Entrades amb l'etiqueta ‘sol’

Els dibuixos de la ciència

dijous, 25/05/2017

Diuen que la ciència és complicada. Fins i tot hi ha qui pensa que la majoria de gent odia les matemàtiques. No ho crec. Soc dels que penso, com en George Steiner, que les matemàtiques, junt amb la música i la poesia, són els tres llenguatges de l’home, i que per això pot ser recomanable aprendre’ls i gaudir-ne. Steiner diu que hauríem de celebrar la prodigiosa fortuna per la qual, un “pobre animal forcat” (que és com Shakespeare ens defineix) ha engendrat aquests tres llenguatges majestuosos, i que hauríem de contemplar orgullosos i meravellats les creacions en que conflueixen aquests tres codis.

El mite de la dificultat de la ciència i de les matemàtiques cau i es desfà en engrunes quan ens adonem que molts conceptes científics es poden explicar amb un dibuix. Res de números, res de formules. Només llapis i paper. Aquí al costat en teniu una petita mostra amb quatre dibuixos. Són d’Aristarc de Samos, de Marie-Anne Paulze, de Santiago Ramón y Cajal i d’Isaac Newton.

El dibuix de dalt, d’Aristarc de Samos (de fet es tracta d’una reproducció que podeu trobar al llibre de Eric M. Rogers) és el resultat del que va pensar només mirant el cel de nit i sense sortir del seu poble. Les seves deduccions ens han arribat gràcies a la traducció de Commandino del llibre de Pappus d’Alexandria, que ha estat recentment publicat en edició facsímil. Aristarc, després de mirar molts dies les fases de la Lluna, va concloure que la Lluna era un astre esfèric, que les fases eren el resultat de la llum que rebia del Sol, i que la Terra i el Sol també havien de ser astres esfèrics. I a més, molts segles abans que Jules Verne, va fer un viatge imaginari a la Lluna i va entendre perfectament la posició relativa dels tres astres en el moment del quart creixent (o minvant): el que va dibuixar diu que si algú fos a la Lluna en el moment just del quart creixent, veuria que angle entre la Terra i el Sol és un angle recte. Es va adonar que quan la Lluna és en quart creixent, l’angle és el mateix que ja utilitzaven per construir els temples, les cases i els carrers de les ciutats. Aristarc va entendre els astres mirant, pensant, i dibuixant. Després, va mesurar l’angle que ell veia des de la Terra entre la Lluna i el Sol, i va poder deduir, per primera vegada a la historia de la humanitat, la distància relativa a que tenim el Sol i la Lluna (amb un petit error de 2,5 graus en la mesura de l’angle, error que no desmereix gens tot el que va pensar). Tot plegat, només amb un triangle.

Marie-Anne Paulze va fer els dibuixos dels llibres del seu company i marit, l’Antoine Lavoisier. Els dibuixos del rigor dels experiments, pesant-ho tot com mostra la imatge, que podeu també trobar a l’edició facsímil del seu llibre. Són els experiments que van enterrar l’alquímia i que van obrir la porta a la química moderna, els dibuixos de la crònica de com s’ha de fer els experiments per a que siguin fiables i puguin ser reproduïts. Gràcies a Lavoisier i als dibuixos de Marie-Anne Paulze, ara entenem els processos de combustió i oxidació, sabem com es combinen els elements químics, i podem fabricar medicaments i tota mena d’objectes.

El dibuix de baix al mig, és de Santiago Ramón y Cajal i el podeu trobar en un llibre recent que han publicat als Estats Units amb alguns dels seus dibuixos. El que veieu aquí és el dibuix de les capes de neurones que tenim a la retina, que pre-processen les imatges que veiem per tan d’enviar-les al cervell ja “digerides”. Ramón y Cajal deia que dibuixar neurones és com dibuixar un bosc, i que si no fem més que dibuixar arbre rere arbre, el resultat no serà un bosc. Deia que el dibuix d’un bosc requeria entendre l’essència del bosc, més que els arbres individuals. Per això, Santiago Ramón y Cajal observava als matins amb el seu microscopi, dinava, i a la tarda dibuixava el que recordava que havia vist al matí. Interessant, oi?

Finalment, a baix a la dreta teniu una meravella incunable. És un dels dibuixos que Isaac Newton fa anotar a la primera edició del seu llibre “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, per indicar el que caldria afegir a la segona edició. Podeu veure i llegir les 1031 pàgines del llibre a l’edició digital facsímil de la Universitat de Cambridge, que és una absoluta joia. El dibuix, que ens explica el moviment parabòlic que observem quan tirem una pedra, una poma o una pilota, és el que també ens deixa entendre el moviment de la Lluna, el de la Terra i la dinàmica de tot l’Univers. El geni de Newton va quedar manifest amb la seva frase “he vist que les forces es corresponen de manera bastant aproximada” que va formular el dia que va entendre que la força que feia caure les pomes amb trajectòria parabòlica era la mateixa que mantenia la Lluna en òrbita en un constant moviment de caiguda cap a la Terra. Va entendre tota la dinàmica dels astres mirant el moviment parabòlic dels objectes que tirem, i ho va fer, també, sense sortir del seu poble.

Per cert, en Kilian Jornet diu que el que importa quan vas a la natura és sentir-te despullat davant d’ella, perquè sense grans mitjans es poden fer grans coses. Diu que no som els amos d’aquest planeta, sinó únicament una part, i que no som més importants que un arbre o que una pedra.

El Sol, aquest desconegut

dijous, 26/01/2017

Una pregunta que tal vegada podeu plantejar quan sigueu en una trobada d’amics que acceptin parlar de temes científics, és quina és la forma que descriu l’ombra de la punta d’un pal, un dia assolellat.

