Entrades amb l'etiqueta ‘perpendiculars’

Els grecs i l’abstracció

divendres, 11/01/2019

Tenim una paret, com la que conté els punts A i C de la imatge. I ara, volem construir una segona paret a partir del seu punt final A, de manera tal que aquest segon tram formi angle recte amb la paret original A-C.

Si el terreny és pla, podem determinar la direcció de la segona paret amb un mètode, poc conegut, que només requereix disposar d’una corda i quatre estaques: clavem una primera estaca a A, lliguem una segona estaca al final de la corda, la tibem, i clavem aquesta nova estaca en el punt B (tot mirant que la distància de B a la paret A-C sigui menor que la llargada de la corda). Desclavem A i, mantenint l’extrem de la corda a B, anem girant i marcant al terra el cercle vermell de la imatge. Tornem a deixar A al seu lloc inicial, i a més, clavem la tercera estaca C a la intersecció entre el cercle i la paret. Finalment, mirant el punt B des de C, posem la darrera estaca D en el punt del cercle que veiem alineat amb B i C. Amb aquest algorisme d’estaca i corda, podem garantir que la direció entre A i D forma angle recte amb la paret original. Només cal anar fent paret des de A en direcció cap a D.

El que acabem de veure és una recepta pràctica (un algorisme) per a resoldre el problema, molt habitual en el camp de la construcció, de fer cantonades en angle recte. Les receptes matemàtiques per a resoldre determinats problemes no són cap novetat, però. Els egipcis i els babilonis ja en tenien fa 3.800 anys, i les feien servir en molts moments de la seva vida quotidiana que anaven des del càlcul d’impostos a la construcció de temples i ciutats passant per operacions comercials. Val a dir que coneixem la matemàtica babilònica gràcies a les més de 400 tauletes d’argila que els arqueòlegs han anat trobant des de mitjans del segle XIX. Són tauletes que donen solucions funcionals a problemes concrets, amb recursos matemàtics força sofisticats com fraccions, equacions quadràtiques i cúbiques i ternes d’enters que cumpleixen el teorema de Pitàgores. És força impressionant, si pensem que estem parlant bàsicament del periode comprès entre el 1800 a.C. i el 1600 a.C.

La civilització babilònica va acabar amb la caiguda del seu imperi, l’any 539 a.C., poc després de la mort de Tales de Milet l’any 546 a.C. I alguna cosa molt gran va passar en aquelles dècades del segle VI abans de Crist, entre la joventut de Tales (cap al 600 a.C.) i la seva mort. Perquè aquells anys, de la mà de Tales i altres pensadors que han caigut en l’oblit, els grecs van descobrir l’abstracció matemàtica i van començar a crear demostracions i teoremes. Hereus del coneixement matemàtic dels babilonis i egipcis, els grecs van fer el gran salt.

De fet, cal dir que s’ha perdut tot el que va escriure Tales de Milet (que va viure aproximadament entre el 623 a.C. i el 546 a.C.). En sabem d’ell per alguns relats d’Aristòtil així com pel llibre dels Elements d’Euclides, que cita les seves troballes en el camp de la matemàtica i de la geometría. Gràcies a Euclides sabem que fa més de 2500 anys, un dels 7 savis de Grècia, Tales, va deixar de pensar en com resoldre problemes concrets i va demostrar teoremes que, a més de resoldre problemes, ajudaven a entendre les lleis amagades de l’univers.

El que va demostrar Tales de Milet és que, donat qualsevol cercle, si considerem dos punts qualsevols diametralment oposats com poden ser els C i D de la imatge de dalt, per qualsevol altre punt A del cercle, l’angle entre A-C i A-D és recte. Ho podeu veure clarament en aquesta animació de Wikimèdia. És l’anomenat teorema de Tales, que és considerat el primer teorema de la història de la humanitat. La demostració, molt elegant, la teniu a la nota al final. Tot deriva d’una cadena d’afirmacions lògiques, cada una basada en l’anterior i que comencen en ben pocs axiomes, com bé sabem gràcies a Euclides. I acaba en un resultat absolutament general i abstracte que és cert per a tot cercle, per a tota parella de punts diametralment oposats, i per a tot altre punt A. Tres “per a tot” que ens mostren la indiscutible bellesa del descobriment de Tales. Perquè, com diuen, els teoremes formen part de les poques veritats eternes que els humans anem descobrint.

