provant, amb l’ajut de la geometria (vegeu la nota al final).

El sistema GPS es basa en el mateix principi, amb l’única diferència que enlloc d’helicòpters tenim senyals electromagnètics de ràdio que viatgen a la velocitat de la llum. Si entenem les endevinalles, entenem el GPS. Avui en dia, quan ens perdem, ho tenim més fàcil que els nostres avis. Molts telèfons mòbils tenen GPS, i el sistema GPS ens diu on som. Podem veure la nostra posició en un mapa i podem saber les coordenades geogràfiques del lloc on som: longitud i latitud. El GPS funciona mitjançant una xarxa de satèl·lits que orbiten al voltant de la terra. Cada satèl·lit porta un rellotge atòmic per mesurar el temps amb una precisió de l’ordre de menys d’un nanosegon (un nanosegon és la mil milionèsima part d’un segon). Gràcies a Einstein, sabem que la velocitat de la llum és constant. Com que aquesta velocitat és de 300 mil quilòmetres per segon, amb una única divisió veiem que tant la llum com les ones electromagnètiques que rebem dels satèl·lits recorren 30 centímetres cada nanosegon. Els rellotges atòmics son tan ràpids que la llum només avança uns 4 o 5 centímetres entre cada dos tics. Com en el cas dels helicòpters, els GPS mesuren distàncies amb el temps. Quan volem determinar la nostra posició, el GPS localitza automàticament un mínim de quatre satèl·lits de la xarxa, dels quals rep senyals que indiquen la posició del satèl·lits (abans era la ciutat d’on surt cada helicòpter) i el temps (en fraccions de nanosegon) de sortida del senyal en el rellotge de cadascun d’ells. En base a aquests senyals, el GPS pot calcular les nostres coordenades geogràfiques tal com fèiem a l’endevinalla, amb un error de precisió que en condicions normals és d’uns 15 metres. Val a dir que a més, aviat tindrem el sistema Galileo. A diferència del GPS (Nord-americà i militar) el sistema Galileo és un projecte civil, l’alternativa de la Unió Europea a l’actual GPS. Oferirà un servei obert, de lliure accés per a tothom, amb un error de quatre metres sobre el terreny i de vuit metres en vertical.

Però podem pensar una mica més i donar-hi més voltes. Si encara en teniu ganes, aquí teniu la tercera endevinalla:

Veig arribar dos helicòpters. Arriben junts, però no tinc rellotge i no sé l’hora. Cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Lleida a les 10:30, i l’altre, que ha sortit de Tarragona a les 11. Els dos diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. Puc dir alguna cosa d’on soc?

Aquest cas és ben interessant. Si en el mapa dibuixeu el segment recte que uneix Vic i Amposta, podem afirmar que ens trobem en algun punt d’aquesta recta (vegeu, un cop més, la nota al final). Puc trobar-me a Vic, però és segur que no soc ni a Solsona ni a Mataró…

Per cert, en Noam Chomsky diu que el paper dels intel·lectuals i activistes radicals ha de ser analitzar i valorar, mirar de persuadir, organitzar, però mai arribar al poder i governar. Diu que han d’estar preparats per plantar cara a la repressió i actuar en defensa dels valors que professen.

 

Si voleu veure millor aquestes fotos, cliqueu aquí i mireu les tres pàgines del pdf en mode pantalla completa. Podreu anar endavant i endarrera amb les fletxes del teclat

 

NOTA: A la primera endevinalla, ens diuen que el primer helicòpter ha sortit a les 13:12 i que ha arribat a les 14 hores. Per tant, ha volat durant 48 minuts. A una velocitat constant de 100 quilòmetres per hora, és clar que cada 6 minuts recorre 10 Km. i, en conseqüència, en els 48 minuts haurà fet un total de (48/6)*10 = 80 quilòmetres. El mateix raonament serveix per al segon helicòpter.

