Entrades amb l'etiqueta ‘poliedres’

Les esferes de bastons

dissabte, 20/04/2019

Ho he de confessar. M’agraden els icosaedres. Són els sòlids platònics que millor aproximen les esferes, en ser els que més cares tenen. Plató els relacionava amb l’aigua, suau i esmunyedissa. Cada un dels seus 12 vèrtexs és idèntic als altres, formant casquets de cinc triangles equilàters. I a més, com podeu veure als dibuixos de baix de la taula de coordenades d’aquesta web, els 12 vèrtexs es poden agrupar en 3 grups de quatre, que corresponen a les cantonades de tres rectangles de proporció àuria disposats de manera perpendicular.

La imatge, que podeu trobar a aquesta web de la NASA, mostra un icosaedre dalt a l’esquerra junt amb dos sòlids derivats. A dalt al centre (i també a sota) tenim el resultat de quadruplicar el nombre inicial de cares. I dalt a la dreta, veiem el que obtenim si tornem a quadruplicar les cares. Les 20 cares inicials de l’icosaedre passen a 80 i després a 320 (vegeu la nota al final) de manera que l’icosaedre es va convertint pas a pas en una esfera. Són les meravelloses cúpules geodèsiques com les que va crear en Buckminster Fuller.

Un bon treball manual per a fer amb els nens (si tenen una mica de paciència) és construir una quasi-esfera de 80 cares, amb bastons i argolles. El primer que haureu de decidir és el radi de l’esfera final, que anomenaré R. Si voleu que serveixi com a globus per a fer una làmpada, per exemple, podeu escollir un R de 10 o 20 centímetres, però si voleu fer una cabana esfèrica haureu de pensar en un valor de R del voltant d’un metre. Necessitareu 42 argolles metàl·liques i un total de 120 bastons de fusta. Seixanta d’aquests bastons hauran de tenir un forat a cada extrem, amb una separació entre ells igual a 0,546532*R; els altres 60, una mica més llargs, els haureu de preparar amb una separació entre forats igual a c=0,618*R (vegeu la nota al final). Les argolles, com les dels clauers però més grans, han de poder agrupar fins a 6 bastons cada una, quan els enfilem pels seus forats. Un consell: comenceu construint un simple tetraedre de 12 vèrtexs i 20 cares (en el que cada una de les seves arestes estarà formada per dos bastons dels curts units amb una argolla central), i després acabeu omplint les sub-cares amb els altres 60 bastons més llargs. El resultat mereix la pena.

En Buckminster Fuller era un enamorat dels icosaedres. Bona part dels seus dissenys, com el mapa del món “Dymaxion”, es basaven en aquest poliedre regular de 20 cares. Parlava de l’harmonia dels icosaedres, i deia que la humanitat també havia d’aprendre a viure de manera harmònica i en pau, convivint i tenint cura d’aquesta “nau espacial Terra” que és tot el que tenim. Deia que per a fer-ho, calia convertir l’armament en “viviment”, en tecnologia al servei de les necessitats de totes les persones, i saber conviure amb els altres, amb els desconeguts. Llegir els seus escrits és endinsar-se en un Univers molt particular en el que la geometria Platònica i Euclidiana li il·luminava el camí a seguir per avançar cap una societat més humana i respectuosa amb la dignitat de tothom.

———

Per cert, el biòleg Mark Moffett ens parla de la sorprenent habilitat que tenim de trobar-nos còmodes entre desconeguts. Podem entrar a una cafeteria o un estadi ple de gent desconeguda sense pensar-nos-ho dues vegades, cosa que no farien els ximpanzés, o els llops. Aquesta habilitat, diu, ha permès que els éssers humans siguem ara a tot el món. A més, com a conseqüència de les exploracions a partir del segle XV i, més recentment, del turisme i les xarxes socials, ara hi ha contacte entre persones de parts ben llunyanes del planeta. Per tant, ja no podem tenir por dels forasters, diu.

