Entrades amb l'etiqueta ‘velocitat de la llum’

Els electrons i nosaltres

dissabte, 15/12/2018

Al nostre cos tenim uns 17 grams o més d’electrons (vegeu la nota al final). Si els poguéssim posar tots junts farien un bon grapat de partícules.

Sense electrons no existiríem. Els electrons són darrera de totes les reaccions químiques i bioquímiques que conformen el nostre metabolisme i que ajuden, per exemple, a fabricar proteïnes amb la informació de l’ADN. Són també a la transmissió d’informació entre neurones del nostre cervell i a les fibres nervioses.

No fa massa, a partir dels descobriments d’ara fa dos segles (com el de la relació entre magnetisme i electricitat de Michael Faraday), vam veure que els podíem domesticar i fer que treballessin per a nosaltres. Perquè els electrons són dòcils i previsibles. Es mouen quan hi ha una diferència de potencial o quan es troben en entorns amb camps magnètics variables. Això ens ha permès fabricar motors elèctrics, rentadores, neveres, portes automàtiques, robots, ordinadors, telèfons mòbils i una infinitat d’invents quotidians que ens envolten.

L’any 1905, Einstein va formular l’efecte fotoelèctric i va descobrir la profunda relació que hi havia entre els electrons i els seus cosins, els fotons. Els fotons ens porten energia i informació a distància a la velocitat de la llum, escalfant-nos amb la llum del Sol, fent que els nostres ulls puguin rebre i processar imatges, i fent-nos arribar senyals de ràdio i televisió i fins i tot fotos i vídeos dels nostres amics. Gràcies a l’efecte fotoelèctric, els fotons activen determinats electrons del sensor CCD de la càmera del nostre mòbil i, miraculosament, podem fer fotos. Gràcies als electrons, els fotons que ens envia el Sol poden traslladar i moure grans objectes i actuar sobre la matèria, sent els combustibles, per exemple, dels trens d’alta velocitat: només els cal donar energia als electrons de determinades plaques solars que l’aniran propagant fins les catenàries que alimenten els trens. D’altra banda, els fotons de la wifi ens porten informació que podem llegir, veure, i després guardar en un llapis de memòria. Però, quan ho fem, són els electrons de una infinitat de pous de potencial qui ens guarden aquesta informació. Electrons i fotons, fotons i electrons.

L’experiment d’Albert Abraham Michelson i Edward Williams Morley l’any 1887 va ser el primer que va fer trontollar les nostres ingènues teories, en aquest cas sobre els fotons. L’experiment de de Michelson-Morley va demostrar que els fotons van sempre a la mateixa velocitat, ho miri qui ho miri. És l’experiment que va intrigar Albert Einstein fins que, 18 anys després, va acabar formulant la teoria de la relativitat i dient que si la velocitat de la llum era constant (com s’havia comprovat), tot el demés, inclòs el temps, havia de ser relatiu i no invariant. No hi ha ningú privilegiat, a l’univers. Però els fotons, això sí, sempre transmeten la seva informació i energia a velocitat constant. Una velocitat, la de la llum (c), que no es pot superar i que va resultar ser una constant de l’univers. No és possible enviar informació a una velocitat més gran que c. Per això, mai podrem saber com són ara mateix les galàxies llunyanes que veiem al cel de nit.

I els electrons? El 1913, Niels Bohr va proposar un model atòmic senzill que recorda el model planetari de Copèrnic. En ell, l’àtom és com un petit sistema solar amb el nucli al centre i un núvol d’electrons que hi donen voltes. Els electrons eren com boletes que anaven orbitant el nucli a diferents nivells d’energia. Quan baixaven a òrbites més interiors, emetien energia en forma d’un fotó. Quan captaven un fotó que arribava, agafaven la seva energia i pujaven a una òrbita més externa. Si captaven més fotons i energia, podien fins i tot lliurar-se de l’atracció del nucli i quedar lliures, creant un corrent elèctric quan la matèria era conductora.