Per a entendre la segona endevinalla, imagineu-vos una representació 3D amb eixos x-y-z. En el pla horitzontal dels eixos x-y, tenim el mapa de Catalunya o de la regió del món que estem estudiant. En l’eix z, vertical, representem el temps. És un diagrama espai-temps, similar als que utilitzava Einstein per il·lustrar la teoria de la relativitat. Tot allò que passa, per exemple, a les 10 del matí, es pot representar en un pla horitzontal (el pla del present, en aquest cas, el pla de les 10) paral·lel al pla x-y. Quan passa el temps, el pla del present puja inexorablement. En aquest pla de les 10 podem situar un punt a Girona que marca la posició de l’helicòpter gironí, que acaba de sortir. En canvi, el que ha sortit de Lleida a les 9:30 ja ha volat durant mitja hora, i l’únic que podem dir és que es troba en algun punt del cercle centrat a Lleida i de radi 50 Km. Al cap d’un quart d’hora, en el pla de les 10:15, ja podrem dibuixar els tres cercles, que a partir d’ara aniran creixent. A la imatge de dalt podeu veure l’estat dels tres cercles a les 10:30, a les 10:55 i a les 11:20. Si ara ens situem fora de l’espai i el temps i observem el diagrama 3D mentre el pla del present puja i els cercles creixen, és fàcil veure que cada cercle crea un con o paperina virtual que es va obrint a mesura que passa el temps. Cada helicòpter, en aquest diagrama d’espai-temps, té associat un con de possibles llocs on es pot trobar. I la geometria ens diu que tres cons d’eix vertical intersequen en un punt, en el punt que ens diu on som. En els GPS i en el sistema Galileo passa exactament això, amb l’única diferència que enlloc d’helicòpters tenim senyals electromagnètics que viatgen a la velocitat de la llum. El que calculen els nostres GPS a partir dels missatges que reben dels satèl·lits és aquest punt d’intersecció entre els tres cons en el diagrama espai-temps.

Si us interessa, us podeu descarregar la conferència que vaig donar a les Aules Universitàries per a la Gent Gran d’aquesta web. I aquí podeu trobar una mica d’història junt amb una comparació entre l’actual sistema GPS i el futur sistema Galileo.

I què passa en el cas de la tercera endevinalla? En aquest cas només tenim dos cons en el diagrama d’espai-temps, amb eixos verticals que passen per Tarragona i Lleida. Si imaginem el pla del present que va pujant, hi veurem dos cercles que es van acostant, passen a ser tangents en un punt intermedi (que anomenaré Q) del segment recte que uneix Tarragona i Lleida i, a partir d’aquest moment, ja sempre més intersequen. Si dibuixeu, en el mapa, el segment recte entre Tarragona i Lleida i suposem que el que surt de Lleida vola en direcció a Tarragona, a les 11 del matí es trobarà en un punt imtermedi R entre Prades i Alcover, mentre que el de Tarragona estarà acabant de sortir. És clar que el punt Q es troba exactament a mig camí entre R i Tarragona, prop de la carretera de Reus a Alcover. Dibuixeu ara la recta perpendicular al segment Tarragona-Lleida que passa per Q. És una recta que veureu que passa per les rodalies de Vic i d’Amposta. No podem saber exactament on som perquè ens manquen dades, però podem estar ben segurs que som en algun punt d’aquesta recta i que no som ni a Tàrrega, ni a Ripoll ni a Sitges.

Els avions, els mapes i les closques d’ou

dimecres, 17/12/2014

Què és més ràpid, anar en avió de Barcelona a Nova York o de Sao Paulo a Mèxic DF? No sé si us passa el mateix que a mi, però jo trobo que la durada dels viatges llargs en avió es fa difícil de preveure. Donats quatre punts sobre la Terra, no sempre és fàcil saber si la distància entre els dos primers és més gran o més petita que la distància entre els dos segons.

