Entrades amb l'etiqueta ‘matemàtiques’

Atiyah i Pugwash

dissabte, 26/01/2019

Fa dues setmanes, en Michael Atiyah ens va deixar. Molts diaris se’n han fet ressò. La Julie Rehmeyer, del New York Times, deia que Atiyah va ser un matemàtic britànic que va unir matemàtiques i física d’una manera mai vista des dels temps d’Isaac Newton. Quasi res. Ho va fer durant la dècada dels 1960. I el cert és que el seu treball amb el professor Singer del MITM va conduir, per exemple, al neixement de la teoria de les cordes com a possible manera d’entendre l’estructura i la dinàmica de l’univers, i va proporcionar poderoses eines tant per als matemàtics com per als físics teòrics. Michael Atiyah va ser investit doctor honoris causa per la UPC fa poc més de 10 anys, sent apadrinat pel llavors degà de la facultat de matemàtiques i estadística, Sebastià Xambó.

El teorema de l’índex que van desenvolupar Michael Atiyah i Isadore Singer va ser com un miracle per entendre les equacions diferencials (que són les que ens permeten modelitzar fenòmens del món físic com el comportament dels gasos i líquids, la deformació dels materials i molts altres). Atès que moltes vegades aquestes equacions no es poden resoldre, Atiyah i Singer van descobrir que al menys, el que sí es podia arribar a saber és quantes solucions diferents té una equació diferencial. Singer i Atiyah van construir un pont entre l’anàlisi i la topologia que va resultar molt fructífer: Per a qualsevol conjunt C d’equacions diferencials, van explicar que existia un objecte geomètric O que es podia formar a partir de C. A continuació, van utilitzar la teoria K (la teoria topològica que Atiyah havia construït amb Hirzebruch) per caracteritzar aquest objecte O, i van obtenir un valor enter (índex). La troballa va ser el fet de descobrir que, a partir d’aquest índex que mostra el nombre de forats de O (genus), es pot saber el nombre de solucions del conjunt inicial C d’equacions diferencials. Van passar de les equacions diferencials a la geometria (O), de la geometria a la topologia, i finalment van veure que la topologia explicava C.

En aquesta entrevista de l’any 2004, Michael Atiyah deia que si fóssim ordinadors, aquestes màquines que poden tabular grans quantitats de tot tipus d’informació, mai no desenvoluparíem cap teoria. Només caldria prémer un botó per obtenir la resposta (concreta, mai abstracte). Deia que la matemàtica és una evolució del cervell humà, que quan respon a les influències externes, crea una maquinària amb la qual pot atacar el món exterior. La matemàtica és la nostra manera d’intentar reduir la complexitat en simplicitat, bellesa i elegància.

En Michael Atiyah, però, també es va destacar pel seu rebuig a la guerra i per la seva defensa aferrissada de la Pau al món. Entre els anys 1997 i 2002 va ser president de la societat Pugwash i va coordinar les conferències Pugwash durant aquells anys. L’associació de científics Pugwash vol un món lliure d’armes nuclears i altres armes de destrucció massiva, i té com a objectiu desenvolupar i donar suport a l’ús de polítiques basades en l’evidència científica, centrades en àrees on hi ha riscos nuclears i d’armes de destrucció massiva. Pugwash vol fomentar discussions creatives sobre la manera d’augmentar la seguretat de totes les persones, promovent el desenvolupament de polítiques que siguin cooperatives i futuristes. Doncs bé, l’any 1998, i com a president de Pugwash, Atiyah va fer el discurs inaugural de la conferència que es va celebrar a Jurica (Queretaro, Mèxic) sota el lema “El llarg camí cap a la Pau”. El podeu trobar, per exemple, a “Books.Google” si cerqueu “Michael Atiyah address The Long Roads to Peace“. Després de citar els problemes concrets que tenia el món fa una mica més de vint anys (no massa diferents als d’ara), va dir això: “la imatge a llarg termini es centra en diferents aspectes: explosió de població, degradació ambiental, pressió sobre recursos del planeta, mega-ciutats, noves malalties, desigualtats. Aquests són els problemes fonamentals que dominaran el segle vinent. Però, més enllà de tots aquests problemes … tenim les possibles catàstrofes que poden engolir el món: actualment tenim armes nuclears, químiques i biològiques … Hi ha un perill inherent per la mera existència (i estat de preparació) d’aquestes armes … l’enorme càrrega econòmica imposada per la constant recerca d’armes millors i millors, dificulta el poder fer front a les necessitats reals del món a llarg termini”. Atiyah acabava dient que malauradament, el món en general prefereix les armes més que la mantega. Gran paradoxa en unes frases que avui mateix continuen sent totalment vàlides.

Si teniu una mica de temps, podeu gaudir-lo en directe en aquesta gravació de quan va donar la conferencia Gibbs l’any 1991 (força jove) o en aquesta altra de la seva xerrada als Laboratoris Cavendish l’any 2002 (ja no tan jove). A totes dues, per cert, es recolza en les famoses transparències d’acetat que tant havíem usat a xerrades i congressos. I una curiositat: les dues dates són anys palíndroms consecutius.

Les dues facetes de Michael Atiyah, la de matemàtic i la d’activista de la Pau, són ben properes, encara que a primera vista no ho sembli. Perquè la matemàtica es basa en l’abstracció, i la ciència arriba al convenciment dels nostres límits pel camí de la mesura i el pensament. Eines, totes dues, que ens ajuden a allunyar-nos de l’interès pel “bentenir” i del desig de violència. Perquè de fet, com molt bé explica l’Emilio Lledó, al principi de la cultura grega, felicitat i “benestar” eren sinònims de “bentenir: de tenir més, tenir terres, cases, esclaus, vestits. I per tenir més, moltes vegades cal manllevar-ho dels altres, amb violència. Més tard, en canvi, els mateixos filòsofs grecs van evolucionar cap al concepte del “benser”. Lledó diu que la pau interior del “benser” és conscient dels límits i es conforma amb ben poc, perquè la felicitat del “bentenir” no sols és impossible en un entorn de misèria, crueltat i violència, sino que les acaba incrementant. I he de dir que a mi, l’experiència em diu que els matemàtics i científics són molt més a la banda dels límits i del “benser” que a la del “bentenir“. Deu ser per això que, com va fer en Michael Atiyah, a molts els agrada treballar contra la violència i les armes i en pro de la pau mundial. Perquè el teorema d’Atiyah i Singer és perpetu, etern i global. I quan has descobert que la ment humana pot descobrir i crear veritats matemàtiques universals, difícilment pots acabar pensant que cal defensar “els Nostres” en contra “dels Altres”.

La imatge de dalt, que podeu trobar a aquesta web, mostra una de les escultures encisadores d’en Carlo Sequin. És una superfície d’una sola cara amb 4 vores i genus 10. En Carlo Sequin, professor de la Universitat de Califòrnia a Berkeley, va ser un dels pioners en el camp dels models geomètrics digitals.