———

NOTA: L’icosaedre té 12 vèrtexs, 20 cares (triangles equilàters), i 30 arestes. Si el subdividim obtenim el del mig de la imatge de dalt, que té 12+30=42 vèrtexs, 20*4=80 cares 30*2+20*3=120 arestes. La regla és molt senzilla. Si anomenem V, C i A el nombre de vèrtexs, cares i arestes del poliedre inicial, el nombre de vèrtexs de l’icosaedre subdividit és V+A perquè aquesta subdivisió es basa en afegir un nou vèrtex al mig de totes i cada una de les seves arestes i després “inflar” l’aresta fins que aquest nou vèrtex passi a trobar-se sobre l’esfera circumscrita (que de fet és la que volem anar aproximant). Això es pot veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt. El triangle marcat amb arestes en vermell, que en el icosaedre inicial era un triangle equilàter amb tres arestes, ara les té subdividides i inflades de manera que tots 6 vèrtexs (els 3 vells i els 3 nous) pertanyen a l’esfera circumscrita. A més, el nombre de cares de l’icosaedre subdividit és C*4 perquè el que cal fer, en un segon pas, és afegir tres arestes a cada cara inicial per unir els seus tres nous vèrtexs, de manera que qualsevol cara inicial en genera 4 de noves. Aquestes 4 noves cares es poden veure bé en el triangle vermell de l’icosaedre subdividit de la imatge de dalt: tres d’elles són verdes i la quarta, la del centre, és de color marró clar. Finalment, el nombre d’arestes de l’icosaedre subdividit és A*2+C*3 per tot el que acabem de veure. La mateixa regla es pot repetir una o més vegades, per anar obtenint icosaedres subdividits que cada cop siguin més semblants a una esfera. De fet, el poliedre de la dreta a la imatge de dalt, que té 80*4=320 cares, s’ha obtingut aplicant la mateixa regla de subdividir les arestes en 2 i les cares en 4 al poliedre de 80 cares del mig (tot plegat es pot complicar encara una mica més, perquè a cada pas de subdivisió, les arestes les podem dividir no en 2, sino en 3, en 4, o en més trossos; es fàcil veure que quan subdividim les arestes en 3, per exemple, cada cara passa a convertir-se en 9 sub-cares).

Algunes curiositats finals. Tots els poliedres que obtenim, fem els passos de subdivisió que fem i dividim com dividim les arestes a cada pas, compleixen la ben coneguda equació d’Euler que s’aplica a tots els poliedres topològicament equivalents a una esfera: C+V=A+2. D’altra banda, tots els nous vèrtexs tenen 6 triangles al seu voltant, mentre que els 12 vèrtexs inicials continuen tenint els 5 que ja tenien. Ho podeu veure en el poliedre de sota de la imatge de dalt, en el que els pentàgons formats pels 5 triangles que envolten cada un dels vèrtexs inicials es representen en verd. Aquesta és una propietat molt curiosa: quan repetim la subdivisió i arribem, per exemple, al poliedre de la dreta de la imatge (amb 320 cares i 42+120=162 vèrtexs), quasi tots els vèrtexs pertanyen a 6 triangles, menys 12 d’ells, que només en tenen 5. En concret, aquest poliedre té 150 vèrtexs amb 6 triangles i 12 vèrtexs amb 5. Costa de veure, perquè el nostre sistema perceptiu tendeix a confondre anells de 5 i de 6 triangles, però si us hi fixeu bé, trobareu, en aquest poliedre subdividit de 320 cares, els 12 vèrtexs de l’icosaedre inicial amb els seus pentàgons de triangles al voltant. Són a les mateixes posicions que tenien al principi, no s’han mogut.

I un darrer detall. Els triangles dels icosaedres subdividits no són equilàters, sino isòsceles (si fossin equilàters, hauríem inventat un nou sòlid platònic regular, cosa que sabem que és impossible). En el icosaedre inicial, la longitud de les arestes és a=1,051462*R, on R és el radi de l’esfera circumscrita. En canvi, en el de 80 cares del mig de la imatge de dalt, trobem arestes de dues mides. Les vermelles (em refereixo al poliedre de sota de la imatge de dalt) tenen una longitud b=0,546532*R, mentre que les tres que uneixen els nous punts i subdivideixen la cara en quatre sub-cares tenen una longitud c=0,618*R. Per tant, si volem construir una quasi-esfera de 80 cares amb 120 bastons, n’haurem de preparar 30*2=60 d’una mida b=0,546532*R i 20*3=60 de llargada c=0,618*R. Meitat i meitat. La diferència de llargades entre uns i altres és d’un 13%.

El trencaclosques del besavi

dijous, 31/01/2019

Fa pocs dies vaig anar a veure l’avi dels meus fills (li diem avi, però de fet és besavi: ja té tres besnéts). Aquest any en farà 99, i realment els porta d’allò més bé. Durant la conversa vam parlar d’actualitat, d’ètica, de política, de ciència, d’energies renovables, d’internet, dels mòbils i del problema dels qui volen fer negoci amb les nostres dades i metadades.