El teorema de Tales és d’una elegancia indiscutible. Només pensant i a partir d’uns quants axiomes (tal com ho va formalitzar Euclides dos segles després), va descobrir una llei que relacionava els angles rectes dels quadrats i rectangles amb la uniforme perfecció dels cercles. Podem tenir dubtes de si Euclides va atribuir a Tales alguns descobriments que tal vegada no eren seus, Però el que sí és clar és que al segle VII a.C. no hi ha proves de l’existència de raonament abstracte, i en canvi quan es van escriure els Elemants al segle III a.C., l’abstracció matemàtica estava totalment consolidada. La revolució de l’abstracció va ser obra dels grecs. El pensament matemàtic abstracte, els axiomes, les demostracions i els teoremes, són regals que ens van fer els grecs, justament (i no és casualitat) mentre anaven creant la filosofía.

Per cert, la imatge de satèlit de dalt mostra les terrasses de pedra seca de Cadaqués en el punt de coordenades (42,287682, 3,26407) pel que fa a latitud i longitud.

——

Per cert, en Joseph Stiglitz parla del “green new deal” dels EEUU, i diu que si no abordem ara els reptes que presenta el canvi climàtic, la càrrega que haurà de suportar la pròxima generació serà enorme. Diu que val més deixar una herència de deutes financers, que d’alguna manera podem gestionar, que no pas enfrontar els nostres fills a un possible desastre mediambiental impossible de gestionar. I de fet, una de les coses que alguns proposen per a tenir ingressos en el “green new deal”, és la d’encongir el complex militar-industrial reduint la despesa militar en un 50%, tancant a més les bases militars dels EUA al voltant del món i creant una nova ronda d’iniciatives de desarmament nuclear.

——

NOTA: El teorema de Tales diu que en qualsevol cercle, si tenim dos punts C i D diametralment oposats, per qualsevol altre punt A de la vora del cercle es compleix que l’angle CAD amb vèrtex A és recte (utilitzo la notació clàssica pels angles, amb tres punts on el vèrtex és el punt del mig). En altres paraules, ens diu que A-C és sempre perpendicular a A-D. Tales ho va demostrar dibuixant el segment que uneix A amb B, i analitzant els triangles ABC i ABD. El primer que va constatar és que tos dos triangles són isòsceles, perquè la longitud dels tres costats A-B, B-C i B-D és idèntica i igual al radi del cercle. Per tant, l’angle ACB és igual a l’angle CAB; l’anomenaré alfa. De la mateixa manera, l’angle BAD és igual a l’angle BDA; l’anomenaré beta. Ara, imaginem que dibuixo una recta paral·lela a C-D que passi pel punt A. Marquem-hi dos punts: C’ a la banda de C, i D’ a la banda de D. L’angle C’AC és igual al ACB, i el D’AD és igual a l’angle BDA, perquè aquesta és la propietat que compleixen les parelles d’angles alterns interns, com bé ens va explicar Euclides. Ara, només cal mirar els angles al voltant de A i veure que les 5 direccions C’-A, C-A, B-A, D-A i D’-A inclouen 4 angles que han de sumar 180 graus perquè C’-A és oposada a D’-A. Per tant, 2*alfa + 2*beta = 180. I d’aquí, Tales va concloure que l’angle CAD = alfa + beta = 90. El seu resultat va ser, és i serà vàlid per qualsevol cercle i per qualsevol posició del punt A. És general, abstracte i perpetu.