Estem acostumats a imaginar que tot és pla. Quan pensem en distàncies, habitualment ho fem en terrenys que considerem plans. Les mesurem en línia recta, sobre el terreny o en mapes plans, en el mòbil o estesos damunt la taula. Però ja sabem que la Terra no és plana. De fet és un geoide, amb una forma quasi esfèrica que enganya la nostra intuïció. Mireu aquesta bola del món interactiva. Podeu girar-la, i cada cop que us atureu us mostra a més la direcció dels vents. Però a mesura que l’aneu girant, és fàcil veure que la distància aparent entre dos punts determinats qualsevols va variant. Per a fer-nos una idea del valor d’una determinada distància, el millor és girar la bola del món fins que el punt mig entre les dues ciutats que estem estudiant, per exemple Barcelona i Nova York, coincideixi amb el centre del cercle de la Terra. En aquesta posició, la distància que veiem en pantalla permet determinar la distància real entre els dos punts (vegeu Nota al final). Us trobareu amb sorpreses, perquè la nostra intuïció alguns cops ens enganya. El problema és que vam aprendre geografia amb mapes del món inexactes que en alguns casos distorsionen els continents.

La Terra és pràcticament esfèrica, un globus. Les formes rodones i esfèriques ens són ben familiars. Sabem el fàcil que és inflar globus i fer bombolles de sabó. Però tan les esferes com els trossos d’esfera amaguen molts secrets i no sempre són tan dòcils. Proveu de construir una esfera, encara que sigui aproximada, retallant i enganxant cartolina. No és pas fàcil. I tenim un teorema geomètric, el de “l’esfera peluda” que diu que si pretenem pentinar una esfera amb pèls, sempre ens quedarà algun remolí. A més, les esferes no es poden aplanar. I aquest és el gran problema dels mapes: és impossible fer un bon mapa de la Terra perquè volem que els nostres mapes siguin plans mentre que el nostre planeta és esfèric i no es deixa aplanar.

Imaginem que pintem el mapa d’Europa en un tros de closca d’ou. El mapa podrà ser força fidel, perquè els trossos de closca d’ou són semblants a casquets esfèrics. Però no és gaire còmode portar closques d’ou d’una banda a l’altre, com tampoc ho és anar sempre amb una bola del món sota el braç. Si volem un mapa pla, la geometria ens diu que només tenim dues opcions: distorsionar o trencar. Cap d’elles és perfecte, però aquest és el dilema. Les matemàtiques ens diuen que la perfecció en els mapes no existeix.

Quasi tots els mapamundis que coneixem segueixen el camí de la distorsió. És el que passa, per exemple, quan fem una foto de la bola del món. La Terra se’ns distorsiona i veiem distàncies més grans al mig que cap a les vores perquè és impossible de representar fidelment la Terra tota connectada i sense distorsió. En els mapamundis, no podem prendre mesures amb un regle.

Però ens queda la segona opció, la de trencar. Si premem la closca d’ou de la foto de dalt després de pintar-hi el mapa d’Europa, ens quedarà el continent ben aplanat i sense quasi distorsió, però tot trencat. Hi ha molta gent que ha creat mapes d’aquest tipus, encara que són poc coneguts. Són mapes que segueixen el principi de la closca d’ou xafada. Aquí teniu el mapa Dymaxion que va proposar en Buckminster Fuller. I aquí podeu veure el mapa octaèdric de la Terra, que us podreu construir si visiteu el museu de matemàtiques de Barcelona. La Terra es pot tallar i separar de moltíssimes maneres, i cada una d’elles ens generarà un mapa diferent del tipus closca d’ou trencada. Si volem minimitzar la distorsió, hem de fer que les cares planes finals siguin ben petites. Per això, en Jarke Van Wijk parla dels mapes “Miriahedral“. Mireu i gaudiu d’aquest vídeo, que trobareu a la seva pàgina web. Ens mostra algunes de les infinites maneres de trencar i aplanar el nostre planeta.

