Entrades amb l'etiqueta ‘variància’

Sobre aranyes i mitjanes

dissabte, 16/09/2017

Fa poc vaig llegir que, siguis on siguis, a casa teva, a un hotel, a la feina, al mig del camp o a qualsevol lloc de la Terra, sempre hi ha una aranya que t’està mirant a menys de dos metres de distància. Ho vaig trobar interessant, em vaig voler documentar, i quan ho vaig fer vaig descobrir una quantitat sorprenent d’articles seriosos que tracten el tema. Per exemple, Martin Nyffeler i Klaus Birkhofer han arribat a la conclusió que el nombre mitjà d’aranyes per metre quadrat a tota la Terra és un valor no més petit que 131 i no més gran que 152. Ho trobo impressionant. Amb un càlcul ben senzill i tenint en compte la població mundial (7.000 milions de persones) i que la superfície total dels continents i illes és de 150 milions de quilòmetres quadrats, és fàcil deduir que el nombre d’aranyes per persona és d’uns 3 milions (exactament, aquest nombre és algun valor entre 2.807.000 i 3.257.000). Increïble, oi? On són els meus tres milions d’aranyes?

El cert és que la densitat més grans d’aranyes la trobem al camps, boscos i zones de pastura i que, per tant, moltes de les “meves” aranyes viuen allà. Però també és cert que la probabilitat de tenir sempre una aranya a menys de dos metres nostre, és certament molt elevada. Com diu en Owen Bennett, aquesta és una frase ben encertada. Diu que tal vegada, si estem preocupats, decidirem fumigar casa nostra o proposarem fer-ho a tota l’escola dels nostres nens. Perfecte. Si ho fem, al cap d’una setmana tornarem a tenir aranyes,  perquè s’ha pogut demostrat que pràcticament no hi ha cap lloc lliure d’aranyes (la foto de dalt, d’una aranya d’uns dos mil·límetres penjada del seu fil, la vaig fer aquest estiu). Cal dir que són animals pacífics, i que les que veiem a les nostres latituds no tenen cap intenció de picar-nos. El que passa, com diu en Owen Bennett, és que prefereixen viure bé, i les nostres cases són refugis acollidors. Ho són per nosaltres i també ho són per molts petits animals i insectes que acaben sent aliment de les aranyes. No poden trobar res millor: bona temperatura a les nits i a l’hivern, molt de menjar, i, a canvi de venir com a rellogades, ens ajuden a fer neteja.

És molt probable que ara mateix tingueu una aranya que us està observant de ben a prop. Diversos investigadors, en un article científic recent, van fer una anàlisi exhaustiva de 50 cases a Carolina del Nord. La llista d’insectes i petits animals que van trobar (més de deu mil en total) i que presenten i classifiquen a l’article, és impressionant. Van trobar aranyes a totes les cases, incloent més del 75% de dormitoris i el 68% de banys.

En tot cas, aquests estudis sobre la densitat d’aranyes al món no són pas recents. Tothom cita l’article que en A. L. Turnbull ja va publicar l’any 1973. En Turnbull va estudiar molts llocs diferents, i va veure que la densitat variava des dels 0,64 aranyes per metre quadrat d’un prat a Polònia fins al valor de 842 per metre quadrat que va trobar en un camp de pastura anglès. L’estimació de densitat mitjana que va acabar fent, de 130,8 aranyes per metre quadrat, va ser realment acurada i coincideix amb les estimacions actuals de Martin Nyffeler i Klaus Birkhofer.

En aquest tema de la densitat d’aranyes, com en molts d’altres, la mitjana no és completament informativa. Ens parlen molt de mitjanes, segurament perquè és més fàcil i tots tendim a simplificar els missatges. Però a les distribucions estadístiques, siguin d’aranyes, renda per càpita o d’accés a internet a tot el món, la variància és essencial. És bo intentar sempre conèixer dos paràmetres estadístics i no quedar-nos només amb els valors mitjans. Encara que la mitjana ens permet calcular amb precisió coses com la població total d’aranyes al món, si vull conèixer la seva distribució a nivell local necessitaré més dades. Puc estar envoltat per més de 800 animalets per metre quadrat, o ser en un lloc on només n’hi ha una cada dos metres quadrats. Ara bé, sé que a casa en tinc i que a la feina, també.