Per què tres?

dimecres, 3/01/2018

Heu jugat alguna vegada a les perpendiculars? Pintem una línia recta, al terra. Tot seguit, en pintem una segona, de tal manera que sigui perpendicular a la primera. Si la primera anava de nord a sud, la segona anirà d’est a oest. Ara, cal situar un tercer objecte, per exemple un pal d’escombra, de manera que sigui perpendicular a les dues primeres línies. Només hi ha una manera de fer-ho: posant-lo vertical, cap amunt. I el problema és que el joc, bastant trist i avorrit, s’acaba aquí. Ja no podem posar cap més pal de manera que sigui perpendicular als tres primers, perquè l’espai en què vivim i som immersos, té dimensió tres.

L’espai, a l’Univers que nosaltres percebem, té dimensió 3. És una veritat indiscutible, aquí i a les més llunyanes galàxies. Una de les conseqüències és que el joc de les perpendiculars acaba sempre a la tercera jugada. Aquest “tres” ens permet fer moltes coses, a la vegada que ens limita i evita que en puguem fer d’altres. Encara que poca gent s’ho pregunta, és el limit més indiscutible que tenim. És un dels grans misteris de la física actual. Per què tres i no quatre o cinc, per exemple? (vegeu la nota al final).

De fet, la cosa és pitjor, perquè quasi tota la nostra vida vivim en 2D, caminant i rodant per la superfície del nostre planeta o nedant i navegant per la superfície dels seus mars i oceans. Només deixem aquesta superfície quan anem amb avió o quan perforem la Terra per accedir als seus recursos minerals i als combustibles fòssils. Tant és així, que les fotografies amb la càmera en picat, mirant amunt o avall, a vegades ens semblen estranyes. Som vius gràcies a les tres dimensions de l’espai, perquè les reaccions bioquímiques de les proteïnes s’han de fer en 3D i el mateix ADN és tridimensional. Però a la vida diària preferim tocar de peus a terra. Això sí, els nostres avantpassats no van deixar mai d’admirar els ocells i, com que el nostre cervell ens pesa massa per poder volar, van lluitar i persistir fins inventar unes màquines màgiques que anomenem avions.

L’any 1884, en plena època victoriana, l’escriptor anglès Edwin Abbott Abbott va escriure la novel·la Planilàndia. A més de mostrar amb cruesa la rígida estructura jeràrquica de l’Anglaterra victoriana i les seves relacions de poder, la novel·la explica amb claredat què significa viure en 1D, en 2D, en 3D o en 4D (i més enllà). Els nostres avantpassats de fa dos-cents anys, que vivien molt més que nosaltres en 2D, no podien viatjar de Barcelona a Dinamarca sense passar per França i Alemanya, i no podien rescatar un muntanyenc accidentat fins que no s’hi acostaven a peu o a cavall. Ara que podem volar i moure’ns, podem saltar d’un país a un altre directament, i podem socórrer la gent a la muntanya amb helicòpters. També, és cert, podem bombardejar la població civil des de l’aire amb total impunitat i enviar drons per a que “eliminin selectivament” persones que no ens agraden.

Les paradoxes de les dimensions de l’espai són innombrables. Si fóssim plans i bidimensionals, no podríem tenir tub digestiu sense quedar partits en dos. Per això, els éssers unicel·lulars quasi plans no tenen tub digestiu i fagociten. Els animals que viuen a la superfície d’una piscina, si hi tirem un flotador, no podran arribar a la zona de superfície d’aigua que queda al seu interior. Nosaltres en canvi ho podem fer amb un pal, des de la tercera dimensió. Perquè allò que no és accessible en una certa dimensió, ho és si ens situem en una dimensió més elevada. El mateix argument dels animalets a la superfície de la piscina ens permet dir que, si algú tingués la facultat de moure’s en 4D, podria extreure tumors del cos de pacients sense fer-los cap tall, i podria extreure els minerals de ferro que hi al al centre de la Terra sense fer pous ni excavar (per bé o per mal).

