Entrades amb l'etiqueta ‘nombres irracionals’

La mida de l’univers

dijous, 6/12/2018

Fem un joc: ens tapen els ulls i ens porten a un lloc tancat. Tot i seguir amb els ulls tapats, sabrem contestar si som en una habitació petita o en una catedral. Com és que, sense veure res, podem percebre de manera aproximada la mida del lloc on som?

La resposta són les ones de ressonància. Perquè, com bé ens explica la física, la forma i la mida de les estances i cavitats determina el tipus de freqüències de les ones que hi poden ressonar. La ressonància, que és la causa de la reverberació i l’eco, fa que siguem capaços de percebre la mida, de manera inconscient, a partir de sons quasi imperceptibles que arriben a les nostres orelles.

Tot plegat tampoc és res de nou. Ho saben bé els fabricants de violoncels i altres instruments de corda quan fan les caixes de ressonància per a modular i amplificar els seus sons. I és una idea que desenvolupa en Marcus du Sautoy quan es pregunta si l’univers és finit o infinit, i si això és quelcom que els humans podran arribar a saber alguna vegada, o no. No són preguntes fàcils. En John Barrow, per exemple, ens fa caure de cop del pedestal de la vanitat quan ens diu que en el camp de la cosmologia la majoria de preguntes no tenen resposta, que hem refrenar aquesta estranya fe que tenim en el poder de la ciència per a coneixer-ho tot, i que no poder respondre algunes preguntes és simplement un fet copernicà perquè l’univers no està fet a la nostra conveniència. Ens hem d’acostumar a la incertesa, a no saber, i a intentar entendre per què no podem saber.

De fet, i tornant a la pregunta sobre la mida de l’univers, tenim tres grans possibilitats. L’univers tal vegada és finit i per tant mesurable, però també pot ser infinit, i en aquest cas hi haurà coses que mai sabrem. I encara hi ha una tercera possibilitat: pot ser que sigui finit i il·limitat (en una versió 3D de la superfície de la Terra, en la que, si caminem recte, mai trobarem el final però tornarem a passar pel mateix lloc cada 40 mil quilòmetres). I en Marcus du Sautoy ens explica que, si és finit, és possible que ho puguem saber si sabem escoltar les seves ressonàncies, de la mateixa manera que quan som a una catedral. Tal vegada podrem detectar coses fins i tot de la part de l’univers que és fora del nostre horitzó visible, per les empremtes dactilars que aquesta pot haver deixat a l’espai que sí podem veure (vegeu la nota al final). El gran problema, però, és la qualitat dels nostres instruments de mesura. Si no detectem res, és perquè és infinit, o és perquè no som capaços de detectar les seves ressonàncies?. Si l’univers és finit, és possible que alguna vegada ho puguem arribar a saber i que acabem coneixent la seva mida aproximada; però si és infinit, és probable que mai ho sapiguem.

I aquí arriben miraculosament les matemàtiques que, de la mà dels pitagòrics, ens expliquen que encara hi ha alguna possibilitat que, fins i tot en el cas que l’univers sigui infinit, ho puguem arribar a saber amb tècniques de reducció a l’absurd. Tot va començar ara fa més de 2500 anys. Els pitagòrics van crear un mite i ells mateixos van descobrir que l’havien de destruir. Van creure que tot es podia explicar amb enters i fraccions, i que el nombre era l’essència de totes les coses. Però tot raonant, van veure que això era fals. La mida de la diagonal d’un quadrat no és cap fracció de la mida del seu costat. La descoberta va ser realment dramàtica. Havien trobat un resultat estrany, irracional, per simple reducció a l’absurd (vegeu la nota al final). Per això, els nombres que mesuren magnituds com la diagonal d’un quadrat, que no es poden expressar com fraccions, se’ls anomena nombres irracionals. I de fet, les matemàtiques dels irracionals van néixer de la perplexitat dels pitagòrics. Doncs bé, en Marcus du Sautoy pensa que tal vegada ens pugui passar el mateix amb l’univers: si partim de la hipòtesi que l’univers és finit, pot ser que en algun moment futur els humans trobin una llei física que porti a una contradicció. En aquest cas, si les nostres lleis de la física són certes, podríem afirmar que l’univers és infinit sense necessitat d’haver-lo intentat mesurar.

