Els sistemes no mesurables

dimecres, 17/07/2013

Fa pocs dies, Jeroen Dijsselbloem va fer unes declaracions una mica sorprenents. Jeroen Dijsselbloem és president de l’Eurogrup, l’autoritat bancària de l’Euro-zona. Va dir que no saben quines són les necessitats de capital de les entitats bancàries Europees, i va afegir que ni els banquers centrals ni els ministres donen una imatge clara de la situació. En d’altres paraules, el president de l’entitat que hauria de regular l’activitat bancària a Europa no sap l’estat actual dels bancs, perquè li amaguen la informació.

En ciència, si volem entendre, hem de mesurar. Entenem el sistema Solar i les lleis de la dinàmica gràcies als experiments i a les mesures de Kepler, Galileo, Newton i molts d’altres. Hem pogut entendre els fenòmens químics gràcies a les mesures de Lavoisier. La teoria de la informació ens dóna eines per a mesurar grans volums de dades, i fins i tot podem mesurar la incertesa amb eines estadístiques. Els mitjans de comunicació utilitzen mesures d’audiència, i les ciències socials han creat moltes mesures per entendre el comportament de les societats. Disposar de bones mesures, de mesures amb errors suficientment petits, és essencial per a comprendre el món que ens envolta. Si a més volem regular (controlar) la cosa pot ser encara més complicada, perquè en aquest cas cal saber què és el que volem regular i cóm ho volem fer, i no sempre hi ha consens, sobretot en l’àmbit de les ciències socials i econòmiques. En tot cas, el que és clar és que cal començar per tenir bones mesures.

Werner Karl Heisenberg va rebre el premi Nobel l’any 1932. El va rebre per haver formulat el principi d’incertesa, que demostra la impossibilitat de mesurar a la vegada la posició i la velocitat d’una partícula elemental. El principi d’incertesa va ser fonamental per la teoria quàntica, i va revolucionar la física i la filosofia del segle XX. Es va veure per primera vegada que existia un àmbit, el de les partícules elementals, en el que era impossible mesurar-ho tot. Mira per on, ara estem descobrint un altre àmbit no mesurable: el dels bancs. És el principi d’incertesa macroscòpica: no podem saber ni on són els diners, ni quina és la mida de la bombolla de diners ficticis, ni quin és l’estat actual dels bancs.

Em va agradar l’article d’en David Miró de fa una setmana. En el seu editorial, en David Miró deia que la ciència econòmica és la més ideologitzada de totes i la més contaminada per prejudicis. Deia també que ha vist bastants polítics canviar de partit (per oportunisme o per evolució sincera), però que mai ha vist un economista admetre que s’ha equivocat i que un altre té raó.

Es parla de ciència econòmica, però tal vegada caldria matisar perquè ja hem vist que no sempre podem mesurar l’estat del sistema econòmic. I no estem parlant de la gent del carrer o dels mitjans de comunicació. Són els mateixos responsables del sistema, els dirigents de l’autoritat bancària de l’Euro-zona, els qui no poden mesurar totes les variables. El sistema econòmic no és totalment mesurable. No és mesurable perquè hi ha gent que amaga informació. L’amaguen tranquil·lament, amb impunitat, perquè ningú no els persegueix. És la teoria de la porta giratòria, de la revolving door del video-creador Simonfilm. És el constant canvi de papers entre polítics, responsables econòmics i banquers. Els banquers ajuden als polítics, i els polítics ajuden als banquers. Molts d’ells van canviant el seu paper, van passant la porta giratòria d’una a l’altra banda. Mentre retallen els serveis socials, la ciència, la recerca i l’educació, s’ajuden els uns als altres. S’obliden de la gent, però recorden molt bé d’ajudar-se entre ells. Això no és sostenible. Si els responsables de l’Euro-zona no saben quines són les necessitats de capital de les entitats bancàries Europees, cal que les ajudem amb els nostres impostos?

La ciència, la recerca i la innovació empresarial sí que són mesurables. La ciència i la recerca es mesuren pels seus resultats i per la creació de coneixement. Necessiten diners, i creen coneixements. La innovació es nodreix d’aquests coneixements i genera nous productes i més diners. La innovació empresarial es mesura per les vendes i per l’impacte en el mercat i en els usuaris finals. És ben conegut que la cadena recerca – innovació – creació – nous productes és una espiral multiplicadora de la inversió inicial. Perquè no demanem als nostres polítics que inverteixin més en els sistemes que són mesurables?

Agricultura i arqueologia

dimecres, 10/07/2013

Agricultura_Precision.jpg En què s’assemblen l’agricultura i l’arqueologia?

Fa uns anys, aquesta pregunta podia semblar estranya i absurda. Però els humans som constructors d’eines. I entre moltes d’altres, n’hem dissenyat una que serveix tant als arqueòlegs com als agricultors: les càmeres d’infraroigs dels satèl·lits.

Els satèl·lits artificials estan fotografiant constantment la Terra. Les seves fotos ens serveixen per entendre l’evolució dels núvols, per poder fer prediccions meteorològiques, per navegar amb Google Earth i reconèixer els nostres indrets, per mesurar l’extensió de neu a les muntanyes, per avaluar els danys després d’un incendi forestal i per moltes coses més.

Els sensors CCD de les càmeres digitals dels satèl·lits són sensibles en una zona força gran de l’espectre. Aquesta imatge, que podeu trobar a la pàgina web de Hamamatsu, ens mostra la sensibilitat dels sensors CCD de tres tipus (els estàndard, els “Blue-Plus” que són més sensibles al blau i els “Black-Thinned“) tot comparant-los amb la sensibilitat escotòpica dels bastons de la nostra retina i amb la sensibilitat fotòpica dels cons retinals humans. Tenim molts més bastons que cons, i això fa que siguem molt més sensibles a la claror/foscor que a la percepció fotòpica de la cromaticitat. Pel que fa als sensors CCD, veiem que tant els de les nostres càmeres digitals com els dels satèl·lits tenen una bona sensibilitat en la zona dels grocs i vermells i en canvi són menys sensibles en els blaus i violats. D’altra banda, tots ells són sensibles a les radiacions electromagnètiques de l’infraroig, les que es troben més enllà del vermell i que veiem a la dreta del gràfic. Els sensors CCD capten els colors invisibles que no podem veure, reaccionen davant el xoc de fotons de longitud d’ona superior als 800 nanòmetres que són totalment ignorats per les cèl·lules de les nostres retines.

Les nostres càmeres digitals són càmeres de tres canals. Cada foto en color que fem i compartim és de fet un conjunt de tres fotos en blanc i negre, fetes amb filtres. En el cas d’una escena estàtica és com si féssim tres fotos amb la càmera fixada amb un trípode: primer amb un filtre vermell, després amb un filtre verd i finalment amb un filtre blau. Quan féssim la primera foto, el filtre deixaria passar els tons vermells i els sensors CCD només podrien captar els fotons que tinguessin una longitud d’ona de l’ordre de 650 o 700 nanòmetres. Després, amb el filtre verd, els sensors CCD només podrien captar els tons verds dels fotons amb longitud d’ona d’uns 500 nanòmetres, i el mateix passaria quan poséssim el filtre blau. Els filtres són els que permeten que els sensors CCD, que no distingeixen entre els colors, puguin acabar captant tonalitats cromàtiques. L’únic que passa és que, en les càmeres digitals, no es fan tres fotos sinó que es fa tot a la vegada. Cada píxel conté més d’un sensor i cada sensor té el seu propi filtre vermell, verd o blau, de la mateixa manera que els cons de la nostra retina tenen foto-pigments, filtres bioquímics per a poder captar de manera diferenciada les tonalitats del vermell, del verd i del blau. Els cons de la retina humana són els nostres píxels, els punts retinals sensibles a les tonalitats del vermell, verd i blau. No ens calen més de tres canals a les càmeres de fotos perquè al final, les fotos les mirarem amb ulls que justament distingeixen aquests tres canals: vermell, verd i blau.