En un cert moment, va treure quatre peces idèntiques que a primera vista semblaven troncs de piràmide de base trapezoïdal. Em va dir: “saps fer una piràmide, amb aquestes peces?”. Les peces, totes iguals, tenien base trapezoïdal i eren simètriques en el sentit-dreta-esquerra. El primer que vaig pensar és que la piràmide final havia de ser un tetraedre, perquè teníem 4 peces i sabem que el tetraedre té 4 vèrtexs i 4 cares. Vaig estar fent proves uns minuts, i finalment (sortosament) me’n vaig sortir. Certament, era un tetraedre regular. Les quatre peces i el resultat final eren com les que teniu a la imatge de dalt, però de fusta. L’avi va continuar amb preguntes: És antic, aquest trencaclosques? Qui el va inventar? Com s’han fabricat, aquestes peces? Com es pot calcular la seva forma? El cert és que en aquell moment no vaig saber contestar tot el que em preguntava.

No he trobat informació sobre qui va inventar aquest trencaclosques i sobre si és molt antic. Però les seves preguntes em van tenir ocupat uns dies. Vaig començar a pensar. És cert que cada peça té 8 vèrtexs, i és fàcil veure que tots menys un, a la construcció final, es veuen. Els quatre vèrtexs (un de cada peça) que queden amagats, han de coincidir en un sol punt interior al tetraedre. Per simetria, aquest punt ha de ser el centroide del tetraedre regular final. Les cares del tetraedre es construeixen a partir de determinades cares de les peces, cosa que comporta un bon grapat de relacions geomètriques que van determinant la forma d’aquestes peces…

El resum de tot plegat el teniu en aquest retallable que he preparat (vegeu la nota al final si teniu ganes de saber-ne més). Si voleu jugar-hi amb els vostres fills, nebots, néts o amics i reptar-los a fer el trencaclosques, només heu d’imprimir el retallable 4 vegades, dibuixar-li “ales” a algunes arestes per poder unir les peces, retallar-lo, doblegar-lo i enganxar les seves cares fins acabar fent les quatre peces de la imatge de dalt. He de dir que és un retallable que no he trobat a cap pàgina web. No he dibuixat “ales” al retallable per a mostrar la simplicitat i simetria de la forma desplegada. I bé, quan tingueu les quatre peces, si no veieu com muntar el tetraedre, podeu llegir el darrer paràgraf de la nota al final.

He de dir que, tot cercant per internet, el que sí he trobat són dos trencaclosques més per a construir un tetraedre. Els trobareu en aquest document de la Universitat de Rice. Un d’ells té només dues peces i l’altre en té 4, que en aquest cas són piràmides de base quadrangular que provenen de la subdivisió de les dues peces idèntiques del seu primer trencaclosques. El pdf de la Universitat de Rice conté també retallables per a construir els dos exemples.

En total teniu tres retallables amb els que podreu passar una tarda divertida fent primer deu peces (4+4+2 poliedres de cartolina o paper) i fabricant després un total de tres tetraedres regulars. Si en teniu ganes i ho feu, segurament gaudireu d’una excursió que endinsa els qui la fan en indrets d’un món tridimensional força desconegut mentre ens va descobrint lleis i valors universals d’aquesta disciplina que va meravellar Plató i que es diu geometria.

M’agraden els trencaclosques polièdrics tridimensionals. I el fet de la seva estructura 3D suposa un repte afegit perquè, malauradament, la nostra capacitat d’imaginació i raonament geomètric és molt més 2D que 3D. Feu només una prova (vegeu la nota al final): intenteu imaginar les direccions en 3D de les arestes amagades de les quatre peces quan el tetraedre ja està muntat. Els trencaclosques 3D són un repte, però també una lliçó de prudència: ens baixen els fums i ens ajuden a recordar, com bons aliments de la modèstia intel·lectual, que no tot és tan fàcil.

Que puguem continuar molt temps gaudint junts de trencaclosques com aquests i parlant de molts altres temes, avi!

———

Per cert, l’Oriol Junqueras, en un article inusual, diu que hi ha dues lliçons de la física quàntica que ens poden orientar en el compromís polític. Aquestes són la modèstia intel·lectual i la prudència. Ara bé, malgrat la modèstia i la prudència, hem d’intervenir. Cal compromís, diu, per intentar millorar el món i intentar fer justícia: uns valors que ens són universals, en la mesura que són compartits per tots els humans en qualsevol lloc del món i en qualsevol moment de la nostra història com a espècie.

