Entrades amb l'etiqueta ‘notació posicional’

El món i els números

dijous, 25/01/2018

Si us agraden els números (he de confessar que a mi m’agraden), us recomano que aneu a l’exposició que ha organitzat la Universitat de Barcelona al vestíbul de l’Edifici Històric a la plaça Universitat. Crec que es podrà visitar fins el proper 7 de febrer. El seu comissari, el catedràtic de física Javier Tejada ens recorda que la natura està escrita en llenguatge matemàtic i que, en observar-la, ens hem trobat amb els números. Per això, quan mesurem i quantifiquem, entenem més les coses.

La imatge d’aquí al costat és d’un dels cartells de l’exposició. Mostra que el comptatge en base 10 va néixer del fet de comptar amb els dits, i que les 9 xifres aràbigues que ara utilitzem, quan van ser inventades a la Índia, justament tenien entre 1 i 9 angles (que la imatge els representa com petits cercles vermells). Més tard, per representar el no-res, es va pensar en el zero, que és un grafisme sense angles. Interessant, oi?

L’exposició inclou apartats que ens expliquen la historia dels nombres, però que també quantifiquen la diversitat lingüística, les migracions dels nostres avantpassats, la física i la química, l’energia, els aliments, la biologia, el món jurídic, la demografia, i moltes coses més. Fins i tot parlen de la matèria que conforma els nostres cossos. Sabíeu que el nostre cos té uns 6.700 quadrilions d’àtoms?

Podem mesurar i quantificar el que sabem… però també el que no sabem, gràcies a l’estadística i les probabilitats. No sabem com evolucionarà una persona concreta que està malalta, però el cert és que els metges han vist molts casos semblants i han observat i anotat l’evolució de les seves malalties. En base a aquesta informació i en base a paràmetres i a indicadors que defineixen l’estat d’un determinat pacient (analítiques, exploracions, proves radiològiques i altres), els experts poden estimar amb força precisió la probabilitat que la malaltia evolucioni en un sentit o en un altre. De fet, els protocols que apliquen els centres assistencials i hospitalaris es basen en aquestes probabilitats. Són protocols que no ens poden garantir que el tractament proposat sigui el millor en cada cas concret, però sí que el que ens proposen és allò que té una probabilitat més elevada de funcionar bé. I això, en un escenari de coneixement molt limitat sobre el funcionament del cos humà, és el millor que es pot fer.

Un apartat interessant és el que planteja preguntes divertides. Sabeu que quan beveu un vas d’aigua, us esteu empassant un bon nombre de molècules d’aigua que ja es va beure en Cristòbal Colón el dia 12 d’octubre de 1492?. Aquest nombre, amb tota probabilitat, és de 1000 molècules, que va beure Colón i que ara esteu tornant a beure vosaltres. I sabeu que quan beveu alcohol, només tarda 30 segons en arribar al cervell?

Els números també quantifiquen la manca de justícia al món i mostren, amb tota la seva cruesa, el resultat de la cobdícia i vanitat humanes. L’exposició té un apartat dedicat als objectius de desenvolupament sostenible de les Nacions Unides. Explica que el 50% dels nens de tot el món viuen en zones afectades per conflictes i amb violència, i que els països amb conflictes són els que tenen un índex més elevat de pobresa. Diu que 1800 milions de persones beuen aigua contaminada amb restes fecals, i que 663 milions no disposen d’aigua potable. Que cada any llencem 3000 milions de tones d’aliments, i que la tercera part dels aliments que produïm s’acaben fent malbé o podrint. De fet, un informe del prestigiós institut SIPRI que podeu llegir aquí, cita un treball del 2015 de la Xarxa de Solucions de Desenvolupament Sostenible que justifica que, amb un pressupost públic extraordinari d’entre 760 i 885 mil milions de dòlars anuals entre els anys 2015 i 2030 (en dòlars de 2013), es podrien assolir els objectius de desenvolupament sostenible de la ONU en salut, educació, agricultura, seguretat alimentària, accés a l’energia moderna, abastament d’aigua i sanejament, infraestructures de telecomunicacions i transport, ecosistemes, resposta d’emergència i treball humanitari, incloent a més un pressupost addicional per a permetre la mitigació i l’adaptació del canvi climàtic. Pot semblar molt, però val a dir que és el 46-54% de la despesa militar mundial l’any 2015. La pregunta és si serem capaços de gastar la meitat del que destinem a tecnologia militar en aquelles coses que ens poden ajudar a sortir de la vora del precipici.