Els satèl·lits, en canvi, capten imatges amb més de tres canals. Tot es fa de la mateixa manera, només cal utilitzar els filtres adequats. Amb un filtre que només deixi passar els raigs ultra-violetes i sempre que el CCD sigui sensible en aquesta zona de l’espectre, podrem obtenir fotos de la radiació ultra-violeta. I amb un filtre que només deixi passar els fotons de la zona dels infraroigs, obtindrem fotos “en blanc i negre” que podrem interpretar  fàcilment: en les zones fosques no hi ha emissió de fotons infraroigs mentre que en les zones clares sí que n’hi ha. El sensor CCD sempre és el mateix, només cal que utilitzem el filtre apropiat i podrem captar imatges que detectaran fotons en diferents regions de l’espectre, siguin visibles o no. En tot cas, i com que estem captant fotons de colors que no podem veure, haurem de combinar les imatges dels diferents canals tot inventant nous colors que expliquin el que hem captat. És la tècnica anomenada de “fals color”. El que veieu a la imatge de dalt és una foto en el canal de l’infraroig on les zones amb poca radiació infraroja s’han pintat de color verd i les zones amb més radiació infraroja s’han pintat grogues o vermelloses.

Les fotos en el canal de l’infraroig són fotos que capten variacions subtils de temperatura. No capten els colors, però detecten el que és més calent i el que és més fred. Poden fotografiar l’activitat biològica dels éssers vius i captar imatges de la vida.

L’agricultura de precisió es basa en el coneixement de les necessitats de cada arbre i de cada planta, per tal d’aportar-los aigua i nutrients en la mesura que els necessiten. Aquest coneixement s’obté amb sensors remots, que poden ser càmeres d’infraroigs muntades en avions o les càmeres d’infraroigs dels satèl·lits quan no ens cal tanta resolució i detall. Fixeu-vos en la imatge de dalt. Les zones més verdes són parts del cultiu que creixen bé i tenen prou aigua. Les zones vermelloses, en canvi, tenen una temperatura una mica més elevada i emeten més radiació infraroja. Els camins, inerts, és clar que surten en tons vermells. Però, a més dels camins, veiem una part del cultiu que també és vermellosa. Això ens indica que tenim problemes, perquè la temperatura de les plantes que passen set és més elevada que la de les plantes sanes. El reg automàtic està fallant en una zona que podem identificar perfectament. La imatge d’infraroigs és el mapa que ens porta directament al punt on hem de reparar el reg.

Les mateixes càmeres que ens informen de quines plantes tenen set, ens poden servir per a detectar restes arqueològiques des de satèl·lit. Són ulls artificials per a veure a través de la sorra del desert, ulls que capten el que es troba sota la sorra. Una possible explicació rau en què les pedres són més bones conductores de la calor que la sorra. Als matins, quan el Sol comença a escalfar el desert, la sorra que amaga pedres i runes és una mica més freda que l’altra perquè la seva calor s’ha anat canalitzant tota la nit a través de les pedres subterrànies. De fet, els arqueòlegs han descobert que el millor moment per detectar aquestes restes soterrades és al matí de les darreres setmanes de l’hivern Egipci, que són especialment humides i afavoreixen la dissipació de la calor. En aquesta web podeu veure imatges i un vídeo d’aquest projecte, que ha permès descobrir 17 piràmides, unes mil noves tombes i els carrers de l’antiga cuitat de Tanis. I aquí teniu la imatge d’una piràmide amagada, captada per la càmera d’infraroig d’un satèl·lit des de 700 quilòmetres d’alçada.

Les càmeres que capten fotos en la zona infraroja tenen moltes més aplicacions, però deixeu-me que em quedi amb les dues que hem vist. Són una eina per a poder saber adaptar el reg a les necessitats d’aigua de cada arbre i de cada planta, en una agricultura que ni malgasta aigua ni fa passar set. I aquesta mateixa eina que ens permet cultivar amb saviesa, veu a través de la sorra i fa radiografies dels deserts, tot mostrant-nos les runes d’antigues civilitzacions que han desaparegut i que ara podrem redescobrir.

Ulls que veuen l’invisible: Gaia

dimecres, 3/07/2013

ViaLactea.jpg Des que Galileu va usar el telescopi per descobrir els cràters de la lluna, els quatre satèl·lits més importants de Júpiter i molts altres fenòmens, hem anat construint ginys més i més sofisticats per mirar el cel i poder captar el que els nostres ulls no poden percebre: estrelles i galàxies que mai ningú abans havia vist. Si podeu jeure al terra, al camp o a la muntanya, en una nit sense lluna i lluny de la contaminació lumínica, tindreu una bona percepció del que és l’Univers. L’espai us atrau, i tal vegada tingueu la sensació que podeu arribar a “caure” cap a l’infinit. Els ulls s’adapten a la foscor, i acabareu veient moltíssimes estrelles. Bé, de fet us pot semblar que són moltíssimes, però tampoc són tantes. Podreu veure de l’ordre de mil cinc-centes estrelles (en veuríeu unes 3000 si anéssiu també a l’hemisferi sud a veure l’altra part del cel). Per tal de veure’n més, ens cal un telescopi. Els telescopis són ulls artificials per a veure l’invisible, el que és més enllà de la nostra percepció.

Segons noticies de fa pocs dies, els tècnics de Toulouse ja han acabat el muntatge del satèl·lit Gaia, de l’agència espacial europea (ESA). Ara el portaran a la Guaiana Francesa, on una nau Soyuz el propulsarà a la tardor cap la seva òrbita.

Durant cinc anys, Gaia anirà fent observacions per tal de crear un mapa de mil milions d’estrelles de la Via Làctia. De fet, Gaia no serà un satèl·lit sinó un planeta artificial, perquè girarà al voltant del Sol tot mantenint-se en el punt Lagrangià L2, un punt de la recta Sol-Terra a 1,5 milions de quilòmetres de la Terra en direcció contrària al Sol. L2 és un punt estable a l’ombra de la terra. Gaia no patirà canvis de temperatura i necessitarà molt poca energia per estabilitzar el seu moviment i rotació, ja que, de manera natural, anirà descrivint una corba de Lissajous al voltant de L2, com si anés passejant per una gran vall enmig de l’espai i del no res. Gaia és hereu del telescopi Hubble. Però com que tot evoluciona, podrà aconseguir imatges d’una resolució molt més gran (el nombre de sensors fotogràfics CCD de Gaia és de 106, front als dos sensors de Hubble), tot arribant als 938 megapíxels.

Gaia és un veritable prodigi de la ciència i la tecnologia. La seva càmera digital té una resolució de 24 microsegons d’arc, gràcies al seu sistema òptic i gràcies a que els píxels dels seus sensors CCD són de 23 x 13 mil·lèsimes de mil·límetre (micres). En d’altres paraules, amb la càmera fotogràfica digital de Gaia podríem fotografiar un pòster des de 1000 quilòmetres de distància i veure-hi fins i tot un cabell humà que hagués caigut damunt el paper (vegeu nota al final). No està malament, oi? Si no fos per les distorsions i absorcions atmosfèriques, podríem fer una foto des del cim de l’Aneto i reconèixer un cabell en un full de paper a Lisboa. A més, per tal de mesurar distàncies a les estrelles, Gaia ens proporcionarà imatges capturades amb “els seus dos ulls”, ulls que sabem posicionar en llocs molt separats per tal de reduir els errors de triangulació en el càlcul de les distàncies. El truc és comparar imatges de la mateixa regió del cel cada mig any, quan Gaia es trobarà en punts oposats de la seva trajectòria al voltant del Sol. Amb aquest mètode, tindrem fotos capturades per dos “ulls” que estaran separats 302 milions de quilòmetres i podrem mesurar les distàncies a les estrelles més properes amb una precisió inèdita, del 0,001%. Però no tot serà tan senzill. La nostra galàxia és tan gran que l’error quan calculem les distàncies a estrelles que són prop del seu centre pujarà inevitablement fins a un 20%.

La càmera fotogràfica digital de Gaia té sensors CCD, com les nostres càmeres digitals i telèfons mòbils. El sensor CCD és el substitut digital de les antigues pel·lícules fotogràfiques. És un conjunt d’elements de detecció de fotons organitzats en forma de matriu de punts de manera que puguin mesurar la quantitat de llum arribada a cadascun d’aquests punts o píxels. Els sensors CCD (les sigles CCD venen de “charge coupled device” en anglès) són un clar exemple del resultat de connectar i sumar ciència i tecnologia. La comprensió de l’efecte fotoelèctric, que com sabem va conduir al premi Nobel que Einstein va rebre l’any 1905, va ser aprofitat per Willard Boyle i George Smith, dels Laboratoris Bell, que van inventar els primers dispositius CCD l’any 1969. Willard Boyle i George Smith van rebre el premi Nobel de fisica l’any 2009, justament per l’invent dels CCD. Dos premis Nobel de física, separats més d’un segle.