———

NOTA: Com bé mostra el retallable, les quatre peces són idèntiques i tenen un eix de simetria dreta-esquerra. Això fa que el tetraedre final admeti dues construccions diferents amb les mateixes peces. Una, que podríem dir que “gira en el sentit de les agulles del rellotge, és la que mostra la imatge de dalt: a qualsevol de les cares del tetraedre, si ens situem en el trapezi de mida més gran i en sortim per l’aresta més petita de les dues que són paral·leles per a visitar la peça petita i finalment anar a la peça mitjana, estarem movent-nos en el sentit de les agulles del rellotge. Ara bé, és fàcil veure que podem disposar les peces de manera que el recorregut sigui anti-horari. Només cal que, a la cara més frontal de la imatge per exemple, fem que la peça gran contingui el vèrtex inferior esquerra del tetraedre en lloc d’incloure el seu vèrtex superior.

Si suposem que la mida de les arestes del tetraedre és 1, sabem que la seva alçada és 1/3 de l’arrel de 6. És fàcil veure a més que, a la construcció final, cada una de les 4 peces queda amb 7 vèrtexs visibles i un d’amagat. Lògicament i per simetria, els 4 vèrtexs amagats (un de cada peça) coincideixen en un punt O de l’espai que justament és el centroide del tetraedre final (punt a distància 1/12*arrel(6) de la base i que es troba a la intersecció dels sis plans de simetria que passen per cada una de les arestes del tetraedre). En aquest punt O convergeixen 4 arestes, totes amagades, en direcció a cada una de les 4 cares del tetraedre, cada una d’elles paral·lela a alguna de les arestes externes del tetraedre. Ara bé, si pensem en la silueta externa del tetraedre que es forma quan el mirem en una direcció arbitrària, ens adonarem que és un quadrilàter amb quatre arestes que anomenaré a, b, c i d. I justament, a, b, c i d defineixen les direccions de les quatre arestes amagades que conflueixen al punt O. Pensem en una d’elles (la a, per exemple). Com que a pertany a dues de les 4 cares del tetraedre, només pot definir la direcció que va de O a alguna de les dues cares que no la contenen (perquè la direcció de la recta que va d’un punt O a una cara que no conté O mai pot ser una direcció de la cara). Resumint, podem escriure una taula que indica, per a cada una de les 4 arestes a, b, c i d, les dues cares del tetraedre que són candidates a ser connectades amb O amb un segment que tingui la seva direcció. Però, curiosament, moltes de les possibilitats combinatòries que dona aquesta taula són invàlides i tot plegat permet arribar a la conclusió que només hi ha 2 configuracions acceptables, que corresponen a les construccions horària i anti-horària que hem comentat abans. En resum: un tetraedre, quatre peces idèntiques i simètriques que connecten entre elles en el centroide, dues úniques maneres de construir el trencaclosques: segons les agulles del rellotge o en sentit contrari.

Amb tot el que hem dit és fàcil veure que, al retallable, la dimensió de les 5 línies horitzontals (per a construir un tetraedre final d’aresta unitat) ha de ser de 1/4, 1/4, 3/4, 1/2 i 1/4. D’altra banda, la distància en vertical entre aquestes línies (indicant amb la lletra A l’arrel de 3) ha de ser de 1/4, (1/4)*A, (1/8)*A i (1/8)*A. I és fàcil comprovar que, amb aquestes mides, a la construcció final, els vèrtexs amagats coincideixen en el centroide O. No deixa de ser curiós que les 4 peces tinguin cada una d’elles una cara perfectament quadrada que evidentment quedarà amagada en el muntatge final.

Per a fer el trencaclosques i muntar un tetraedre regular, una bona estratègia és primer agrupar les peces dues a dues, connectant-les per les seves cares quadrades per així amagar-les. Veureu que, per cada conjunt de dues peces, només hi ha dos girs al voltant de la cara quadrada comú que construeixen un tros del tetraedre final. Ara bé, cal tenir en compte, com ja hem comentat, que una d’aquestes dues configuracions ens porta al tetraedre de sentit horari, mentre que l’altra condueix a la construcció anti-horària. Per tant, hem d’assegurar-nos que un i altre conjunt de dues peces siguin coherents entre sí pel que fa a la seva configuració “horària”. Evidentment, només en aquest cas els dos conjunts de dues peces encaixaran bé entre ells i ens donaran el tetraedre que cerquem.

