Entrades amb l'etiqueta ‘sistemes de numeració’

El 60 dels sumeris

diumenge, 11/11/2018

Com bé ens explicava fa poc en Josep M. Mulet, quasi totes les cultures van començar a comptar amb els dits. I algunes de les poques que no ho van fer així, és perquè van acabar comptant amb els dits de la mà junt amb altres parts del cos. Aquesta és la raó per la qual el sistema basat en la base 10 és tan popular a tot el món.

Curiosament, però, aquest no va ser el cas dels sumeris, una de les cultures pioneres en l’estudi de les matemàtiques i en l’abstracció de les quantitats numèriques. Al principi dels registres històrics, fa uns cinc mil anys (entre el 2900 i el 2300 A.C.), l’escriptura sumèria no tenia representació simbòlica pels nombres, i el símbol que usaven per a escriure “una ovella” era diferent del símbol per a dir “un dia”. Després, van començar a comptar en base 12. Ho feien comptant les 12 falanges dels dits d’una mà amb el polze, com veieu a la mà de la dreta a la imatge de dalt. Ho podeu provar: mentre compteu de 1 a 12, es tracta que el polze vagi tocant cada una de les falanges de la mà en l’ordre que veieu a dalt. Aquesta és la raó per la qual tenim, per exemple, dotze signes del zodíac.

Però 12 era una quantitat massa petita, i els sumeris volien comptar fins més enllà. La solució va ser ben senzilla: cada vegada que comptaven de 1 a 12, aixecaven un dit de l’altra mà i tornaven a comptar fins 12. Ho podeu veure en aquest vídeo, que és d’on he tret la imatge de dalt (que representa el 24). És clar que 12 per 5 és 60, i d’aquí va sortir el sistema sexagesimal sumeri que després van importar els babilonis i que ha arribat fins els nostres dies en les hores de 60 minuts, en els minuts de 60 segons i en els 360 graus de la circumferència. I és que, a més, el 60 té una altra gran propietat, que és la de ser el primer número que és divisible per 2, 3, 4, 5 i 6, a més de ser-ho per 10, 12, 15 i 20. Per això un quart d’hora són quinze minuts, 12 minuts són la cinquena part de l’hora, i és fàcil parlar de quants intervals de 10 minuts té una hora. Si les hores tinguessin 100 minuts, per a dir “arribo en cinc minuts”, hauríem de dir que ens falten 8,3333333 minuts per arribar…

L’Arika Okrent ens explica anècdotes interessants sobre els sistemes de numeració de diferents cultures minoritàries, i en Takasugi Shinji ha publicat una taula amb les particularitats numèriques d’un total de 69 llenguatges. Els Huli, a Papua Nova Guinea, compten en base 15, i els habitants de la illa de Frederik Hendrik Island, prop també de Nova Guinea, en el seu llenguatge Ndom treballen en base 6.

———

Per cert, la Barbara Unmussig diu que, per combatre el canvi climàtic, cal reemplaçar el model de producció d’energia basat en el mercat i centrat en els inversors amb un altre que tracti l’energia com un bé públic, orquestrant alhora un canvi cap a modes de possessió i gestió social dels subministraments d’energia. Cal emprendre un canvi cap a un nou sistema socioeconòmic tot abandonant l’obsessió en el creixement del PIB, diu.

Els invents que perduren: el sistema de numeració posicional

dimecres, 24/04/2013

Deu_Clips.jpg Aquí tenim deu clips. En què s’assemblen els clips i el nombre 10? Reconec que és una pregunta una mica estranya. La meva resposta personal és que quan escrivim el nombre “deu” amb el simbolisme “10” estem utilitzant el sistema de numeració posicional en base deu, que probablement és un dels millors invents que ha produït la humanitat. I el clip (salvant les distàncies) també és un molt bon invent, un bon disseny.

El dissenyador André Ricard Sala diu que els bons dissenys no passen mai de moda. La bellesa en el disseny és el resultat de l’encert d’un bon plantejament funcional, que fa que els seus resultats perdurin. Hem estat testimonis de molts canvis, des de mitjans del segle XX. Però les bicicletes, les tisores i d’altres ginys ben dissenyats no són pas gaire diferents dels dels nostres besavis. I els clips? Els clips van ser patentats per Johan Vaaler l’any 1899, i el mateix any William Middlebrook va patentar una màquina per a fer clips exactament amb la forma que tenen avui. Fa 114 anys. Des d’el 1899 hem vist néixer els avions, la informàtica i els mòbils, però el bon disseny dels clips no ha canviat. Els clips són una mica com el sistema de numeració posicional, són bons invents que perduren.