————
Per cert, la Marina Garcés diu que les guerres sense futur són guerres pòstumes, en les que guanyar no és vèncer, és obtenir un punt més, un atemptat més, un pou de petroli més. Diu que són les guerres dels terroristes, dels narcos, però també dels financers, dels fons voltor, de les grans corporacions i de les indústries extractives.

EL PIB, les desigualtats i les matemàtiques

dimecres, 17/10/2012

Gini.png Darrerament, hi ha paraules que no parem d’escoltar: crisi, dèficit, deute, el producte interior brut (PIB), i moltes d’altres de semblants.

Malauradament, la informació molts cops ens arriba massa simplificada. I altres conceptes, també importants, no són tan coneguts. Sabeu què és el coeficient de Gini?

El coeficient de Gini és una mesura de la desigualtat, de les diferències entre els ingressos de la gent. És una mesura que utilitza la ONU, com podeu veure a la imatge i a l’informe de desenvolupament humà. És una mesura de la dispersió dels ingressos, la renda o la riquesa.

L’Estadística (que com sabem és una part de les matemàtiques) ens dona eines i mesures per entendre el comportament de les variables aleatòries. La mitjana és la més coneguda i és la que apareix a moltes noticies. Però és una mesura més aviat pobra, que aporta poca informació, com després veurem. En estadística, diem que la mitjana és un moment de primer ordre. És lineal. En altres paraules, per calcular-la només cal fer sumes i una divisió al final. Les mesures de dispersió (per exemple, la variància) són moments de segon ordre que requereixen fer multiplicacions, i ja no són lineals. De fet, hi ha també moments d’ordres més elevats, que cada cop expliquen més i més els comportaments estadístics.

Quan parlem de mesures com el PIB o la renda mitjana per persona, estem parlant d’això, d’una mitjana, sense dir res de la dispersió de les dades. És com l’acudit dels pollastres. Si tenim cinc persones i quinze pollastres, la mitjana és sempre de tres pollastres per persona, sigui quin sigui el repartiment. La mitjana és de tres tan si tothom té tres pollastres com si una de les persones té tots els 15 pollastres i les altres quatre no en tenen cap. I també ho és si el primer té un pollastre, el segon en té 2, el tercer 3, el quart quatre i el cinquè en té 5. Però les mesures de dispersió, de desigualtat, no són pas les mateixes (vegeu nota al final). Ens fan veure que hi ha situacions més injustes que altres. Quan una única persona té tots els pollastres, tenim la màxima desigualtat possible i el coeficient de Gini és 1. Quan tothom en té 3, no hi ha dispersió i el coeficient de Gini és 0. En el tercer exemple, és fàcil comprovar que el coeficient de Gini val 0.66, tot indicant que la desigualtat té un valor intermedi. La situació d’un país s’explica molt millor si, a més del PIB o de la renda mitjana per persona, podem tenir dades de les corresponents mesures de desigualtat o dispersió. El valor del PIB ens dona una imatge simplista i molts cops optimista. En canvi, la parella de valors PIB + dispersió ens fa comprendre la situació i ens fa paleses moltes injustícies.