La resposta hauria de ser senzilla, però observareu que habitualment molta gent no l’encerta. Cada moment, la recta S que uneix la punta del pal amb la seva ombra al terra ens indica la direcció cap al Sol. Doncs bé, al llarg del dia, aquesta recta S descriu un con (una paperina, una superfície cònica) amb vèrtex a la punta P del pal (vegeu la nota al final). El fet que no en siguem conscients és degut, probablement, a que l’eix d’aquest con, que passa pel punt P, és paral·lel a l’eix de la Terra. I l’eix de la Terra té una orientació “estranya”, inclinada cap al nord i en direcció a la Polar. L’error dels nostres avantpassats i la dificultat que tenim per entendre el moviment aparent del Sol és fruit de la nostra manera provinciana de mirar i entendre el món. Creiem que caminem ben drets i eixerits, escalfats per un Sol que a l’estiu és més amunt i després més avall. Però habitem la Terra, i el nostre planeta té una única direcció singular: la del seu eix E. Som éssers que vivim torçats, inclinats en relació a l’eix E i en relació als altres. Quan els d’Igualada caminen, la seva vertical forma un angle de 48,42 graus amb l’eix de la Terra. Aquest angle és 49,28 de graus pels d’Amposta i de 62 graus pels que viuen a Tenerife. Quina és la direcció de referència, la meva o la de l’eix de la Terra?

Tot es més fàcil si acceptem que l’important, al nostre planeta, és la rotació al voltant del seu eix E, i que som nosaltres els que tenim una vertical estranya i diferent de la direcció d’aquest eix. L’astronomia, començant pel moviment del Sol, s’entén molt millor quan ens situem de manera coherent amb aquest eix singular del planeta. No és gaire difícil. Només cal construir un quadrat de cartró o fusta, fer-hi passar un eix perpendicular com el que veieu a la imatge, i ajustar la dimensió d’aquest eix per tal que l’angle entre el pla quadrat i el terra (o la taula) sigui igual a 90 menys la latitud. A Puigcerdà, aquest angle haurà de ser de 90 – 42,43 = 47,57 graus, mentre que a Amposta serà de 90 – 40,72 = 49,28 graus. Ara, si girem el conjunt fins que la part superior de l’eix s’orienti cap al nord (ho podem fer mirant la direcció de l’ombra del fil d’una plomada en el moment del migdia solar), ja ho tindrem tot preparat. Tindrem un petit laboratori solar amb un quadrat pla paral·lel a l’equador i una vareta paral·lela a l’eix E de la Terra. Imaginem que poguéssim fer tot aquest sistema a mida humana i que ens estiréssim unes hores al llarg de la vareta o gnòmon. Veuríem l’absoluta regularitat del moviment diürn del Sol. De fet, i degut a aquest moviment solar que és cònic, hem entès que els rellotges de sol són més senzills quan el gnòmon té la direcció de E i quan projecten l’ombra en una superfície disposada de manera simètrica al voltant d’aquest gnòmon.

Hi ha dos exemples evidents de rellotges de Sol amb gnòmon segons la direcció de l’eix de la Terra i superfície disposada de manera simètrica al seu voltant: els rellotges equatorials (de superfície plana) i els cilíndrics. El primer és el que teniu per exemple a la part superior esquerra de la imatge de dalt, i que podeu trobar amb més detalls en aquesta web. El Sol gira uniformement al voltant del gnòmon de manera que la direcció de l’ombra gira 360/24 = 15 graus cada hora; per tant, en un rellotge equatorial, les línies de les hores solars són radials i equidistants. Però podem fer-ho encara millor, com ho van fer els que van construir el rellotge equatorial (i molts més) a Jantar Mantar ara fa tres segles. Com que el moviment diürn del Sol genera un con, si ajustem la longitud del gnòmon i el fem curt de manera que el con intersequi el pla equatorial del rellotge, l’ombra anirà seguint cada dia un cercle perfecte. L’angle de l’ombra ens dirà l’hora mentre el seu radi ens farà de calendari. A la imatge de baix a la dreta (que podeu trobar a aquesta web) teniu la divisió del pla equatorial del rellotge de Jantar Mantar en radis horaris i en cercles que marquen el calendari. Aquí podeu trobar més dades sobre aquest rellotge i sobre tot el complex astronòmic de Jaipur.

En un rellotge equatorial tot és geomètricament simple i didàctic, perquè ens hem adaptat a l’orientació de l’eix de gir del nostre planeta. El Sol gira 15 graus cada hora, estiu i hivern (en hora solar, això sí; vegeu el comentari a la nota del final). D’altra banda, el radi dels cercles que van marcant el con solar cada dia i fan de calendari és molt fàcil de calcular (vegeu un cop més la nota al final). El 21 de juny el cercle és petit perquè el Sol és ben amunt al cel. Després, el con solar es va obrint, i els cercles es van fent més i més grans fins que el 21 de setembre, el con es fa pla i el cercle és immens, desbordant el pla del nostre rellotge. Llavors, a partir del 21 de setembre, tot canvia com per art de màgia. El Sol deixa d’il·luminar la cara superior del nostre rellotge i passa a la cara de sota, que és on es projectarà l’ombra de la part inferior del gnòmon durant la tardor i l’hivern. El con es va tancant, cada cop el radi dels cercles és més petit, i el 21 de desembre ens mostra el seu valor més petit. En d’altres paraules, veiem l’ombra a la part superior entre el 21 de març i el 21 de setembre, i en canvi la tenim a la part inferior els altres sis mesos de l’any. Tot és increïblement regular, senzill i repetitiu. És quelcom que sabien molt bé els constructors del rellotge de Jantar Mantar quan van fer les dues cares, una per la primavera-estiu i una altra per la tardor-hivern.

Podríem pensar també en rellotges esfèrics amb gnòmon segons la direcció de l’eix de la Terra, però permeteu-me que citi el cilíndric perquè conserva la simplicitat didàctica de l’equatorial a la vegada que ens dona encara més informació. La idea és ben senzilla: es tracta de recollir l’ombra del gnòmon en una superfície cilíndrica al voltant del gnòmon i per tant orientada també segons l’eix de la Terra. Aquest rellotge marca l’hora solar, és també calendari, i a més, si l’escapcem com si el talléssim amb un ganivet horitzontal (aquesta web explica com fer-ho), ens mostra el punt de l’horitzó per on sortirà el Sol i per on es posarà en qualsevol data de l’any. No és bonic?