L’esquema de sota, que podeu trobar a la pàgina web de Hamamatsu, explica molt clarament el funcionament dels CCD. Cada element del CCD és un detector de fotons i correspon a un dels píxels de la imatge que captarem. El CCD d’una càmera digital amb una resolució de 6 megapíxels té 6 milions d’elements sensors, disposats segons una matriu regular en files i columnes. A la imatge de l’esquema de sota, aquests elements es representen com petites galledes. Quan fem la foto i obrim l’obturador, els fotons de llum omplen més o menys cada una de les galledes. És com si plogués; en aquest cas, els gotes d’aigua representarien els fotons. En les galledes dels píxels més clars de la imatge hi plou més que en les galledes que corresponen a píxels de les zones més fosques. Però els fotons són energia, i el principi de l’efecte fotoelèctric ens diu que quan interactuen amb la matèria, desapareixen tot transferint la seva energia als electrons dels àtoms del sensor CCD. Les galledes dels píxels dels CCD no guarden aigua de la pluja perquè els fotons, a diferència de les gotes d’aigua, no es poden parar. La metamorfosi dels fotons (els fotons segueixen Kafka, avui que Google ens recorda que és el 130è aniversari del seu naixement) fa que mentre plouen fotons, les galledes recullen els electrons amb més energia que els fotons han alliberat. Finalment, quan es tanca l’obturador i ja no arriben més fotons, cal “llegir” la imatge tot apuntant-nos la quantitat d’electrons lliures que hem recollit en cada galleda per tal de saber la intensitat lumínica en cada píxel i així poder construir la imatge digital. Això és el que veiem al centre i a la part de baix de l’esquema. El procés de lectura és seqüencial, amb un mecanisme que es pot explicar molt bé amb cintes transportadores. Les cintes es mouen i vessen el contingut de totes les galledes de la primera fila en una cinta amb galledes auxiliars. Tot seguit, aquesta cinta auxiliar va vessant les seves galledes en el contenidor calibrat de mesura que veieu a sota de l’esquema. Aquest contenidor pot mesurar el contingut de les galledes una rere l’altra, abans de buidar-se i repetir tot el procés amb la següent fila de galledes del mig de l’esquema. És clar que en realitat, els moviments de les cintes són desplaçaments de registres que contenen les informacions dels píxels o galledes.

CCD_LlegirPixels.jpg

 

Nota: Una resolució de 24 microsegons d’arc entre dos píxels veïns, és increïblement elevada. Si dividim 24 microsegons (o sigui, 24 per 10 elevat a la -6 segons) per 3600 tindrem la resolució en graus, i si després la dividim per 180 i la multipliquem pel nombre pi, la tindrem en radians. Si feu el càlcul, veureu que la resolució entre dos píxels veïns dels CCD de Gaia és de 1,16 per 10 elevat a la -10 radians: 0,000000000116 radians. Utilitzant l’equació geomètrica que ens diu que l’arc és igual a l’angle pel radi quan l’angle es mesura en radians, podem veure que quan enfoquem el telescopi de Gaia a una determinada distància D, podem captar objectes d’un gruix igual al resultat de córrer la coma 10 posicions en el valor de D. Per això, amb Gaia podríem fer una foto des del cim de l’Aneto i reconèixer un cabell en un full de paper a Lisboa.

Les matemàtiques i la irracionalitat

dimecres, 26/06/2013

CargolNautilus.jpg Els pitagòrics van ser molt bons matemàtics. Algunes de les seves demostracions ens són útils encara ara. Estaven tan segurs dels seus descobriments, que es van passar. Defensaven que el món era “harmonia i nombres” i que tot s’ordenava segons proporcions. Totes les mesures, enteres, es relacionaven entre sí segons fraccions que indicaven els seus valors relatius. Van crear un gran mite que ho explicava tot. Però van acabar ensopegant amb una figura geomètrica tan senzilla com és el quadrat. El mite pitagòric es va desintegrar davant dels quadrats. El mateix raonament que els havia permès construir el seu mite, els va fer veure que era fals. La seva racionalitat els va portar al descobriment de fets irracionals, que ningú va entendre ni va poder explicar fins 2000 anys després.

De fet, Pitàgores és un dels noms grecs més coneguts, sobretot gràcies al “seu” teorema.  Però en sabem molt poc, d’ell. Sabem que va viure entre el 582 i el 496 abans de Crist. Tot i haver nascut a Samos, va marxar al sud d’Itàlia, a Crotona (en la regió anomenada Magna Grècia) on va fundar una escola, una societat secreta amb bases matemàtiques i filosòfiques i amb regles molt estrictes de conducta. Els pitagòrics eren vegetarians, seguien estranys ritus i tenien una moral basada en l’estudi i en el desig de saviesa. Els descobriments no es podien atribuir a cap membre concret de l’escola, eren simplement considerats troballes de l’escola, de la secta. El seu lema era que tot eren nombres: pensaven que l’estructura de l’univers era aritmètica i geomètrica. Els pitagòrics (terme amb el que els anomenava Aristòtil) van descobrir l’harmonia i la teoria musical, van introduir els pesos i mesures i van defensar que la Terra era esfèrica. Però estaven tan capficats amb les seves teories que van acabar creant el seu propi mite. Barrejaven el coneixement científic rigorós amb idees místiques i supersticioses populars molt antigues, vinculades a la màgia numèrica.

Els pitagòrics van descobrir que els sons musicals harmoniosos en instruments de corda corresponien a longituds de la corda en proporcions senzilles. De fet i segons una llegenda, Pitàgores va elaborar la seva teoria musical quan va escoltar els sons dels martells de diferents mides (i pesos) dels ferrers. Les consonàncies bàsiques de la música eren tres: l’harmonia que passa d’una octava a la següent amb la fracció 1/2, la cinquena (quan la relació entre freqüències és 2/3), i la quarta, quan aquesta relació és de 3/4. Tot es podia mesurar amb nombres i amb fraccions.

Els pitagòrics definien els nombres triangulars com els que podíem obtenir tot col·locant monedes en forma de triangle. Si poseu tres monedes en línia damunt d’una taula, afegiu una segona fila amb dues monedes encaixades i finalment en poseu una dalt de tot, obtindreu un triangle equilàter de sis monedes. Si comenceu amb quatre monedes, el triangle tindrà 4+3+2+1=10 monedes, i si comenceu amb cinc, el triangle tindrà 5+4+3+2+1=15 monedes. Els nombres 6, 10 i 15 són nombres pitagòrics triangulars. De fet, el 10 representava l’harmonia pitagòrica i s’anomenava “tetraktys” o dècada. Una harmonia que no era el simple resultat de comptar els dits de les mans, sinó que es destilava d’un procés d’abstracció matemàtica. I a més dels nombres triangulars, tenien els nombres quadrats: si enlloc de fer triangles amb monedes feu quadrats, obtindreu els nombres quadrats perfectes: 4, 9, 16, 25, 36, etc.

L’anomenat teorema de Pitàgores procedeix dels babilonis, però probablement el seu nom ve de del fet que sembla que els pitagòrics van ser els primers a donar-ne una demostració senzilla i geomètrica. Com és ben conegut, el teorema diu que en tot triangle rectangle, la suma dels quadrats de les longituds dels dos catets és igual al quadrat de la longitud de la hipotenusa. Els triplets pitagòrics són valors enters que fan que els triangles amb costats d’aquestes llargades siguin rectangles. El triplet pitagòric més conegut és el 3, 4, 5.

El símbol de l’escola pitagòrica era l’estrella de cinc puntes que es forma quan es dibuixen totes les diagonals d’un pentàgon regular. És clar, per tant, que sabien com construir pentàgons regulars. Segons Simone Weil, el pensament pitagòric és el gran misteri de la civilització grega, perquè el trobem per totes bandes. Impregna gairebé tota la poesia, la filosofia – sobretot Plató, que Aristòtil veia com un pur pitagòric -, la música, l’arquitectura, l’escultura, l’aritmètica, la geometria, l’astronomia, la mecànica, la biologia… Però malgrat tot, en sabem molt poc: a més del secretisme de la secta, s’han perdut tots els seus escrits i només en sabem per referències indirectes.

Pensem ara en la seqüència dels quadrats perfectes: 1, 4, 9, 16, 25, 36, etc. Existeix algun quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte? Fixeu-vos que no és el cas del 9, perquè 18 no és un quadrat perfecte. Tampoc és el cas del 25, perquè el 49 ho és, però el 50 no.