El coeficient de Gini ens permet passar dels grisos als colors. Perquè la distribució de riquesa a una determinada societat té punts de semblança amb el color i la llum, encara que pugui semblar estrany. Són dos conceptes complexes. Per tal d’entendre bé l’estructura de la llum, cal estudiar i analitzar el seu espectre (que podem mesurar amb els espectròmetres). L’espectre de la llum ens diu quants fotons tenim, per a cada una de les possibles longituds d’ona. L’espectre de la llum és molt ric en informació. En molts cassos, massa ric. Però si volem simplificar i ens plantegem d’explicar-lo amb un sol valor, ben segur que usarem el seu valor mitjà, tot perdent informació molt significativa sobre la llum. En l’espectre de la llum, la mitjana només mesura si és clar o fosc: desapareix el color i només hi veiem en tons de gris, en blanc i negre. Els nostres ulls, però, perceben la mitjana i la dispersió, a l’espectre. La mitjana és la lluminositat (clar o fosc). La dispersió és el color. Percebem el color gràcies a que podem captar la diversitat de l’espectre lumínic. Però aquest concepte d’espectre el podem aplicar també als països i a les societats. L’espectre, en aquest cas, seria una visió fina on tenim tota la informació i on podem saber la renda de cada una de les persones (hem canviat fotons per persones i intensitat lumínica per renda). Si simplifiquem i ho resumim tot en un sol valor, el PIB o la renda mitjana per persona, serà com si veiéssim el món en tons de gris. El coeficient de Gini, la mesura de dispersió o desigualtat, és la que ens permet tenir més informació i percebre els colors i matisos de la societat i de la seva estructura.

En Joseph Stiglitz (premi Nobel d’economia 2001) és expert en desigualtat i defensor de l’ús del coeficient de Gini. Ens deia, fa tan sols un mes, que l’actual sistema augmenta constantment les desigualtats i va reduint la igualtat d’oportunitats. Diu que hi ha dues maneres d’arribar a ser ric: creant riquesa, o traient-la als demés. La primera, afegeix alguna cosa a la societat. La segona, resta i destrueix. Està demostrat que les societats amb un coeficient de Gini massa elevat són inestables i no sostenibles. És el que ha passat molts anys a Amèrica Llatina. Fixeu-vos quins són els països amb desigualtats més grans, al mapa de la imatge.

Les dades per Catalunya són força significatives. La renda mitjana per persona es va incrementar entre els anys 2004 i 2008, passant de 9064 a 10755 euros. Després, entre 2008 i 2010 (darrer any amb dades de Idescat) s’ha mantingut quasi estable, amb valors entre 10755 i 10605. Aquests valors mitjans no semblen pas preocupants. Ens indiquen que, en mitjana, vam créixer fins l’any 2008 i que després s’ha produït un estancament. Però Idescat ens dona també el valor de l’index de Gini pels mateixos anys. Podem veure que aquest index no ha parat de créixer, tant a Catalunya com a Espanya. A Catalunya hem passat de 0.292 a 0.317, i a Espanya, de 0.307 a 0.339 (tot això, entre 2004 i 2010; encara no hi ha dades del 2011). La crisi no ha pas baixat la riquesa, sinó que ha incrementat les desigualtats i la pobresa, com també comenta en Josep Ramoneda. Hi ha els mateixos diners, la mateixa renda, però cada cop més mal repartida. La renda total, el que cobrem tots els catalans, és el producte de la renda mitjana pel nombre de persones, i hem vist que es manté. Podríem dir, parlant en termes de física, que es conserva el total de la massa monetària. Però és el coeficient de Gini el que ens fa notar que la crisi serveix per enriquir els uns i empobrir els altres. Cada cop hi ha menys gent amb pollastres.

Nota: Una mesura clàssica de dispersió, segons l’estadística, és la variància. La variància és el valor mitjà dels quadrats de les diferències entre cada una de les dades i la mitjana de totes elles. En canvi, per a calcular el coeficient de Gini (que com ja hem dit és la mesura habitual de desigualtat en els ingressos), és bo representar gràficament la corba de Lorenz del grup social que estem estudiant. La corba de Lorenz ens permet representar els ingressos totals del sector més pobre de la societat. Per exemple, si el 30% de gent amb menys ingressos rep en total el 15% de la renda, les coordenades (0.3, 0.15) corresponen a un punt de la corba de Lorenz. El coeficient de Gini mesura l’àrea entre la recta a 45 graus i la corba de Lorenz (també es pot calcular amb una senzilla fórmula a partir de les dades ordenades). D’altra banda, es pot demostrar que, si els logaritmes dels ingressos de les persones segueixen una llei normal de probabilitat, el coeficient de Gini es calcula fàcilment a partir de la desviació estàndard d’aquesta llei normal.