Sempre m’he preguntat com és que pensem que podrem entendre el comportament humà i millorar la nostra societat si estem tan pendents de nosaltres mateixos i del nostre entorn proper que no pensem en quasi res més. De fet, encara que sembli estrany, el Sol ens pot ajudar: si tanquem els ulls, visualitzem la direcció de l’eix de la Terra i imaginem el nostre gir perpetu al seu voltant, ben aviat ens adonarem que la nostra pretesa verticalitat és un mite. El vertigen de pensar que caminem inclinats en un planeta que es mou com una baldufa tal vegada ens recol·loqui i ens faci veure que estem obligats a entendre’ns i a viure els uns al costat dels altres, com ens deien Kant, Fuller o Bauman.

———

Per cert, en Eduardo Martínez Abascal explica que la família mitjana a Espanya (uns 12 milions d’abonats) paga uns 45 euros al mes en electricitat. Diu que tenim el tercer preu més car dins de la Unió Europea, després de Dinamarca i Alemanya… Com deien els romans: Cui prodest?

———

NOTA: Imaginem la direcció definida per una certa recta S. Imaginem ara que aquesta direcció (que és un vector, parlant en termes geomètrics) gira al voltant d’un determinat eix E. És clar que el conjunt de direccions definides per una rotació arbitrària de S al voltant de E, que podem expressar com Rotació(S,E,alfa) per qualsevol valor de alfa, formen un con d’eix E. És el con que veurem si fem girar ràpidament un paraigua sense tela al que només li quedin les barnilles. Imaginem ara que la direcció S és invariant, però que som nosaltres els que girem al voltant de E. Com que el moviment és relatiu, el resultat també serà un con.

Això és exactament el que passa quan estudiem el moviment del Sol. Nosaltres (i tot el que ens envolta) girem al voltant de l’eix de la Terra, mentre que la direcció S de la Terra al Sol, vista per un observador inercial i extern al sistema solar, és aproximadament constant al llarg d’un dia. Per això, la recta S que uneix la punta del pal amb la seva ombra al terra descriu un con. Ara bé, de fet, i per ser precisos, hauríem de parlar d’un quasi-con, perquè és clar que l’endemà, S haurà canviat lleugerament tot girant un angle de quasi un grau (ha de girar 360 graus en 365 dies). La trajectòria del Sol, definida per la variació de la direcció S al llarg del dia, és per tant un quasi-con que no acaba de tancar perquè es va convertint en el quasi-con del dia següent. El quasi-con solar comença el màxim de tancat a cada solstici, es va obrint lentament com el full d’una immensa paperina que va aplanant-se, arriba a ser pla i geomètricament degenerat quan arriba el següent equinocci, i després torna a tancar-se lentament a l’altra banda del pla en el seu camí cap al següent solstici en un moviment harmoniós que ens fa recorda les flors de la xicoira o la calèndula (de fet i òbviament, mogudes pel Sol).

El rellotge equatorial descrit a dalt mostra l’hora solar. Pot mostrar també l’hora oficial si les línies de les hores, en comptes de marcar-les com a radis, les corbem lleugerament de manera que codifiquin l’equació del temps. Però en aquest cas caldria construir dos rellotges: un d’estiu-tardor que marcaria les hores i calendari d’estiu entre el 21 de juny i el 21 de setembre a la cara superior i el mateix per al període entre el 21 de setembre i el 21 de desembre a la cara inferior, i un altre d’hivern-primavera que serviria per l’hivern a la cara inferior i per la primavera a la seva cara superior. Això és degut a que l’equació del temps no és simètrica al llarg de l’any.

En un rellotge equatorial tot és geomètricament simple i didàctic, perquè ens hem adaptat a l’orientació del gir terrestre. El radi dels cercles que van marcant el con solar cada dia i fan de calendari és molt fàcil de calcular: només cal saber la declinació del Sol (l’angle del con solar per damunt o per sota del pla equatorial) i dividir la longitud del gnòmon que sobresurt del pla per la tangent d’aquest angle. Cal observar que la declinació solar al llarg de l’any (que podeu trobar en taules com aquesta) és la mateixa per a tots els punts del planeta.

El supersol i les il·lusions

dimecres, 7/12/2016

Aquí al costat podeu veure tres imatges de postes de Sol i dues de nits de Lluna plena (el collage l’he fet amb trossos de fotos d’aquesta i d’aquesta altra posta de Sol i d’aquesta i aquesta altra web de fotografies de la Lluna). Quina és la mida real de la Lluna? Què és això de la superlluna? Podem parlar també del supersol?

Proveu de fer un petit exercici. Es tracta de respondre de memòria, sense pensar gaire, quina creieu que és la relació entre la mida de la Lluna plena quan surt per l’horitzó i la mida d’aquesta mateixa Lluna plena quan és dalt del cel. Si m’ho pregunteu a mi, en base als meus records, jo diria que la primera és el doble que la segona. Bé, de fet dic això però sé que és fals. Si recorro a la meva experiència, penso que la Lluna és molt més gran quan surt per l’horitzó. Però també sé, basant-me en raonaments geomètrics ben simples, que la seva mida és la mateixa en els dos casos.

Fa poques setmanes hem tingut una superlluna. La mida angular de la lluna ha estat de més de 34 minuts d’arc (vegeu la nota al final) i això vol dir que l’hem vist un 14% més gran que moltes altres vegades. Però, segur que hem estat capaços de percebre aquest augment de mida del 14%?. Us puc assegurar que jo, no. Si quan la lluna és prop de l’horitzó cometo un error del 100% i penso que la seva mida és el doble, com podré apreciar un augment del menys del 15%?

Perquè veiem la Lluna (i el Sol) més gran quan és prop de l’horitzó? Doncs perquè, com diuen, la vista ens enganya. Bé, de fet no és la vista sinó el nostre cervell. Resulta que la nostra percepció de les mides i els colors és relativa a la mida (i color) dels objectes que tenim al seu costat. Quan la Lluna surt la veiem més gran perquè és prop de cases i arbres, mentre que més tard, dalt del cel, només la podem comparar amb els estels.  Ho podeu comprovar amb un experiment ben senzill: compareu la seva mida, al llarg de la nit, amb la d’un bolígraf que aguanteu amb el braç estirat. I aquí teniu una altra prova: quin dels dos cercles de color taronja és més gran? Si els mesureu, veureu que són idèntics.