Els pitagòrics van demostrar que la resposta és negativa, i ho van fer ara fa més de 2500 anys. Van veure que no existeix cap quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte. La demostració pitagòrica, molt senzilla, ens ha arribat gràcies a Aristòtil (vegeu nota al final). Va ser un resultat terrible, que els pitagòrics no van poder entendre. Volia dir que la diagonal dels quadrats era incommensurable. És fàcil d’imaginar la seva perplexitat. Imaginem qualsevol unitat de mesura (un centímetre, un pam, un metre) i suposem que construïm un quadrat tal que el seu costat mesura A unitats, on A és un enter: si A=100, estarem fent un quadrat de 100 x 100. Doncs bé, segons el seu propi teorema de Pitàgores i dient H a la longitud de la diagonal del quadrat, el doble del quadrat de A ha de ser igual al quadrat de H. Però com que ja havien demostrat que no existeix cap quadrat perfecte tal que el seu doble sigui també quadrat perfecte, és clar que la longitud de H no pot ser entera, i per tant la relació entre A i H no pot ser una fracció. I el mateix passa si la longitud de A és fraccionària (vegeu nota al final). En un simple quadrat, la diagonal no es pot mesurar. Els pitagòrics es van topar amb el concepte de magnituds incommensurables. Segons el mateix Euclides, a la seva proposició 8, “Si dues magnituds no guarden entre si la raó que un nombre guarda amb un nombre, les magnituds són incommensurables”. Els pitagòrics van veure que no hi havia cap manera d’expressar el valor de la longitud de la diagonal d’un simple quadrat. Cap operació aritmètica ni cap fracció podia donar el seu valor, en funció de la longitud A del costat.

Va ser la seva gran contradicció. Els pitagòrics van crear un mite i ells mateixos van descobrir que l’havien de destruir. Van creure que tot es podia explicar amb enters i fraccions, i que el nombre era l’essència de totes les coses. Però tot raonant, van veure que això era fals. La situació va ser realment dramàtica. Tan dramàtica, que van decidir mantenir en secret la demostració. Era difícil acceptar que havien demostrat la falsedat del seu propi mite. Havien trobat un resultat estrany, irracional. Per això, els nombres que mesuren magnituds com la diagonal d’un quadrat o la superfície d’un cercle que no es poden expressar com fraccions, se’ls anomena nombres irracionals. Les matemàtiques dels irracionals van nàixer de la perplexitat dels pitagòrics.

Va caldre esperar fins Newton i Leibnitz per entendre el què passava. Ningú ho va saber entendre fins fa poc més de 300 anys. Isaac Newton i Gottfried Wilhelm von Leibniz van inventar el càlcul infinitesimal i van descobrir que, per estudiar els valors infinitament petits, les fraccions no eren suficients. Van estudiar l’anomenada recta real. Imagineu que pintem una línia recta, marquem els punts que són a distància 1, 2, … del seu origen i després hi anem marcant els punts corresponent a totes les possibles fraccions: punts a distància 1/2, 2/3, 3/4, etc de l’origen. És impossible fer-ho perquè no acabaríem mai, però si fos possible, veuríem que al final quedarien molts més forats que llocs marcats. Quedarien tots els forats corresponents a nombres irracionals, a valors que no es poden expressar com fraccions o proporcions. La longitud de la diagonal d’un quadrat és el producte de la mesura del costat per l’arrel quadrada de 2, i les arrels quadrades de 2, de 3, de 5 i de molts altres nombres són nombres irracionals: els nombres de Leibnitz i Newton, els nombres que no podem escriure com fraccions sinó que els hem de calcular com a límits de successions.

A més de moltes arrels quadrades, el nombre “pi” i el nombre “e” són irracionals. També ho és la raó àuria o proporció divina, que impregna la natura. La raó àuria, de valor 1,618033… és la meitat de la suma de 1 més l’arrel de 5. Com que l’arrel de 5 és irracional, la raó àuria també ho és. La natura és plena de proporcions àuries: els pètals de les flors, els nervis de les fulles, les espirals logarítmiques dels cargols “nautilus”. Tots són magnituds irracionals, són “excepcions” a la racionalitat pitagòrica.

Nota: Els quadrats perfectes són els quadrats dels nombres naturals 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. En d’altres paraules, són els nombres que tenen arrel quadrada entera. El que van demostrar els pitagòrics és que és impossible trobar una parella d’enters A, B tals que 2*A*A sigui igual que B*B. Ho van fer per reducció a l’absurd: suposem que sí que hem trobat aquesta parella de valors A i B. En aquest cas, els dos enters 2*A*A i B*B són iguals. Calculem la seva descomposició en factors primers, que és ben conegut que és única (per exemple, si 2*A*A=50, els factors primers són 2,5,5 perquè el resultat del producte de tots tres és 50). Però en aquest resultat, el nombre de factors “2” serà sempre senar perquè afegim un “2” als factors de A*A i en qualsevol quadrat, els factors primers hi són en nombre parell. Per tant, el nombre de factors “2” en B*B ha de ser senar. I això és absurd, perquè sabem que B*B és un quadrat perfecte. Aquest absurd és el que els va enderrocar el seu mite.

Un darrer comentari, sobre la diagonal dels quadrats. Si el costat A fos fraccionari, per exemple amb un valor igual a 100 i 3/4, només cal amplificar el quadrat 4 vegades (4 és el valor del denominador) i l’haurem convertit en un quadrat de costat enter amb A=403, que ens porta al cas anterior que ja hem considerat.

Els mòbils, les noves idees i la rellevància

dimecres, 19/06/2013

AlemaniaIdees2.jpg Fa pocs dies llegíem que el 90 per cent dels habitants del món tenen telèfon mòbil. Tot plegat i en gran part, gràcies al canvi que s’està produint als països emergents. A més, la meitat dels telèfons que es venen ja són “smartphones”.

Els telèfons mòbils són una idea reeixida. Qui hagués dit, ara fa vint anys, que tindríem més de sis mil milions de mòbils al món?  Els mòbils són el resultat d’una idea rellevant, que ha canviat la vida de molta gent. Les idees rellevants són les que acaben essent útils. Els mòbils són assequibles i fàcils d’utilitzar. Són petits ordinadors, ginys portables i versàtils que ens permeten fer infinitat de coses.

Tots tenim idees, però no és pas fàcil ser creatiu i tenir bones idees. Les idees són ben habituals, però les bones idees són un bé escàs. En ciència, les teories i les idees les hem de contrastar amb experiments. Si tot surt bé, escriurem un article i l’enviarem a una revista científica. L’article serà revisat per revisors (experts) anònims, i ens el publicaran si aquests ho veuen bé. El sistema no és perfecte, però és el que tenim. Si ens el publiquen ja podrem dir que la nostra idea era una mica bona, perquè hem aconseguit convèncer els revisors. Sobretot si la nostra publicació ha estat acceptada a una revista de qualitat, una revista de les anomenades “d’impacte”. Un cop publicat podríem pensar que tot s’ha acabat, però no és cert. Justament ara és quan tal vegada podrem fer el salt de la idea publicada a la idea rellevant. Al cap d’uns anys, sabrem el nombre de cites del nostre treball. El nombre de cites és el nombre de científics que l’han llegit, l’han trobat interessant i l’han citat després en escriure els seus treballs. Si hem aconseguit que el nostre article tingui moltes cites, és que la nostra idea probablement era bona. Us he de dir que no és gens fàcil. Molt pocs científics tenen articles amb un nombre elevat de cites. Es publica molt, però molt poc del que es publica té una incidència real en el treball posterior d’altres investigadors. La mesura del nombre de cites ens ajuda a cercar agulles (jo diria joies) dins el paller.

De fet, encara hi ha un pas més. Hi ha bones idees que passen a les empreses innovadores i donen lloc a nous productes, a nous ginys que ens donen l’oportunitat de viure millor. Són les idees rellevants, les idees molt bones, les excel·lents. Els telèfons mòbils en són una. El cercador Google n’és una altra. Podríem també parlar del GPS, de les càmeres digitals i d’altres. Sabíeu que Albert Einstein va rebre el premi Nobel l’any 1905 no pas per la teoria de la relativitat, sinó per haver explicat l’efecte fotoelèctric? Sabíeu que aquesta idea, la del efecte fotoelèctric, és la que ens ha permès dissenyar i fabricar els sensors CCD de les actuals càmeres digitals?