Podem decidir-nos a estudiar bé la geografia i la geometria del nostre planeta amb una bola del món, o amb mapes (per cert, heu pensat en l’etimologia de la paraula “geometria”?). Però si decidim fer-ho amb mapes, haurem d’escollir: distorsió o talls.

Per cert, en Joan Majó diu que els poders polítics democràtics no poden acceptar un nou pacte amb el capitalisme financer, sinó que cal obligar al nou capitalisme a canviar les seves regles. Diu també que les noves regulacions han de tenir caràcter global, perquè ara la partida es juga a escala de tot el món.

——

NOTA: Quan pensem en distàncies, habitualment ho fem en espais que considerem plans. Les mesurem en línia recta, sobre el terreny o en mapes plans. Però, a la Terra, les grans distàncies no les podem mesurar en línia recta. Si volem calcular la distància entre dos indrets com Barcelona i Nova York i aproximem la Terra per una esfera, la geometria ens explica que si volem trobar la distància més curta, hem de mesurar-la en un arc de cercle màxim. Tot plegat no és pas difícil d’imaginar. Tenim tres punts: les dues ciutats A i B que estem estudiant (Barcelona i Nova York, o Rio de Janeiro i Mèxic DF) i el centre de la Terra, que anomenarem O. Els tres punts A, B i O defineixen un pla que talla la Terra en dues meitats, com si fos una síndria, i que ens marca el cercle màxim que passa per A i B perquè sabem que el centre de qualsevol cercle màxim és el punt O. Quan girem la bola del món fins veure centrat i damunt de O el punt mig entre A i B, aconseguim mirar la Terra des d’una posició en la que el pla dels punts A, B i O el veiem de canto. Com que, a més, els punts A i B els hem situat de manera simètrica en relació a la projecció del centre O, el problema de calcular la distància real entre A i B sobre la superfície del planeta (la que recorren els avions) es redueix al problema de calcular la llargada de l’arc AB a partir de la de la seva corda, que és la que podem mesurar en la projecció que veiem del globus terraqüi. I aquí és on rau la dificultat: mesurem cordes, però les distàncies reals són arcs de cercle màxim. Ens equivoquem perquè estem acostumats a veure i mesurar distàncies curtes, i la geometria ens diu que, quan el radi del cercle és molt més gran que l’arc, les mesures de l’arc i de la seva corda són pràcticament coincidents. Si en un mapa veiem tres pobles A, B i C situats de manera que els habitants de B veuen A i C en angle recte, sabem que podrem aplicar el teorema de Pitàgores: si la distància entre A i B és de 3 quilòmetres i la distància entre B i C és de 4 quilòmetres, la distància entre A i C (hipotenusa) serà de 5 quilòmetres. La hipotenusa al quadrat és igual a la suma dels quadrats dels dos catets. Però els triangles esfèrics que se’ns formen sobre la superfície de la Terra són sorprenents. Per començar, els geòmetres mesuren els costats dels triangles, que sempre són arcs de cercles màxims, en graus. Un triangle esfèric té tres costats i tres angles però tots sis es mesuren com angles perquè és molt més senzill i clar. En trigonometria esfèrica, veureu formules on apareixen el sinus i el cosinus dels costats dels triangles. De fet, l’equivalent del teorema de Pitàgores per triangles esfèrics, que hom pot trobar fàcilment a partir de les formules del pentàgon de Neper, diu que el cosinus de la hipotenusa és igual al producte del cosinus dels dos catets. Força diferent del teorema de Pitàgores que coneixem, oi?