Una de les primeres sorpreses que ens donen els electrons, però, és la seva habilitat per a ser màgics. Ara sabem que la teoria de Bohr no és certa, perquè no hi ha òrbites i mai sabem on són, els electrons. Hi són, són la causa de totes les reaccions químiques, tenen massa, però no els podem trobar. Mai podrem agrupar un grapat d’electrons. I Heisenberg ens explica que aquests electrons sembla que no existeixen sempre. Només existeixen quan algú els mira o, més ben dit, quan interaccionen amb una altra cosa. Són màgics. Es materialitzen en un lloc, amb una probabilitat calculable, quan topen contra algun cos. Els salts quàntics d’una òrbita a una altra són la seva manera de ser reals. Un electró és un conjunt de salts d’una interacció a una altra. Però quan ningú no els destorba, els electrons no són a cap lloc concret. No són enlloc. De fet, sembla que fins i tot apareixen i desapareixen a l’espai buit. Perquè l’espai buit és alguna cosa, no és pas el no-res. Ho diu el fet que l’espai sigui tridimensional en lloc de tenir, per exemple, dimensió quatre, perquè el no-res no té dimensions. I el que estem descobrint és que l’espai buit és l’escenari en el que poden créixer la geometria, les matemàtiques, la física… i els electrons, com bé diu en Carlo Rovelli citant Werner Heisenberg.

Però la darrera sorpresa d’aquests electrons que creiem tenir tan ben domesticats ens va arribar fa poc, el 2015, de la mà d’un grup de físics de la universitat de Delft (Ronald Hanson i altres; aquí teniu l’article científic que van publicar a la revista Nature). L’experiment va confirmar la hipòtesi de l’any 1964 de John Bell i ens va demostrar que els electrons i altres partícules elementals experimenten un fenomen que s’anomena “entrellaçament” que fa trontollar tot el que pensem sobre el funcionament de l’univers. Si dos electrons emeten fotons que es troben i queden entrellaçats, això fa que els dos electrons quedin també entrellaçats en el mateix instant, encara que es trobin a milions de quilòmetres de distància l’un de l’altre. I aquí apareix la màgia de l’entrellaçament, que fa que aquestes dues partícules passin a tenir una mena de telepatia subatòmica: si algú mesura una propietat d’un dels electrons (l’anomenat spin, per exemple, que té dos possibles valors) i immediatament algú altre mesura la mateixa propietat a l’altre, el valor que mesurarem al segon electró serà sempre el contrari del valor que han mesurar abans a l’altre. El segon electró, entrellaçat al primer, “sap” instantàniament com s’ha de mostrar quan se’l mesuri. La informació, entre electrons i partícules entrellaçades, es transmet a l’instant, en clara contradicció amb el que sabem que res pot anar més ràpid que la velocitat de la llum (vegeu alguns detalls de l’experiment a la nota al final). Com s’entén, això? Quin és aquest espai-temps que diu a tothom, inclosos als fotons, que no es pot superar la velocitat de la llum, a la vegada que permet que les partícules entrellaçades la superin del tot? Hi ha qui diu que quan els electrons i altres partícules s’entrellacen, es fonen i passen a ser una única partícula que es manifesta a dos llocs a la vegada. Però, com s’explica això de tenir un electró que s’ha desdoblat i materialitzat en dues posicions que poden trobar-se a anys llum de distància una de l’altre? Què és l’espai i què és el temps?

L’entrellaçament ens fa veure que certes propietats dels electrons i altres partícules no poden existir abans que les  mesurem. Diuen que l’acte de mesurar és el que realment crea aquestes propietats. I veiem que hi ha propietats que es creen a distància, instantàniament, saltant-se els principis que fins ara teníem: que res es pot transmetre a velocitat més gran que la de la llum. Els electrons entrellaçats representen el gran misteri de les parelles telepàtiques. A diferència dels seus cosins fotons, ràpids però previsibles.

La imatge de dalt l’he obtingut a partir de les d’aquesta pàgina web de Ryan Whitwam, que mostra els electrons que enllacen àtoms d’hidrogen. La imatge va ser obtinguda el 2013 amb un microscopi de força atòmica.

Les coses, i sobretot els electrons, no són tan deterministes com voldríem. Richard Feynman, a les seves lliçons de física, deia que amb els electrons i altres partícules no podem fer altra cosa que calcular probabilitats, i que hem de sospitar amb molt fonament que aquesta limitació ens acompanyarà sempre perquè és un fet essencial del món subatòmic. I Ronald Hanson reconeix que tot això de l’entrellaçament supera la nostra capacitat actual de comprensió: l’univers és definitivament estrany. I és que la natura és així, encara que no ens agradi.