——

Per cert, la Esther Giménez-Salinas explica que, al món, hi ha una proporció mitjana de només 10 dones per cada 100 delinqüents (la proporció de dones empresonades a Catalunya és un 7,61% del total). Diu que cal que analitzem en positiu aquesta resistència de la dona a la violència i al delicte.

Les divisions i l’actitud renaixentista

dimecres, 7/05/2014

Leonardo.jpg El desinterès per les matemàtiques pot venir, en molts casos, com a conseqüència directa de dificultats a l’hora d’haver de fer divisions. Ho diu l’Steven Strogatz en el seu blog del New York Times. Comptar, sumar i multiplicar no és difícil. Però dividir té la seva gràcia perquè el resultat de la divisió entre dos enters en general no és un enter. La divisió va requerir inventar un nou tipus de nombres: els nombres racionals o fraccions (com 2/7 o 5/13). Justament, la paraula racional es deriva del fet que són una ràtio entre dos nombres enters. Un dels problemes inherents a la divisió és que hi ha moltes maneres de descriure una determinada part d’un tot. Si dividim un pastís pel mig, podem dir que cada tros és la meitat del pastís. També podem dir que és 1/2 pastís, amb una fracció o nombre racional que indica que estem parlant d’una de les dues parts iguals en què l’hem dividit. Però cada un d’aquests trossos és també el 50% del total, i fins i tot podem dir que és 0,5 del pastís. Tenim quatre maneres diferents de dir el mateix, i això fa que sigui un embolic. Steven Strogatz comenta també una escena de la pel·lícula “El meu peu esquerre. Quan una de les germanes de Christy pregunta quin és el 25% de un quart, el seu pare diu: “aquesta és una pregunta estúpida, oi? què és això del 25% d’un quart? No pots tenir un quart d’un quart!”. Christy, amb paràlisi cerebral, intenta dibuixar “1/16″ al terra amb el seu peu esquerre, però no se’n surt. La resposta del pare de Christy, negant la solució del problema, és una bona mostra de l’aversió que molta gent té cap a les matemàtiques i de l’actitud dels qui, de joves, no van entendre bé el concepte de divisió. Quan la guineu no les pot haver, diu que són verdes. Strogatz pensa que les divisions són el lloc en el que molts estudiants s’estimben en el mur de les matemàtiques. No són les integrals, les matrius o les derivades. Són les divisions de tota la vida.

Fa pocs dies vam poder llegir un dossier especial en defensa de l’ensenyament de les humanitats. Diversos experts argumentaven que les humanitats forneixen les eines intel·lectuals adequades per a que els estudiants es puguin adaptar millor a un context laboral incert i canviant com l’actual, en què els coneixements pràctics queden ràpidament desfasats. Deien que l’estudi de les humanitats ajuda a formar ciutadans amb pensament crític. Hi estic totalment d’acord. Hem de defensar l’ensenyament de les humanitats. Però he de confessar que el dossier em va deixar una mica sorprès i que em va fer pensar. El fet és que els nostres joves tampoc saben ciències, i que molts d’ells rebutgen els coneixements matemàtics. Hi ha estudis que demostren que molta gent té problemes quan ha de fer simples divisions. Però, si no saben ni humanitats ni ciències, què és el que aprenen els nostres joves? He de dir que no ho tinc clar. Tampoc saben tecnologia. Són hàbils en l’ús dels nous ginys, però no saben cóm funcionen. Què aprenen? Hem de defensar només les humanitats?

Daniel Gamper, en el mateix dossier, deia que no es tracta de contraposar humanisme i ciència, perquè no són excloents. Gamper deia que cal una concepció més renaixentista del saber. M’agrada aquesta idea. De fet, moltes de les afirmacions que es poden llegir en el dossier s’apliquen també directament a les ciències. És ben conegut que l’estudi de les matemàtiques i de les ciències ajuda a formar ciutadans amb pensament crític perquè, com explica Jorge Wagensberg, és impossible tenir judici crític en l’actual entorn científic-tècnic si l’ignorem.

Un estudi fet per Annamaria Lusardi i Olivia Mitchell explica el grau d’ignorància aritmètica de la gent de diferents països. Lusardi i Mitchell van fer una enquesta amb tres preguntes. La primera deia: si tenim 100 euros en un compte d’estalvi amb un interès del 2% anual, quants diners tindrem en el compte al cap de cinc anys, si durant aquests anys no hem fet cap operació? (les possibles respostes eren: més de 102 euros, exactament 102 euros, menys de 102 euros, no sé). La segona pregunta deia: si l’interès dels nostres estalvis és del 1% i la taxa d’inflació és del 2% anual, al cap d’un any, què podrem comprar amb aquests estalvis? (les possibles respostes en aquest cas eren: més del que podria comprar avui, el mateix, podrem comprar menys, no sé). I la tercera preguntava què era més segur, si comprar accions d’una sola empresa o comprar accions d’un fons que inverteix en diverses empreses. L’estudi es va fer amb gent de 7 paisos. És interessant llegir l’anàlisi que van fer de les respostes per països, tenint en compte que les respostes correctes eren “més de 102 euros”, “podrem comprar menys”, i “és més segur comprar accions d’un fons”. Als Estats Units, només el 30% dels enquestats van encertar totes les respostes. A Itàlia les van encertar el 25% dels enquestats, i a Rusia, el 4%. La conclusió d’Annamaria Lusardi i Olivia Mitchell és que el grau d’ignorància financera és molt alt i preocupant. Diuen que és fonamental lluitar contra l’analfabetisme financer si volem defensar-nos i no ser enganyats. Ara bé, l’analfabetisme financer és de fet un analfabetisme matemàtic, és la dificultat per aplicar correctament les operacions aritmètiques que són necessàries per a resoldre les preguntes de la seva enquesta. El problema, un cop més, són les divisions.

El rebuig que tenim a les ciències i a les matemàtiques facilita que ens enganyin. Els diaris i les webs són plens de dades, alguns cops fins i tot errònies, que només podem interpretar bé si ens les prenem com un exercici mental i ens posem a fer divisions i a calcular proporcions. Dividir dades desemmascara molts discursos. Proveu d’analitzar els pressupostos públics, siguin del vostre Ajuntament, de la Generalitat, de l’Estat Espanyol o d’Europa. Podem comparar les partides any a any i veurem que, amb l’excepció d’Europa, totes van baixant. Ens diran que no es pot fer res, que cal estrènyer-se el cinturó. Però l’evolució de les proporcions de cada partida respecte del total ens diu una altra cosa. Ens diu, per exemple, que cada vegada paguem més pels interessos del deute mentre els nostres polítics van rebaixant el tros de pastís destinat a les polítiques socials, a l’educació i a la recerca. Les decisions polítiques es llegeixen en les proporcions en que reparteixen el pastís del pressupost. El pastís s’encongeix, és cert. Però el problema és cóm es fan els talls i qui s’emporta els més grossos.

Fa poc llegíem que el 68,7% de la població es reparteix el 3% de la riquesa mundial mentre que el 0,7% té el 41% d’aquesta riquesa. Sabríeu cóm deduir, a partir d’aquestes dades, que la relació entre el que té una de les persones més riques del món i el que té un dels més pobres és més gran que 1341? (vegeu nota al final). També llegíem que la cerca de la caixa negra de l’avió que sembla que va caure a l’oceà Indic s’estava fent en una zona de 600 quilòmetres quadrats. Sabeu imaginar-vos la mida d’aquesta zona?