Quan tenim una idea, tots pensem que és bona. Una idea és una mica com un fill, i estimem les idees com estimem els nostres fills. Però és millor saber què opinen els altres, que ben segur s’ho miraran amb el cap més fred. Les cites dels articles ens ajuden a veure si la nostra idea ha estat ben rebuda pels altres i si els ha estat útil. Les idees rellevants que a més s’acaben transformant en nous artefactes que la gent incorpora a les seves vides, són les genials.

En les activitats creatives, la mesura la donen els altres. És cert en art, en ciència, en literatura i en d’altres camps. Ho diu en Josep M. Espinàs, en el seu llibre “El meu ofici”: l’escriptor ja no és un mag entre analfabets, s’ha convertit en un professional amb consulta oberta al públic. Els lectors són els qui mesuraran l’interès del que escriu.

Alguns països creuen en les noves idees, i les promouen. Hi ha països que volen promocionar-se com una marca, mentre que d’altres es defineixen en base a les idees. Aquests darrers inverteixen en recerca i en ciència. La inversió, lentament, genera coneixement. Després, en lloc de donar subvencions amb criteris estranys, donen incentius a les empreses innovadores que converteixen el coneixement en diners. Es el cicle del progrés. És lent, però els acaba generant beneficis de tot tipus.

Rebaixes d’impostos

diumenge, 16/06/2013

Suposem per un moment que s’ens consulta sobre determinades decisions polítiques. No seria pas res d’estrany. Les consultes i la participació ciutadana directa a través d’internet són possibles. Hi ha ciutats que ja ho estan portant a la pràctica. Suposem doncs que tenim l’opció de rebaixar els impostos només a una determinada activitat. Podem escollir entre la recerca, la innovació de les empreses (demostrada per exemple en patents i presència internacional), la cultura o els casinos. Per quina votaríeu?

Doncs no ens ho han preguntat, però sí que sabem el que volen fer els nostres governants. Volen rebaixar els impostos als casinos, quan entri en funcionament el complex BCN World. El complex on participen gent tant significativa com Enrique Bañuelos i Stanley Ho, el magnat del joc vetat a Nova Jersey per la seva relació amb la màfia. En d’altres països, els incentius fiscals són per a les empreses que promouen la recerca i la col·laboració universitat-empresa. Nosaltres, ens apuntem als casinos.

Només puc dir que em sento indignat i avergonyit. Sento vergonya aliena, però també meva. Quin país volem? M’adono que m’estic fent la mateixa pregunta que em feia ara fa un any: Per què s’incentiva el negoci del joc enlloc d’incentivar i promocionar la recerca i l’educació ? Hem de continuar cercant el diner fàcil, invertint a curt termini i afavorint l’especulació, o bé hem d’invertir en educació, ciència i innovació tecnològica? Ens volem reconvertir tot apostant per la creativitat, o ens volem vendre als interessos d’uns quants estrangers? Què volem ser, quan siguem grans?

Com deia abans d’ahir en Lluis Torner, sense ciència no hi ha futur. Coincidint amb la manifestació dels científics contra les retallades, en Lluís Torner deia que no ens podem permetre viure en una societat que no aposti per la recerca. Perquè no l’escolten?

En Josep Ramoneda va escriure ja fa uns quants mesos un article molt clarificador. Deia que BCN World en realitat de fet només era una opció de venda per dos anys d’uns terrenys de La Caixa a una empresa del senyor Enrique Bañuelos, que és qui havia de cercar els inversors. Per això, a “la foto” sortien el president Artur Mas, el nostre conseller de recerca, universitats i economia Andreu Mas-Colell (m’he permès intercanviar els termes), Enrique Bañuelos i el president de La Caixa, Isidre Fainé. Us remeto a l’article d’en Josep Ramoneda si voleu saber més detalls sobre Enrique Bañuelos, que finalment ja s’ha posat a treballar i ha trobat inversors com Stanley Ho. Josep Ramoneda acabava dient que un país que está pensant en la seva independència, mereixeria un projecte de futur alternatiu que mostrés tota la seva ambició de vanguardia creativa. Com ho veieu?

De John Harrison a Galileo

dimecres, 12/06/2013

GalileoSatellite.jpg Què podem fer si ens perdem enmig del mar, a la muntanya, dins d’un bosc o en un desert? Sortosament, ho tenim més fàcil que els nostres avis. Molts telèfons mòbils tenen GPS, i el sistema GPS ens diu on som. Podem veure la nostra posició en un mapa i podem saber les coordenades geogràfiques del lloc on som: longitud i latitud. El GPS ha estat un bon invent per a poder orientar-nos. El que no és tan conegut és que, tant al segle XVIII com al segle XXI, si ens podem orientar és gràcies als rellotges. Hem aprés que per mesurar bé la posició i el lloc on som, cal saber mesurar bé el temps. Depenem de la física i de la l’íntima relació que hi ha entre espai i temps.

Els navegants i descobridors del renaixement sabien calcular bé la latitud. Només calia mesurar, amb un sextant, l’alçada màxima del Sol o de les estrelles sobre l’horitzó i consultar les taules astronòmiques. Però la longitud geogràfica sempre va ser molt més esquívola. La diferència de longituds geogràfiques entre dos llocs de la Terra (o separació entre els seus meridians) és clar que és proporcional a la diferència entre les seves corresponents hores solars. Per això calien els rellotges. Els vaixells que sortien de qualsevol port, per exemple de Barcelona, portaven un rellotge ajustat a l’hora solar de Barcelona. Quan, dies després, eren enmig del mar, per saber la longitud del meridià només havien de mesurar l’hora solar i restar-la de la que marcava el rellotge. El principi és ben conegut. Si anem a Pontevedra, veurem que el Sol surt més tard i es pon més tard que aquí. Els navegants ho feien a l’inrevés: mesuraven aquest retard i amb això podien calcular la seva posició, el seu meridià. En teoria tot era perfecte. Es podien orientar gràcies als rellotges. Només hi havia un “petit” problema: els rellotges no eren bons, i avançaven o s’endarrerien. Com que 24 hores equivalen al gir de 360 graus de la Terra, un error de 4 minuts en l’hora és equivalent a un error d’un grau en la mesura de la longitud geogràfica, que correspon a 111 quilòmetres si som a l’Equador. No és pas un error menyspreable. Els navegants no es podien orientar bé perquè tenien rellotges dolents.

A principis del segle XVIII, es parlava molt del problema de la longitud. Calia trobar maneres de calcular-la amb més precisió. Els anglesos, molt preocupats pel tema, van ser pragmàtics. Justament l’any 1714, el Parlament anglès va acordar donar un premi de vint mil lliures a la persona que trobés una solució al problema. El premi es donaria a la persona que trobés com mesurar la longitud amb un error de menys de mig grau i que ho demostrés en un viatge en vaixell. El rellotger John Harrison va anar millorant el disseny dels seus mecanismes fins aconseguir un rellotge, l’anomenat H4, que superava els requeriments del Parlament. L’any 1764, el seu fill William ho va demostrar en un viatge de 47 dies a les illes Barbados. El rellotge només es va endarrerir 39 segons, equivalents a una distància de 18 quilòmetres en l’Equador. Tot i que no va ser fàcil convèncer la comissió del Parlament, John Harrison va finalment rebre el premi l’any 1773 junt amb el reconeixement públic d’haver resolt el problema de la longitud.

Què fa un GPS per a saber on som? El GPS també utilitza rellotges per calcular distàncies i determinar la nostra posició. John Harrison utilitzava rellotges, i els nostres GPS també. La diferència és que els rellotges dels GPS són molt més precisos. I no són en els nostres GPS, sinó que estan en els satèl·lits que són en òrbita.

El sistema GPS funciona mitjançant una xarxa de satèl·lits que orbiten al voltant de la terra. Cada satèl·lit porta un rellotge atòmic per mesurar el temps amb una precisió de l’ordre d’un nanosegon (un nanosegon és la mil milionèsima part d’un segon). Si mesurem el temps que tarda un senyal electromagnètic en viatjar des d’el satèl·lit fins el GPS del nostre telèfon, podrem calcular la distància entre els dos amb un simple producte perquè, gràcies a Einstein, sabem que la velocitat de la llum és constant. Com que aquesta velocitat és de 300 mil quilòmetres per segon, amb una única divisió podem veure que tant la llum com les ones electromagnètiques que rebem dels satèl·lits recorren 30 centímetres cada nanosegon. Els rellotges atòmics son tan ràpids que, en cas que facin un tic cada nanosegon, la llum només avança un pam i mig entre cada dos tics. Doncs bé, quan volem determinar la nostra posició, el GPS localitza automàticament un mínim de quatre satèl·lits de la xarxa, dels quals rep senyals que indiquen la seva posició i el temps (en nanosegons) en el rellotge de cadascun d’ells. En base a aquests senyals, el GPS pot calcular el retard dels senyals i per tant les distàncies als satèl·lits (vegeu nota al final). Finalment, obtenim les nostres coordenades geogràfiques amb un error de precisió que en condicions normals és d’uns 15 metres.