Tots coneixem el nostre sistema de numeració, i és clar que no us estic descobrint res de nou. Però si us en parlo és perquè jo no deixo de sorprendre’m de la seva elegància. Què passaria si continuéssim utilitzant els números romans? I si haguéssim adoptat el sistema de numeració grec, que tenia símbols específics per a cada desena i centena de manera que cada unitat (1, 2, …9), cada desena (10,20,…90), i cada centena (100, 200, … 900) es representaven amb una lletra diferent de l’alfabet? Si no haguéssim canviat de sistema de numeració, hauríem avançat bastant poc en matemàtiques i no tindríem els ordinadors que ara ens ajuden en els càlculs. I si vam poder canviar no va ser (aquest cop) gràcies als grecs, sinó gràcies als indis i als àrabs. Hem heretat el nostre sistema de numeració dels hindús, i això va ser gràcies a la difusió que en van fer els àrabs. La hipòtesi més acceptada és que la numeració posicional en base 10 va tenir el seu origen a l’Índia, entre el 400 aC i el 400 dC. De fet, entre el món islàmic aquests nombres se’ls coneix com “nombres indis” o “arqam hindiyya” (أرقام هندية). A través de l’Àndalus, el sistema aràbic i l’àbac van entrar a Europa, que encara utilitzava el sistema de numeració romà. Substituir el sistema romà no va ser pas fàcil. La primera menció a Occident apareix al Codex Vigilianus, l’any 976. El 984, Gerbert d’Orlhac va demanar a l’astrònom barceloní Sunifred Llobet la traducció d’un tractat d’astronomia en àrab, el Sententiae Astrolabii, traducció que ja va incloure el sistema de numeració hindú/aràbic. Anys després, el matemàtic italià Fibonacci va contribuir a la difusió del sistema per Europa, gràcies a la seva obra Liber Abaci que va publicar l’any 1202. Per cert, podríeu sumar CCCXIX i DCCIV en notació romana?

Com sabem, el sistema de numeració posicional en base deu pot representar qualsevol nombre, sigui gran o petit, amb només deu símbols: els símbols 1… 9 que representen els nou primers nombres naturals, i el zero. El truc rau en la posició d’aquests símbols. Un “3” al lloc de les unitats és un “3”, però un “3” al lloc de les desenes té molt més valor: són tres desenes. La posició dels símbols indica la seva importància. Quan llegim 324 sabem que estem parlant del valor 3*100+2*10+4. El bonic d’aquesta notació posicional és que assigna valor segons el lloc, i que permet fer operacions aritmètiques tot passant l’excés de les unitats a les desenes i així successivament. Els algorismes per a fer operacions aritmètiques són tan senzills que els aprenem a l’escola i que els podem programar en els nostres ordinadors. Podem representar quantitats petites com el 2, o quantitats gegants de milers de trilions com el 7001002003004005006007. Ara bé, si tot plegat ho fem en base deu i amb deu símbols és perquè tenim deu dits. Per indicar els deu clips de la foto en un sistema posicional en base vuit hauríem d’escriure “12”, perquè deu és 1*8+2 . Si volguéssim indicar els mateixos clips en base tres hauríem d’escriure “101” perquè deu és 1*(3*3)+0*3+1 . I en base 2 tindríem 1010 perquè deu és 1*(2*2*2)+0*(2*2)+1*2+0 (fixeu-vos que utilitzo els noms per indicar quantitats de manera no ambigua, però que els símbols de les xifres en cada cas tenen un significat diferent). Els ordinadors treballen en base dos, de manera idèntica i amb els mateixos algorismes aritmètics que nosaltres utilitzem quan fem operacions aritmètiques en base deu. Sabríeu sumar 1010 i 111, en base dos?  Què opineu d’aquest acudit: “només hi ha 10 tipus de persones: els que entenen el sistema posicional en base dos i els que no”? (és un acudit de matemàtics i informàtics friquis…)

Us heu preguntat alguna vegada com serà el món d’aquí a uns segles i què és el que haurà sobreviscut? Els nostres besnéts gaudiran segurament dels nostres bons dissenys i dels invents perdurables. Segur que no tindran ni cotxes ni ordinadors com els nostres. Però crec que ens podem atrevir a afirmar que utilitzaran tisores, clips i bicicletes, i que continuaran calculant amb l’actual sistema de numeració posicional.