En tot cas, i en relació a les mides i la complexitat, hi ha una frase d’en John Barrow que em va fer pensar: diu que entendre el cervell i les societats humanes és molt més complicat que arribar a entendre l’univers (en sentit macroscòpic).

Les matemàtiques ens ajuden a volar. Les matemàtiques fan que puguem usar els nostres cervells finits per a poder saber coses sobre l’infinit. I, quan volem, veiem més lluny i  imaginem utopies que van molt més enllà de la realitat existent, de manera que podem tenir esperança i anar fent camí des de la profunda consciència dels nostres límits. Cap un altre món basat en la justícia global, de la mà d’aquest pensament que puja des de baix. Amb el pensament que surt dels propis límits.

——

Per cert, en David Fernández ens recorda que en Jaume Botey representava la història i l’esperança del país feta des de baix. En Jaume Botey es preguntava per exemple qui té autoritat per condemnar una altra persona; deia també que l’esperança s’esdevé més viva com més morta sembla, i que se’ns fa més necessària quan totes les portes es tanquen.

——

NOTA: Si l’univers és finit, la longitud d’ona de les ones que poden ressonar-hi, és un conjunt limitat, perquè les de més gran longitud d’ona no hi poden ser-hi.

Els pitagòrics van veure que no hi havia manera d’expressar el valor de la longitud de la diagonal d’un simple quadrat. Cap operació aritmètica ni cap fracció podia donar el seu valor, en funció de la longitud del costat del quadrat. Ho van demostrar fent la hipòtesi que sí que era possible, i veient que per pura deducció s’arribava a una contradicció, a un absurd.

Les divisions i l’actitud renaixentista

dimecres, 7/05/2014

Leonardo.jpg El desinterès per les matemàtiques pot venir, en molts casos, com a conseqüència directa de dificultats a l’hora d’haver de fer divisions. Ho diu l’Steven Strogatz en el seu blog del New York Times. Comptar, sumar i multiplicar no és difícil. Però dividir té la seva gràcia perquè el resultat de la divisió entre dos enters en general no és un enter. La divisió va requerir inventar un nou tipus de nombres: els nombres racionals o fraccions (com 2/7 o 5/13). Justament, la paraula racional es deriva del fet que són una ràtio entre dos nombres enters. Un dels problemes inherents a la divisió és que hi ha moltes maneres de descriure una determinada part d’un tot. Si dividim un pastís pel mig, podem dir que cada tros és la meitat del pastís. També podem dir que és 1/2 pastís, amb una fracció o nombre racional que indica que estem parlant d’una de les dues parts iguals en què l’hem dividit. Però cada un d’aquests trossos és també el 50% del total, i fins i tot podem dir que és 0,5 del pastís. Tenim quatre maneres diferents de dir el mateix, i això fa que sigui un embolic. Steven Strogatz comenta també una escena de la pel·lícula “El meu peu esquerre. Quan una de les germanes de Christy pregunta quin és el 25% de un quart, el seu pare diu: “aquesta és una pregunta estúpida, oi? què és això del 25% d’un quart? No pots tenir un quart d’un quart!”. Christy, amb paràlisi cerebral, intenta dibuixar “1/16″ al terra amb el seu peu esquerre, però no se’n surt. La resposta del pare de Christy, negant la solució del problema, és una bona mostra de l’aversió que molta gent té cap a les matemàtiques i de l’actitud dels qui, de joves, no van entendre bé el concepte de divisió. Quan la guineu no les pot haver, diu que són verdes. Strogatz pensa que les divisions són el lloc en el que molts estudiants s’estimben en el mur de les matemàtiques. No són les integrals, les matrius o les derivades. Són les divisions de tota la vida.