El sistema Galileo és l’alternativa de la Unió Europea a l’actual GPS. Galileo és un projecte civil, a diferència del GPS que és Nord-Americà i militar. Oferirà un servei obert, de lliure accés per a tothom, amb un error de quatre metres sobre el terreny i de vuit metres en vertical, juntament amb un servei de pagament amb abonament que emetrà senyals encriptades amb un marge d’error inferior al metre per a localització en aplicacions específiques com la navegació aèria i els serveis de cartografia. El servei i la qualitat de les dades de posició deixarà d’estar supeditat als criteris i prioritats militars. Serà un servei per a la societat civil, més fiable i força més precís que el GPS. La constel·lació Galileo estarà formada per 30 satèl·lits en òrbita en una alçada mitjana de 23.222 quilòmetres, junt amb una sèrie d’estacions terrestres que controlaran els satèl·lits per tal de millorar la precisió del senyal i corregir-ne la trajectòria. Cada satèl·lit Galileo (vegeu la imatge de dalt) porta dos rellotges atòmics: un rellotge màser d’hidrogen que només endarrereix un nanosegon cada 24 hores, i un rellotge secundari de rubidi amb precisió de 1,8 nanosegons cada 12 hores. Ara mateix, els primers quatre satèl·lits Galileo ja són en òrbita i es troben en fase de proves. D’aquí a 4 o 5 anys (el 2017 o el 2018), ja el podrem utilitzar.

És més fàcil i més precís mesurar el temps que mesurar grans distàncies. Per això els mapes antics i medievals eren poc precisos, i per això els humans sempre hem fet servir rellotges per orientar-nos i per conèixer la nostra posició i les nostres coordenades. Però fa quatre segles, quan els navegants calculaven la seva posició, no ho podien fer bé: cometien errors de l’ordre de 100 quilòmetres. Fa tres segles i gràcies als rellotges de John Harrison, els errors ja eren només de l’ordre de 15 o 20 quilòmetres. Avui, gràcies als rellotges atòmics i a la tecnologia GPS, podem saber on som amb un error mil vegades més petit, de l’ordre dels 15 metres. I d’aquí a cinc anys, amb Galileo ho sabrem amb un error de només 4 metres. Tot plegat, perquè hem entès que el temps ens pot explicar l’espai i perquè hem trobat la manera de fer que ens l’expliqui.

Nota: Les estacions terrestres de control monitoritzen els satèl·lits i garanteixen que els seus rellotges estiguin “en hora” al nanosegon, a més de que tinguin informació sobre la seva posició en l’espai en tot moment. Llavors, si el nostre aparell GPS o Galileo portés un rellotge atòmic d’alta precisió incorporat, tot seria força senzill. Com hem dit, el GPS localitzaria automàticament alguns satèl·lits de la xarxa, dels quals rebria senyals amb informació sobre la posició i el temps en el satèl·lit en l’instant d’emissió del senyal. El temps de viatge del senyal es podria obtenir restant el temps en l’instant que rebem el senyal menys el temps en l’instant d’emissió. Multiplicant per la velocitat de la llum, el temps de viatge ens donaria la distància D al satèl·lit. Com que el satèl·lit també ens hauria enviat la seva posició a l’espai, podríem concloure (amb un únic satèl·lit) que segur que ens trobem en algun punt de l’esfera que té el centre a la posició del satèl·lit i radi D. Amb més d’un satèl·lit, el mateix raonament ens donaria per a cada satèl·lit una esfera sobre la que ens hem de trobar, i podríem calcular la nostra posició tot intersecant aquestes esferes (podem afegir a més la superfície de la Terra si sabem que estem tocant de peus a terra). Val a dir que és bo tenir informació redundant de molts satèl·lits perquè així podem reduir errors i calcular, amb algorismes de mínims quadrats, un punt que es trobi el més prop possible de les esferes de tots els satèl·lits que observem. Però malauradament tot plegat és una mica més complicat perquè els rellotges dels GPS evidentment no són atòmics. Sabem amb molta precisió l’instant d’emissió dels senyals, però l’instant de recepció el sabem amb una precisió molt més baixa. El problema és més complicat, però la solució no és massa més difícil. Suposem que estem veient 5 satèl·lits. Fem el càlcul com abans, restant el temps que ens dóna el rellotge del GPS del temps en l’instant d’emissió que ens arriba amb el senyal, i obtenim un radi d’esfera per a cada satèl·lit: D1, D2, …, D5. Aquests radis són incorrectes, però sabem que l’error és el mateix en tots ells, perquè és degut a un error en la mesura del temps de recepció, que és el minuend en totes les restes. Per tant podem assegurar que els radis correctes seran D1+d, D2+d, …, D5+d on el valor desconegut d depèn de l’error en el rellotge del GPS. Cal trobar el valor òptim de d. Aquest valor  és el que fa que els punts d’intersecció entre tots els possibles conjunts de tres esferes siguin el més propers possibles entre ells. Cal observar que en el cas de 5 esferes, podem formar deu conjunts diferents de 3 esferes cada un (les combinacions de 5 elements escollits de 3 en 3) i per tant, haurem de trobar el valor de d que apropi el màxim possible aquests deu punts. Cal tenir també en compte que cada conjunt de tres esferes intersecta en dos punts, però que un d’ells és a l’espai exterior i no és vàlid. Un cop hem calculat el valor d, calculem el punt d’intersecció de totes les esferes i ja hem resolt el càlcul de la nostra posició. Podeu comprovar que, si no imposem res més, el càlcul es pot fer si veiem un mínim de 4 satèl·lits. Però si sabem, per exemple que estem caminant o que anem en cotxe, el nombre mínim de satèl·lits baixa a tres perquè el càlcul es pot limitar a cercar punts sobre la superfície de la Terra.

En resum: podem saber on som gràcies a la geometria, als satèl·lits, a la informàtica i als algorismes d’optimització…

 

Els trens, les noves idees i la grisor d’alguns dirigents

dimecres, 5/06/2013

TunelAVE.jpg La cara i la creu. Tot en una setmana. Aquesta setmana he assistit a una xerrada d’un company investigador que ens explicava com, amb els actuals algorismes informàtics d’optimització, és possible reduir pràcticament a la meitat els costos de construcció de noves línies de tren. Els mateixos dies hem rebut l’allau habitual de notícies fosques. La grisor i la manca d’idees en relació a la gestió de la crisi, la manca de suport a les idees creatives i a la recerca.

La cara són els brots verds que ens vénen de la ciència. En Carles Capdevila comenta el missatge esperançador que es desprèn dels nous descobriments i la importància de la paciència, de la constància, dels recursos i del treball en equip. En aquest context hi ha grups de recerca que amb esforç i constància estan proposant solucions imaginatives per al transport ferroviari. Els trens són una molt bona solució per distàncies intermèdies, per sota de les distàncies que donen sentit al transport aeri i marítim i per damunt de les que aconsellen el transport per carretera. Bàsicament, hi ha línies de tren amb doble via i d’altres (com la tristament cèlebre Barcelona-Vic-Puigcerdà) amb via única. La proposta que ara es planteja és intermèdia. Parla de tenir línies de tren amb trams de doble via i trams de via única. Per a fer-ho, cal resoldre dos problemes relacionats. El primer és decidir quins trams del recorregut seran de doble via i quins es construiran amb via única. El segon, un cop sabem com serà la via, és organitzar els horaris de trens per tal de maximitzar el benefici dels usuaris tot optimitzant els recursos. Tots dos són problemes d’optimització (vegeu la nota al final) que podem resoldre bé si utilitzem els algorismes adequats.