——

Per cert, parlant de coses que sabem fer amb els electrons i l’electricitat, la Rosa Montero diu que el 70% de la inversió en infraestructures ferroviàries es dedica a l’alta velocitat, que només és utilitzada per un 4% de viatgers. En canvi, els trens de rodalies, regionals i de mitja distància, que transporten al 96% dels usuaris, reben menys d’un terç del pressupost. A més, la modernització d’un quilòmetre de via convencional (fins arribar a velocitats mitjanes de 165 Km/h) és 10 vegades més barata que la construcció d’un quilòmetre d’AVE.

——

NOTA: La massa en repòs d’un electró és aproximadament 9,109 * 10^(-31) Kg., que correspon a 1/1836 de la massa del protó. La massa del neutró és molt similar a la del protó, s’altra banda. Tenint en compte que el nostre cos té entre un 60 i un 65% d’aigua, i que bàsicament som hidrogen, oxigen i carboni en proporcions del 10%, 65% i 19,37% respectivament (la suma d’aquests tres elements és el 94,37% del nostre pes), és fàcil fer un càlcul aproximat del pes total dels electrons que ens conformen. Com que el pes atòmic de l’hidrogen és 1, la proporció d’electrons deguda als àtoms d’hidrogen és de 0.1 / 1836, o sigui, 5.45 * 10^(-5). El mateix càlcul amb l’oxigen dona dona una proporció en pes d’electrons de (0.65 * 8/15.999) / 1836 = 1.77 * 10^(-4), atès que el seu pes atòmic és de 15,999. I si ho fem amb el carboni, el resultat és (0.1937 * 6/12) / 1836 = 0.53 * 10^(-4). Sumant les tres proporcions, veiem que per cada 10 quilos del nostre pes, tenim 2,845 grams d’electrons que provenen d’àtoms d’hidrogen, oxigen i carboni. Val a dir que el total és una mica més gran, perquè caldria sumar-hi els electrons dels elements més complexes que també configuren les molècules de la resta del nostres cos (molècules que en total suposen 563 grams per cada 10 Kg. de pes).

L’experiment de Ronald Hanson i els del seu grup va demostrar que, en l’entrellaçament, no hi ha variables ocultes (no hi ha fenòmens que ara no puguem detectar però que tal vegada en el futur podríem arribar a mesurar), i que, per tant, l’entrellaçament és una propietat real que tenen els electrons, els fotons, i altres partícules. L’experiment, màgic i sorprenent, va ser aquest: a dos laboratoris A i B separats 1280 metres a Delft, els científics van experimentar amb electrons que havien quedat atrapats prop d’alguns àtoms de nitrogen que hi havia, a tall d’impuresa, en dos diamants (un a A i l’altre a B). Amb impulsos de làser, anaven activant reiteradament els electrons de manera que, tant l’electró del diamant de A com el del diamant de B emetien un fotó cada un d’ells a cada impuls làser. Els fotons es dirigien a un tercer laboratori C entre A i B, on algunes vegades es trobaven en un mirall semitransparent i quedaven entrellaçats. Llavors es produïa un fenomen sorprenent, que és l’anomenat “intercanvi d’entrellaçament”: de manera immediata, quan els dos fotons s’entrellaçaven a C, els seus dos emissors, els electrons als diamants de A i B, quedaven també entrellaçats. És com si, quan uns joves formen parella, els seus pares quedessin automàticament aparellats entre sogres. Tot seguit, es mesurava l’spin de l’electró de A i també es mesurava l’spin corresponent de l’electró de B. Com que no hi havia cap possibilitat de transmetre informació entre A, B i C (es tractava de demostrar que l’entrellaçament es transmet de manera instantània), el que es va fer és usar tres rellotges atòmics d’alta precisió, un a cada lloc, i guardar localment a tres ordinadors a A, B i C, el temps i el resultat de cada experiment. Si a A i B es guarda el moment de l’emissió de cada fotó, els instants de temps en que es fan les mesures i els valors dels spin que s’han mesurat, i a C es guarda els instants de temps en els que s’ha pogut aconseguir un entrellaçament exitós de fotons, es pot fer una anàlisi a posteriori i només considerar vàlids els cassos en que hi ha hagut entrellaçament de fotons a C i en els que les mesures d’spin als corresponents electrons a A i B s’han fet amb una diferència de temps de menys de 4,27 microsegons (el temps que la llum tarda en recórrer els 1280 metres). D’aquesta manera ens assegurem que la mesura feta a A no ha pogut arribar a B i que la mesura que hem fet a B no s’ha pogut transmetre a A. En tot cas, cal dir que l’experiment és una mica més complicat perquè els spins dels electrons es poden mesurar en diferents eixos i perquè cal garantir la màxima neutralitat durant el càlcul de les correlacions (veure l’article).