I doncs, com han fet les fotos de la superlluna (o del supersol) que veiem a la imatge de dalt? El truc és ben senzill: només es tracta de tenir un bon teleobjectiu i de fer la foto des d’una distància prou gran. Com que els astres són molt i molt lluny, l’angle amb que veiem el Sol i la Lluna és constant i no depèn d’on ens posem per fer la foto. Suposem que aquest angle és de 32 minuts d’arc (vegeu la nota al final). Qualsevol calculadora científica ens diu que la tangent d’un angle de 32 minuts d’arc és 0,009309. És tot el que necessitem saber per fer fotos de superllunes i supersols. Voleu fer una foto de la Lluna plena de manera que es vegi igual de gran que un arbre de 5 metres? Doncs feu-la des de 537 metres de distància. Voleu que la Lluna es vegi de la mateixa mida que una casa de 10 metres d’amplada? En aquest cas (vegeu un cop més la nota al final) haureu de tenir un bon teleobjectiu i fer la foto des de 1074 metres de distància. I així successivament. Penseu el gran que voleu que es vegi la Lluna, i amb una simple divisió sabreu des d’on heu de fer la foto.

Mirar la Lluna quan és prop de l’horitzó és quelcom que ens connecta amb l’Univers. Jo diria que només és comparable al que sentim quan gaudim d’una posta de Sol al camp o mirant el mar en direcció propera a l’oest (vegeu la segona nota, al final). Són moments per sentir-nos part de la natura, per intuir, per entendre. N’hem de gaudir. Però també hem de saber que són il·lusions, com tantes altres coses a la vida. Perquè la bellesa sempre té una component externa (la Lluna, el Sol, els amics, els altres) i una part que hi afegim nosaltres. Les il·lusions òptiques contribueixen a la sorpresa i a l’estètica. La ciència gaudeix amb les il·lusions, però a la vegada ens recorda que no són reals i que molt del que pensem que estem veient és de fet una invenció del nostre cervell. L’actitud científica implica un especial olfacte per detectar i desemmascarar mites, i un d’ells és el de les superllunes i supersols. Gaudim-ne, però sapiguem a la vegada que aquesta majestuositat l’estem creant nosaltres. De la mateixa manera que mitifiquem els Nostres i menysvalorem els Altres.

———

Per cert, en Dusan Sidjanski, que va ser professor de José Manuel Durão Barroso, diu que el fet que aquest hagi entrat a treballar al banc d’inversions nord-americà Goldman Sachs és una taca per a Europa i per a la seva família. Diu també que no pot entendre com ha pogut destruir d’aquesta manera la seva reputació.

———

NOTA: la mida aparent del Sol és d’una mica més de mig grau. Al llarg de l’any, l’angle amb que el veiem va variant de 31′ 31″ fins 32′ 33″. En d’altres paraules, la mida angular del Sol és aproximadament la meitat del gruix del dit petit quan el mirem amb el braç estirat. Pel que fa a la Lluna, la seva mida aparent oscil·la entre 29′ 20″ i 34′ 6″. Com que les dues mides són prou semblants, a la descripció que faig més amunt he considerat que tant el Sol com la Lluna tenen una mida aparent de 32 minuts d’arc, o sigui 0,533 graus sexagesimals. Un dia de Lluna plena podeu fer la prova, i comprovareu que la seva mida és la meitat de la del dit petit de la mà quan teniu el braç estirat, independentment de si la Lluna és prop de l’horitzó o al bell mig del cel.

La Lluna i el Sol sempre es veuen aproximadament de la mateixa mida angular (32′), però els arbres i les cases no. Com que la tangent de l’angle de 32′ és 0,009309 és fàcil veure a quina distància m’he de posar d’una casa de 10 metres d’amplada per tal de veure-la amb la mateixa mida angular que la Lluna. La trigonometria ens diu que la tangent de l’angle és igual a la mida del catet oposat dividida per la mida del catet contigu. En el nostre cas, el catet oposat és l’amplada de la casa (10 metres) i el catet contigu és la distància D a la que hem de fer la foto. En altres paraules, 0,009309 = 10 / D, i per tant, D és igual a 10 / 0,009309 = 1074 metres. En general, si vull que la Lluna plena a l’horitzó es vegi de la mateixa mida que un objecte de L metres, he de fer la foto des d’una distància D = L / 0,009309 d’aquest objecte. Com més gran vulgui que surti la Lluna, més lluny m’he de posar i més bo ha de ser el teleobjectiu si vull que es vegin bé tots els detalls.

SEGONA NOTA: En Jordi Domènech té tota la raó amb el que diu en el seu comentari. No cal anar a Ciutadella per veure una posta de Sol al mar, perquè al desembre, quan som prop del solstici d’hivern, la direcció de la posta de Sol és propera al sud-oest. La conseqüència és que aquests dies, a la costa de Gavà i Castelldefels, podem veure postes de Sol al mar des del Principat. Aquí en teniu la prova: una foto que he fet avui mateix a la tarda.

 

El mite de la superlluna

dimecres, 16/07/2014

SuperLluna.jpg Fa pocs dies, vam veure aquesta foto en alguns mitjans de comunicació. És de Reuters, i el seu autor és Jon Nazca. Aquí podeu veure tant la foto com el text original. El text diu que el fenomen de la superlluna es pot veure quan la Lluna és al seu perigeu, o sigui quan es troba en el punt més proper a la Terra. El mateix text, a més de dir que el proper 10 d’agost tindrem una “extra superlluna”, explica que l’apogeu o màxima distància entre la Terra i la Lluna és de 252.657 milles mentre que el perigeu és de 222.000 milles.

Només cal fer una divisió per a veure que es tracta d’un mite, d’una explicació falsa. El mateix text ens dóna les dades. Si dividiu la distància de l’apogeu per la del perigeu, el resultat és 1,138. En d’altres paraules, hi ha una variació màxima del 13,8% entre les distàncies extremes de l’apogeu i perigeu. Fa més de 20 segles, Aristarc de Samos ja ens va explicar que la mida aparent d’un objecte depèn de distància, i de fet ho va aplicar a l’estudi del Sol i la Lluna. És allò que ens van explicar a l’escola: com que l’arc és l’angle pel radi, si creix el radi, ha de disminuir l’angle. Sabem des d’els grecs que si la distància d’un objecte varia en un 13%, la seva mida aparent variarà també en un 13%. El diàmetre aparent de la Lluna al cel és de mig grau, uns 30 minuts d’arc. És cert que aquest valor no és constant, i que la Lluna es veu més gran en el perigeu que en l’apogeu, però aquesta variació és molt petita, de l’ordre d’uns 3 minuts d’arc, i mai podrà explicar fenòmens com el de la foto de Reuters.