La relació entre girs i dimensions és també interessant. Suposeu que teniu moltes lletres retallades en fusta o paper, i que les tireu damunt la taula. Totes són majúscules, i, per simplificar, suposem que només tenim lletres A, B i R. Es tracta d’agrupar totes les lletres iguals movent-les per la taula però sense aixecar-les (ho volem fer en 2D, en les dues dimensions del pla de la taula). Si ho feu, acabareu tenint 4 grups: el de les lletres A, el de les B, el de les R, i el grup R’ de les lletres R que havien caigut de cap per avall a la taula. En 2D, no hi ha manera d’agrupar les R i les R’ de manera que tinguin totes la mateixa forma: per fer-ho i acabar només amb tres grups, hem de “sortir” de les dues dimensions, capgirar les lletres de R’ a l’aire, i tornar-les a deixar a la taula. Això no passa amb les A i les B perquè són simètriques. Els objectes que, en una determinada dimensió són diferents, i que en canvi es poden fer arribar a coincidir si els girem en un espai de dimensió superior, s’anomenen enantiomorfs. Nosaltres som enantiomorfs de la nostra imatge al mirall, i la nostra mà dreta ho és de la nostra mà esquerra. Proveu de resseguir el contorn dels dits de cada mà amb un llapis en dos fulls de paper. Per a fer coincidir els dos dibuixos, haureu de girar un dels fulls de manera que el seu dibuix quedi a la part de sota.

La imatge de la Terra que veieu a dalt ens la mostra de tres maneres diferents. La B pot resultar estranya, però és tan vàlida com la A. Quan un satèl·lit fa una foto des de l’espai, en funció de la seva orientació, ens sortirà una o l’altra. Sempre veiem la A perquè al món manen els països del Nord, però la B perquè fa pensar. En canvi, C és la imatge d’un planeta inexistent, això sí, enantiomorf al nostre. Només hi podríem arribar si algú tragués la Terra uns moments del 3D i la girés en 4D. Grècia quedaria a l’oest d’Itàlia, i nosaltres més a l’est. Tot passaria a estar canviat, dreta amb esquerra, i acabaríem amb el cor a la banda dreta del nostre cos.

En tot cas, quan veig que els poderosos no entenen de límits, algunes vegades enyoro les dues dimensions. Perquè l’espai té dimensió 3, però les dimensions de la cobdícia i vanitat humanes són infinites. Si visquéssim realment en 2D i no haguéssim sabut conquerir el 3D, els militars no podrien bombardejar la gent indefensa, i no podríem extreure combustibles fòssils de sota la terra. Aniríem, això sí, en tren i vaixell. Ens hauríem de conformar amb els recursos minerals que té la superfície del nostre planeta, i segurament haguéssim desenvolupat abans molts sistemes intel·ligents per l’aprofitament de les energies solar i eòlica. I en cap cas enyoro la dimensió 4. Segur que acabaríem trobant més maneres de fer-nos mal i d’acabar amb els que no pensen com nosaltres.
———

Per cert, en Pedro Baños, coronel de l’exèrcit i expert en geopolítica, diu que les guerres, en realitat, amaguen altres interessos molt més espuris, gairebé sempre relacionats amb interessos econòmics. Explica que el problema de l’armament és que s’acaba utilitzant, i ens confirma que els membres permanents del Consell de Seguretat de l’ONU són els que més armes venen i posseeixen, al món.

———

NOTA: Després de l’Albert Einstein, sabem que cal parlar d’espai-temps, i que per tant ens trobem en un espai de dimensió 4. Ara bé, això només té efectes a escales no humanes. La nostra percepció és que espai i temps són coses ben diferents. D’altra banda, la teoria física de cordes (“string theory“) també parla d’un espai amb més dimensions. Un cop més, però, aquestes dimensions addicionals són totalment imperceptibles per nosaltres…