Les tres endevinalles del GPS

dijous, 1/01/2015

A les dues del migdia, veig arribar dos helicòpters. Arriben a la vegada. Cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Barcelona a les 13:12, i l’altre, que ha sortit de Tarragona a les 13:24. Els dos diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. On soc?

En aquest cas no és difícil saber on sóc. Només cal tenir un mapa a escala i un compàs. L’helicòpter que ve de Barcelona ha volat durant 42 minuts, i amb això ja podem saber que som a 80 quilòmetres de Barcelona (vegeu nota al final). Amb el mateix raonament aplicat a l’altre helicòpter, deduïm que ens trobem a 60 quilòmetres de Tarragona. Ara, només cal estendre el mapa i dibuixar-hi dos cercles: el dels punts que són a 80 Km. de Barcelona, i el dels que es troben a 60 Km. de Tarragona. Ben aviat ens adonem que som a Cervera, al punt on es troben els dos cercles (hi ha un segon punt d’intersecció, però el podem descartar perquè és al mar). En poques paraules, podem saber on som si disposem d’un mapa i un compàs i si sabem la nostra distància a un mínim de dos punts determinats. Són tècniques ben conegudes pels navegants.

Anem ara a la segona endevinalla:

No tinc rellotge i no sé l’hora. Però veig arribar tres helicòpters. Arriben alhora, i cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Lleida a les 9:30, el segon explica que ha sortit de Girona a les 10, i el tercer diu que ha sortit de Manresa a les 10:10. Tots diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. On soc?

Aquesta ja no és tan fàcil, però la intuïció matemàtica ens diu que és probable que puguem deduir on som, perquè ens manca una informació (la nostra hora) però en canvi en tenim una de nova, la del tercer helicòpter. Jugant amb el mapa i el compàs, és fàcil veure que podem trobar la solució per aproximacions successives. Podem anar fent proves, tot fixant cada vegada un valor hipotètic per l’hora del rellotge que no tenim. Imaginem que quan veiem arribar els tres helicòpters junts, són les 10:30. Ara, com que ja tenim l’hora d’arribada, podem dibuixar els tres cercles, com podeu veure a la imatge de sota. I de fet podem fer el mateix per les 11:20 i obtindrem els cercles que també podeu veure a la imatge de baix, a la dreta. Cap dels dos cassos és possible, perquè en aquests dos instants no hi ha cap punt del mapa en el que els tres helicòpters coincideixin. En canvi, els tres cercles de les 10:55 sí que intersequen, i ho fan a Puigcerdà. Podem assegurar que som a la Cerdanya, a Puigcerdà. El truc és anar provant amb diferents hipòtesis pel que fa al temps del nostre rellotge, fins que encertem el cas en què els tres cercles intersequen en un punt. Cal dir que, de fet, també ho podem resoldre directament i sense haver d’anar provant, amb l’ajut de la geometria (vegeu la nota al final).