Però de fet podem fer més que això. Qualsevol dia de lluna plena podeu fer fotos fins i tot més espectaculars que la que veieu aquí, sense que hagi de ser una data especial amb la Lluna en perigeu. Només heu de fer algunes operacions aritmètiques. Sabem que el diàmetre aparent de la Lluna és sempre d’uns 30 minuts d’arc. En canvi, els edificis i les cases es veuen més petits a mesura que ens allunyem. Per tant, per a fer fotos com la de dalt només cal fer-les de prou lluny. Imagineu que voleu fer una foto en què el diàmetre de la Lluna sigui d’uns 20 metres, mesurats en les cases del poble. Com que 30 minuts d’arc és el mateix que 0,00873 radians (vegeu nota al final), només ens caldrà dividir l’arc per l’angle per a calcular el radi o distància. Si ho feu, veureu que la distància haurà de ser de 20/0,00873 = 2290 metres. I si volguéssiu fer una foto amb una Lluna encara més gran, us hauríeu d’allunyar encara més. Per a aconseguir un diàmetre aparent de la Lluna de 30 metres, hauríeu de preparar el trípode a 30/0,00873 = 3436 metres de les cases. Per a fer fotos de superllunes, només cal un bon teleobjectiu i una nit clara perquè, en allunyar-nos, veiem les cases cada cop més petites amb una Lluna sempre igual de gran.

El fenomen de la il·lusió de la superlluna és ben conegut. De fet, tant la Lluna com el Sol es veuen més grans quan són prop de l’horitzó que quan es troben més amunt al cel. Sabem que és una il·lusió, cosa ben fàcil de comprovar si mesurem el seu diàmetre aparent. Entre molts d’altres, Immanol Kant va parlar l’any 1781 d’aquesta il·lusió de la mida de la Lluna, a la “Crítica de la raó pura”. Kant deia que ni tan sols els astrònoms poden evitar veure la Lluna més gran quan surt que una estona més tard. Una de les explicacions més conegudes del per què d’aquest fenomen la va donar Ebbinghaus. Fixeu-vos en els dos cercles de color taronja que podeu veure en aquesta web. Encara que no ho sembli, tenen exactament la mateixa mida. Però la nostra percepció és que el que es troba envoltat de cercles petits és més gran. En el cas de la Lluna propera a l’horitzó, la veiem voltada de molts objectes llunyans i petits, però quan és al bell mig del cel, al seu voltant tot són grans espais buits. Per això la veiem més gran quan és a l’horitzó.

A més de la hipòtesi d’Ebbinghaus, hi ha qui proposa una explicació més psicològica. Segons aquest raonament, quan veiem una foto com la de dalt, el nostre cervell reacciona pensant això: “la Lluna és molt més lluny que aquelles cases, que de fet ja són molt lluny. I així i tot, sembla molt gran. Realment, ha de ser immensa!”. Però la mida de la Lluna és pràcticament la mateixa tant si és a l’horitzó com al bell mig del cel. De fet, i degut al fenomen de la refracció, fins i tot es veu una mica més petita quan és prop de l’horitzó. Ho podeu comprovar ben fàcilment si agafeu un llapis i esteneu el braç cap a la Lluna amb aquesta mesura de referència.

Hi ha una altra historia, un altre mite, que ens expliquen una i altra vegada. Hi ha qui diu que el planeta Mart, quan és prop de la Terra, es veu quasi tan gran com la Lluna. És cert que la Terra i Mart s’apropen més o menys cada dos anys (quan es diu que són en oposició), i que llavors Mart es veu més gran i brillant, però en el millor dels casos s’arriba a veure amb una mida 1/70 vegades la de la Lluna.

Quan us parlin de planetes immensos o de la superlluna, penseu en Aristarc de Samos i feu una divisió per a calcular proporcions i comprovar el que us diuen. Les divisions desmunten els mites.

 

Per cert, Pere Ortega diu que la proposta de l’ANC sobre l’exèrcit català no ha tingut en compte que a Catalunya hi ha diversos centres que treballen per una cultura de la pau. Diu també que molts catalans es poden sentir defraudats pel país que s’està dissenyant des de l’ANC.

_____
NOTA: 30 minuts d’arc és el mateix que 0,5 graus. D’altra banda, sabem que 180 graus són 3,1416 (pi) radians. Per tant, 30 minuts d’arc són 3,1416/360 = 0,00873 radians.

El viatge de l’equinocci

dimecres, 19/03/2014

Sol_Pol_Nord.jpg Aquesta setmana, concretament dijous 20 de març a les 6 de la tarda, passarem per l’equinocci de primavera.  Quasi ningú se’n donarà, tots estem molt enfeinats. Però si teniu una estona, us proposo un viatge. Als equinoccis, val la pena fer un viatge al pol nord.

Em direu que és impossible. Cal apuntar-se a una expedició, cal ser acceptat, és molt car i cal disposar de molt temps. Teniu raó, és quasi impossible. Però gràcies a la ciència, podem fer viatges imaginaris. Podem visualitzar mentalment l’experiència de ser al pol nord el dia 20 o el 21 de març, sense passar fred i sense sortir de casa nostra. No parlo de viatges virtuals, sinó d’un viatge mental. No necessitem ni mòbil ni ordinador, per aquest viatge. Sabem el que veuríem si tinguéssim sort.