Fixem-nos en el primer problema. Si decidim fer tota la línia amb via única, el cost serà el mínim possible. Diguem U a aquest cost. En canvi, si fem tota la línia amb doble via, tindrem un cost més alt (diguem-li D). Com és d’esperar, el cost D és de l’ordre del doble del cost U. Suposem ara que decidim invertir una mica més que U. Acceptem que sigui un 5% més que U, però no volem ultrapassar aquest pressupost. És clar que no podem tenir doble via a tota la línia, perquè això seria molt més car. Però podem pensar a tenir trams de doble via i trams de via única. El problema d’optimització apareix quan volem aconseguir (amb aquest pressupost fixat de 1,05*U) el màxim de quilòmetres amb doble via i el mínim de quilòmetres amb via única. En quins llocs hem de construir doble via per tal d’aconseguir que la longitud total desdoblada sigui màxima? La resposta correcta ens la donaran els algorismes d’optimització, però el resultat és força intuïtiu si pensem que hi ha zones (túnels i viaductes) en què el cost de desdoblar és bàsicament el doble del cost de construir via única, mentre que en d’altres zones amb poc relleu, el cost de desdoblar és molt petit. La solució passa per desdoblar a les planes i mantenir la via única en els túnels i viaductes. És fàcil veure que, amb un cost molt semblant a U, es poden construir línies de tren que en molts casos poden tenir més de la meitat del recorregut amb via doble. Després, quan hem aconseguit un disseny amb trams de via doble d’un mínim d’uns trenta quilòmetres cada un, d’altres algorismes d’optimització (vegeu nota al final) ens permetran generar horaris de trens que maximitzaran el benefici dels usuaris tot optimitzant els recursos, garantint la seguretat i fent que els trens es creuin sempre en trams de via doble sense haver de reduir la velocitat.

La idea d’optimitzar la barreja de doble via amb via única és innovadora. És una idea racional, que es nodreix del que ofereixen els actuals algorismes d’optimització per tal d’abaratir costos en l’obra pública. M’atreviria a dir que crec que d’aquí a vint anys totes les línies de tren del món la utilitzaran. La creu és que, com deia el meu company, aquesta idea ha trobat poc ressò. No interessa. Els nostres dirigents tenen por, els fan por els riscos associats a noves idees. Escolten els economistes, però no escolten els enginyers. És millor que inventin els altres, els de fora, i que després ens ho venguin. La racionalitat no interessa. Sempre és més segur invertir en complexes lúdics i en casinos que en recerca i innovació, oi?

Aquesta setmana, la grisor i la manca de racionalitat i de bones idees han tornat a ser noticia. En Joan Majó intenta objectivar els problemes plantejats, que veu discutits amb poca racionalitat. Comenta que evidentment cal anar disminuint el dèficit pressupostari excessiu de l’Estat i de les comunitats autònomes, que és el que genera el creixement del deute. És clar que si no generes prou ingressos t’has d’endeutar per poder pagar, i això genera més interessos i més dèficit… Hi ha dues maneres de reduir el dèficit: augmentar els ingressos i/o disminuir les despeses. Això queda a criteri de cada Estat (excepte si estàs rescatat o intervingut). Però diu que tant el Govern espanyol com el català han fet servir més l’opció de “retallar”,  que ha repercutit en els serveis bàsics i ha creat molta crispació social. En Joan Majó es fa algunes preguntes: Per què no s’ha reformat l’Administració? Per què no s’ha perseguit el frau fiscal? Per què no s’han endarrerit pagaments d’inversions militars? Per què s’ha suprimit l’impost de successions? Per què no s’han posat en marxa mesures d’estímul al creixement i recuperació de l’ocupació?

Permeteu-me que afegeixi algunes preguntes a les d’en Joan Majó. Per què continuem parlant d’economia i no parlem de crear, de generar noves idees i  d’inventar? Per què no invertim més en recerca i en educació? Per què l’economia s’ha convertit en un fi per si mateixa? Per què l’economia no té en compte aspectes com la sostenibilitat i la conservació del medi natural? Per què els diners es queden en els bancs en lloc de fluir en crèdits a les empreses? Per què no pensem que l’important és crear, produir i generar valor afegit, tot acceptant que l’economia és tan sols una eina per mesurar el que fem? Per què pensem més en aquesta eina que en el que realment fem i en el que volem produir? Per què no fem més cas als científics i als enginyers que no pas als economistes ? Per què el valor en borsa de les empreses té poca relació amb allò que fan? Per què no tenim persones com en Joan Majó en llocs de responsabilitat política i executiva?

Nota: En els problemes d’optimització, habitualment tenim moltíssimes possibles solucions, i hem de trobar la millor de totes en un temps raonable. És com pujar una muntanya un dia de boira. En el primer dels dos problemes que hem plantejat, l’alçada seria la longitud total de via doble que podem fer. Hem de pujar fins al cim, fins al punt on l’alçada (la quantitat de via doble) és màxima. Hem de saber escollir el camí i no equivocar-nos encara que la boira ens ho faci difícil i hem d’evitar els anomenats màxims locals: els cims de petits turons que no són el veritable cim. En els turons, hem de saber decidir que no som dalt de tot i que cal baixar una mica per després poder pujar molt més. El segon problema és similar: d’entre totes les solucions que minimitzen el màxim temps de viatge, la idea és escollir la que minimitza la suma d’aquests temps de viatge, tot considerant les preferències dels usuaris. En aquest segon problema, en lloc de pujar hem de baixar. Una manera eficient de fer-ho és, en aquest cas i en cada moment, només considerar les variables que son rellevants i que ens ajuden a baixar. En tot cas, és fàcil veure que tots dos problemes estan relacionats: si la solució del primer problema és bona i obtenim la màxima longitud amb via desdoblada, la solució del segon problema podrà ser millor.

Els ginkgos, les abelles i els algorismes

dimecres, 29/05/2013

Ginkgo1.jpg El ginkgo biloba és un arbre ornamental, del grup de les les gimnospermes com els pins i els avets, però que no fa pinyes. Val la pena acostar-se a algun dels que tenim en els nostres jardins i passar una estona tot gaudint-ne. Si aneu a Girona, trobareu un ginkgo en el claustre de Sant Domènec, a la Universitat. Però no és difícil trobar-ne a d’altres parcs i llocs públics. El ginkgo és lent, tarda deu anys en arribar als 10 metres d’alçada, però viu molts anys. És un arbre sagrat, a la Xina i al Japó. En alguns monestirs de la Xina i del Japó se n’han trobat de mil·lenaris. A la Xina se l’anomenava l’arbre de l’avi i del nét ja que l’avi plantava l’arbre i era el nét qui se’n menjava els  fruits (bullits o fregits). Les fulles del ginkgo són caduques, en forma de ventall, de color verd brillant i amb nervis molt prims i radials. En Josep Gordi ens explica que les fulles i fruits del ginkgo tenen propietats medicinals: el ginkgo apareix esmentat en els llibres de medicina xinesa tradicional. Se li atribueixen efectes beneficiosos sobre el cor i els pulmons. Actualment existeixen plantacions de ginkgos per aprofitar-ne els seus compostos químics en la indústria farmacèutica.

El ginkgo, a més, és l’arbre que el temps ha oblidat. Fa dos-cents milions d’anys, durant el període Juràssic, a la Terra ja creixien els ginkgos. Ho sabem pels fòssils (com el que teniu a la imatge) que ens mostren les mateixes fulles en forma de ventall dels ginkgos actuals. Podem gaudir-ne quan passegem pels parcs. Ens ho recorda aquest llibre. Les espècies animals i vegetals han desaparegut, quasi tot el que hi havia (i era viu) durant el Juràssic es va extingir, però una cosa és certa: el temps es va oblidar d’extingir els ginkgos. És un exemple admirable de persistència. Costa pensar en una xifra com aquesta, de 200 milions d’anys. Si ho traduïm a mil·lennis, estem parlant de dos-cents mil mil·lennis. Un període de temps que és cent mil vegades més gran que el que ens separa de l’inici de la Era cristiana.