El sistema GPS es basa en el mateix principi, amb l’única diferència que enlloc d’helicòpters tenim senyals electromagnètics de ràdio que viatgen a la velocitat de la llum. Si entenem les endevinalles, entenem el GPS. Avui en dia, quan ens perdem, ho tenim més fàcil que els nostres avis. Molts telèfons mòbils tenen GPS, i el sistema GPS ens diu on som. Podem veure la nostra posició en un mapa i podem saber les coordenades geogràfiques del lloc on som: longitud i latitud. El GPS funciona mitjançant una xarxa de satèl·lits que orbiten al voltant de la terra. Cada satèl·lit porta un rellotge atòmic per mesurar el temps amb una precisió de l’ordre de menys d’un nanosegon (un nanosegon és la mil milionèsima part d’un segon). Gràcies a Einstein, sabem que la velocitat de la llum és constant. Com que aquesta velocitat és de 300 mil quilòmetres per segon, amb una única divisió veiem que tant la llum com les ones electromagnètiques que rebem dels satèl·lits recorren 30 centímetres cada nanosegon. Els rellotges atòmics son tan ràpids que la llum només avança uns 4 o 5 centímetres entre cada dos tics. Com en el cas dels helicòpters, els GPS mesuren distàncies amb el temps. Quan volem determinar la nostra posició, el GPS localitza automàticament un mínim de quatre satèl·lits de la xarxa, dels quals rep senyals que indiquen la posició del satèl·lits (abans era la ciutat d’on surt cada helicòpter) i el temps (en fraccions de nanosegon) de sortida del senyal en el rellotge de cadascun d’ells. En base a aquests senyals, el GPS pot calcular les nostres coordenades geogràfiques tal com fèiem a l’endevinalla, amb un error de precisió que en condicions normals és d’uns 15 metres. Val a dir que a més, aviat tindrem el sistema Galileo. A diferència del GPS (Nord-americà i militar) el sistema Galileo és un projecte civil, l’alternativa de la Unió Europea a l’actual GPS. Oferirà un servei obert, de lliure accés per a tothom, amb un error de quatre metres sobre el terreny i de vuit metres en vertical.

Però podem pensar una mica més i donar-hi més voltes. Si encara en teniu ganes, aquí teniu la tercera endevinalla:

Veig arribar dos helicòpters. Arriben junts, però no tinc rellotge i no sé l’hora. Cada un d’ells porta un missatge. Un d’ells diu que ha sortit de Lleida a les 10:30, i l’altre, que ha sortit de Tarragona a les 11. Els dos diuen que han viatjat sempre a 100 quilòmetres per hora. Puc dir alguna cosa d’on soc?

Aquest cas és ben interessant. Si en el mapa dibuixeu el segment recte que uneix Vic i Amposta, podem afirmar que ens trobem en algun punt d’aquesta recta (vegeu, un cop més, la nota al final). Puc trobar-me a Vic, però és segur que no soc ni a Solsona ni a Mataró…

Per cert, en Noam Chomsky diu que el paper dels intel·lectuals i activistes radicals ha de ser analitzar i valorar, mirar de persuadir, organitzar, però mai arribar al poder i governar. Diu que han d’estar preparats per plantar cara a la repressió i actuar en defensa dels valors que professen.

 

Si voleu veure millor aquestes fotos, cliqueu aquí i mireu les tres pàgines del pdf en mode pantalla completa. Podreu anar endavant i endarrera amb les fletxes del teclat

 

NOTA: A la primera endevinalla, ens diuen que el primer helicòpter ha sortit a les 13:12 i que ha arribat a les 14 hores. Per tant, ha volat durant 48 minuts. A una velocitat constant de 100 quilòmetres per hora, és clar que cada 6 minuts recorre 10 Km. i, en conseqüència, en els 48 minuts haurà fet un total de (48/6)*10 = 80 quilòmetres. El mateix raonament serveix per al segon helicòpter.

Per a entendre la segona endevinalla, imagineu-vos una representació 3D amb eixos x-y-z. En el pla horitzontal dels eixos x-y, tenim el mapa de Catalunya o de la regió del món que estem estudiant. En l’eix z, vertical, representem el temps. És un diagrama espai-temps, similar als que utilitzava Einstein per il·lustrar la teoria de la relativitat. Tot allò que passa, per exemple, a les 10 del matí, es pot representar en un pla horitzontal (el pla del present, en aquest cas, el pla de les 10) paral·lel al pla x-y. Quan passa el temps, el pla del present puja inexorablement. En aquest pla de les 10 podem situar un punt a Girona que marca la posició de l’helicòpter gironí, que acaba de sortir. En canvi, el que ha sortit de Lleida a les 9:30 ja ha volat durant mitja hora, i l’únic que podem dir és que es troba en algun punt del cercle centrat a Lleida i de radi 50 Km. Al cap d’un quart d’hora, en el pla de les 10:15, ja podrem dibuixar els tres cercles, que a partir d’ara aniran creixent. A la imatge de dalt podeu veure l’estat dels tres cercles a les 10:30, a les 10:55 i a les 11:20. Si ara ens situem fora de l’espai i el temps i observem el diagrama 3D mentre el pla del present puja i els cercles creixen, és fàcil veure que cada cercle crea un con o paperina virtual que es va obrint a mesura que passa el temps. Cada helicòpter, en aquest diagrama d’espai-temps, té associat un con de possibles llocs on es pot trobar. I la geometria ens diu que tres cons d’eix vertical intersequen en un punt, en el punt que ens diu on som. En els GPS i en el sistema Galileo passa exactament això, amb l’única diferència que enlloc d’helicòpters tenim senyals electromagnètics que viatgen a la velocitat de la llum. El que calculen els nostres GPS a partir dels missatges que reben dels satèl·lits és aquest punt d’intersecció entre els tres cons en el diagrama espai-temps.