Als equinoccis i al pol nord, el Sol ni surt ni es pon. Tot el dia veiem només la meitat del seu disc. El Sol va donant la volta com si surés damunt de l’horitzó, com un vaixell que navegués al nostre voltant d’est a oest. En veiem la part superior perquè l’altra meitat s’amaga sota l’horitzó. Al pol nord tot és estrany, no només el Sol. Totes les direccions són sud, i només podem parlar d’est i oest si mirem l’horitzó. Lògicament, al pol sud tot va al revés: totes les direccions són nord. De fet, enlloc del pol nord també podríem viatjar al pol sud perquè, als dos equinoccis, el fenomen és quasi idèntic en tots dos pols. El 20 o el 21 de març i al pol sud, el Sol també va donant la volta com si surés damunt l’horitzó, d’est a oest. La única diferència és on veiem l’est i on veiem l’oest, a l’horitzó. Si us he proposat d’anar al pol nord és perquè, des de casa nostra, ens és més proper. Però la imaginació ens porta on volem…

Els viatges imaginaris que ens ofereix la ciència tenen una altra avantatge. Sempre fa el temps que volem. No sé vosaltres, però a mi m’agrada que no faci gaire fred i que hi hagi pocs núvols. Malauradament, això no és pas el que passa als pols del nostre planeta. Per cert, sabíeu que les noves tecnologies han arribat als pols? Els investigadors van posar una web cam al pol nord, que durant l’any 2013 ens va mostrar imatges del que es veia allà. A la pàgina web també hi podeu veure alguns vídeos. Si us aneu connectant per mirar les imatges, veureu que al pol nord no és que faci molt bon temps. El més probable és que si hi anéssiu de veritat un dia d’equinocci, en lloc del Sol surant pel damunt de l’horitzó veuríeu un cel ben tapat i poca cosa més.

El diàmetre aparent del Sol és mig grau, 30 minuts d’arc. Aquest fenomen del Sol surant per l’horitzó mig amagat i donant tota la volta, només es pot veure als dos pols de la Terra. Només que sortim del pol nord i caminem en qualsevol direcció una distància de 27,8 quilòmetres, la nostra latitud haurà canviat 1/4 de grau i ja no serà de 90 graus sinó de 89 graus i 45 minuts. Aquest petit canvi de perspectiva fa que veiem un fenomen totalment diferent, perquè justament aquest quart de grau és la meitat del diàmetre aparent del Sol. Només a 28,7 quilòmetres del pol nord, el Sol dels equinoccis ja no navega uniformement al voltant de l’horitzó. Dona la volta, però una mica inclinat. Al migdia veiem tot el seu disc i en canvi, a mitjanit, tot just s’amaga per tornar a sortir immediatament. I què passa, al pol nord, a la primavera, qualsevol dia entre el 21 de març i el 21 de juny? Doncs que el Sol també dona tota la volta a l’horitzó, sempre a la mateixa alçada. Però aquesta alçada és més gran com més a prop siguem del solstici d’estiu. Així és com podem saber amb exactitud si som al pol nord (o al pol sud). És el que van veure els primers exploradors. Si canvia l’alçada del Sol damunt l’horitzó al llarg del dia, és que no som al pol. I és fàcil d’adonar-se’n, encara que només siguem a 20 o 30 quilòmetres del pol. La foto de dalt, que podeu trobar en aquesta pàgina web, és feta després de l’equinocci i molt a prop del pol.

Si poguéssim observar el Sol al pol nord durant sis mesos, del 21 de març i el 21 de setembre, veuríem que primer es va movent en una espiral que puja molt lentament. Cada dia dona una volta a l’horitzó. Sembla que ho hagi fet a una alçada constant, però el cert és que ha pujat lleugerament. El dia següent, la volta serà una mica més amunt. I així, dia rere dia fins assolir la seva màxima alçada, els 23,5 graus, el dia del solstici d’estiu. Durant l’estiu torna a desfer el camí i va baixant de manera imperceptible fins repetir el fenomen del 21 de març el dia del solstici de tardor. I a partir d’aquest moment, si volguéssim continuar observant el fenomen, hauríem de viatjar 20 mil quilòmetres per saltar d’un pol a l’altre. Aquesta pàgina web, per exemple, explica el moviment del Sol al pol nord al llarg de l’any.

Ja hem vist que anar al pol nord no és massa recomanable. Però si algun dia viatgeu més amunt del cercle polar àrtic, veureu el mateix fenomen del moviment en cercles que van pujant lentament en forma d’espiral. La diferència és que tant els cercles com l’espiral són inclinats. La seva inclinació és igual als graus de latitud que ens falten per arribar al pol nord. Per això, el Sol de mitjanit i el cercle complet del moviment del Sol al cel només es veuen prop del solstici d’estiu. I per això, si voleu gaudir d’un llarg estiueig amb Sol de mitjanit, us haureu de preparar bé i anar prop del pol.