Tal vegada, si Leonardo da Vinci aixequés el cap, ens demanaria que fóssim una mica més renaixentistes i que treballéssim per a millorar l’ensenyament de totes les matèries que ajuden a formar el pensament crític: humanitats, ciències i matemàtiques.

Per cert, en Jorge Wagensberg diu que si no hagués estat per les crisis, tots seriem encara bacteris.

_________________________________________

NOTA: Per a calcular la resposta a la primera pregunta, podem fer un senzill càlcul proporcional i dir que de cada 1000 persones, 687 tenen 3 unitats de riquesa mentre que les 7 més riques tenen 41 unitats de riquesa. Fixeu-vos que és el mateix que ens deien, però suprimint decimals i tants per cent. Per tant, la riquesa d’una persona que es trobi en la mitjana del grup dels més pobres és de 3/687. De la mateixa manera, la riquesa d’una persona en la mitjana del grup de les més riques és de 41/7. La relació entre la riquesa d’una i altra és el resultat de la divisió (41/7)/(3/687), que és el mateix que multiplicar 41 per 687 i dividir el resultat per 21. Si ho feu, veureu que el resultat és 1341,28. La relació entre el que té una de les persones més riques del món i el que té un dels més pobres ha de ser més gran que 1341, perquè la riquesa de la primera és més gran que la mitjana de les del seu grup, i la de la segona serà més petita que la mitjana del grup dels més pobres. La segona pregunta es pot resoldre amb càlcul mental. Només cal trobar dos nombres que multiplicats donin el valor de la superfície que ens diuen. En el nostre cas, veiem que el producte de 20 per 30 és 600. Per tant estem parlant d’una zona de 20 per 30 quilòmetres, que ara ja és fàcil d’imaginar. Si ens parlessin de 600 hectàrees, caldria fer el mateix però amb la diferència que ara el resultat, 20 per 30, ens ve donat en hectòmetres. Eliminem un zero a cada una de les dues dimensions, i obtenim que es tracta d’una zona de 2 per 3 quilòmetres.

Un darrer comentari. Els nombres 41/7 i 3/687 són racionals, però hi ha molts nombres, com per exemple el 0,12122122212222…, que són irracionals i no es poden escriure com fraccions. En aquest exemple, primer hem escrit un “2” entre dos “1” successius, després n’hi hem posat dos, després tres, i aixi successivament. Sabem segur que el nombre no és racional perquè, per construcció, a la seva expressió decimal no hi ha cap període que es repeteixi. Ens pot semblar que els nombres irracionals són estranys, i que n’hi ha pocs, però no és cert. Els rars són els racionals. Quasi tots els nombres reals, els decimals, són irracionals. De fet, i com ens diu l’Steven Strogatz, les rares i exòtiques són les fraccions.

Distàncies, camins i carreteres

dimecres, 9/04/2014

Camins_Girona_Bisbal.jpg Hi ha preguntes més difícils de contestar del que sembla. Si us demanen quin és el millor camí per anar d’un lloc a un altre, podeu contestar de moltes maneres, perquè el significat de la paraula “millor” no és gens clar. En termes matemàtics o físics, podem dir que aquesta és una pregunta mal formulada.

Si pensem que “millor” vol dir mínima distància, llavors la solució ja sembla més clara. La geometria ens diu que el camí de mínima distància entre dos punts és la recta que els uneix. Però tal vegada, això no és el que més ens interessa. Segurament estem pensant en un camí senzill i fàcil de fer. Els humans, com els animals, tendim a prioritzar els camins amb menys pendent i que requereixin menys despesa energètica. Els nostres camins solen ser d’energia mínima. També hi pot haver qui digui que “millor” és sinònim de “més ràpid”, perquè el que vol és arribar ben aviat. La solució en aquest cas, serà un camí de temps mínim. Fins i tot podem pensar en el punt de vista de les administracions, que es proposen construir bones carreteres amb costos limitats, i parlar de camins de mínim cost constructiu. De fet, si ho pensem bé, la cosa és més complicada perquè en alguns casos encara hem de concretar més. El camí de mínima distància entre dos punts de la Terra només el podrem recórrer si fem un túnel perfectament recte que, en el cas de dues ciutats separades 50 quilòmetres, passarà en el seu punt mig a una profunditat de 50 metres. És clar que no és una idea massa factible. Tal vegada és millor que parlem del camí de distància geodèsica mínima, que és el camí de distància mínima d’entre tots els possibles camins que van per la superfície de la Terra. El camí de distància geodèsica mínima és força recte, però s’adapta al terreny i al seu relleu. D’altra banda, el camí de mínima despesa energètica tampoc és únic. Cal precisar el nostre mitjà de locomoció. Els camins de mínima despesa energètica són diferents si volem caminar de si pensem anar en bicicleta o de si volem fer-ho en cotxe. Tot són diferents formulacions del problema de trobar el millor camí per anar d’un lloc a un altre, i tots porten a solucions diferents. Tenim el camí de distància mínima, el de distància geodèsica mínima, el de mínima energia a peu, el de mínima energia en bicicleta, el de mínima energia en cotxe, el de temps mínim (també hauríem de distingir entre anar a peu, en bicicleta o en cotxe) i el de mínim cost constructiu. I podríem pensar-ne més. Tot depèn de la interpretació que donem a la paraula “millor”. Cada formulació porta a un problema diferent amb una solució específica.

El llenguatge científic ens ajuda a concretar. Hi ha problemes mal definits, com el de trobar el millor camí per anar d’un lloc a un altre. Els problemes passen a ser concrets i resolubles quan es formalitzen i es plantegen en llenguatge matemàtic. Tenim eines per a calcular mínims de de manera clara i no ambigua, però abans hem de poder formular el problema i escriure l’equació de la funció matemàtica que volem minimitzar. Aquest exercici de formalització és ben curiós, perquè és també un mecanisme que ens ajuda a entendre el problema. Ens posem davant d’un full de paper, i habitualment, al principi, no sabem què escriure. Llavors ens adonem que en realitat no sabíem què volíem resoldre. Li donem voltes i més voltes, i finalment ho veiem clar. Podem escriure les equacions del problema i a més, l’entenem. L’hem formalitzat.