Si voleu calcular la distància sobre la superfície de la Terra entre dues ciutats A i B de les que sabeu les seves coordenades geogràfiques de longitud i latitud, ho podeu fer analitzant el triangle esfèric format per A, B i el pol nord. A l’hemisferi nord, si les latituds de A i B les anomenem L1 i L2 i si diem D a la diferència entre els valors de les seves coordenades de longitud, haureu d’utilitzar funcions trigonomètriques i calcular els cinc valors a=cos(L1), b=cos(L2), c=sin(L1), d=sin(L2), e=cos(D). Es pot fer, si voleu, amb un full de càlcul. Llavors, el valor c*d+a*b*e és el cosinus de l’angle que ens indica la separació entre els punts A i B sobre el seu cercle màxim. Només cal trobar aquest angle amb la inversa de la funció cosinus, passar-lo a radians i multiplicar-lo pel radi de la Terra (aproximadament, 6370 Km). El resultat és la distància, en quilòmetres, que haurem de recórrer si volem anar de A a B en avió.

De John Harrison a Galileo

dimecres, 12/06/2013

GalileoSatellite.jpg Què podem fer si ens perdem enmig del mar, a la muntanya, dins d’un bosc o en un desert? Sortosament, ho tenim més fàcil que els nostres avis. Molts telèfons mòbils tenen GPS, i el sistema GPS ens diu on som. Podem veure la nostra posició en un mapa i podem saber les coordenades geogràfiques del lloc on som: longitud i latitud. El GPS ha estat un bon invent per a poder orientar-nos. El que no és tan conegut és que, tant al segle XVIII com al segle XXI, si ens podem orientar és gràcies als rellotges. Hem aprés que per mesurar bé la posició i el lloc on som, cal saber mesurar bé el temps. Depenem de la física i de la l’íntima relació que hi ha entre espai i temps.

Els navegants i descobridors del renaixement sabien calcular bé la latitud. Només calia mesurar, amb un sextant, l’alçada màxima del Sol o de les estrelles sobre l’horitzó i consultar les taules astronòmiques. Però la longitud geogràfica sempre va ser molt més esquívola. La diferència de longituds geogràfiques entre dos llocs de la Terra (o separació entre els seus meridians) és clar que és proporcional a la diferència entre les seves corresponents hores solars. Per això calien els rellotges. Els vaixells que sortien de qualsevol port, per exemple de Barcelona, portaven un rellotge ajustat a l’hora solar de Barcelona. Quan, dies després, eren enmig del mar, per saber la longitud del meridià només havien de mesurar l’hora solar i restar-la de la que marcava el rellotge. El principi és ben conegut. Si anem a Pontevedra, veurem que el Sol surt més tard i es pon més tard que aquí. Els navegants ho feien a l’inrevés: mesuraven aquest retard i amb això podien calcular la seva posició, el seu meridià. En teoria tot era perfecte. Es podien orientar gràcies als rellotges. Només hi havia un “petit” problema: els rellotges no eren bons, i avançaven o s’endarrerien. Com que 24 hores equivalen al gir de 360 graus de la Terra, un error de 4 minuts en l’hora és equivalent a un error d’un grau en la mesura de la longitud geogràfica, que correspon a 111 quilòmetres si som a l’Equador. No és pas un error menyspreable. Els navegants no es podien orientar bé perquè tenien rellotges dolents.

A principis del segle XVIII, es parlava molt del problema de la longitud. Calia trobar maneres de calcular-la amb més precisió. Els anglesos, molt preocupats pel tema, van ser pragmàtics. Justament l’any 1714, el Parlament anglès va acordar donar un premi de vint mil lliures a la persona que trobés una solució al problema. El premi es donaria a la persona que trobés com mesurar la longitud amb un error de menys de mig grau i que ho demostrés en un viatge en vaixell. El rellotger John Harrison va anar millorant el disseny dels seus mecanismes fins aconseguir un rellotge, l’anomenat H4, que superava els requeriments del Parlament. L’any 1764, el seu fill William ho va demostrar en un viatge de 47 dies a les illes Barbados. El rellotge només es va endarrerir 39 segons, equivalents a una distància de 18 quilòmetres en l’Equador. Tot i que no va ser fàcil convèncer la comissió del Parlament, John Harrison va finalment rebre el premi l’any 1773 junt amb el reconeixement públic d’haver resolt el problema de la longitud.