Els solsticis i els equinoccis són bons moments per observar el cel. Podem gaudir de la Lluna quan és al cel i dels planetes i estels quan no ens enlluerna. Però només el moviment aparent del Sol ja dóna per molt. Quan hi pensem, podem intuir el misteri i l’admiració dels antics, podem meravellar-nos amb les construccions com Stonehenge i entendre les dificultats que van tenir Copèrnic i Galileo amb les seves teories. El moviment aparent del Sol no és evident perquè requereix una bona dosi d’imaginació espacial. És més fàcil d’entendre si claveu una barra o un pal a terra, orientat cap al nord i amb un angle respecte el terra igual a la latitud del lloc on esteu (entre 40 i 42 graus a Catalunya). Tindreu una barra paral·lela a l’eix de la terra, que podeu comprovar que a les nits apunta a l’estel Polar. Durant el dia, si us construïu una làmina de cartolina que pugueu girar al voltant de la barra per anar orientant-la cap al Sol (la làmina és ben orientada quan cap de les seves dues cares rep la llum del Sol), veureu que el moviment aparent del Sol és sempre el mateix, hivern i estiu. Haureu d’anar girant la cartolina exactament 15 graus cada hora perquè la Terra gira 15 graus cada hora al voltant del seu eix. El moviment és molt senzill si pensem en l’eix de la Terra, i per això, al pol nord tot és molt simple. Però a casa nostra no és tan fàcil perquè la nostra vertical està inclinada. Som nosaltres qui anem de canto. A la figura d’aquí a sota teniu un simulador del moviment aparent del Sol que tal vegada us pot ser útil si teniu ganes d’explicar-ho als vostres fills o néts. És un experiment-joc que fomenta la comprensió de l’espai. El que veieu dalt a l’esquerra és un simulador de fusta. El disc representa el nostre terra horitzontal, amb la direcció dels punts cardinals i amb una punxa que indica la vertical. El semicercle exterior simula el moviment del Sol; si el feu girar de 15 en 15 graus, anireu veient la posició del Sol al cel cada hora. L’únic és que, segons el mes de l’any, cal ajustar la posició del Sol en aquest semicercle. A l’equinocci de primavera o de tardor l’heu de posar al mig, al solstici d’estiu l’heu de posar dalt de tot on diu “VI”, i al solstici d’hivern l’heu de deixar a baix, on diu “XII”. La foto de dalt a l’esquerra mostra el moment de la sortida del Sol ara a l’equinocci: el Sol surt per l’Est i es pon per l’Oest. A la foto de baix a la dreta, el semicercle ha girat i ens mostra la posició del Sol a mig matí, més o menys en la direcció Sud-Est. El muntatge no sols simula el moviment aparent del Sol al llarg del dia sinó que permet estudiar i entendre perquè el Sol es pon en diferents punts molt diferents de l’horitzó a l’estiu i a l’hivern, i moltes més coses. De fet, si en teniu ganes, us podeu fer el vostre propi simulador, que veiem a la foto de dalt a la dreta. Només cal marcar i retallar una cartolina tal com veieu a la foto de baix a l’esquerra. L’angle de la línia vertical que servirà per a girar el semicercle del Sol amb la línia Nord-Sud del cercle central ha de ser l’angle de la latitud d’on sou, uns 41 graus. Els tres gomets marquen la posició del Sol als equinoccis (gomet central, a l’alçada del centre) i les seves posicions en els dos solsticis, situades en angles cap amunt i cap avall iguals a l’angle d’inclinació de la Eclíptica, d’uns 23,5 graus. Després, només cal doblegar amb compte el cercle central al voltant de la recta N-S fins que quedi perpendicular a la banda esquerra de la cartolina, i ja teniu el resultat que podeu veure dalt a la dreta. Fixeu-vos que el punt N no s’ha de moure en relació a la cartolina exterior. De fet, el millor és fixar el punt N, un cop doblegat el cercle, amb una gota de pegament i retallar una mica el disc central per a deixar un marge. Llavors, podreu anar girant el semicercle del Sol tot simulant el seu moviment al cel i entenent l’encant geomètric que ens amaguen les estacions.

Per cert, en Xavier Roig comenta la proposta de la Generalitat per a que s’alteri la llei reguladora del Parc Natural del Cap de Creus per deixar construir-hi un edifici que, ara mateix, amb l’actual llei en vigor, seria il·legal. I es pregunta: quan siguem independents, encara hi haurà xarlotades d’aquesta categoria?

 

Simul_Solar_Colage.jpg

Els grecs: un bon antídot contra la vanitat

dimecres, 17/04/2013

Antikitera.jpg L’any 1901, el pescador d’esponges Elies Stadiatos va descobrir les restes d’un naufragi no molt lluny de la costa de l’illa grega d’Anticitera, entre Citera i Creta. Va trobar àmfores, monedes, estàtues, diversos objectes, i un bloc massís i petrificat. És el que veieu a la foto. És l’anomenat mecanisme d’Anticitera (o “Antikithera“). Es troba al Museu Arqueològic Nacional d’Atenes. La nau que va naufragar era romana, i tot plegat podia ser part d’un tresor (botí) de l’illa de Rodes que portaven a Roma per a una celebració organitzada en honor de Juli Cèsar.

Ha costat més de cent anys entendre què era i per a què servia aquest bloc recobert de corals, algues i animals marins. Ara sabem que era un giny per a poder seguir el moviment dels astres. Encara que fa temps es pensava en una datació aproximada del 87 aC, d’altres recerques més recents han permès situar la seva construcció entre el 150 a.C i el 100 a.C. De fet, Marc Tuli Ciceró, en el segle I (a “La República”) parla de dues màquines que podien preveure els moviments del Sol, la Lluna i els cinc planetes coneguts en aquell moment. Ciceró diu que van ser construïts per Arquimedes i portats a Roma l’any 212 a.C. després de la mort d’Arquimedes pel general Marc Claudi Marcelus. Un dels dos artefactes va ser guardat pels descendents d’aquest general, i Ciceró el cita en una conversa imaginària en què Philus va participar l’any 129 a.C. en una mansió propietat de Publi Corneli Escipió. En aquesta conversa, Caius Sulpici Galus, que va ser cònsol amb el nebot del general Marcelus l’any 166 a.C., explicava el funcionament del giny d’Anticitera. Caius Sulpici Galus també és citat per Plini el Vell com el primer romà que va escriure un llibre sobre els eclipsis de Sol i Lluna. En tot cas, el tema és polèmic, i d’altres hipòtesis apunten l’astrònom Hiparc com el dissenyador d’aquest mecanisme.

Durant molts anys no es va saber què era, aquell bloc petrificat. Fins que fa uns 50 anys, en Derek de Solla Prize el va analitzar va quedar estorat. A la revista “Scientific American” de juny de 1959, va escriure això: “fa una mica de por pensar que just abans de la caiguda de la seva civilització, els antics grecs havien arribat tan a prop del que ara tenim en la nostra civilització, i això no només pel que fa al pensament sinó també en la seva tecnologia científica”. Després de Derek de Solla han hagut de passar cinquanta anys més. Investigadors de diversos projectes que incouen equips dels EUA, Anglaterra i Grècia han pogut desxifrar el misteri tot utilitzant tècniques d’escanejat tomogràfic d’alta resolució. La idea és senzilla: han utilitzat tècniques similars a les que empren els metges quan ens fan un escànner (TAC) per poder veure què tenim dins nostre.