Si us interessa, us podeu descarregar la conferència que vaig donar a les Aules Universitàries per a la Gent Gran d’aquesta web. I aquí podeu trobar una mica d’història junt amb una comparació entre l’actual sistema GPS i el futur sistema Galileo.

I què passa en el cas de la tercera endevinalla? En aquest cas només tenim dos cons en el diagrama d’espai-temps, amb eixos verticals que passen per Tarragona i Lleida. Si imaginem el pla del present que va pujant, hi veurem dos cercles que es van acostant, passen a ser tangents en un punt intermedi (que anomenaré Q) del segment recte que uneix Tarragona i Lleida i, a partir d’aquest moment, ja sempre més intersequen. Si dibuixeu, en el mapa, el segment recte entre Tarragona i Lleida i suposem que el que surt de Lleida vola en direcció a Tarragona, a les 11 del matí es trobarà en un punt imtermedi R entre Prades i Alcover, mentre que el de Tarragona estarà acabant de sortir. És clar que el punt Q es troba exactament a mig camí entre R i Tarragona, prop de la carretera de Reus a Alcover. Dibuixeu ara la recta perpendicular al segment Tarragona-Lleida que passa per Q. És una recta que veureu que passa per les rodalies de Vic i d’Amposta. No podem saber exactament on som perquè ens manquen dades, però podem estar ben segurs que som en algun punt d’aquesta recta i que no som ni a Tàrrega, ni a Ripoll ni a Sitges.

De John Harrison a Galileo

dimecres, 12/06/2013

GalileoSatellite.jpg Què podem fer si ens perdem enmig del mar, a la muntanya, dins d’un bosc o en un desert? Sortosament, ho tenim més fàcil que els nostres avis. Molts telèfons mòbils tenen GPS, i el sistema GPS ens diu on som. Podem veure la nostra posició en un mapa i podem saber les coordenades geogràfiques del lloc on som: longitud i latitud. El GPS ha estat un bon invent per a poder orientar-nos. El que no és tan conegut és que, tant al segle XVIII com al segle XXI, si ens podem orientar és gràcies als rellotges. Hem aprés que per mesurar bé la posició i el lloc on som, cal saber mesurar bé el temps. Depenem de la física i de la l’íntima relació que hi ha entre espai i temps.

Els navegants i descobridors del renaixement sabien calcular bé la latitud. Només calia mesurar, amb un sextant, l’alçada màxima del Sol o de les estrelles sobre l’horitzó i consultar les taules astronòmiques. Però la longitud geogràfica sempre va ser molt més esquívola. La diferència de longituds geogràfiques entre dos llocs de la Terra (o separació entre els seus meridians) és clar que és proporcional a la diferència entre les seves corresponents hores solars. Per això calien els rellotges. Els vaixells que sortien de qualsevol port, per exemple de Barcelona, portaven un rellotge ajustat a l’hora solar de Barcelona. Quan, dies després, eren enmig del mar, per saber la longitud del meridià només havien de mesurar l’hora solar i restar-la de la que marcava el rellotge. El principi és ben conegut. Si anem a Pontevedra, veurem que el Sol surt més tard i es pon més tard que aquí. Els navegants ho feien a l’inrevés: mesuraven aquest retard i amb això podien calcular la seva posició, el seu meridià. En teoria tot era perfecte. Es podien orientar gràcies als rellotges. Només hi havia un “petit” problema: els rellotges no eren bons, i avançaven o s’endarrerien. Com que 24 hores equivalen al gir de 360 graus de la Terra, un error de 4 minuts en l’hora és equivalent a un error d’un grau en la mesura de la longitud geogràfica, que correspon a 111 quilòmetres si som a l’Equador. No és pas un error menyspreable. Els navegants no es podien orientar bé perquè tenien rellotges dolents.