Què fa un GPS per a saber on som? El GPS també utilitza rellotges per calcular distàncies i determinar la nostra posició. John Harrison utilitzava rellotges, i els nostres GPS també. La diferència és que els rellotges dels GPS són molt més precisos. I no són en els nostres GPS, sinó que estan en els satèl·lits que són en òrbita.

El sistema GPS funciona mitjançant una xarxa de satèl·lits que orbiten al voltant de la terra. Cada satèl·lit porta un rellotge atòmic per mesurar el temps amb una precisió de l’ordre d’un nanosegon (un nanosegon és la mil milionèsima part d’un segon). Si mesurem el temps que tarda un senyal electromagnètic en viatjar des d’el satèl·lit fins el GPS del nostre telèfon, podrem calcular la distància entre els dos amb un simple producte perquè, gràcies a Einstein, sabem que la velocitat de la llum és constant. Com que aquesta velocitat és de 300 mil quilòmetres per segon, amb una única divisió podem veure que tant la llum com les ones electromagnètiques que rebem dels satèl·lits recorren 30 centímetres cada nanosegon. Els rellotges atòmics son tan ràpids que, en cas que facin un tic cada nanosegon, la llum només avança un pam i mig entre cada dos tics. Doncs bé, quan volem determinar la nostra posició, el GPS localitza automàticament un mínim de quatre satèl·lits de la xarxa, dels quals rep senyals que indiquen la seva posició i el temps (en nanosegons) en el rellotge de cadascun d’ells. En base a aquests senyals, el GPS pot calcular el retard dels senyals i per tant les distàncies als satèl·lits (vegeu nota al final). Finalment, obtenim les nostres coordenades geogràfiques amb un error de precisió que en condicions normals és d’uns 15 metres.

El sistema Galileo és l’alternativa de la Unió Europea a l’actual GPS. Galileo és un projecte civil, a diferència del GPS que és Nord-Americà i militar. Oferirà un servei obert, de lliure accés per a tothom, amb un error de quatre metres sobre el terreny i de vuit metres en vertical, juntament amb un servei de pagament amb abonament que emetrà senyals encriptades amb un marge d’error inferior al metre per a localització en aplicacions específiques com la navegació aèria i els serveis de cartografia. El servei i la qualitat de les dades de posició deixarà d’estar supeditat als criteris i prioritats militars. Serà un servei per a la societat civil, més fiable i força més precís que el GPS. La constel·lació Galileo estarà formada per 30 satèl·lits en òrbita en una alçada mitjana de 23.222 quilòmetres, junt amb una sèrie d’estacions terrestres que controlaran els satèl·lits per tal de millorar la precisió del senyal i corregir-ne la trajectòria. Cada satèl·lit Galileo (vegeu la imatge de dalt) porta dos rellotges atòmics: un rellotge màser d’hidrogen que només endarrereix un nanosegon cada 24 hores, i un rellotge secundari de rubidi amb precisió de 1,8 nanosegons cada 12 hores. Ara mateix, els primers quatre satèl·lits Galileo ja són en òrbita i es troben en fase de proves. D’aquí a 4 o 5 anys (el 2017 o el 2018), ja el podrem utilitzar.

És més fàcil i més precís mesurar el temps que mesurar grans distàncies. Per això els mapes antics i medievals eren poc precisos, i per això els humans sempre hem fet servir rellotges per orientar-nos i per conèixer la nostra posició i les nostres coordenades. Però fa quatre segles, quan els navegants calculaven la seva posició, no ho podien fer bé: cometien errors de l’ordre de 100 quilòmetres. Fa tres segles i gràcies als rellotges de John Harrison, els errors ja eren només de l’ordre de 15 o 20 quilòmetres. Avui, gràcies als rellotges atòmics i a la tecnologia GPS, podem saber on som amb un error mil vegades més petit, de l’ordre dels 15 metres. I d’aquí a cinc anys, amb Galileo ho sabrem amb un error de només 4 metres. Tot plegat, perquè hem entès que el temps ens pot explicar l’espai i perquè hem trobat la manera de fer que ens l’expliqui.