Val a dir que, en el cas dels camins i carreteres, la formulació dels problemes sovint barreja diversos factors. Podem plantejar-nos de trobar, per exemple, el camí més curt d’entre tots els que impliquen una despesa energètica total no més gran que un determinat valor prefixat per quilòmetre (en un cas concret, per exemple el dels cotxes) . Podem també fer-ho al revès i veure quin és el camí de mínima despesa energètica d’entre tots els que no són més llargs que el doble de la llargada del camí de mínima distància. I trobarem una solució diferent. En tot cas, aquests són problemes d’optimització amb restriccions, ben coneguts en matemàtiques i informàtica. I la cosa es pot complicar encara més si també demanem que la carretera passi per determinades poblacions del camí…

La imatge de dalt mostra tres solucions al problema de trobar el millor camí entre Girona i la Bisbal d’Empordà, basades en diferents formulacions. La carretera C-66, marcada amb cercles grocs, és la solució “construïda”. Veureu que fa una volta notable per evitar el massís de les Gavarres. La solució en blau de la part de dalt és el camí optimitzat per a gent que ho vol fer corrent, segons aquesta web interactiva. La web ens dona el mapa del camí i el perfil amb les pujades i baixades, que podeu veure al mig de la imatge. I la solució en blau de la part de sota és el camí de distància mínima. La distància per carretera és de 29 quilòmetres, la del camí optimitzat per a córrer és de 26,44 quilòmetres, i la distància en línia recta (que només podrem fer en helicòpter) és de 18,7 quilòmetres, quasi la meitat del camí que cal fer si anem per carretera. Però si mesurem la distància en temps i anem en cotxe, és clar que el millor camí és la C-66. Si volem arribar aviat, millor en cotxe i per carretera.

Els carrers pavimentats de la ciutat d’Ur són de l’any 4000 abans de crist, i el camí Reial Persa es va iniciar l’any 500 abans de Crist. Però el salt qualitatiu el van donar els romans. Les 29 grans calçades romanes, en un ambiciós projecte que va començar l’any 312 abans de Crist, van acabar tenint una longitud total de 78 mil quilòmetres. No és impressionant?  Per cert, sabeu cóm decidien quin era el millor camí, els romans?  Habitualment ho feien d’una manera ben senzilla: seguien els camins ja existents, els camins de les tribus nòmades que portaven els ramats d’un lloc a un altre. I abans de les tribus nòmades, els camins ja havien estat marcats pels animals salvatges. Els ramaders no van fer més que seguir les petjades dels animals, i els romans van seguir les dels ramaders nòmades. Tot plegat no va ser res més que una versió lenta i biològica del que avui en dia hem batejat com algorismes genètics d’optimització. Els camins i les vies romanes són els que són perquè les altres opcions eren menys eficients i no van tenir èxit.

Els romans van ser grans experts en la construcció de vies i carreteres. Publius Papinius Statius a “Vía Domitiana i d’altres autors expliquen que calia talar els arbres, excavar la terra fins la roca (statumen), reomplir primer amb pedres per al drenatge i després amb grava i materials adequats (rudus, nucleus), piconar amb una petita inclinació cap a les cunetes per al drenatge de la pluja, i finalment col·locar lloses de pedra (summum dorsum) o grava piconada, a més de grans pedres allargades que es posaven alineades a cada costat i que feien de vorada entre la calçada i les cunetes. Tot això desprès que els topògrafs o “mensors”  haguessin decidit el recorregut en base a inspeccions de reconeixement, tenint en compte camins ja existents i assegurant pendents de menys del 8%. Moltes vies romanes han durat 2000 anys i encara les podem gaudir i caminar. Si no en tenim més és perquè hem utilitzat els seus recorreguts i les hem amagat sota les nostres carreteres. No hi ha dubte que els romans van ser realment bons en trobar els millors camins per anar als diferents llocs.

Per cert, en Ramon Folch diu que les energies convencionals tenen un esplèndid present i un pèssim futur i que en canvi, les energies de font renovable tenen un present pobre i un futur capital. Un futur a vint o trenta anys vista, no pas més llunyà, potser més proper. Diu que necessitem accions de govern lúcides i administració decent. N’anem curts.

Les edats cúbiques

dimecres, 6/11/2013

Edats_Cubiques_Mandarines.jpg Els aniversaris també poden tenir una flaire matemàtica i geomètrica. Sabeu que hi ha edats que són unidimensionals, d’altres que són bidimensionals i que algunes són volumètriques?

Hi ha un joc que podeu fer el dia de l’aniversari dels vostres fills o amics. Encara que ben pensat, i per a que no us diguin que sou una mica friquis, tal vegada és millor que el feu al cap d’uns dies… Es tracta d’intentar construir figures geomètriques amb un nombre d’objectes igual al de l’edat que estem celebrant. Ho podeu fer amb daus, peces de fruita o fins i tot amb glaçons. Fareu fileres, circumferències o corbes més o menys creatives. Però no sempre podreu posar-los en forma de polígons o de figures a l’espai.

Només hi ha tres edats cúbiques: els vuit, els vint-i-set i els seixanta quatre anys. A la imatge podeu veure el primer cas. La prova de que els vuit anys és una edat cúbica és que podem disposar vuit mandarines de manera que formin un cub de dues per dues per dues. Com que 27 és 3 al cub, als joves que fan vint-i-set anys els podeu regalar 27 bombons posats de manera que omplin un cub de 3 per 3 per 3, i és clar que els 64 anys formen un cub de costat 4. Però ja no trobem cap més edat cúbica fins els 125 anys, que difícilment celebrareu si no sou tortugues.

Hi ha edats rectangulars, com els 35 anys, i edats quadrades com els 25. Amb 35 daus podem fer un rectangle de 5 per 7, però és fàcil veure que amb aquests daus no podem construir cap poliedre tridimensional. Els 25 i els 35 anys són edats planes, bidimensionals. Algunes edats són encara més simples. Als 23 anys, no podeu fer altra cosa que posar els daus en fila perquè no queden bé de cap altra manera. Els 23 anys són unidimensionals, com els 37 o els 59 anys. En canvi, els 60 anys són polièdrics i en concret paral·lelepipèdics: podem construir una caixa de 4 per 5 mandarines de base amb tres pisos d’alçada.

En les edats triangulars, si el dia del nostre aniversari anem a comprar tantes mandarines con anys complim, després les podrem deixar damunt la taula en forma de triangle regular i equilàter. El 3 és evidentment un nombre triangular, i és fàcil veure que hi ha un bon nombre d’edats que compleixen aquesta propietat de ser triangulars. Ho són els 6 anys, i també els 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78 i 91, i no segueixo perquè poca gent arriba als 105 anys. Cada triangle es forma a partir de l’anterior tot afegint tantes mandarines com justament té aquesta base més una. I podreu comprovar fàcilment que tota edat triangular és a més rectangular.

Finalment, tenim algunes edats que són piramidals. Ens deixen construir piràmides regulars amb diferents nivells com la que teniu a la imatge de dalt, piràmides en les que cada nivell és un dels triangles equilàters que ara tot just comentàvem. Formen tetraedres, sòlids Platònics com els cubs. Però les edats piramidals són més escasses que les triangulars. Les úniques edats piramidals o tetraèdriques són els 4 anys, així com els 10, 20, 35, 56 i 84 anys.

Galileo Galilei ja va dir que el llibre de la naturalesa i de l’Univers que veiem davant els nostres ulls no es pot entendre si primer no aprenem la seva llengua i aprenem a conèixer els caràcters en els que és escrit. Galileo deia que l’Univers està escrit en llengua matemàtica, i que les seves característiques són els triangles, cercles i d’altres figures geomètriques sense les quals és impossible entendre’l: sense això, deia, tot és un endinsar-se vanament en un fosc laberint.