Fa pocs dies vam poder llegir un dossier especial en defensa de l’ensenyament de les humanitats. Diversos experts argumentaven que les humanitats forneixen les eines intel·lectuals adequades per a que els estudiants es puguin adaptar millor a un context laboral incert i canviant com l’actual, en què els coneixements pràctics queden ràpidament desfasats. Deien que l’estudi de les humanitats ajuda a formar ciutadans amb pensament crític. Hi estic totalment d’acord. Hem de defensar l’ensenyament de les humanitats. Però he de confessar que el dossier em va deixar una mica sorprès i que em va fer pensar. El fet és que els nostres joves tampoc saben ciències, i que molts d’ells rebutgen els coneixements matemàtics. Hi ha estudis que demostren que molta gent té problemes quan ha de fer simples divisions. Però, si no saben ni humanitats ni ciències, què és el que aprenen els nostres joves? He de dir que no ho tinc clar. Tampoc saben tecnologia. Són hàbils en l’ús dels nous ginys, però no saben cóm funcionen. Què aprenen? Hem de defensar només les humanitats?

Daniel Gamper, en el mateix dossier, deia que no es tracta de contraposar humanisme i ciència, perquè no són excloents. Gamper deia que cal una concepció més renaixentista del saber. M’agrada aquesta idea. De fet, moltes de les afirmacions que es poden llegir en el dossier s’apliquen també directament a les ciències. És ben conegut que l’estudi de les matemàtiques i de les ciències ajuda a formar ciutadans amb pensament crític perquè, com explica Jorge Wagensberg, és impossible tenir judici crític en l’actual entorn científic-tècnic si l’ignorem.

Un estudi fet per Annamaria Lusardi i Olivia Mitchell explica el grau d’ignorància aritmètica de la gent de diferents països. Lusardi i Mitchell van fer una enquesta amb tres preguntes. La primera deia: si tenim 100 euros en un compte d’estalvi amb un interès del 2% anual, quants diners tindrem en el compte al cap de cinc anys, si durant aquests anys no hem fet cap operació? (les possibles respostes eren: més de 102 euros, exactament 102 euros, menys de 102 euros, no sé). La segona pregunta deia: si l’interès dels nostres estalvis és del 1% i la taxa d’inflació és del 2% anual, al cap d’un any, què podrem comprar amb aquests estalvis? (les possibles respostes en aquest cas eren: més del que podria comprar avui, el mateix, podrem comprar menys, no sé). I la tercera preguntava què era més segur, si comprar accions d’una sola empresa o comprar accions d’un fons que inverteix en diverses empreses. L’estudi es va fer amb gent de 7 paisos. És interessant llegir l’anàlisi que van fer de les respostes per països, tenint en compte que les respostes correctes eren “més de 102 euros”, “podrem comprar menys”, i “és més segur comprar accions d’un fons”. Als Estats Units, només el 30% dels enquestats van encertar totes les respostes. A Itàlia les van encertar el 25% dels enquestats, i a Rusia, el 4%. La conclusió d’Annamaria Lusardi i Olivia Mitchell és que el grau d’ignorància financera és molt alt i preocupant. Diuen que és fonamental lluitar contra l’analfabetisme financer si volem defensar-nos i no ser enganyats. Ara bé, l’analfabetisme financer és de fet un analfabetisme matemàtic, és la dificultat per aplicar correctament les operacions aritmètiques que són necessàries per a resoldre les preguntes de la seva enquesta. El problema, un cop més, són les divisions.