Nota: Les estacions terrestres de control monitoritzen els satèl·lits i garanteixen que els seus rellotges estiguin “en hora” al nanosegon, a més de que tinguin informació sobre la seva posició en l’espai en tot moment. Llavors, si el nostre aparell GPS o Galileo portés un rellotge atòmic d’alta precisió incorporat, tot seria força senzill. Com hem dit, el GPS localitzaria automàticament alguns satèl·lits de la xarxa, dels quals rebria senyals amb informació sobre la posició i el temps en el satèl·lit en l’instant d’emissió del senyal. El temps de viatge del senyal es podria obtenir restant el temps en l’instant que rebem el senyal menys el temps en l’instant d’emissió. Multiplicant per la velocitat de la llum, el temps de viatge ens donaria la distància D al satèl·lit. Com que el satèl·lit també ens hauria enviat la seva posició a l’espai, podríem concloure (amb un únic satèl·lit) que segur que ens trobem en algun punt de l’esfera que té el centre a la posició del satèl·lit i radi D. Amb més d’un satèl·lit, el mateix raonament ens donaria per a cada satèl·lit una esfera sobre la que ens hem de trobar, i podríem calcular la nostra posició tot intersecant aquestes esferes (podem afegir a més la superfície de la Terra si sabem que estem tocant de peus a terra). Val a dir que és bo tenir informació redundant de molts satèl·lits perquè així podem reduir errors i calcular, amb algorismes de mínims quadrats, un punt que es trobi el més prop possible de les esferes de tots els satèl·lits que observem. Però malauradament tot plegat és una mica més complicat perquè els rellotges dels GPS evidentment no són atòmics. Sabem amb molta precisió l’instant d’emissió dels senyals, però l’instant de recepció el sabem amb una precisió molt més baixa. El problema és més complicat, però la solució no és massa més difícil. Suposem que estem veient 5 satèl·lits. Fem el càlcul com abans, restant el temps que ens dóna el rellotge del GPS del temps en l’instant d’emissió que ens arriba amb el senyal, i obtenim un radi d’esfera per a cada satèl·lit: D1, D2, …, D5. Aquests radis són incorrectes, però sabem que l’error és el mateix en tots ells, perquè és degut a un error en la mesura del temps de recepció, que és el minuend en totes les restes. Per tant podem assegurar que els radis correctes seran D1+d, D2+d, …, D5+d on el valor desconegut d depèn de l’error en el rellotge del GPS. Cal trobar el valor òptim de d. Aquest valor  és el que fa que els punts d’intersecció entre tots els possibles conjunts de tres esferes siguin el més propers possibles entre ells. Cal observar que en el cas de 5 esferes, podem formar deu conjunts diferents de 3 esferes cada un (les combinacions de 5 elements escollits de 3 en 3) i per tant, haurem de trobar el valor de d que apropi el màxim possible aquests deu punts. Cal tenir també en compte que cada conjunt de tres esferes intersecta en dos punts, però que un d’ells és a l’espai exterior i no és vàlid. Un cop hem calculat el valor d, calculem el punt d’intersecció de totes les esferes i ja hem resolt el càlcul de la nostra posició. Podeu comprovar que, si no imposem res més, el càlcul es pot fer si veiem un mínim de 4 satèl·lits. Però si sabem, per exemple que estem caminant o que anem en cotxe, el nombre mínim de satèl·lits baixa a tres perquè el càlcul es pot limitar a cercar punts sobre la superfície de la Terra.

En resum: podem saber on som gràcies a la geometria, als satèl·lits, a la informàtica i als algorismes d’optimització…

 

Els camins més curts: les geodèsiques

divendres, 7/09/2012

GeodesiquesTerra2.jpg Tinc un amic que, quan és de viatge, enyora el seu poble. Als vespres, quan cau la llum, ho intenta mitigar mentre mira el cel, cap a l’horitzó, en direcció a Cadaqués.