El fet que un nombre sigui unidimensional, rectangular, cúbic o tetraèdric no té massa misteri perquè tot plegat es deriva de la seva descomposició en factors primers. Euclides ja va demostrar que existeixen infinits nombres primers, i que tots els altres nombres són productes d’aquests primers. El teorema fonamental de l’aritmètica estableix que qualsevol enter positiu superior a 1 pot representar-se sempre com producte de nombres primers, i que aquesta factorització és única. En aquest context, és clar que que els nombres primers no permeten fer ni rectangles ni poliedres, i que els nombres que només tenen dos factors primers són bidimensionals i “plans”. Per poder generar volums i poliedres, cal evidentment que els nombres tinguin tres factors primers o més. Per cert, sabríeu establir la relació que hi ha entre els nombres triangulars i els nombres quadrats? I la que també hi ha entre els tetraèdrics i els cúbics? Cada nombre triangular té un “nombre germà” que és quadrat, de la mateixa manera que cada nombre tetraèdric té un germà cúbic.

Les converses entre matemàtics són estranyes. En el seu llibre “Apologia d’un matemàtic”, Godfrey Hardy explica una anècdota del dia que va anar a visitar el seu amic i deixeble Ramanujan quan aquest estava malalt. Srinivasa Ramanujan va ser un dels grans matemàtics de principis del segle XX, ben conegut pels seus descobriments en el camp de la teoria dels nombres. Per parlar d’alguna cosa, aquell dia Hardy va comentar que havia arribat en el taxi número 1729, però que aparentment aquest nombre no tenia res d’especial. Ramanujan va replicar immediatament que això no era pas cert, perquè el 1729 era un nombre molt interessant: de fet, el 1729 era (i és) el nombre més petit que es pot representar com a suma de dos cubs de dues maneres diferents. Des d’aquell dia, als nombres que es poden expressar de dues maneres com a suma de dos cubs, se’ls anomena nombres del taxi, “taxicab numbers“. Ramanujan era amic de tots els nombres i de tots ells en podia dir anècdotes. Va morir massa jove i tot i així, va deixar un gran llegat. De fet, quan li van preguntar a Godfrey Hardy sobre quina creia que havia estat la seva contribució més important al món les matemàtiques, va contestar que sens dubte, el descobriment de Ramanujan. L’havia descobert i portat a Cambridge, on van poder treballar en nombrosos problemes matemàtics.

Quants anys teniu? La vostra edat, és unidimensional, bidimensional o tridimensional? L’encant de tot plegat és que la flexibilitat geomètrica dels nombres és conseqüència directa de la seves propietats pel que fa a la factorització. I això és quelcom d’intrínsec als nombres, és el llenguatge i la poesia de l’Univers. Si comptem fins a dotze i anem agafant cada cop un còdol, al final podrem disposar-los en dos pisos de tres per dos. Ho podem fer nosaltres, i ho pot fer qualsevol ésser intel·ligent en els llocs més recòndits de les galàxies. Els nombres primers i els factors primers són el llenguatge bàsic i comú de la vida intel·ligent, es trobi on es trobi. En paraules de Javier Sampedro, el fet sorprenent i quasi irracional de les matemàtiques és la seva eficàcia per a descriure els mecanismes de l’Univers, per a capturar la seva harmonia i essència i per a preveure el seu futur. Qui diu que la matemàtica no és poesia?

Per cert, Moisès Broggi deia que hem d’estar contents d’haver nascut i viscut després de Mozart.

Les matemàtiques i la irracionalitat

dimecres, 26/06/2013

CargolNautilus.jpg Els pitagòrics van ser molt bons matemàtics. Algunes de les seves demostracions ens són útils encara ara. Estaven tan segurs dels seus descobriments, que es van passar. Defensaven que el món era “harmonia i nombres” i que tot s’ordenava segons proporcions. Totes les mesures, enteres, es relacionaven entre sí segons fraccions que indicaven els seus valors relatius. Van crear un gran mite que ho explicava tot. Però van acabar ensopegant amb una figura geomètrica tan senzilla com és el quadrat. El mite pitagòric es va desintegrar davant dels quadrats. El mateix raonament que els havia permès construir el seu mite, els va fer veure que era fals. La seva racionalitat els va portar al descobriment de fets irracionals, que ningú va entendre ni va poder explicar fins 2000 anys després.

De fet, Pitàgores és un dels noms grecs més coneguts, sobretot gràcies al “seu” teorema.  Però en sabem molt poc, d’ell. Sabem que va viure entre el 582 i el 496 abans de Crist. Tot i haver nascut a Samos, va marxar al sud d’Itàlia, a Crotona (en la regió anomenada Magna Grècia) on va fundar una escola, una societat secreta amb bases matemàtiques i filosòfiques i amb regles molt estrictes de conducta. Els pitagòrics eren vegetarians, seguien estranys ritus i tenien una moral basada en l’estudi i en el desig de saviesa. Els descobriments no es podien atribuir a cap membre concret de l’escola, eren simplement considerats troballes de l’escola, de la secta. El seu lema era que tot eren nombres: pensaven que l’estructura de l’univers era aritmètica i geomètrica. Els pitagòrics (terme amb el que els anomenava Aristòtil) van descobrir l’harmonia i la teoria musical, van introduir els pesos i mesures i van defensar que la Terra era esfèrica. Però estaven tan capficats amb les seves teories que van acabar creant el seu propi mite. Barrejaven el coneixement científic rigorós amb idees místiques i supersticioses populars molt antigues, vinculades a la màgia numèrica.

Els pitagòrics van descobrir que els sons musicals harmoniosos en instruments de corda corresponien a longituds de la corda en proporcions senzilles. De fet i segons una llegenda, Pitàgores va elaborar la seva teoria musical quan va escoltar els sons dels martells de diferents mides (i pesos) dels ferrers. Les consonàncies bàsiques de la música eren tres: l’harmonia que passa d’una octava a la següent amb la fracció 1/2, la cinquena (quan la relació entre freqüències és 2/3), i la quarta, quan aquesta relació és de 3/4. Tot es podia mesurar amb nombres i amb fraccions.

Els pitagòrics definien els nombres triangulars com els que podíem obtenir tot col·locant monedes en forma de triangle. Si poseu tres monedes en línia damunt d’una taula, afegiu una segona fila amb dues monedes encaixades i finalment en poseu una dalt de tot, obtindreu un triangle equilàter de sis monedes. Si comenceu amb quatre monedes, el triangle tindrà 4+3+2+1=10 monedes, i si comenceu amb cinc, el triangle tindrà 5+4+3+2+1=15 monedes. Els nombres 6, 10 i 15 són nombres pitagòrics triangulars. De fet, el 10 representava l’harmonia pitagòrica i s’anomenava “tetraktys” o dècada. Una harmonia que no era el simple resultat de comptar els dits de les mans, sinó que es destilava d’un procés d’abstracció matemàtica. I a més dels nombres triangulars, tenien els nombres quadrats: si enlloc de fer triangles amb monedes feu quadrats, obtindreu els nombres quadrats perfectes: 4, 9, 16, 25, 36, etc.