Gràcies a investigadors com Derek de Solla Prize, Tony Freeth, Alexander Jones, James Evans, Alan Thorndike i d’altres, ara podem entendre i copsar la complexitat del mecanisme d’Anticitera (tot i que les restes són parcials i que alguns engranatges s’han perdut). El tros que conservem té un total de 30 engranatges (un d’ells amb 223 dents), engranatges epicicloïdals i un engranatge amb eix no paral·lel a la resta. Són mecanismes que crèiem que que no existien a l’antiguitat i que pensàvem que havíem descobert i dissenyat fa un parell o tres de segles. Per a que us feu una idea de la seva complexitat i perfecció, aquí sota podeu veure una foto de la reconstrucció d’aquest mecanisme d’Anticitera (que també es troba al Museu Arqueològic Nacional d’ Atenes). La reconstrucció va ser fabricada per Robert J. Deroski seguint el model de Derek de Solla Price. El mecanisme primitiu, l’autèntic, va ser fabricat en bronze a partir de làmines primes de gran qualitat. Calculava la posició del Sol i de la Lluna, les seves fases, la posició dels cinc planetes més importants, convertia del calendari Egipci de 365 dies al calendari Metònic (lunar i de 235 dies), i permetia fer prediccions dels eclipsis, ja que sabien que la posició relativa entre el Sol, la Terra i la Lluna es repeteix cada 223 mesos lunars. Per això, un dels engranatges té 223 dents…

A més, Philip Ball i Tony Freeth van publicar fa cinc anys a la Revista Nature que el mecanisme servia també per fixar amb exactitud la celebració dels Jocs Olímpics. L’interior de l’artefacte té una inscripció que indica “Nemea” en referència a un dels jocs que van ser més importants, a més d’una altra que indica “Olimpia”. Els dials donaven amb precisió la data de la lluna plena més propera al solstici d’estiu de cada quatre anys, data en la qual s’iniciaven els jocs.

La revista “Scientific American”, el desembre de 2009, indicava que aquest descobriment ens obligarà a revisar els nostres coneixements sobre història de la ciència.

Quantes coses que pensem que hem descobert fa poc, ja havien estat pensades, dissenyades i construïdes pels nostres avantpassats? Quants descobriments i quantes idees es van perdre en l’incendi de la biblioteca d’Alexandria i en totes les guerres anteriors i posteriors? Per què algunes vegades ens sentim tan orgullosos de l’actual progrés i del que creiem que hem descobert i creat?

Ja ho deia Johann Wolfgang Goethe: “Odio els grecs. Cada cop que tinc una idea, després descobreixo que els grecs ja ho havien pensat i dit”.

Antikitera2.jpg

Per què la lluna no té sempre la mateixa forma?

dilluns, 2/07/2012

LlunaQuartCreixent2.jpg Sembla una pregunta senzilla: perquè només en veiem la part il·luminada pel sol, i perquè la posició relativa entre el sol i la lluna va canviant al llarg de tot el cicle lunar de 29 dies.

Fa uns 2300 anys, a Alexandria, Aristarc de Samos va pensar el mateix. Però va anar més enllà, i com a bon científic, va veure i va saber interpretar el que tothom tenia davant dels seus ulls però no comprenia. Aristarc es va situar mentalment a la lluna, en el moment del quart creixent. Si des de la terra veiem exactament la meitat de la lluna il·luminada i la meitat no, és que estem mirant “de costat”. És el mateix que quan fem una foto a una persona. Si el sol és baix (per exemple, a punt de pondre’s) i fem la foto amb el sol de costat, a la foto veurem mitja cara rebent la llum del sol i mitja cara a l’ombra. El raonament d’Aristarc va ser impecable. Va començar pensant que a l’espai, la terra, la lluna i el sol formaven un triangle. En el moment del quart creixent, la lluna té el sol de costat. Per tant, el triangle terra-lluna-sol en aquest moment ha de ser rectangle. En altres paraules, l’angle (mesurat des de la lluna i en el moment del quart creixent) entre el sol i la terra, ha de ser de noranta graus. És admirable, no? Simplement mirant la lluna des de la terra, Aristarc va deduir l’angle que hauria vist si hagués anat a la lluna!

Aristarc  va ser probablement el primer en continuar el raonament i deduir que el sol era molt més lluny que la lluna. Ho va fer connectant idees, barrejant la seva abstracció del triangle rectangle lluna-terra-sol amb les eines de càlcul geomètric i trigonomètric que existien llavors. Simplement, i des d’Alexandria, va mesurar l’angle entre la lluna i el sol en el moment del quart creixent i amb això va poder saber el valor dels tres angles del triangle rectangle lluna-terra-sol. Va concloure que el sol era unes 18 vegades més lluny que la lluna.

No sabem si aquesta deducció la va fer Aristarc per primer cop, o si es va inspirar en texts i treballs d’astrònoms anteriors. En sabem molt poc, dels avenços i dels descobriments dels antics. Però el que sí és clar és que fa 2300 anys ja hi havia qui sabia com calcular distàncies relatives entre la terra, la lluna i el sol.

L’únic problema que va tenir Aristarc va ser un problema de mesura. Els seus instruments eren precaris, i es va equivocar quan va mesurar l’angle entre la lluna i el sol. Si intenteu repetir el seu experiment (ho haureu de fer al matí, que és quan, a la fase de quart creixent, podem veure simultàniament la lluna i el sol al cel), comprovareu que l’angle entre la lluna i el sol és quasi de noranta graus. De fet, és de 89 graus i 51 minuts. La seva mesura, en canvi, va ser d’uns 87 graus. El seu raonament va ser totalment correcte, però no va poder mesurar millor l’angle. Ara sabem que un error de quasi tres graus en un triangle rectangle tant allargat produeix errors molt grans en el resultat. De fet, el sol és bastant més lluny: uns 400 cops més lluny que la lluna.

Aristarc de Samos va defensar la teoria heliocèntrica, però no li van fer cas. Les teories geocèntriques, amb la terra al bell mig de l’univers, dominaven en el camp de l’astronomia. Van haver de passar quasi 1800 anys fins que Copèrnic ens va demostrar que no érem al centre de l’univers.

El llibre d’Aristarc, “Sobre els tamanys i les distàncies del sol i de la lluna”, traduit al llatí per Commandino l’any 1572, el teniu també en versió castellana. I aqui tenim una de les pàgines del llibre de Commandino. En notació traduida directament del grec, A representa el sol, B la terra i C la lluna:

DiagramaAristarcSamos.jpg