A principis del segle XVIII, es parlava molt del problema de la longitud. Calia trobar maneres de calcular-la amb més precisió. Els anglesos, molt preocupats pel tema, van ser pragmàtics. Justament l’any 1714, el Parlament anglès va acordar donar un premi de vint mil lliures a la persona que trobés una solució al problema. El premi es donaria a la persona que trobés com mesurar la longitud amb un error de menys de mig grau i que ho demostrés en un viatge en vaixell. El rellotger John Harrison va anar millorant el disseny dels seus mecanismes fins aconseguir un rellotge, l’anomenat H4, que superava els requeriments del Parlament. L’any 1764, el seu fill William ho va demostrar en un viatge de 47 dies a les illes Barbados. El rellotge només es va endarrerir 39 segons, equivalents a una distància de 18 quilòmetres en l’Equador. Tot i que no va ser fàcil convèncer la comissió del Parlament, John Harrison va finalment rebre el premi l’any 1773 junt amb el reconeixement públic d’haver resolt el problema de la longitud.

Què fa un GPS per a saber on som? El GPS també utilitza rellotges per calcular distàncies i determinar la nostra posició. John Harrison utilitzava rellotges, i els nostres GPS també. La diferència és que els rellotges dels GPS són molt més precisos. I no són en els nostres GPS, sinó que estan en els satèl·lits que són en òrbita.

El sistema GPS funciona mitjançant una xarxa de satèl·lits que orbiten al voltant de la terra. Cada satèl·lit porta un rellotge atòmic per mesurar el temps amb una precisió de l’ordre d’un nanosegon (un nanosegon és la mil milionèsima part d’un segon). Si mesurem el temps que tarda un senyal electromagnètic en viatjar des d’el satèl·lit fins el GPS del nostre telèfon, podrem calcular la distància entre els dos amb un simple producte perquè, gràcies a Einstein, sabem que la velocitat de la llum és constant. Com que aquesta velocitat és de 300 mil quilòmetres per segon, amb una única divisió podem veure que tant la llum com les ones electromagnètiques que rebem dels satèl·lits recorren 30 centímetres cada nanosegon. Els rellotges atòmics son tan ràpids que, en cas que facin un tic cada nanosegon, la llum només avança un pam i mig entre cada dos tics. Doncs bé, quan volem determinar la nostra posició, el GPS localitza automàticament un mínim de quatre satèl·lits de la xarxa, dels quals rep senyals que indiquen la seva posició i el temps (en nanosegons) en el rellotge de cadascun d’ells. En base a aquests senyals, el GPS pot calcular el retard dels senyals i per tant les distàncies als satèl·lits (vegeu nota al final). Finalment, obtenim les nostres coordenades geogràfiques amb un error de precisió que en condicions normals és d’uns 15 metres.

El sistema Galileo és l’alternativa de la Unió Europea a l’actual GPS. Galileo és un projecte civil, a diferència del GPS que és Nord-Americà i militar. Oferirà un servei obert, de lliure accés per a tothom, amb un error de quatre metres sobre el terreny i de vuit metres en vertical, juntament amb un servei de pagament amb abonament que emetrà senyals encriptades amb un marge d’error inferior al metre per a localització en aplicacions específiques com la navegació aèria i els serveis de cartografia. El servei i la qualitat de les dades de posició deixarà d’estar supeditat als criteris i prioritats militars. Serà un servei per a la societat civil, més fiable i força més precís que el GPS. La constel·lació Galileo estarà formada per 30 satèl·lits en òrbita en una alçada mitjana de 23.222 quilòmetres, junt amb una sèrie d’estacions terrestres que controlaran els satèl·lits per tal de millorar la precisió del senyal i corregir-ne la trajectòria. Cada satèl·lit Galileo (vegeu la imatge de dalt) porta dos rellotges atòmics: un rellotge màser d’hidrogen que només endarrereix un nanosegon cada 24 hores, i un rellotge secundari de rubidi amb precisió de 1,8 nanosegons cada 12 hores. Ara mateix, els primers quatre satèl·lits Galileo ja són en òrbita i es troben en fase de proves. D’aquí a 4 o 5 anys (el 2017 o el 2018), ja el podrem utilitzar.