El rebuig que tenim a les ciències i a les matemàtiques facilita que ens enganyin. Els diaris i les webs són plens de dades, alguns cops fins i tot errònies, que només podem interpretar bé si ens les prenem com un exercici mental i ens posem a fer divisions i a calcular proporcions. Dividir dades desemmascara molts discursos. Proveu d’analitzar els pressupostos públics, siguin del vostre Ajuntament, de la Generalitat, de l’Estat Espanyol o d’Europa. Podem comparar les partides any a any i veurem que, amb l’excepció d’Europa, totes van baixant. Ens diran que no es pot fer res, que cal estrènyer-se el cinturó. Però l’evolució de les proporcions de cada partida respecte del total ens diu una altra cosa. Ens diu, per exemple, que cada vegada paguem més pels interessos del deute mentre els nostres polítics van rebaixant el tros de pastís destinat a les polítiques socials, a l’educació i a la recerca. Les decisions polítiques es llegeixen en les proporcions en que reparteixen el pastís del pressupost. El pastís s’encongeix, és cert. Però el problema és cóm es fan els talls i qui s’emporta els més grossos.

Fa poc llegíem que el 68,7% de la població es reparteix el 3% de la riquesa mundial mentre que el 0,7% té el 41% d’aquesta riquesa. Sabríeu cóm deduir, a partir d’aquestes dades, que la relació entre el que té una de les persones més riques del món i el que té un dels més pobres és més gran que 1341? (vegeu nota al final). També llegíem que la cerca de la caixa negra de l’avió que sembla que va caure a l’oceà Indic s’estava fent en una zona de 600 quilòmetres quadrats. Sabeu imaginar-vos la mida d’aquesta zona?

Tal vegada, si Leonardo da Vinci aixequés el cap, ens demanaria que fóssim una mica més renaixentistes i que treballéssim per a millorar l’ensenyament de totes les matèries que ajuden a formar el pensament crític: humanitats, ciències i matemàtiques.

Per cert, en Jorge Wagensberg diu que si no hagués estat per les crisis, tots seriem encara bacteris.

_________________________________________

NOTA: Per a calcular la resposta a la primera pregunta, podem fer un senzill càlcul proporcional i dir que de cada 1000 persones, 687 tenen 3 unitats de riquesa mentre que les 7 més riques tenen 41 unitats de riquesa. Fixeu-vos que és el mateix que ens deien, però suprimint decimals i tants per cent. Per tant, la riquesa d’una persona que es trobi en la mitjana del grup dels més pobres és de 3/687. De la mateixa manera, la riquesa d’una persona en la mitjana del grup de les més riques és de 41/7. La relació entre la riquesa d’una i altra és el resultat de la divisió (41/7)/(3/687), que és el mateix que multiplicar 41 per 687 i dividir el resultat per 21. Si ho feu, veureu que el resultat és 1341,28. La relació entre el que té una de les persones més riques del món i el que té un dels més pobres ha de ser més gran que 1341, perquè la riquesa de la primera és més gran que la mitjana de les del seu grup, i la de la segona serà més petita que la mitjana del grup dels més pobres. La segona pregunta es pot resoldre amb càlcul mental. Només cal trobar dos nombres que multiplicats donin el valor de la superfície que ens diuen. En el nostre cas, veiem que el producte de 20 per 30 és 600. Per tant estem parlant d’una zona de 20 per 30 quilòmetres, que ara ja és fàcil d’imaginar. Si ens parlessin de 600 hectàrees, caldria fer el mateix però amb la diferència que ara el resultat, 20 per 30, ens ve donat en hectòmetres. Eliminem un zero a cada una de les dues dimensions, i obtenim que es tracta d’una zona de 2 per 3 quilòmetres.

Un darrer comentari. Els nombres 41/7 i 3/687 són racionals, però hi ha molts nombres, com per exemple el 0,12122122212222…, que són irracionals i no es poden escriure com fraccions. En aquest exemple, primer hem escrit un “2” entre dos “1” successius, després n’hi hem posat dos, després tres, i aixi successivament. Sabem segur que el nombre no és racional perquè, per construcció, a la seva expressió decimal no hi ha cap període que es repeteixi. Ens pot semblar que els nombres irracionals són estranys, i que n’hi ha pocs, però no és cert. Els rars són els racionals. Quasi tots els nombres reals, els decimals, són irracionals. De fet, i com ens diu l’Steven Strogatz, les rares i exòtiques són les fraccions.