L’anomenat teorema de Pitàgores procedeix dels babilonis, però probablement el seu nom ve de del fet que sembla que els pitagòrics van ser els primers a donar-ne una demostració senzilla i geomètrica. Com és ben conegut, el teorema diu que en tot triangle rectangle, la suma dels quadrats de les longituds dels dos catets és igual al quadrat de la longitud de la hipotenusa. Els triplets pitagòrics són valors enters que fan que els triangles amb costats d’aquestes llargades siguin rectangles. El triplet pitagòric més conegut és el 3, 4, 5.

El símbol de l’escola pitagòrica era l’estrella de cinc puntes que es forma quan es dibuixen totes les diagonals d’un pentàgon regular. És clar, per tant, que sabien com construir pentàgons regulars. Segons Simone Weil, el pensament pitagòric és el gran misteri de la civilització grega, perquè el trobem per totes bandes. Impregna gairebé tota la poesia, la filosofia – sobretot Plató, que Aristòtil veia com un pur pitagòric -, la música, l’arquitectura, l’escultura, l’aritmètica, la geometria, l’astronomia, la mecànica, la biologia… Però malgrat tot, en sabem molt poc: a més del secretisme de la secta, s’han perdut tots els seus escrits i només en sabem per referències indirectes.

Pensem ara en la seqüència dels quadrats perfectes: 1, 4, 9, 16, 25, 36, etc. Existeix algun quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte? Fixeu-vos que no és el cas del 9, perquè 18 no és un quadrat perfecte. Tampoc és el cas del 25, perquè el 49 ho és, però el 50 no.

Els pitagòrics van demostrar que la resposta és negativa, i ho van fer ara fa més de 2500 anys. Van veure que no existeix cap quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte. La demostració pitagòrica, molt senzilla, ens ha arribat gràcies a Aristòtil (vegeu nota al final). Va ser un resultat terrible, que els pitagòrics no van poder entendre. Volia dir que la diagonal dels quadrats era incommensurable. És fàcil d’imaginar la seva perplexitat. Imaginem qualsevol unitat de mesura (un centímetre, un pam, un metre) i suposem que construïm un quadrat tal que el seu costat mesura A unitats, on A és un enter: si A=100, estarem fent un quadrat de 100 x 100. Doncs bé, segons el seu propi teorema de Pitàgores i dient H a la longitud de la diagonal del quadrat, el doble del quadrat de A ha de ser igual al quadrat de H. Però com que ja havien demostrat que no existeix cap quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte, és clar que la longitud de H no pot ser entera, i per tant la relació entre A i H no pot ser una fracció. I el mateix passa si la longitud de A és fraccionària (vegeu nota al final). En un simple quadrat, la diagonal no es pot mesurar. Els pitagòrics es van topar amb el concepte de magnituds incommensurables. Segons el mateix Euclides, a la seva proposició 8, “Si dues magnituds no guarden entre si la raó que un nombre guarda amb un nombre, les magnituds són incommensurables”. Els pitagòrics van veure que no hi havia cap manera d’expressar el valor de la longitud de la diagonal d’un simple quadrat. Cap operació aritmètica ni cap fracció podia donar el seu valor, en funció de la longitud A del costat.

Va ser la seva gran contradicció. Els pitagòrics van crear un mite i ells mateixos van descobrir que l’havien de destruir. Van creure que tot es podia explicar amb enters i fraccions, i que el nombre era l’essència de totes les coses. Però tot raonant, van veure que això era fals. La situació va ser realment dramàtica. Tan dramàtica, que van decidir mantenir en secret la demostració. Era difícil acceptar que havien demostrat la falsedat del seu propi mite. Havien trobat un resultat estrany, irracional. Per això, els nombres que mesuren magnituds com la diagonal d’un quadrat o la superfície d’un cercle que no es poden expressar com fraccions, se’ls anomena nombres irracionals. Les matemàtiques dels irracionals van nàixer de la perplexitat dels pitagòrics.

Va caldre esperar fins Newton i Leibnitz per entendre el què passava. Ningú ho va saber entendre fins fa poc més de 300 anys. Isaac Newton i Gottfried Wilhelm von Leibniz van inventar el càlcul infinitesimal i van descobrir que, per estudiar els valors infinitament petits, les fraccions no eren suficients. Van estudiar l’anomenada recta real. Imagineu que pintem una línia recta, marquem els punts que són a distància 1, 2, … del seu origen i després hi anem marcant els punts corresponent a totes les possibles fraccions: punts a distància 1/2, 2/3, 3/4, etc de l’origen. És impossible fer-ho perquè no acabaríem mai, però si fos possible, veuríem que al final quedarien molts més forats que llocs marcats. Quedarien tots els forats corresponents a nombres irracionals, a valors que no es poden expressar com fraccions o proporcions. La longitud de la diagonal d’un quadrat és el producte de la mesura del costat per l’arrel quadrada de 2, i les arrels quadrades de 2, de 3, de 5 i de molts altres nombres són nombres irracionals: els nombres de Leibnitz i Newton, els nombres que no podem escriure com fraccions sinó que els hem de calcular com a límits de successions.

A més de moltes arrels quadrades, el nombre “pi” i el nombre “e” són irracionals. També ho és la raó àuria o proporció divina, que impregna la natura. La raó àuria, de valor 1,618033… és la meitat de la suma de 1 més l’arrel de 5. Com que l’arrel de 5 és irracional, la raó àuria també ho és. La natura és plena de proporcions àuries: els pètals de les flors, els nervis de les fulles, les espirals logarítmiques dels cargols “nautilus”. Tots són magnituds irracionals, són “excepcions” a la racionalitat pitagòrica.

Nota: Els quadrats perfectes són els quadrats dels nombres naturals 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. En d’altres paraules, són els nombres que tenen arrel quadrada entera. El que van demostrar els pitagòrics és que és impossible trobar una parella d’enters A, B tals que 2*A*A sigui igual que B*B. Ho van fer per reducció a l’absurd: suposem que sí que hem trobat aquesta parella de valors A i B. En aquest cas, els dos enters 2*A*A i B*B són iguals. Calculem la seva descomposició en factors primers, que és ben conegut que és única (per exemple, si 2*A*A=50, els factors primers són 2,5,5 perquè el resultat del producte de tots tres és 50). Però en aquest resultat, el nombre de factors “2” serà sempre senar perquè afegim un “2” als factors de A*A i en qualsevol quadrat, els factors primers hi són en nombre parell. Per tant, el nombre de factors “2” en B*B ha de ser senar. I això és absurd, perquè sabem que B*B és un quadrat perfecte. Aquest absurd és el que els va enderrocar el seu mite.

Un darrer comentari, sobre la diagonal dels quadrats. Si el costat A fos fraccionari, per exemple amb un valor igual a 100 i 3/4, només cal amplificar el quadrat 4 vegades (4 és el valor del denominador) i l’haurem convertit en un quadrat de costat enter amb A=403, que ens porta al cas anterior que ja hem considerat.