Un altre llibre recent ens parla dels algorismes que l’evolució ha anat “cablejant” en els éssers vivents. Leslie Valiant connecta els treballs de Alan Turing sobre disseny d’algorismes i mètodes per a la resolució robusta de problemes amb la teoria de l’evolució i amb el principi de la supervivència dels més adaptats. Els actuals éssers vius saben resoldre problemes que aparentment són molt complexes, i els resolen de manera òptima o quasi-òptima. Amb poca energia vital són capaços de trobar i arribar a bones solucions que els ajuden a viure. I com que ho fan bé, no s’esgoten i poden guardar energies per poder fer front a d’altres situacions previsibles o no previsibles. Nosaltres pensem i podem crear, podem inventar noves solucions als problemes que ens planteja la vida. Però els animals ho fan bé perquè ho tenen “cablejat” en el seu petit cervell. Arriben a bones solucions no pas perquè els seus cervells s’hagin anat perfeccionant generació rere generació, sinó perquè els que no ho feien tan bé, van morir. És el raonament genial de Darwin. En cada generació hi ha petits canvis. És el mateix que passa amb els nens que neixen cada dia, tots són una mica diferents. Alguns dels éssers vivents de la nova generació, animals o vegetals, s’adapten més al medi i “saben fer-ho millor” mentre que d’altres s’hi adapten menys. Al llarg de les generacions, no és que el “cablejat” vagi millorant per efecte d’alguna força oculta. El que passa és que els més adaptats, els que ho feien millor, són els que perduren. D’aquesta manera, els éssers vius van pujant lentament la muntanya improbable, en paraules de Richard Dawkins. Tot pujant la muntanya, els peixos del Juràssic han anat evolucionant fins arribar a nosaltres. No és improbable, això?  No ho és tant si pensem en el nombre immens de generacions que ens han precedit, des de fa 200 milions d’anys en el període Juràssic, quan Pangea s’estava trencant i l’Atlàntic encara era molt estret. Mentre els ginkgos s’han anat adaptant al medi i no han necessitat grans canvis, l’evolució dels animals al llarg de milions de generacions els ha anat estructurant i definint, els ha anat cablejant de la millor manera possible. Els qui no ho feien tan bé, ja no hi són.

Un bon exemple d’insectes que troben solucions òptimes a problemes molt complexes el tenim en les abelles. Fa dos anys i mig, uns científics de la Universitat de Londres van descobrir que les abelles decidien automàticament la ruta més curta entre les flors quan en treien el pol·len. Les abelles saben resoldre l’anomenat problema del viatjant a una velocitat superior a com ho faria un ordinador, perquè tenen la solució del problema integrada en el seu cervell. Els investigadors van utilitzar flors artificials per comprovar que les abelles, un cop localitzaven les flors, sabien trobar la ruta més curta per passar per totes elles.

El problema del viatjant (també conegut com a problema del viatjant de comerç) és un dels problemes més estudiats en el camp de l’optimització informàtica. Estem acostumats a que molts problemes siguin lineals. En els problemes lineals, la complexitat és proporcional a la mida del problema. Resoldre un test és habitualment un problema lineal: si el test té 20 preguntes, tardarem aproximadament el doble que si té 10 preguntes. A doble de preguntes, doble de temps. En el problema de les flors i les abelles, la cosa no és tan fàcil. Suposem primer que tenim només tres flors. És fàcil veure que podem visitar-les de sis maneres diferents, que podem escriure com 123, 213, 132, 312, 231, 321 (“231″ vol dir que primer anem a la flor 2, després a la 3 i finalment anem a la 1). En algunes d’aquestes sis maneres, el camí total recorregut per l’abella serà més llarg i en d’altres, més curt. La solució òptima és la que dóna un camí total més curt, perquè així l’abella gastarà menys energia. Si hem de resoldre el problema amb ordinador, el que farem és calcular el camí que cal recórrer en cada un dels sis possibles camins, i veure quin és el més curt. En aquest cas de tres flors, hem de calcular i comparar sis possibles camins. I justament aquí tenim la dificultat. El nombre de solucions que ens cal calcular i comparar és el factorial del nombre de flors, i aquest nombre es fa totalment intractable quan creix el nombre de flors. Si tenim 10 flors caldria analitzar més de 3 milions de possibles camins, i si pugem només fins un total de 25 flors, n’hauríem d’analitzar 15 quadrilions. Impossible, trigaríem massa temps. És un problema dels anomenats no polinòmics. Els algorismes dels nostres ordinadors poden acostar-se a una bona solució, però no poden trobar la millor de totes. Les abelles, en canvi, ho fan bé per intuïció. per una intuïció que han heretat dels seus avantpassats al llarg de milions de generacions. Els ginkgos també ho han fet i no s’han extingit, ara per ara.

Leslie Valiant diu que hauríem d’aprendre dels animals i de les nostres pròpies intuïcions. Comenta que és bo entendre com els éssers vivents s’han anat adaptant al medi i com l’evolució ha conformat en ells la manera de resoldre problemes. Valiant proposa el terme “ecorismes” com a contracció de les paraules ecologia i algorismes. Els ecorismes són els algorismes que copien i segueixen les pautes (sovint de prova i error) que utilitzen els organismes vius per a adaptar-se i sobreviure. Tal vegada hem de mirar-nos menys el melic i observar més els ginkgos i les abelles.

Els glaçons del cel del nord

dimecres, 22/05/2013

NeveraRafi2.jpg Podem fer una nevera que no gasti gens d’energia? La termodinàmica ens diu que només podem refredar un objecte sense gastar energia si interacciona amb un altre d’encara més fred. Els glaçons refreden les begudes perquè són més freds; en refredar-les, s’escalfen i es fonen. Les begudes que deixem a la nevera es refreden perquè la temperatura dels fluids refrigerants que circulen pels serpentins dins les seves parets és molt baixa. Aconseguim refredar un objecte tot escalfant-ne un altre, i amb un resultat sempre desfavorable: acabem incrementant l’entropia del conjunt.

Tots sabem que els edificis es refreden durant les nits d’estiu, sobretot quan el cel és estrellat. El cel és fred, i les superfícies que el sol ha escalfat durant el dia irradien calor cap al cel. Però el que és menys conegut és que la temperatura radiant del cel durant el dia, quan és blau i no hi ha núvols, és quasi tan freda com la del cel a les nits.

Ara fa un any, en Rafi ens va deixar. El recordo sempre energètic, creatiu, ple de vida i de noves idees. Parlàvem d’arquitectura i energia, del sol i del cel, d’astronomia i micrometeorits, de paisatge i de cúpules. En Rafael Serra Florensa era l’expert en arquitectura energètica, en fer que la Natura treballés per a nosaltres, en aprofitar la llum natural, en aprendre de l’arquitectura tradicional de les cases blanques Mediterrànies.  Un dia, al seu despatx, em va ensenyar un experiment. Era el migdia, a l’estiu, i la temperatura devia ser d’uns trenta graus. En Rafi va apuntar cap al nord, al cel, amb un termòmetre làser. El termòmetre crec recordar que va marcar deu sota cero. En canvi, quan va apuntar en direcció a l’asfalt de la Diagonal, el termòmetre va assenyalar 38 graus. La conclusió d’en Rafi era clara: calia treballar en el disseny d’una nevera solar passiva. Una nevera que refredés sense gastar energia. El prototipus que van construir en Rafi i el seu equip era una caixa aïllada, el sostre de la qual consistia en una superfície dirigida cap al nord i protegida de la llum del Sol, amb pantalles laterals que la mantenien sempre a l’ombra de la radiació directa (o reflectida) del Sol. És el que podeu veure en aquest article. La idea és que la tapa superior (el sostre) de la nevera sigui una superfície radiant encarada al cel del nord, que sempre és més fred que la tapa. A més, aquesta superfície (en negre a la imatge esquemàtica de dalt) ha de ser a l’ombra de la llum i de la radiació solar. L’objectiu és que la superfície radiant envii més calor al cel del que rep d’ell. En aquest sistema, que es pot construir com una nevera o com un sostre per al condicionament de l’aire, el cel es comporta com els glaçons que ens refreden les begudes.

Els principals reptes actuals són la millora de la geometria de les pantalles reflectants laterals per tal d’evitar que la superfície radiant rebi radiació provinent de la llum diürna, i trobar materials reflectants que tinguin bones propietats òptiques i que a la vegada siguin resistents a la intempèrie. Hem de fer-ho bé i ser intel·ligents, si volem que la Natura treballi per nosaltres.

Encara que el rendiment depèn del grau d’humitat (el sistema funciona millor en climes secs), els experiments realitzats demostren que el disseny i la construcció de sistemes de refrigeració passiva per radiació és possible. El sistema actualment es troba en fase de prototip, amb una baixada passiva de temperatura encara insuficient (d’uns dos graus). No és clar que a curt termini puguem substituir els actuals sistemes d’aire condicionat, però sí que és probable que aquests sistemes passius ens acabin ajudant a refredar les cases, les begudes i els aliments i que ens permetin disminuir el consum energètic. Ho farem amb glaçons de cel, del cel blau que veiem quan miren cap al nord.