És més fàcil i més precís mesurar el temps que mesurar grans distàncies. Per això els mapes antics i medievals eren poc precisos, i per això els humans sempre hem fet servir rellotges per orientar-nos i per conèixer la nostra posició i les nostres coordenades. Però fa quatre segles, quan els navegants calculaven la seva posició, no ho podien fer bé: cometien errors de l’ordre de 100 quilòmetres. Fa tres segles i gràcies als rellotges de John Harrison, els errors ja eren només de l’ordre de 15 o 20 quilòmetres. Avui, gràcies als rellotges atòmics i a la tecnologia GPS, podem saber on som amb un error mil vegades més petit, de l’ordre dels 15 metres. I d’aquí a cinc anys, amb Galileo ho sabrem amb un error de només 4 metres. Tot plegat, perquè hem entès que el temps ens pot explicar l’espai i perquè hem trobat la manera de fer que ens l’expliqui.

Nota: Les estacions terrestres de control monitoritzen els satèl·lits i garanteixen que els seus rellotges estiguin “en hora” al nanosegon, a més de que tinguin informació sobre la seva posició en l’espai en tot moment. Llavors, si el nostre aparell GPS o Galileo portés un rellotge atòmic d’alta precisió incorporat, tot seria força senzill. Com hem dit, el GPS localitzaria automàticament alguns satèl·lits de la xarxa, dels quals rebria senyals amb informació sobre la posició i el temps en el satèl·lit en l’instant d’emissió del senyal. El temps de viatge del senyal es podria obtenir restant el temps en l’instant que rebem el senyal menys el temps en l’instant d’emissió. Multiplicant per la velocitat de la llum, el temps de viatge ens donaria la distància D al satèl·lit. Com que el satèl·lit també ens hauria enviat la seva posició a l’espai, podríem concloure (amb un únic satèl·lit) que segur que ens trobem en algun punt de l’esfera que té el centre a la posició del satèl·lit i radi D. Amb més d’un satèl·lit, el mateix raonament ens donaria per a cada satèl·lit una esfera sobre la que ens hem de trobar, i podríem calcular la nostra posició tot intersecant aquestes esferes (podem afegir a més la superfície de la Terra si sabem que estem tocant de peus a terra). Val a dir que és bo tenir informació redundant de molts satèl·lits perquè així podem reduir errors i calcular, amb algorismes de mínims quadrats, un punt que es trobi el més prop possible de les esferes de tots els satèl·lits que observem. Però malauradament tot plegat és una mica més complicat perquè els rellotges dels GPS evidentment no són atòmics. Sabem amb molta precisió l’instant d’emissió dels senyals, però l’instant de recepció el sabem amb una precisió molt més baixa. El problema és més complicat, però la solució no és massa més difícil. Suposem que estem veient 5 satèl·lits. Fem el càlcul com abans, restant el temps que ens dóna el rellotge del GPS del temps en l’instant d’emissió que ens arriba amb el senyal, i obtenim un radi d’esfera per a cada satèl·lit: D1, D2, …, D5. Aquests radis són incorrectes, però sabem que l’error és el mateix en tots ells, perquè és degut a un error en la mesura del temps de recepció, que és el minuend en totes les restes. Per tant podem assegurar que els radis correctes seran D1+d, D2+d, …, D5+d on el valor desconegut d depèn de l’error en el rellotge del GPS. Cal trobar el valor òptim de d. Aquest valor  és el que fa que els punts d’intersecció entre tots els possibles conjunts de tres esferes siguin el més propers possibles entre ells. Cal observar que en el cas de 5 esferes, podem formar deu conjunts diferents de 3 esferes cada un (les combinacions de 5 elements escollits de 3 en 3) i per tant, haurem de trobar el valor de d que apropi el màxim possible aquests deu punts. Cal tenir també en compte que cada conjunt de tres esferes intersecta en dos punts, però que un d’ells és a l’espai exterior i no és vàlid. Un cop hem calculat el valor d, calculem el punt d’intersecció de totes les esferes i ja hem resolt el càlcul de la nostra posició. Podeu comprovar que, si no imposem res més, el càlcul es pot fer si veiem un mínim de 4 satèl·lits. Però si sabem, per exemple que estem caminant o que anem en cotxe, el nombre mínim de satèl·lits baixa a tres perquè el càlcul es pot limitar a cercar punts sobre la superfície de la Terra.

En resum: podem saber on som gràcies a la geometria, als satèl·lits, a la informàtica i als algorismes d’optimització…