Flors enmig de la crisi

dissabte, 2/03/2013

El diari d’ahir ens va obsequiar amb una d’aquestes rares noticies que són com una flor enmig de la grisor i del desencant. Va ser tema del dia del diari Ara: Matemàtics de la UB, la UAB, la UPC i el Centre de Recerca han signat un conveni i han creat la Barcelona Graduate School of Mathematics, la BGSMath.

La creació de la BGSMath ha aconseguit unir tota la massa critica que té Catalunya en l’àrea de les matemàtiques. Quan veiem una cosa que es fa bé, quedem sorpresos. És simptomàtic que ens sorprengui, no? En el món universitari, estem més aviat acostumats a la bogeria de voler fer-ho tot a tot arreu. L’habitual és voler tenir el màxim de titulacions, de grau i de màster, a totes i cada una de les Universitats (i si pot ser a la nostra ciutat, millor que millor). Encara que al final acabem tenint molts pocs estudiants a moltes d’elles.

Un dels objectius de la BGSMath és el d’unir recursos per captar bons estudiants estrangers, oferint una oferta interuniversitària d’excel·lència, i agrupant el millor de cada universitat. Segons el director del Centre de Recerca Matemàtica (CRM) i catedràtic de la UAB Joaquim Bruna, la idea és racionalitzar millor l’oferta d’una manera coordinada, sumar esforços i sobretot guanyar visibilitat internacional.

Ara se’ns diu que els alumnes que volen especialitzar-se a través de màsters, doctorat i recerca lògicament han d’anar a fer-ho a les Universitats de referencia en la seva àrea de treball. Llegim també que es vol traslladar la formula a altres àrees de coneixement i avançar en l’especialització i en l’oferta de màsters i doctorats d’excel·lència. És clar que cal fer-ho així. Molts ho dèiem des de fa temps. En tot cas, diuen que més val tard que mai, oi?  És esperançador veure que algunes vegades ens animem a fer allò que diuen els anglosaxons: “never waste a good crisis” (no desaprofitis mai una bona crisi).

La creació de la BGSMath ens mostra que és possible anar junts, aprofitant i racionalitzant recursos i millorant la qualitat. És molt millor tenir una única “Escola de Graduats” a Barcelona que agrupi els millors professors de cada una de les Universitats, que no pas tenir màsters a cada Centre de cada Universitat (màsters que ben segur que no podrien pas tenir tan bons professors). És molt millor agrupar-se i vendre la “marca Barcelona” com a valor afegit a l’hora de captar bons estudiants que no pas malviure amb molts màsters precaris que bàsicament s’acabarien nodrint d’estudiants locals. En el món global, els nostres màsters i doctorats comencen a treure el cap i a tenir vocació global. I una de les primeres, ha estat l’àrea de les matemàtiques. Fantàstic!

EL PIB, les desigualtats i les matemàtiques

dimecres, 17/10/2012

Gini.png Darrerament, hi ha paraules que no parem d’escoltar: crisi, dèficit, deute, el producte interior brut (PIB), i moltes d’altres de semblants.

Malauradament, la informació molts cops ens arriba massa simplificada. I altres conceptes, també importants, no són tan coneguts. Sabeu què és el coeficient de Gini?

El coeficient de Gini és una mesura de la desigualtat, de les diferències entre els ingressos de la gent. És una mesura que utilitza la ONU, com podeu veure a la imatge i a l’informe de desenvolupament humà. És una mesura de la dispersió dels ingressos, la renda o la riquesa.

L’Estadística (que com sabem és una part de les matemàtiques) ens dona eines i mesures per entendre el comportament de les variables aleatòries. La mitjana és la més coneguda i és la que apareix a moltes noticies. Però és una mesura més aviat pobra, que aporta poca informació, com després veurem. En estadística, diem que la mitjana és un moment de primer ordre. És lineal. En altres paraules, per calcular-la només cal fer sumes i una divisió al final. Les mesures de dispersió (per exemple, la variància) són moments de segon ordre que requereixen fer multiplicacions, i ja no són lineals. De fet, hi ha també moments d’ordres més elevats, que cada cop expliquen més i més els comportaments estadístics.

Quan parlem de mesures com el PIB o la renda mitjana per persona, estem parlant d’això, d’una mitjana, sense dir res de la dispersió de les dades. És com l’acudit dels pollastres. Si tenim cinc persones i quinze pollastres, la mitjana és sempre de tres pollastres per persona, sigui quin sigui el repartiment. La mitjana és de tres tan si tothom té tres pollastres com si una de les persones té tots els 15 pollastres i les altres quatre no en tenen cap. I també ho és si el primer té un pollastre, el segon en té 2, el tercer 3, el quart quatre i el cinquè en té 5. Però les mesures de dispersió, de desigualtat, no són pas les mateixes (vegeu nota al final). Ens fan veure que hi ha situacions més injustes que altres. Quan una única persona té tots els pollastres, tenim la màxima desigualtat possible i el coeficient de Gini és 1. Quan tothom en té 3, no hi ha dispersió i el coeficient de Gini és 0. En el tercer exemple, és fàcil comprovar que el coeficient de Gini val 0.66, tot indicant que la desigualtat té un valor intermedi. La situació d’un país s’explica molt millor si, a més del PIB o de la renda mitjana per persona, podem tenir dades de les corresponents mesures de desigualtat o dispersió. El valor del PIB ens dona una imatge simplista i molts cops optimista. En canvi, la parella de valors PIB + dispersió ens fa comprendre la situació i ens fa paleses moltes injustícies.

El coeficient de Gini ens permet passar dels grisos als colors. Perquè la distribució de riquesa a una determinada societat té punts de semblança amb el color i la llum, encara que pugui semblar estrany. Són dos conceptes complexes. Per tal d’entendre bé l’estructura de la llum, cal estudiar i analitzar el seu espectre (que podem mesurar amb els espectròmetres). L’espectre de la llum ens diu quants fotons tenim, per a cada una de les possibles longituds d’ona. L’espectre de la llum és molt ric en informació. En molts cassos, massa ric. Però si volem simplificar i ens plantegem d’explicar-lo amb un sol valor, ben segur que usarem el seu valor mitjà, tot perdent informació molt significativa sobre la llum. En l’espectre de la llum, la mitjana només mesura si és clar o fosc: desapareix el color i només hi veiem en tons de gris, en blanc i negre. Els nostres ulls, però, perceben la mitjana i la dispersió, a l’espectre. La mitjana és la lluminositat (clar o fosc). La dispersió és el color. Percebem el color gràcies a que podem captar la diversitat de l’espectre lumínic. Però aquest concepte d’espectre el podem aplicar també als països i a les societats. L’espectre, en aquest cas, seria una visió fina on tenim tota la informació i on podem saber la renda de cada una de les persones (hem canviat fotons per persones i intensitat lumínica per renda). Si simplifiquem i ho resumim tot en un sol valor, el PIB o la renda mitjana per persona, serà com si veiéssim el món en tons de gris. El coeficient de Gini, la mesura de dispersió o desigualtat, és la que ens permet tenir més informació i percebre els colors i matisos de la societat i de la seva estructura.