——

Per cert, el darrer informe d’Oxfam Intermón explica que l’any 2017, l’economia espanyola va aconseguir un fort creixement, del voltant del 3,2%. Però l’1% més ric va capturar el 40% de tota la riquesa creada, mentre que en el 50% més pobre a penes en va aprofitar el 7%. Oxfam constata que, malgrat les dades de creixement econòmic, Espanya segueix sent avui una societat més desigual que abans de la crisi.

Aritmètica i estètica

dijous, 4/08/2016

Un possible divertiment per l’estiu: dieu un nombre entre l’1 i el 100, i els altres han de trobar-ne una representació bonica. Guanya qui en opinió de tothom, troba la manera més estètica de representar-lo.

Ho podem fer amb cireres, cigrons o pedretes. Si ho feu, quedareu sorpresos de la quantitat de formes que podeu arribar a crear. La imatge mostra algunes de les representacions del 3, 4, 6, 7 i 10. El 3 i el 6 són nombres triangulars, el 4 és quadrat mentre que el 10 és tetraèdric, tot i que el 4 també és tetraèdric i el 10 també és triangular. La representació que veieu del 7 és particularment interessant perquè la podem veure com un hexàgon regular amb el seu centre o com un conjunt de triangles regulars. El 91, que és primer, no és triangular però és un nombre piramidal quadrat. I els nombres no primers es poden disposar sempre com a rectangles o poliedres paral·lelepipèdics amb més o menys graus de llibertat segons el nombre de factors que tinguin (tot i que és ben conegut que l’empaquetament rectangular aprofita menys l’espai que el triangular). El 29, també primer, es pot representar com dos nombres triangulars units pel vèrtex, amb 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4 i 5 cigrons a les seves files. I així, podeu anar inventant formes i formes i veure quines us agraden més. Ja fa anys, en Albert Beiler ens va explicar l’estètica dels nombres i moltes més propietats i curiositats, amb una aproximació lúdica a la teoria dels nombres.

Però també podem parlar de l’estètica del grafisme. Els xinesos i japonesos pengen poemes a la pared per gaudir no només del seu contingut sinó també de la seva grafia i composició. I el mateix passa amb els nombres. He de confessar, per exemple, que trobo més estètic el 689 que el 274, i més elegant el 202 que el 153 (reconec que tinc una certa tendència als palíndroms). Ara bé, l’escriptura dels nombres dona molt més joc del que poc semblar, si ens posem a pensar en representacions posicionals que no siguin en base 10. El problema és que tota l’aritmètica que ens ensenyen de petits es deriva del fet que tenim deu dits, i ens costa veure que hi ha bastants nombres que, en bases diferents de la decimal, tenen grafismes particularment estètics. Pensem en tres nombres primers: el 17, el 23 i el 37. No es poden descompondre en factors, no admeten disposicions rectangulars, no són triangulars ni tetraèdrics, però en determinades bases diferents de la decimal són palíndroms. El 17, en el país binari dels ordinadors, és el 10001, mentre que en país dels ànecs (amb tres “dits” al peu) el 23 s’escriu 221. I, els ànecs que compten amb els 6 dits dels dos peus, escriuen el 37 com el palíndrom 101.

Com diu en George Steiner, hauríem de celebrar la prodigiosa fortuna per la qual “un pobre animal forcat” com nosaltres ha engendrat tres llenguatges majestuosos: podem cantar i sonar música, argumentar matemàtiques i gaudir i sorprendre’ns amb el llenguatge de la poesia. Per això l’aritmètica pot ser estètica: perquè, en ser part d’un dels tres llenguatges dels humans, ens porta a l’esbalaïment i ens ajuda a construir i mantenir una vida sotmesa a la reflexió, com ja pensaven els grecs.

——
Per cert, la Judit Carrera parla de la cultura del debat de Fraenkel i diu que és més important estimar la veritat que voler guanyar una discussió. L’important, diu, és el dubte com a mètode i la convicció que som fal·libles, és a dir, que podem estar equivocats.