Els fullerens, els fàrmacs, Plató i Pitàgores

diumenge, 16/09/2012

Fullerene_C60.png Llegeixo un estudi que trobo sorprenent: sembla ser que el fullerè C-60 és un molt bon anti-oxidant. Els autors de l’estudi expliquen que, dissolt en oli i administrat en dosis moderades a ratolins de laboratori, els ha allargat (i quasi duplicat) la vida. Dic “sembla ser” perquè en ciència cal ser molt curós i sempre dubtar una mica dels resultats que llegim i que ens expliquen. Com diuen els anglosaxons, ens ho hem de prendre amb “un gra de sal”. Cal treballar, experimentar i fer encara moltes proves, però és bastant probable que, en el futur, trobem fullerens en molts medicaments. Els fullerens són anti-oxidants i uns bons fixadors d’antibiòtics, a banda de tenir aplicacions en fotodetectors, cristalls líquids o catalitzadors. Van ser descoberts l’any 1985, i el seu nom prové de Buckminster Fuller, el dissenyador enamorat dels icosaedres que va concebre la cúpula geodèsica del pavelló dels Estats Units a l’exposició universal de Montreal l’any 1967. Bucky Fuller va morir al 1983, sense haver pogut admirar la perfecció de la molècula del fullerè C-60.

El fullerè C-60 és una molècula composta per seixanta àtoms de carboni. Només carboni. La molècula del C-60 no té cap més element. És perfectament simètrica i estable, amb els àtoms disposats en dotze pentàgons regulars i vint hexàgons regulars, seguint la distribució dels vèrtexs i les cares d’un icosaedre. És una pilota de futbol de mida nanoscòpica. Es una altra de les formes estables del carboni, com els cristalls de diamant, el grafè o els nano-tubs.

Els àtoms de carboni a la molècula C-60 prenen la forma d’un icosaedre, amb els pentàgons als vèrtexs i els hexàgons a les cares de l’icosaedre. Hem redescobert els sòlids platònics (vegeu la nota al final). No us sembla bonic, que al cap de 2400 anys, tornin els sòlids platònics i es materialitzin en una molècula que tal vegada ens pot ajudar a envellir millor?

Sabíeu que els reovirus, que poden donar lloc a malalties gastrointestinals i respiratòries, també tenen forma d’icosaedre? Aqui teniu una imatge del virus RDV, el virus del nanisme de l’arrós.

La natura té una predilecció per les esferes, els sòlids platònics, i en concret pels icosaedres. Les esferes es creen quan no hi ha direccions privilegiades (en física, diríem que les forces són isòtropes). Per això els astres, els planetes i les bombolles de sabó són esfèriques. En Buckminster Fuller va veure que la millor manera d’aproximar una esfera per un poliedre amb cares planes i quasi sense direccions privilegiades, era subdividint un icosaedre. Molts algorismes actuals utilitzen la mateixa idea, i aproximen les esferes tot subdividint poliedres. Però també hem descobert que els àtoms de carboni s’agrupen en molècules d’estructura icosaèdrica.

Nota: Tots sabem que hi ha infinits polígons regulars. Però en canvi, a l’espai, només existeixen cinc poliedres regulars. Són poliedres que podem construir amb cartolina (mireu la figura aquí baix), i que tenen totes les seves cares iguals. És ben curiós, no? Tenim infinites possibilitats al pla, i només cinc a l’espai. El primer que ho va deixar en un escrit que ens ha arribat, va ser en Plató, als seus diàlegs. Però és una idea que ja es coneixia abans. Segons Proci de Constantinoble, els sòlids platònics podien haver estat descoberts per Pitàgores o pels Pitagòrics. Però, voleu saber per què només són cinc? Suposem que volem construir un poliedre regular que tingui m polígons regulars, de n costats cadascun. És fàcil veure que, en tot polígon regular, cadascun dels seus angles és de 180 – 360/n = 180*(n-2)/n graus. Però (imagineu un cop més que l’esteu construint amb cartolina), com que el poliedre ha de ser convex, a cada un dels seus vèrtexs ens ha de sobrar cartolina. En altres paraules, cal que aquest valor de l’angle d’un polígon multiplicat per m, sigui més petit que 360 graus. O sigui, cal que 180*(n-2)/n < 360. I, el que és el mateix, cal que  (m-2)*(n-2)<4. Aquesta equació només té cinc solucions, justament les que corresponen als cinc poliedres platònics:

PlatonicSolids.jpg http://www.iet.ntnu.no/~schellew/PlatonicSolids/PlatonicSolids.html