En Joseph Stiglitz (premi Nobel d’economia 2001) és expert en desigualtat i defensor de l’ús del coeficient de Gini. Ens deia, fa tan sols un mes, que l’actual sistema augmenta constantment les desigualtats i va reduint la igualtat d’oportunitats. Diu que hi ha dues maneres d’arribar a ser ric: creant riquesa, o traient-la als demés. La primera, afegeix alguna cosa a la societat. La segona, resta i destrueix. Està demostrat que les societats amb un coeficient de Gini massa elevat són inestables i no sostenibles. És el que ha passat molts anys a Amèrica Llatina. Fixeu-vos quins són els països amb desigualtats més grans, al mapa de la imatge.

Les dades per Catalunya són força significatives. La renda mitjana per persona es va incrementar entre els anys 2004 i 2008, passant de 9064 a 10755 euros. Després, entre 2008 i 2010 (darrer any amb dades de Idescat) s’ha mantingut quasi estable, amb valors entre 10755 i 10605. Aquests valors mitjans no semblen pas preocupants. Ens indiquen que, en mitjana, vam créixer fins l’any 2008 i que després s’ha produït un estancament. Però Idescat ens dona també el valor de l’index de Gini pels mateixos anys. Podem veure que aquest index no ha parat de créixer, tant a Catalunya com a Espanya. A Catalunya hem passat de 0.292 a 0.317, i a Espanya, de 0.307 a 0.339 (tot això, entre 2004 i 2010; encara no hi ha dades del 2011). La crisi no ha pas baixat la riquesa, sinó que ha incrementat les desigualtats i la pobresa, com també comenta en Josep Ramoneda. Hi ha els mateixos diners, la mateixa renda, però cada cop més mal repartida. La renda total, el que cobrem tots els catalans, és el producte de la renda mitjana pel nombre de persones, i hem vist que es manté. Podríem dir, parlant en termes de física, que es conserva el total de la massa monetària. Però és el coeficient de Gini el que ens fa notar que la crisi serveix per enriquir els uns i empobrir els altres. Cada cop hi ha menys gent amb pollastres.

Nota: Una mesura clàssica de dispersió, segons l’estadística, és la variància. La variància és el valor mitjà dels quadrats de les diferències entre cada una de les dades i la mitjana de totes elles. En canvi, per a calcular el coeficient de Gini (que com ja hem dit és la mesura habitual de desigualtat en els ingressos), és bo representar gràficament la corba de Lorenz del grup social que estem estudiant. La corba de Lorenz ens permet representar els ingressos totals del sector més pobre de la societat. Per exemple, si el 30% de gent amb menys ingressos rep en total el 15% de la renda, les coordenades (0.3, 0.15) corresponen a un punt de la corba de Lorenz. El coeficient de Gini mesura l’àrea entre la recta a 45 graus i la corba de Lorenz (també es pot calcular amb una senzilla fórmula a partir de les dades ordenades). D’altra banda, es pot demostrar que, si els logaritmes dels ingressos de les persones segueixen una llei normal de probabilitat, el coeficient de Gini es calcula fàcilment a partir de la desviació estàndard d’aquesta llei normal.

Per què la lluna no té sempre la mateixa forma?

dilluns, 2/07/2012

LlunaQuartCreixent2.jpg Sembla una pregunta senzilla: perquè només en veiem la part il·luminada pel sol, i perquè la posició relativa entre el sol i la lluna va canviant al llarg de tot el cicle lunar de 29 dies.

Fa uns 2300 anys, a Alexandria, Aristarc de Samos va pensar el mateix. Però va anar més enllà, i com a bon científic, va veure i va saber interpretar el que tothom tenia davant dels seus ulls però no comprenia. Aristarc es va situar mentalment a la lluna, en el moment del quart creixent. Si des de la terra veiem exactament la meitat de la lluna il·luminada i la meitat no, és que estem mirant “de costat”. És el mateix que quan fem una foto a una persona. Si el sol és baix (per exemple, a punt de pondre’s) i fem la foto amb el sol de costat, a la foto veurem mitja cara rebent la llum del sol i mitja cara a l’ombra. El raonament d’Aristarc va ser impecable. Va començar pensant que a l’espai, la terra, la lluna i el sol formaven un triangle. En el moment del quart creixent, la lluna té el sol de costat. Per tant, el triangle terra-lluna-sol en aquest moment ha de ser rectangle. En altres paraules, l’angle (mesurat des de la lluna i en el moment del quart creixent) entre el sol i la terra, ha de ser de noranta graus. És admirable, no? Simplement mirant la lluna des de la terra, Aristarc va deduir l’angle que hauria vist si hagués anat a la lluna!

Aristarc  va ser probablement el primer en continuar el raonament i deduir que el sol era molt més lluny que la lluna. Ho va fer connectant idees, barrejant la seva abstracció del triangle rectangle lluna-terra-sol amb les eines de càlcul geomètric i trigonomètric que existien llavors. Simplement, i des d’Alexandria, va mesurar l’angle entre la lluna i el sol en el moment del quart creixent i amb això va poder saber el valor dels tres angles del triangle rectangle lluna-terra-sol. Va concloure que el sol era unes 18 vegades més lluny que la lluna.

No sabem si aquesta deducció la va fer Aristarc per primer cop, o si es va inspirar en texts i treballs d’astrònoms anteriors. En sabem molt poc, dels avenços i dels descobriments dels antics. Però el que sí és clar és que fa 2300 anys ja hi havia qui sabia com calcular distàncies relatives entre la terra, la lluna i el sol.

L’únic problema que va tenir Aristarc va ser un problema de mesura. Els seus instruments eren precaris, i es va equivocar quan va mesurar l’angle entre la lluna i el sol. Si intenteu repetir el seu experiment (ho haureu de fer al matí, que és quan, a la fase de quart creixent, podem veure simultàniament la lluna i el sol al cel), comprovareu que l’angle entre la lluna i el sol és quasi de noranta graus. De fet, és de 89 graus i 51 minuts. La seva mesura, en canvi, va ser d’uns 87 graus. El seu raonament va ser totalment correcte, però no va poder mesurar millor l’angle. Ara sabem que un error de quasi tres graus en un triangle rectangle tant allargat produeix errors molt grans en el resultat. De fet, el sol és bastant més lluny: uns 400 cops més lluny que la lluna.

Aristarc de Samos va defensar la teoria heliocèntrica, però no li van fer cas. Les teories geocèntriques, amb la terra al bell mig de l’univers, dominaven en el camp de l’astronomia. Van haver de passar quasi 1800 anys fins que Copèrnic ens va demostrar que no érem al centre de l’univers.

El llibre d’Aristarc, “Sobre els tamanys i les distàncies del sol i de la lluna”, traduit al llatí per Commandino l’any 1572, el teniu també en versió castellana. I aqui tenim una de les pàgines del llibre de Commandino. En notació traduida directament del grec, A representa el sol, B la terra i C la lluna:

DiagramaAristarcSamos.jpg