L’any passat va anar a Florència, i ho tenia fàcil. Només havia de mirar cap a l’oest. Però aquest any ha viatjat a Kyoto, al Japó. En quina direcció ha de mirar, als capvespres?

Sabem que la distància més curta entre dos punts és la línia recta. Però això, a la terra no és massa pràctic i no li serveix, al nostre amic. No vol mirar cap avall, cap als peus. Sabem que la terra és una quasi-esfera. I el camí més curt entre dos punts situats sobre una superfície, no és una recta. És una corba que s’anomena geodèsica.

Amb el grau d’aproximació que hem de treballar, podem perfectament suposar que la terra és una esfera. Doncs bé, si tenim dos punts situats sobre una esfera (en el nostre cas, Cadaqués i Kyoto) i aquests dos punts no són antípodes, la geometria ens diu que existeix un únic camí mínim entre ells. El nostre amic només ha d’esbrinar quin és aquest camí geodèsic, i ja ha resolt el problema d’on dirigir la seva mirada als vespres. Val a dir que si viatja a les antípodes, a Nova Zelanda, es trobarà en un punt singular. En aquest cas no hi ha una direcció de distància mínima, sinó que la distància és idèntica sigui quina sigui la direcció en què miri. A les antípodes pot mirar en qualsevol direcció, sempre estarà dirigint la mirada a Cadaqués…

Deixant a banda les antípodes, sabem que qualsevol parell de punts sobre la terra defineix una única corba geodèsica i una única direcció de camí mínim. Però, com podem determinar-la?

Dibuixar una línia recta al mapa no serveix, perquè la terra, com tota esfera, no té punts privilegiats. Per això no hi ha mapes perfectes, com bé ens va explicar Gerard Kremer (Mercator). Tot mapa és una projecció de la terra (o de part d’ella) sobre una superfície, habitualment un pla, cilindre o con. Però, a la terra, tots els punts són iguals i en canvi els mapes han de tenir un punt central. Els mapamundis aconsegueixen no deformar determinats punts de la terra, però deformen els altres. El resultat és que les geodèsiques, als mapes, no són línies rectes. I això ens complica els problema.

Una solució senzilla és treballar sobre un mapa que no deformi: un mapa en un globus terraqüi. Ho podem fer amb una bola del món o, més fàcilment, amb un geo-navegador com Google-Earth. Simplement anem girant el globus terraqüi fins aconseguir que la línia recta que uneix els nostres dos punts divideixi la terra en dues parts iguals. Llavors haurem trobat la única direcció des de la qual veiem els dos punts i l’arc de la seva geodèsica com un segment de recta que els uneix (veure nota al final).

Si ho fem amb Cadaqués i Kyoto, aconseguirem la imatge de la figura de sota. La geodèsica és un arc de cercle màxim, contingut en el pla que passa per Cadaqués, Kyoto i el centre de la terra. De fet, és com un nou equador, un equador que ens agermana amb els habitants de Kyoto. Podríem agafar un ganivet virtual i tallar la terra, com una síndria, en dues meitats idèntiques i amb els nostres dos punts en el pla de tall. Marqueu dos punts qualsevols a la superfície d’una síndria. Hi ha una única manera de tallar la síndria en dues parts iguals i fent que el tall passi pels dos punts marcats: és el tall que ens marca el camí geodèsic entre els dos punts.

El nostre amic, als capvespres, ha de mirar no pas cap a l’oest, sino cap al nord-oest, bastant més en direcció nord. La geodèsica en aquest cas passa prop de les regions polars.

 
Nota: La direcció des de la que veiem els dos punts i la seva geodèsica com un segment de recta, és la direcció de la suma dels dos vectors (A menys C) i (B menys C) on A i B són els nostres dos punts i C és el centre de la terra.
Geodesiques2.jpg